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Notas de

Algebra Lineal

Especializaci´on en Matem´aticas

M. Sc. Sebasti´an Casta˜

neda Hern´andez

Grupo

Marea

c

°Ediciones Uninorte, 2001 c

°Grupo Marea

Coordinador del grupo

M. Sc. Sebasti´an Casta˜neda Hern´andez

Jefe del Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica Msc. Agust´ın Barrios S

Coordinador del Area de Ciencias b´asicas Joachim Hahn von Hessberg

Coordinaci´on editorial Zoila Sotomayor O

Editor Senior

Alfredo Marcos Mar´ıa

Contenido

1 Preliminares 1

1.1 Introducci´on . . . 1

1.2 Relaciones de equivalencia y relaciones de orden . . . 1

1.3 Estructuras algebraicas . . . 10

1.4 Morfismos. Transporte de estructuras . . . 17

2 Espacios vectoriales 27 2.1 Definiciones y propiedades b´asicas . . . 27

2.2 Espacios finitamente generados . . . 45

2.3 Aplicaciones lineales . . . 47

3 Matrices y ecuaciones lineales 61 3.1 El Algebra _HomIK(V, V) . . . 61

3.2 El rango de una aplicaci´on lineal . . . 74

3.3 Ecuaciones lineales . . . 83

4 Determinantes 89 4.1 El grupo sim´etrico . . . 89

4.2 El determinante de una matriz . . . 92

4.3 Cofactores y matriz adjunta . . . 98

5 Espacios con producto interior 101 5.1 Valores y vectores propios . . . 101

5.2 Productos interiores, normas y m´etricas . . . 111

5.3 Vectores ortogonales y bases ortonormales . . . 115

Instrucciones

Indicaciones generales

En esta secci´on introductoria se presentan algunas recomendaciones relativas al desarrollo del curso y, en especial, al manejo de estas notas de clase. La idea central es que el presente material sirva como “texto gu´ıa”. Desde esa perspectiva el prop´osito principal es que el estudiante pueda leer de manera comprensiva todo el material incluido, realice los ejercicios propuestos as´ı como las demostraciones no realizadas en el texto, y responda las preguntas o in-terrogantes planteados en el mismo. En el cat´alogo web de la asignatura el estudiante encontrar´a la planeaci´on del curso por cap´ıtulos y secciones, as´ı como las tareas y ejercicios que deber´a realizar y entregar para evaluaci´on, con posterioridad a la lectura del material gu´ıa (prelectura) y a las sesiones magistrales y de ejercicios presenciales.

En t´erminos generales el procedimiento a seguir se puede dividir en las etapas siguientes:

Pre-lectura. En esta etapa el estudiante lee comprensivamente la o las sec-ciones indicadas en la planeaci´on. Esta lectura inicial, no presencial, debe hacerse rigurosamente, tratando de demostrar los resultados cuyas pruebas no est´en incluidas en el material y respondiendo, si es posible, las preguntas que se planteen. Como resultado de esa lectura deben sur-gir unos primeros “apuntes” que incluyan las preguntas a cuestiones que no hayan sido comprendidas del todo. Las respuestas a tales preguntas, o indicaciones para llegar a las mismas, pueden ser solicitadas, via correo electr´onico, con el profesor, o ser planteadas en las sesiones presenciales.

Sesi´on magistral. En esta el profesor presentar´a una visi´on panor´amica (aunque incluyendo algunas demostraciones que considere ´utiles o importantes)

Sesiones presenciales de aclaraci´on. Esta etapa est´a dedicada espec´ıfica-mente a la soluci´on de preguntas surgidas en las etapas previas. Puede incluir tambi´en la soluci´on de ejercicios seleccionados por parte del pro-fesor.

Estudio. Esta etapa es de gran importancia pues en ella el estudiante consigna por escrito, para s´ı mismo, lo que ha comprendido del tema en cuesti´on. En esencia se espera que como resultado de las etapas previas surjan apuntes “en limpio” del material desarrollado. En este material se re-comienda incluir, en el orden l´ogico indicado por el material gu´ıa, defini-ciones, notadefini-ciones, teoremas, proposiciones y corolarios-con sus demostra-ciones rigurosas- as´ı como comentarios y ejemplos importantes. Al final, es recomendable un recuento o resumen de los conceptos y teoremas (sin demostraciones) con la finalidad de obtener una panor´amica del tema tratado y facilitar la obtenci´on de un orden mental a la hora de evaluar conocimientos y capacidades.

Autoevaluaci´on. Se trata de poner a prueba por s´ı mismos el nivel de conoci-miento alcanzado en el tema. Para ello est´an los ejercicios propuestos en el material y los test de autoevaluaci´on en el cat´alogo web. Es importante que esta etapa (aunque algunos ejercicios propuestos-por su bajo nivel-podr´ıan haber sido realizados antes) se realice solo despu´es de haber agotado las anteriores.

Asesor´ıa. En esta se trata de definir las deficiencias encontradas en la etapa anterior y solicitar la asesor´ıa del profesor o monitor, si lo hubiere. Por supuesto, en cualquiera de las etapas del proceso el estudiante puede con-sultar, personalmente o por via electr´onica, al profesor de la asignatura. Sin embargo, no debe confundirse asesor´ıa con soluci´on de ejercicios. La primera se refiere a la aclaraci´on de conceptos y a indicaciones para que el estudiante encuentre por s´ı mismo la soluci´on a preguntas o ejercicios.

Evaluaci´on. En esta se incluyen los siguientes tipos de evaluaciones:

• Las virtuales (test) respondidas por via electr´onica (web) y con calificaci´on inmediata

• Las tareas.

Para las dos primeras el material evaluado es de corta extensi´on y las etapas indicadas son, por lo tanto, de corta duraci´on y, probablemente, algunas no sean requeridas del todo.

En las evaluaciones escritas presenciales se eval´uan cap´ıtulos enteros del material gu´ıa con preguntas de desarrollo y algunas de escogencia m´ultiple o de falso o verdadero, con justificaci´on. El nivel de dificultad de los ejercicios y cuestiones propuestas en estos ex´amenes es tal que pueda arrojar informaci´on confiable acerca del manejo conceptual b´asico del material evaluado; en ese sentido, es de esperar que el estudiante que tenga claridad conceptual sobre lo estudiado pueda, sin mayores di-ficultades y sin recursos truculentos, resolver los ejercicios propuestos. Ejercicios con un mayor grado de dificultad, o en cuya soluci´on proba-blemente se requieran construcciones o “trucos” especiales-a menos que sean teoremas ya demostrados-, no ser´an incluidos en este tipo de evalu-aciones, aunque eventualmente podr´ıan ser propuestos como tareas, con indicaciones apropiadas.

Cap´ıtulo

1

Preliminares

1.1

Introducci´

on

El Algebra Lineal es el ´algebra de espacios lineales ovectoriales. Los espacios lineales constituyen una de las estructuras algebraicas m´as importantes en Matem´aticas. Tales espacios, con estructuras adicionales, son los ambientes naturales de diversas disciplinas matem´aticas. Antes de iniciar el estudio de los mismos, introducimos algunos conceptos preliminares generales necesarios para el discurso de los cap´ıitulos siguientes. La mayor parte de los resultados se suponen conocidos por el lector, por lo que las demostraciones deben ser consideradas como ejercicios.

1.2

Relaciones de equivalencia y relaciones de

orden

Dados dos conjuntos, no vac´ıos, A y B, el producto cartesiano de A por B, denotado A_×B, es el conjunto

A_×B =_{(x, y)_|x_∈A, y_∈B_}.

Cada elemento (x, y) es denominado un par ordenado. La condici´on de “ordenado” viene dada por la igualdad

(x, y) = (z, w)_⇐⇒x=z_∧y=w.

Un subconjunto cualquiera,R, del producto cartesianoA×B es denominado una relaci´on deA a B. Si A=B decimos simplemente que R es una relaci´on

definida en A. Si R es una relaci´on y (x, y)∈R escribiremos tambi´en xRy lo que acostumbraremos a leer como “x est´a relacionado con y bajoR”.

Definici´on 1.2.1 Consideremos una relaci´on Rdefinida sobre un conjuntoA. La relaci´on R es

Reflexiva si, y solo si para todo x∈A se tiene xRx.

Sim´etrica si, y solo si para todo x, y ∈A se tiene: xRy =⇒yRx. Antisim´etrica si, y solo si para todo x, y ∈A se cumple:

xRy _∧ yRx =_⇒ x=y

Transitiva si, y solo si para elementos cualesquiera x, y, z _∈ A es v´alida la implicaci´on

xRy _∧ yRz =_⇒ xRz.

Sea R una relaci´on reflexiva y transitiva definida sobre un conjunto A. R es denominada deequivalencia si es sim´etrica. SiR es antisim´etrica se dice que es unorden parcial. Un orden parcial es un orden totalsi satisface adem´as la siguiente condici´on:

Para todo x, y _∈A:xRy _∨ yRx.

La condici´on anterior se acostumbra a describir diciendo que todos los elemen-tos de A son “comparables” mediante R. Un conjunto totalmente ordenado (es decir, con un orden total) se acostumbra a denominar unacadena.

Una relaci´on de equivalencia “particiona” el conjunto sobre el cual se define enclases de equivalencia; es decir, clasifica exhaustivamente los elementos del conjuntos en conjuntos disjuntos. De hecho, el definir una relaci´on de equi-valencia en un conjunto y el particionar el conjunto son en realidad un mismo proceso. As´ı, el concepto de relaci´on de equivalencia no es mas que la forma-lizaci´on de la noci´on de clasificaci´on exhaustiva. El “criterio” de clasificaci´on est´a dado por la forma como se define la relaci´on: dos elementos relacionados mediante una relaci´on de equivalencia se consideran “iguales” en cierto sentido, el sentido dado por el criterio de clasificaci´on. Por supuesto, la relaci´on de equivalencia “m´as peque˜na” que se puede definir en un conjunto no vac´ıoAes laigualdad

R={(x, y)|x, y ∈A, x=y}={(x, x)|x∈A}.

3 S. Casta˜neda

El siguiente teorema establece formalmente lo dicho al comienzo del p´arrafo anterior. Damos primero la definici´on de partici´on de un conjunto.

Definici´on 1.2.2 SeanAun conjunto eI un conjunto de ´ındices. Una familia no vac´ıa, P ={Ai|i∈I}, de subconjuntos de A, se denomina partici´on de A

si, y solo si satisface:

1. Para todo i, j _∈I: Ai =Aj o Ai∩Aj =∅.

2. Si∈IAi =A

Es decir A es uni´on disjunta de los elementos de la partici´on.

Teorema 1.2.1 SeanA un conjunto no vac´ıo,RyP las familias de todas las relaciones de equivalencia y de particiones, respectivamente, sobreA. Entonces existe una biyecci´on de _R en _P.

Demostraci´on:

Para una relaci´on de equivalencia R enA y un elemento a ∈A sea

[a]R={x∈A|xRa}.

Sea adem´as

A/R=_{[a]R|a∈A}.

Es claro que si A es no vac´ıo tambi´en lo es A/R. Mostremos que A/R_{∈ P}. Si a, b∈A y [a]R∩[b]R6=∅, existe un elemento x∈A tal que xRa y xRb, de

donde se sigue, por simetr´ıa y transitividad, que aRb. Por lo tanto

z ∈[a]R ⇐⇒ zRa

⇐⇒ zRb

⇐⇒ z _∈[b]R

lo que demuestra que [a]R = [b]R si [a]R ∩[b]R 6= ∅. Por otra parte es claro

(mu´estrelo en detalle) que

A= [

a∈A

[a]R.

Por lo anterior se tiene entonces que A/R es una partici´on de A.

En forma rec´ıproca, si P = {Ai|i ∈ I} es una partici´on de A, entonces

podemos definir en A una relaci´on RP como sigue:

xRPy⇐⇒existe i∈I tal que x, y ∈Ai.

Es un ejercicio probar que RP ∈ R. Finalmente, la asignaci´on

R ∋R _7−→A/R _{∈ P}

es una biyecci´on (demu´estre los detalles que faltan)

El conjunto [a]Rdel teorema anterior es denominadoclase de equivalencia

dea bajo R. Es claro que para elementos a, b∈A, se tiene

[a]R= [b]R ⇐⇒aRb.

Cada elemento de [a]Res denominado unrepresentantede la clase. El conjunto

A/R, de todas las clases de equivalencia, es el conjunto cociente deA bajo

R. El teorema establece entonces que el conjunto cociente es una partici´on deA y, rec´ıprocamente, toda partici´on deA es cociente de alguna relaci´on de equivalencia definida sobre el conjunto. En lo que sigue utilizaremos s´ımbolos como ∼y ≡ para una relaci´on de equivalencia.

Ejemplo 1.2.1 La conocida clasificaci´on de los enteros en pares e impares es suministrada por la siguiente relaci´on definida sobre ZZ (conjunto de los n´umeros enteros):

x≡y(mod 2)⇐⇒x−y = 2k para alg´un entero k.

Tal relaci´on es denominadacongruencia m´odulo 2 y es un ejercicio sencillo probar que, efectivamente, es una relaci´on de equivalencia.

La clase de equivalencia de un entero par cualquiera es, justamente, el sub-conjunto de los enteros pares. En efecto

[0]≡(mod 2) = {x| x−0 = 2k, k ∈ZZ}

= _{2k_| k_∈ZZ_}

= {2(k+ 1)| k ∈ZZ}

= [2]≡(mod 2)

... ... ...

5 S. Casta˜neda

De manera similar se tiene que [1]≡(mod 2)est´a constituida por todos los enteros

impares y que [2k+ 1]≡(mod2) = [1]≡(mod 2), para cada entero k. En definitiva,

se tiene

ZZ/ ≡(mod 2) ={[0]≡(mod2),[1]≡(mod 2)}.

Ejemplo 1.2.2 M´as generalmente, para un entero fijo n, la relaci´on (deno-minada de congruencia m´odulo n) definida enZZ por

x≡y(mod n)⇐⇒x−y=nk para alg´un entero k,

es de equivalencia y el conjunto cociente correspondiente, al que denotaremos mediante ZZn, tiene exactamente n clases de equivalencia (ver ejercicios)

ZZn = ZZ/≡(mod n)

= {[0],[1], . . . ,[n−1]}.

En la notaci´on anterior, por brevedad, hemos escrito [x] por [x]≡(mod n) y en lo

que sigue usaremos tambi´en esa notaci´on abreviada para las clases de equiva-lencia, si la relaci´on de equivalencia correspondiente est´a clara en el contexto. Para el ejemplo considerado n´otese que [x] =_{nk+x_|k _∈ZZ_} para cualquier entero fijo x.

Ejemplo 1.2.3 En el conjuntoIR, de los n´umeros reales, la relaci´on dada por

x_∼y_⇐⇒x=y= 0 _∨ xy >0

es una relaci´on de equivalencia (verif´ıquelo) que produce la clasificaci´on de los reales en tres clases: la de los positivos, la de los negativos y la clase unitaria del cero.

IR/_∼=_{[0],[1],[₋1]_}=_{{0_}, IR+, IR−_}.

Ejemplo 1.2.4 Dos conjuntos cualesquiera A y B se denominan equipo-tentes si son ambos vac´ıos o si existe una biyecci´on entre ellos. La equipo-tencia es una relaci´on de equivalencia (Ejercicio). Cada clase de equivalencia define un n´umero cardinal. As´ı de conjuntos equipotentes se dice que tienen la misma cardinalidad o el mismo n´umero cardinal. Para un conjunto A, |A|

denotar´a el cardinal de A. As´ı, por ejemplo:

|∅|= 0, |{∅}|= 1, |{∅,{∅}}|= 2, . . .

Una relaci´on de orden parcial (o un “orden parcial”, simplemente) sobre un conjunto no vac´ıo A establece, intuitivamente hablando, una ordenaci´on no necesariamente “completa” sobre el conjunto. El concepto de orden parcial generaliza la conocida relaci´on de desigualdad de n´umeros a conjuntos cua-lesquiera. En lo que sigue utilizaremos por lo general el s´ımbolo ¹ para un orden parcial y escribiremos (A,_¹) para referirnos al hecho de que el conjunto

A est´a parcialmente ordenado por ¹.

Definici´on 1.2.3 Sea (A,_¹) un orden parcial. Un elemento c _∈ A se deno-mina:

Maximal, si se verifica

∀x_∈A:c_¹x=_⇒x=c.

Cota superior de un subconjunto no vac´ıo B ⊆ A si, y solo si x ¹ c para todo x_∈B.

M´ınimo del subconjunto no vac´ıo B _⊆A sic_∈B y c_¹x para todo x_∈B. Si cada subconjunto no vac´ıo de A tiene un m´ınimo se dice que A est´a bien ordenado bajo _¹.

Dada una relaci´on R sobre A, la relaci´on inversao dualdeR, denotadaR′_,

est´a definida por

xR′y _⇐⇒yRx.

Es f´acil probar (ver ejercicios) que si R es un orden parcial entonces tambi´en lo es R′_{. Para el orden parcial ¹ su relaci´on dual se acostumbra a notar por}

º. En el orden parcial (A,_¹) se pueden definir elementos minimales, cotas inferiores y m´aximos de subconjuntos no vac´ıos de A como los elementos minimales, cotas superiores y m´ınimo, respectivamente, para el orden parcial dual (A,_º).

Ejemplo 1.2.5 SeaAun conjunto y 2A_{el conjunto de sus partes}

(subconjun-tos). Entonces (2A_{,⊆) es un orden parcial. ∅es un minimal yAes un elemento}

maximal de dicho orden parcial. ¿Es un orden total? ¿Est´a bien ordenado el conjunto 2A _{por la inclusi´on?}

Ejemplo 1.2.6 En el conjunto de los enteros consideremos la relaci´on de di-visibilidad

7 S. Casta˜neda

Tal relaci´on es claramente reflexiva ( ya que x = 1x, para todo x ∈ ZZ) y transitiva ( si y=kxy z =my, entonces z = (mk)x) pero no es antisim´etrica ya que, por ejemplo, 2_{| −}2 y ₋2_|2 pero 2 ₆= ₋2. No se tiene, por lo tanto un orden parcial sobre ZZ bajo tal relaci´on. Tampoco es una relaci´on de equivalencia por no ser sim´etrica.

Ejemplo 1.2.7 En el conjunto de los enteros el orden natural es el usual

. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .

en el cual para x, y ∈ZZ se tiene x ≤ y si x =y o si x est´a a la izquierda de

y. Podemos tambi´en considerar un orden como el siguiente

0,1,₋1,2,₋2,3,₋3, . . .

En el primer caso, se tiene un orden total pero no un buen orden (¿Puede explicar por qu´e?), en el segundo, por el contrario, ZZ est´a bien ordenado.

Si (A,¹) es un orden parcial, la relaci´on entre un n´umero finito de elementos comparables es usualmente presentada mediante diagramas, denominados de

Hasse, formados por puntos (representando a los elementos)y segmentos que los unen. Para elementos b, c ∈A con b ¹c, b6= c, en el diagrama correspon-diente la relaci´on se muestra mediante un segmento ascendente de b a c. Si A

es finito todo el orden parcial puede ser esquematizado mediante uno de tales diagramas.

Si, por ejemplo,A=_{a, b, c, d, e_}est´a parcialmente ordenado por la relaci´on

{(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(a, b),(a, d),(a, c),(b, c)_}

tal orden es esquematizado como sigue

c d

b

e a

6 6

¢¢ ¢¢

¢¢¸

N´otese quec, dyeson elementos maximales, mientras queayeson minimales. El orden mostrado no es total pues, por ejemplo, c y d no son comparables.

El siguiente enunciado es de gran importancia en Teor´ıa de conjuntos y es equivalente al denominado axioma de elecci´on. Es de gran utilidad en la construcci´on de diversas estructuras matem´aticas.

Lema 1.2.2 Lema de Zorn.

Si(A,¹)es un conjunto parcialmente ordenado tal que cada cadena enAtiene una cota superior, entonces A tiene al menos un elemento maximal.

Se sigue de inmediato (¿porqu´e?) que si toda cadena en A tiene una cota inferior , entoncesA tiene al menos un elemento minimal.

Ejercicios

1. En cada caso determine si la relaci´on definida en el conjunto dado es

• Reflexiva.

• Sim´etrica.

• Transitiva.

• De equivalencia.

• Un orden parcial.

(a) En el conjunto de los n´umeros reales: a_∼b_⇔|a_|=_|b_|.

(b) En el conjunto de los n´umeros enteros:a_∼b_⇔a₋b es m´ultiplo de 5. (c) En el espacio real eucl´ıdeo bidimensional IR2_{, dos vectores est´an}

relacionados si, y solo si, son ambos nulos o, de no serlo, son lineal-mente dependientes.

(d) En el conjunto de los enteros positivos: Dos enteros est´an relaciona-dos si, y solo si, tienen divisores comunes distintos de la unidad. (e) En el conjunto de las funciones reales φ:[0,1]_−→R:

f∼g⇐⇒f(0) =g(0).

2. En el ejercicio anterior, para las relaciones que son de equivalencia, des-criba las correspondientes clases de equivalencia.

3. Dada una relaci´on cualquiera,R, en un conjuntoA, demuestre que existe al menos una relaci´on de equivalencia definida enA, tal que contiene aR. SeaR(R) la clase de todas las relaciones de equivalencia que contienen a

R. Demuestre que _R(R) tiene un elemento m´ınimo ´unico para el orden parcial dado por la inclusi´on. Tal elemento se denomina Relaci´on de equivalencia generada porR. Encuentre tal relaci´on si

9 S. Casta˜neda

4. (a) ¿Cu´al es la “menor” relaci´on de equivalencia definida en un con-junto? ¿Cu´al es la “mayor”?

(b) Demuestre que la relaci´on de equivalencia generada por una relaci´on dada, R, es la intersecci´on de todas las relaciones de equivalencia, definidas enA, que contienen aR.

5. Para el conjuntoA=_{a, b, c_}, muestre en un diagrama de Hasse el orden parcial (2A_,⊆).

6. Sea n un entero positivo y considere la congruencia m´odulo n en ZZ

(a_≡b(mod n) si, y solo si a₋b es m´ultiplo de n).

(a) Demuestre que si x_≥ 0 entonces [x] = [r] y [₋x] = [n₋r], donde

r es el residuo de la divisi´on de x entren.

(b) Concluya que ZZn tiene exactamente n clases de equivalencia

dis-tintas.

7. Demuestre que siRes un orden parcial, entoncesR′_{, relaci´on dual deR,}

tambi´en es un orden parcial.

8. Un conjunto es infinito si es equipotente con un subconjunto propio. Un conjunto finito es un conjunto no infinito.

(a) Demuestre que IN = _{1,2,3, . . ._} (conjunto de los n´umeros natu-rales) es infinito.

(b) Muestre que el vac´ıo es finito.

(c) Demuestre que si A es un conjunto que contiene un subconjunto infinito, entonces A es infinito. Concluya que todo subconjunto de un conjunto finito es tambi´en finito.

9. Un conjunto esinfinito enumerablesi es equipotente conIN. Un conjunto escontable ( oenumerable) si es finito o infinito enumerable. Demuestre:

(a) IN, ZZ, y Q (racionales) son infinitos enumerables, pero IR no lo es.

(b) IN est´a bien ordenado.

(c) Para todo conjunto enumerable existe un buen orden.1

10. Sea A un conjunto. Sobre 2A _{definamos la relaci´on ¹ como sigue:}

X_¹Y _{⇐⇒ |}X_{| ≤ |}Y_|.

(a) ¿Es _¹ un orden parcial en 2A_?

(b) Considere la relaci´on de equipotencia en 2A _{y defina sobre el}

con-junto cociente la relaci´on

[X]_¹[Y]_{⇐⇒ |}X_{| ≤ |}Y_|.

Muestre que tal relaci´on est´a “bien definida”. ¿ Es un orden parcial sobre el conjunto cociente considerado?

1.3

Estructuras algebraicas

Dado un conjunto A no vac´ıo, una funci´on A×A −→ A es denominada ley de composici´on interna u operaci´on binaria en A. M´as generalmente, una

operaci´on binaria es una funci´on A_×B _−→C, siendo A, B y C conjuntos no vac´ıos cualesquiera. Si ∗:A×B −→C es una operaci´on binaria, para un par (a, b)_∈A_×B, la im´agen del mismo bajo _∗es generalmente denotada por

a_∗b. Para conjuntos no vac´ıos A1, A2, . . . An, B una funci´on

A1×A2×. . .×An−→B

es usualmente denominada unaoperaci´on n− aria.

La denominaci´on de estructura algebraica la utilizaremos para uno o m´as conjuntos sobre los cuales se han definido operaciones. Generalmente la notaci´on utilizada para referirse a una estructura algebraica dada especifica tanto el o los conjuntos que “soportan” la estructura, como las operaciones que la suministran. Las siguientes definiciones generalizan algunas propiedades ya familiares para el lector.

1_{En general, se tiene el siguiente principio del buen orden, equivalente al axioma de}

elecci´on :

11 S. Casta˜neda

Definici´on 1.3.1 Sean∗y◦, operaciones binarias definidas sobre el conjunto

A y sea B un subconjunto no vac´ıo de A.

1. ∗ es :

Conmutativa, si para cada par x, y_∈A:

x_∗y=y_∗x. (1.1)

Asociativa, si para toda terna x,y,z en el conjunto A se tiene

x_∗(y_∗z) = (x_∗y)_∗z. (1.2)

Modulativa, si existe un elemento e, denominado m´odulo o neutro, tal que para cada x_∈A :

x_∗e=e_∗x=x. (1.3)

Invertiva, si es modulativa y para todo elemento x_∈ A, existe un ele-mento y_∈A, tal que

x_∗y=y_∗x=e (1.4)

siendo e el elemento neutro para ∗. El elemento y de la definici´on anterior es denominado un inverso para x.

Distributiva respecto de _◦, si para toda terna de elementos x,y,z en

A se tiene

x∗(y◦z) = (x∗y)◦(x∗z). (1.5)

∧

(y◦z)∗x= (y∗x)◦(z∗x). (1.6)

2. B es Cerrado bajo _∗ si para cada par x,y en B, se tiene que

x∗y∈B.

En la ´ultima definici´on tambi´en se acostumbra decir que la operaci´on es

Clausurativa en el conjunto B. Obs´ervese que esto quiere decir que la res-tricci´on de la operaci´on binaria, como funci´on, a B _×B es una operaci´on binaria en B. De acuerdo con la definici´on, toda operaci´on binaria ∗ : A×

A−→A, definida sobre A es clausurativa enA. Por supuesto, una operaci´on binaria podr´ıa involucrar elementos de conjuntos distintos y sus “resultados” (im´agenes) estar en un conjunto distinto al de los elementos operados, por lo que el concepto de cerradura no tendr´ıa sentido. Sin embargo, algunas de las definiciones dadas anteriormente pueden ser extendidas a operaciones binarias m´as generales. Por ejemplo, si ⋄ : A× B −→ A es una operaci´on binaria, entonces unelemento neutro a derecha para ⋄es, si existe, un elemento e∈B

tal que x_⋄e=x para todo x_∈A.

Una estructura asociativa (A,∗),∗:A×A−→A, es denominadasemigrupo. Un semigrupo con elemento neutro se conoce comomonoide. Un grupoes un monoide invertivo. Un grupo conmutativo es tambi´en denominado grupo abeliano. Por comodidad utilizaremos la notaci´on “multiplicativa”

x∗y=xy

para x, y ∈ A si (A,∗) es un semigrupo. En ese sentido, si la estructura es un monoide notaremos el elemento neutro por 1A o por 1, si no hay lugar a

confusi´on. De igual manera, si se tiene un grupo, para un elemento x _∈ A el

inversodex, el cual se puede demostrar que es ´unico (ver ejercicios), se notar´a por x−1_{. Por supuesto, en estructuras donde la operaci´on es denominada}

adici´on utilizaremos la notaci´on “aditiva” (0A o 0 para el neutro y −x para

el inverso de x). Tambi´en ser´a com´un el utilizar expresiones como “A es un semigrupo” (monoide, grupo, respectivamente) para referirnos al hecho de que sobre el conjunto A se ha definido una operaci´on binaria con las propiedades correspondientes. El siguiente teorema establece algunas propiedades b´asicas en las estructuras antes definidas.

Teorema 1.3.1 Sea ·:A×A−→A una operaci´on binaria. Entonces: 1. Si para _· existe un elemento neutro, entonces es ´unico.

2. Si (A,_·) es un monoide y si x_∈A tiene un inverso, entonces es ´unico. 3. Si A es un grupo, entonces para elementos a, b_∈A dados, cada una de

13 S. Casta˜neda

Demostraci´on:

1. Si e, e′ _{son neutros para · entonces}

e= ee′ _{Por ser e}′ _{neutro a derecha}

= e′ _{Por ser e neutro a izquierda}

2. Ejercicio.

3. Demostremos solo para la ecuaci´onax=b.

ax=b _⇐⇒ a−1_{(ax) = a}−1_b

⇐⇒ (a−1a)x=a−1b

⇐⇒ 1Ax=a−1b

⇐⇒ x=a−1b

En grupos podemos definir, de la misma forma que en el conjunto de los n´umeros reales no nulos, potencias enteras. Para motivar tal definici´on note que (IR− {0},·) es un grupo y que para un real no nulo xse tiene

xn =     

1 si n= 0

xn−1_{x si n≥1}

(x−n₎−1 _{si n <0}

.

Extendiendo esa definici´on a grupos arbitrarios tenemos:

Definici´on 1.3.2 Sean G un grupo, x∈G y n un n´umero entero. Entonces:

xn ₌

  

1G si n= 0

xn−1_{x si n≥1}

(x−n₎−1 _{si n <0}

(1.7)

El siguiente teorema extiende algunas propiedades familiares de la potenciaci´on entera de reales no nulos.

Teorema 1.3.2 Sean G un grupo,x_∈G, n y m n´umeros enteros. Entonces:

(xn)−1 = (x−1)n (1.8)

xnxm = xn+m (1.9)

(xn)m = xnm (1.10)

Observaciones 1.3.1

1. En un grupo aditivo G la notaci´on acostumbrada para la n₋ ´esima po-tencia de un elemento x es nx, en lugar de xn_.

2. En un tal grupo, donde el neutro es denominado el cero del grupo, la definici´on y el teorema anteriores establecen entonces:

nx =   

0G si n= 0

(n₋1)x+x si n_≥1

−((₋n)x) si n <0

−(nx) = n(₋x) (nx) + (mx) = (n+m)x

m(nx) = (nm)x

El cardinal de un grupo es denominado orden del mismo. Un subconjunto no vac´ıoH de un grupoG es denominadosubgrupo deGsi es cerrado para la operaci´on deG, y es ´el mismo un grupo bajo la restricci´on de dicha operaci´on aH. En particular, siGes un grupo yxes un elemento deG, entonces el con-junto de todas las potencias enteras dexes un subgrupo de G(Ejercicio). Tal grupo es denominado el subgrupo de G generado por x. El teorema siguiente caracteriza los subgrupos de un grupo dado. La demostraci´on es un ejercicio.

Teorema 1.3.3 Sea G un grupo y H un subconjunto no vac´ıo de G. Son equivalentes:

1. H es subgrupo de G

2. Para todo x, y ∈H: xy−1 _∈H.

Ejemplo 1.3.1 IN ={1,2, . . .} es un semigrupo aditivo, mientras que IN0 =

{0,1,2, . . ._} es un monoide (aditivo). Por su parte, considerados con la suma,

ZZ, Q , IR y C (enteros, racionales, reales, complejos, respectivamente) son grupos conmutativos. Desde el punto de vista multiplicativo, los tres ´ultimos sin el cero, son grupos.

Ejemplo 1.3.2 Para un conjunto no vac´ıo S, sea

A(S) = {f :S −→S | f es biyectiva}.

Entonces A(S) es un grupo bajo la “multiplicaci´on” f g = g◦f, donde ◦ es la composici´on de funciones. Si |S|>2, entonces A(S) no es conmutativo. Si

S =_{x1, x2, . . . , xn} se acostumbra escribir Sn en lugar de A(S). Es f´acil ver

15 S. Casta˜neda

Anillos y Campos

Sea A un conjunto no vac´ıo sobre el cual se tienen dos operaciones (notadas aditiva y multiplicativamente)

+ :A×A−→A , ·:A×A −→A.

La estructura (A,+,_·) es unanillosi, y solo si (A,+) es un grupo abeliano y_·es una operaci´on asociativa y distributiva con relaci´on a +. Las denominaciones deanillo conmutativo y anillo con elemento identidad (o unidad)) se referir´an a anillos donde la operaci´on _· (multiplicaci´on) sea conmutativa, en el primer caso, y, adem´as, modulativa, en el segundo. El neutro aditivo 0A del grupo

abeliano (A,+), en el anillo (A,+,_·) ser´a denominado elcero del anillo. De igual manera ₋x denotar´a el inverso aditivo del elemento x. Si A es un anillo con elemento identidad, denotaremos a ´este ´ultimo por 1A. En tal caso un

elemento x _∈A se denomina invertible, o regular, o no singular, si existe

y _∈ A, notado x−1 _{tal que xy =x·y = yx = 1}

A. Un anillo IK con elemento

identidad 1IK 6= 0IK es denominadocampo si todo elemento distinto de 0IK es

regular.

En un anillo A se tienen dos clases de potencias enteras: las del grupo abeliano (A,+), o “aditivas”, seg´un la definici´on 1.3.2, y potencias multiplica-tivas con exponentes positivos, que se pueden definir en forma similar como en el caso real. Si adem´as hay elemento identidad podemos definir x0 _{= 1}

A.

Algunas de las propiedades b´asicas de los anillos se enuncian en el siguiente teorema. Otras propiedades se muestran en los ejercicios de la secci´on.

Teorema 1.3.4 Sean A un anillo, x, y ∈A y n, m∈ZZ.

x0A = 0Ax= 0A (1.11)

(−x)y = x(−y) = −(xy) (1.12)

n(xy) = x(ny) = (nx)y (1.13)

Si A tiene elemento identidad y n es positivo, entonces:

(x+y)n =

n

X

k=0

µ_n

k

¶

xkyn−k (1.14)

Ejercicios

1. En el conjunto de los n´umeros reales definamos

x_∗y=xy+y+x.

Muestre que la f´ormula anterior define una operaci ´on binaria conmuta-tiva, asociativa y modulativa. ¿Es invertiva?.

2. Si la f´ormula del ejercicio anterior se define sobre IR− {0} ¿ se obtiene una estructura invertiva?

3. Para cada una de las f´ormulas dadas abajo indique si define o no una operaci´on binaria sobre IR.

(a) x∗y=x+y+ 5 (b) x_∗y= x+y₂

(c) x∗y=xy+x

(d) x_∗y= x−2 y

(e) x_∗y=x2_+y2

(f) x∗y=√x−y

(g) x_∗y= log (xy) (h) x_∗y=ex+y

4. En el ejercicio anterior, para las operaciones binarias definidas sobre IR, indique cu´ales propiedades algebraicas tiene cada una de ellas.

5. En el ejercicio 1, para aquellas f´ormulas que no definen operaciones bi-narias sobre los reales encuentre, si es posible, un conjunto A ⊂ IR, tal que la f´ormula defina una operaci´on binaria en A. M´as generalmente, encuentre subconjuntos no vac´ıos A, B _⊆IR tales que

∗:A_×B _−→IR

sea una operaci´on binaria.

6. Demuestre que en un grupo los inversos son ´unicos.

7. Demuestre los teoremas 1.3.2 y 1.3.3

17 S. Casta˜neda

9. Muestre que si G es un grupo tal que para todo elemento x ∈ G se cumple que (xy)2 =x2y2 entonces es abeliano.

10. Sean G un grupo y S un subconjunto de G. Muestre que existe un

subgrupo minimaldeGque contiene aS. Tal subgrupo es denominado el subgrupo generadopor S.

11. Demuestre (vea ejercicio anterior) que siGes un grupo yx_∈G, entonces el subgrupo generado por _{x_} ( se dir´a tambi´en el subgrupo generado por x) es el conjunto de todas las potencias enteras dex.

12. Un grupo c´ıclico es un grupo generado por un solo elemento (ver ejercicio anterior). Demuestre que todo subgrupo de (ZZ,+) es c´ıclico.

13. En un anillo conmutativo A un elemento x _∈ A _{− {}0A} se denomina

divisor de cero si existe y ∈ A− {0A} tal que xy = 0A. Un anillo se

denomina dominio enterosi no tiene divisores de cero. Demuestre que todo dominio entero finito A=_{x1, x2, . . . , xn} con n >1 es un campo.

¿Es v´alido el rec´ıproco?

1.4

Morfismos. Transporte de estructuras

Consideramos en esta secci´on el caso de una estructura “simple” (A,_∗) y el de un conjunto B al cual queremos suministrarle una estructura “similar”. Para ir fijando ideas, consideremos primero un conjunto B equipotente con A. Es decir, supongamos que existe una biyecci´on

ϕ :A_−→B.

El que los conjuntos sean equipotentes significa simplemente quepodemos iden-tificar los elementos de uno de ellos con elementos del otro. Es decir, por ejemplo, podemos “rotular” cada elemento de B con un nombre de un ´unico elemento de A. En tal sentido, no es dif´ıcil entender c´omo definir una ope-raci´on sobre B, tal que la estructura resultante tenga las mismas propiedades de (A,_∗). Se trata entonces de “transportar” hasta B la “misma estructura”

queA tiene bajo la operaci´on ∗ como lo indica el diagrama siguiente

ϕ−1 ϕ

B _−→ A _−→ B

x 7−→ ϕ−1_(x)

y _7−→ ϕ−1_(y)

↓

ϕ−1_(x)∗ϕ−1_{(y) 7−→ ϕ(ϕ}−1_(x)∗ϕ−1_(y))

⇓

x∗y

As´ı, si sobre B definimos una operaci´on, para la cual utilizaremos el mismo s´ımbolo∗, mediante la f´ormula

x∗y=ϕ(ϕ−1(x)∗ϕ−1(y)), (1.15) entonces es claro que la estructura (B,∗) tiene las mismas propiedades (en el sentido de la definici´on 1.3.1, p´agina 11) de (A,_∗). N´otese, en efecto, que adem´as de la correspondencia biun´ıvoca entre A y B como conjuntos, existe una identificaci´on “estructural” en el sentido dado por la identidad siguiente:

ϕ(x∗y) = ϕ³ϕ−1(ϕ(x))∗ϕ−1(ϕ(y))´ = ϕ(x)_∗ϕ(y)

para todox, y ∈A. La denominaci´on t´ecnica para la situaci´on analizada es de “isomorfismo” entre las estructuras (A,∗) y (B,∗). Para el caso considerado lo que se quiere decir es que se “transport´o”, v´ıa la biyecci´onϕ, la estructura desde A hasta B. Un poco burdamente hablando, dadas estructuras (A,∗) y (B,◦), una aplicaci´on ϕ:A−→B es denominada unmorfismo si para todo

x, y _∈A, se cumple

ϕ(x∗y) = ϕ(x)◦ϕ(y) (1.16) La ecuaci´on 1.16 es a menudo descrita diciendo queϕ“preserva” la estructura o la operaci´on. En particular, siGyG′_{son grupos (notados multiplicativamente,}

en general) un homomorfismo (o morfismo) de grupos es una funci´on

ψ :G−→G′

tal que

19 S. Casta˜neda

para todo x, y ∈ G. De manera similar si (A,+,·),(A′_{,+,·) son anillos, un}

morfismo de anillos es una funci´on ψ :A−→A′ tal que para todo x, y ∈A se satisfacen:

ψ(x+y) = ψ(x) +ψ(y) (1.18)

ψ(xy) = ψ(x)ψ(y) (1.19)

Las denominaciones de epimorfismo, monomorfismo (o inmersi´on) e isomor-fismo son utilizadas para un morfismo sobreyectivo, uno a uno y biyectivo, respectivamente. Dos grupos (anillos) se denominan isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos. Estructuralmente hablando, no existe diferencia entre estructuras algebraicas isomorfas, salvo por la “naturaleza” de los elementos. El siguiente resultado es inmediato.

Teorema 1.4.1 Sea ψ :G−→G′ _{un morfismo de grupos. Entonces:}

1. ψ(G) es un subgrupo de G′

2. ker(ψ) = {x∈G | ψ(x) = 1G′} es un subgrupo de G. 3. Para todo x_∈G:

ψ(1G) = 1G′ (1.20)

ψ(x−1) = (ψ(x))−1 (1.21)

4. ψ es una inmersi´on si, y solo si ker(ψ) = _{1G}

El subgrupo ker(ψ) del teorema anterior es un subgrupo “distinguido”, como veremos a continuaci´on, y se denomina n´ucleoo kernell del homomorfismo.

Otro tipo de “transporte de estructura” desde (A,_∗) hasta un conjunto B

puede darse eventualmente si B = A/R es conjunto cociente de A bajo una relaci´on de equivalencia R. Precisando, se trata de dar a A/R una estructura “similar” (aunque no isomorfa) a la de (A,_∗). As´ı, se requiere definir una funci´on

∗: A/R×A/R −→ A/R

([x],[y]) _7−→ [x]_∗[y] (1.22) tal que las propiedades b´asicas de (A,_∗) “pasen” al cociente (A/R,_∗). Puesto que x, y _∈A y x_∗y_∈A parece natural definir

[x]_∗[y] = [x_∗y] (1.23)

En efecto, si 1.23 define una operaci´on binaria enA/Rentonces es claro (ejer-cicio) que propiedades como la asociativa, conmutativa, existencia de neutro e invertiva, pasan de (A,_∗) (si ´esta las tiene) a la “estructura cociente” (A/R,_∗). Sin embargo, para que la ecuaci´on 1.23 defina una operaci´on se requiere que para elementos x, y, z, w ∈A con [x] = [z],[y] = [w] se tenga [x∗y] = [z∗w]. Es decir, el “resultado” de la operaci´on no debe depender de los representantes escogidos en las clases que se operan. Por lo tanto, la condici´on necesaria y suficiente para que 1.23 defina una operaci´on sobreA/R es:

∀x, y, z, w _∈A:xRz_∧yRw =_⇒x_∗yRz_∗w (1.24)

Para una relaci´on R, cualquiera, y una operaci´on _∗, la propiedad 1.24 es de-nominada compatibilidadde R con ∗. Se tiene entonces:

Teorema 1.4.2 Sean A un conjunto no vac´ıo, ∗ yR una operaci´on binaria y una relaci´on de equivalencia, respectivamente, sobreA. Entonces la asignaci´on

A/R_×A/R _∋([x],[y])_7−→[x_∗y]_∈A/R

define una operaci´on si, y solo si R y _∗ son compatibles.

Si se piensa en ∗ como la adici´on (o multiplicaci´on) y R como la igualdad de reales, entonces la compatibilidad no es m´as que lapropiedad uniforme: “Si sumamos (multiplicamos) miembro a miembro dos igualdades obtenemos una igualdad”. En ese sentido, utilizaremos tambi´en la denominaci´on depropiedad uniforme para la compatibilidad. Una versi´on equivalente de la propiedad uniforme es.

(_∀x, y _∈A) (xRy=_⇒(_∀z _∈A)(x_∗zRy_∗z_∧z_∗xRz_∗y)) (1.25)

Ejemplo 1.4.1 En el ejemplo 1.2.3, p´agina 5 la relaci´on R que clasifica los reales en positivos, negativos y el cero, no es compatible con la adici´on. En efecto, n´otese que 1R2 y ₋1R₋1 pero [0] ₆= [1]. ¿Es compatible R con la multiplicaci´on?

Ejemplo 1.4.2 Para la congruencia m´odulo n (ejemplo 1.2.2, p´agina 5) se tiene que si x, y, z, w son enteros tales que x ≡ y(mod n) y z ≡ w(mod n) entonces

21 S. Casta˜neda

para enteros k y k′_{. Por lo tanto}

(x+z)₋(y+w) = (x₋y) + (z₋w) = (k+k′)n

xz₋yw = (xz₋yz) + (yz₋yw) = (kz+k′y)n

es decir

x+z _≡y+w(mod n) y xz _≡yw(mod n).

Se tienen as´ı una adici´on y una multiplicaci´on de clases en ZZn:

[x] + [y] = [x+y] [x][y] = [xy]

Puesto que (ZZ,+,_·) es un anillo conmutativo con elemento identidad, se sigue que tambi´en lo es (ZZ,+,_·) (Anillo cociente). N´otese, sin embargo, que la propiedad de ser dominio entero no pasa al cociente. Por ejemplo, en ZZ8, se

tiene

[4][2] = [0],pero [4]₆= [0],[2]₆= [0].

Por otra parte, en (ZZ,+,·) los ´unicos elementos regulares son 1 y −1. En el anillo cociente ZZn, tambi´en [1] y [−1] = [n−1] son invertibles, pero pueden

existir tambi´en otros elementos invertibles. M´as a´un, si n es primo, el anillo cociente ZZn es un campo (ver ejercicios).

Ejemplo 1.4.3 En el ejemplo anterior, si consideramos un conjunto cualquiera de representantes, uno por cada clase de equivalencia, es decir

A=_{x1, x2, . . . , xn},

entonces la aplicaci´on

ψ : A −→ ZZn

xi 7−→ [xi]

es una biyecci´on y la estructura de anillo puede transportarse de ZZn hasta A.

La estructura resultante es isomorfa a (ZZn,+,·). En particular, escribiremos

ZZn={0,1,2, . . . , n−1}

en vez de _{[0],[1],[2], . . . ,[n₋1]_} para referirnos al anillo en cuesti´on.

Consideremos ahora, en particular, el problema de transportar la estructura de grupo a un cociente del conjunto soporte. Es decir, supongamos que G es un grupo y queRes una relaci´on de equivalencia. El siguiente teorema caracteriza las relaciones de equivalencia compatibles con la estructura de grupo.

Teorema 1.4.3 Sean G un grupo y R una relaci´on de equivalencia en G. Entonces son equivalentes:

1. R es compatible con la estructura de grupo de G

2. Existe un subgrupo N de G tal que:

∀x, y _∈G:xRy _⇐⇒xy−1 _∈N(x−1y_∈N) (1.26)

∀x_∈G, y _∈N :xyx−1 _∈N (1.27)

Demostraci´on:

=⇒] Consideremos la aplicaci´on de G en G/R, definida por ϕ(x) = [x]. En-tonces ϕ es un morfismo de grupos pru´ebelo en detalle) y N es un subgrupo deG. Definamos

N =ker(ϕ) =_{x_∈G _|ϕ(x) = [1G]}.

Entonces:

xRy ⇐⇒ [x] = [y] =⇒ [x][y−1_{] = [1}

G] = [x−1y]

=_⇒ xy−1 _{∈N (x}−1_y

∈N)

Ahora, six_∈G, y _∈N, entonces

ϕ(xyx−1) = [x][1G][x−1]

= [xx−1] = [1G],

lo que prueba quexyx−1 _∈N.

⇐=] SupongamosxRy, entonces xy−1 _{∈N, por lo tanto}

∀g ∈G: gxy−1_g−1 _{= (gx)(gy)}−1_,(xg)(yg)−1 _=xy−1 _∈N

⇒ gxRgy_∧xgRyg

23 S. Casta˜neda

Un subgrupo que satisface la condici´on 1.27 del teorema anterior se deno-mina subgrupo normal o distinguido. Es f´acil probar que el n´ucleo de un morfismo (como en el teorema) es un subgrupo normal del dominio del mismo. La relaci´on definida por 1.26 es denominadacongruencia m´oduloN, notada

≡ (mod N), y es de equivalencia, independientemente de que N sea normal o no. Para ser m´as preciso se denomina congruencia a derecha2 _{El conjunto}

cociente bajo la relaci´on de congruencia m´oduloN sera notado porG/N. Para un elemento x∈G si definimos

N x=_{yx _| y_∈N_},

se tiene que

z ∈[x] ⇐⇒ z ≡x(mod N)

⇐⇒ zx−1 ∈N

⇐⇒ z = (zx−1)x∈N x

de donde se sigue que [x] = N x. Consecuentemente, se utilizar´a la denomi-naci´on clase lateral derecha para N x. Si N es normal, entonces

G/N =_{N x _| x_∈G_}

es un grupo (cociente) bajo la operaci´on

N xN y =N xy.

El teorema anterior establece adem´as que N es normal si, y solo si

N x={xy |y ∈N}=xN.

El conjunto xN es denominado, una clase lateral izquierdade N enG.

Para anillos, la compatibilidad con la estructura proviene tambi´en de una subestructura denominada ideal. Espec´ıficamente, tenemos:

2_{Para un subgrupo cualquieraN la relaci´on de congruencia (a izquierda) viene definida}

por

xRy_⇐⇒x−1_y∈_N.

Las clases de equivalencia para ambas congruencias coinciden siN es normal.

Teorema 1.4.4 La relaci´on de equivalencia R es compatible con la estructura del anillo A si, y solo si existe un subconjunto no vac´ıo I de A tal que:

I es un subgrupo aditivo deA. (1.28)

∀x_∈A, y_∈I :xy, yx_∈I (1.29)

∀x, y _∈A:xRy _⇐⇒x₋y _∈I (1.30)

Para la demostraci´on es suficiente con verificar la estructura multiplicativa. El resto se sigue del teorema anterior. Un subconjunto no vac´ıo del anillo A, que satisface las condiciones 1.28 y 1.29 se denomina ideal del anillo A. De acuerdo con el teorema anterior la clase de equivalencia de un elementox_∈A

esI+x=x+I.

Ejercicios

1. Realice y/o complete todas las demostraciones no realizadas en la secci´on anterior.

2. Considere la estructura cociente (ZZn,+,·).

(a) Demuestre quem₆= 0 es un elemento regular si, y solo si my n son primos relativos.

(b) Concluya que si n es primo entonces ZZn es un campo.

3. Muestre que todo conjunto infinito enumerable puede dotarse de una estructura de anillo.

4. Considere el conjuntoIN0 ={0,1,2,3, . . .}(n´umeros cardinales). Suponga

que la estructura (IN0,+) es un monoide conmutativo y que satisface

adem´as la siguiente ley cancelativa:

x+y=x+z =⇒y=z.

Una construcci´on del conjunto de los enteros como estructura cociente es como sigue.

Defina enIN0×IN0 la relaci´on

(x, y)∼(z, w)⇐⇒x+w=y+z.

25 S. Casta˜neda

(b) Si definimos (x, y) + (z, w) = (x+z, y +w) en IN0 ×IN0 muestre

que dicha suma es compatible con la relaci´on anterior.

(c) Defina la estructura cociente resultante como la estructura aditiva de los enteros (ZZ,+). Muestre que tal estructura no solo es un monoide conmutativo, sino que es un grupo abeliano.

(d) ¿ Puede considerarseIN0una “subestructura” deZZ? ¿C´omo definir´ıa

el producto enZZ ?

5. Con la misma idea del ejercicio anterior, puede “sumergir” a ZZ en un campo (el campo de los racionales), el cual es una estructura cociente. Defina una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto adecuado y cons-truya el campo de los n´umeros racionales.

6. SeanG, G′ _{grupos y ϕ :G−→G}′ _{un morfismo de grupos. Demuestre.}

(a) Ker(ϕ) es un subgrupo normal de G.

(b) Siϕ es un epimorfismo, entonces G′ _{es isomorfo a G/Ker(ϕ).}

Cap´ıtulo

2

Espacios vectoriales

2.1

Definiciones y propiedades b´

asicas

Introducimos ahora la estructura que constituye el ambiente natural del Alge-bra Lineal: la estructura de espacio lineal o espacio vectorial. En lo que sigue IK denotar´a un campo. Los elementos de un campo ser´an denominados

escalares

Definici´on 2.1.1 Sean IK un campo, V un conjunto no vac´ıo y

+ :V _×V _−→V , _·:IK_×V _−→V

operaciones binarias, denominadasadici´on ymultiplicaci´on por escalares, respectivamente. La estructura (V,+,_·)se denominaespacio lineal sobreIK

si, y solo si:

1. (V,+) es un grupo abeliano.

2. Para todo v _∈V se tiene

1IK·v =v (2.1)

3. Para todo par de escalares k, l y todo u, v _∈V se tienen:

k·(l·v) = (kl)·v (2.2)

(k+l)·v = k·v+l·v (2.3)

k·(v+u) = k·v+k·u (2.4)

Un espacio lineal es tambi´en denominadoespacio vectorial. Los elementos de V son denominados vectores. Puesto que (V,+) es un grupo abeliano, tiene un elemento neutro al que denominaremos vector cero y denotaremos por 0V si queremos distinguirlo del cero escalar, 0IK, elemento neutro aditivo

del campo IK. Usualmente suprimiremos los sub´ındices si no hay lugar a confusi´on. Tambi´en acostumbraremos escribirkv en lugar de k_·v.

Ejemplo 2.1.1 Para un campo IK cualquiera y un entero positivo n, el con-junto

IKn =               k1 k2 ... kn      ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

ki ∈IK, para todoi= 1,2, . . . , n

        

con las operaciones definidas por      k1 k2 ... kn     +      l1 l2 ... ln      =     

k1+l1

k2+l2

...

kn+ln

     k      k1 k2 ... kn      =      kk1 kk2 ... kkn     

es claramente un espacio vectorial (verif´ıquelo detalladamente). El vector cero es O=      0 0 ... 0     ,

donde 0 denota al cero del campo IK.

Ejemplo 2.1.2 Si X es un conjunto no vac´ıo, sea

IKX ={f :X −→IK |fes una funci´on}.

Paraf, g _∈IKX _{y k ∈IK definimos para x∈X:}

29 S. Casta˜neda

Es claro quef+g ykf son funciones deX aIK. Con tales operacionesIKX _es

un espacio vectorial sobreIK(ejercicio). En particular, siX ={x1, x2, . . . , xn}

es un conjunto finito, cada funci´onf :X _−→IKqueda completamente descrita

por la n-ada _

    

f(x1)

f(x2)

...

f(xn)

     ∈IK

n

y rec´ıprocamente, cada n-ada de elementos del campo describe una ´unica funci´on en IKX_{. Podemos identificar entonces, como veremos posteriormente,}

los espacios vectoriales IKn _{y IK}X_.

Ejemplo 2.1.3 Un conjunto con un ´unico elemento, digamosV ={a}, es un espacio vectorial sobre cualquier campo IK bajo las operaciones definidas por

a+a=a y ka=a, para todo k∈IK.

Tal espacio es denominado el espacio nulo sobre IK.

Ejemplo 2.1.4 Consideremos el subconjunto deIR[0,1]

C0_{([0,1]) ={f ∈IR}[0,1] _{| f es continua en el intervalo [0,1]}}

con las operaciones ya definidas enIR[0,1]_{. Es claro que tal conjunto es cerrado}

para las operaciones de adici´on y multiplicaci´on por escalares, pues la adici´on de funciones continuas lo es tambi´en y el producto de un escalar por una funci´on continua es una funci´on continua. Tal conjunto es tambi´en un espacio vectorial (“subespacio” de IR[0,1]_).

Algunas propiedades esperadas de los espacios vectoriales se presentan en el siguiente teorema.

Teorema 2.1.1 Sea V un espacio vectorial sobre IK. Entonces, para todo

v _∈V, k _∈IK se tiene:

1. kv = 0V si, y solo si k = 0IK o v = 0V.

2. (₋k)v =k(₋v) =₋(kv).

Demostraci´on:

1. Para cualquier v ∈V se tiene (justifique):

0IKv+ 0v = (0IK + 0IK)v

= 0IKv+ 0IKv

de donde, por leyes cancelativas en el grupo (V,+), se sigue que 0V =

0IKv. En forma parecida se demuestra que k0V = 0V para todo k ∈IK.

As´ı se ha demostrado que kv = 0V si k= 0IK ov = 0V.

Por otra parte si kv = 0V, con k 6= 0IK, entonces multiplicando por

k−1 _{se sigue que v = 0} V.

2. Para k _∈IK y v _∈V se tiene

kv+ (₋k)v = (k+ (₋k))v

= 0IKv

= 0V

de donde se sigue que (₋k)v =₋(kv). En forma similar:

k(−v) +kv =k((−v) +v) =k0V = 0V,

por lo que k(₋v) = ₋(kv)

Si (V,+,·) es un espacio vectorial sobreIK, entonces cualquier subconjunto no vac´ıo S _⊆ V que sea cerrado para las operaciones de espacio vectorial, es claramente un espacio vectorial sobre IK, bajo las restricciones de las opera-ciones a dicho conjunto. En efecto, si S es no vac´ıo y satisface las condiciones de cerradura:

u+v _∈S,para todo u, v _∈S (2.5)

ku∈S, para todok ∈IK, u∈S (2.6) entonces se tiene para un elementox∈Sque 0x=O∈Sy−x= (−1IK)x∈S,

por lo que S contiene al vector cero y a los inversos de sus elementos. Las dem´as propiedades de la definici´on 2.1.1 son “heredadas” por S deV. Conse-cuentemente con lo anterior un subconjunto no vac´ıo y cerrado de un espacio vectorial es denominado unsubespacio del mismo. Si S es un subespacio de

V escribiremos S _¹ V. Es claro que V mismo y _{0V} son subespacios de V

a los que denominaremossubespacios triviales. Un subespacio propio de V

31 S. Casta˜neda

Ejemplo 2.1.5 Como se dijo en el ejemplo 2.1.4, p´agina 29, el conjunto de las funciones continuas enIR[0,1] es un subespacio de dicho espacio. Si n es un entero no negativo entonces tanbi´en son subespacios de IR[0,1] _{(demu´estrelo):}

Cn([0,1]) = _{f _{| ∀}k = 0,1, . . . , n:f(k) existe y es continua en [0,1]_}

C∞([0,1]) = _{f _|∀m _∈IN0 : f(m)existe y es continua en [0,1]}

Definici´on 2.1.2 Sean V un espacio vectorial sobre IK, I un conjunto de ´ındices y M =_{vi | i∈I} ⊆V. Entonces:

1. Un vector v ∈ V es una combinaci´on lineal de elementos de M si, y solo si, existe un subconjunto finito J _⊆I tal que

v =X

j∈J

kjvj,

para escalares kj ∈IK.

2. M es linealmente dependiente (abreviado l.d) si, y solo si existe un subconjunto finito J ⊆I tal que

X

j∈J

kjvj = 0V,

con alg´un kj 6= 0IK.

3. M es linealmente independiente (abreviado l.i) si y solo si no es l.d.

De la definici´on anterior, si M = {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto finito de

vectores de V, entonces siempre existe una combinaci´on lineal nula

0IKv1+ 0IKv2 +. . .+ 0IKvn= 0v (2.7)

de los vectores vi. Tal combinaci´on mostrada en 2.7 es denominada la

com-binaci´on lineal nula trivial. Entonces un conjunto de vectores es l.d si existen combinaciones lineales nulas no triviales de elementos del mismo, y es l.i si las ´

unicas combinaciones nulas de elementos de tal conjunto son las triviales.

Si{ vi | i∈I}es l.d, siendoI ⊆IN, entoncesI puede ordenarse totalmente

mediante una funci´on inyectiva f : I −→ IN. Podemos entonces identificar

I con f(I) = _{1,2,3, . . ._} = J y debe existir una combinaci´on lineal nula no trivial y minimal

m

X

j=1

kjvj = 0V,

en el sentido siguiente:

Si

p

X

j=1

αjvj = 0, p < m=⇒ ∀j = 1,2, . . . , p: αj = 0.

El siguiente teorema presenta algunas de las propiedades b´asicas de la depen-dencia e independepen-dencia lineal.

Teorema 2.1.2 Sea V un espacio vectorial sobre IK. Entonces: 1. Si M ⊆V y 0V ∈M, entonces M es l.d.

2. M = _{vi | i ∈ I} ⊆ V es l.d si, y solo si existe i ∈ I, tal que vi es

combinaci´on lineal de M _{− {}vi}.

3. Sean M ⊆N ⊆V. Entonces: (a) Si M es l.d, entonces N lo es. (b) Si N es l.i, entonces M lo es.

(c) Si {vi | i ∈ I} ⊆ V es un conjunto l.i, entonces para todo

subcon-junto finito J de I se cumple: X

j∈J

kjvj =

X

j∈J

αjvj ⇐⇒ ∀j ∈J :kj =αj. (2.8)

Demostraci´on:

1. Si 0v ∈M, entonces 10V = 0V es una combinaci´on lineal nula no trivial

de elementos deM. As´ı,M es l.d.

2. Si M es l.d, existe un subconjunto finitoJ _⊆I tal que X

j∈J

33 S. Casta˜neda

para escalares kj no todos nulos, vj 6=vl si j 6=l. As´ı existe un i∈J tal

que ki 6= 0 y

vi =

X

j∈J,j6=i

−kj

ki

vj.

Se tiene entonces que vi es combinaci´on lineal de {vj | j ∈ I, j 6= i} ⊆

M _{− {}vi}.

3. Si M es l.d, entonces existe un vector v _∈ M que es combinaci´on lineal de elementos de M − {v} ⊆ N − {v}. Entonces v ∈ N es combinaci´on lineal de elementos de N _{− {}v_}, por lo tanto N es l.d.

Si N es l.i, entonces M no puede ser l.d (demostraci´on anterior).

4. Si el conjunto indicado es l.i yJ es un subconjunto finito de I, entonces X

j∈J

kjvj =

X

j∈J

αjvj ⇐⇒

X

j∈J

(kj −αj)vj = 0v

⇐⇒ ∀j _∈J :kj −αj = 0IK

⇐⇒ ∀j _∈J :kj =αj

Si _S es una familia no vac´ıa de subespacios de un espacio vectorial V, en-tonces la intersecci´on de los miembros de S es claramente un subespacio de

V. Para un conjunto no vac´ıo M _⊆ V, de un espacio vectorial V existe un subespacio minimal que lo contiene. En efecto, sea _S(M) la familia de todos los subespacios de V que contienen a M, entonces V mismo es miembro de dicha familia. As´ı, _S(M)₆=_∅. Sea ahora

hM_i= \

H∈S(M)

H.

Entonces _hM_i es minimal en _S(M) (demu´estrelo). Tal subespacio minimal ser´a denominado elsubespacio generadoporM. Se tiene ahora la siguiente caracterizaci´on del mismo.

Teorema 2.1.3 Sea V un espacio vectorial sobre IK. Entonces: 1. _h∅i=_{0V}

2. Si _{∅ 6}=M _⊆V, entonces

hM_i= ( _n

X

i=1

kivi

¯ ¯ ¯ ¯

¯ n ∈IN, ki ∈IK, vi ∈M )

.

Demostraci´on:

Es claro que {0V} ⊆ S, para todo subespacio S, de donde se sigue que h∅i=

{0V}.

Puesto que _hM_i contiene aM y es subespacio deV se tiene que contiene a toda combinaci´on lineal de elementos deM. Es decir

hM_{i ⊇}

( _n X

i=1

kivi

¯ ¯ ¯ ¯

¯ n∈IN, ki ∈IK, vi ∈M )

=H.

Ahora, puesto que M es no vac´ıo, se tiene que el conjunto H, de todas las combinaciones lineales de elementos deM, es no vac´ıo y claramente es cerrado (pues la suma de combinaciones lineales de elementos de M y el producto de un escalar por una combinaci´on lineal de elementos de M, son tambi´en combinaciones lineales de elementos de M). As´ı entoncesH es un subespacio de V y contiene a M; por la minimalidad de _hM_i se sigue que H _{⊇ h}M_i. Se tiene, por lo tantoH =_hM_i

Utilizaremos la siguiente notaci´on:

h{vi | ∈I}i = hvi | i∈Ii

hM ∪N = hM, Ni

Si_hM_i=V, decimos que M es unconjunto o sistema de generadorespara V. Un espacio vectorial con un conjunto de generadores finito es denominado es-pacio finitamente generado. El siguiente teorema establece que en todo espacio vectorial existe un subconjunto maximal (seg´un la inclusi´on) linealmente inde-pendiente el cual, como se demostrar´a luego, es tambi´en un conjunto minimal de generadores.

Teorema 2.1.4 Sea V un espacio vectorial sobre el campoIK. Entonces exis-te un conjunto maximal linealmenexis-te independienexis-te.

Demostraci´on:

El conjunto vac´ıo es un conjunto linealmente independiente enV (demu´estrelo). As´ı, si LI(V) es la familia de los subconjuntos l.i de V, entoncesLI(V) es no vac´ıa. SiK es una cadena enLI(V), definamos

T = [

k∈K

35 S. Casta˜neda

entonces claramente T ⊇ k, para todo k ∈ K. Si T fuese l.d existir´ıa un subconjunto finito l.d {v1, v2, . . . , vm} ⊆ T. Entonces, existen subconjuntos

K1, K2, . . . , Kn ∈ K tales que vi ∈ Ki para cada i = 1,2, . . . , m. Puesto

que {Ki | i = 1,2, . . . , m} es una cadena finita, tiene entonces un elemento

m´aximo; sea M tal elemento m´aximo. Se tiene que M ∈ K y contiene un subconjunto l.d, entonces M es l.d (absurdo). Por lo tanto T es un conjunto l.i en V. Se tiene as´ı que toda cadena en LI(V) est´a acotada superiormente, lo cual implica (Lema de Zorn) que LI(V) tiene un elemento maximal .

Definici´on 2.1.3 SeaV un espacio vectorial sobre el campo IK. Un conjunto maximal linealmente independiente en V es denominado una base para V.

El teorema 2.1.4 garantiza entonces que:

Todo espacio vectorial tiene una base

En el teorema siguiente caracterizamos las bases de un espacio vectorial.

Teorema 2.1.5 Sea V espacio vectorial sobre IK. B _⊆ V. Entonces son equivalentes:

1. B es una base.

2. B es un conjunto minimal de generadores. 3. _hB_i=V y B es l.i

Demostraci´on:

Si B =∅ el resultado es trivial y se deja como ejercicio. Consideraremos solo el caso B ₆=_∅

1. SeaB una base de V. Entonces siv _∈B, se tienev _{∈ h}B_i. Siv _∈V ₋B

entonces B es un subconjunto propio de B_{∪ {}v_} y ´este ´ultimo (por la maximalidad de B) es l.d. Entonces, existen vectores v1, v2, . . . , vn ∈B

y escalares α1, . . . , αn, α, no todos cero, tales que

αv+

n

X

i=1

αivi = 0.

Siα = 0 se seguir´ıa, de la independencia lineal de losvi ∈B, que αi = 0

para cada i. As´ı, entonces se tiene α 6= 0 y v es combinaci´on lineal de los vi. Se tiene entonces que hBi=V.

SiB′ _{es un subconjunto propio de B y B}′ _{genera a V, entonces existe}

v ∈B,v /∈B′ que es combinaci´on lineal de elementosv1, v2, . . . , vm ∈B′.

Se sigue que el conjunto_{v, v1, . . . , vm}es un subconjunto l.d deB y ´este

´

ultimo, por tanto, es tambi´en l.d (absurdo). Por lo tanto ning´un subcon-junto propio de B puede generar al espacio vectorial, lo que demuestra queB es un sistema minimal de generadores.

2. Si B es un sistema minimal de generadores y B fuese l.d, existir´ıan vectores distintos v, v1, . . . , vn ∈B y escalaresα1, . . . , αn tales que

v =

n

X

i=1

αivi.

Entonces, para cualquierw∈V =hBi se tendr´ıa que

w=

m

X

j=1

βjwj+βm+1v,

para escalaresβj y vectores wj ∈B, con wj 6=v. Entonces

w=

m

X

j=1

βjwj + n

X

i=1

αivi

y w _{∈ h}B_{− {}v_}i. As´ıB _{− {}v_} ser´ıa un conjunto de generadores de V

contenido propiamente enB, lo que contradice la minimalidad deB. En consecuenciaB es l.i.

3. Supongamos ahora que _hB_i = V y B es l.i. Entonces para todo super-conjunto propio B′ _{de B, existe v ∈ B}′ _{−B tal que vB es combinaci´on}

lineal de elementos deB. Por lo tanto el conjunto B∪ {v}es un subcon-junto l.d de B′_{, con lo cual B}′ _{es l.d. Se tiene as´ı que B es un conjunto}

l.i maximal.

Por el teorema anterior se tiene entonces que las bases se caracterizan como los elementos que est´an en la intersecci´on de las familiasLI(V) yG(V), siendo ´esta ´ultima la familia de todos los sistemas generadores de V. En tal inter-secci´on est´an adem´as los elementos maximales (bajo el orden parcial dado por la inclusi´on en 2V_{) de LI(V), que son tambi´en los elementos minimales de}

37 S. Casta˜neda

El que un conjunto B 6=∅ de vectores de V sea una base implica que todo vector de V puede obtenerse, en forma ´unica, como combinaci´on lineal de los elementos de B. Ese es el tema del siguiente teorema.

Teorema 2.1.6 Si B 6=∅ es una base de V, entonces todo elemento de V se obtiene, en forma ´unica, como combinaci´on lineal de elementos de B.

Demostraci´on:

Sea B una vase del espacio vectorialV. Si v _∈V, entonces (por ser B un con-junto de generadores) se tiene que existen un subconcon-junto finito_{v1, v2, . . . , vn},

de B, con vi 6=vj si i6=j, y escalares no nulos αi, tales que

v =

n

X

i=1

αivi.

Supongamos que se tiene tambi´en que

v =

m

X

j=1

βjwj,

para escalares no nulos βj y vectores wj, distintos todos. Entonces, si para

todo j _{∈ {}1,2, . . . , m_} se tuviese que wj =6 vi para todo i ∈ {1,2, . . . , n} se

tendr´ıa que _{vi|i = 1,2, . . . , n} ∪ {wj|j = 1,2, . . . , m} es un conjunto l.i, de

donde αi = βj = 0 para todo i, j, lo que contradice nuestro supuesto de no

nulidad de los escalares. As´ı entonces, algunos wj est´an en el conjunto{vi|i=

1,2, . . . , n_}. Supongamos ahoram _≤ny que solo los primerosk (reordenando si es necesario) vectoreswj coinciden con los primeroskelementos del conjunto

indicado Entonces, se tiene

k

X

i=1

(αi−βi)vi+ m

X

i=k+1

(−βi)wi+ n

X

i=m+1

αivi = 0V.

Si las dos ´ultimas sumas contienen al menos un t´ermino, entonces se tendr´ıa que αi =βj = 0IK para j = k+ 1, . . . , m, i= m+ 1, . . . , n. Se sigue entonces

quek =m=ny, por la independencia lineal de los vi, se obtieneαi =βi para

todoi= 1, . . . , n. Un argumento similar prueba quenno puede ser menor que

m

Ejemplo 2.1.6 Considere, por ejemplo el espacio vectorial finito

V =ZZ₂2 =_{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)_}

sobre ZZ2. Los 16 subconjuntos de V son:

∅

M1 = {(0,0)}

M2 = {(0,1)}

M3 = {(1,0)}

M4 = {(1,1)}

M5 = {(0,1),(1,0)}

M6 = {(0,1),(1,1)}

M7 = {(1,0),(1,1)}

M8 = {((0,0),(0,1)}

M9 = {(0,0),(1,0)}

M10 = {(0,0),(1,1)}

M11 = {(0,0),(0,1),(1,0)}

M12 = {(0,0),(0,1),(1,1)}

M13 = {(0,0),(1,0),(1,1)}

M14 = {(0,1),(1,0),(1,1)}

ZZ₂2

En 2V _{se tiene (verif´ıquelo) :}

LI(V) = _{∅, M2, M3, M4, M5, M6, M7}

G(V) = {M5, M6, M7, M11, M12, M13, M14, ZZ22}

LI(V)∩G(V) = {M5, M6, M7} (Bases)

LD(V) = _{M1, M8, M9, . . . , M14, ZZ22} (conjuntos l.d)

El orden parcial en 2V _{se muestra en el siguiente diagrama de Hasse, donde se}