Influencia de la forma de las partículas y el coeficiente de fricción en la relación de vacíos y la compacidad de un material granular

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(1)PROYECTO FIN DE CARRERA Presentado a: Nicolás Estrada Mejı́a LA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL. Para obtener el tı́tulo de INGENIERO CIVIL. por Fabián Esteban Forero Marcelo William Fernando Ovalle Villamil. INFLUENCIA DE LA FORMA DE LAS PARTÍCULAS Y EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN EN LA RELACIÓN DE VACÍOS Y LA COMPACIDAD DE UN MATERIAL GRANULAR.. Junio de 2012. Composición del jurado. Asesor:. Nicolás Estrada Mejı́a, Profesor Asistente, Universidad de Los Andes.

(2) A nuestras familias, profesores y compañeros quienes han participado en el desarrollo de este proyecto y el pregrado en general..

(3) Agradecimientos Queremos agradecer a nuestro asesor Nicolás Estrada Mejı́a por su permanente seguimiento e incondicional apoyo en el desarrollo de este proyecto, a los profesores quienes de alguna u otra manera han contribuido para alcanzar este logro, a nuestras familias y amigos.. i.

(4) Tabla de contenido 1 Introducción 1.1 Descripción de la problemática y justificación del trabajo 1.2 Alcance y Productos Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Objetivos Especı́ficos . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. 1 1 2 2 2 2. 2 Marco Teórico y Conceptual 2.1 Marco Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Marco Conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 4 7. 3 Definición y Especificación del Trabajo 3.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Especificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8 8 8. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 4 Metodologı́a del Trabajo 11 4.1 Plan de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Búsqueda de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3 Alternativas de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5 Trabajo realizado 5.1 Descripción del Resultado Final . . . 5.1.1 Recolección de Información . 5.1.2 Programación Computacional 5.1.3 Simulaciones . . . . . . . . . 5.1.4 Análisis de Resultados . . . . 5.2 Trabajo computacional . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 15 15 15 16 19 19 21. 6 Validación del Trabajo 6.1 Metodologı́a de prueba . . . . . . . . . . 6.1.1 Programación . . . . . . . . . . . 6.1.2 Simulación . . . . . . . . . . . . 6.2 Validación de los resultados del trabajo 6.2.1 Revisión Bibliográfica . . . . . . 6.2.2 Programación . . . . . . . . . . . 6.2.3 Simulación . . . . . . . . . . . . 6.3 Evaluación del plan de trabajo . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 22 22 22 22 22 23 24 25 43. . . . . . .. 7 Conclusiones, Discusión y Trabajo Futuro. 45. Referencias. 47 ii.

(5) TABLA DE CONTENIDO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. A Distribuciones Granulométricas. 49. iii.

(6) Índice de figuras 2.1 2.2 2.3. Distribución inicial de Fuller y Thompson· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parábola de Fuller-Thompson· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Segregación de partı́culas por Weymouth· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.1 4.2. Distribución granulométrica para η=0.5· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Distribución granulométrica para η=1.5· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7. Diagrama de flujo general del proyecto· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parábola de Fuller-Thompson con η inferior a 1· . . . . . . . . . . . . . . Parábola de Fuller-Thompson con η inferior a 1 y corregida parcialmente· Parábola de Fuller-Thompson con η inferior a 1 y corregida totalmente· . Particiones sobre la curva de referencia· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Acercamiento a la estructura del modelo· . . . . . . . . . . . . . . . . . . Acercamiento a la estructura del modelo después de la simulación· . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 5 6 6. . . . . . . .. 15 17 18 18 19 20 20. Resultados dentro del programa· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribución Granulométrica η=0.3· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribución Granulométrica η=0.8· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compacidad con Φ=0.00· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relación de Vacı́os con Φ=0.00· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribución de compacidades para todo Φ estudiado· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribución de relaciones de vacı́os para todo Φ estudiado· . . . . . . . . . . . . . . . . Compacidad vs. Coeficiente de Fricción· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relación de Vacı́os vs. Coeficiente de Fricción· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compacidad con µ=0.00· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relación de Vacı́os con µ=0.00· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribución de compacidades para todo µ estudiado· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribución de relaciones de vacı́os para µ entre 0.00 y 0.05· . . . . . . . . . . . . . . . Distribución de relaciones de vacı́os para µ entre 0.06 y 0.10· . . . . . . . . . . . . . . . Tendencia de la relación de vacı́os en función del coeficiente de forma para volares bajos de η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16 Tendencia de la compacidad en función del coeficiente de forma para volares bajos de η 6.17 Tendencia de la relación de vacı́os en función del coeficiente de forma para volares altos de η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.18 Tendencia de la compacidad en función del coeficiente de forma para volares altos de η .. 23 24 25 27 27 28 29 30 31 34 35 36 37 38. A.1 A.2 A.3 A.4 A.5. 50 50 51 51 52. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15. Parábola Parábola Parábola Parábola Parábola. de de de de de. Fuller Fuller Fuller Fuller Fuller. y y y y y. Thompson Thompson Thompson Thompson Thompson. con con con con con. η=0.10· η=0.20· η=0.30· η=0.40· η=0.50· iv. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 39 40 41 42.

(7) ÍNDICE DE FIGURAS A.6 Parábola A.7 Parábola A.8 Parábola A.9 Parábola A.10 Parábola A.11 Parábola A.12 Parábola A.13 Parábola A.14 Parábola A.15 Parábola. de de de de de de de de de de. Fuller Fuller Fuller Fuller Fuller Fuller Fuller Fuller Fuller Fuller. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40 y y y y y y y y y y. Thompson Thompson Thompson Thompson Thompson Thompson Thompson Thompson Thompson Thompson. con con con con con con con con con con. η=0.60· η=0.70· η=0.80· η=0.90· η=1.00· η=1.10· η=1.20· η=1.30· η=1.40· η=1.50·. v. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 52 53 53 54 54 55 55 56 56 57.

(8) Índice de tablas 1.1. Nivel de satisfacción de los parámetros estudiados· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.1. Valores aproximados para las constantes de la parte elı́ptica de la ecuación de Fuller y Thompson· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 4.1. Compacidad y relación de vacı́os para diferentes coeficientes de fricción (Φ) y η=0.5· . . 11. 5.1. Parámetros de entrada para la programación· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8. Resultados de Compacidad con diferentes coeficientes de fricción· . . . . Resultados de Relación de Vacı́os con diferentes coeficientes de fricción· Valores más probables de compacidad máxima· . . . . . . . . . . . . . . Valores más probables de relación de vacı́os mı́nima· . . . . . . . . . . . Resultados de Compacidad para diferentes coeficientes de forma· . . . . Resultados de Relación de Vacı́os con diferentes coeficientes de forma· . Valores más probables de compacidad máxima· . . . . . . . . . . . . . . Valores más probables de relación de vacı́os mı́nima· . . . . . . . . . . .. vi. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 26 26 29 29 33 33 35 36.

(9) Capı́tulo 1. Introducción En este documento se presentarán los estudios realizados y todos los análisis respectivos para desarrollar el proyecto de grado el cual consiste en estudiar la influencia que puede tener la forma de las partı́culas y el coeficiente de fricción entre ellas, en la relación de vacı́os de un material granular. No obstante, este trabajo expondrá las dificultades encontradas a lo largo del desarrollo del proyecto al igual que los logros obtenidos del mismo. Todo lo anterior con el fin de presentar formalmente, en este documento escrito, las conclusiones y opiniones finales respecto al tema tratado.. 1.1. Descripción de la problemática y justificación del trabajo. En el desarrollo de obras civiles de diferente envergadura intervienen materiales cuyas caracterı́sticas mecánicas son proporcionales a la distribución de las partı́culas en su interior. Entre estos materiales encontramos el concreto hidráulico y asfáltico que son comunes en proyectos civiles relacionados con edificaciones, pavimentos y otros. De esta manera, es correcto afirmar que la granulometrı́a es un parámetro de entrada en el diseño de algunos materiales en ingenierı́a civil. A grandes rasgos, la manera como interviene la granulometrı́a dentro del rendimiento de un material se observa en la distribución de los diferentes tamaños de partı́culas, ası́ como la posición individual en frente a las demás partı́culas compañeras. Este acomodamiento conlleva a una determinada cantidad de espacios vacı́os dentro del sistema la cual está ligada de manera directa con la resistencia y rigidez final del material a utilizar. Es valido entonces plantear la búsqueda de una granulometrı́a o distribución de partı́culas que arroje una relación de vacı́os mı́nima. Para esto generalmente se busca una granulometrı́a que se asemeje a una granulometrı́a considerada como óptima o ideal. Esta granulometrı́a óptima, es aquella alcanza una relación de vacı́os mı́nima. Esta granulometrı́a óptima se basa en los estudios de Fuller y Thompson descritos en The Laws of Proportioning Concrete (1907,) y es de bastante utilidad ya que se considera que es la que permite al material granular alcanzar la menor relación de vacı́os posible y es el punto de partida para todos los estudios relacionados realizados posteriormente. Sin embargo, hay parámetros importantes del material granular, tales como la forma de las partı́culas o el coeficiente de fricción entre ellas, que no se tienen en cuenta en el desarrollo de esta granulometrı́a teórica. Ya que estos parámetros tienen una influencia mayor en otras propiedades macroscópicas del material como su resistencia al corte, es de esperarse que también afecten de forma importante la relación de vacı́os final, luego esto será el. 1.

(10) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. corazón del problema planteado. El procedimiento comúnmente utilizado hoy en dı́a consiste en buscar una granulometrı́a que se parezca a una granulometrı́a ideal, o crear una granulometrı́a a partir de una granulometrı́a ideal de referencia; esto teniendo en cuenta que, como se menciona anteriormente, la granulometrı́a es un parámetro de entrada en el diseño de materiales en proyectos de diferentes cualidades. En este sentido, es de vital importancia evaluar la influencia de aspectos como la forma y el coeficiente de fricción sobre el acomodamiento y posterior funcionamiento de los granos en un material ya que esto podrı́a influir no solo en las propiedades mecánicas del material, también puede traer repercusiones sobre la vida útil de una estructura o efectos económicos sobre el proyecto en sı́ mismo. Durante el paso de la humanidad, diferentes teorı́as se han propuesto sobre la relación de vacı́os mı́nima que puede ser obtenida bajo una granulometrı́a óptima determinada. Además de Fuller y Thompson, algunos otros personajes históricamente importantes como Feret, Weymouth y Bolomey, han desarrollado diferentes curvas granulométricas a partir de fundamentos teóricos diferentes. Esto es de gran importancia en la rama de la ingenierı́a civil, pues es gracias a estas investigaciones que se determinan las proporciones para hacer materiales de construcción. Es de esta manera como se logran hacer diferentes diseños de mezclas para concretos con fines especı́ficos y que en la actualidad, bajo normas mundiales establecidas, se deben cumplir para lograr las condiciones de calidad y durabilidad requeridas.. 1.2. Alcance y Productos Finales. El alcance de este proyecto consiste en evaluar la influencia del coeficiente de fricción y la forma de las partı́culas sobre la compacidad y relación de vacı́os de un material granular además de la posible reestructuración de la fórmula general de la Parábola de Fuller Thompson de acuerdo a los resultados obtenidos. Los parámetros que se planea estudiar y de los que se espera obtener un producto concreto se representan en la tabla 1.1.. 1.3 1.3.1. Objetivos Objetivo General. Analizar la influencia de la forma de las partı́culas y el coeficiente de fricción entre ellas sobre la relación de vacı́os y compacidad final de un conjunto de partı́culas cuya granulometrı́a se asemeja a la óptima establecida por Fuller y Thompson. Inicialmente se estableció que el parámetro de evaluación era únicamente la relación de vacı́os. A medida que el proyecto se desarrollaba se replanteó este objetivo incluyendo la compacidad ya que este parámetro permite realizar de manera mas clara los análisis pertinentes.. 1.3.2. Objetivos Especı́ficos. Lo objetivos especı́ficos de este proyecto fueron planteados bajo varias preguntas formuladas junto con la orientación del asesor para el desarrollo del proyecto. El enfoque de las preguntas planteadas inicialmente se resume en los siguientes objetivos: • Estudiar la teorı́a utilizada para predecir la granulometrı́a óptima de un material granular.. 2.

(11) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Tabla 1.1: Nivel de satisfacción de los parámetros estudiados· Parámetro Condición Aceptable Condición Deseada Coeficiente de Fricción Simular el efecto de este Simular el efecto de este parámetro sobre una granu- parámetro sobre una granulometrı́a dada y establecer las lometrı́a dada, establecer el variaciones encontradas con impacto de estos resultados referencia a la teorı́a· sobre la teorı́a y establecer las variaciones pertinentes sobre las formulas planteadas inicialmente· Forma de las Partı́culas Simular el efecto de este Simular el efecto de este parámetro sobre una granu- parámetro sobre una granulometrı́a dada y establecer las lometrı́a dada, establecer el variaciones encontradas con impacto de estos resultados referencia a la teorı́a· sobre la teorı́a y establecer las variaciones pertinentes sobre las formulas planteadas inicialmente· Ley de Fuller Comprender el origen exper- Además de comprender el oriimental y los fundamentos gen teórico, establecer las corteóricos utilizados para su recciones pertinentes a partir planteamiento· de los resultados y análisis establecidos· • Basados en la teorı́a de granulometrı́a óptima de Fuller y Thompson, determinar y comprobar si los factores que se exponen son los únicos determinantes para considerar que el comportamiento del material granular, en cuanto a cantidad de finos y gruesos, corresponde a una relación de vacı́os óptima. • Establecer cómo cambian las caracterı́sticas de un material si se cambian los factores mecánicos que lo componen. Especı́ficamente el coeficiente de fricción y forma de las partı́culas. • Verificar estos análisis utilizando simulaciones numéricas con elementos discretos.. 3.

(12) Capı́tulo 2. Marco Teórico y Conceptual 2.1. Marco Teórico. El trabajo titulado The Laws of Proportioning Concrete presentado por William B. Fuller y Sanford E. Thompson hacia el año 1907, el cual fue el documento base para el cumplimiento de los objetivos del proyecto, se puede considerar como el punto de partida para el desarrollo de diferentes teorı́as relacionadas con distribuciones de partı́culas o curvas granulométricas. En este trabajo, Fuller y Thompson concluyen que toda curva de gradación ideal presenta un comportamiento elı́ptico en su fracción final incluyendo el cemento, y luego converge con una lı́nea recta tangente a la elipse. La ecuación general para la parte elı́ptica de esta curva está dada por la ecuación 2.1. En esta ecuación, y es el porcentaje de material que pasa el tamiz de abertura x, a y b son constantes que representan los ejes de la elipse y su valor depende del tamaño máximo del agregado y de la forma de las partı́culas. Estas constantes fueron determinadas teniendo en cuenta que mientras mas angulosas son las partı́culas de agregado, mayor es el porcentaje de material fino representado por la parte elı́ptica. De acuerdo al tipo de material estudiado, las constantes a y b en la ecuación de la region elı́ptica de la curva planteada, se pueden aproximar a los valores enunciados en la tabla 2.1. (y − b)2 (x − a)2 + =1 b a La estructura general de la granulometrı́a puede ser observada en la figura 2.1.. (2.1). En esta curva ideal, Fuller y Thompson encontraron que para un valor de y igual al 7%, el valor de x era de 0.074 milı́metros; esto es, en otras palabras, que el 7% de la masa está constituida por partı́culas de diámetro inferior a 0.074 milı́metros siendo esta la fracción que pasa el tamiz No. 200, mas las partı́culas de cemento en caso de tratarse de materiales granulares con alguna composición de este tipo. Posteriormente, la curva continua con su forma elı́ptica hasta un valor de x aproximadamente igual al 10% del tamaño máximo, y a partir de este punto sigue como una lı́nea recta hasta el final. Algunos autores han planteado que para obtener una curva únicamente de agregado se debe restar la cantidad de cemento contenida y tomar el resultado como un total. De esta manera se obtiene una curva parabólica denominada Parábola de Fuller y Thompson descrita por la ecuación 2.2. En esta ecuación, D representa el diámetro máximo de partı́culas, d la variable dependiente correspondiente al diámetro de las partı́culas en general y P representa el porcentaje de partı́culas que pasa por un tamiz de tamaño d. Es necesario denotar que la ecuación 2.2 corresponde a la raı́z cuadrada. 4.

(13) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 2.1: Distribución inicial de Fuller y Thompson· Tabla 2.1: Valores aproximados para las constantes de Thompson· Clase de Material Agregados Redondeados Arena Natural y Grava Agragados Triturados. la parte elı́ptica de la ecuación de Fuller y a 0.164D 0.150D 0.147D. b 28.6 30.4 30.8. del diámetro de partı́culas normalizado por el diámetro máximo. Esto gráficamente corresponde a la figura 2.2. r d d P = 100 × = 100 × ( )0.5 (2.2) D D Teniendo esto como punto de partida, Weymouth demostró como es el comportamiento de las partı́culas en un material granular al estar compuestas por diferentes tamaños y formas de partı́culas teniendo en cuenta aspectos adicionales como la segregación producida dentro del conjunto granular. Él dedujo el comportamiento tal y como se expresa en los casos de la figura 2.3. En la parte a de la figura 2.3, hay mas partı́culas pequeñas que grandes por lo que estas se encuentran separadas por más de una partı́cula de tamaño inferior a las grandes, por lo cual la distancia entre ellas será mayor al diámetro de una sola partı́cula pequeña. En la parte b la cantidad de partı́culas grandes es mayor y la distancia entre ellas será igual al diámetro de una partı́cula pequeña. En la parte c, al contrario que en la parte a, la cantidad de partı́culas grandes es mucho mayor por lo cual las partı́culas pequeñas no llegan a llenar los vacı́os entre partı́culas grandes; esto último quiere decir que la distancia entre partı́culas grandes es menor al diámetro de una partı́cula pequeña. d η ) (2.3) D A partir de sus extensos experimentos, Weymouth planteó que la distribución de los tamaños de partı́culas influye en la manera como las partı́culas individuales se mueven dentro del conjunto teniendo, a su vez, consecuencias importantes en la trabajabilidad y economı́a del material. Finalmente, el replantea la ecuación de la parábola de Fuller y Thompson de acuerdo a la ecuación 2.3, donde se establece un nuevo parámetro: el exponente eta (η). Este parámetro gobierna la distribución de las partı́culas y está relacionado con el tamaño más grande de agregado en el sistema. P = 100 × (. 5.

(14) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 2.2: Parábola de Fuller-Thompson·. Figura 2.3: Segregación de partı́culas por Weymouth·. 6.

(15) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL. 2.2. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Marco Conceptual. Los términos más importantes establecidos en el proyecto se resumen a continuación. ◦ Partı́culas: Son la composición de todos los materiales granulares que poseen una masa y ocupan un volumen. ◦ Forma de la partı́cula: Es un factor determinante para establecer el comportamiento mecánico de un material, es decir, se pueden suponer formas diversas empezando por formas circulares hasta formas angulares con el fin de crear un modelo lo mas cercano posible a la realidad. ◦ Coeficiente de Forma µ: es un parámetro utilizado en el desarrollo del proyecto que funciona como indicador de angularidad. El menor valor posible es 0.00 e indica que las partı́culas son completamente redondas. El valor aumenta con pasos de 0.01, en este caso hasta 0.10, mientras las partı́culas adquieren formas más angulares. ◦ Coeficiente de fricción Φ: Es una caracterı́stica fı́sica de los materiales la cual consta de la resistencia que tiene este al deslizamiento sobre su superficie; esto es, qué tan fácil es deslizar una masa sobre su propio eje o sobre una superficie cualquiera. ◦ Simulación: Es la herramienta base para el análisis de este trabajo en la cual se hacen las pruebas para determinar el comportamiento estudiado. Estas simulación se hará bajo elementos discretos. ◦ Tamaño de partı́cula: Es una caracterı́stica fı́sica la cual determina el comportamiento mecánico de un elemento. Dentro de los factores cambiantes de esta caracterı́stica esta el volumen, la densidad y la masa de un material. ◦ Relación de Vacı́os e: Está definido como la relación entre el volumen de vacı́os y el volumen ocupado por partı́culas sólidas dentro de un material granular. En dos dimensiones se expresa por la relación de las áreas vacı́as y solidas del material. Matemáticamente se muestra en la ecuación 2.4. Vvacios Avacios e= = (2.4) Vsolidos Asolidos ◦ Compacidad C : Es una medida de densidad relativa que corresponde al empaquetamiento de las partı́culas en un material granular con respecto a su masa. Este termino está relacionado con la cantidad de vacı́os mı́nima presente en el material.. 7.

(16) Capı́tulo 3. Definición y Especificación del Trabajo 3.1. Definición. Desarrollar un diseño de cualquier proyecto en el que intervenga como parámetro de entrada la granulometrı́a de un material, está siempre sujeto a las condiciones establecidas para el desarrollo de esta granulometrı́a. De esta manera, si la distribución de granos depende directamente de una distribución ideal, y está última no considera la totalidad de los parámetros que influyen en el comportamiento macroscópico del material; es posible poner en tela de juicio la precisión y exactitud de esta distribución ideal y en consecuencia dudar del comportamiento del material a utilizar en la realidad. Aunque los resultados obtenidos con diseños realizados a partir de las curvas teóricas cuyo punto de partida es el trabajo de Fuller y Thompson son bastante buenos, la intervención de parámetros como la forma de las partı́culas y el coeficiente de fricción puede influir de manera positiva en el comportamiento mecánico final del material. Esta influencia esta relacionada con parámetros que afectan la sostenibilidad misma del proyecto. El comportamiento de un material se considera óptimo cuando se consigue un equilibrio entre su rendimiento mecánico y la economı́a relacionada con su producción y ejecución. En este sentido, es posible que al ignorar los parámetros estudiados en el proyecto, se esté cayendo en problemas de sobredimensionamiento o subdimensionamiento (según sea el caso) y exista una variación económica y mecánica importante a la hora de desarrollarse. En este orden de ideas y para hacer una definición clara del problema tratado en este proyecto, es necesario contextualizar primero la idea principal del trabajo. Primero que todo el dominio de aplicabilidad está determinado bajo un aspecto sumamente investigativo en el cual se buscaba entender el comportamiento de la relación de vacı́os y la compacidad cuando se cambia alguna de las caracterı́sticas fı́sicas de un material granular. De esta manera se le puede dar una funcionalidad escolar para aportar al conocimiento relacionado con la granulometrı́a y al diseño de mezclas de materiales aglutinantes comunes en la construcción como lo es el concreto.. 3.2. Especificaciones. Para hacer las simulaciones respectivas del análisis del material se deben enunciar y explicar una serie de restricciones o bien una serie de especificaciones que hacen que la simulación sea llevada a cabo de la manera correcta. Entre las restricciones principales se plantean las siguientes: 8.

(17) CAPÍTULO 3. DEFINICIÓN Y ESPECIFICACIÓN DEL TRABAJO ICIV 201210 14 ICIV 201210 40 ◦ Dimensiones: los resultados presentados en este trabajo son desarrollados a partir de simulaciones sobre modelos en dos dimensiones. Son aproximaciones computacionales sobre bases teóricas reales, luego los resultados permiten discutir los puntos planteados en el alcance del proyecto. ◦ Teórico: El presente trabajo está realizado únicamente sobre el trabajo realizado por Fuller y Thompson en The Laws of Proportioning Concrete. A lo largo de la historia, este ha sido un tema de constante estudio y debate. Es entonces claro que se han desarrollado diferentes aproximaciones para granulometrı́as ideales, la mayorı́a de ellas teniendo en cuenta el trabajo mencionado. En este sentido, el presente informe no aborda todas las teorı́as posteriores a ella sino la raı́z inicial de las mismas y aquellas que han sido influidas directamente. ◦ Parámetros: Aunque se tratan parámetros no utilizados en la investigación inicial, aún existen varios parámetros que posiblemente influyen en los resultados reales y que no pueden ser considerados (por motivos de tiempo o imposibilidad propia de los parámetros) dentro del informe. ◦ Forma: La forma de las partı́culas siempre es circular. La variación entre partı́culas es únicamente el diámetro. Aunque se realizan cambios de forma, estos se realizan sobre todas las partı́culas, siendo esto diferente a la realidad donde las partı́culas no son morfológicamente iguales. Ahora bien, para definir la función principal que cumple este proyecto se debe tener en cuenta lo mencionado hasta ahora en el presente documento. En sı́ntesis, el desarrollo de este proyecto permitirá discutir la validez del trabajo realizado hace un poco mas de un siglo por Fuller y Thompson y que es el punto de partida para muchas teorı́as desarrolladas posteriormente. Para desarrollar esta función principal es necesario, además de conocer las restricciones presentes, establecer una serie de especificaciones propias del proyecto. Estas especificaciones están relacionadas directamente con las simulaciones ya que es en este punto donde las restricciones tienen un impacto mayor. De manera general, se debe garantizar que las partı́culas sean de una forma y tamaño determinado. Para este caso se hizo un grupo de diez mil partı́culas que fueron simuladas bajo fuerzas de compresión en un área especı́fico. En esta ocasión se garantizo que el tamaño de las partı́culas fuera completamente aleatorio para que ası́ no hubiese un problema de patrones en la distribución de las mismas. En este orden de ideas, es necesario cumplir una serie de especificaciones relacionadas con el modelo y enunciadas a continuación: ◦ Las cajas de prueba donde reposan las diez mil partı́culas tiene dimensiones planas de 250×40 veces el diámetro máximo. ◦ Las partı́culas son circulares. La forma de las partı́culas se varı́a mediante cambios en el coeficiente de forma µ caracterı́stico del conjunto. ◦ Las partı́culas son creadas a partir de información teórica real cuyo parámetro clave es eta (η). ◦ El rango de diámetros debe ser definido bajo valores reales donde su presencia en una mezcla de concreto u otro material, sea lo mas real posible. Las especificaciones planteadas conducen a resultados válidos para desarrollar los estudios establecidos en el alcance del proyecto ya que estos permiten transcribir un problema real a un modelo en dos dimensiones basado en las restricciones enunciadas. Los modelos transcritos en este proyecto están basados en planteamientos teóricos validos que han sido transformados a través de procedimientos matemáticos y fı́sicos correctos. Un ejemplo de esto se presenta en la transformación realizada sobre la ecuación de la parábola de Fuller y Thompson para ajustarse al rango de diámetros especificado. Por otro lado, la manera como se establece la variación de la forma corresponde a un procedimiento 9.

(18) CAPÍTULO 3. DEFINICIÓN Y ESPECIFICACIÓN DEL TRABAJO ICIV 201210 14 ICIV 201210 40 fı́sico que relaciona la aplicación de una fuerza sobre una partı́cula circular con las deformaciones que se producen sobre ella, teniendo como resultado una partı́cula con una angularidad especı́fica. En sı́ntesis, las especificaciones están diseñadas para que las simulaciones se realicen con modelos muy similares a la realidad y que sean correspondientes a las restricciones establecidas.. 10.

(19) Capı́tulo 4. Metodologı́a del Trabajo La primera parte del proyecto consistió en realizar una revisión bibliográfica detallada que permitiera plantear los postulados iniciales relacionados con el tema y observar como han sido analizados y modificados con el paso del tiempo. Con las restricciones y especificaciones establecidas de manera explı́cita, el trabajo posterior fue la realización del programa que creara los conjuntos de partı́culas a partir de una serie de parámetros de entrada mencionados más adelante. Estos conjuntos se representan a través de una curva de distribución granulométrica que relaciona el porcentaje de granos inferiores o iguales a un diámetro dado normalizado por el diámetro máximo establecido, con el diámetro normalizado. Una muestra parcial de esto se encuentra en la figura 4.1 que representa la distribución de un conjunto de diez mil partı́culas con un exponente η equivalente a 0.5. Por otro lado, la figura 4.2 representa una distribución de partı́culas creadas a partir de un η de 1.5. Una vez establecidos los conjuntos de partı́culas y sus respectivas distribuciones granulométricas, se dio paso a la construcción de los modelos y la ejecución de las simulaciones. A partir de los resultados de esta etapa se construyeron series de datos como los expuestos en la tabla 4.1. Esta tabla expone una muestra parcial de los resultados de compacidad y relación de vacı́os bajo la influencia de diferentes coeficientes de fricción para un η de 0.5. A partir de series de datos de este tipo se realizaron todos los análisis posteriores respectivos y se plantearon soluciones al problema tratado durante el proyecto.. Tabla 4.1: Compacidad y relación de vacı́os para diferentes coeficientes de fricción (Φ) y η=0.5· Φ Compacidad Relación de Vacios 0.00 0.86314 0.15856 0.05 0.85763 0.16601 0.10 0.85664 0.16736 0.20 0.85322 0.17203 0.30 0.84995 0.17654 0.40 0.84957 0.17707 0.50 0.84582 0.18229 0.60 0.84309 0.18611. 11.

(20) CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 4.1: Distribución granulométrica para η=0.5·. Figura 4.2: Distribución granulométrica para η=1.5·. 12.

(21) CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA DEL TRABAJO. 4.1. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Plan de trabajo. Como se menciona anteriormente, una primera actividad fue la recolección de información de las diferentes fuentes disponibles como bases de datos, recursos informáticos o bibliotecas. Para esta primera parte del proyecto se utilizó alrededor de cuatro semanas incluyendo una fase de análisis de la información obtenida. La segunda actividad principal desarrollada fue la programación la cual tomarı́a entre tres y cuatro semanas incluyendo los procesos de prueba, retroalimentación y aplicación de correcciones. Las simulaciones fueron desarrolladas de manera conjunta con los análisis de tal manera que las dos actividades tomarı́an alrededor de 10 semanas para su desarrollo. Esto incluye análisis de datos, comparaciones con la teorı́a y documentación. De manera general, el proyecto tuvo una duración de entre 16 y 18 semanas. En este periodo de tiempo se realizaron reuniones periódicas con el asesor cada dos semanas y reuniones de grupo cada tres a cinco dı́as, con el fin de estudiar los avances del proyecto y discutir otros temas relacionados con el mismo.. 4.2. Búsqueda de información. En primer lugar, es de vital importancia mencionar los conocimientos adquiridos durante el pregrado como un punto de partida para la recolección de información. Materias presentes en la carrera de ingenierı́a civil como los son Materiales en Ingenierı́a Civil, Fundamentos de Geotecnia o Ingenierı́a de Pavimentos, permitieron establecer ideas principales relacionadas con la distribución de partı́culas en cualquier material de construcción, que a su vez servirı́an como puntos de partida a la hora de realizar la investigación. De igual manera, las referencias bibliográficas utilizadas en cada una de estas materias aportarı́an pistas a la hora de seleccionar los autores, tı́tulos y bases de datos en esta tarea. Adicionalmente, se contó con el apoyo total del asesor quien siempre tuvo una participación importante en la selección de información, siendo él un guı́a a la hora de descartar o aprobar documentos relacionados con el tema y establecer puntos de partida definitivos para analizar cada documento encontrado. Las primeras fuentes en consideración fueron los libros utilizados en cada una de las materias de pregrado cuyos temas tuvieran una relación con el tema estudiado. Entre los tı́tulos encontrados se seleccionaron aquellos que no descartaban el trabajo de Fuller y Thompson como una teorı́a antigua y de poco uso en la actualidad, sino aquellos que presentaban análisis sobre el tema y demostraran detalles históricos que nos dieran una idea de la evolución académica constituida. Entre estos libros encontramos Tecnologı́a del Concreto y del Mortero de Diego Sánchez De Guzmán. De igual manera se encontraron libros que permitieron adquirir bases teóricas adicionales como es el caso de Concrete Mixture Proportioning: a scientific approach de François de Larrard. Un segundo medio para encontrar información fueron las bases de datos electrónicas disponibles en la Universidad de los Andes. Las principales bases de datos utilizadas fueron ASCE Research Library y ISI Web of Knowledge. Estas fueron seleccionadas teniendo en cuenta que aportaban documentos necesarios para el desarrollo del proyecto y ofrecı́an facilidades en su utilización. Finalmente, aunque no menos importante, se consultó a otros profesores como es el caso de Bernardo Caicedo Hormaza y Fernando Ramı́rez Rodrı́guez, profesores titular y asociado respectivamente, en la Universidad de los Andes, obteniendo algunos aspectos importantes para realizar una búsqueda. 13.

(22) CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. productiva.. 4.3. Alternativas de desarrollo. Este tipo de proyectos puede ser desarrollado de varias formas, siendo las mas importantes, productivas y caracterı́sticas, la experiencia y la simulación. En primer lugar, si se utilizan métodos experimentales es posible obtener resultados basados en la realidad; por otro lado, las simulaciones, aunque no son reales en su totalidad, permiten desarrollar modelos con parámetros difı́cilmente reproducibles en laboratorios. Bajo este enunciado, no se escogió el camino experimental por la dificultad que presentarı́a preparar muestras precisas bajo una granulometrı́a de referencia. Para esto serı́a necesario organizar muestras, partı́cula por partı́cula, fijando las condiciones de fricción y forma, siendo esto un trabajo costoso en términos de tiempo y economı́a. Adicionalmente, la construcción de replicas aumentarı́a aún más los costos relacionados. En contraste, el desarrollo de simulaciones con elementos discretos permite crear modelos muy precisos y cercanos a la realidad. Además, a partir de los resultados obtenidos, es posible construir replicas que permitan estudiar parámetros adicionales en un lapso de tiempo corto. Mediante este método es posible plantear correcciones sobre el sistema y aplicarlas inmediatamente después, permitiendo al usuario desarrollar análisis constantemente de los errores presentados y continuar con la investigación a medida que avanzan otras simulaciones.. 14.

(23) Capı́tulo 5. Trabajo realizado Como se menciona en el capı́tulo anterior, el proyecto consta de cuatro etapas generales. Una primera etapa consiste en la recolección de la información teórica relacionada con el tema y de documentos desarrollados por otros autores independientes cuyo tema pueda relacionarse con el proyecto. En segundo y tercer lugar se encuentran las etapas de programación y simulación respectivamente. Las dos etapas mencionadas están fuertemente relacionadas ya que el resultado de la programación es un parámetro de entrada para las posteriores simulaciones. Finalmente se tiene una etapa de análisis entre los resultados obtenidos y lo consecuente a la primera etapa. El proyecto fue desarrollado como se muestra en el diagrama de flujo presente en la figura 5.1.. 5.1 5.1.1. Descripción del Resultado Final Recolección de Información. Los experimentos realizados por Fuller y Thompson relacionados con la distribución de partı́culas para fines de optimización estructural, económica y ambiental, se remontan al año 1901 en Little Falls, New Jersey. Bajo este enunciado, una primera tarea, y quizás la más importante, fue encontrar documentos cuyo contenido describiera desde puntos de vista teóricos y experimentales, cuál fue el camino que recorrieron estos autores para llegar hasta la denominada ”Parábola de Fuller y Thompson”. Un detalle importante que debe resaltarse en esta tarea es el tiempo. Como se ha dicho, los documentos que describen los ensayos y procedimientos realizados deberı́an existir desde hace un poco más de un siglo, siendo esta antigüedad una dificultad para el acceso a esta información. Esta primera tarea fue cumplida mediante la consulta de la bases de datos ASCE Research Library y algunas consultas externas realizadas a través de Internet. El resultado de esta tarea fueron los documentos The Laws. Figura 5.1: Diagrama de flujo general del proyecto·. 15.

(24) CAPÍTULO 5. TRABAJO REALIZADO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Tabla 5.1: Parámetros de entrada para la programación· PARÁMETRO DESCRIPCIÓN BÁSICA d Diámetro mı́nimo de las partı́culas. D Diámetro máximo de las partı́culas. n Número total de partı́culas a crear. Particiones Número de porciones en las que se desea distribuir la curva de Fuller y Thompson. η Exponente de la parábola de FullerThompson.. of Proportioning Concrete y A Treatise on Concrete Plain and Reinforced. El primer documento es el compilado de todos los ensayos realizados por Fuller y Thompson relacionados con la granulometrı́a ideal establecida por ellos mismos. El segundo documento contiene descripciones de diferentes procedimientos experimentales y enunciados teóricos relacionados con diferentes temas cuyo énfasis es el concreto, cada uno de ellos descrito por diferentes autores; uno parte de este documento presenta las caracterı́sticas de los experimentos desarrollados por William B. Fuller en el desarrollo de su teorı́a. La siguiente tarea relacionada con recolección de información consistió en estudiar documentos de diferente ı́ndole cuyo tema se relacione con el de este proyecto y que permitan realizar discusiones validas sobre los posteriores resultados con puntos de vista adicionales a los propios. Entre los documentos encontrados se obtuvieron diferentes ideas a las planteadas en el alcance pero que también influyeron de manera indirecta en el entendimiento y análisis del problema. Entre estos documentos se encuentran Nuevas Aplicaciones de la Teorı́a de las Superficies por Federico Goded Echevarria y Optimization of a Computer Simulation Model for Packing of Concrete Aggregates por Adil Amirjanov y Konstantin Sobolev. Finalmente, teniendo una colección de información valida, es consecuente con la meta de esta etapa realizar una tarea final. En esta tarea se desarrolló la revisión de todos los documentos estableciendo los fundamentos principales que permitieron desarrollar una teorı́a inicial, los parámetros que han sido integrados durante el paso del tiempo para complementar esta teorı́a, y la aceptación parcial o total o la negación total de la teorı́a. De esta etapa se encontraron algunos puntos de partida importantes para la siguiente etapa. Entre ellos encontramos la curva de Fuller y Thompson y el exponente eta. También fueron planteados algunos posibles resultados que fueron utilizados como referencia en los análisis de los resultados propios.. 5.1.2. Programación Computacional. En esta etapa se planteó como meta diseñar y ejecutar un programa computacional que creara diez mil partı́culas aleatorias a partir de una curva de Fuller y Thompson denominada de referencia. Como en el desarrollo de cualquier programa computacional, la primera tarea es determinar la plataforma en la que será desarrollado y el planteamiento de los parámetros de entrada. Por comodidad en cuanto a disponibilidad y conocimiento se escogió la herramienta computacional MATLAB. Por otro lado, teniendo en cuenta que se parte de una curva de Fuller y Thopmson con diferentes valores del exponente η que ajusta la distribución de las partı́culas; es necesario relacionar los parámetros de entrada con este hecho. A partir de aquı́ y según la metodologı́a mencionada anteriormente, los parámetros de entrada que fueron seleccionados se muestran en la tabla 5.1. El número de partı́culas fue determinado teniendo en cuenta que el conjunto de las partı́culas debe conformar una muestra estable y consistente. Por esta razón se consideró que una muestra de diez 16.

(25) CAPÍTULO 5. TRABAJO REALIZADO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 5.2: Parábola de Fuller-Thompson con η inferior a 1· mil partı́culas es un conjunto que permite realizar análisis representativos. Los diámetros mı́nimo d y máximo D fueron seleccionados buscando que los modelos estudiados sean proporcionales a la realidad; en otras palabras, los diámetros presentes en el conjunto deben ser parecidos a los diámetros existentes dentro de una mezcla de concreto u otro material. De esta manera se escogı́a una proporción entre d y D de 1:5, siendo el mı́nimo 3 centı́metros y el máximo 15 centı́metros. Ahora, partiendo del objetivo de evaluar el efecto de parámetros como el coeficiente de fricción o la forma de las partı́culas sobre la parábola de Fuller y Thompson, es necesario establecer una serie de procedimientos para justificar tanto la metodologı́a aplicada como algunos de los parámetros de entrada. La parábola de Fuller y Thompson esta dada por la ecuación 5.1 cuya gráfica se muestra en la figura 5.2. d η ) (5.1) D Como se puede apreciar, esta curva tiene la condición de comenzar desde el origen y no desde el diámetro mı́nimo establecido, razón por la cual fue necesario establecer una corrección sobre la fórmula general y ası́ evitar la existencia de partı́culas inferiores al diámetro mı́nimo establecido. Inicialmente, la corrección adoptada fue simplemente correr horizontalmente y en sentido positivo la gráfica general, de tal manera que la curva comience en la coordenada correspondiente al diámetro mı́nimo obteniendo lo observado en la figura 5.3 que obedece a la ecuación 5.2. P = 100 × (. d dmin η d − dmin η − ) = 100 × ( ) (5.2) D D D La primera corrección establecida no es suficiente para ajustar la ecuación al modelo propuesto debido a que esta no es más que un corrimiento horizontal y como se puede observar, el 100% de las partı́culas no son inferiores al tamaño máximo de las partı́culas. Esta última es una segunda condición que se debe cumplir, para lo cual se propuso buscar un parámetro K que ajuste la curva al rango comprendido entre el diámetro mı́nimo y el máximo o, en el caso normalizado, entre 0.2 y 1. Los procedimientos adecuados para esto permiten establecer la nueva ecuación 5.3 cuya gráfica ajustada se representa en la figura 5.4. P = 100 × (. P = 100 × (K ×. d − dmin η D d − dmin η ) = 100 × ( × ) D D − dmin D 17. (5.3).

(26) CAPÍTULO 5. TRABAJO REALIZADO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 5.3: Parábola de Fuller-Thompson con η inferior a 1 y corregida parcialmente·. Figura 5.4: Parábola de Fuller-Thompson con η inferior a 1 y corregida totalmente· Establecidas estas correcciones el procedimiento seguido por el programa es trazar una curva con un η dado y dividirla en un número dado de intervalos de diámetros igualmente espaciados cuya diferencia es la cantidad porcentual de partı́culas que contiene cada uno. Esto se puede ver esquemáticamente en la figura 5.5. Estas particiones permiten al usuario crear las partı́culas a partir de la curva de referencia, integrando a cada intervalo el número de partı́culas necesario para completar el porcentaje establecido para cada espacio. Para efectos del proyecto, se escogió hacer 60 particiones ya que esta cifra ajusta las partı́culas creadas a la curva de referencia de la mejor manera posible (este valor fue estimado a partir de varios eventos de ensayo y error). Finalmente, el parámetro η es la variable independiente principal del proyecto y en el programa se utilizaron valores comprendidos entre 0.1 y 1.5. El programa fue entonces desarrollado a partir de estos parámetros.. 18.

(27) CAPÍTULO 5. TRABAJO REALIZADO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 5.5: Particiones sobre la curva de referencia·. 5.1.3. Simulaciones. Aunque esta es la etapa más sencilla de todo el proceso también es la que toma más tiempo. Como se ha mencionado, uno de los parámetros de entrada es el resultado de la etapa anterior. La primera tarea realizada fue la construcción en papel del modelo que se utilizará en las simulaciones. Este modelo está conformado por una caja con las dimensiones previamente mencionadas que contiene a las partı́culas creadas en la etapa anterior. El sistema es sometido a una fuerza vertical equivalente a la gravedad que provocara la compresión del conjunto. Un acercamiento a la base del conjunto puede ser apreciado en la figura 5.6. El funcionamiento del programa depende de una serie de documentos de texto que describen el modelo por lo cual la siguiente tarea realizada fue la construcción de estos documentos. Finalmente se desarrollaron las simulaciones variando, en primer lugar, el coeficiente de fricción y, posteriormente, variando la forma de las partı́culas. La figura 5.7 permite apreciar un acercamiento a un conjunto de partı́culas aleatorio después de realizada la simulación. Es posible observar el acomodamiento ocurrido donde las partı́culas más pequeñas son las que ocupan los espacios entre las partı́culas más grandes, siendo esto una representación de la segregación por tamaños dentro del conjunto.. 5.1.4. Análisis de Resultados. En esta etapa se realizaron dos tareas. Una primera tarea consiste en la construcción de resultados y análisis a partir de lo obtenido en la etapa anterior. En segundo lugar se realiza una comparación entre estos últimos y los obtenidos en la etapa inicial. A partir de esto, se estructura la información obtenida y se realiza la documentación.. 19.

(28) CAPÍTULO 5. TRABAJO REALIZADO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 5.6: Acercamiento a la estructura del modelo·. Figura 5.7: Acercamiento a la estructura del modelo después de la simulación·. 20.

(29) CAPÍTULO 5. TRABAJO REALIZADO. 5.2. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Trabajo computacional. El trabajo de programación fue desarrollado en el programa computacional MATLAB y los resultados obtenidos son expuestos a través de curvas como en la figura 4.1, o en matrices que no serán mostradas por su extensa magnitud. Por otro lado, tal y como se menciona en la sección de metodologı́as, se escogió el sistema de simulaciones para el desarrollo del proyecto debido a la aplicabilidad y facilidad en desarrollo que este medio permite. Mas especı́ficamente se realizaron simulaciones con elementos discretos mediante el programa LMGC90 desarrollado por el profesor asistente y asesor del proyecto Nicolás Estrada Mejı́a. Este programa permite al usuario conocer diferentes parámetros del sistema antes y después de la ejecución tales como anisotropı́a, compresión o, para efectos de este proyecto, relación de vacı́os y compacidad.. 21.

(30) Capı́tulo 6. Validación del Trabajo 6.1. Metodologı́a de prueba. De las etapas mencionadas en el capı́tulo anterior, las únicas que permiten una explicación metodológica de prueba son las de programación y simulación.. 6.1.1. Programación. El uso de este programa es relativamente fácil; es suficiente con especificar el número de particiones y el valor de η y el resultado será la distribución de granos para un conjunto de diez mil partı́culas incluyendo los datos geométricos individuales en vectores de fácil lectura. En capı́tulos anteriores se presentaron figuras de prueba acerca de la presentación gráfica de los resultados. Adicionalmente, la figura 6.1 presenta los vectores que contienen los resultados dentro del programa.. 6.1.2. Simulación. Los protocolos de prueba para el desarrollo de las simulaciones son igualmente sencillos. En primer lugar, es necesario preparar los documento de texto que constituyen las propiedades, geométricas y funcionales del modelo. Entre los datos que deben ser incluidos se encuentran los radios de las partı́culas obtenidos en la fase de programación y las posiciones individuales dentro de la caja (grilla) del modelo. Estos formatos son caracterı́sticos del programa por lo cual la consulta de su estructura no es una dificultad para el usuario. Una vez desarrollados los documentos se definen algunos parámetros adicionales como los tiempos de simulación, los tipos y modos de fuerzas aplicadas, y los parámetros de evaluación. En esta fase se debe tener en cuenta el traslapo entre partı́culas; se debe cuidar que, una vez terminada una simulación, el traslapo promedio entre las partı́culas sea el mı́nimo posible; 1 esto es, del orden de uno por cada mil unidades ( ). Mantener este indicador asegura que los 1000 resultados sean precisos y significativos para el proyecto ya que en la realidad dos cuerpos sólidos no pueden ocupar el mismo espacio.. 6.2. Validación de los resultados del trabajo. Los resultados generales serán presentados en esta sección teniendo en cuenta todas las etapas establecidas para el desarrollo completo del proyecto.. 22.

(31) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 6.1: Resultados dentro del programa·. 6.2.1. Revisión Bibliográfica. Adicional a lo enunciado en la sección de Marco Teórico, en esta sección se resumirán las conclusiones tomadas del documento Laws of Proportioning Concrete(1907) ademas de algunos valores teóricos para el exponente η en la ecuación de Fuller y Thompson. Como se ha dicho, el documento principal para este proyecto es Laws of Proportioning Concrete(1907). Por este motivo se realizó un resumen corto de las conclusiones realizadas sobre este documento y sera mostrado a continuación: ◦ Agregados de mayor tamaño constituyen los concretos más resistentes en compresión y carga transversal. De igual manera, estos agregados constituyen las mezclas más densas. ◦ Concretos con materiales redondeados eran más densos que los que presentaban roca triturada. ◦ Disminuyendo la cantidad de granos de tamaño medio es posible mejorar ligeramente la resistencia y densidad del concreto. Un exceso de partı́culas de tamaño medio y/o de arenas o partı́culas finas, tiene el efecto contrario, de manera apreciable. ◦ Se obtiene un concreto más denso y resistente si utiliza una cantidad mı́nima de agregados finos y de cemento, lo suficiente para llenar los espacios vacı́os dentro de la mezcla. ◦ La curva ideal difiere teniendo en cuenta las caracterı́sticas de materiales utilizados. ◦ La curva ideal para cualquier material dado es prácticamente la misma. ◦ La permeabilidad disminuye con el aumento del tamaño máximo de partı́culas.. 23.

(32) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 6.2: Distribución Granulométrica η=0.3· ◦ Concretos de cemento, gravas redondeadas y arena son menos permeables que concretos de cemento y roca triturada. Se requiere menos cemento con rocas redondeadas. Esto no quiere decir que las rocas trituradas no se adhieran mejor al cemento. Es necesario aclara que solo se incluyeron aquellas ideas que tienen que ver únicamente con granos. Aquellos relacionados con cemento y concreto como tal no fueron incluidos. Continuando con la revisión, a continuación se plasman los resultados teóricos numéricos relacionados con el proyecto. Como se ha establecido hasta ahora, el principal parámetro que afecta la ecuación de distribución es el exponente η que ajusta la distribución de las partı́culas. El trabajo incial de Fuller y Thompson presenta la distribución ideal como una ley de potencias cuyo exponente es de 0.5. Posteriormente, Weymouth estableció que el exponente de la ley de potencias no debe ser constante sino una función del tamaño máximo de partı́culas en la mezcla teniendo valores entre 0.2 y 0.35. Luego, estudios adelantados por A.H.M. Andreasen y J. Anderson establecieron que las mezclas de Weymouth tenı́an excesos de finos y que el valor que mejor caracterizaba una mezcla estaba comprendido entre 0.4 y 0.5 ya que ofrecı́a la máxima compacidad con o sin cemento.. 6.2.2. Programación. Los resultados de la programación corresponden a las gráficas mostradas en las figuras 6.2 y 6.3 para valores de η de 0.3 y 0.8. Las distribuciones para los demás valores de η estudiados se encuentran en el apéndice B. Como se ha dicho a lo largo del documento, estas distribuciones corresponden a grupos de diez mil partı́culas cuyos diámetros se ajustan a distribuciones de referencia.. 24.

(33) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 6.3: Distribución Granulométrica η=0.8·. 6.2.3. Simulación. El primer conjunto de simulaciones fue realizado variando el coeficiente de fricción (Φ) entre partı́culas con valores de 0.00, 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.40, 0.50 y 0.60 para todos las distribuciones establecidas. De estas simulaciones se obtuvieron una serie de resultados para compacidad y relación de vacı́os correspondientes a cada distribución. Los resultados de compacidad en función de η y Φ se muestran en la tabla 6.1 y de relación de vacı́os en la tabla 6.2. Cuando se tiene un Φ igual a 0.00, la compacidad máxima sucede cuando el valor de η es igual a 0.60. En este caso, las partı́culas se mueven libremente únicamente bajo la fuerza de la gravedad obteniendo una compacidad superior al 86% tal y como se observa en la figura 6.4. De igual manera, si se observa los datos de relación de vacı́os, el valor de η que permite una menor cantidad de vacı́os cuando Φ es igual a 0.00 es 0.60. Esto puede observarse en la figura 6.5. De manera general, el comportamiento para todos los estados de fricción en términos de compacidad y relación de vacı́os se pueden observar en las figuras 6.6 y 6.7 respectivamente. De la figura 6.6, es posible observar que los exponentes η para los cuales se presentan los valores más grandes de compacidad se encuentran entre 0.50 y 0.60. Por otro lado, obsrevando la figura 6.7, los exponentes η que arrojan una relación de vacı́os mı́nima se encuentran entre 0.5 y 0.7. En este orden de ideas, las distribuciones basadas en la parábola de Fuller y Thompson cuyo exponente se encuentra entre 0.5 y 0.7 presentarán un mejor acomodamiento y una menor cantidad de vacı́os si no se tiene en cuenta la influencia de la forma. Las figuras 6.8 y 6.9, realizadas con 4 valores aleatorios de η, permiten observar que, sin importar el exponente η que ajusta la distribución de partı́culas, a medida que el coeficiente de fricción aumenta, las partı́culas tienden a acomodarse de tal manera que la cantidad de espacios vacı́os presente tiende a 25.

(34) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Tabla 6.1: Resultados de Compacidad con diferentes coeficientes Φ (-) 0,00 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 η (-) Compacidad (-) 0,10000 0,84862 0,84231 0,84039 0,84030 0,83872 0,83328 0,20000 0,85452 0,84955 0,84575 0,84247 0,83981 0,83217 0,30000 0,86010 0,85558 0,85246 0,84746 0,84354 0,84316 0,40000 0,86282 0,85757 0,85394 0,85323 0,84772 0,84282 0,50000 0,86314 0,85763 0,85664 0,85322 0,84995 0,84957 0,60000 0,86416 0,85941 0,85615 0,85441 0,84905 0,84654 0,70000 0,86402 0,85823 0,85856 0,85298 0,84951 0,84810 0,80000 0,86358 0,85829 0,85725 0,85100 0,84913 0,84445 0,90000 0,86144 0,85730 0,85564 0,85149 0,84792 0,84378 1,00000 0,86031 0,85552 0,85446 0,84891 0,84534 0,84305 1,10000 0,86084 0,85467 0,85304 0,84850 0,84526 0,84180 1,20000 0,85803 0,85456 0,85120 0,84583 0,84346 0,83834 1,30000 0,85819 0,85364 0,85023 0,84650 0,84262 0,83863 1,40000 0,85682 0,85222 0,84864 0,84132 0,83950 0,83641 1,50000 0,85495 0,85188 0,84790 0,84217 0,83572 0,83502. Tabla Φ (-) η (-) 0,1000 0,2000 0,3000 0,4000 0,5000 0,6000 0,7000 0,8000 0,9000 1,0000 1,1000 1,2000 1,3000 1,4000 1,5000. de fricción· 0,50 0,60 0,83395 0,83251 0,83978 0,84284 0,84582 0,84429 0,84410 0,84079 0,84215 0,84176 0,84025 0,83737 0,83619 0,83343 0,83204. 0,83325 0,83598 0,83727 0,84212 0,84309 0,84099 0,84470 0,84003 0,84070 0,83928 0,83625 0,83559 0,83423 0,83021 0,82963. 6.2: Resultados de Relación de Vacı́os con diferentes coeficientes de fricción· 0,00 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 Relación de Vacı́os (-) 0,17838 0,18721 0,18993 0,19006 0,19229 0,20007 0,19912 0,20012 0,17025 0,17709 0,18239 0,18699 0,19075 0,20167 0,20119 0,19620 0,16266 0,16880 0,17307 0,18000 0,18548 0,18601 0,19079 0,19436 0,15900 0,16608 0,17104 0,17202 0,17964 0,18649 0,18646 0,18747 0,15856 0,16601 0,16736 0,17203 0,17654 0,17707 0,18229 0,18611 0,15719 0,16359 0,16802 0,17040 0,17779 0,18129 0,18442 0,18908 0,15738 0,16519 0,16475 0,17237 0,17715 0,17911 0,18469 0,18385 0,15797 0,16511 0,16652 0,17508 0,17768 0,18421 0,18935 0,19044 0,16084 0,16646 0,16872 0,17441 0,17936 0,18514 0,18744 0,18948 0,16238 0,16888 0,17033 0,17798 0,18295 0,18617 0,18799 0,19150 0,16165 0,17004 0,17227 0,17855 0,18307 0,18793 0,19012 0,19581 0,16546 0,17019 0,17481 0,18227 0,18559 0,19283 0,19422 0,19676 0,16524 0,17145 0,17615 0,18134 0,18677 0,19242 0,19590 0,19870 0,16711 0,17340 0,17836 0,18861 0,19119 0,19559 0,19985 0,20452 0,16965 0,17388 0,17938 0,18741 0,19658 0,19758 0,20187 0,20536. 26.

(35) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 6.4: Compacidad con Φ=0.00·. Figura 6.5: Relación de Vacı́os con Φ=0.00·. 27.

(36) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 6.6: Distribución de compacidades para todo Φ estudiado· un mismo valor y en consecuencia, la relación entre el espacio ocupado por las partı́culas y el espacio total tiende a estabilizarse también. Esto indica que las partı́culas, después de un determinado estado de fricción, alcanzan un punto en el cual no pueden moverse dentro del sistema para ocupar espacios vacı́os, permitiendo a su vez inferir que el conjunto alcanza un estado de reposo en el cual no es posible reducir más la cantidad vacı́a del sistema sin provocar deformaciones o fracturas individuales. Entonces, es posible afirmar que la relación de vacı́os mı́nima y la máxima compacidad, sin importar la distribución, tiende a alcanzar un valor constante a medida que aumenta la fricción entre partı́culas. Por otro lado, la idea de esta serie de simulaciones es evaluar la influencia de la fricción sobre las propiedades relacionadas con el conjunto de partı́culas. Para esto es necesario considerar los siguientes puntos extraı́dos de las figuras presentadas y lo mencionado en párrafos anteriores: ◦ Es posible afirmar que entre mayor es la fricción, menor es la compacidad resultante y mayor es la relación de vacı́os ya que las partı́culas encuentran mayor dificultad para moverse en el conjunto y es más difı́cil ocupar los espacios vacı́os. Es entonces correcto afirmar que el valor más grande de compacidad máxima sucederá cuando no hay fricción (Φ=0.00) y el menor, entre los estudiados, es el correspondiente a Φ=0.60. ◦ Como se ha mencionado, los valores más altos de compacidad en todos los casos de fricción fueron encontrados en las distribuciones cuyo η se encuentra entre 0.50 y 0.60. Suponiendo que el valor máximo más probable de compacidad corresponde al promedio de los extremos del intervalo establecido, los valores máximos correspondientes a las fricciones mencionadas en la primera viñeta corresponden a lo observado en la tabla 6.3. ◦ Como se ha mencionado, los valores más bajos de relación de vacı́os en todos los casos de fricción fueron encontrados en las distribuciones cuyo η se encuentra entre 0.50 y 0.70. Suponiendo que el 28.

(37) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 6.7: Distribución de relaciones de vacı́os para todo Φ estudiado·. Φ 0.00 0.60. Φ 0.00 0.60. Tabla 6.3: Valores más probables de compacidad máxima· COMPACIDAD η=0.5 COMPACIDAD η=0.6 COMPACIDAD 0.86314 0.86416 0.86365 0,84309 0,84099 0.84204. Tabla 6.4: Valores más probables de relación de vacı́os mı́nima· R.VACÍOS η=0.5 R.VACÍOS η=0.6 R.VACÍOS η=0.7 R.VACÍOS 0.15856 0.15719 0.15738 0.15786 0.18611 0.18908 0.18385 0.18635. 29.

(38) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 6.8: Compacidad vs. Coeficiente de Fricción·. 30.

(39) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 6.9: Relación de Vacı́os vs. Coeficiente de Fricción·. 31.

(40) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. valor mı́nimo más probable de relación de vacı́os corresponde al promedio de los valores conocidos del intervalo establecido, los valores mı́nimos correspondientes a las fricciones mencionadas en la primera viñeta corresponden a lo observado en la tabla 6.4. De acuerdo a estas viñetas es posible determinar una medida de la influencia de la fricción sobre el exponente η en la ecuación de Fuller y Thompson. En una distribución de partı́culas sin fricción, la compacidad deberı́a alcanzar su valor óptimo debido a que las partı́culas pueden acomodarse fácilmente y disminuir al mı́nimo posible los vacı́os del sistema. Por otro lado, la mayor fricción deberı́a repercutir en el movimiento de las partı́culas permitiendo generar la idea de que el valor de compacidad se vuelve considerablemente menor. De acuerdo a los valores mostrados, la diferencia porcentual entre los valores lı́mites es de 0.02162 o, en valor porcentual, 2.16%. Este valor demuestra que el área ocupada por las partı́culas con respecto al área total disponible dentro de la caja al final de la simulación solo se beneficia un 2% aproximadamente, cuando pasa de un estado libre (sin fricción) a un estado de fricción considerablemente alto. Ahora, observando los resultados probables de relación de vacı́os para las fricciones consideradas como lı́mite, la diferencia correspondiente es de 0.02849 o, en términos porcentuales, 2.85%. Con el fin de generar una idea aproximada del significado de este porcentaje dentro de la relación de vacı́os, se tomará como ejemplo los casos estudiados correspondientes a η=0.6 (relación de vacı́os mı́nima posible). Un grupo de partı́culas generado con este exponente mediante el uso del programa creado para el proyecto tendrá un área de sólidos (suma de todas las áreas individuales de las partı́culas) de 22.407 metros cuadrados. Ahora, conociendo el significado matemático de la relación de vacı́os en un problema de dos dimensiones, se obtendrá la diferencia de áreas vacı́as en los casos extremos establecidos en las viñetas anteriores ası́: e2 − e1 =. Av2 − Av1 As. Av2 − Av1 = 22.407x0.02849 = 0.638m2 Esto quiere decir que el cambio de espacios vacı́os, en términos de área, solo cambió 0.638 metros cuadrados cuando se pasa de un estado sin fricción a un estado con una fricción considerablemente alta. Teniendo en cuenta lo establecido en los párrafos anteriores, es observable que el coeficiente de fricción entre partı́culas no ejerce una influencia importante sobre un conjunto granular. En términos de compacidad y relación de vacı́os, el coeficiente de fricción no altera de manera considerable su magnitud sin importar la manera como se distribuyen los tamaños de partı́culas en un conjunto. El segundo conjunto de simulaciones fue realizado variando el coeficiente de forma (µ) entre partı́culas con valores de 0.00, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07, 0.08, 0.09 y 0.10 para todos las distribuciones establecidas. Se escogió realizar todas las simulaciones relacionadas con forma para un coeficiente de fricción de 0.40 ya que este es el valor que se aproxima más a la realidad. De estas simulaciones se obtuvieron una serie de resultados para compacidad y relación de vacı́os correspondientes a cada distribución. Los resultados de compacidad en función de η y µ se muestran en la tabla 6.5 y de relación de vacı́os en la tabla 6.6. En un estado en el cual la forma de las partı́culas es totalmente circular (µ=0.00) y la fricción entre partı́culas es 0.40, el acomodamiento de las partı́culas no se ve afectado por la angularidad presente en ellas presentando una compacidad máxima cuando el exponente η que rige la distribución es de 0.55. De igual manera, la relación de vacı́os es mı́nima en estas condiciones. Esto se puede observar en las 32.

(41) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. µ (-) η (-) 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50. Tabla 6.5: Resultados de Compacidad para diferentes coeficientes de forma· 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 Compacidad (-) 0,8333 0,8312 0,8327 0,8290 0,8270 0,8283 0,8288 0,8283 0,8272 0,8322 0,8267 0,8244 0,8213 0,8141 0,8282 0,8166 0,8078 0,8142 0,8432 0,8345 0,8358 0,8338 0,8296 0,8302 0,8287 0,8296 0,8279 0,8428 0,8409 0,8413 0,8341 0,8371 0,8312 0,8209 0,8335 0,8292 0,8496 0,8434 0,8419 0,8385 0,8372 0,8349 0,8361 0,8333 0,8298 0,8465 0,8429 0,8380 0,8382 0,8363 0,8319 0,8313 0,8310 0,8320 0,8481 0,8428 0,8401 0,8367 0,8341 0,8322 0,8281 0,8297 0,8296 0,8444 0,8411 0,8374 0,8326 0,8326 0,8275 0,8288 0,8279 0,8260 0,8438 0,8398 0,8343 0,8327 0,8309 0,8297 0,8267 0,8259 0,8257 0,8431 0,8374 0,8343 0,8300 0,8284 0,8251 0,8255 0,8251 0,8230 0,8418 0,8352 0,8320 0,8274 0,8261 0,8257 0,8220 0,8201 0,8194 0,8383 0,8337 0,8301 0,8273 0,8241 0,8226 0,8190 0,8194 0,8198 0,8386 0,8337 0,8283 0,8244 0,8225 0,8212 0,8181 0,8160 0,8155 0,8364 0,8305 0,8258 0,8235 0,8198 0,8179 0,8183 0,8153 0,8122 0,8350 0,8277 0,8237 0,8209 0,8190 0,8159 0,8123 0,8131 0,8102. µ (-) η (-) 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50. Tabla 6.6: Resultados de Relación de Vacı́os con diferentes coeficientes 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 Relación de Vacios (-) 0,2001 0,2031 0,2009 0,2063 0,2092 0,2073 0,2065 0,2072 0,2017 0,2096 0,2130 0,2176 0,2283 0,2074 0,2246 0,2379 0,1860 0,1984 0,1964 0,1993 0,2054 0,2046 0,2068 0,2054 0,1865 0,1892 0,1887 0,1989 0,1947 0,2030 0,2181 0,1998 0,1771 0,1856 0,1878 0,1926 0,1945 0,1977 0,1960 0,2001 0,1813 0,1863 0,1933 0,1930 0,1957 0,2021 0,2030 0,2034 0,1791 0,1865 0,1903 0,1952 0,1989 0,2016 0,2075 0,2053 0,1842 0,1890 0,1942 0,2011 0,2010 0,2085 0,2066 0,2079 0,1851 0,1908 0,1986 0,2009 0,2035 0,2052 0,2097 0,2107 0,1862 0,1942 0,1986 0,2048 0,2071 0,2120 0,2114 0,2120 0,1879 0,1973 0,2019 0,2086 0,2105 0,2111 0,2166 0,2194 0,1928 0,1995 0,2046 0,2087 0,2135 0,2157 0,2209 0,2204 0,1924 0,1994 0,2074 0,2130 0,2158 0,2177 0,2224 0,2255 0,1956 0,2041 0,2110 0,2143 0,2198 0,2227 0,2220 0,2265 0,1976 0,2081 0,2140 0,2181 0,2210 0,2256 0,2310 0,2298. 33. 0,09. 0,10. 0,8282 0,8222 0,8295 0,8343 0,8325 0,8276 0,8278 0,8237 0,8228 0,8225 0,8177 0,8159 0,8145 0,8128 0,8085. 0,8234 0,8234 0,8216 0,8228 0,8274 0,8295 0,8271 0,8235 0,8231 0,8207 0,8187 0,8161 0,8134 0,8130 0,8079. de forma· 0,08 0,09. 0,10. 0,2089 0,2283 0,2079 0,2060 0,2051 0,2020 0,2054 0,2107 0,2111 0,2150 0,2203 0,2198 0,2263 0,2312 0,2342. 0,2074 0,2162 0,2056 0,1986 0,2011 0,2084 0,2080 0,2140 0,2154 0,2158 0,2229 0,2256 0,2278 0,2303 0,2369. 0,2145 0,2145 0,2171 0,2154 0,2086 0,2055 0,2091 0,2144 0,2149 0,2185 0,2214 0,2253 0,2293 0,2301 0,2377.

(42) CAPÍTULO 6. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. ICIV 201210 14 ICIV 201210 40. Figura 6.10: Compacidad con µ=0.00· figuras 6.10 y 6.11. De manera general, el comportamiento para todos los estados de forma en términos de compacidad y relación de vacı́os, con un coeficiente de fricción de 0.40, se pueden observar en las figuras 6.12, 6.13 y 6.14. En la figura 6.14 la distribución de los valores es muy parecida en todos los valores de µ representados. Por este motivo se realizó una lı́nea de tendencia que abarcara todos los datos presentes. Es curioso observar la tendencia de la compacidad y la relación de vacı́os con respecto a la forma de las partı́culas, si se varı́a el exponente que rige la distribución de las partı́culas. En contraste a lo observado con el coeficiente de fricción, la tendencia a estabilizar estos parámetros no es tan caracterı́stica en todos los casos. La figura 6.15 muestra el comportamiento de la relación de vacı́os en función del coeficiente de forma para valores de η entre 0.1 y 0.4 aleatorios. Aunque para coeficientes de forma bajos (partı́culas con tendencia a ser redondas), aproximadamente entre 0.00 y 0.03, las partı́culas mantienen una cierta tendencia creciente, a partir del coeficiente 0.03 los valores de relación de vacı́os pierden la tendencia y se dispersan. La figura 6.16 muestra el mismo hecho pero, en este caso, con la compacidad. Ahora, tomando valores de η superiores a 0.4 se puede observar, en compacidad y relación de vacı́os, una tendencia a estabilizarse y alcanzar un valor constante, máximo o mı́nimo según sea el caso, a medida que el coeficiente de forma se hace más grande y las partı́culas toman formas más angulosas. En las figuras 6.18 y 6.17 es posible observar que la compacidad tiende a alcanza un valor máximo absoluto y la relación de vacı́os opta por tomar el valor mı́nimo, ambos cuando µ es superior a 0.70. Es entonces valido pensar que, al igual que en el caso del coeficiente de fricción, a medida que la forma 34.