SERIES
SERIES
SERIES
Ver ´onica Brice ˜no V.
SERIES
SERIES
En esta Presentaci ´on veremos:
Definici ´on de Series
Convergencia
Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series Series de T ´erminos Positivos
Series Alternadas
SERIES
SERIES
En esta Presentaci ´on veremos:
Definici ´on de Series
Convergencia
Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series Series de T ´erminos Positivos
Series Alternadas
SERIES
SERIES
En esta Presentaci ´on veremos:
Definici ´on de Series
Convergencia
Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series
Series de T ´erminos Positivos
Series Alternadas
SERIES
SERIES
En esta Presentaci ´on veremos:
Definici ´on de Series
Convergencia
Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series Series de T ´erminos Positivos
Series Alternadas
SERIES
SERIES
En esta Presentaci ´on veremos:
Definici ´on de Series
Convergencia
Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series Series de T ´erminos Positivos
Series Alternadas
SERIES
SERIES
En esta Presentaci ´on veremos:
Definici ´on de Series
Convergencia
Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series Series de T ´erminos Positivos
Series Alternadas
SERIES
Series
Definici ´on
Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.
Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:
S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..
.
Sn=a1+a2+. . .+an
El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.
Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente
P
SERIES
Series
Definici ´on
Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.
Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:
S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..
.
Sn=a1+a2+. . .+an
El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.
Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente
P
SERIES
Series
Definici ´on
Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.
Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:
S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..
.
Sn=a1+a2+. . .+an
El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.
Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente
P
SERIES
Series
Definici ´on
Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.
Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:
S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..
.
Sn=a1+a2+. . .+an
El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.
Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente
P
SERIES
Series
Definici ´on
Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.
Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:
S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..
.
Sn=a1+a2+. . .+an
El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.
Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente
P
SERIES
Series
Definici ´on
Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.
Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:
S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..
.
Sn=a1+a2+. . .+an
El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.
Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente
P
SERIES
Ejemplos
P∞
k=11=1+1+1+. . .
P∞
k=12nn!+1! = 1 3+
2 5+
6 13. . . P∞
k=11n =1+
1 2+
1 3. . . P∞
k=0 1
2k =1+
1 2+
SERIES
Ejemplos
P∞
k=11=1+1+1+. . . P∞
k=12nn!+1! = 1 3+
2 5+
6 13. . .
P∞
k=11n =1+
1 2+
1 3. . . P∞
k=0 1
2k =1+
1 2+
SERIES
Ejemplos
P∞
k=11=1+1+1+. . . P∞
k=12nn!+1! = 1 3+
2 5+
6 13. . . P∞
k=1n1 =1+
1 2+
1 3. . .
P∞
k=0 1
2k =1+
1 2+
SERIES
Ejemplos
P∞
k=11=1+1+1+. . . P∞
k=12nn!+1! = 1 3+
2 5+
6 13. . . P∞
k=1n1 =1+
1 2+
1 3. . . P∞
k=0 1
2k =1+
1 2+
SERIES
Convergencia
Definici ´on
La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas
parciales{Sn}converge.
Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.
l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.
Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se
dice que la serie divergente.
Observaci ´on:
Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.
SERIES
Convergencia
Definici ´on
La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas
parciales{Sn}converge.
Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.
l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.
Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se
dice que la serie divergente.
Observaci ´on:
Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.
SERIES
Convergencia
Definici ´on
La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas
parciales{Sn}converge.
Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.
l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.
Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se
dice que la serie divergente.
Observaci ´on:
Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.
SERIES
Convergencia
Definici ´on
La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas
parciales{Sn}converge.
Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.
l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.
Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se
dice que la serie divergente.
Observaci ´on:
Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.
SERIES
Convergencia
Definici ´on
La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas
parciales{Sn}converge.
Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.
l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.
Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se
dice que la serie divergente.
Observaci ´on:
Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.
SERIES
Convergencia
Definici ´on
La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas
parciales{Sn}converge.
Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.
l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.
Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se
dice que la serie divergente.
Observaci ´on:
Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.
SERIES
Convergencia
Definici ´on
La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas
parciales{Sn}converge.
Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.
l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.
Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se
dice que la serie divergente.
Observaci ´on:
Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.
SERIES
Convergencia
Definici ´on
La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas
parciales{Sn}converge.
Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.
l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.
Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se
dice que la serie divergente.
Observaci ´on:
Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.
SERIES
Convergencia
Definici ´on
La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas
parciales{Sn}converge.
Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.
l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.
Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se
dice que la serie divergente.
Observaci ´on:
Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.
SERIES
Convergencia
Definici ´on
La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas
parciales{Sn}converge.
Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.
l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.
Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se
dice que la serie divergente.
Observaci ´on:
Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.
SERIES
Teoremas
Teorema
SeanP
an =AyPbn=Byc ∈R.
Entonces: P
c·an=c·A
P
an+bn=A+B
P
an−bn=A−B
Teorema: Criterio del T ´ermino General
Si la serieP
anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge
SERIES
Teoremas
Teorema
SeanP
an =AyPbn=Byc ∈R.
Entonces: P
c·an=c·A
P
an+bn=A+B
P
an−bn=A−B
Teorema: Criterio del T ´ermino General
Si la serieP
anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge
SERIES
Teoremas
Teorema
SeanP
an =AyPbn=B yc ∈R.
Entonces: P
c·an=c·A
P
an+bn=A+B
P
an−bn=A−B
Teorema: Criterio del T ´ermino General
Si la serieP
anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge
SERIES
Teoremas
Teorema
SeanP
an =AyPbn=B yc ∈R.
Entonces: P
c·an =c·A
P
an+bn=A+B
P
an−bn=A−B
Teorema: Criterio del T ´ermino General
Si la serieP
anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge
SERIES
Teoremas
Teorema
SeanP
an =AyPbn=B yc ∈R.
Entonces: P
c·an =c·A
P
an+bn=A+B
P
an−bn=A−B
Teorema: Criterio del T ´ermino General
Si la serieP
anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge
SERIES
Teoremas
Teorema
SeanP
an =AyPbn=B yc ∈R.
Entonces: P
c·an =c·A
P
an+bn=A+B
P
an−bn=A−B
Teorema: Criterio del T ´ermino General
Si la serieP
anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge
SERIES
Teoremas
Teorema
SeanP
an =AyPbn=B yc ∈R.
Entonces: P
c·an =c·A
P
an+bn=A+B
P
an−bn=A−B
Teorema: Criterio del T ´ermino General
Si la serieP
anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge
SERIES
Teoremas
Teorema
SeanP
an =AyPbn=B yc ∈R.
Entonces: P
c·an =c·A
P
an+bn=A+B
P
an−bn=A−B
Teorema: Criterio del T ´ermino General
Si la serieP
anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge
SERIES
Criterio de Divergencia
Este ´ultimo teorema nos entrega una forma muy simple de determinar la divergencia de una serie:
Criterio del T ´ermino General para la Divergencia
{an}90=⇒Pandiverge.
CUIDADO
Este teorema no dice que si la sucesi ´on{an}converge a cero,
entonces la serieP
antenga que ser necesariamente
SERIES
Criterio de Divergencia
Este ´ultimo teorema nos entrega una forma muy simple de determinar la divergencia de una serie:
Criterio del T ´ermino General para la Divergencia
{an}90=⇒Pandiverge.
CUIDADO
Este teorema no dice que si la sucesi ´on{an}converge a cero,
entonces la serieP
antenga que ser necesariamente
SERIES
Criterio de Divergencia
Este ´ultimo teorema nos entrega una forma muy simple de determinar la divergencia de una serie:
Criterio del T ´ermino General para la Divergencia
{an}90=⇒Pandiverge.
CUIDADO
Este teorema no dice que si la sucesi ´on{an}converge a cero,
entonces la serieP
antenga que ser necesariamente
SERIES
Criterio de Divergencia
Este ´ultimo teorema nos entrega una forma muy simple de determinar la divergencia de una serie:
Criterio del T ´ermino General para la Divergencia
{an}90=⇒Pandiverge.
CUIDADO
Este teorema no dice que si la sucesi ´on{an}converge a cero,
entonces la serieP
antenga que ser necesariamente
SERIES
Criterio de Divergencia
Este ´ultimo teorema nos entrega una forma muy simple de determinar la divergencia de una serie:
Criterio del T ´ermino General para la Divergencia
{an}90=⇒Pandiverge.
CUIDADO
Este teorema no dice que si la sucesi ´on{an}converge a cero,
entonces la serieP
antenga que ser necesariamente
SERIES
Ejemplos
P∞
k=11 diverge pues{1}n∈Nconverge a 1.
P∞
k=12nn!+1! como la sucesi ´on{
n!
2n!+1} −→ 1
2, se tiene que la serie diverge.
P∞
k=11n como la sucesi ´on{
1
n}converge a cero, entonces:
NO SE DISPONE DE INFORMACI ´ON!!!! (mas adelante mostraremos que diverge).
P∞
k=021k =1+
1 2+
1
SERIES
Ejemplos
P∞
k=11 diverge pues{1}n∈Nconverge a 1.
P∞
k=12nn!+1! como la sucesi ´on{
n!
2n!+1} −→ 1
2, se tiene que la serie diverge.
P∞
k=11n como la sucesi ´on{
1
n}converge a cero, entonces:
NO SE DISPONE DE INFORMACI ´ON!!!! (mas adelante mostraremos que diverge).
P∞
k=021k =1+
1 2+
1
SERIES
Ejemplos
P∞
k=11 diverge pues{1}n∈Nconverge a 1.
P∞
k=12nn!+1! como la sucesi ´on{
n!
2n!+1} −→ 1
2, se tiene que la serie diverge.
P∞
k=1n1 como la sucesi ´on{
1
n}converge a cero, entonces:
NO SE DISPONE DE INFORMACI ´ON!!!! (mas adelante mostraremos que diverge).
P∞
k=021k =1+
1 2+
1
SERIES
Ejemplos
P∞
k=11 diverge pues{1}n∈Nconverge a 1.
P∞
k=12nn!+1! como la sucesi ´on{
n!
2n!+1} −→ 1
2, se tiene que la serie diverge.
P∞
k=1n1 como la sucesi ´on{
1
n}converge a cero, entonces:
NO SE DISPONE DE INFORMACI ´ON!!!! (mas adelante mostraremos que diverge).
P∞
k=021k =1+
1 2+
1
SERIES
Series Geom ´etricas
Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.
La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.
Teorema
Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:
∞ X
k=0
ark = a
1−r
Dem: Pn
k=0ark =
a(1−rn)
1−r −→ a
1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.
SERIES
Series Geom ´etricas
Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.
La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.
Teorema
Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:
∞ X
k=0
ark = a
1−r
Dem: Pn
k=0ark =
a(1−rn)
1−r −→ a
1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.
SERIES
Series Geom ´etricas
Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.
La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.
Teorema
Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:
∞ X
k=0
ark = a
1−r
Dem: Pn
k=0ark =
a(1−rn)
1−r −→ a
1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.
SERIES
Series Geom ´etricas
Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.
La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.
Teorema
Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:
∞ X
k=0
ark = a
1−r
Dem: Pn
k=0ark =
a(1−rn)
1−r −→ a
1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.
SERIES
Series Geom ´etricas
Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.
La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.
Teorema
Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:
∞ X
k=0
ark = a
1−r
Dem: Pn
k=0ark =
a(1−rn)
1−r −→ a
1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.
SERIES
Series Geom ´etricas
Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.
La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.
Teorema
Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:
∞ X
k=0
ark = a
1−r
Dem: Pn
k=0ark =
a(1−rn)
1−r −→ a
1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.
SERIES
Ejemplos
P∞
k=0 3 2k
Es una serie geom ´etrica de raz ´onr = 12 <1,a=3 por tanto converge a:
S= 1−31 2
=6
P∞
k=02k
Diverge pues es una serie geom ´etrica de raz ´onr =2>1. P∞
k=2 (−1)k2k
SERIES
Ejemplos
P∞
k=0 3 2k
Es una serie geom ´etrica de raz ´onr = 12 <1,a=3 por tanto converge a:
S= 1−31 2
=6
P∞
k=02k
Diverge pues es una serie geom ´etrica de raz ´onr =2>1.
P∞
k=2 (−1)k2k
SERIES
Ejemplos
P∞
k=0 3 2k
Es una serie geom ´etrica de raz ´onr = 12 <1,a=3 por tanto converge a:
S= 1−31 2
=6
P∞
k=02k
Diverge pues es una serie geom ´etrica de raz ´onr =2>1. P∞
k=2 (−1)k2k
SERIES
Series Telesc ´opicas
Una serie de la formaP∞k=1(bk−bk+1)se llama Serie Telesc ´opica.
Teorema
Una serie telesc ´opica converge ssi la sucesi ´on{bk}converge, en este caso converge a la suma:
∞ X
k=1
(bk−bk+1) =b1− l´ım
k→∞bk
Dem:
Sn =Pnk=1(bk −bk+1) =b1−bn+1−→b1−l´ımk→∞bk ssi la
SERIES
Series Telesc ´opicas
Una serie de la formaP∞k=1(bk−bk+1)se llama Serie Telesc ´opica.
Teorema
Una serie telesc ´opica converge ssi la sucesi ´on{bk}converge,
en este caso converge a la suma:
∞ X
k=1
(bk−bk+1) =b1− l´ım
k→∞bk
Dem:
Sn =Pnk=1(bk −bk+1) =b1−bn+1−→b1−l´ımk→∞bk ssi la
SERIES
Series Telesc ´opicas
Una serie de la formaP∞k=1(bk−bk+1)se llama Serie Telesc ´opica.
Teorema
Una serie telesc ´opica converge ssi la sucesi ´on{bk}converge,
en este caso converge a la suma:
∞ X
k=1
(bk−bk+1) =b1− l´ım
k→∞bk
Dem:
Sn =Pnk=1(bk −bk+1) =b1−bn+1−→b1−l´ımk→∞bk ssi la
SERIES
Series Telesc ´opicas
Una serie de la formaP∞k=1(bk−bk+1)se llama Serie Telesc ´opica.
Teorema
Una serie telesc ´opica converge ssi la sucesi ´on{bk}converge,
en este caso converge a la suma:
∞ X
k=1
(bk −bk+1) =b1− l´ım
k→∞bk
Dem:
Sn =Pnk=1(bk −bk+1) =b1−bn+1−→b1−l´ımk→∞bk ssi la
SERIES
Series Telesc ´opicas
Una serie de la formaP∞k=1(bk−bk+1)se llama Serie Telesc ´opica.
Teorema
Una serie telesc ´opica converge ssi la sucesi ´on{bk}converge,
en este caso converge a la suma:
∞ X
k=1
(bk −bk+1) =b1− l´ım
k→∞bk
Dem:
Sn =Pnk=1(bk −bk+1) =b1−bn+1−→b1−l´ımk→∞bk ssi la
SERIES
Ejemplos
P∞
k=1(1k −
1
k+1)
P∞
k=1 2 4k2−1
P∞
k=1 √
k+1−√k
√
SERIES
Ejemplos
P∞
k=1(1k −
1
k+1) P∞
k=1 2 4k2−1
P∞
k=1 √
k+1−√k
√
SERIES
Ejemplos
P∞
k=1(1k −
1
k+1) P∞
k=1 2 4k2−1
P∞
k=1 √
k+1−√k
√
SERIES
p-Series
Seapuna constante positiva.
Una p-Serie es de la forma: P∞
n=1n1p = 11p + 21p +31p +. . .
Teorema
Una p-serie converge si y solo sip>1. Y diverge si 0<p≤1.
Dem:
SERIES
p-Series
Seapuna constante positiva.
Una p-Serie es de la forma: P∞
n=1n1p = 11p + 21p +31p +. . .
Teorema
Una p-serie converge si y solo sip>1. Y diverge si 0<p≤1.
Dem:
SERIES
p-Series
Seapuna constante positiva.
Una p-Serie es de la forma: P∞
n=1n1p = 11p + 21p +31p +. . .
Teorema
Una p-serie converge si y solo sip>1. Y diverge si 0<p≤1.
Dem:
SERIES
p-Series
Seapuna constante positiva.
Una p-Serie es de la forma: P∞
n=1n1p = 11p + 21p +31p +. . .
Teorema
Una p-serie converge si y solo sip>1. Y diverge si 0<p≤1.
Dem:
SERIES
p-Series
Seapuna constante positiva.
Una p-Serie es de la forma: P∞
n=1n1p = 11p + 21p +31p +. . .
Teorema
Una p-serie converge si y solo sip>1. Y diverge si 0<p≤1.
Dem:
SERIES
Ejemplos
En el casop=1 se obtiene:P∞n=11n que se conoce como Serie Arm ´onica.
Un caso general de serie arm ´onica es:P∞n=1an1+b, donde a,b∈R.
P∞
k=2 (−1)k2k
SERIES
Ejemplos
En el casop=1 se obtiene:P∞n=11n que se conoce como Serie Arm ´onica.
Un caso general de serie arm ´onica es:P∞n=1an1+b, donde a,b∈R.
P∞
k=2 (−1)k2k
SERIES
Ejemplos
En el casop=1 se obtiene:P∞n=11n que se conoce como Serie Arm ´onica.
Un caso general de serie arm ´onica es:P∞n=1an1+b, donde a,b∈R.
P∞
k=2 (−1)k2k
SERIES
Series de T ´erminos Positivos
Seanak ≥0,∀k ∈N.
La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos
Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la
sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.
Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.
Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...
Teorema
Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.
Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de
sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.
SERIES
Series de T ´erminos Positivos
Seanak ≥0,∀k ∈N.
La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos
Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la
sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.
Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.
Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...
Teorema
Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.
Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de
sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.
SERIES
Series de T ´erminos Positivos
Seanak ≥0,∀k ∈N.
La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos
Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la
sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.
Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.
Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...
Teorema
Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.
Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de
sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.
SERIES
Series de T ´erminos Positivos
Seanak ≥0,∀k ∈N.
La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos
Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la
sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.
Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.
Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...
Teorema
Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.
Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de
sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.
SERIES
Series de T ´erminos Positivos
Seanak ≥0,∀k ∈N.
La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos
Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la
sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.
Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.
Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...
Teorema
Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.
Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.
SERIES
Series de T ´erminos Positivos
Seanak ≥0,∀k ∈N.
La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos
Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la
sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.
Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.
Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...
Teorema
Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.
Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.
SERIES
Series de T ´erminos Positivos
Seanak ≥0,∀k ∈N.
La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos
Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la
sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.
Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.
Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...
Teorema
Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.
Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.
SERIES
Ejemplos
La serie:P∞k=123kk++kk es convergente.
Notar que: Sn=Pnk=12
k+k
3k+k ≤
Pn
SERIES
Ejemplos
La serie:P∞k=123kk++kk es convergente.
Notar que: Sn=Pnk=12
k+k
3k+k ≤
Pn
SERIES
Ejemplos
La serie:P∞k=123kk++kk es convergente.
Notar que: Sn=Pnk=12
k+k
3k+k ≤
Pn
SERIES
Criterios de Convergencia para Series de T ´erminos
Positivos
Analizaremos los siguientes criterios:
Criterio Integral
Criterio de Comparaci ´on Directa
SERIES
Criterios de Convergencia para Series de T ´erminos
Positivos
Analizaremos los siguientes criterios:
Criterio Integral
Criterio de Comparaci ´on Directa
SERIES
Criterios de Convergencia para Series de T ´erminos
Positivos
Analizaremos los siguientes criterios:
Criterio Integral
Criterio de Comparaci ´on Directa
SERIES
Criterio Integral
Criterio
Seaf : [1,+∞[−→Runa funci ´on continua (a valores positivos) y decreciente en[1,+∞[.
Si definimos:an=f(n),∀n∈N, entonces:
P∞
n=1anconverge si y solo si R∞
SERIES
Criterio Integral
Criterio
Seaf : [1,+∞[−→Runa funci ´on continua (a valores positivos) y decreciente en[1,+∞[.
Si definimos:an=f(n),∀n∈N, entonces:
P∞
n=1anconverge si y solo si R∞
SERIES
Criterio Integral
Criterio
Seaf : [1,+∞[−→Runa funci ´on continua (a valores positivos) y decreciente en[1,+∞[.
Si definimos:an=f(n),∀n∈N, entonces:
P∞
n=1anconverge si y solo si R∞
SERIES
Criterio Integral
Criterio
Seaf : [1,+∞[−→Runa funci ´on continua (a valores positivos) y decreciente en[1,+∞[.
Si definimos:an=f(n),∀n∈N, entonces:
P∞
n=1an converge si y solo si R∞
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1
n n2+1
P∞
n=1n21+1
P∞
n=1n1p, sip>1 (p-series, qued pendiente demostrar que
diverge) P∞
n=11n (serie arm ´onica, qued pendiente demostrar que
diverge) P∞
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1
n n2+1
P∞
n=1n21+1
P∞
n=1n1p, sip>1 (p-series, qued pendiente demostrar que
diverge) P∞
n=11n (serie arm ´onica, qued pendiente demostrar que
diverge) P∞
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1
n n2+1
P∞
n=1n21+1
P∞
n=1n1p, sip>1 (p-series, qued pendiente demostrar que
diverge)
P∞
n=11n (serie arm ´onica, qued pendiente demostrar que
diverge) P∞
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1
n n2+1
P∞
n=1n21+1
P∞
n=1n1p, sip>1 (p-series, qued pendiente demostrar que
diverge) P∞
n=11n (serie arm ´onica, qued pendiente demostrar que
diverge)
P∞
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1
n n2+1
P∞
n=1n21+1
P∞
n=1n1p, sip>1 (p-series, qued pendiente demostrar que
diverge) P∞
n=11n (serie arm ´onica, qued pendiente demostrar que
diverge) P∞
SERIES
Criterio de Comparaci ´on Directa
Criterio
Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales
que 0≤an ≤bn, para cadak ≥ko.
Entonces:
SiP
andiverge, entoncesPbndiverge.
SiP
SERIES
Criterio de Comparaci ´on Directa
Criterio
Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales
que 0≤an ≤bn, para cadak ≥ko.
Entonces:
SiP
andiverge, entoncesPbndiverge.
SiP
SERIES
Criterio de Comparaci ´on Directa
Criterio
Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales
que 0≤an ≤bn, para cadak ≥ko.
Entonces:
SiP
an diverge, entoncesPbndiverge.
SiP
SERIES
Criterio de Comparaci ´on Directa
Criterio
Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales
que 0≤an ≤bn, para cadak ≥ko.
Entonces:
SiP
an diverge, entoncesPbndiverge.
SiP
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1 1 2+3n
P∞
n=12+1√n P∞
n=1 1 2√n+3n
P∞
n=12n1+1
P∞
n=1 1
n+ln(n) P∞
n=1n3+31n+4
P∞
n=1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1 1 2+3n
P∞
n=12+1√n
P∞
n=1 1 2√n+3n
P∞
n=12n1+1
P∞
n=1 1
n+ln(n) P∞
n=1n3+31n+4
P∞
n=1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1 1 2+3n
P∞
n=12+1√n P∞
n=1 1 2√n+3n
P∞
n=12n1+1
P∞
n=1 1
n+ln(n) P∞
n=1n3+31n+4
P∞
n=1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1 1 2+3n
P∞
n=12+1√n P∞
n=1 1 2√n+3n
P∞
n=12n1+1
P∞
n=1 1
n+ln(n) P∞
n=1n3+31n+4
P∞
n=1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1 1 2+3n
P∞
n=12+1√n P∞
n=1 1 2√n+3n
P∞
n=12n1+1
P∞
n=1 1
n+ln(n)
P∞
n=1n3+31n+4
P∞
n=1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1 1 2+3n
P∞
n=12+1√n P∞
n=1 1 2√n+3n
P∞
n=12n1+1
P∞
n=1 1
n+ln(n) P∞
n=1n3+31n+4
P∞
n=1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1 1 2+3n
P∞
n=12+1√n P∞
n=1 1 2√n+3n
P∞
n=12n1+1
P∞
n=1 1
n+ln(n) P∞
n=1n3+31n+4
P∞
n=1
SERIES
Observaci ´on
Notar que
La serie mayor converge=⇒la menor converge.
SERIES
Observaci ´on
Notar que
La serie mayor converge=⇒la menor converge.
La serie menor diverge=⇒la mayor diverge.
SERIES
Observaci ´on
Notar que
La serie mayor converge=⇒la menor converge.
SERIES
Criterio de Comparaci ´on al L´ımite
Criterio
Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales
que l´ımn→∞ anbn =L>0 Entonces:
P
SERIES
Criterio de Comparaci ´on al L´ımite
Criterio
Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales
que l´ımn→∞ anbn =L>0 Entonces:
P
SERIES
Criterio de Comparaci ´on al L´ımite
Criterio
Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales
que l´ımn→∞ anbn =L>0 Entonces:
P
SERIES
Criterio de Comparaci ´on al L´ımite
Criterio
Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales
que l´ımn→∞ anbn =L>0 Entonces:
P
SERIES
Criterio de Comparaci ´on al L´ımite
Criterio
Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales
que l´ımn→∞ anbn =L>0 Entonces:
P
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=13n2−41n+5
P∞
n=1√31n−2 P∞
n=1 3n
3−5n2
2n6+4n−1
P∞
n=1 n
2−10
4n5+n3
P∞
n=1√n13+1
P∞
n=1arctg( 1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=13n2−41n+5
P∞
n=1√31n−2
P∞
n=1 3n
3−5n2
2n6+4n−1
P∞
n=1 n
2−10
4n5+n3
P∞
n=1√n13+1
P∞
n=1arctg( 1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=13n2−41n+5
P∞
n=1√31n−2 P∞
n=1 3n
3−5n2
2n6+4n−1
P∞
n=1 n
2−10
4n5+n3
P∞
n=1√n13+1
P∞
n=1arctg( 1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=13n2−41n+5
P∞
n=1√31n−2 P∞
n=1 3n
3−5n2
2n6+4n−1
P∞
n=1 n
2−10
4n5+n3
P∞
n=1√n13+1
P∞
n=1arctg( 1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=13n2−41n+5
P∞
n=1√31n−2 P∞
n=1 3n
3−5n2
2n6+4n−1
P∞
n=1 n
2−10
4n5+n3
P∞
n=1√n13+1
P∞
n=1arctg( 1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=13n2−41n+5
P∞
n=1√31n−2 P∞
n=1 3n
3−5n2
2n6+4n−1
P∞
n=1 n
2−10
4n5+n3
P∞
n=1√n13+1
P∞
n=1arctg( 1
SERIES
Observaci ´on
Notar que
Para elegir la serie que usamos para comparar con la serie dada, basta analizar las potencias m ´aximas del t ´ermino general en el numerador y el denominador.
SERIES
Observaci ´on
Notar que
Para elegir la serie que usamos para comparar con la serie dada, basta analizar las potencias m ´aximas del t ´ermino general en el numerador y el denominador.
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs: Psen(n)
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs: Psen(n)
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs: Psen(n)
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs: Psen(n)
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs: Psen(n)
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs: Psen(n)
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs: Psen(n)
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs: Psen(n)
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs: Psen(n)
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs:
Psen(n)
SERIES
Series Alternadas
Definici ´on
Seaan>0. Las series:
P
(−1)nan
P
(−1)n+1an
se llaman Series Alternadas.
Teorema
Las series alternadas convergen ssi se verifica:
l´ımn→∞an=0
an+1≤an,∀n
Obs: Psen(n)
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1(−1)n 1
n serie arm ´onica alternada
P∞
n=1(−1)n+1n+1n
P∞
n=1(−1)n+1
n+1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1(−1)n 1
n serie arm ´onica alternada
P∞
n=1(−1)n+1n+1n
P∞
n=1(−1)n+1
n+1
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1(−1)n 1
n serie arm ´onica alternada
P∞
n=1(−1)n+1n+1n
P∞
n=1(−1)n+1
n+1
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
En general, una serie tiene t ´erminos positivos y negativos, y no necesariamente es alternada.
Una forma de obtener informaci ´on sobre una serieP an,
dondean pueden ser valores positivos o negativos, es
estudiar la serie:P
|an|, que corresponde a una serie de
t ´erminos positivos.
Ahora, el tema es c ´omo se relaciona la convergencia de P
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
En general, una serie tiene t ´erminos positivos y negativos, y no necesariamente es alternada.
Una forma de obtener informaci ´on sobre una serieP an,
dondean pueden ser valores positivos o negativos, es
estudiar la serie:P
|an|, que corresponde a una serie de
t ´erminos positivos.
Ahora, el tema es c ´omo se relaciona la convergencia de P
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
En general, una serie tiene t ´erminos positivos y negativos, y no necesariamente es alternada.
Una forma de obtener informaci ´on sobre una serieP an,
dondean pueden ser valores positivos o negativos, es
estudiar la serie:P
|an|, que corresponde a una serie de
t ´erminos positivos.
Ahora, el tema es c ´omo se relaciona la convergencia de P
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
Teorema de la Convergencia Absoluta
P
|an|converge=⇒Panconverge.
dem:
En la pizarra.
Definici ´on
P
an es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si
P|
an|converge.
P
an es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si
P
an converge peroP|an|diverge.
Obs:
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
Teorema de la Convergencia Absoluta
P
|an|converge=⇒Panconverge.
dem:
En la pizarra.
Definici ´on
P
an es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si
P|
an|converge.
P
an es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si
P
an converge peroP|an|diverge.
Obs:
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
Teorema de la Convergencia Absoluta
P
|an|converge=⇒Panconverge.
dem:
En la pizarra.
Definici ´on
P
an es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si
P|
an|converge.
P
an es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si
P
an converge peroP|an|diverge.
Obs:
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
Teorema de la Convergencia Absoluta
P
|an|converge=⇒Panconverge.
dem:
En la pizarra.
Definici ´on
P
an es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si
P|
an|converge.
P
an es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si
P
an converge peroP|an|diverge.
Obs:
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
Teorema de la Convergencia Absoluta
P
|an|converge=⇒Panconverge.
dem:
En la pizarra.
Definici ´on
P
anes ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si
P|
an|converge.
P
an es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si
P
an converge peroP|an|diverge.
Obs:
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
Teorema de la Convergencia Absoluta
P
|an|converge=⇒Panconverge.
dem:
En la pizarra.
Definici ´on
P
anes ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si
P|
an|converge.
P
anes CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si
P
anconverge peroP|an|diverge.
Obs:
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
Teorema de la Convergencia Absoluta
P
|an|converge=⇒Panconverge.
dem:
En la pizarra.
Definici ´on
P
anes ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si
P|
an|converge.
P
anes CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si
P
anconverge peroP|an|diverge.
Obs:
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
Teorema de la Convergencia Absoluta
P
|an|converge=⇒Panconverge.
dem:
En la pizarra.
Definici ´on
P
anes ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si
P|
an|converge.
P
anes CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si
P
anconverge peroP|an|diverge.
Obs:
SERIES
Convergencia Absoluta y Condicional
Teorema de la Convergencia Absoluta
P
|an|converge=⇒Panconverge.
dem:
En la pizarra.
Definici ´on
P
anes ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si
P|
an|converge.
P
anes CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si
P
anconverge peroP|an|diverge.
Obs:
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series:
P∞
n=1
(−1)n(n2+1)
3n
P∞
n=1 (−1)n ln(n+1) P∞
n=1 (−1)nn!
2n P∞ n=1 (−1)n √ n P∞ n=1
sen(n)
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series:
P∞
n=1
(−1)n(n2+1)
3n
P∞
n=1 (−1)n ln(n+1)
P∞
n=1 (−1)nn!
2n P∞ n=1 (−1)n √ n P∞ n=1
sen(n)
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series:
P∞
n=1
(−1)n(n2+1)
3n
P∞
n=1 (−1)n ln(n+1) P∞
n=1 (−1)nn!
2n P∞ n=1 (−1)n √ n P∞ n=1
sen(n)
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series:
P∞
n=1
(−1)n(n2+1)
3n
P∞
n=1 (−1)n ln(n+1) P∞
n=1 (−1)nn!
2n P∞ n=1 (−1)n √ n P∞ n=1
sen(n)
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series:
P∞
n=1
(−1)n(n2+1)
3n
P∞
n=1 (−1)n ln(n+1) P∞
n=1 (−1)nn!
2n P∞ n=1 (−1)n √ n P∞ n=1
sen(n)
SERIES
Criterio del Cuociente - DAlember
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
an es absolutamente convergente si l´ımn→∞|anan+1|<1.
P
an es divergente si l´ımn→∞|anan+1|>1 o bien l´ımn→∞|aann+1|=∞.
SERIES
Criterio del Cuociente - DAlember
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
an es absolutamente convergente si l´ımn→∞|anan+1|<1.
P
an es divergente si l´ımn→∞|anan+1|>1 o bien l´ımn→∞|aann+1|=∞.
SERIES
Criterio del Cuociente - DAlember
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
an es absolutamente convergente si l´ımn→∞|anan+1|<1.
P
an es divergente si l´ımn→∞|anan+1|>1 o bien l´ımn→∞|aann+1|=∞.
SERIES
Criterio del Cuociente - DAlember
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
anes absolutamente convergente si l´ımn→∞|aann+1|<1.
P
an es divergente si l´ımn→∞|aann+1|>1 o bien l´ımn→∞|aann+1|=∞.
SERIES
Criterio del Cuociente - DAlember
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
anes absolutamente convergente si l´ımn→∞|aann+1|<1.
P
anes divergente si l´ımn→∞|aann+1|>1 o bien l´ımn→∞|anan+1|=∞.
SERIES
Criterio del Cuociente - DAlember
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
anes absolutamente convergente si l´ımn→∞|aann+1|<1.
P
anes divergente si l´ımn→∞|aann+1|>1 o bien l´ımn→∞|anan+1|=∞.
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=12
n
n!
P∞
n=1n
22n+1
3n
P∞
n=1n
n
n! P∞
n=1(−1)n √
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=12
n
n! P∞
n=1n
22n+1
3n
P∞
n=1n
n
n! P∞
n=1(−1)n √
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=12
n
n! P∞
n=1n
22n+1
3n
P∞
n=1n
n
n!
P∞
n=1(−1)n √
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=12
n
n! P∞
n=1n
22n+1
3n
P∞
n=1n
n
n! P∞
n=1(−1)n √
SERIES
Criterio de la Ra´ız - Cauchy
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
an es absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p
|an|<1.
P
an es divergente si l´ımn→∞ n p
|an|>1 o bien
l´ımn→∞ n p
|an|=∞.
El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n
p
SERIES
Criterio de la Ra´ız - Cauchy
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
an es absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p
|an|<1.
P
an es divergente si l´ımn→∞ n p
|an|>1 o bien
l´ımn→∞ n p
|an|=∞.
El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n
p
SERIES
Criterio de la Ra´ız - Cauchy
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
an es absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p
|an|<1.
P
an es divergente si l´ımn→∞ n p
|an|>1 o bien
l´ımn→∞ n p
|an|=∞.
El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n
p
SERIES
Criterio de la Ra´ız - Cauchy
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
anes absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p
|an|<1.
P
an es divergente si l´ımn→∞ n p
|an|>1 o bien
l´ımn→∞ n p
|an|=∞.
El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n
p
SERIES
Criterio de la Ra´ız - Cauchy
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
anes absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p
|an|<1.
P
anes divergente si l´ımn→∞ n p
|an|>1 o bien
l´ımn→∞ n p
|an|=∞.
El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n
p
SERIES
Criterio de la Ra´ız - Cauchy
Criterio
SeaP
anuna serie de t ´erminos no nulos.
Entonces:
P
anes absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p
|an|<1.
P
anes divergente si l´ımn→∞ n p
|an|>1 o bien
l´ımn→∞ n p
|an|=∞.
El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n
p
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1e
2n
nn
P∞
n=1(π6)
n
P∞
n=1(2nn+1+1)n P∞
n=1ne−n
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1e
2n
nn
P∞
n=1(π6)
n
P∞
n=1(2nn+1+1)n P∞
n=1ne−n
SERIES
Ejemplos
Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞
n=1e
2n
nn
P∞
n=1(π6)
n
P∞
n=1(2nn+1+1)n
P∞
n=1ne−n