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(1)

SERIES

SERIES

SERIES

Ver ´onica Brice ˜no V.

(2)

SERIES

SERIES

En esta Presentaci ´on veremos:

Definici ´on de Series

Convergencia

Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series Series de T ´erminos Positivos

Series Alternadas

(3)

SERIES

SERIES

En esta Presentaci ´on veremos:

Definici ´on de Series

Convergencia

Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series Series de T ´erminos Positivos

Series Alternadas

(4)

SERIES

SERIES

En esta Presentaci ´on veremos:

Definici ´on de Series

Convergencia

Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series

Series de T ´erminos Positivos

Series Alternadas

(5)

SERIES

SERIES

En esta Presentaci ´on veremos:

Definici ´on de Series

Convergencia

Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series Series de T ´erminos Positivos

Series Alternadas

(6)

SERIES

SERIES

En esta Presentaci ´on veremos:

Definici ´on de Series

Convergencia

Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series Series de T ´erminos Positivos

Series Alternadas

(7)

SERIES

SERIES

En esta Presentaci ´on veremos:

Definici ´on de Series

Convergencia

Series Geom ´etricas, Teles´copica y p - Series Series de T ´erminos Positivos

Series Alternadas

(8)

SERIES

Series

Definici ´on

Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.

Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:

S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..

.

Sn=a1+a2+. . .+an

El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.

Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente

P

(9)

SERIES

Series

Definici ´on

Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.

Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:

S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..

.

Sn=a1+a2+. . .+an

El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.

Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente

P

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SERIES

Series

Definici ´on

Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.

Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:

S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..

.

Sn=a1+a2+. . .+an

El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.

Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente

P

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SERIES

Series

Definici ´on

Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.

Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:

S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..

.

Sn=a1+a2+. . .+an

El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.

Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente

P

(12)

SERIES

Series

Definici ´on

Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.

Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:

S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..

.

Sn=a1+a2+. . .+an

El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.

Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente

P

(13)

SERIES

Series

Definici ´on

Sea{an}una sucesi ´on de n ´umeros reales.

Se define{Sn}la sucesi ´on de sumas parciales, como:

S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 ..

.

Sn=a1+a2+. . .+an

El par ordenado({an},{Sn})se llama SERIE.

Tradicionalmente, se denotaP∞k=1ak, o simplemente

P

(14)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=11=1+1+1+. . .

P∞

k=12nn!+1! = 1 3+

2 5+

6 13. . . P∞

k=11n =1+

1 2+

1 3. . . P∞

k=0 1

2k =1+

1 2+

(15)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=11=1+1+1+. . . P∞

k=12nn!+1! = 1 3+

2 5+

6 13. . .

P∞

k=11n =1+

1 2+

1 3. . . P∞

k=0 1

2k =1+

1 2+

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SERIES

Ejemplos

P∞

k=11=1+1+1+. . . P∞

k=12nn!+1! = 1 3+

2 5+

6 13. . . P∞

k=1n1 =1+

1 2+

1 3. . .

P∞

k=0 1

2k =1+

1 2+

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SERIES

Ejemplos

P∞

k=11=1+1+1+. . . P∞

k=12nn!+1! = 1 3+

2 5+

6 13. . . P∞

k=1n1 =1+

1 2+

1 3. . . P∞

k=0 1

2k =1+

1 2+

(18)

SERIES

Convergencia

Definici ´on

La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas

parciales{Sn}converge.

Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.

l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.

Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se

dice que la serie divergente.

Observaci ´on:

Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.

(19)

SERIES

Convergencia

Definici ´on

La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas

parciales{Sn}converge.

Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.

l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.

Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se

dice que la serie divergente.

Observaci ´on:

Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.

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SERIES

Convergencia

Definici ´on

La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas

parciales{Sn}converge.

Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.

l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.

Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se

dice que la serie divergente.

Observaci ´on:

Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.

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SERIES

Convergencia

Definici ´on

La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas

parciales{Sn}converge.

Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.

l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.

Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se

dice que la serie divergente.

Observaci ´on:

Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.

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SERIES

Convergencia

Definici ´on

La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas

parciales{Sn}converge.

Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.

l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.

Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se

dice que la serie divergente.

Observaci ´on:

Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.

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SERIES

Convergencia

Definici ´on

La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas

parciales{Sn}converge.

Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.

l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.

Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se

dice que la serie divergente.

Observaci ´on:

Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.

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SERIES

Convergencia

Definici ´on

La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas

parciales{Sn}converge.

Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.

l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.

Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se

dice que la serie divergente.

Observaci ´on:

Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.

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SERIES

Convergencia

Definici ´on

La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas

parciales{Sn}converge.

Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.

l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.

Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se

dice que la serie divergente.

Observaci ´on:

Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.

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SERIES

Convergencia

Definici ´on

La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas

parciales{Sn}converge.

Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.

l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.

Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se

dice que la serie divergente.

Observaci ´on:

Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.

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SERIES

Convergencia

Definici ´on

La serieP∞k=1ak converge si la sucesi ´on de sumas

parciales{Sn}converge.

Esto es, si existe un n ´umeroStal que l´ımn→∞Sn=S.

l´ımn→∞Sn=P∞k=1ak =S.

Si la sucesi ´on de sumas parciales{Sn}no converge se

dice que la serie divergente.

Observaci ´on:

Notar que la convergencia de una serie no se relaciona con los primeros t ´erminos de la sucesi ´on, por tanto, es com ´un que no se explicite el inicio de la suma, que deber deducirse del contexto.

(28)

SERIES

Teoremas

Teorema

SeanP

an =AyPbn=Byc ∈R.

Entonces: P

c·an=c·A

P

an+bn=A+B

P

an−bn=A−B

Teorema: Criterio del T ´ermino General

Si la serieP

anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge

(29)

SERIES

Teoremas

Teorema

SeanP

an =AyPbn=Byc ∈R.

Entonces: P

c·an=c·A

P

an+bn=A+B

P

an−bn=A−B

Teorema: Criterio del T ´ermino General

Si la serieP

anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge

(30)

SERIES

Teoremas

Teorema

SeanP

an =AyPbn=B yc ∈R.

Entonces: P

c·an=c·A

P

an+bn=A+B

P

an−bn=A−B

Teorema: Criterio del T ´ermino General

Si la serieP

anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge

(31)

SERIES

Teoremas

Teorema

SeanP

an =AyPbn=B yc ∈R.

Entonces: P

c·an =c·A

P

an+bn=A+B

P

an−bn=A−B

Teorema: Criterio del T ´ermino General

Si la serieP

anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge

(32)

SERIES

Teoremas

Teorema

SeanP

an =AyPbn=B yc ∈R.

Entonces: P

c·an =c·A

P

an+bn=A+B

P

an−bn=A−B

Teorema: Criterio del T ´ermino General

Si la serieP

anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge

(33)

SERIES

Teoremas

Teorema

SeanP

an =AyPbn=B yc ∈R.

Entonces: P

c·an =c·A

P

an+bn=A+B

P

an−bn=A−B

Teorema: Criterio del T ´ermino General

Si la serieP

anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge

(34)

SERIES

Teoremas

Teorema

SeanP

an =AyPbn=B yc ∈R.

Entonces: P

c·an =c·A

P

an+bn=A+B

P

an−bn=A−B

Teorema: Criterio del T ´ermino General

Si la serieP

anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge

(35)

SERIES

Teoremas

Teorema

SeanP

an =AyPbn=B yc ∈R.

Entonces: P

c·an =c·A

P

an+bn=A+B

P

an−bn=A−B

Teorema: Criterio del T ´ermino General

Si la serieP

anconverge, entonces la sucesi ´on{an}converge

(36)

SERIES

Criterio de Divergencia

Este ´ultimo teorema nos entrega una forma muy simple de determinar la divergencia de una serie:

Criterio del T ´ermino General para la Divergencia

{an}90=⇒Pandiverge.

CUIDADO

Este teorema no dice que si la sucesi ´on{an}converge a cero,

entonces la serieP

antenga que ser necesariamente

(37)

SERIES

Criterio de Divergencia

Este ´ultimo teorema nos entrega una forma muy simple de determinar la divergencia de una serie:

Criterio del T ´ermino General para la Divergencia

{an}90=⇒Pandiverge.

CUIDADO

Este teorema no dice que si la sucesi ´on{an}converge a cero,

entonces la serieP

antenga que ser necesariamente

(38)

SERIES

Criterio de Divergencia

Este ´ultimo teorema nos entrega una forma muy simple de determinar la divergencia de una serie:

Criterio del T ´ermino General para la Divergencia

{an}90=⇒Pandiverge.

CUIDADO

Este teorema no dice que si la sucesi ´on{an}converge a cero,

entonces la serieP

antenga que ser necesariamente

(39)

SERIES

Criterio de Divergencia

Este ´ultimo teorema nos entrega una forma muy simple de determinar la divergencia de una serie:

Criterio del T ´ermino General para la Divergencia

{an}90=⇒Pandiverge.

CUIDADO

Este teorema no dice que si la sucesi ´on{an}converge a cero,

entonces la serieP

antenga que ser necesariamente

(40)

SERIES

Criterio de Divergencia

Este ´ultimo teorema nos entrega una forma muy simple de determinar la divergencia de una serie:

Criterio del T ´ermino General para la Divergencia

{an}90=⇒Pandiverge.

CUIDADO

Este teorema no dice que si la sucesi ´on{an}converge a cero,

entonces la serieP

antenga que ser necesariamente

(41)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=11 diverge pues{1}n∈Nconverge a 1.

P∞

k=12nn!+1! como la sucesi ´on{

n!

2n!+1} −→ 1

2, se tiene que la serie diverge.

P∞

k=11n como la sucesi ´on{

1

n}converge a cero, entonces:

NO SE DISPONE DE INFORMACI ´ON!!!! (mas adelante mostraremos que diverge).

P∞

k=021k =1+

1 2+

1

(42)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=11 diverge pues{1}n∈Nconverge a 1.

P∞

k=12nn!+1! como la sucesi ´on{

n!

2n!+1} −→ 1

2, se tiene que la serie diverge.

P∞

k=11n como la sucesi ´on{

1

n}converge a cero, entonces:

NO SE DISPONE DE INFORMACI ´ON!!!! (mas adelante mostraremos que diverge).

P∞

k=021k =1+

1 2+

1

(43)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=11 diverge pues{1}n∈Nconverge a 1.

P∞

k=12nn!+1! como la sucesi ´on{

n!

2n!+1} −→ 1

2, se tiene que la serie diverge.

P∞

k=1n1 como la sucesi ´on{

1

n}converge a cero, entonces:

NO SE DISPONE DE INFORMACI ´ON!!!! (mas adelante mostraremos que diverge).

P∞

k=021k =1+

1 2+

1

(44)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=11 diverge pues{1}n∈Nconverge a 1.

P∞

k=12nn!+1! como la sucesi ´on{

n!

2n!+1} −→ 1

2, se tiene que la serie diverge.

P∞

k=1n1 como la sucesi ´on{

1

n}converge a cero, entonces:

NO SE DISPONE DE INFORMACI ´ON!!!! (mas adelante mostraremos que diverge).

P∞

k=021k =1+

1 2+

1

(45)

SERIES

Series Geom ´etricas

Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.

La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.

Teorema

Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:

∞ X

k=0

ark = a

1−r

Dem: Pn

k=0ark =

a(1−rn)

1−r −→ a

1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.

(46)

SERIES

Series Geom ´etricas

Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.

La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.

Teorema

Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:

∞ X

k=0

ark = a

1−r

Dem: Pn

k=0ark =

a(1−rn)

1−r −→ a

1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.

(47)

SERIES

Series Geom ´etricas

Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.

La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.

Teorema

Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:

∞ X

k=0

ark = a

1−r

Dem: Pn

k=0ark =

a(1−rn)

1−r −→ a

1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.

(48)

SERIES

Series Geom ´etricas

Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.

La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.

Teorema

Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:

∞ X

k=0

ark = a

1−r

Dem: Pn

k=0ark =

a(1−rn)

1−r −→ a

1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.

(49)

SERIES

Series Geom ´etricas

Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.

La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.

Teorema

Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:

∞ X

k=0

ark = a

1−r

Dem: Pn

k=0ark =

a(1−rn)

1−r −→ a

1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.

(50)

SERIES

Series Geom ´etricas

Seaa6=0,r 6=0,r 6=1.

La serieP∞k=0ark se llama serie geom ´etrica de raz ´onr.

Teorema

Una serie geom ´etrica de raz ´onr converge si y solo si|r|<1, en este caso converge a la suma:

∞ X

k=0

ark = a

1−r

Dem: Pn

k=0ark =

a(1−rn)

1−r −→ a

1−r, cuandon−→ ∞solo si|r|<1.

(51)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=0 3 2k

Es una serie geom ´etrica de raz ´onr = 12 <1,a=3 por tanto converge a:

S= 1−31 2

=6

P∞

k=02k

Diverge pues es una serie geom ´etrica de raz ´onr =2>1. P∞

k=2 (−1)k2k

(52)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=0 3 2k

Es una serie geom ´etrica de raz ´onr = 12 <1,a=3 por tanto converge a:

S= 1−31 2

=6

P∞

k=02k

Diverge pues es una serie geom ´etrica de raz ´onr =2>1.

P∞

k=2 (−1)k2k

(53)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=0 3 2k

Es una serie geom ´etrica de raz ´onr = 12 <1,a=3 por tanto converge a:

S= 1−31 2

=6

P∞

k=02k

Diverge pues es una serie geom ´etrica de raz ´onr =2>1. P∞

k=2 (−1)k2k

(54)

SERIES

Series Telesc ´opicas

Una serie de la formaP∞k=1(bk−bk+1)se llama Serie Telesc ´opica.

Teorema

Una serie telesc ´opica converge ssi la sucesi ´on{bk}converge, en este caso converge a la suma:

∞ X

k=1

(bk−bk+1) =b1− l´ım

k→∞bk

Dem:

Sn =Pnk=1(bk −bk+1) =b1−bn+1−→b1−l´ımk→∞bk ssi la

(55)

SERIES

Series Telesc ´opicas

Una serie de la formaP∞k=1(bk−bk+1)se llama Serie Telesc ´opica.

Teorema

Una serie telesc ´opica converge ssi la sucesi ´on{bk}converge,

en este caso converge a la suma:

∞ X

k=1

(bk−bk+1) =b1− l´ım

k→∞bk

Dem:

Sn =Pnk=1(bk −bk+1) =b1−bn+1−→b1−l´ımk→∞bk ssi la

(56)

SERIES

Series Telesc ´opicas

Una serie de la formaP∞k=1(bk−bk+1)se llama Serie Telesc ´opica.

Teorema

Una serie telesc ´opica converge ssi la sucesi ´on{bk}converge,

en este caso converge a la suma:

∞ X

k=1

(bk−bk+1) =b1− l´ım

k→∞bk

Dem:

Sn =Pnk=1(bk −bk+1) =b1−bn+1−→b1−l´ımk→∞bk ssi la

(57)

SERIES

Series Telesc ´opicas

Una serie de la formaP∞k=1(bk−bk+1)se llama Serie Telesc ´opica.

Teorema

Una serie telesc ´opica converge ssi la sucesi ´on{bk}converge,

en este caso converge a la suma:

∞ X

k=1

(bk −bk+1) =b1− l´ım

k→∞bk

Dem:

Sn =Pnk=1(bk −bk+1) =b1−bn+1−→b1−l´ımk→∞bk ssi la

(58)

SERIES

Series Telesc ´opicas

Una serie de la formaP∞k=1(bk−bk+1)se llama Serie Telesc ´opica.

Teorema

Una serie telesc ´opica converge ssi la sucesi ´on{bk}converge,

en este caso converge a la suma:

∞ X

k=1

(bk −bk+1) =b1− l´ım

k→∞bk

Dem:

Sn =Pnk=1(bk −bk+1) =b1−bn+1−→b1−l´ımk→∞bk ssi la

(59)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=1(1k −

1

k+1)

P∞

k=1 2 4k2−1

P∞

k=1 √

k+1−√k

(60)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=1(1k −

1

k+1) P∞

k=1 2 4k2−1

P∞

k=1 √

k+1−√k

(61)

SERIES

Ejemplos

P∞

k=1(1k −

1

k+1) P∞

k=1 2 4k2−1

P∞

k=1 √

k+1−√k

(62)

SERIES

p-Series

Seapuna constante positiva.

Una p-Serie es de la forma: P∞

n=1n1p = 11p + 21p +31p +. . .

Teorema

Una p-serie converge si y solo sip>1. Y diverge si 0<p≤1.

Dem:

(63)

SERIES

p-Series

Seapuna constante positiva.

Una p-Serie es de la forma: P∞

n=1n1p = 11p + 21p +31p +. . .

Teorema

Una p-serie converge si y solo sip>1. Y diverge si 0<p≤1.

Dem:

(64)

SERIES

p-Series

Seapuna constante positiva.

Una p-Serie es de la forma: P∞

n=1n1p = 11p + 21p +31p +. . .

Teorema

Una p-serie converge si y solo sip>1. Y diverge si 0<p≤1.

Dem:

(65)

SERIES

p-Series

Seapuna constante positiva.

Una p-Serie es de la forma: P∞

n=1n1p = 11p + 21p +31p +. . .

Teorema

Una p-serie converge si y solo sip>1. Y diverge si 0<p≤1.

Dem:

(66)

SERIES

p-Series

Seapuna constante positiva.

Una p-Serie es de la forma: P∞

n=1n1p = 11p + 21p +31p +. . .

Teorema

Una p-serie converge si y solo sip>1. Y diverge si 0<p≤1.

Dem:

(67)

SERIES

Ejemplos

En el casop=1 se obtiene:P∞n=11n que se conoce como Serie Arm ´onica.

Un caso general de serie arm ´onica es:P∞n=1an1+b, donde a,b∈R.

P∞

k=2 (−1)k2k

(68)

SERIES

Ejemplos

En el casop=1 se obtiene:P∞n=11n que se conoce como Serie Arm ´onica.

Un caso general de serie arm ´onica es:P∞n=1an1+b, donde a,b∈R.

P∞

k=2 (−1)k2k

(69)

SERIES

Ejemplos

En el casop=1 se obtiene:P∞n=11n que se conoce como Serie Arm ´onica.

Un caso general de serie arm ´onica es:P∞n=1an1+b, donde a,b∈R.

P∞

k=2 (−1)k2k

(70)

SERIES

Series de T ´erminos Positivos

Seanak ≥0,∀k ∈N.

La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos

Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la

sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.

Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.

Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...

Teorema

Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.

Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de

sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.

(71)

SERIES

Series de T ´erminos Positivos

Seanak ≥0,∀k ∈N.

La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos

Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la

sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.

Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.

Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...

Teorema

Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.

Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de

sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.

(72)

SERIES

Series de T ´erminos Positivos

Seanak ≥0,∀k ∈N.

La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos

Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la

sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.

Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.

Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...

Teorema

Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.

Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de

sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.

(73)

SERIES

Series de T ´erminos Positivos

Seanak ≥0,∀k ∈N.

La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos

Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la

sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.

Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.

Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...

Teorema

Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.

Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de

sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.

(74)

SERIES

Series de T ´erminos Positivos

Seanak ≥0,∀k ∈N.

La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos

Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la

sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.

Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.

Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...

Teorema

Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.

Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.

(75)

SERIES

Series de T ´erminos Positivos

Seanak ≥0,∀k ∈N.

La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos

Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la

sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.

Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.

Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...

Teorema

Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.

Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.

(76)

SERIES

Series de T ´erminos Positivos

Seanak ≥0,∀k ∈N.

La serieP∞k=1ak es una serie de t ´erminos positivos

Observar, que la sucesi ´on de sumas parciales verifica: Sk+1−Sk =ak ≥0, entoncesSk+1≥Sk, es decir la

sucesi ´on{Sk}es una sucesi ´on creciente.

Este tipo de sucesiones convergen si y solo si est ´an acotadas superiormente.

Por lo tanto, se tiene el criterio de convergencia ...

Teorema

Sea{ak}una sucesi ´on de t ´erminos positivos.

Entonces, la serieP∞k=1ak converge si y solo si la sucesi ´on de sumas parciales{Sk}es una sucesi ´on acotada.

(77)

SERIES

Ejemplos

La serie:P∞k=123kk++kk es convergente.

Notar que: Sn=Pnk=12

k+k

3k+k

Pn

(78)

SERIES

Ejemplos

La serie:P∞k=123kk++kk es convergente.

Notar que: Sn=Pnk=12

k+k

3k+k

Pn

(79)

SERIES

Ejemplos

La serie:P∞k=123kk++kk es convergente.

Notar que: Sn=Pnk=12

k+k

3k+k

Pn

(80)

SERIES

Criterios de Convergencia para Series de T ´erminos

Positivos

Analizaremos los siguientes criterios:

Criterio Integral

Criterio de Comparaci ´on Directa

(81)

SERIES

Criterios de Convergencia para Series de T ´erminos

Positivos

Analizaremos los siguientes criterios:

Criterio Integral

Criterio de Comparaci ´on Directa

(82)

SERIES

Criterios de Convergencia para Series de T ´erminos

Positivos

Analizaremos los siguientes criterios:

Criterio Integral

Criterio de Comparaci ´on Directa

(83)

SERIES

Criterio Integral

Criterio

Seaf : [1,+∞[−→Runa funci ´on continua (a valores positivos) y decreciente en[1,+∞[.

Si definimos:an=f(n),∀n∈N, entonces:

P∞

n=1anconverge si y solo si R∞

(84)

SERIES

Criterio Integral

Criterio

Seaf : [1,+∞[−→Runa funci ´on continua (a valores positivos) y decreciente en[1,+∞[.

Si definimos:an=f(n),∀n∈N, entonces:

P∞

n=1anconverge si y solo si R∞

(85)

SERIES

Criterio Integral

Criterio

Seaf : [1,+∞[−→Runa funci ´on continua (a valores positivos) y decreciente en[1,+∞[.

Si definimos:an=f(n),∀n∈N, entonces:

P∞

n=1anconverge si y solo si R∞

(86)

SERIES

Criterio Integral

Criterio

Seaf : [1,+∞[−→Runa funci ´on continua (a valores positivos) y decreciente en[1,+∞[.

Si definimos:an=f(n),∀n∈N, entonces:

P∞

n=1an converge si y solo si R∞

(87)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1

n n2+1

P∞

n=1n21+1

P∞

n=1n1p, sip>1 (p-series, qued pendiente demostrar que

diverge) P∞

n=11n (serie arm ´onica, qued pendiente demostrar que

diverge) P∞

(88)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1

n n2+1

P∞

n=1n21+1

P∞

n=1n1p, sip>1 (p-series, qued pendiente demostrar que

diverge) P∞

n=11n (serie arm ´onica, qued pendiente demostrar que

diverge) P∞

(89)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1

n n2+1

P∞

n=1n21+1

P∞

n=1n1p, sip>1 (p-series, qued pendiente demostrar que

diverge)

P∞

n=11n (serie arm ´onica, qued pendiente demostrar que

diverge) P∞

(90)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1

n n2+1

P∞

n=1n21+1

P∞

n=1n1p, sip>1 (p-series, qued pendiente demostrar que

diverge) P∞

n=11n (serie arm ´onica, qued pendiente demostrar que

diverge)

P∞

(91)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1

n n2+1

P∞

n=1n21+1

P∞

n=1n1p, sip>1 (p-series, qued pendiente demostrar que

diverge) P∞

n=11n (serie arm ´onica, qued pendiente demostrar que

diverge) P∞

(92)

SERIES

Criterio de Comparaci ´on Directa

Criterio

Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales

que 0≤an ≤bn, para cadak ≥ko.

Entonces:

SiP

andiverge, entoncesPbndiverge.

SiP

(93)

SERIES

Criterio de Comparaci ´on Directa

Criterio

Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales

que 0≤an ≤bn, para cadak ≥ko.

Entonces:

SiP

andiverge, entoncesPbndiverge.

SiP

(94)

SERIES

Criterio de Comparaci ´on Directa

Criterio

Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales

que 0≤an ≤bn, para cadak ≥ko.

Entonces:

SiP

an diverge, entoncesPbndiverge.

SiP

(95)

SERIES

Criterio de Comparaci ´on Directa

Criterio

Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales

que 0≤an ≤bn, para cadak ≥ko.

Entonces:

SiP

an diverge, entoncesPbndiverge.

SiP

(96)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1 1 2+3n

P∞

n=12+1√n P∞

n=1 1 2√n+3n

P∞

n=12n1+1

P∞

n=1 1

n+ln(n) P∞

n=1n3+31n+4

P∞

n=1

(97)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1 1 2+3n

P∞

n=12+1√n

P∞

n=1 1 2√n+3n

P∞

n=12n1+1

P∞

n=1 1

n+ln(n) P∞

n=1n3+31n+4

P∞

n=1

(98)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1 1 2+3n

P∞

n=12+1√n P∞

n=1 1 2√n+3n

P∞

n=12n1+1

P∞

n=1 1

n+ln(n) P∞

n=1n3+31n+4

P∞

n=1

(99)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1 1 2+3n

P∞

n=12+1√n P∞

n=1 1 2√n+3n

P∞

n=12n1+1

P∞

n=1 1

n+ln(n) P∞

n=1n3+31n+4

P∞

n=1

(100)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1 1 2+3n

P∞

n=12+1√n P∞

n=1 1 2√n+3n

P∞

n=12n1+1

P∞

n=1 1

n+ln(n)

P∞

n=1n3+31n+4

P∞

n=1

(101)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1 1 2+3n

P∞

n=12+1√n P∞

n=1 1 2√n+3n

P∞

n=12n1+1

P∞

n=1 1

n+ln(n) P∞

n=1n3+31n+4

P∞

n=1

(102)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1 1 2+3n

P∞

n=12+1√n P∞

n=1 1 2√n+3n

P∞

n=12n1+1

P∞

n=1 1

n+ln(n) P∞

n=1n3+31n+4

P∞

n=1

(103)

SERIES

Observaci ´on

Notar que

La serie mayor converge=⇒la menor converge.

(104)

SERIES

Observaci ´on

Notar que

La serie mayor converge=⇒la menor converge.

La serie menor diverge=⇒la mayor diverge.

(105)

SERIES

Observaci ´on

Notar que

La serie mayor converge=⇒la menor converge.

(106)

SERIES

Criterio de Comparaci ´on al L´ımite

Criterio

Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales

que l´ımn→∞ anbn =L>0 Entonces:

P

(107)

SERIES

Criterio de Comparaci ´on al L´ımite

Criterio

Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales

que l´ımn→∞ anbn =L>0 Entonces:

P

(108)

SERIES

Criterio de Comparaci ´on al L´ımite

Criterio

Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales

que l´ımn→∞ anbn =L>0 Entonces:

P

(109)

SERIES

Criterio de Comparaci ´on al L´ımite

Criterio

Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales

que l´ımn→∞ anbn =L>0 Entonces:

P

(110)

SERIES

Criterio de Comparaci ´on al L´ımite

Criterio

Sean{an}y{bn}dos sucesiones de t ´erminos positivos, tales

que l´ımn→∞ anbn =L>0 Entonces:

P

(111)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=13n2−41n+5

P∞

n=1√31n−2 P∞

n=1 3n

3−5n2

2n6+4n−1

P∞

n=1 n

2−10

4n5+n3

P∞

n=1√n13+1

P∞

n=1arctg( 1

(112)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=13n2−41n+5

P∞

n=1√31n−2

P∞

n=1 3n

3−5n2

2n6+4n−1

P∞

n=1 n

2−10

4n5+n3

P∞

n=1√n13+1

P∞

n=1arctg( 1

(113)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=13n2−41n+5

P∞

n=1√31n−2 P∞

n=1 3n

3−5n2

2n6+4n−1

P∞

n=1 n

2−10

4n5+n3

P∞

n=1√n13+1

P∞

n=1arctg( 1

(114)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=13n2−41n+5

P∞

n=1√31n−2 P∞

n=1 3n

3−5n2

2n6+4n−1

P∞

n=1 n

2−10

4n5+n3

P∞

n=1√n13+1

P∞

n=1arctg( 1

(115)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=13n2−41n+5

P∞

n=1√31n−2 P∞

n=1 3n

3−5n2

2n6+4n−1

P∞

n=1 n

2−10

4n5+n3

P∞

n=1√n13+1

P∞

n=1arctg( 1

(116)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=13n2−41n+5

P∞

n=1√31n−2 P∞

n=1 3n

3−5n2

2n6+4n−1

P∞

n=1 n

2−10

4n5+n3

P∞

n=1√n13+1

P∞

n=1arctg( 1

(117)

SERIES

Observaci ´on

Notar que

Para elegir la serie que usamos para comparar con la serie dada, basta analizar las potencias m ´aximas del t ´ermino general en el numerador y el denominador.

(118)

SERIES

Observaci ´on

Notar que

Para elegir la serie que usamos para comparar con la serie dada, basta analizar las potencias m ´aximas del t ´ermino general en el numerador y el denominador.

(119)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs: Psen(n)

(120)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs: Psen(n)

(121)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs: Psen(n)

(122)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs: Psen(n)

(123)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs: Psen(n)

(124)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs: Psen(n)

(125)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs: Psen(n)

(126)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs: Psen(n)

(127)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs: Psen(n)

(128)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs:

Psen(n)

(129)

SERIES

Series Alternadas

Definici ´on

Seaan>0. Las series:

P

(−1)nan

P

(−1)n+1an

se llaman Series Alternadas.

Teorema

Las series alternadas convergen ssi se verifica:

l´ımn→∞an=0

an+1≤an,∀n

Obs: Psen(n)

(130)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1(−1)n 1

n serie arm ´onica alternada

P∞

n=1(−1)n+1n+1n

P∞

n=1(−1)n+1

n+1

(131)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1(−1)n 1

n serie arm ´onica alternada

P∞

n=1(−1)n+1n+1n

P∞

n=1(−1)n+1

n+1

(132)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1(−1)n 1

n serie arm ´onica alternada

P∞

n=1(−1)n+1n+1n

P∞

n=1(−1)n+1

n+1

(133)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

En general, una serie tiene t ´erminos positivos y negativos, y no necesariamente es alternada.

Una forma de obtener informaci ´on sobre una serieP an,

dondean pueden ser valores positivos o negativos, es

estudiar la serie:P

|an|, que corresponde a una serie de

t ´erminos positivos.

Ahora, el tema es c ´omo se relaciona la convergencia de P

(134)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

En general, una serie tiene t ´erminos positivos y negativos, y no necesariamente es alternada.

Una forma de obtener informaci ´on sobre una serieP an,

dondean pueden ser valores positivos o negativos, es

estudiar la serie:P

|an|, que corresponde a una serie de

t ´erminos positivos.

Ahora, el tema es c ´omo se relaciona la convergencia de P

(135)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

En general, una serie tiene t ´erminos positivos y negativos, y no necesariamente es alternada.

Una forma de obtener informaci ´on sobre una serieP an,

dondean pueden ser valores positivos o negativos, es

estudiar la serie:P

|an|, que corresponde a una serie de

t ´erminos positivos.

Ahora, el tema es c ´omo se relaciona la convergencia de P

(136)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

Teorema de la Convergencia Absoluta

P

|an|converge=⇒Panconverge.

dem:

En la pizarra.

Definici ´on

P

an es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si

P|

an|converge.

P

an es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si

P

an converge peroP|an|diverge.

Obs:

(137)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

Teorema de la Convergencia Absoluta

P

|an|converge=⇒Panconverge.

dem:

En la pizarra.

Definici ´on

P

an es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si

P|

an|converge.

P

an es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si

P

an converge peroP|an|diverge.

Obs:

(138)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

Teorema de la Convergencia Absoluta

P

|an|converge=⇒Panconverge.

dem:

En la pizarra.

Definici ´on

P

an es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si

P|

an|converge.

P

an es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si

P

an converge peroP|an|diverge.

Obs:

(139)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

Teorema de la Convergencia Absoluta

P

|an|converge=⇒Panconverge.

dem:

En la pizarra.

Definici ´on

P

an es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si

P|

an|converge.

P

an es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si

P

an converge peroP|an|diverge.

Obs:

(140)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

Teorema de la Convergencia Absoluta

P

|an|converge=⇒Panconverge.

dem:

En la pizarra.

Definici ´on

P

anes ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si

P|

an|converge.

P

an es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si

P

an converge peroP|an|diverge.

Obs:

(141)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

Teorema de la Convergencia Absoluta

P

|an|converge=⇒Panconverge.

dem:

En la pizarra.

Definici ´on

P

anes ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si

P|

an|converge.

P

anes CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si

P

anconverge peroP|an|diverge.

Obs:

(142)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

Teorema de la Convergencia Absoluta

P

|an|converge=⇒Panconverge.

dem:

En la pizarra.

Definici ´on

P

anes ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si

P|

an|converge.

P

anes CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si

P

anconverge peroP|an|diverge.

Obs:

(143)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

Teorema de la Convergencia Absoluta

P

|an|converge=⇒Panconverge.

dem:

En la pizarra.

Definici ´on

P

anes ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si

P|

an|converge.

P

anes CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si

P

anconverge peroP|an|diverge.

Obs:

(144)

SERIES

Convergencia Absoluta y Condicional

Teorema de la Convergencia Absoluta

P

|an|converge=⇒Panconverge.

dem:

En la pizarra.

Definici ´on

P

anes ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC) si

P|

an|converge.

P

anes CONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC) si

P

anconverge peroP|an|diverge.

Obs:

(145)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series:

P∞

n=1

(−1)n(n2+1)

3n

P∞

n=1 (−1)n ln(n+1) P∞

n=1 (−1)nn!

2n P∞ n=1 (−1)n √ n P∞ n=1

sen(n)

(146)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series:

P∞

n=1

(−1)n(n2+1)

3n

P∞

n=1 (−1)n ln(n+1)

P∞

n=1 (−1)nn!

2n P∞ n=1 (−1)n √ n P∞ n=1

sen(n)

(147)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series:

P∞

n=1

(−1)n(n2+1)

3n

P∞

n=1 (−1)n ln(n+1) P∞

n=1 (−1)nn!

2n P∞ n=1 (−1)n √ n P∞ n=1

sen(n)

(148)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series:

P∞

n=1

(−1)n(n2+1)

3n

P∞

n=1 (−1)n ln(n+1) P∞

n=1 (−1)nn!

2n P∞ n=1 (−1)n √ n P∞ n=1

sen(n)

(149)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series:

P∞

n=1

(−1)n(n2+1)

3n

P∞

n=1 (−1)n ln(n+1) P∞

n=1 (−1)nn!

2n P∞ n=1 (−1)n √ n P∞ n=1

sen(n)

(150)

SERIES

Criterio del Cuociente - DAlember

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

an es absolutamente convergente si l´ımn→∞|anan+1|<1.

P

an es divergente si l´ımn→∞|anan+1|>1 o bien l´ımn→∞|aann+1|=∞.

(151)

SERIES

Criterio del Cuociente - DAlember

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

an es absolutamente convergente si l´ımn→∞|anan+1|<1.

P

an es divergente si l´ımn→∞|anan+1|>1 o bien l´ımn→∞|aann+1|=∞.

(152)

SERIES

Criterio del Cuociente - DAlember

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

an es absolutamente convergente si l´ımn→∞|anan+1|<1.

P

an es divergente si l´ımn→∞|anan+1|>1 o bien l´ımn→∞|aann+1|=∞.

(153)

SERIES

Criterio del Cuociente - DAlember

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

anes absolutamente convergente si l´ımn→∞|aann+1|<1.

P

an es divergente si l´ımn→∞|aann+1|>1 o bien l´ımn→∞|aann+1|=∞.

(154)

SERIES

Criterio del Cuociente - DAlember

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

anes absolutamente convergente si l´ımn→∞|aann+1|<1.

P

anes divergente si l´ımn→∞|aann+1|>1 o bien l´ımn→∞|anan+1|=∞.

(155)

SERIES

Criterio del Cuociente - DAlember

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

anes absolutamente convergente si l´ımn→∞|aann+1|<1.

P

anes divergente si l´ımn→∞|aann+1|>1 o bien l´ımn→∞|anan+1|=∞.

(156)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=12

n

n!

P∞

n=1n

22n+1

3n

P∞

n=1n

n

n! P∞

n=1(−1)n √

(157)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=12

n

n! P∞

n=1n

22n+1

3n

P∞

n=1n

n

n! P∞

n=1(−1)n √

(158)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=12

n

n! P∞

n=1n

22n+1

3n

P∞

n=1n

n

n!

P∞

n=1(−1)n √

(159)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=12

n

n! P∞

n=1n

22n+1

3n

P∞

n=1n

n

n! P∞

n=1(−1)n √

(160)

SERIES

Criterio de la Ra´ız - Cauchy

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

an es absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p

|an|<1.

P

an es divergente si l´ımn→∞ n p

|an|>1 o bien

l´ımn→∞ n p

|an|=∞.

El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n

p

(161)

SERIES

Criterio de la Ra´ız - Cauchy

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

an es absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p

|an|<1.

P

an es divergente si l´ımn→∞ n p

|an|>1 o bien

l´ımn→∞ n p

|an|=∞.

El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n

p

(162)

SERIES

Criterio de la Ra´ız - Cauchy

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

an es absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p

|an|<1.

P

an es divergente si l´ımn→∞ n p

|an|>1 o bien

l´ımn→∞ n p

|an|=∞.

El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n

p

(163)

SERIES

Criterio de la Ra´ız - Cauchy

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

anes absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p

|an|<1.

P

an es divergente si l´ımn→∞ n p

|an|>1 o bien

l´ımn→∞ n p

|an|=∞.

El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n

p

(164)

SERIES

Criterio de la Ra´ız - Cauchy

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

anes absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p

|an|<1.

P

anes divergente si l´ımn→∞ n p

|an|>1 o bien

l´ımn→∞ n p

|an|=∞.

El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n

p

(165)

SERIES

Criterio de la Ra´ız - Cauchy

Criterio

SeaP

anuna serie de t ´erminos no nulos.

Entonces:

P

anes absolutamente convergente si l´ımn→∞ n p

|an|<1.

P

anes divergente si l´ımn→∞ n p

|an|>1 o bien

l´ımn→∞ n p

|an|=∞.

El criterio del cuociente no es concluyente si l´ımn→∞ n

p

(166)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1e

2n

nn

P∞

n=1(π6)

n

P∞

n=1(2nn+1+1)n P∞

n=1ne−n

(167)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1e

2n

nn

P∞

n=1(π6)

n

P∞

n=1(2nn+1+1)n P∞

n=1ne−n

(168)

SERIES

Ejemplos

Analizar la convergencia de las siguientes series: P∞

n=1e

2n

nn

P∞

n=1(π6)

n

P∞

n=1(2nn+1+1)n

P∞

n=1ne−n

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