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COMPREENSÕES SOBRE MATEMÁTICA E REALIDADE NA MODELAGEM MATEMÁTICA: UM ESTUDO À LUZ DE UMA PERSPECTIVA

FILOSÓFICA DE LINGUAGEM

Emerson Tortola Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Toledo emersontortola@utfpr.edu.br

Bárbara Nivalda Palharini Alvim Sousa Robim Universidade Estadual do Norte do Paraná – Campus Cornélio Procópio babipalharini@hotmail.com

Lourdes Maria Werle de Almeida Universidade Estadual de Londrina – Londrina lourdes@uel.br

Resumo: Este artigo contempla compreensões associadas aos termos matemática e realidade no âmbito da pesquisa sobre modelagem matemática e nos guia para uma compressão destes termos a partir da visão de linguagem adotada por Wittgenstein no livro Investigações Filosóficas. Delineamos considerações sobre a modelagem matemática como alternativa pedagógica para o ensino de matemática, bem como considerações teóricas sobre a realidade na perspectiva do autor. A perspectiva epistemológica defendida a respeito da modelagem matemática e os conceitos teóricos de Wittgenstein nos auxiliam no esboço da compreensão sobre matemática e realidade na modelagem. O desenvolvimento de uma atividade de modelagem, por grupos de alunos do ensino superior, foi adotado como material de análise empírico para auxiliar nessa compreensão. De modo geral, as análises indicam que matemática e realidade não são mundos disjuntos, como ilustrado em vários esquemas da literatura, mas ambas convivem no mesmo espaço, muitas vezes, com limites tênues, que se fazem limites apenas de acordo com o uso que o ser humano faz.

Palavras-chave: Modelagem Matemática; Linguagem; Matemática e Realidade.

Introdução

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Esquemas1 retratam realidade e matemática como mundos disjuntos, como se a matemática não fizesse parte da realidade, ao mesmo tempo em que o discurso “utilizamos a matemática para tudo no dia a dia” se torna mais popular. Desse modo, como poderiam matemática e realidade, por vezes, não se tornarem uma única realidade?

Nesse ponto, nos perguntamos: o que é realidade? Pode a matemática ser uma realidade? E como associar essa discussão de base teórico-filosófica à modelagem matemática como uma alternativa pedagógica?

Com as considerações que seguem vislumbramos responder algumas de nossas inquietações em relação a essa temática.

Modelagem Matemática

Segundo Blum (2002) a modelagem matemática está associada às relações entre a matemática e o mundo real. O autor entende mundo real como todas as coisas associadas à

natureza, sociedade ou cultura, incluindo as atividades do dia a dia, bem como os conteúdos da escola e da universidade e, ainda, as disciplinas científicas que são diferentes da matemática2 (BLUM, 2002, p. 152). Nesse contexto, o autor vê a modelagem

matemática como o processo que leva de uma situação-problema a um modelo matemático.

Na literatura, uma atividade de modelagem matemática, no contexto escolar, conta com uma configuração própria, com passos e etapas pré-determinadas, não necessariamente lineares, que geralmente estão associadas à realidade e à matemática. Veja, por exemplo, os esquemas de modelagem das Figuras 1 e 2:

1 Em um estudo recente Perrenet e Zwaneveld (2012) apresentam vários esquemas de modelagem da literatura, bem como seus componentes.

2 No inglês “By

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Figura 1: Ciclo de modelagem de acordo com Kaiser (1995) e Blum (1996)

Fonte: Kaiser (1995) e Blum (1996) apud Perrenet e Zwaneveld (2012)

Figura 2: Ciclo de modelagem de acordo com Blum e Leiβ (2006)

Fonte: Blum e Leiβ (2006) apud Perrenet e Zwaneveld (2012)

Em ambos os esquemas a realidade e a matemática são mundos distintos, assim como caracterizado pela definição de Blum (2002). No entanto, a posição assumida pelos autores denota uma posição epistemológica sobre matemática como algo que transcende a realidade.

A discussão filosófica em torno da modelagem matemática já conta, no Brasil, com autores como Souza (2012), Kluber (2012)3, Veleda (2010), Veleda e Almeida (2010) e Negrelli (2008).

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Segundo Negrelli (2008) a realidade na modelagem matemática dá-se em termos de realidade inicial e realidade intermediária. A realidade inicial é composta por elementos de natureza econômica, física, social, política, psicológica, cuja existência podemos supor; já a realidade intermediária pode ser entendida como a transição, na modelagem matemática, entre a realidade inicial e o modelo matemático, ou seja, uma problematização que implica em uma outra realidade e não em uma tradução da realidade para a matemática. Veleda (2010), ao estudar a proposta de Negrelli (2008), sinaliza que a caracterização de modelagem matemática está relacionada com a concepção que se tem da relação entre matemática e realidade.

Para Souza (2012), a realidade é vista como composta de diferentes sistemas, sendo que cada sistema contempla determinado discurso. Entre esses sistemas que compõem a realidade a autora analisa discursos do sistema matemático escolar, cujo discurso predominante é o discurso da matemática escolar. Nesse sentido, segundo a autora, a matemática também se configura como uma realidade.

Nesse contexto, tanto a realidade inicial e intermediária, caracterizadas por Negrelli (2008), quanto os diferentes sistemas que compõem a realidade, na compreensão de Souza (2012), estão associados a diferentes modos de ver a realidade e a matemática, sendo que, uma não exclui a outra.

Encaminhamos, assim, um entendimento de modelagem matemática que contempla a realidade e a matemática ambas dentro do mundo em que vivemos.

Pautados nesse entendimento, consideramos a modelagem matemática, no âmbito da Educação Matemática, como uma alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem da matemática, na qual fazemos uma abordagem, por meio da matemática, de um problema não essencialmente matemático (ALMEIDA; BRITO, 2005). De modo geral, o desenvolvimento de atividades de modelagem visa a articulação de situações do cotidiano com a criação de modelos matemáticos4. Para tanto, parte-se de uma situação inicial, que contém uma problemática e, a partir de dados associados à problemática, é elaborado um modelo matemático relacionado à situação inicial, que e encaminha o sujeito para uma situação final, uma resposta à situação inicial. Esse processo, sempre que

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necessário, pode ser avaliado e reelaborado, o que é feito por meio da reflexão e avaliação do modelo matemático.

Acreditamos que os diferentes modos de ver a realidade e matemática na modelagem matemática se dão na e pela linguagem. Dessa maneira fundamentamos essa compreensão de realidade e matemática a partir das ideias da filosofia de Wittgenstein.

Linguagem, matemática e realidade: uma perspectiva wittgensteiniana

A filosofia, segundo Marcondes (2007), nasce da tentativa de buscar uma explicação do mundo natural, desse modo, o mundo se abre ao conhecimento, à possibilidade de explicação, à ciência. Segundo o autor, na pós-modernidade a linguagem passa a ser vista, em diferentes perspectivas, como uma alternativa para as reflexões filosóficas.

É a partir da filosofia que se torna possível esclarecer e clarear concepções, fatos e fenômenos. A filosofia de Wittgenstein nos mostra o potencial da linguagem e de seus usos para orientar nosso modo de ver e compreender as coisas. Mas, e no caso da matemática?

Seria a matemática uma linguagem desenvolvida para representar determinadas ideias no campo das ciências exatas? Ou seria ela uma linguagem elaborada para incidir sobre entes matemáticos?

De acordo com o filósofo austríaco Ludwig Wittgenstein5 (1889-1951), nem uma, nem outra visão são apropriadas, nem sequer as questões propostas. Para Wittgenstein, que dedicou parte de sua vida aos estudos da filosofia da linguagem, esta – a linguagem – não deve ser encarada sob esse ponto de vista essencialista, cujos elementos (palavras, imagens, gestos, etc.) satisfaçam exclusivamente uma correspondência biunívoca entre linguagem e realidade, não existe uma explicação para tal correspondência que transcenda os limites da linguagem. “O que é falado só pode ser explicado na linguagem e, portanto, nesse sentido, a própria linguagem não pode ser explicada. A linguagem deve falar por si

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mesma” (WITTGENSTEIN, 2010, §2). Como coloca Wittgenstein (2012), não há uma essência, algo oculto, que deva ser trazido à luz.

Na perspectiva de Wittgenstein (2012), no que diz respeito à linguagem, essa relação linguagem-mundo excede os limites referenciais e passa a se configurar sob a ótica dos usos das palavras, dos “jogos de linguagem” (WITTGENSTEIN, 2012, §7).

No âmbito da matemática, porém, o que isso quer dizer? Quer dizer que a ‘integral’, por exemplo, nem sempre está associada à área abaixo de uma curva, apesar desse uso ser pertinente; ou, ainda, que ‘2 + 2 = 4’ é uma proposição matemática que sempre indica algum contexto – comprei duas maçãs depois mais duas, então comprei quatro maçãs, por exemplo. Em ambos os casos, o significado da ‘integral’, ou da proposição ‘2 + 2 = 4’ só pode ser identificado na linguagem e pela linguagem, segundo o uso que delas se faz.

Em outras palavras, as proposições matemáticas não estão associadas a uma realidade subjacente ao seu uso ou que transcende a eles; são usadas para orientação, como organização no interior de um determinado contexto (WITTGESNTEIN, 2012, §85), de acordo com o jogo de linguagem.

Para ilustrar essa ideia, vamos supor que um aluno resolva um problema da seguinte maneira: ‘27 + 14 = 31’. Essa sentença, escrita dessa forma, indica uma lei que descreve o que acontece quando a contagem é feita corretamente, portanto, não é de se admirar que quando os resultados não estão de acordo com a lei, quase sempre somos capazes de identificar um erro específico (WRIGHT, 1980). Isto porque a própria linguagem é tomada como padrão de correção, dentro de um jogo de linguagem, ou como afirma Souza (2012), no interior de um determinado sistema.

Os jogos de linguagem funcionam, portanto, como reguladores de significado. Vejamos no trecho a seguir o exemplo colocado por Wittgenstein.

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553. O “1” tem um significado distinto quando usado uma vez como medida e outra vez como algarismo? Se a questão é colocada deste modo, a resposta será então afirmativa (WITTGENSTEIN, 2012, § 552-553, grifos do autor).

Esse trecho nos revela que há diferentes modos de ver uma situação, diferentes interpretações possíveis. Se por um lado, ambos os “uns” dizem respeito a uma unidade, por outro, o primeiro “um” indica um algarismo, enquanto que o segundo uma medida, ou seja, eles assumem significados que se diferem de acordo com a situação.

Nesse sentido, “os jogos de linguagem estão aí muito mais como objetos de

comparação, os quais, por semelhança e dissemelhança, devem lançar luz nas relações de

nossa linguagem” (WITTGENSTEIN, 2012, §130), que por sua vez, tem seus usos associados a hábitos, costumes, crenças, atitudes e ações, atividades que caracterizam o que Wittgenstein (2012, §23) chama de formas de vida.

Às formas de vida estão associados os diferentes modos de ver. E, por isso, esses modos de ver vêm carregados de crenças e concepções do sujeito. E, por isso, esses modos de ver vêm carregados de crenças e concepções do sujeito.

Olhe, por exemplo, para a Figura 3 e diga o que você vê.

Figura 3: O que você vê?

Fonte: Investigações Filosóficas (WITTGENSTEIN, 2012, p. 255)

Você por acaso viu um pato? Você por acaso viu um coelho? Se olhar novamente, ambas as coisas podem ser vistas, ou, você pode ver uma coisa na ilustração sem nunca ver

a outra. “Portanto, nós a interpretamos, e a vemos como a interpretamos”.

(WITTGENSTEIN, 2012, p. 254, grifos do autor). E veja, “a cabeça vista desta forma não

tem também a mínima semelhança com a cabeça vista daquela forma – embora sejam

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Tal fato ilustra a dinamicidade envolvida nos jogos de linguagem, e a complexidade envolvida na interpretação, que por sua vez, está associada a uma forma de vida e a seu modo de ver.

Outro exemplo pode ser conferido na ilustração a seguir:

Se olharmos para essa ilustração podemos interpretá-la como um paralelepípedo, um sólido geométrico cujas seis faces são formadas por paralelogramos. Agora, se mostrarmos essa imagem a uma criança, ela pode vê-la como uma caixa, como pressupõe Wittgenstein (2012), e dizer “Vejo a figura como uma caixa” de acordo com o autor significa: “tenho uma determinada vivência visual que caminha, empiricamente, com a interpretação da figura como caixa ou com a visão de uma caixa” (WITTGENSTEIN, 2012, p. 255).

“Mas a imagem é, somente, como uma ilustração de uma história. Em geral, dela sozinha não se poderia deduzir nada; somente quando se conhece a história, sabe-se o que a imagem significa” (WITTGENSTEIN, 2012, § 663).

Essa aparente complexidade associada à interpretação pode, também, ser estendida à matemática, uma vez que para interpretarmos gráficos, por exemplo, e compreendê-los, há a necessidade de se buscar informações a respeito da situação descrita pelos dados e fazer uma leitura em conformidade com eles.

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Nesse contexto, a matemática passa a ser um jogo de linguagem, com o qual convivemos, comunicamos, interpretamos, vivemos. Ou seja, realidade e matemática se misturam a partir do uso que fazemos da linguagem.

Ao considerar a modelagem matemática como uma alternativa pedagógica na perspectiva de Almeida e Brito (2005), nos referimos a um jogo de linguagem específico, associado aos modos de ver a matemática no estudo de situações do cotidiano dos alunos na sala de aula.

Com o objetivo de nos auxiliar no esboço dessa compreensão apresentamos uma atividade de modelagem matemática e os diferentes modos de ver dos alunos da situação-problema por meio da matemática.

Aspectos metodológicos e contexto da pesquisa

Na busca por elaborar compreensões sobre matemática e realidade em atividades de modelagem matemática, por meio da linguagem, apresentamos aqui uma atividade de modelagem desenvolvida por acadêmicos de um 3º período do curso de licenciatura em matemática durante a disciplina Tecnologias no Ensino de Matemática de uma universidade pública do oeste do Paraná.

Participaram do desenvolvimento dessa atividade 13 acadêmicos, que organizados em grupos com 2 ou 3, investigaram a situação-problema com o auxílio de software livres,

em particular, o GeoGebra, que era tema de estudo no momento.

Os dados que analisamos são constituídos pelos registros escritos entregues pelos acadêmicos e pelas construções realizadas por eles no software, bem como pelo diário de

campo do professor/pesquisador, um dos autores do trabalho.

Andando sob túneis de água: uma atividade de modelagem matemática

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Figura 4: Túnel de água do Shopping Estação em Curitiba

Fonte: http://www.cidade-brasil.com.br/municipio-curitiba.html

Um dos primeiros questionamentos do professor aos alunos é se eles conhecem essa atração. Alguns dos alunos afirmam conhecer, porém, muitos não. Nesse sentido, a primeira ação dos alunos foi procurar na internet o que é esse tal túnel de água de que o

professor falava e, de imediato, identificaram a forma de parábolas, nos jatos d’água. Conscientes do lugar, o professor lança o seguinte problema para investigação:

Qual é a equação dessas parábolas, considerando que as pessoas transitam por baixo

desse túnel de água?

Os alunos começaram então a pensar nas informações que tinham a respeito do problema e identificaram duas variáveis envolvidas, a altura dos jatos d’água e a largura do caminho. Porém, como determinar esses valores? A solução encontrada pelos grupos foi o uso do software GeoGebra para auxiliar as análises da situação.

Alguns grupos inseriram a imagem no GeoGebra e o usaram como ferramenta para

identificar mais informações a respeito do tema, outros usaram a imagem apenas como norte, mas também recorreram ao auxílio do software. No entanto, o que observamos é que

cada grupo traçou uma estratégia diferente.

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máxima dos jatos de água (Figura 5 (2)); o terceiro grupo, além de procurar por uma parábola que satisfizesse as condições colocadas pelo problema, calculou a área pela qual as pessoas poderiam passar sem se molhar (Figura 5 (3)); o quarto grupo ajustou, a partir da imagem, uma parábola a apenas um dos jatos d’água (Figura 5 (4)); e, por fim, o quinto grupo, construiu uma parábola segundo as condições dadas pelo problema (Figura 5 (5)).

Figura 5: Solução dos alunos no software

Fonte: Dos autores

Os encaminhamentos dados pelos grupos foram determinantes na matemática usada para solucionar o problema.

Em geral, dois encaminhamentos matemáticos foram observados. Um em que os alunos, com o auxílio do GeoGebra, fazem um estudo dos parâmetros e encontram a

equação desejada e outro, que ao assumir que a curva pode ser ajustada a uma parábola, usam a equação reduzida da parábola para encontrar manualmente os parâmetros indicados pelo software. A Figura 6 ilustra esses dois encaminhamentos dados pelos alunos6.

6 Alguns grupos encaminharam suas resoluções das duas maneiras, tanto usando o

software, como realizando os cálculos manualmente.

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Figura 6: Encaminhamentos dados pelos alunos na resolução do problema

Fonte: Dos autores

Os resultados encontrados foram expostos pelos grupos aos colegas da turma e ao professor, sendo que esse, após os alunos considerarem válidos seus modelos, sugeriu duas novas possibilidades. A primeira utilizando sistemas lineares, ou seja, escolhem-se, de forma arbitrária, três pontos da parábola, cuja equação quer-se determinar, e, usando a forma geral de uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c, obtém-se o seguinte sistema:

      + + = + + = + + = c bx ax y c bx ax y c bx ax y 3 2 3 3 2 2 2 2 1 2 1 1

sendo P1(x1,y1), P2(x2,y2) e P3(x3,y3), os pontos da parábola escolhidos. A solução desse

sistema, possível e determinado, indicará os parâmetros a, b e c procurados. Esse ajuste, contudo, baseia-se em apenas três pontos da parábola, e, nesse sentido, o professor propõe a segunda possibilidade, que diz respeito ao uso do comando Regressão Polinomial, do

software GeoGebra (RegressãoPolinomial[<Lista de Pontos>,<Grau>]), uma vez que esse

Encaminhamento 1

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comando possibilita ao aluno fazer um ajuste com quantos pontos ele desejar, indicando-se apenas o grau do polinômio almejado. Além disso, o software possibilita, por meio do

comando Regressão, outros tipos de ajustes, como o linear, o exponencial, etc., que não é o

caso da situação estudada pelos alunos.

A matemática e a realidade na atividade de modelagem: compreensões a partir da linguagem

Após tecermos considerações a respeito da matemática e realidade, a primeira questão que nos vem em mente é: com qual realidade lidamos nessa atividade?

Se interpretarmos essa questão sob o ponto de vista proposto por Negrelli (2008) – que vê a realidade em termos de realidade inicial e realidade intermediária –, identificamos como realidade inicial o túnel formado pelos jatos d’água do Shopping Estação de Curitiba, sendo que a realidade intermediária entra em cena a partir do momento em que os alunos passam a ver os jatos d’água sob a forma de parábolas e investigam qual ou quais equações melhor respondem a situação-problema proposta. Ou seja, em atividades de modelagem matemática, como salienta Negrelli (2008), não lidamos diretamente com a realidade inicial, mas interpretamos essa realidade, a qual passa a se configurar como realidade intermediária, que se interpretarmos não é mais a realidade em si, mas um modo de ver, que só é possível expressar com o uso de uma linguagem, nesse caso, associado à imagem da figura com os túneis de água. Veleda (2010, p. 34) aponta que

a realidade intermediária é determinada pela seleção dos elementos captados pelo sujeito, é uma realidade criada com base na relação estruturada dos elementos possíveis de serem captados, e o modelo matemático é uma maneira de “ver”, compreender a realidade inicial, por meio do recorte desta [ou seja, por meio da realidade intermediária].

Desse modo, a realidade intermediária passa a ser, à luz da perspectiva da linguagem, um esboço matemático da realidade. Veja que, na atividade desenvolvida, os túneis de água não são parábolas, mas aos túneis de água podem ser associadas parábolas como as da linguagem matemática.

Como coloca Wittgenstein (2012), cada imagem traz consigo uma história, e para

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que ao olhar para a imagem, que suscitou o desenvolvimento da atividade de modelagem, os alunos tiveram que adentrar nessa realidade – tomá-la para si – de modo que eles conseguissem compreender o seu significado a partir do uso. Foi preciso buscar por imagens que revelassem indícios da sua história, como o fato de que a altura máxima dos

jatos d’água é uma medida um pouco superior à medida da altura das pessoas que apareciam nas fotos que pesquisaram, ou que passavam três pessoas, lado a lado, sem que nenhuma delas se molhasse. Tais informações estão associadas à linguagem matemática que faz sentido naquele uso, naquela história. Nesse momento a matemática se torna a

realidade para os alunos, pois ao buscarem informações sobre o túnel de água da praça do Shopping Estação, muitas dessas informações foram interpretadas à luz da linguagem matemática, produzindo, assim, uma nova realidade, a realidade intermediária – de acordo com Negrelli (2008), associada à matemática.

Podemos observar que se envolver dessa maneira com essas imagens, em busca de sua história, a fim de coletar informações para resolver um problema por meio da

matemática, implica em envolver-se em diferentes sistemas, em consonância com Souza (2012), sendo que o olhar dos alunos está carregado do sistema matemático escolar, que se justifica pelas formas de vida com os quais estão envolvidos, mas que em uma atividade de modelagem ele não pode perder de vista o contexto da situação que está modelando.

Ainda que os acadêmicos estejam atuando no âmbito de um mesmo sistema, o da matemática escolar, por exemplo, existem diferentes modos de ver, de interpretar a situação-problema, decorrentes de suas formas de vida, e esses diferentes modos de ver, levam os grupos a encaminhamentos distintos em uma atividade de modelagem, como apontado na Figura 5, que indica diferentes estratégias utilizadas pelos grupos para resolver o problema, levando em conta diferentes aspectos da situação, bem como qual matemática do sistema matemático escolar utilizar para interpretar tais aspectos.

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Considerações Finais

As discussões que tecemos neste texto em torno de matemática e de realidade no âmbito da modelagem matemática foram orientadas pelos pressupostos teóricos e filosóficos de Wittgenstein, no que diz respeito a sua filosofia da linguagem.

Ao assumir tal perspectiva algumas inquietações começaram a surgir quando olhamos para esquemas que apresentam matemática e realidade como conjuntos disjuntos propondo a modelagem matemática com um meio de fazê-las interagir. Nesse sentido, são pertinentes questões como as levantadas no início deste texto e que merecem um (re)pensar sobre elas: o que é realidade? Pode a matemática ser uma realidade? E como associar essa discussão de base teórico-filosófica à modelagem matemática como uma alternativa pedagógica?

Apesar de já existir na literatura algumas discussões a respeito dessas questões (SOUZA, 2012; KLUBER, 2012; VELEDA, 2010; VELEDA; ALMEIDA, 2010; NEGRELLI, 2008), quando assumimos uma perspectiva wittgensteiniana não faz sentido senão analisarmos esses termos também onde seus significados são produzidos, ou seja, em seus usos, nos jogos de linguagem.

Olhar para a prática de modelagem foi, portanto, uma estratégia a mais, que lançou luz sobre como os alunos lidam com a questão que envolve matemática e realidade, e auxiliou em nossas compreensões.

Vamos começar, assim, com a primeira questão, o que é realidade?

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sistema da matemática escolar é usado para a análise da situação, cuja interpretação se faz, com base nas características do sistema que deu origem ao problema. E outras vezes, matemática e realidade até coincidem, não havendo limites entre elas, como é o caso da situação lançamento de projéteis, apontada por Cifuentes e Negrelli (2011), em que a matemática é tomada como ponto de partida, ou seja, como realidade inicial para a atividade de modelagem. Nesse contexto, o sistema da matemática escolar entra em jogo tanto para orientar as investigações sobre o tema, como para regular a linguagem matemática utilizada.

Mediante essas colocações, a segunda questão é chamada para discussão: pode a matemática ser uma realidade? De fato, os modos de ver matemática e realidade colocados por essas autoras, Negrelli (2008) e Souza (2012), nos leva a inferir que sim. Contudo, essa é uma discussão que merece ser olhada sob uma perspectiva filosófica de linguagem, como o é a de Wittgenstein, chamando também a terceira questão: como associar essa discussão de base teórico-filosófica à modelagem matemática como uma alternativa pedagógica?

Se voltarmos para a discussão entre jatos de água e parábola, assumindo os jatos de água como elemento da realidade e a parábola como elemento da matemática, duas conclusões podem ser possíveis! Ainda que consideremos as argumentações de Negrelli (2008) e Souza (2012). Essas conclusões dependerão do modo de ver a situação, como exemplifica Wittgenstein com a figura do paralelepípedo. Ora ele pode ser visto como um

paralelepípedo, ora como uma caixa. Tudo depende de quem olha para a figura. Ou seja, a interpretação também está associada aos sujeitos e seus conhecimentos, ao contexto em que esse sujeito se encontra, e às atividades com as quais esse sujeito está envolvido, isto é, está associada às formas de vida e às histórias que trazem consigo. Por trás de cada modo de ver podemos encontrar uma história, e como coloca Wittgenstein (2012), em relação às imagens do paralelepípedo e do coelho-pato, delas sozinhas nada se pode deduzir, somente

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análise da situação. Contudo, quando se conhece parábolas e essas são identificadas nos jatos de água, como fizeram os alunos envolvidos na atividade, a matemática passa a fazer parte da situação e, sob essa perspectiva, parte da realidade.

As análises indicam, portanto, que matemática e realidade não são mundos disjuntos, como ilustrado em vários esquemas da literatura, mas ambas convivem no mesmo espaço, muitas vezes, com limites tênues, que se fazem limites apenas de acordo com o uso que o ser humano faz.

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Referencias

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