Confiabilidad en el diseño estructural de pavimentos

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(1)UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL. CONFIABILIDAD EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL DE PAVIMENTOS PROYECTO DE GRADO. RICARDO SÁNCHEZ GONZÁLEZ. BOGOTÁ D.C, 2003.

(2) ICIV 2003 II 33. TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCION..................................................................................................................3 OBJETIVOS..........................................................................................................................5 METODOLOGÍA............................................................................................... ...................6 1. DISEÑO DE PAVIMENTOS.......................................................... ..............................7. 1.1 HISTORIA DEL DISEÑO DE PAVIMENTO..................................................................7 1.2 DISEÑO RACIONAL DE PAVMENTOS PARA BOGOTÁ D.C.....................................8 1.3 PARÁMETROS DEL MANUAL DE DISEÑO DE PAVIMENTOS PARA BOGOTÁ .....9 1.3.1. Tráfico...................................................................................................................9. 1.3.2. Clima...................................................................................................................10. 1.3.3. Materiales............................................................................................................10. 1.3.4. Resistencia de la Subrasante..............................................................................11. 1.3.5. Carácter Probabilístico........................................................................................11. 1.4 PARAMETROS DE CONTROL EN PAVIMENTOS FLEXIBLES................................12 1.4.1. Deformación en las Capas Asfálticas.................................................................13. 1.4.2. Deformación en la Subrasante............................................................................14. 1.5 DESVENTAJAS DEL MANUAL DE DISEÑO DE PAVIMENTOS PARA BOGOTÁ ...14 1.6 CONCLUSIONES.......................................................................................................15 2. ANALISIS DE INCERTIDUMBRE DE PARAMETROS DE DISEÑO............................17 2.1 FUENTES DE INCERTIDUMBRE..............................................................................17 2.1.1. Tráfico.................................................................................................................17. 2.1.2. Materiales............................................................................................................18. 2.1.3. Subrasante..................................................... ....................................................18. 2.1.4. Modelo Mecánico................................................... ............................................19. 2.2 ANALISIS ESTADISTICO DE LA INCERTIDUMBRE.................................................19 2.2.1. Módulo Dinámico.................................................................................................19. 2.2.2. Ley de Fatiga................................................... ...................................................21. 2.2.3. Modulo Resiliente................................................... .......................................... 23. 2.2.4. Tráfico................................................... .............................................................27. 2.2.5. Espesor de las Capas................................................... .....................................28. 2.3 CONCLUSIONES.........................................................................................................29 3. CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL...............................................................................30 3.1 TEORÍA BÁSICA DE LA CONFIABIIDAD ESTRUCTURAL.......................................30 3.2 CONCLUSIONES.......................................................................................................32 1.

(3) ICIV 2003 II 33 3.3 SIMULACIÓN DE MONTE CARLO............................................................................33 4. MODELACIÓN DEL PROBLEMA DE CONFIABILIDAD PARA PAVIMENTOS...........35 4.1 CONFIABILIDAD EN PAVIMENTOS..........................................................................35 4.2 DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIAD DE FALLA EN PAVIMENTOS FLEXIBLES ....................................................................................................................................36 5. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDAD DE FALLA EN ESTRUCTURAS DE PAVIMENTO FLEXIBLE.........................................................................................38 5.1 PARÁMETROS CONSIDERADOS EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD DE FALLA DEL PAVIMENTO FLEXIBLE.....................................................................................38 5.2 PROBABILIDAD DE FALLA EN PAVIMENTOS FLEXIBLES.....................................39 5.3 DETERIORO DEL PAVIMENTO A TRAVÉS DEL TIEMPO.......................................41 5.4 DETERIORO DE LAS CAPAS DE PAVIMENTO A TRAVÉS DEL TIEMPO..............43 5.5 VARIABILIDAD DEL DISEÑO RACIONAL VS PROBABILIDAD DE FALLA..............44 5.6 CONFIABILIDAD DEL DISEÑO PARA DIFERENTES TRAFICOS............................46 5.7 PROBABILIDAD DE FALLA VS PRESIÓN DE INFLADO..........................................47 5.8 SENSIBILIDAD DEL ESPESOR DE LA RODADURA EN LA CONFIABILIDAD DE PAVIMENTOS............... .............................................................................................48 5.9 CONCLUSIONES.......................................................................................................50 6. CONCLUSIONES.........................................................................................................52 7. ANEXOS.......................................................................................................................54. 8. BIBLIORAFÍA................................................................................................................56. 2.

(4) ICIV 2003 II 33. INTRODUCCIÓN Gracias al último inventario y diagnóstico realizado por el Instituto de Desarrollo Urbano (IDU;2003), fue posible determinar por medio del Indice de Condición del Pavimento (ICP,2003) el estado actual de la malla vial existente en la ciudad de Bogotá D.C (15.346 km), el cuál trajo como resultado que el 32% de la red vial se encuentra en condiciones regulares y el 40% se encuentra en estado malo. Este deterioro temprano se explica principalmente por deficiencias en las actividades de mantenimiento, repavimentación, construcción y fallas en el diseño de la estructura de pavimento (Montejo;1998). Debido a lo anterior, resulta de carácter fundamental implementar medidas eficientes y prácticas, que puedan mejorar el nivel de serviciabilidad y de durabilidad de las vías bogotanas. Históricamente el diseño de las capas de la estructura de pavimento estuvo basado en resultados empíricos (Bush; 2001), lo que implicaba grandes dificultades para los diseñadores en los casos para los cuales las condiciones fueran diferentes a las experimentadas. Por tal razón, fue necesario generar métodos semiempíricos (p.e. Hveem, Texas), y racionales (p.e. Shell, Navy, Instituto del Asfalto). Los primeros, basados en correlaciones de ensayos de laboratorio y teorías; mientras que los segundos soportan su metodología en consideraciones teóricas sobre la distribución de esfuerzos y deformaciones al interior de la estructura. Resultados de investigaciones actuales (Bush, 2001; Yang; 1993; Kenis and Wuang; 2002; Caro y Sánchez; 2003) han demostrado la importancia del efecto de la incertidumbre de los parámetros de diseño (p.e. materiales, tráfico, clima, método constructivo, modelo mecánico) en la durabilidad de las vías, ya que el hecho de suponer estos parámetros como variables determinísticas en el proceso de diseño (ya sea racional o semiempírico), puede generar estructuras sobrestimadas o subestimadas, lo que implica inversiones innecesarias o daños prematuros en las estructuras de pavimento. Por tal razón, el principal objetivo de este proyecto es el de analizar el impacto de la incertidumbre de los parámetros de diseño en la confiabilidad de las estructuras de pavimentos flexibles. 3.

(5) ICIV 2003 II 33. Para desarrollar este objetivo, el proyecto contempla un análisis de incertidumbre de los parámetros de diseño con base en resultados de laboratorio del CITEC (Centro de Innovación Tecnológica de la Universidad de Los Andes). Estos resultados se aplican a un programa (Caro, García; 2001) que cuenta con un modelo mecánico que cuantifica las deformaciones producidas por la aplicación de las cargas generadas por el tráfico y las compara por medio de simulaciones de Monte Carlo con las deformaciones admisibles estipuladas por el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C. El proyecto de grado deja un análisis integral de la variabilidad de los parámetros de diseño para pavimentos flexibles y una aplicación práctica de la confiabilidad de estructuras.. 4.

(6) ICIV 2003 II 33. OBJETIVOS ¾ Definir las fuentes de incertidumbre de los parámetros de diseño para pavimentos flexibles, con el fin de entender cuáles pueden ser evitadas, controladas o aceptadas. ¾ Proponer medidas en los procesos de diseño, construcción y mantenimiento que disminuyan el riesgo de tener un daño prematuro en las estructuras de pavimento flexible. ¾ Determinar la confiabilidad con la que se diseña actualmente las estructuras de pavimento flexible y plantear la relación que existe entre inversión, probabilidad de falla y satisfacción de los usuarios. ¾ Analizar el comportamiento de los pavimentos a través del tiempo y definir el momento oportuno para mantener las vías. ¾ Revisar los conceptos probabilísticos del Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C. ¾ Demostrar el beneficio de implementar análisis probabilísticos en el diseño de pavimentos para mejorar la confiabilidad de las vías bogotanas. ¾ Entender el comportamiento de las estructuras de pavimento flexible frente a las cargas del tráfico y definir cuál es la capa que mayor compromiso tiene con la falla del pavimento. ¾ Conocer las limitaciones de los modelos mecánicos por interpretar el efecto de los esfuerzos producidos por las cargas dinámicas de los vehículos en las deformaciones de las capas internas de los pavimentos.. 5.

(7) ICIV 2003 II 33. METODOLOGÍA Para entender el efecto de la incertidumbre de los parámetros de diseño en la confiabilidad de las estructuras de pavimento flexible dimensionadas por el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C, el proyecto presenta la siguiente metodología: Diseño de Pavimentos: Se hace un recuento histórico del diseño estructural de pavimentos flexibles y se revisa el proceso de diseño recomendado por el Manual de Diseño de Pavimentos para. Bogotá D.C. Con base en esto, se determinan las. desventajas del manual y se hace énfasis en la forma como se maneja el carácter probabilístico de los parámetros de diseño. Análisis de Incertidumbre de Parámetros de Diseño: En esta parte se realiza un análisis integral de la variabilidad de los parámetros de diseño del manual, donde se determinan las principales fuentes de incertidumbre de los parámetros de diseño y las distribuciones de probabilidad que mejor describen estas variables. Confiabilidad Estructural: Se explica la forma y el método de cuantificar la posibilidad que las estructuras fallen por medio de la teoría básica de confiabilidad y las simulaciones de Monte Carlo. Modelación del Problema de Confiabilidad para Pavimentos: Se modela el problema de confiabilidad para pavimentos y se describe el proceso utilizado para calcular la posibilidad que las estructuras de pavimento tengan un deterioro temprano (fallen). Resultados del Cálculo de Probabilidad de Falla en Estructuras de Pavimento Flexible: Se hace un análisis del impacto de diferentes parámetros en la confiabilidad del pavimento.. 6.

(8) ICIV 2003 II 33. CONFIABILIDAD EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL DE PAVIMENTOS. 1. DISEÑO DE PAVIMENTOS. 1.1 HISTORIA DEL DISEÑO DE PAVIMENTOS Desde la época de los Romanos (pioneros en la ingeniería de caminos), el diseño de pavimentos se caracterizaba por fundamentos empíricos basados en el comportamiento histórico de las estructuras realizadas con anterioridad, lo cuál generaba grandes dificultades para los diseñadores en adaptarse a condiciones diferentes a las encontradas en el pasado (IDU, Uniandes, 2000). Por tal razón, a comienzos de la década de los 20 surgieron varios métodos semiempíricos, fundamentados principalmente en correlaciones del tráfico, el espesor de las capas de pavimento y las características del suelo (p.e. método CBR). A su vez, el aumento de las cargas de tráfico trajo como resultado la necesidad de utilizar materiales ligados (p.e. cemento, asfalto), lo cuál llevó a la investigación de principios mecánicos basados en la distribución de esfuerzos y deformaciones (Burmister; 1943) que pudieran entender el comportamiento de las diferentes capas presentes en el pavimento bajo la solicitación de las cargas repetidas del tráfico. Después de la segunda guerra mundial, algunos países Europeos (p.e. Francia) comenzaron a implementar teorías mecanicistas en el diseño de sus pavimentos (De L´Horte; 1948), dando inicio al desarrollo de la metodología racional, que acompañado de las innovaciones tecnológicas dieron como resultado programas de computación (LCPC de Francia; 1964). Estos programas permitieron superar la barrera del análisis para una estructura con más de tres capas, cuyo análisis estaba limitado hasta entonces por la utilización del ábaco. A finales de la década de los 80, el Instituto de Vías de la Universidad del Cauca implementó para el uso en Colombia un programa llamado 7.

(9) ICIV 2003 II 33 DEPAV, capaz de analizar las propiedades mecánicas de la estructura bajo el efecto de cargas repetidas, gracias al empleo del código fuente Alize III. Finalmente la implementación de modelos probabilísticos en los métodos de diseño de estructuras de pavimento surgió a comienzos de la década de los 70 (Lemer y Moavenzadeh, 1971), dando por sentado el comienzo de diferentes investigaciones sobre el tema (Bush, 1999; Yang; 1993; Kenis y Wuang; 2002; Caro y Sánchez, 2003), que mostraron la importancia del efecto de la incertidumbre de los parámetros de diseño (p.e. materiales, tráfico, clima, método constructivo, modelo mecánico) en la confiabilidad de las vías. A su vez demostraron que suponer los parámetros de diseño como variables determinísticas puede conllevar a diseños de estructuras sobrestimadas o subestimadas, lo que implica inversiones innecesarias. o daños prematuros en las estructuras de. pavimento.. 1.2.DISEÑO RACIONAL DE PAVIMENTOS PARA BOGOTÁ D.C El diseño racional de pavimentos es un método para dimensionar la estructura con base en consideraciones teóricas sobre la distribución de esfuerzos y deformaciones en las diferentes capas que conforman el pavimento (Montejo; 1998) Para el caso de la capital Colombiana, existe el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C. (IDU, Uniandes, 2000), el cuál involucra los factores del tráfico, clima, calidad de la construcción, propiedades de la subrasante y capas de pavimento. Para pavimentos flexibles, el método consiste en generar valores. admisibles de las deformaciones. unitarias producidas por los esfuerzos de tensión en las capas asfálticas y las producidas por los esfuerzos de compresión en la subrasante (Figura 1). A su vez, estas deformaciones son modificadas por unos factores que involucran un análisis probabilístico de la variabilidad de los resultados de los ensayos de la ley de fatiga y de la variabilidad de los espesores construidos. Para lograr conseguir el dimensionamiento de la estructura deseada, el método requiere un modelo mecánico que tenga la capacidad de analizar el comportamiento de la estructura (según las propiedades de los materiales de las capas a utilizar), frente a los 8.

(10) ICIV 2003 II 33 esfuerzos producidos por las cargas del tráfico. De esta forma es posible comparar las deformaciones obtenidas por el modelo con las admisibles. εt. rodadura. εt. Base tratada con ligante asfáltico. εz. subbase. SUBRASANTE. Figura 1. Deformaciones críticas en las estructuras de pavimento flexible. 1.3 PARÁMETROS DEL MANUAL DE DISEÑO DE PAVIMENTOS PARA BOGOTÁ D.C Como se mencionó anteriormente, los parámetros de diseño del Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C son el tráfico, el clima, la subrasante, las capas de pavimento y la calidad de la construcción. A continuación se resume la manera como el método trata cada uno de estos parámetros. 1.3.1 Tráfico El método utiliza el modelo exponencial para predecir el número de vehículos pesados acumulados para el año y el carril de diseño:. (i + r ) n − 1 N = TPD × A × B × 365 × Ln (1 + r ). (1). donde: r: tasa anual de crecimiento del tráfico n: período de diseño (años) TPD: tráfico promedio diario en el año de la construcción A: % de vehículos pesados B: % de vehículos que utilizan el carril de diseño N: tráfico pesado acumulado en el carril de diseño para el período de diseño 9.

(11) ICIV 2003 II 33 La tabla 1 presenta la clasificación del tráfico del Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C: Clase de Tráfico. Número Acumulado de Vehículos Pesados. T1. N < 5*105. T2. 5*105 < N < 1,5*106. T3. 1,5*106 < N < 4*106. T4. 4*106 < N < 1*107. T5. 1*107 < N < 2*107. Tabla 1. Definición de clases de tráfico (IDU, Uniandes; 2000). A su vez, el método se caracteriza por convertir el tráfico pesado acumulado (cargas mayores de 3,5 toneladas) de diferente configuración y carga en un tráfico equivalente de ejes estándar. Estos ejes estándar se caracterizan por tener dos ruedas gemelas y una carga de 13 toneladas. La relación de conversión para cada tipo de vehículo pesado se hace a través de un factor denominado coeficiente de agresividad media (CAM), el cuál relaciona la degradación unitaria que produce cada tipo de eje con el eje estándar. 1.3.2 Clima Para efectos del diseño, los módulos de las capas deben calcularse bajo condiciones extremas de temperatura y abundancia de precipitaciones. 1.3.3 Materiales El método requiere el conocimiento de las características mecánicas de los materiales utilizados, tales como el módulo dinámico, relación de Poisson y la ley de fatiga. Los materiales granulares no tratados deben cumplir las especificaciones del INVIAS y se clasifican según su módulo resiliente en tres categorías para tráfico alto y bajo. A su vez, el módulo de una capa se calcula en función de los módulos de las capas que la confinan por medio de la siguiente relación (cada capa debe tener como máximo 25cm): E(i) = K *E (i-1). (2) 10.

(12) ICIV 2003 II 33 Donde: E(i): módulo de la capa de material granular. E(i-1): módulo de la capa que subyace la capa granular i K: factor que depende del tipo de material y se encuentra en el rango [2,3] . Para los materiales asfálticos se requiere conocer la deformación a tracción producida por 106 ciclos de carga, la pendiente que relaciona el esfuerzo con la deformación (ley de fatiga), el módulo dinámico y relación de Poisson. 1.3.4 Resistencia de la Subrasante El método cuenta con una clasificación de la subrasante basada en los siguientes parámetros: ¾ Granulometría y contenido de arcilla ¾ Estado hídrico en el momento de la construcción ¾ Parámetros del comportamiento mecánico (p.e. módulo dinámico) bajo las condiciones hídricas más desfavorables. ¾ Finalmente se hace énfasis en mejorar las propiedades mecánicas de la subrasante en caso que el CBR sea menor a 5, a través de la construcción de una plataforma de soporte. 1.3.5 Carácter Probabilístico El manual incluye un análisis probabilístico que tiene en cuenta la variabilidad del espesor final de las capas de pavimento y la variabilidad de los resultados de laboratorio de ley de fatiga. Asume que el conjunto de dispersiones de estas dos variables obedece a una ley normal centrada y calcula la dispersión total como:. δ =. ⎡ 2 ⎛ C ⎞⎤ 2 ⎢σ N + σ H × ⎜ b ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣. (3). 11.

(13) ICIV 2003 II 33 donde:. σN. : desviación estándar de la ley de fatiga.. σ H : desviación estándar de los espesores finales de las capas en comparación con los espesores de diseño. C : coeficiente dimensional que depende del material que se utilice (recomiendan utilizar C = 0,02). b : pendiente de la ley de fatiga del material considerado. Para. σ N y σ H , el manual utiliza valores bastante generales y sin ninguna sustentación. teórica tales como: Material. σN. Granular-Ligante Asfáltico. 0,3. Granular-Ligante Hidráulico. 1. Arena-Ligante Hidráulico. 0,8. Suelo-Cemento. 0,8. Tabla 2. Valores de la desviación estándar de la ley de fatiga (IDU, Uniandes; 2000). Material. Rango de Espesores (cm). Σ σH. Granular-Ligante Asfáltico. 12 a 20. 2,5 a 3. Granular-Ligante Hidráulico. 15 a 25. 3. Concreto Asfáltico. 6a8. 1. Arena-Ligante Hidráulico. 15 a 25. 2,5. Tabla 3. Valores de la desviación estándar de los espesores finales (IDU, Uniandes; 2000). 1.4 PARÁMETROS DE CONTROL EN PAVIMENTOS FLEXIBLES Los parámetros de control para el diseño de pavimentos descritos en el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C, son la deformación por el efecto del esfuerzo de tensión (εt ) en las bases asfálticas y la deformación por compresión en la base superior de la subrasante (εz) (figura 1). 12.

(14) ICIV 2003 II 33 1.4.1 Deformación en las Capas Asfálticas La deformación a tensión para las capas asfálticas se calcula de la siguiente manera εt = ε6 * (NE / 10 6) b *Kr * Kc *Ks *Kt. (4). donde: ε6: deformación obtenida por la ley de fatiga para un millón de ejes equivalentes. b: pendiente de la recta de la ley de fatiga Ks: factor de reducción que tiene en cuenta la heterogeneidad del suelo de la subrasante y depende directamente de su módulo dinámico [toma valores de (1/1.2) (1/1.1), y (1)] Kc: coeficiente de calibración entre las medidas del laboratorio y los resultados in-situ (1,1 para rodadura y 1,3 para base asfáltica) Kt: parámetro de corrección de temperatura y se calcula de la siguiente manera:. KT =. E (t = 15 0 ) E (t = t Equivalent e ). (5). Kr : es un coeficiente que ajusta la deformación admisible a la probabilidad de falla adoptada para el diseño. Se calcula de la siguiente manera:. Kr =10−uδb. (6). donde. δ : la desviación total de la estructura (Eq. 3). b: pendiente de la ley de fatiga. u: valor de la distribución normal estándar para la probabilidad de falla adoptada por el diseño. Para calcular este parámetro el manual supone que la dispersión total de los parámetros obedece a una distribución normal centrada. Este hecho lo toma de base para. 13.

(15) ICIV 2003 II 33 relacionar un concepto que el manual define cono “probabilidad de falla” con el fractil de la distribución normal (u). El manual propone los siguientes valores de u para las diferentes “probabilidades de falla”: Pf % u. 50 30 25 20 12 10 5 2 0 -0,52 -0,67 -0,84 -1,17 -1,28 -1,65 -2,05. Tabla 4. Valores del fractil (u) de la distribución normal centrada según “probabilidad de falla del diseño” (IDU, Uniandes; 2000). En pocas palabras, para definir u se requiere que el diseñador decida una “probabilidad de falla”, cuyo significado y naturaleza no son claros. 1.4.2 Deformación en la Subrasante La deformación vertical admisible en la subrasante se calcula de la siguiente manera: εz = 0,012 (NE)-0, 222 (tráfico bajo) εz = 0,016 (NE). -0, 222. (tráfico alto). (7) (8). donde NE = Número de ejes equivalentes de 13 ton 1.5 DESVENTAJAS DEL MANUAL DE DISEÑO DE PAVIMENTOS PARA BOGOTA D.C Después de analizar el procedimiento para diseñar estructuras de pavimento flexible descrito por el Manual, es posible identificar algunas desventajas del método: ¾ Requiere de un modelo mecánico confiable que contemple las características mecánicas y físicas de las capas de pavimento y que calcule las deformaciones en la estructura interna producidas por el efecto de las cargas. El modelo debe contar con leyes constitutivas que se ajusten al comportamiento de la estructura. ¾ Utiliza un modelo probabilístico que incluye únicamente las funciones de distribución de probabilidad de las variables aleatorias de la pendiente de la ley de fatiga y del espesor de las capas. Además, se emplea como variable de entrada un parámetro 14.

(16) ICIV 2003 II 33 denominado “probabilidad de falla” que no corresponde a un análisis cuidadoso de la confiabilidad estructural del pavimento. ¾ Ajusta el parámetro de control de la deformación en las capas asfálticas (εt) por medio de unos factores que aparecen sin algún soporte de su obtención. ¾ Propone calcular los módulos para condiciones extremas. Finalmente se resalta la necesidad de implementar en el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C un análisis de incertidumbre confiable de los parámetros de diseño. Con este análisis sería posible determinar factores de seguridad característicos que tengan en cuenta el comportamiento de las funciones de distribución de la las deformaciones admisibles y las reales, ya que los factores recomendados por el manual se caracterizan por tener un falso sentido de la realidad debido a la omisión de variabilidades de parámetros cuyo impacto pueden repercutir en la funcionalidad y vida útil de las vías (p.e tráfico, módulos dinámicos, presión de inflado, radio de carga, etc...). Esto a su vez repercute directamente en la subestimación o sobrestimación de los espesores de los pavimentos. 1.6 CONCLUSIONES El Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C recomienda diseñar las estructuras de pavimento con base en comparaciones entre las deformaciones internas causadas por las cargas dinámicas del tráfico (determinadas por un modelo mecánico) y unas deformaciones máximas admisibles para cada una de las capas presentes en la estructura. Estas deformaciones admisibles son obtenidas mediante los factores de tráfico, propiedades mecánicas de los materiales (ley de fatiga, módulos dinámicos y resilientes), características de la subrasante (p.e. capacidad de soporte) y temperatura. A su vez, el manual utiliza un concepto de “probabilidad de falla”, cuyo objetivo es el de contemplar mediante un factor (Kr) la variabilidad de los resultados de la ley de fatiga y la variabilidad entre los espesores finales y los diseñados. El problema de este factor es que se soporta en el concepto de “probabilidad de falla”, cuya naturaleza y significado son poco claros. Otro problema del factor, es que solo incluye las variabilidades de dos. 15.

(17) ICIV 2003 II 33 parámetros, lo cuál hace parecer que son los únicos que repercuten en la confiabilidad del pavimento. A continuación se revisa la importancia de incluir las variabilidades de otros parámetros (p.e. tráfico, módulos dinámicos, espesores) en el diseño de pavimentos y se analiza la relación entre el concepto de “probabilidad de falla” con la confiabilidad de la estructura de pavimento. Para lograr estos objetivos se debe partir de un análisis sobre la naturaleza variable de los factores de diseño.. 16.

(18) ICIV 2003 II 33. 2. ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE DE PARÁMETROS DE DISEÑO. 2.1 FUENTES DE INCERTIDUMBRE Un análisis integral de las variabilidades de los parámetros de diseño y de su efecto en la durabilidad y serviciabilidad de los pavimentos carece de sentido para el caso en que no se conozca las posibles fuentes de su aleatoriedad, pues imposibilitaría el establecimiento de planes para reducir su impacto en la confiabilidad de las vías. Debido a esto, se mostrarán las principales causas de incertidumbre para las principales variables de diseño. 2.1.1 Tráfico Las principales fuentes de incertidumbre para la estimación del número de vehículos pesados acumulados son: ¾ Cálculo del tráfico promedio diario (TPD). ¾ Cálculo del porcentaje de vehículos con capacidad de transportar cargas mayores a 35 KN (vehículos pesados). ¾ Cálculo del porcentaje de vehículos pesados que transitan por el carril de diseño. ¾ Estimación de la función de crecimiento del tráfico y tasa anual de crecimiento. ¾ Cálculo del coeficiente para convertir el número de vehículos acumulados en ejes estándar equivalentes (Para el caso del Manual de Diseño para Bogotá el eje es de 13 toneladas). Lo cuál se encuentra asociado con el análisis que relaciona el daño producido por los esfuerzos transmitidos por los distintos ejes con el daño ocasionado por el eje estándar de 13 toneladas.. 17.

(19) ICIV 2003 II 33 ¾ Cálculo del tráfico atraído y generado. 2.1.2. Materiales. La estimación de las propiedades mecánicas y físicas de los materiales presentes en las capas de pavimento cuentan con las siguientes fuentes de incertidumbre: ¾ Variabilidad de los ensayos de granulometría y densidad de los agregados presentes en las capas granulares tratadas con ligante asfáltico. ¾ Las propiedades mecánicas de los materiales pueden verse afectados por las condiciones climáticas en el momento de la pavimentación de la vía. ¾ Los módulos dinámicos de las capas asfálticas son alterados por la variabilidad de las condiciones climáticas, ya que a mayores temperaturas los materiales son susceptibles a disminuir su resistencia. ¾ Existe una importante variabilidad en los resultados de ensayos de fatiga para probetas tomadas de la misma mezcla asfáltica. ¾ Variabilidad de los espesores diseñados con los realizados en el terreno por falta de controles de calidad en obra, precisión de la maquinaria, condiciones ambientales, compactación, etc.. ¾ Variabilidad en las condiciones de liga supuestas en el diseño y las desarrolladas en obra.. 2.1.3 Subrasante ¾ Variabilidad de la capacidad portante de la subrasante por la presencia de agua. ¾ Variabilidad del módulo resiliente de la subrasante por el efecto de la Variabilidad de las características mecánicas de la capa superior de confinamiento. 18.

(20) ICIV 2003 II 33. ¾ Variabilidad de los ensayos de laboratorio de módulos resilientes. ¾ Variabilidad espacial de los suelos de subrasante en el terreno.. 2.1.4. Modelo Mecánico. ¾ Variabilidad entre el análisis elástico realizado por los modelos mecánicos con las respuestas de los materiales asfálticos, ya que por el hecho de ser viscosos responden de una manera más acertada a modelos viscoelásticos, hipoplásticos (Caro; 2000), etc.. ¾ Variabilidad en el nivel de precisión. ¾ Variabilidad en la interpretación de resultados por el operador, ya que personas distintas pueden suponer o modelar las condiciones de una manera diferente.. 2.2 ANALISIS ESTADÍSTICO DE LA INCERTIDUMBRE 2.2.1 Módulo Dinámico El módulo dinámico (E) se define como el valor absoluto de la relación entre esfuerzo y deformación para un material viscoelástico lineal bajo la aplicación de una carga sinusoidal. El análisis del comportamiento aleatorio del módulo dinámico en las mezclas asfálticas, se obtuvo mediante resultados obtenidos en el año 2003 en el Centro de Innovación y Desarrollo Tecnológico de la Universidad de los Andes (CITEC) para la mezcla MDC-2 tomada del tramo 2 de la vía Unión Temporal Américas (UTA). Los ensayos de laboratorio se realizaron bajo la aplicación de un esfuerzo de compresión axial sinusoidal (medio seno inverso) para frecuencias de 1,4, 8 y 16 Hertz. para 19.

(21) ICIV 2003 II 33 temperaturas de 21 y 40 Co, ya que para temperaturas de 5 Co los resultados no eran válidos para la muestra. El resumen de los resultados obtenidos se muestra en la tabla 5, donde se puede observar que la variabilidad del módulo crece para mayores temperaturas y decrece para mayores frecuencias.. Temperatura (C) Frecuencia (Hertz) 21. 40. Media (Kg/cm2). Desviación Estándar. Coef. Variación. 1. 23260,9. 15105,5. 65%. 4. 30341,8. 14816,4. 49%. 8. 34222,1. 14394,6. 42%. 16. 41125,9. 15136,1. 37%. 1. 6604,8. 4067,8. 62%. 4. 8643,6. 5746,2. 66%. 8. 10093,4. 6407. 63%. 16. 12293,9. 7547,1. 61%. Tabla 5. Análisis estadístico para 80 resultados de valores de módulo dinámico para la mezcla MDC-2. Para determinar la función de densidad de probabilidad que mejor de adapta al comportamiento aleatorio del módulo dinámico se debe recurrir a pruebas estadísticas (p.e Kolmogorov-Smirnov, Chi Square Test, etc..). Para este caso se utilizó el programa Arena, cuyo resultado basado en la función del error cuadrado (Anexo 1) indica que las funciones que mejor se adaptan son Beta y Gamma.. 20.

(22) ICIV 2003 II 33 La Figura 2 muestra el comportamiento aleatorio del módulo dinámico:. 18 16 14. # Ensayos. 12 10 8 6 4 2. 70000. 65000. 60000. 55000. 50000. 45000. 40000. 35000. 30000. 25000. 0. Módulo Dinámico (Kg/cm2). Figura 2. Histograma de 80 resultados del módulo dinámico para una frecuencia de 16 Hertz y una temperatura de 21Co. 2.2.2 Ley de Fatiga Básicamente la ley de fatiga determina la deformación a tracción de la muestra asfáltica para diferentes números de carga. El resultado de este ensayo es una gráfica de esfuerzo o deformación a tensión vs el número de ciclos de carga. Esta curva se caracteriza a través de su pendiente (b) y del esfuerzo (σ6) o deformación (ε6) que corresponde a un millón de ciclos de carga. El análisis del comportamiento aleatorio de la pendiente de la ley de fatiga y la deformación para un millón de ciclos se obtuvo mediante resultados obtenidos en el 2003 por el Centro de Innovación y Desarrollo Tecnológico de la Universidad de los Andes (CITEC).. 21.

(23) ICIV 2003 II 33 Los ensayos de laboratorio se realizaron par la mezcla MDC-2, para una temperatura de 20 Co y bajo una frecuencia de 10 Hertz. El resumen de los resultados obtenidos para la deformación ε6 y la pendiente b, se resume en la Tabla 6 Frecuencia. 10 Hertz. Temperatura. 20 Co. Media. Desviación Estándar. Coeficiente de Variación. ε6. 1,520E-04. 4,262E-05. 28%. b. -2,819E-01. 9,777E-02. -35%. Tabla 6. Análisis estadístico para 48 resultados de ensayos de Ley de fatiga para la mezcla MDC-2. La Figura 3 nos muestra el comportamiento de la variable aleatoria ε6,. Los resultaos de la prueba estadística (Anexo 1) muestran que la función de densidad de probabilidad que mejor describe la situación es la normal.. 9 8 7. # Ensayos. 6 5 4 3 2 1. 2,1E-04. 1,9E-04. 1,7E-04. 1,5E-04. 1,3E-04. 1,1E-04. 0. Deformación para un millón de ciclos. Figura 3. Histograma de 48 resultados de ley de fatiga para ε6. 22.

(24) ICIV 2003 II 33 Por otro lado, la Figura 4 muestra el comportamiento de la pendiente de la ley de fatiga (b). Los resultados de la prueba estadística (Anexo 1) muestran que la función de densidad de probabilidad que mejor describe la situación es la triangular y la normal.. 18 16 14 12. # de ensayos. 10 8 6 4. -0,48. -0,44. -0,40. -0,36. -0,32. -0,28. -0,24. -0,20. 0. -0,16. 2. Pendiente de la Ley de fatiga. Figura 4. Histograma de 48 resultados de la pendiente de la ley de fatiga.. 2.2.3 Módulo Resiliente Las propiedades mecánicas de los materiales granulares se caracterizan por tener un comportamiento no lineal, lo cual implica que estas características se encuentran correlacionadas con el espesor y rigidez de las capas de confinamiento (IDU, Uniandes; 2000). Debido a esto, el análisis del comportamiento del material bajo la aplicación de cargas repetidas debe contar con una modelación de su estado de confinamiento (p.e. máquinas triaxales), lo cuál trae implícito que la variabilidad de los resultados obtenidos depende en gran medida de la variabilidad de las características físicas y mecánicas de las capas aledañas. En la práctica, se han determinado los siguientes rangos probables de la relación entre los módulos de las capas granulares (Manual de Microzonificación Sísmica; 1996): 23.

(25) ICIV 2003 II 33. Ei / E i+1 = Ki. (9). Donde 1 < Ki < 6. (10) Capa Granular i. Subbase Granular i +1. Ei. E i+1. Subrasante Figura 5. Módulos de las capas de la estructura de pavimento flexible. Resultados de Shell (Manual de Microzonificación Sísmica; 1996) proponen para estructuras tricapa la siguiente relación de módulos: E2 = 0,2 h0,45 *E3.. (11). Donde: h = Altura de la capa granular (mm). E = Módulos resilientes ( 2 < E2/E3 < 4). Capa Tratada. h. ∞. Subbase Granular. Subrasante. E2. E3. Figura 6. Módulos de las capas de la estructura de pavimento flexible. Para analizar el comportamiento variable del módulo resiliente de la subrasante, se utilizaron los resultados de ensayos de frecuencia del módulo realizados por Darter (1973) 24.

(26) ICIV 2003 II 33 y los resultados de ensayos elaborados en el Centro de Innovación tecnológica de la Universidad de los Andes para presiones de confinamiento de 1.4 Kg/cm2, 1.05 Kg/cm2, 0.7 Kg/cm2, 0.35 Kg/cm2 y 0.07 Kg/cm2 y esfuerzos desviadores de 0.074 Kg/cm2, 0.141 Kg/cm2, 0,362 Kg/cm2, 1.092 Kg/cm2 y 1.454 Kg/cm2. La Figura 7 muestra los resultados obtenidos del módulo resiliente de la subrasante. Los resultados de la prueba estadística del error cuadrado (Anexo 1) muestran que la función de densidad de probabilidad que mejor se adapta es la normal.. 1008,70. 939,13. 869,57. 800,00. 730,43. 660,87. 0. 591,30. 35 30 25 20 # Ensayos 15 10 5. Módulo Resiliente. Figura 7. Frecuencia de módulo resiliente de la subrasante. La Tabla 7 muestra los parámetros de la distribución normal del módulo resiliente de la subrasante Media (kg/cm2) Desviación Estándar Coeficiente de Variación 790,93. 123,38. 15,6%. Tabla 7. Parámetros de la distribución normal del módulo resiliente. Para realizar el análisis estadístico del módulo resiliente de la subbase se utiliza la ecuación (11):. µ E 2 = 0,2 × h 0, 45 µ E 3. (12). 25.

(27) ICIV 2003 II 33. σ E 2 = 0,2 × h 0, 45 × σ E 3. (13). Para h = 25 cm se tiene,. µ E 2 = 0,2 × 250 0, 45 790,93 = 1897,75. (14). σ E 2 = 0,2 × 250 0, 45 × 123,38 = 296,03. (15). Coeficiente de Variación =. σ E2 = 15,6% µE2. (16). La Tabla 8 muestra los parámetros de la distribución de la subbase para una capa de 25 cm: Media (kg/cm2). Desviación Estándar Coeficiente de Variación. 1897,75. 290,03. 15,6%. Tabla 8. Parámetros de la distribución de la capa de subbase (25cm). Resultados de ensayos (AASHTO;1985), han demostrado que el módulo resiliente de la subbase puede afectarse hasta un 10% por la presencia de agua en la estructura. Este hecho implica que se debe modificar el coeficiente de variación obtenido anteriormente para la subbase. Por lo tanto, el coeficiente de variación total se calcula de la siguiente forma:. %VariaciónTotal =. [(%VariaciónI ). 2. + (%VariaciónA). 2. ]. (17). donde: % VariaciónI: es el coeficiente de variación obtenido anteriormente (Eq 16). % VariaciónA: es el coeficiente de variación del módulo por presencia de agua en la estructura. Por lo tanto %VariaciónTotal =. [(15,6). 2. ]. + (10 ) = 18,5% 2. (18). La tabla 9 muestra los parámetros finales de la distribución de la subbase para una capa de 25 cm::. 26.

(28) ICIV 2003 II 33 Media (kg/cm2) Desviación Estándar Coeficiente de Variación 1897,75. 351,66. 18,5%. Tabla 9. Parámetros de la distribución de la capa de subbase 25cm). 2.2.4 Tráfico El comportamiento del tráfico es una variable con la cuál nunca se tiene completa certeza. A manera de ejemplo, en los últimos 10 años el aumento vehicular en Colombia ha aumentado más del doble, pasando de 1,13 millones en 1991 a 2,01 millones en el 2002. A su vez, la dinámica de crecimiento mantuvo una tasa promedio del 7,6% interanaual entre los años 1991-1998, pasando al 2,4% para los siguientes años (debido a desaceleración económica). Por esta razón, no es de extrañarse la magnitud de variabilidad que este parámetro pueda llegar a tener. Existen diferentes funciones para el cálculo del número acumulado de vehículos que transitarán en el carril y período de diseño. Para el caso bogotano, el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C propone la siguiente función, la cuál utiliza un modelo exponencial para proyectar el tránsito:. ⎡ (1 + r )n − 1⎤ NE = TPD × X × Y × 365 * ⎢ ⎥ × CAM ⎣ Ln(1 + r ) ⎦. (19). Donde: TPD: Tráfico Promedio Diario. X: Porcentaje de vehículos pesados. Y: Porcentaje de vehículos pesados que utilizan el carril de diseño n: Tasa de crecimiento anual del tráfico (incluye tráfico atraído y generado) CAM: Coeficiente de agresividad (factor para convertir a ejes estándar de 13 toneladas) Resultados de estudios (AASHTO; 1985) han demostrado que las variabilidades de los parámetros utilizados para el cálculo del número de vehículos proyectado (utilizando el modelo exponencial) es el siguiente:. 27.

(29) ICIV 2003 II 33. Parámetro. Coeficiente de Variación. TPD. 15%. % Vehículos Pesados. 10%. Modelo de Crecimiento. 10%. Factor de Conversión (CAM). 35%. Promedio de ejes por Camión. 10%. Tabla 10. Coeficientes de Variación para Tráfico (AASHTO,1985). El coeficiente de variación total se calcula de la siguiente forma:. COVTOTAL =. [(0,35). 2. ]. + (0,10 ) + (0,10 ) + (0,15) + (015) + (0,10 ) = 0,418 2. 2. 2. 2. 2. (20). 2.2.5 Espesor de las Capas La variabilidad entre los espesores de diseño y los realizados en el terreno depende del espesor total de cada capa, ya que desde el punto de vista constructivo es más factible obtener coeficientes de variación mayores para capas delgadas. El hecho anterior se soporta por resultados empíricos (Darter; 1973) que muestran que la variable aleatoria del espesor de la rodadura se distribuye normalmente con un coeficiente de variación del 15%. Por otro lado, la variable aleatoria del espesor de la base y la subbase se distribuye normalmente con un coeficiente de variación del 10% (Sherman; 1971).. 28.

(30) ICIV 2003 II 33. 100 80 # de Ensayos. 60 40. 11,2. 10,7. 10,2. 9,7. 9,1. 8,6. 8,1. 7,6. 7,1. 6,6. 6,1. 5,6. 0. 5,1. 20. Espesor de Rodadura. Figura 8 (Darter; 1973). Frecuencia de distribución del espesor de la rodadura para 1100 ensayos para un espesor de diseño de 8 cm.. 2.3 CONCLUSIONES El análisis anterior demuestra que los parámetros de diseño cuentan con fuentes de incertidumbre que hacen imposible designar un valor fijo a cada parámetro. Este hecho implica que los parámetros para determinar las deformaciones admisibles del Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C tienen un carácter aleatorio. Para entender el efecto de la variabilidad de las deformaciones admisibles en la probabilidad de que los pavimentos tengan un deterioro temprano (falla), es necesario diseñar un modelo matemático que describa la situación de falla y que contemple la aleatoriedad de las deformaciones admisibles y solicitadas. A continuación se describe la teoría básica de confiabilidad estructural.. 29.

(31) ICIV 2003 II 33. 3. CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL. 3.1 TEORÍA BÁSICA DE LA CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL A pesar de que todos los diseños en ingeniería se realizan para satisfacer diferentes necesidades para un tiempo y recursos limitados, siempre existe la posibilidad de que las estructuras fallen. Este hecho se debe en gran medida a las limitaciones de los diseños en su intento por acercarse a la realidad, ya que existen numerosas fuentes de incertidumbre asociadas a los parámetros y condiciones de diseño para las estructuras (ver Análisis de Incertidumbre). La posibilidad de que las estructuras fallen se cuantifica de la siguiente forma (Sánchez ;2003):. p f = p ( R − S ≤ 0). (21). p f = p[G ( R , S ) ≤ 0 ]. (22). donde, R : variable aleatoria de resistencia. S: variable aleatoria de la solicitación. G: función de estado límite. Lo anterior indica que la probabilidad de falla es igual a la a la probabilidad de violación de la función estado límite con función de densidad de probabilidad conjunta:. p f = p ( R − S ≤ 0) =. ∫∫ f. RS. ( r , s ) drds. (23). D. Donde la zona de integración D está definida por la región en la cuál ocurre la falla. Para el caso en que R y S sean variables independientes la ecuación queda de la siguiente forma:. 30.

(32) ICIV 2003 II 33. p f = p ( R − S ≤ 0) =. ∫∫ f. R. ( r ) f S ( s ) drds. (24). D. A su vez, si la función de densidad de probabilidad acumulada de una variable X está definida por: x. FX ( x ) = p ( X ≤ x ) =. ∫f. X. (t ) dt. (25). ( x ) f S ( x ) dx. (26). −∞. Entonces, ∞. p f = p ( R − S ≤ 0) =. ∫F. R. −∞. La ecuación (26), se conoce como la ecuación de convolución y su significado se describe en la Figura 9.. FR(x),fS(x). fS(x). FR(x). 1.0 P(x < a) = FR(a). P(x<a<x+ ∆ x) ≈ fS (a); ∆ x→ 0 0.0. x=a. X. Figura 9. (Sánchez, 2002). Problema básico de la confiabilidad.. FR(x) es la probabilidad de que R < x, lo cuál es la probabilidad de que la resistencia de la estructura tome un valor menor o igual a x. Por otro lado, fS(x) es la probabilidad de que la solicitación tome un valor entre x y (x+∆x) cuando ∆x se aproxima a 0. Con lo cuál el término FR ( x ). f S ( x ) describe. la situación para la cuál la solicitación supera la. resistencia. En la mayoría de las aplicaciones prácticas las funciones de resistencia y solicitación dependen de un conjunto de variables descritas mediante el vector. v X = ( X 1 , X 2 , X 3 ,... X n ) .. (27) 31.

(33) ICIV 2003 II 33 Por ejemplo. v R ( X ) = ( X 1 , X 2 , X 3 ,... X k ). y. v S ( X ) = ( X k +1 , X k + 2 , X k + 3 ,... X n ) .. Por lo tanto, si el conjunto de variables básicas del sistema está definido por el vector. v X = ( X 1 , X 2 , X 3 ,... X n ) la función de estado límite puede expresarse como:. G = ( X 1 , X 2 , X 3 ,... X n ) = 0. (28). La función conjunta de distribución de probabilidad acumulada debe obtenerse mediante un proceso de integración múltiple sobre las variables básicas. Como ejemplo, para la resistencia:. FR ( r ) =. ∫ .. .. ∫ D. f XrR ( x r ) dx. donde, D es el rango de integración y. (29). r X R es. el conjunto de variables que definen la. resistencia. Finamente La función de estado límite de todo el sistema se puede definir. r. como G ( X ) = 0 y la probabilidad de falla del sistema se calcula como:. r p f = p[G( X ) ≤ 0] = ∫ .. donde,. r f Xr (x) es. r G ( X )≤0. r v ..∫ f Xr ( x)dx. (30). la función de densidad de probabilidad conjunta para el vector de. variables básicas en el espacio n- dimensional. r X.. Rara vez la solución de la ecuación (30) es analítica, por lo que es necesario recurrir a análisis por métodos aproximados como FOSM/SORM o por métodos de simulación (p.e. Monte Carlo). 3.2 CONCLUSIONES La teoría de la confiabilidad puede ser aplicada a cualquier tipo de estructura, ya que el único requisito es definir la función de estado límite de la resistencia y la solicitación. Para el caso de pavimentos, la resistencia de la estructura puede representarse mediante la deformación admisible en cada capa, mientras la solicitación de la estructura se puede representar mediante la deformación producida por las cargas dinámicas del tráfico.. 32.

(34) ICIV 2003 II 33 Antes de profundizar en la definición de las funciones de resistencia y solicitación, es fundamental entender el proceso para resolver la función de densidad de probabilidad conjunta. A continuación se describe la teoría de las simulaciones de Monte Carlo. 3.3 SIMULACIÓN DE MONTE CARLO La historia de la simulación se remonta 5000 años atrás con un juego de guerra Chino llamado weich´i , que a su vez fue utilizado por los Prusianos (1780) para entrenar a su ejercito. Más adelante, en la segunda guerra mundial, el matemático Von Neuman desarrolló un nuevo concepto, Simulaciones de Monte Carlo, que utilizó en su laboratorio ubicado en Alamos (Nuevo México; USA), para resolver problemas físicos asociados con los neutrones. La naturaleza aleatoria del comportamiento de los neutrones lo llevó a utilizar la rueda de la ruleta, lo que lo llevó a darle el nombre de Monte Carlo, mostrando la relación entre los juegos de azar y el carácter aleatorio y estadístico de la simulación. Gracias a los estudios realizados por Neuman y a los avances tecnológicos, el método se desarrolló hasta convertirse en una herramienta fundamental para todo tipo de áreas donde exista carácter aleatorio. Básicamente la simulación de Monte Carlo se puede resumir en los siguientes pasos: ¾ Definir el problema en términos de todas las variables aleatorias. ¾ Determinar los parámetros de las funciones de distribución de probabilidad para cada variable aleatoria. ¾ Generar valores aleatorios para cada variable. ¾ Aplicar la función de distribución inversa a cada variable por medio de los valores aleatorios y los parámetros de la función de distribución de probabilidad (para el caso de la distribución normal estándar, la media y la desviación estándar). ¾ Resolver el problema determinísticamente para cada conjunto de variables que representen el escenario. ¾ Extraer información probabilística y estadística de los resultados. ¾ Determinar la eficiencia y la precisión de la simulación. En el caso de no contar con programas de computación que tengan funciones generadoras de números aleatorios, se puede utilizar el procedimiento de la transformada 33.

(35) ICIV 2003 II 33 inversa, ya que la función de distribución de una variable aleatoria X está definida en el rango [0,1] (p.e. Fx ( x i ). = u i ; u i ∈ [ 0,1]) ) lo cuál lleva a resolver para x i :. x i = f X−1 (u i ). (31). El análisis estadístico de los resultados obtenidos de la simulación se lleva a cabo por medio de los resultados obtenidos para cada conjunto de datos que representan el problema y que fueron analizados determinísticamente. Por lo tanto para N simulaciones la probabilidad de falla se calcula de la siguiente manera:. r n(G ( x )) ≤ 0 pf = (32) N r donde n(G ( x )) es el número de simulaciones para las cuales es resultado es una falla en el sistema.. 34.

(36) ICIV 2003 II 33. 4. MODELACION DEL PROBLEMA DE CONFIABILIDAD PARA PAVIMENTOS. 4.1 CONFIABILIDAD EN PAVIMENTOS Debido a que los pavimentos cuentan con una estructura mullticapa, la falla de toda la estructura sucederá en el momento que cualquiera de sus capas falle. Este hecho se puede modelar mediante un sistema en serie, para el cuál se tiene la siguiente ecuación para n componentes (capas): n. p f = 1 − ∏ (1 − p fi ). (33). i =1. donde:. p i es la probabilidad de falla de la capa i del pavimento p f es la probabilidad de falla de toda la estructura Para evaluar la probabilidad de falla de cada capa ( p i ) se utilizara la ecuación (32). r n(G ( x ) ≤ 0) pf = N. (32). donde. v G (x ) : es la función de estado límite v n(G ( x )) : es el número de simulaciones para las cuales la capa falla N: es el número total de simulaciones Para propósitos de este proyecto la función de estado límite para cada capa se define de la siguiente forma:. G ( R − S ) = Ri ( z ) − S i ( z ). (34). donde: Ri (Z) es el parámetro de la resistencia y Si (Z) el de la solicitación para la capa i a una profundidad z.. 35.

(37) ICIV 2003 II 33 La resistencia de las capas asfálticas estará determinada por las deformaciones máximas admisibles a tensión en la base (Figura 1) y la resistencia de la subrasante. estará. determinada por la deformación máxima admisible por compresión. La deformación admisible se calculará de misma forma como lo evalúa el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C (Eq. 4) bajo la modificación de cambiar los parámetros de corrección de incertidumbre por ξ [variable aleatoria con media 1 y desviación estándar 0,22 cuyo objetivo es el de tener en cuenta la incertidumbre por temperatura (Caro, Sánchez; 2003)] ya que alterarían la confiabilidad del pavimento. Por lo tanto, la ecuación de resistencia queda de la siguiente forma: b. ⎛ N ⎞ Ri ( z ) = ε 6 ⎜ 6 ⎟ ξ ⎝ 10 ⎠. (35). Por otro lado, la solicitación depende únicamente de la deformación máxima producida por la carga de un eje estándar (esta carga es aleatoria), así que es posible definir la solicitación como una variable aleatoria Ki (donde i es la capa). Finalmente la función de estado límite puede reescribirse como: b. ⎛ N ⎞ G (R − S ) = ε 6 ⎜ 6 ⎟ ξ − K i ⎝ 10 ⎠. (36). 4.2 DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE FALLA EN PAVIMENTOS FLEXIBLES Con base en la modelación anterior y en los resultados del análisis estadístico, el procedimiento para determinar la probabilidad de falla de los pavimentos flexibles se resume en la tabla 11. Este procedimiento se llevó a cabo bajo el programa “Prediseño de Estructuras de Pavimento (Caro, García; 2001).. 36.

(38) ICIV 2003 II 33. Determinar los parámetros de distribución para cada variable aleatoria del diseño. Generar números aleatorios para cada variable (Eq. 31). Aplicar la función de distribución inversa a los números aleatorios con los parámetros de distribución de cada variable.. Encontrar las deformaciones máximas solicitadas (modelo mecánico DEPAV) para cada capa utilizando los parámetros determinados en el punto anterior. Solucionar la función de estado límite (Eq. 36) para el número de iteraciones requeridas. Determinar el punto anterior para cada capa. Determinar la probabilidad de falla de toda la estructura (Eq.33). Tabla 11. Procedimiento para determinar la probabilidad de falla de la estructura. 37.

(39) ICIV 2003 II 33. 5. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE FALLA EN ESTRUCTURAS DE PAVIMETO FLEXIBLE. 5.1 PARAMETROS CONSIDERADOS EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD DE FALLA DEL PAVIMENTO FLEXIBLE Los parámetros de las distribuciones (σ y µ) y las funciones de densidad de probabilidad de los distintos factores de diseño se determinaron en el Capítulo 2, e cuál demostró que la gran mayoría de las variables de diseño se distribuyen normalmente. Para efectos del cálculo de confiabilidad de los pavimentos, la distribución de las variables del tráfico y el espesor de materiales se supone lognormal, ya que las atas variabilidades generaban valores negativos para estos factores. Las Tablas 12, 13 y 14 resumen los parámetros y las funciones de densidad de probabilidad para cada variable de diseño: Parámetro. Distribución de Probabilidad. Tráfico. Lognormal. Módulos de los Materiales. Normal. ε6, deformación para un millón de. Normal. ciclos de carga Espesor de las capas. Lognormal. Radio de Carga. Normal. Presión de inflado. Normal. Tabla 12. Parámetros considerados en el cálculo de la probabilidad de falla del pavimento. 38.

(40) ICIV 2003 II 33. Modulo E. Material. %. Espesor σ. Esp.Aprox. (kg/cm2) Variación (kg/cm2). (cm). Fatiga %. σ. Variación (cm). e6. %. σ. (kg/cm2). Variación. (kg/cm2). 28. 4,27*10-5. 28. 2,24*10-5. Rodadura. 41100. 37. 15216. 7. 15. 1.05 1,52*10-4. Base. 90000. 38. 34200. 25. 10. 2,5. 3000. 18,5. 555. 30. 10. 3. 800. 15,6. 124,8. 8*10-5. Asfáltica Base. ------------- -------------- -------------. Granular Subrasante. ------------ ------------ ------- ------------ ------------- -----------. Tabla 13. Parámetros de los materiales considerados en el cálculo de la probabilidad de falla del pavimento. Parámetro. % Variación. σ. 41,8. 2,5*106. 6,492. 10. 0,649. Radio de Carga (cm). 12,5. 10. 1,25. Pendiente de la Ley de Fatiga. -0,28. -----------------. -----------------. Relación de Poisson. 0,35. -------------------. -------------------. Tráfico. Media 6*10. 6. (número de vehículos pesados ) 15 años Presión de Inflado (kg/cm2). Tabla 14. Parámetros considerado en el cálculo de la probabilidad de falla del pavimento. 5.2 PROBABILIDAD DE FALLA EN PAVIMENTOS FLEXIBLES El diseño determinístico propuesto por el Manual de Diseño de Pavimento para Bogotá D.C para un tráfico de 6 millones (proyectado a 15 años) de vehículos pesados, una “probabilidad de falla” del 20% (Capítulo 2) y características mecánicas de los materiales y subrasante igual a la media de las Tablas anteriores, tiene como resultado la siguiente estructura: 39.

(41) ICIV 2003 II 33. 7 cm. Rodadura. 25 cm Base tratada con ligante asfáltico 30 cm Subbase SUBRASANTE. Figura 10. Estructura de pavimento obtenida por el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá. La probabilidad de falla de esta estructura utilizando los parámetros y distribuciones de las variables de diseño mostradas en las Tablas anteriores se muestra en la Figura 11. Esta Figura muestra que la probabilidad de falla de la estructura de pavimento flexible (para 15 años) es de 62,3%.. 0,7 0,6 0,5. Probabilidad de 0,4 falla 0,3 0,2 0,1 0 Estructura. Rodadura. Base asfáltica. Subbase Subrasante. Capas. Figura 11. Probabilidad de falla de la estructura de pavimento flexible (15 años). 40.

(42) ICIV 2003 II 33 Este hecho muestra que lo más probable, es que la estructura tenga un deterioro temprano a lo largo de sus 15 años de vida. En este punto es fundamental determinar cuál es la relación entre probabilidad de falla e inversión con la cuál se debe diseñar, o en pocas palabras cuál es el riego de falla de pavimentos que se está dispuesto a asumir. La respuesta a esta pregunta depende de la aversión al riesgo y las posibilidades económicas de las partes comprometidas a la vía. En términos generales, una estructura debe tener al menos una confiabilidad del 75% a lo largo de su vida de diseño, lo cuál indica que la probabilidad de falla del 62,5% sobrepasa cualquier límite aceptable. Otra conclusión que puede obtenerse del análisis anterior, es que la falla de la estructura se encuentra comprometida por la base asfáltica (probabilidad de falla de 58%), puesto que la probabilidad de falla de la subrasante y la capa de rodadura no supera el 7%. La probabilidad de falla de la capa granular subbase es 0%, ya que para estas capas no se tiene parámetros mecánicos de control. 5.3 DETERIORO DEL PAVIMENTO A TRAVÉS DEL TIEMPO Conocer el proceso de deterioramiento de un pavimento a lo largo de su vida de diseño, es fundamental para implementar planes de mantenimiento oportunos, los cuáles puedan prevenir el daño completo de la estructura y de esa forma garantizar el nivel de serviciabilidad de la vía. Para conocer el proceso de deterioramiento, se calculó la probabilidad de falla de la estructura para 1,5,10,15,20 y 30 años, lo cuál trajo el siguiente resultado: Años. Prob falla. 1 5 10 15 20 30. 11% 35% 52% 62% 72% 85%. Tabla15. Probabilidad de falla a través del tiempo. 41.

(43) ICIV 2003 II 33. 0,9 Probabilidad de Falla. 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. Años. Figura 12. deterioro del pavimento a través del tiempo. El análisis anterior muestra que la probabilidad de deterioramiento temprano (falla) del pavimento para los primeros 5 años es del 35%, lo cuál alcanza el límite máximo planteado anteriormente. Para solucionar este problema se pueden desarrollar dos alternativas: 1. Aumentar el espesor de diseño de las capas del pavimento para reducir la probabilidad de falla. 2. Mantener la estructura de pavimento cada 5 años, lo cuál implica mantener la vía 3 veces a lo largo de su vida de diseño. A su vez, el análisis anterior es determinante para determinar, desde el punto de vista financiero, el momento oportuno para mantener el pavimento, ya que el costo de mantenimiento depende del nivel de daño de la estructura.. 42.

(44) ICIV 2003 II 33 Para determinar este momento oportuno, debe calcularse el valor esperado de inversión en mantenimiento para cada año, el cuál se define de la siguiente forma:. VE i = PFi × Inversión. i. (37). donde: i: año para el cuál se evalúa el valor esperado VE: valor esperado Pf: probabilidad de falla Inversión: costo del mantenimiento Por lo tanto, el valor esperado de inversión para el año i que tenga menor valor, es el que determina el momento oportuno de inversión. Para el caso en que se quiera realizar varios mantenimientos a través del tiempo, se puede utilizar el concepto anterior aplicado en árboles de decisión, los cuáles deben describir todas las opciones posibles de mantenimiento (p.e. mantengo en el año 5 y 10 ó en el 2 y 14, etc..).. 5.4. DETERIORO DE LAS CAPAS DE PAVIMENTO A TRAVÉS DEL TIEMPO La Figura 13. muestra el deterioro de las capas más afectadas de la estructura de. pavimento con el transcurso del tiempo. La probabilidad de falla de la base asfáltica para 30 años es 8 veces mayor que la probabilidad de falla de la subrasante. A su vez, la capa de la subrasante tiene un excelente comportamiento los primeros 10 años, representado en una probabilidad de falla menor al 1%. Este análisis indica que las actividades de mantenimiento para los 15 años después de construir el pavimento pueden enfocarse en la base asfáltica. Lo que implica que el cálculo del valor esperado (Eq. 37) de mantenimiento depende de la inversión que deba hacerse para mejorar las propiedades mecánicas de la capa asfáltica de la base. 43.

(45) Probabilidad de Falla. ICIV 2003 II 33. 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%. Base Asfáltica Subrasante. 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. Años. Figura 13. Deterioro de la base y la subrasante a través del tiempo. .5.5 VARIABILIDAD DEL DISEÑO RACIONAL VS PROBABILIDAD DE FALLA Como se mencionó anteriormente, el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C utiliza un factor de variabilidad denominado “probabilidad de falla”, el cuál es realmente un factor de variabilidad (Capítulo 2) que afecta la deformación máxima admisible a tensión de las capas asfálticas. Para analizar el impacto de este valor en la confiabilidad de la estructura, se calculó la probabilidad de falla real para factores de variabilidad de 1%, 10%, 20%, 30%, 40% y 50%. La Figura 14 muestra que el factor de variación tiene un altísimo impacto en la probabilidad de falla de la estructura para valores de variación del 1% y el 10%, ya que la probabilidad de falla aumenta del 10% al 40% respectivamente. Esto indica que se debe tener precaución en definir el factor de variación para el rango del [1%, 10%]. Por el contrario el factor de variación para valores entre el 10% al 30% no ocasiona ninguna respuesta en la probabilidad de falla. Este hecho puede deberse a que el factor de variación del Manual no tiene ningún efecto en el dimensionamiento de las capas de la estructura para valores entre 10% y 30%. 44.

(46) Probabilidad de Falla Real. ICIV 2003 II 33. 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0%. 10%. 20%. 30%. 40%. 50%. 60%. Factor de Variación. Figura 14. Relación entre el factor de variación del manual de diseño y la probabilidad de falla de la estructura.. La figura 15 muestra la relación entre el factor de variación del Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C y la probabilidad de falla de las capas. Los resultados mostrados comprueban que la única capa que se encuentra afectada por este factor es la base asfáltica, ya que la subrasante sólo se afecta para valores mayores. Probabilidad de Falla. al 40% y la rodadura tiene un comportamiento indiferente para todos los valores.. 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%. Rodadura Base asfáltica Subrasante. 0%. 10%. 20%. 30%. 40%. 50%. 60%. Variabilidad del Diseño. Figura 15. Relación entre el factor de variación del diseño y la probabilidad de falla para las capas. 45.

(47) ICIV 2003 II 33 5.6 CONFIABILIDAD DEL DISEÑO PARA DIFERENTES TRÁFICOS Para entender la relación entre la confiabilidad del pavimento y el diseño para diferentes tráficos se calculó la probabilidad de falla para tráficos bajos, medios y altos. La Tabla 16 muestra los espesores diseñados para cada tipo de tráfico y la Figura 16 muestra la relación de probabilidad de falla vs tráfico, donde se observan dos puntos críticos para los tráficos de 5*106 y 1,25*107 vehículos acumulados en el carril y período de diseño. El resultado muestra una relación indirecta entre la confiabilidad del diseño y el aumento del tráfico hasta 5*106 vehículos. Por el contrario, a partir de este punto el diseño se vuelve mucho más confiable para tráficos hasta de 8,66*106. Lo anterior muestra que la confiabilidad de los diseños realizados bajo las recomendaciones del ampliamente. Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C varía. para diferentes tráficos (más de un 50%), lo cuál implica que las. deformaciones admisibles recomendadas son más rigurosas para tráficos T4 que para tráficos T2 y T1. Tráfico. # Vehículos Acumulados Espesor Total. T1. 2,62,E+05. 47. T2. 1,45,E+06. 55. T4. 5,65,E+06. 62. T4. 8,66,E+06. 76. T5. 1,25,E+07. 81. Tabla 16. Espesores determinados por el Manual de Diseño de Pavimentos para Bogotá D.C para diferentes tráficos. 46.

(48) ICIV 2003 II 33. 90%. Probabilidad de Falla. 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0,00,E+00. 5,00,E+06. 1,00,E+07. 1,50,E+07. 2,00,E+07. Vehículos Acumulados en el carril de Diseño. Figura 16. Probabilidad de falla vs Diseño para diferentes tráficos. 5.7 PROBABILIDAD DE FALLA VS PRESIÓN DE INFLADO La Figura 17 muestra que la confiabilidad del pavimento es indiferente a la variabilidad de la presión de inflado. A su vez, es importante recalcar el hecho que la mayoría de los operadores de vehículos pesados conocen muy bien el desgaste de la llanta por mantener una presión de inflado diferente a la indicada. Resultados empíricos demuestran que mantener una presión de inflado con un coeficiente de variación del 30% ocasiona una pérdida de vida útil hasta del 40%, por tal razón la variabilidad de la presión de inflado no tiene consecuencias importantes para la vida útil del diseño.. 47.

(49) ICIV 2003 II 33. Probabilidad de Falla. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0%. 10%. 20%. 30%. 40%. 50%. 60%. Variabilidad de Presión de Inflado. Figura 17. Análisis de sensibilidad para la presión de Inflado. 5.8 SENSIBILIDAD DEL ESPESOR DE LA RODADURA EN LA CONFIABILIDAD DE PAVIMENTOS Para conocer el efecto de la variabilidad del espesor de la rodadura en la confiabilidad del pavimento flexible, se calculó la probabilidad de falla de la estructura para los porcentajes de variación del espesor de 1%, 5%, 10%, 15%, 20% y 30%. Los resultados presentados por la Figura 18 muestran una aparente indiferencia entre la falla de la estructura con respecto al espesor de la rodadura, lo cuál resulta poco normal. Una causa de este comportamiento puede ser la alta variabilidad de todos los otros parámetros, que en conjunto, impiden analizar el impacto de la variación del espesor en la confiabilidad del pavimento. Para probar lo anterior, se determinó la probabilidad de falla de la estructura para los mismos coeficientes de variación anteriores, bajo la modificación de reducir todas las variabilidades de los otros parámetros a 1%. Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 19, donde se concluye que el problema no radicaba en la variabilidad de los otros parámetros.. 48.

(50) ICIV 2003 II 33 90%. 80%. Probabilidad de Falla. 70%. 60%. 50%. 40%. 30%. 20%. 10% 0%. 5%. 10%. 15%. 20%. 25%. 30%. 35%. V a ria b ilid a d d e l E s p e s o r d e R o d a d u ra. Figura 18. Sensibilidad del espesor de la rodadura. 90%. Probabilidad de Falla. 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%. 10%. 20%. 30%. 40%. 50%. 60%. V ariabilidad de espesor de R odadura. Figura 19. Impacto de la variabilidad del espesor de la rodadura en la probabilidad de falla de la estructura modificando las variabilidades de los otros parámetros a 1%. 49.