Capitulo 3

(1)

Capítulo 3

Diagonalización de matrices

Este tema comienza con la definición de vectores propios (o autovectores) y valores propios (o autovalores) de una matriz cuadrada, para pasar después a estudiar la diagonalización de matrices. La diagonalización de una matriz cuadrada A consiste en determinar, si es posible, una matriz diagonal D que conserva ciertas propiedades de la matriz A, por ejemplo que tiene el mismo determinante y la misma traza. Si esta matriz diagonal existe, diremos que la matriz A es diagonalizable y que las matrices A y D son semejantes.

Los conocimientos adquiridos en este tema se aplicarán en el capítulo 4 para clasificar unas funciones particulares denominadas formas cuadráticas. A su vez, los resultados relacionados con la clasificación de formas cuadráticas se utilizarán en los problemas de optimización matemática para analizar los puntos críticos de una función.

Finalmente, entre otras aplicaciones, los valores y vectores propios se utilizan en algunas técnicas de análisis de datos, tales como el análisis de componentes principales, para describir de forma resumida un conjunto de observaciones realizadas sobre ciertas variables. También se usan en el análisis input-output para establecer condiciones que garantizan la existencia de soluciones positivas de ciertos sistemas de ecuaciones lineales, así como en la resolución de ecuaciones diferenciales y en diferencias, que intervienen en los modelos de economía dinámica.

1 Vectores y valores propios de una matriz cuadrada

Consideremos una matriz cuadrada A de orden n. Decimos que el número real

λ

es un valor propio o autovalor de A si existe un vector no nulo x∈ tal que

.

Ax =

λ

x A este vector x lo llamamos vector propio o autovector de la

matriz Acon valor propio asociado .

λ

Ejemplo 3.1 Compruébese que 2 3 x = ⎢ ⎥⎡ ⎤−

⎣ ⎦ es vector propio de la matriz

1 2 3 0 A= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦

(2)

Se deduce de la igualdad

1 2 2 4 2

2 .

3 0 3 6 3

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤₌ _{= −} ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₋ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

□

Ejemplo 3.2 Compruébese que 1 1 0 x

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

es vector propio de la matriz

2 1 3 3 0 3

1 1 0

A

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

con valor propio

λ

= −3.

En efecto, como

2 1 3 1 3 1

3 0 3 1 3 3 1

1 1 0 0 0 0

Ax

λ

x

− − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= −_⎢ _{⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥}= − = − _{⎢ ⎥}=

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

,

se deduce que

1 1 0 x

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

es vector propio de

2 1 3 3 0 3

1 1 0

A

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

con valor propio

3.

λ

= −

□

Seguidamente enunciaremos varias propiedades de los valores y vectores propios. Posteriormente, como ejercicio, demostraremos estas propiedades y veremos algunos ejemplos.

1.1 Propiedades de los valores y vectores propios

(3)

2. Si x es un vector propio de la matriz A con valor propio asociado

λ

, entonces αx, con

α

∈R y

α

≠0, es vector propio de A con valor propio asociado .

λ

3. Si x es un vector propio de la matriz A asociado al valor propio

λ

, entonces x es un vector propio de Aq asociado al valor propio λq.

4. Los vectores propios de una matriz A asociados a valores propios distintos son linealmente independientes.

Ejemplo 3.3 Pruébese las propiedades 1 a la 3.

1.

Veamos que a un vector propio le está asociado un único valor propio. Para ello supongamos que x es un vector propio de la matriz A con dos valores propios asociados,

λ

₁ y

λ

₂. Entonces se verifica que Ax =

λ

₁x y Ax=

λ

₂x. Por tanto, tenemos que

λ

₁x−

λ

₂x =0, lo que equivale a la igualdad (

λ λ

₁− ₂)x =0. Teniendo en cuenta las propiedades del producto de un escalar por un vector y considerando que, por ser x un vector propio, es x ≠0, tiene que ser

1 2 0

λ λ

− = . Esto implica que

λ

₁ =

λ

₂, es decir, no pueden existir dos valores propios distintos asociados al mismo vector propio.

2. Si x es un vector propio de la matriz A con valor propio asociado

λ

entonces Ax =

λ

x . Multiplicando a la izquierda por α en ambos miembros resulta la igualdad (

α

Ax)=

α λ

( x) y tenemos que

(Ax) ( x) A( x) ( x),

α

=

α λ

⇒

α

=

λ α

de donde se deduce que

α

x es vector propio de la matriz A asociado al valor propio

λ

.

3. Puesto que x es un vector propio de la matriz A asociado al valor propio

λ

se cumple la igualdad Ax =

λ

x. Entonces

1 1 1 2 2 2 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

q q q q q q q

q q q

A x A Ax A x A x A Ax A x A x

Ax x x

λ

− − − − − −

− −

= = = = = =

=…= = =

(4)

Ejemplo 3.4 Pruébese la propiedad 4 para una matriz de orden 2.

Veamos que los vectores propios de una matriz A_{2 2}_× asociados a valores propios distintos son linealmente independientes.

Sabemos que la matriz A_{2 2}_× tiene como máximo dos valores propios distintos. Si todos los valores propios son iguales a

λ

₁ y x₁ es un vector propio asociado, entonces, como x₁ ≠ 0, se deduce que

{ }

x1 es un conjunto de vectores linealmente independientes.

Supongamos que la matriz tiene dos valores propios distintos,

λ

₁ y

λ

₂, y que x₁ y x₂ son vectores propios asociados a

λ

₁ y

λ

₂, respectivamente.

Para afirmar quex₁ y x₂ son independientes tenemos que probar que para cualquier combinación lineal de estos vectores con valor 0 , esto es 2

1

0

i i i

x

α

=

∑

, se

verifica

α

₁ =

α

₂ =0. Tenemos que

2 2 2 2

1 1 1 1

0 ( ) ( ) ( ) 0

i i i i i i i i i

i i i i

x A x Ax x

α

α λ

= = = =

= ⇒ = = = ⇒

∑

2 1

0

i i i i

x

α λ

=

∑

[1]

Por otro lado,

2

2 2 1 1 1

0

i i i

x x x

α

=

= ⇒ = −

∑

. [2]

Sustituyendo el valor de

α

_{2 2}x de la expresión [2] en la ecuación [1] se obtiene la igualdad

(

)

1 1 2 x1 0.

α λ λ

− = .

Como

{ }

x₁ es linealmente independiente, debe verificarse que

α λ λ

₁( ₁− ₂) 0,= y puesto que los valores propios son distintos se concluye que

α

₁ =0. Finalmente, considerando que

α

₁ =0, de la ecuación [2] resulta α_{2 2}x =0 y como x₂ ≠0, tiene que ser también

α

₂ =0. Luego se cumple que

α

₁ =

α

₂ =0, es decir los vectores propios x₁ y x₂, son linealmente independientes.

(5)

Ejemplo 3.5 En el ejemplo 3.1 vimos que 2

3

x = ⎢ ⎥⎡ ⎤−

1 2 3 0 A= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦ con valor propio asociado

λ

= −2. Entonces, por la propiedad 2,

podemos asegurar que 4 8 12 x = ⎢ ⎥⎡ ⎤−

1 2 3 0 A= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦ con

valor propio asociado

λ

= −2. Aplicando la propiedad 3 se obtiene que 2 3 x = ⎢ ⎥⎡ ⎤−

⎣ ⎦ es

vector propio de la matriz 3 13 14 21 6 A = ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦ con valor propio

3

( 2)− = −8.

□

1.2 Cálculo de los valores y vectores propios

En este apartado veremos cómo calcular los valores y vectores propios de una matriz cuadrada A de orden n. Comenzaremos hallando los valores propios.

Si

λ

es un valor propio de A y x es un vector propio asociado, se verifica que Ax =

λ

x , lo que equivale al sistema homogéneo

(

A−

λ

I_n

)

x =0 . Este sistema tiene n ecuaciones y n incógnitas. Nuestro objetivo es calcular los vectores x ≠0 que satisfacen este sistema. Esto equivale a decir que sólo estamos interesados en la solución no trivial, que se obtiene cuando

(

_n

)

,

rango A−

λ

I <n lo que equivale a

0.

n

A−

λ

I =

A esta ecuación se la denomina ecuación característica, y al polinomio

( )

A n

(6)

Ejemplo 3.6 Calcúlese los valores propios de la matriz

1 2 3 0

A= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦ .

El polinomio característico es

2 2

1 2 0 1 2

( ) 6

3 0 0 3

A

p

λ

A

λ

I

λ

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − = _⎢ _{⎥ ⎢}− _⎥ = = − −

−

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

y la ecuación característica es

2 _{6 0}

λ − − =λ ,

cuyas soluciones son

λ

₁ = −2 y

λ

₂ =3. Por tanto los valores propios de la matriz A son

λ

₁ = −2 y

λ

₂ =3.

□

Ejemplo 3.7 Calcúlese los valores propios de la matriz

0 1 3

3 2 3 .

1 1 2

A

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

El polinomio característico es

3

3 2

0 1 3 0 0 1 3

( ) 3 2 3 0 0 3 2 3

1 1 2 0 0 1 1 2

4 6

A

p A I

λ

− − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= − = −_⎢ _{⎥ ⎢}− _⎥ = − −

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ − −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + − −

y la ecuación característica es

3 ₄ 2 _{6 0,}

λ

− + − − =

λ

₁ =2,

λ

₂ =3 y

λ

₃ = −1. Por tanto los valores propios de la matriz A son

λ

₁ =2,

λ

₂ =3 y

λ

₃ = −1.

(7)

Ejemplo 3.8 Pruébese que los valores propios de una matriz diagonal son los elementos de la diagonal.

En efecto, consideremos una matriz diagonal D de orden ,n que será de la forma

(

)

1 2

0 0

, , , . 0 0

n

d d

D diag d d d

d

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

… …

…

Entonces la ecuación característica es

(

)

1

2

1

0 0

0,

0 0

n

n i

i

n

d

D I d

d

λ

=

−

− = = − =

−

∏

…

λ

_i =d i_i, =1, 2, , .… n

□

Ejemplo 3.9 Pruébese que los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal.

Demostraremos el resultado para una matriz triangular superior. La demostración para una matriz triangular inferior es análoga.

Si Aes una matriz triangular superior de orden ,n será de la forma 11 12 13 1

22 23 2 33

0

0 0 .

0 0 0

n

nn

a a a a

a a a

A a

a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=

⎢ ⎥

⎣ ⎦

…

(8)

(

)

11 12 13 1

22 23 2 33 3

1 0

0 0 .

0 0 0

n

n _n

n n ii

i

nn

a a a a

a a a

A I a a a

a

λ

=

−

− = − = −

−

∏

…

λ

_i =a i_ii, =1, 2, , .… n

□

Una vez conocidos los valores propios de una matriz ,A podemos calcular los vectores propios asociados a cada uno de ellos. Si ,

λ

_i i=1, 2,..., ,q son los valores propios de A, para obtener los vectores propios asociados al valor propio ,

λ

_i tenemos que resolver el sistema de ecuaciones

(

A−

λ

_{i n}I

)

x =0.

El conjunto de soluciones de este sistema se representará con la notación i L_λ y lo llamaremos conjunto de vectores asociados al valor propio

λ

_i. Excluyendo el vector nulo de este conjunto, resulta el conjunto de vectores propios de la matriz A asociados al valor propio .

λ

_i

Ejemplo 3.10 Calcúlese los vectores propios de la matriz 1 2

3 0 A= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦ .

Para calcular los vectores propios de la matriz A debemos hallar primero los valores propios. Estos valores fueron obtenidos en el ejemplo 3.6 resolviendo la ecuación característica

_λ

2 _{− − =}

_λ

_{6 0,}_{y son}

1 2

λ

= − y

λ

₂ =3.

Ahora, hallamos los vectores propios asociados a cada valor propio. Para obtener los vectores propios asociados a

λ

₁ = −2, resolvemos el sistema

(

A−

λ

_{1 2}I

)

x =0, es decir

(

A+2I₂

)

x =0. Este sistema viene dado por

1 2

3 2 0

x x

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(9)

1 2 3x +2x =0. La solución de este sistema es

1 2 3 ,

2 x =

α

x = −

α

y el conjunto de vectores asociados a

λ

₁ = −2 es

1 2

3

, : .

2

L_λ=−

α

α α

⎧⎛ ⎞ ⎫

=_⎨_⎜ − _⎟ ∈ _⎬

⎝ ⎠

⎩ R⎭

Los vectores propios asociados a este valor propio son los elementos no nulos de

1 2,

L_λ₌₋ es decir, los elementos de la forma , 3 2

α

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ con

α

∈R y

α

≠ 0.

Obsérvese que , 3 1, 3 ,

2 2

α

⎛ ₋ ⎞₌ ⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ luego cualquier vector de Lλ1=−2, puede

ser obtenido a partir de 1, 3 , 2

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ sin más que multiplicar por una constante

α

∈R.

Es por ello que al vector 1, 3 2

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ se le denomina vector básico ya que constituye

una base a partir de la cual puede obtenerse todos los elementos de L_λ₁₌₋₂, Obviamente el vector

(

2, 3 ,−

)

que se obtiene multiplicando por

α

= 2, también constituye una base de

1 2,

L_λ₌₋ así como cualquier vector de la forma 1, 3 2

α

⎛_⎜ − ⎞_⎟ ⎝ ⎠ con

0.

α

≠

Para

λ

₂ =3, tenemos que resolver el sistema

(

A−3I₂

)

x =0, es decir

1 2

2 2 0

3 3 0

x x

− ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦,

que equivale a

1 2 2x 2x 0

− + = ,

y la solución es x₁ = x₂. Por tanto, el conjunto de vectores asociados al valor propio

λ

₂ =3 es

(

)

{

}

2 3 , :

(10)

y un conjunto de vectores básicos o base es

{ }

( )

1,1 . Los vectores propios asociados al valor propio

λ

₂ =3 son los vectores de la forma α

( )

1,1 con

α

≠0.

□

Ejemplo 3.11 Calcúlese los vectores propios de la matriz 2 0 0

3 1 0 . 1 0 1 A

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢− ⎥

⎣ ⎦

En primer lugar tenemos que hallar los valores propios. Para ello resolvemos la ecuación característica p_A( )

λ

= A−

λ

I₃ =0, es decir

(

)(

)

2

2 0 0

3 1 0 2 1 0,

1 0 1

λ

−

− = − − =

− −

λ

₁ =2 y

λ

₂ =1.

Los vectores propios asociados al valor propio

λ

₁ =2 se obtienen resolviendo el sistema

(

A−2I₃

)

x =0, esto es

1 2 3

0 0 0 0

3 1 0 0 ,

1 0 1 0

x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢− − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

que equivale a

1 2 1 3

3 0

0. x x x x

− =

⎧

⎨− − = ⎩

El conjunto de soluciones de este sistema es L_λ₁₌₂ = − −

{

(

α

, 3 ,

α α α

)

: ∈R

}

y una

base de este conjunto es

{

(

− −1, 3,1

)

}

lo que equivale a decir que

(

− −1, 3,1

)

es un vector básico que genera todos los elementos de

1 2.

L_λ₌

(11)

1 2 3

1 0 0 0

3 0 0 0 ,

1 0 0 0

x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢− ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

que equivale a x₁ =0.

El conjunto de soluciones de este sistema es

{

(

)

}

2 1 0, , : ,

L_λ ₌ =

α β α β

∈R y una

base de este conjunto es

{

(

0,1,0 , 0,0,1

) (

)

}

ya que cualquier elemento de

2 1

L_λ ₌ puede expresarse en la forma

(

0, ,

α β

)

=

α

(

0,1,0

)

+

β

(

0,0,1

)

(los vectores

(

0,1, 0 y

)

(

0,0,1 son vectores básicos).

)

□

1.3 Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un

valor propio

En esta sección definiremos los conceptos de multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un valor propio .

λ

_i Estos conceptos serán utilizados para determinar si existe un conjunto de n vectores propios de una matriz A_{n n}_× linealmente independientes. La existencia de este conjunto de vectores garantiza que podemos encontrar una matriz diagonal asociada a la matriz A que cumple ciertas propiedades.

Se denomina multiplicidad algebraica de un valor propio

λ

_i y la representaremos con la notación ,

α

_i a la multiplicidad de la raíz

λ

_idel polinomio característico, es decir, el número de veces que se repite

λ

_i como solución de la ecuación característica.

La multiplicidad geométrica de un valor propio

λ

_i es el número de vectores básicos que generan el conjunto de soluciones del sistema

(

A−

λ

_{i n}I

)

x =0, es decir, que generan el conjunto

i

L_λ (número de elementos en una base de . i

L_λ ) Este valor coincide con el número de parámetros en función de los cuales puede expresarse la solución. Aplicando los resultados conocidos sobre sistemas, obtenemos que la multiplicidad geométrica de

λ

_i es

(

)

,

i i n

(12)

Puede probarse que para cualquier valor propio

λ

_i se verifica que 1≤m_i ≤

α

_i. Por tanto, si

α

_i =1entonces 1.m_i =

Ejemplo 3.12 Determínese la multiplicidad algebraica y geométrica de cada uno de los valores propios de la matriz

1 2 . 3 0

A= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦

Los valores y vectores propios de la matriz A fueron calculados en los ejemplos 3.6 y 3.10. La ecuación característica es

_λ

2 _{− − =}

_λ

_{6 0}_{y los valores propios son}

1 2

λ

= − y

λ

₂ =3. Esto quiere decir que el polinomio característico puede expresarse en la forma

_λ

2 _{− − =}

_λ

_{6 (}

_λ

₊₂₎₍

_λ

₋₃₎_{, de donde se deduce que la} multiplicidad algebraica de

λ

₁ = −2 es

α

₁ =1 y la de

λ

₂ =3 es

α

₂ =1.

La multiplicidad geométrica del valor propio

λ

₁ = −2 es

(

)

1 2 2 2 2 1 1.

m = −rango A+ I = − = Análogamente, la multiplicidad geométrica de 2 3

λ

= es m₁ = −2 rango A

(

−3I₂

)

= − =2 1 1. Observemos que, sabiendo que 1 2 1,

α

=

α

= como 1≤m_i ≤

α

_i,∀i, podemos concluir que m₁ =m₂ =1. El valor m_i es el número de vectores básicos que generan los vectores propios asociados a ,

λ

_i es decir, el número de elementos en una base de .

i L_λ

□

Ejemplo 3.13 Calcúlese los valores y vectores propios de la matriz

1 1 2

1 2 1

2 1 3

A

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ − _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

y determínese las multiplicidades algebraicas y geométricas de cada valor propio.

(13)

2

1 1 2

1 2 1 ( 2)( 1) 0

2 1 3

λ

− − −

− − − = − − − =

− −

λ

₁ =2 y

λ

₂ =1. Luego, los valores propios de la matriz A son

λ

₁ = 2 y

λ

₂ =1.

Los vectores propios asociados a

λ

₁ =2 se obtienen resolviendo el sistema

(

A−2I3

)

x =0, que puede expresarse también de la forma

1 2 3

3 1 2 0

1 0 1 0 .

2 1 1 0

x x x

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢₋ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

El rango de la matriz asociada a este sistema es rango A

(

−2I₃

)

= 2 y un menor no nulo es 3 1 1

1 0

−

=

− . Haciendo x3 =

α

resulta el sistema

1 2 1

3x x 2 x

α

− + =

⎧ ⎨− = ⎩

cuya solución viene dada por x₁ = x₂ = −

α

, x₃ =

α

con

α

∈R. Por tanto, los vectores propios asociados al valor propio

λ

₁ =2 son los vectores de la forma

(

− −α α α, ,

)

=α

(

− −1, 1,1

)

con

α

≠0. De lo anterior se deduce que

(

− −1, 1,1

)

es un vector básico para este valor propio ya que genera todos los vectores propios asociados.

Para

λ

₂ =1, los vectores propios vienen determinados por el sistema

1 2 3

2 1 2 0

1 1 1 0 .

2 1 2 0

x x x

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢₋ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Como 2 1 1 0, 1 1

−

= − ≠

− el rango de la matriz asociada a este sistema es 2.

Tomando las dos primeras ecuaciones y considerando x₃ =

α

como parámetro, se obtiene el sistema equivalente

1 2 1 2 2x x 2

x x

α

− + =

⎧

(14)

cuya solución es x₁ = −

α

, x₂ =0, x₃ =

α

, con

α

∈R. Los vectores propios asociados a

λ

₂ =1 son los vectores de la forma

(

−

α α

,0,

)

=

α

(

−1,0,1 ,

)

con

α

≠0. Por tanto, una base de L_λ₂₌₁ es

{

(

−1,0,1

)

}

lo que equivale a decir que

(

−1,0,1

)

es un vector básico.

Como el polinomio característico es _{( )} ₍ ₂₎₍ _{1) ,}2 A

p

λ

= − −

λ

− la multiplicidad

algebraica de

λ

₁ =2 es

α

₁ =1, y la de

λ

₂ =1 es

α

₂ =2. Como

α

₁ =1 y 1 1

1≤m ≤

α

, se deduce que la multiplicidad geométrica de

λ

₁ =2 es m₁ =1. La multiplicidad geométrica del valor propio

λ

₂ =1 es

(

)

2 3 3 3 2 1,

m = −rango A I− = − = que es igual al número de vectores básicos que generan L_λ₂₌₁.

□

Antes de iniciar el siguiente apartado, estableceremos una relación que liga los valores propios de una matriz con su determinante y su traza. También veremos un resultado, denominado el teorema de Cayley-Hamilton, que proporciona un método alternativo para calcular la inversa de una matriz.

Relación de los valores propios de una matriz con el determinante y la traza

Si A es una matriz cuadrada de orden n y

λ λ

₁, ,..., ,₂

λ

_n son las raíces de su polinomio característico (todas las raíces, reales y complejas, y repetidas tantas veces como indique su multiplicidad algebraica) entonces este polinomio puede expresarse de la forma

( )

( ) (

1 1

)(

2

) (

...

)

,

n

A n n

p

λ

= A−

λ

I = −

λ λ λ λ

− −

λ λ

−

y se cumple que

( )

0

( ) ( )(

1 1 2

) (

...

)

1 2 ... .

n

A n n

p = A = − −

λ

−

λ

−

λ

= ⋅ ⋅ ⋅

λ λ

λ

Es decir, el determinante de la matriz es el producto de sus valores propios.

(15)

( )

1

1 .

n

i i

n

i i

traza A

A

λ

=

∑

∏

Puede demostrarse además que el polinomio característico de una matriz A puede escribirse de la manera siguiente

( ) ( )

₁ n _n

( )

₁ n 1

( )

_n 1 _... _.

A

p

λ

= −

λ

+ − − traza A

λ

− + + A

Ejemplo 3.14 Verifíquese las igualdades anteriores para la matriz

1 1 2

1 2 1 .

2 1 3

A

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ − _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

La traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal. Por tanto ( ) 1 2 3 4.

traza A = − + + = Además, si calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus, obtenemos A =2.

Los valores propios de la matriz A fueron calculados en el ejemplo 3.13 y son 1 2

λ

= con multiplicidad algebraica

α

₁ =1 y

λ

₂ =1con multiplicidad algebraica 2 2

α = , entonces

( ) 2 1 1 4 2 1 1 2.

traza A A

= + + = = ⋅ ⋅ =

□

Ejemplo 3.15 Determínese si una matriz con todos los valores propios diferentes de cero es invertible.

Como

1

n

i i

A λ

=

∏

con λ_i ≠0 para todo i, se verifica que A ≠0, de donde se deduce que la matriz es invertible.

(16)

Teorema de Cayley-Hamilton

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que cualquier matriz A, cuadrada de orden n, satisface su ecuación característica. Es decir, si

( )

1 2

1 2 1 0

( ) 1n _n _n _n ...

A n n n

p

λ

= A−

λ

I = −

λ

+a −

λ

− +a −

λ

− + +a

λ

+a

entonces

( )

1 2

1 2 1 0

( ) 1 n _n _n _n ... 0 .

A n n n n n

p A = − A +a ₋ A − +a ₋ A − + +a A a I+ = _×

Este teorema puede utilizarse para calcular la inversa de una matriz. Como 0

(0) 0

A n

p = A− ⋅I = A =a , se deduce que la matriz A es invertible si y sólo si 0 0

a ≠ . En este caso tendremos las relaciones siguientes:

( ) ( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1

0

1 2 3

1 2 1

0

1 1 2 3

1 2 0

1 ... 0

1 ... 1 1 ... 1 1 ... 1 1

n _n _n _n

A n n n n n

n _n _n _n

n n n

n _n _n _n

n n n

n _n _n _n

n n n n

n _n _n _n

n n

p A A a A a A a A a I

A a A a A a A a I

A a A a A a A I

a

A a A a A a I A I

a

A A a A a A

a − − − − × − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = − + + + + + = ⇒ − + + + + = − ⇒ − − + + + + = ⇒ − − + + + + =

⇒ = −

(

− + + +...+a I₁ _n

)

.

Ejemplo 3.16 Aplíquese el teorema de Cayley-Hamilton para determinar la inversa de la matriz

3 2

. 1 2 A= ⎢⎡ − ⎤_⎥

−

⎣ ⎦

El polinomio característico de la matriz A es

( )

2

3 2

5 4. 1 2

A

p

λ

A

λ

I

λ

− − ⎡ ⎤ = − = _⎢ _⎥= − + − − ⎣ ⎦

Por el teorema de Cayley-Hamilton sabemos que 2

2 2 2

5 4 0

A − A+ I = _× .

(17)

(

)

(

)

(

)

2 2 2

2 2 2 2 2

1

2 2 2

1

5 4 0 5 4 5

4

1 1

5 5 .

4 4

A A I A A I A A I

A I A I A A I

×

−

− + = ⇒ − = − ⇒ − − =

⇒ − − = ⇒ = − −

Por tanto,

1

1 1

3 2 1 0 2 2

1 ₅ 1 2 2 _.

3

1 2 0 1 1 3 1

4 4

A−

⎡ ⎤

⎛⎡ − ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎡− − _{⎤ ⎢} _⎥

= − _⎜_⎢ _⎥− _⎢ _⎥_⎟= − _⎢ _{⎥ ⎢}=

⎥

− − −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎝ ⎠ _⎣ _⎦

□

Ejemplo 3.17 Aplíquese el teorema de Cayley-Hamilton para determinar la inversa de la matriz

1 2 1

5 2 1 .

4 0 5

A

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

( )

3 2

3 2 19 56.

A

p

λ

= A−

λ

I = − −

λ

+

λ

+ Aplicando el teorema de Cayley-Hamilton se obtiene la igualdad

(

)

(

)

(

)

3 2 3 2

3 3 3 3

3 2 2

3 3 3

1 2

3

2 19 56 0 2 19 56

1 1

2 19 2 19

56 56

1

2 19 . 56

A A A I A A A I

A A A I A A I A I

A A A I

×

−

− − + + = ⇒ − − + = −

⇒ − − − + = ⇒ − − − + =

⇒ = − − − +

(18)

2 1

1 2 1 1 2 1 1 0 0

1

5 2 1 2 5 2 1 19 0 1 0

56

4 0 5 4 0 5 0 0 1

5 5 1

28 28 14

29 1 3 _.

56 56 28

1 1 1

7 7 7

A−

⎛ _⎡ ₋ _⎤ _⎡ ₋ _⎤ _⎡ _⎤⎞

⎜ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥⎟

= − _⎜−_⎢ _⎥ − _⎢ _⎥+ _⎢ _⎥_⎟

⎜ _⎢_⎣ ₋ _⎥_⎦ _⎢_⎣ ₋ _⎥_⎦ _⎢_⎣ _⎥_⎦⎟

⎝ ⎠

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ − − ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ₋ ₋ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

□

2. Diagonalización de matrices

Comenzaremos esta sección definiendo la relación de semejanza de matrices para introducir después el concepto de matriz diagonalizable. La diagonalización de una matriz A consiste en determinar, cuando sea posible, una matriz diagonal que sea semejante a .A

Matrices semejantes

Decimos que dos matrices A y B, cuadradas de orden n, son semejantes si existe

una matriz P cuadrada de orden n e invertible tal que B= P AP−1 . Propiedades de la semejanza de matrices

1. Si A y B son dos matrices semejantes entonces tienen el mismo polinomio característico.

2. Si A y B son dos matrices semejantes entonces tienen los mismos valores propios, el mismo determinante y la misma traza.

Ejemplo 3.18 Demuéstrese las propiedades de la semejanza de matrices.

1. Para probar que dos matrices semejantes, A y B, tienen el mismo polinomio característico basta considerar que si 1

B=P AP− entonces

( )

1 1 1 1

1 1

( ) ( )

.

B n n n

n n n A

p B I P AP I P AP P P P A I P

P A I P P A I P A I p

λ

− − − −

− −

= − = − = − = −

= − = − = − =

(19)

producto de estos valores, se deduce que dos matrices semejantes tienen el mismo determinante y la misma traza.

Otra forma de deducir que A y B tienen el mismo determinante es considerando que, como 1

B= P AP− , tenemos 1 1 1

B = P AP− = P− A P = P− A P = A. Luego A = B .

□

Tal y como veremos a continuación, el concepto de matriz diagonalizable se define a partir del concepto de semejanza de matrices.

Matriz Diagonalizable

Una matriz A cuadrada de orden n, es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal .D Esto es, A es diagonalizable si existe una matriz P cuadrada de orden n invertible, y una matriz diagonal ,D tales que

1 _. P AP− =D

A la matriz P la denominaremos matriz de paso. Esta matriz está formada por n vectores propios de A linealmente independientes, y los elementos de la diagonal de la matriz D son los valores propios de A (repetidos tantas veces como indique su multiplicidad algebraica).

Observemos que si las matrices A y D son semejantes entonces tienen los mismos valores propios. Como los valores propios de una matriz diagonal son los elementos de la diagonal, necesariamente D es una matriz formada por los valores propios de A (repetidos tantas veces como indique su multiplicidad algebraica). Si

(

1, , ,2 n

)

D=diag

λ λ

…

λ

entonces la matriz P se construye de manera que la columna i-ésima sea un vector propio con valor propio asociado ,

λ

_i i =1, 2, , .… n

Ejemplo 3.19 Pruébese que la matriz

1 1 2

1 2 1

2 1 3

A

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ − _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

(20)

Para probar que la matriz A no es diagonalizable podemos razonar de la manera siguiente. Los valores propios de esta matriz son

λ

₁ = 2 y

λ

₂ =1 (fueron calculados en el ejemplo 3.13), con multiplicidades geométricas m₁ =m₂ =1. Entonces, para cada valor propio, el conjunto de vectores propios puede obtenerse a partir de un único vector básico y no podremos encontrar tres vectores propios linealmente independientes que podamos utilizar para construir la matriz de paso P.

□

0 1 3

3 2 3

1 1 2

A

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

es diagonalizable.

Como p_A

( )

λ

= A−

λ

I₃ = − −(

λ

2)(

λ

−3)(

λ

+1), los valores propios de la matriz A son

λ

₁ =2,

λ

₂ =3 y

λ

₃ = −1 (fueron hallados en el ejemplo 3.7). Entonces podemos calcular tres vectores propios asociados a estos tres valores propios distintos. Estos tres vectores propios son independientes, por tanto la matriz P de orden 3 cuyas columnas son estos vectores propios es una matriz invertible tal que

(

)

1

2 0 0

0 3 0 2,3, 1 .

0 0 1

P AP− diag

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= _⎢ _⎥ = −

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

Esto quiere decir que A es diagonalizable y P es una matriz de paso.

□

Ejemplo 3.21 Hállese la matriz de paso P para la matriz A del ejemplo anterior.

Para construir la matriz de paso tenemos que calcular tres vectores propios linealmente independientes, para ello hallamos un conjunto de vectores básicos para los vectores propios asociados a cada valor propio.

(21)

propios

λ

₁ =2,

λ

₂ =3 y

λ

₃ = −1, respectivamente. Por tanto, la matriz de paso P es

1 1 1 1 0 1 . 1 1 0 P

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

□

El siguiente resultado proporciona una condición necesaria y suficiente para que una matriz A sea diagonalizable.

Resultado (Condición de diagonalización)

Una matriz A es diagonalizable si y sólo si, para cada valor propio, la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica coinciden. Es decir

es diagonalizable _i _i, ,

A ⇔

α

=m ∀i

siendo

α

_i y m_i las multiplicidades algebraica y geométrica del valor propio ,

λ

_i respectivamente.

Si

α

_i =m_i para todo valor propio

λ

_i podremos determinar

α

_i vectores propios independientes asociados a .

λ

_i En este caso, tendremos _i

i

α

=n

∑

vectores propios independientes que podremos tomar como columnas de la matriz de paso.

En particular, si todas las raíces del polinomio característico son reales y diferentes, es decir la matriz A tiene n valores propios reales y distintos, entonces la matriz A es diagonalizable, ya que en este caso

α

_i =m_i =1 para todo valor propio .

λ

_i

En este manual consideraremos la diagonalización de matrices en el conjunto de los números reales.

En los ejemplos 3.22 y 3.23 que se muestran a continuación se aplica la condición de diagonalización a las matrices de los ejemplos 3.19 y 3.20 anteriores.

Ejemplo 3.22 Estúdiese si la matriz

1 1 2

1 2 1

2 1 3

A

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ − _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

(22)

Los valores y vectores propios de la matriz A son

λ

₁ =2 y

λ

₂ =1, con multiplicidades algebraicas

α

₁ =1 y

α

₂ =2, respectivamente. La multiplicidad geométrica es 1 para ambos valores propios. Como m₂ = <1

α

₂ =2 se deduce que

A no es diagonalizable.

□

Ejemplo 3.23 Estúdiese si la matriz

0 1 3

3 2 3

1 1 2

A

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

es diagonalizable.

El polinomio característico de la matriz A es 3

( ) ( 2)( 3)( 1).

A

p

λ

= A−

λ

I = − −

λ

−

λ

+

Por tanto, los valores propios de A son

λ

₁ =2,

λ

₂ =3 y

λ

₃ = −1, con multiplicidades algebraicas todas iguales a 1. Como la matriz es de orden 3 y tenemos tres valores propios reales y distintos, se deduce que la matriz es diagonalizable.

□

0 1 1

1 2 1

1 1 2

A

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ − _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

es diagonalizable y determínese una matriz de paso.

2 3

( ) ( 2)( 1) .

A

p

λ

= A−

λ

I = − −

λ

−

(23)

2 3

1 1 1

3 ( ) 3 1 1 1 3 1 2.

1 1 1

m rango A I rango

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= − − = − _⎢− − = − =_⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

Como ,m_i =

α

_i ∀i, se deduce que la matriz A es diagonalizable.

Para construir una matriz de paso P tenemos que calcular los vectores propios. Para

λ

₁ =2, los vectores propios se obtienen resolviendo el sistema

(

A−2I3

)

x =0, es decir

1 2 3

2 1 1 0

1 0 1 0 .

1 1 0 0

x x x

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢₋ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Como 2 1 0, 1 0

−

≠

− el rango de la matriz asociada al sistema es 2. Tomando x1 y x2 como variables y x₃ =

α

como parámetro, resulta el sistema

1 2 1 2x x x

α

− + =

⎧ ⎨− = ⎩

y las soluciones pueden expresarse de la forma

(

− −

α α α

, ,

)

=

α

(

− −1, 1,1 ,

)

con .

α

∈ De lo anterior se deduce que

(

− −1, 1,1

)

Para

λ

₂ =1, los vectores propios se obtienen resolviendo el sistema

(

A I− 3

)

x =0, es decir

1 2 3

1 1 1 0

x x x

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢₋ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

El sistema anterior es equivalente a

1 2 3 0

x x x

− + − = .

Tomandox₁como variable y x₂ =

α

y x₃ =

β

como parámetros, resulta el conjunto de soluciones

(24)

de donde se deduce que

{

(

1,10 , 1,0,1

) (

−

)

}

es un conjunto de vectores básicos o base para los vectores propios asociados a

λ

₂ =1.

Por tanto,

{

(

− −1, 1,1 , 1,10 , 1,0,1

) (

−

)

}

es un conjunto de n=3 vectores propios independientes y una matriz de paso es

1 1 1 1 1 0 , 1 0 1 P

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −_⎢ _⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

verificándose que 1 _,

P AP− =D donde

2 0 0 0 1 0 . 0 0 1 D

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

□

El hecho de que una matriz sea diagonalizable facilita ciertas operaciones como el cálculo de potencias. Veámoslo en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 3.25 Pruébese que si la matriz A es diagonalizable entonces 1_,

k k

A = PD P− siendo D una matriz diagonal semejante a A y P la matriz de paso.

En efecto, si A es diagonalizable entonces A es semejante a una matriz diagonal, es decir, existe una matriz invertible P y una matriz diagonal D tales que 1

P AP− = D, o lo que es equivalente, A= PDP−1. Entonces, para k∈

tenemos la igualdad

(

) (

)(

) (

)

(

)

1 1 1 1

1 1_.

k k

k

A PDP PDP PDP PDP

P DD D P PD P

− − − −

− −

= =

□

La utilidad del resultado anterior radica en el hecho de que el cálculo de las potencias de una matriz diagonal D=diag d d

(

₁, ,...,₂ d_n

)

se reduce al cálculo de las potencias de los elementos de su diagonal, ya que k

(

₁k, ₂k,..., k

)

.

n

(25)

Obviamente el cálculo de las potencias de una matriz diagonal requiere menos esfuerzo que el cálculo de las potencias de una matriz no diagonal.

3 Diagonalización de matrices simétricas

En este apartado estudiaremos la diagonalización de matrices simétricas. Como ya sabemos, una matriz A es simétrica si coincide con su traspuesta, es decir si

.

t

A= A Las matrices simétricas juegan un importante papel en el estudio de las formas cuadráticas que se abordará en el siguiente capítulo. Éstas, a su vez, constituyen una herramienta fundamental para la resolución de los problemas de optimización.

Con respecto a la diagonalización, una matriz simétrica cumple las propiedades siguientes.

Propiedades

1. A es diagonalizable.

2. Los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales.

La propiedad 1, que presentamos sin demostración, especifica que cualquier matriz simétrica es diagonalizable, es decir que verifica la condición m_i =

α

_i,∀i. Además, podremos determinar una matriz de paso P ortogonal, es decir una matriz

P tal que P−1 = Pt. Entonces P APt = D donde D es la matriz diagonal formada por los valores propios de la matriz .A

Dada una matriz simétrica de orden n, para construir una matriz de paso ortogonal necesitamos determinar n vectores propios ortogonales y de norma igual a uno, es decir, n vectores propios ortogonales y unitarios (vectores ortonormales). Estos vectores, que constituyen un sistema ortonormal, serán las columnas de la matriz de paso ortogonal P.

Ejemplo 3.26 Pruébese la propiedad 2 de la diagonalización de matrices simétricas.

Si x₁ y x₂ son vectores propios de una matriz simétrica A asociados a los valores

λ

₁ y

λ

₂, donde

λ

₁ ≠

λ

₂, entonces Ax_i =

λ

_ix i_i, =1, 2. Multiplicando x₂t por cada miembro en la igualdad Ax1 =

λ

1 1x, y multiplicando en cada miembro de

2 2 2

Ax =

λ

x por x₁t, se obtiene

1 1 1 2 1 1 2 1

2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1.

t t

t t t

Ax x x Ax x x

Ax x x Ax x x x x

λ

= ⇒ =

(26)

Como la matriz ₁t ₂

x Ax es un número real y A es simétrica, tenemos que

1 2 2 1

t t

x Ax = x Ax y restando las últimas igualdades en las dos implicaciones anteriores resulta

(

)

2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

0 t t t t t

x Ax x Ax

λ

x x

λ

x x

λ λ

x x

= − = − = −

de donde se deduce que, como

λ

₁ ≠

λ

₂, tiene que ser ₂t ₁ 0.

x x = Por tanto los vectores x₁ y x₂ son ortogonales.

□

Ejemplo 3.27 Diagonalícese la matriz

2 0 1 0 3 0 1 0 2 A

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

determinando una matriz de paso ortogonal.

Por ser simétrica, la matriz A es diagonalizable y existe una matriz de paso ortogonal. La ecuación característica es _{− −}₍

_λ

₁₎₍

_λ

₋₃₎2 ₌₀_{cuyas soluciones son}

1 1

λ

= y

λ

₂ =3, con multiplicidades algebraicas

α

₁ =1 y

α

₂ =2, respectivamente. Para

λ

₁ =1, los vectores propios son los elementos no nulos del conjunto de soluciones del sistema (A−I x₃) =0. Es decir, del sistema

1 2 3

1 0 1 0

0 2 0 0

1 0 1 0

x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Como 1 0 0,

0 2 ≠ el rango de la matriz asociada al sistema es dos. Tomamos las

dos primeras ecuaciones y consideramos la tercera variable como un parámetro. Pasando los términos en x₃ al segundo miembro y haciendo x₃ =

α

, resulta el sistema

1 2 2 0. x

x

α

= − ⎧

⎨ ₌

(27)

Por tanto, los vectores propios asociados al valor propio

λ

α

(

−1, 0,1

)

con

α

≠0, de donde se deduce que

(

−1,0,1

)

Para

λ

₂ =3, los vectores propios son los elementos no nulos del conjunto de soluciones del sistema (A−3 )I x₃ =0. Es decir, del sistema

1 2 3

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

x x x

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Observamos que la segunda fila de la matriz tiene todos los elementos nulos, y la tercera fila resulta de la primera cambiando de signo, por tanto el rango de la matriz asociada al sistema es uno. Tomamos la primera ecuación y consideramos las variables x₂ y x₃ como parámetros. Haciendo x₂ =

α

y x₃ =

β

, se obtiene

1 x =

β

,

y las soluciones del sistema pueden escribirse de la forma ( , , )

β α β

=

β

(1, 0,1)+

α

(0,1, 0), con ,

α β

∈ .

Como el conjunto

{

( 1, 0,1),(1,0,1), (0,1,0)−

}

es un conjunto de tres vectores propios independientes (son vectores básicos), podríamos construir una matriz de paso tomando como columnas de esta matriz estos tres vectores. Sin embargo, esta matriz no sería ortogonal ya que, aunque los vectores sí son ortogonales (el producto escalar de cualquier par de vectores es cero), su norma no es uno. Para obtener una matriz de paso ortogonal tenemos que normalizar cada uno de los vectores propios.

La norma de estos vectores es:

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1,0,1 ( 1) 0 1 2

1,0,1 1 0 1 2

0,1,0 0 1 0 1

− = − + + =

= + + =

y

(

)

1 1 1 1

,0, , , 0, , 0,1, 0

2 2 2 2

⎧⎛₋ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫

⎨⎜_⎝ ⎟ ⎜_{⎠ ⎝} ⎟_⎠ ⎬

⎩ ⎭

(28)

1 1 ₀

2 2

0 0 1 ,

1 1 ₀

2 2

P

⎡₋ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

verificándose por tanto la relación

1 0 0 0 3 0 . 0 0 3

t

P AP

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

□

En el ejemplo anterior tuvimos que normalizar los vectores básicos para obtener un conjunto de tres vectores ortogonales y unitarios que utilizamos para construir la matriz de paso. Para la matriz del ejemplo, los valores propios son distintos (todos tienen multiplicidad geométrica igual a uno) por lo que, al tratarse de una matriz simétrica, cualquier conjunto de tres vectores básicos constituye un sistema ortogonal, es decir está formado por vectores ortogonales.

Para un valor propio con multiplicidad geométrica mayor que uno, el conjunto de vectores básicos calculado inicialmente puede no ser un sistema ortogonal. Por ello, para construir una matriz de paso ortogonal, puede ser necesario aplicar un procedimiento que nos permita obtener un conjunto de vectores propios ortonormales a partir de un conjunto de vectores básicos no ortogonales, considerando combinaciones lineales de estos vectores básicos. El resultado del proceso de ortonormalización será un conjunto de vectores básicos ortonormales. Uno de estos procedimientos es el método de ortonormalización de Gram-Schmidt que veremos a continuación.

Método de ortonormalización de Gram-Schmidt

El método de ortonormalización de Gram-Schmidt se aplica de la manera siguiente. Si

{

x x₁, ,...,₂ x_p

}

es un conjunto de vectores propios que no son ortogonales,

construimos un conjunto de vectores

{

y y₁, ,...,₂ y_p

}

ortogonales, y posteriormente se

(29)

Proceso de ortogonalización:

Para ortogonalizar el conjunto

{

x x₁, ,...,₂ x_p

}

se procede siguiendo los pasos

siguientes.

9 Hacer y₁ = x₁.

9 Hacer y₂ = x₂ +

α

_{21 1}y donde

α

₂₁ se elige de manera que y y_{1 2}t =0 (es decir, de

forma que y₁ e y₂ sean ortogonales).

9 Hacer y₃ = x₃+

α

_{31 1}y +

α

_{32 2}y donde

α

₃₁ y

α

₃₂ se eligen de forma que y y_{1 3} =0 e y y_{2 3} =0.

9 Se procede así de forma sucesiva hasta obtener p−1 vectores propios ortogonales y y₁, ,...,₂ y_p₋₁..

9 Paso p: Para obtener el último vector y_p, hacer

1 1 2 2 ... , 1 1

p p p p p p p

y = x +

α

y +

α

y + +

α

₋ y ₋

donde

α α

_p₁, _p₂,...,

α

_{p p}_, ₋₁ se seleccionan de forma que ₁t 0,

p

y y = y y₂t _p =0, … , 1 0.

t

p p

y − y =

Proceso de normalización:

Finalmente, una vez obtenido el conjunto

{

y y₁, ,...,₂ y_p

}

de vectores ortogonales,

éstos se normalizan y se obtiene i , 1, 2,..., .

i i

y

z i p

y

= = El conjunto

{

z z₁, ,...,₂ z_p

}

es un sistema de vectores ortonormales obtenido a partir de

{

x x₁, ,...,₂ x_p

}

.

Ejemplo 3.28 Diagonalícese la matriz

1 1 1 1 1 1 1 1 1 A

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

y obténgase una matriz de paso ortogonal.

(30)

2 1

α

= , respectivamente. Los vectores propios asociados a

λ

α

(

−1,1,0

)

+

β

(

−1,0,1

)

con

α

y

β

no nulos simultáneamente. Para

2 3

λ

= , los vectores propios se expresan como

α

(

1,1,1

)

con

α

≠0.

Sabemos que, por ser A una matriz simétrica, los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales, por tanto sólo tendremos que analizar la ortogonalidad de los vectores propios asociados a

λ

₁ =0. Como el producto escalar de los vectores

(

−1,1, 0

)

y

(

−1,0,1

)

es uno, estos vectores no son ortogonales. Para ortogonalizar, es decir, para obtener a partir de estos dos vectores otros dos que sí sean ortogonales, aplicamos el método de Gram-Schmidt. En este caso

(

)

1 1,1, 0

x = − y x₂ = −

(

1,0,1 .

)

1. Hacemos y₁ = x₁ = −

(

1,1, 0 .

)

2. Hacemos y₂ = x₂ +

α

_{21 1}y = −

(

1, 0,1

)

+

α

₂₁

(

−1,1,0

) (

= − −1

α α

₂₁, ₂₁,1 ,

)

y hallamos el valor de

α

₂₁ tal que _{1 2}t 0.

y y =

Como

[

]

21

1 2 21 21 1

1,1,0 1 2 ,

1

t

y y

α

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= − _⎢ _⎥= +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

para que _{1 2}t 0

y y = debe ser

21

1 2+

α

=0, y resolviendo esta ecuación resulta ₂₁ 1. 2

α

= − Por tanto,

2

1 1 , ,1 . 2 2 y = −⎛_⎜ − ⎞_⎟

⎝ ⎠

Los vectores y₁ = −

(

1,1,0

)

e ₂ 1, 1,1 2 2 y = −⎛_⎜ − ⎞_⎟

⎝ ⎠ son vectores propios ortogonales

asociados al valor propio

λ

₁ =0. El vector y₃ =

(

1,1,1

)

es un vector propio asociado al vector propio

λ

₂ =3. Normalizando estos vectores se obtienen

1

1 1 , , 0 , 2 2 z = −⎛_⎜ ⎞_⎟

⎝ ⎠ 2

1 1 2

, ,

6 6 6

z = −⎛_⎜ − ⎞_⎟

⎝ ⎠ y 3

1 1 1

, , .

3 3 3

z = ⎜⎛ ⎞_⎟

⎝ ⎠

Por tanto una matriz de paso ortogonal es

1 1 1

2 6 3

1 1 1 _,

2 6 3

2 1

0

6 3

P

⎡₋ ₋ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ − ⎥

⎢ ⎥

(31)

verificándose la relación

0 0 0 0 0 0 0 0 3

t

P AP D

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= _{= ⎢} _⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

.

□

Resumiendo todo lo anterior, podemos estudiar si una matriz A, cuadrada de orden n, es diagonalizable siguiendo los pasos siguientes:

Paso 1. Si la matriz A es simétrica entonces es diagonalizable. Si A no es simétrica vamos al paso 2.

Paso 2. Hallamos el polinomio característico p_A( )

λ

= A−

λ

I_n . Si el polinomio característico de la matriz A no tiene todas las raíces reales entonces A no es diagonalizable. Si, por el contrario, todas las raíces de este polinomio son reales vamos al paso 3.

Paso 3. Si todas las raíces del polinomio característico son distintas entonces A es diagonalizable. Si existen raíces múltiples vamos al paso 4.

Paso 4. Si para cada valor propio

λ

_i, la multiplicidad algebraica

α

_i es igual a la multiplicidad geométrica m_i = −n rango A

(

−

λ

_{i n}I

)

, entonces la matriz A es diagonalizable. En otro caso la matriz A no es diagonalizable.

4. Práctica de laboratorio con

DERIVE

El cálculo de los valores propios de una matriz A_{n n}× se resuelve estudiando las soluciones del sistema homogéneo

(

A−

λ

I_n

)

x=0 para los distintos valores de .

λ

Ello puede realizarse con DERIVE utilizando los métodos que se vieron en el tema dos para el estudio de un sistema de ecuaciones lineales. No obstante, DERIVE

incluye algunos comandos específicos que facilitan este cálculo y que son descritos a continuación.

• Cálculo de los valores propios. Una de las formas de calcular los valores propios consiste en determinar el polinomio característico p_A

( )

λ

= A−

λ

I_n y resolver después la ecuación característica p_A

( )

λ

= A−

λ

I_n =0. El polinomio característico se obtiene directamente aplicando el comando charpoly a la matriz