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Termodinámica de agujeros negros y teoría de información

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Academic year: 2020

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(1)Termodinámica de Agujeros Negros y Teorı́a de Información Por. Luis Anı́bal Garcı́a López Código: 200315095. Dirigido por Prof. José M. Rolando Roldán, Ph.D.. MONOGRAFÍA Presentada como requisito para la obtención del tı́tulo de. Fı́sico Departamento de Fı́sica de la Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Mayo de 2007.

(2) Agradecimientos Es un gran placer para mı́ agradecer a la gente que hizo que todo esto fuera posible, toda la gente que me ha apoyado a lo largo de esta aventura. En primer lugar quisiera agradecer a mi Madre, que con su pedagogı́a y gran dedicación me enseñó siempre a ir más allá. A toda mi familia, que me apoyó en todo momento; me gustarı́a decir algo de cada uno, pero saben que siempre están en mis pensamientos. Las gracias más profundas a mis dos grandes, grandes amigas por existir y por compartir triunfos, tristezas, locuras y sobretodo las alegrı́as más grandes. A todos mis compañeros y amigos de lucha, desde Armenia hasta Bogotá, muchas gracias por estar ahı́. Agradezco a mis profesores, que más que enseñarme un puñado de fórmulas, fueron maestros para la vida. Gracias especiales al director de este proyecto, el Profesor José M. Rolando Roldán, por las charlas que tuvimos y por darme soporte cuando lo necesité. Un saludo cálido a Martha Cecilia Bustamante y Mauricio Hoyos, que me abrieron las puertas de su hogar y cambiaron mi forma de ver el mundo. Y finalmente, gracias a todos los que de una u otra forma me ayudaron a crecer y a cumplir con la primera misión de esta campaña.. Luis Anı́bal Garcı́a López Universidad de los Andes Bogotá, Mayo de 2007. i.

(3) Prefacio Los agujeros negros, defectos en el tejido del espacio-tiempo, entraron en el mundo de la astrofı́sica a partir el siglo XVIII, por descripciones teóricas dadas separadamente por el cientı́fico inglés John Michell y el matemático y astrónomo francés Pierre-Simon Laplace, de cuerpos celestes cuya razón masa-radio es suficiente para que su velocidad de escape exceda la velocidad de los corpúsculos de luz. Mediante la teorı́a de la Relatividad General de Einstein, esta definición se agudiza, siendo los agujeros negros soluciones a las ecuaciones de esta teorı́a gravitacional, teorı́a que requiere su existencia. Los agujeros negros son entonces regiones espaciales aisladas gravitacionalmente, en el sentido de que ninguna señal en forma de luz o partı́culas masivas puede llevar información sobre su naturaleza y estado al exterior de dichas regiones. El concepto clave aquı́ es la información. Durante las tres últimas décadas se han revelado lazos profundos entre la información fı́sica y la naturaleza de los agujeros negros, cuyas consecuencias van más allá de lo que ha sido deducido de los axiomas de la teorı́a de la información y tienen gran paralelismo con el tratamiento termodinámico de estos paradigmas astrofı́sicos. El presente documento pretende hacer un estudio de la teorı́a termodinámica para agujeros negros y los diferentes avances que ha sufrido a lo largo de las últimas décadas. El documento se divide en dos partes más una conclusión. La primera parte trata inicialmente las principales caracterı́sticas de los agujeros negros, desde el papel que cumple la relatividad general, pasando por el proceso de colapso y la geometrı́a del espacio-tiempo en presencia de un agujero negro; y finalmente, estudiando los diferentes teoremas que llevaron a la primera conexión con la termodinámica antes del descubrimiento de Hawking de la radiación por agujeros negros. La segunda parte, por otro lado, empieza describiendo este nuevo fenómeno y algunas de sus consecuencias, como la definición exacta de entropı́a de un agujero negro y la segunda ley generalizada; consecuencias que dan paso finalmente a la relación con la teorı́a de información cuántica y el planteamiento de los diferentes lı́mites entrópicos. Por último, se resumen los resultados más importantes y se concluye, planteando problemas actuales de la teorı́a.. ii.

(4) Índice general Agradecimientos. I. Prefacio. II. I. 1. Agujeros negros y termodinámica. 1. Defectos del tejido espacio-temporal 1.1. Un acercamiento histórico . . . . . . . . . . 1.2. El papel de la Relatividad General . . . . . 1.2.1. Movimiento de partı́culas de prueba . 1.2.2. Campos gravitacionales esféricamente 1.3. Generalidades sobre agujeros negros . . . . . 1.3.1. Horizonte de eventos . . . . . . . . . 1.3.2. Singularidades . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Esfera fotónica . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Aforismo de Wheeler . . . . . . . . . 2. Colapso gravitacional y geometrı́a 2.1. El destino final de las estrellas . . 2.2. Agujero negro de Schwarzschild . 2.3. Agujeros negros rotantes . . . . . 2.3.1. Métrica de Kerr . . . . . . 2.3.2. Observadores estacionarios 2.3.3. Métrica de Kerr-Newman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en geometrı́a de Kerr . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. 3. La conexión con la termodinámica 3.1. Teorema de “no-cabello” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Cálculo de áreas para agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Primera Ley Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Teorema del área y entropı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Transformaciones de agujeros negros y masa irreducible. iii. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. 2 2 3 5 7 8 9 9 10 10. . . . . . .. 11 11 12 13 15 16 17. . . . . .. 19 20 20 21 23 23.

(5) ÍNDICE GENERAL. iv. 3.4.2. La relación entre área y entropı́a . . . . . . . . . . . . . . . . .. II. Radiación de Hawking: entropı́a e información. 4. El descubrimiento de Hawking 4.1. Segunda Ley Generalizada . . . . . . . . . . . 4.2. Emisión de partı́culas por agujeros negros . . 4.3. Un modelo sencillo para radiación de Hawking 4.4. La paradoja de información . . . . . . . . . .. 24. 28 . . . .. 29 31 32 34 36. 5. Lı́mites entrópicos y la segunda ley 5.1. Información y entropı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. El principio holográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. El lı́mite universal de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39 39 41 43. III. 47. Conclusión. 6. Conclusión. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 48.

(6) Parte I Agujeros negros y termodinámica. 1.

(7) Capı́tulo 1 Defectos del tejido espacio-temporal 1.1.. Un acercamiento histórico. El concepto de un cuerpo tan masivo que ni siquiera la luz podı́a escapar de su atracción gravitacional fue propuesto por el geólogo John Michell en un artı́culo de 1784 enviado a Henry Cavendish y publicado por la Royal Society; en él decı́a: “Si el semidiámetro de una esfera con la misma densidad del Sol excediera el de éste en una proporción de 500 a uno, un cuerpo cayendo desde una altura infinita hacia ella adquirirı́a en su superficie una velocidad mayor a la de la luz, y por consiguiente, suponiendo que la luz es atraı́da por la misma fuerza en proporción a su vis inertiae con otros cuerpos, toda luz emitida por tal cuerpo serı́a regresada hacia él por su propia gravedad.”[1] El análisis de Michell se basa en el concepto de velocidad de escape, que puede deducirse de la Ley de Gravitación de Newton. Pero esta ley asume un par de masas, no una sola. Ası́ que cualquier análisis basado en velocidad de escape asume una masa en reposo (vis inertiae) diferente de cero para los fotones, lo cual sabemos que no es verdad. Por otro lado, el matemático Pierre-Simon Laplace promovió la misma idea en las primeras ediciones de su libro Exposition du système du Monde. Sin embargo, la idea de estas “estre-llas oscuras” fue muy ignorada durante el siglo XIX, y no fue retomada hasta las primeras décadas del siglo posterior. En 1915, Albert Einstein desarrolló su teorı́a de gravedad: la Relatividad General, habiendo ya predecido que la gravedad influenciaba la luz. Unos pocos meses después, Karl Schwarzschild dio la solución para el campo gravitacional de una masa esférica, mostrando la posible existencia de un cuerpo con las caracterı́sticas de un agujero negro; sin embargo, este resultado no se entendió muy bien en ese tiempo, incluso Schwarzschild pensaba que no tenı́a sentido fı́sico.. 2.

(8) CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL. 3. En 1930, el astrofı́sico Subrahmanyan Chandrasekhar argumentó que, de acuerdo con la relatividad general, un cuerpo no radiante con más de 1,4 masas solares (el lı́mite de Chandrasekhar), colapsarı́a, ya que no habı́a mecanismo conocido que lo evitara. Sus argumentos se oponı́an a los de Arthur Eddington quien creı́a “que deberı́a existir una ley de la Naturaleza que evitara que la estrella se comportara de esta manera absurda”[2]. Y tenı́a razón en cierto modo: una enana blanca con masa un poco por encima del lı́mite de Chandrasekhar colapsarı́a en una estrella neutrónica. Pero en 1939, Robert Oppenheimer publicó artı́culos (con diversos coautores) que predecı́an que estrellas por encima de tres masas solares (el lı́mite Tolman-Oppenheimer-Volkoff) colapsarı́an en agujeros negros por las razones dadas por Chandrasekhar. Los agujeros negros y el problema del colapso gravitacional fueron generalmente ignorados hasta los años sesenta. Sin embargo, a finales de la década de 1950, J. A. Wheeler y sus colaboradores empezaron una investigación seria sobre el problema del colapso. Wheeler propuso el término “agujero negro” en 1968. Roy Kerr descubrió en 1963 una familia de soluciones exactas (sin carga eléctrica) a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacı́o. La generalización a fuentes cargadas fue encontrada al poco tiempo por E. Newman et al. como solución a las ecuaciones de campo de Einstein-Maxwell (1965). Hoy en dı́a sabemos que la geometrı́a de KerrNewman descrita por estas soluciones da una descripción única y completa de los campos electromagnético y gravitacional externos a un agujero negro estacionario. Un gran número de propiedades importantes de los agujeros negros fueron descubiertas y muchos poderosos teoremas probados durante este periodo. El descubrimiento de cuásares en 1963, de púlsares en 1968, y fuentes compactas de rayos X en 1962 ayudaron a motivar el intenso estudio teórico sobre agujeros negros. Observaciones de la fuente binaria de rayos X, Cygnus X-1, a comienzos de los setentas dieron la primera evidencia plausible de que los agujeros negros podı́an existir.. 1.2.. El papel de la Relatividad General. La teorı́a general de la relatividad, desarrollada por Einstein, es de suma importancia en nuestro estudio de agujeros negros, ya que estos son precisamente soluciones estables a las ecuaciones de Einstein: la relatividad general requiere la existencia de agujeros negros. Por esta razón, repasaremos algunos aspectos fundamentales de la teorı́a que resultarán de gran ayuda a lo largo de la disertación. La relatividad general es una teorı́a relativista de gravitación; en ella la gravedad ya no es una fuerza sino la que refleja la curvatura del espacio-tiempo. Para entender esto un poco mejor, miremos los problemas que surgen al intentar “relativizar” la teorı́a newtoniana. La gravitación newtoniana puede ser descrita como una teorı́a de campo escalar que satisface la ecuación de Poisson ∇2 Φ = 4πGρ0 .. (1.1).

(9) CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL. 4. Pero la relatividad nos enseña que todas las formas de energı́a son equivalentes a masa, ası́ que las fuentes del campo gravitacional en una teorı́a relativista de gravitación serı́an todas las formas de energı́a, y no sólo ρ0 . Ası́ que esperamos una teorı́a relativista que envuelva ecuaciones diferenciales no lineales para el campo gravitacional F (g) ∼ GT,. (1.2). donde g representa el campo gravitacional, que se reduce a Φ en el lı́mite de campo débil, F es un operador diferencial no lineal, que se reduce a ∇2 en el lı́mite de campo débil, y T es una cantidad que describe todas las formas no gravitacionales de energı́a, con ρ0 como su término dominante en el lı́mite no relativista. Una de las grandes ideas de Einstein fue hacer de la relatividad general una teorı́a geométrica de gravitación. El espacio-tiempo, por ejemplo, está representado por una variedad tetradimensional (“superficie”), donde un evento corresponde a un punto en él, y la geometrı́a de esta superficie curva está descrita completamente por el llamado tensor métrico gαβ , que se puede representar por medio del elemento de lı́nea (intervalo o distancia entre dos eventos en el espacio-tiempo) ds2 = gαβ (xγ ) dxα dxβ .. (1.3). Un caso especial es la métrica de Minkowski1 ηαβ usada en relatividad especial ds2 = −dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 ;. (1.4). las métricas más generales pueden reducirse a esta mediante una buena escogencia de marco de referencia, evaluando la métrica en la vecindad de un punto fijo: ds2 = [ηαβ + O (|x|2 )] dxα dxβ , estos marcos especiales son conocidos como marcos inerciales locales. Como se dijo, Einstein propuso que cada espacio-tiempo curvo representaba un campo gravitacional particular. Ası́ pues, al escribir las ecuaciones fı́sicas no-gravitacionales en un espacio-tiempo como este, en lugar del espacio-tiempo de Minkowski (1.4), automáticamente se toman en cuenta los efectos de la gravedad. Esto es conocido como el principio de equivalencia de Einstein, quien tuvo esta idea revolucionaria de la universalidad de la caı́da libre: todos los objetos que caen libremente en un campo gravitacional dado, desde posiciones y velocidades iniciales idénticas, se mueven a lo largo de lı́neas de mundo idénticas, sin importar las diferencias en estructura y composición [3]. Para terminar, falta especificar la manera como la distribución de masa-energı́a determina la geometrı́a, gαβ , por medio de una ecuación (o sistema de ecuaciones) de la forma (1.2). Las famosas ecuaciones de campo de Einstein nos dan esta relación Gαβ = 8πT αβ , 1. (1.5). De ahora en adelante se usarán unidades geometrizadas, esto es c = G = 1, a menos de que se indique lo contrario..

(10) CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL. 5. donde Gαβ , el tensor de Einstein, es un operador no lineal de segundo orden actuando sobre gαβ . El término de la fuente es el tensor de energı́a-esfuerzos no-gravitacional. Es importante notar que esta complicada ecuación se reduce a la ecuación de Poisson (1.1) en el lı́mite newtoniano. Ahora se estudiarán dos temas de interés: el movimiento de partı́culas de prueba en presencia de un campo gravitacional y los campos con simetrı́a esférica que nos conectarán con la primera y más fundamental solución a las ecuaciones de campo2 .. 1.2.1.. Movimiento de partı́culas de prueba. Una partı́cula de prueba es una idealización de un objeto material. Se supone pequeña (no perturba el espacio-tiempo a su alrededor), sin carga (no responde a fuerzas electromagnéticas), esférica (no torques), entre otras caracterı́sticas. Simplemente se mueve libremente en el campo gravitacional. En relatividad especial (sin campos gravitacionales), las partı́culas de prueba se mueven con velocidad uniforme. Podemos obtener sus ecuaciones de movimiento desde un principio variacional que extremice la distancia (intervalo) a lo largo de la lı́nea de mundo Z δ ds = 0. (1.6) Para verificar esto, escribimos el integrando en la forma ds = −ηαβ ẋα ẋβ. 1/2. dλ,. (1.7). donde ẋα ≡ dxα /dλ. Aquı́ λ es algún parámetro a lo largo de la lı́nea de mundo. La expresión (1.7) para ds es invariante bajo un cambio de parámetro λ → λ(λ0 ). El lagrangiano para la ec. (1.6) es entonces L = −ηαβ ẋα ẋβ. 1/2. .. (1.8). y ası́, las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange obtenidas de la ec. (1.6) son simplemente   ∂L d ∂L = . (1.9) α dλ ∂ ẋ ∂xα El lado derecho de la ecuación es cero, ya que L es independiente de xα . Obteniendo entonces 1 dL ηαβ ẍβ − ηαβ ẋβ = 0. (1.10) L dλ Haciendo un cambio de parámetro, podemos hacer L constante a lo largo de la curva, donde el nuevo parámetro se conoce como parámetro afı́n. En particular, se puede parametrizar la lı́nea de mundo de una partı́cula por la longitud s sobre la curva, 2. Para profundizar más sobre tópicos en relatividad general ver por ejemplo [4, 5, 6]..

(11) CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL. 6. o simplemente el tiempo propio denotado τ . Por esto, el segundo término en (1.10) desaparece, quedando ηαβ ẍβ = 0. ⇒. ẍγ =. d2 xγ = 0, dτ 2. (1.11). que es precisamente la ecuación para una partı́cula con velocidad uniforme en movimiento rectilı́neo. Geométricamente, las curvas de longitud extremal son llamadas geodésicas. La idea de hacer los cálculos anteriores para relatividad especial es que podemos llevarlos inmediatamente a relatividad general. Por el principio de equivalencia, la ec. (1.6) debe ser un principio variacional para el movimiento de partı́culas de prueba en relatividad general: la lı́nea de mundo de una partı́cula libre de fuerzas externas es un tipo particular de geodésica, o en otras palabras, las partı́culas libres se mueven a lo largo de geodésicas en el espacio-tiempo. Ahora, el nuevo lagrangiano serı́a  1/2 L = −gαβ (xγ ) ẋα ẋβ , (1.12) ası́ que obtenemos de la ec. (1.9)3    1 1 1 d β γ β gαβ ẋ − gγβ,α ẋ ẋ =0 L dλ L 2 1 d gαβ − gγβ,α ẋγ ẋβ = 0 gαβ ẍβ + ẋβ dλ 2 1 gαβ ẍβ + gαβ,γ ẋγ ẋβ − gγβ,α ẋγ ẋβ = 0. 2. (1.13). Ahora escribimos el segundo término de la forma gαβ,γ ẋβ ẋγ =. 1 (gαβ,γ + gαγ,β ) ẋβ ẋγ , 2. (1.14). de modo que la ec. (1.13) queda (multiplicando por el tensor métrico inverso g αβ ) ẍα + Γαβγ ẋβ ẋγ = 0, donde. (1.15). 1 αλ g (gλβ,γ + gλγ,β − gγβ,λ ) , (1.16) 2 componentes conocidas con el nombre de sı́mbolos de Christoffel. La ecuación (1.15) es la forma final de la ecuación de la geodésica en relatividad general. Nótese cómo se satisface el principio de equivalencia: en un marco inercial local, se pueden escoger coordenadas tales que gαβ,γ = 0 (los sı́mbolos de Christoffel son cero). Ası́ que el movimiento de la partı́cula en tal marco es rectilı́neo y uniforme. Γαβγ ≡. 3. Asumimos una parametrización afı́n, de tal modo que L es constante..

(12) CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL. 7. Estas ecuaciones halladas son ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, presentándose como vimos, en la forma de las ecuaciones de movimiento de EulerLagrange. Sin embargo, también pueden presentarse como un conjunto de ecuaciones acopladas de primer orden, como lo son las ecuaciones de Hamilton. Esta vez usamos el principio variacional que extremice la energı́a de la curva Z 1 E= gαβ ẋα ẋβ dλ, (1.17) 2 y definimos el hamiltoniano de la forma 1 gαβ ẋα ẋβ 2 1 = pα g αβ gβγ ẋγ 2 1 = g αβ pα pβ . 2. H =. (1.18). donde pα = gαβ ẋβ , para determinado parámetro λ. Con este hamiltoniano podemos también usar las ecuaciones de Euler-Lagrange y recuperar la ecuación de la geodésica (1.15), pero como dijimos, puede reexpresarse como ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, tomando la forma de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi al introducir variables independientes adicionales, como se verá a continuación ∂H = g αβ pβ , ∂pα 1 ∂H ṗα = − α = − g βγ,α pβ pγ . ∂x 2. ẋα =. (1.19) (1.20). Ası́, podemos entender las geodésicas como flujos de campos vectoriales hamiltonianos definidos en el espacio cotangente de la variedad4 .. 1.2.2.. Campos gravitacionales esféricamente simétricos. Una métrica esféricamente simétrica puede depender de las coordenadas temporal y radial, y también de los ángulos (especı́ficamente del ángulo sólido dΩ2 ≡ dθ2 + sin2 θdφ2 ). Esto es, en su forma más general ds2 = −A(t, r) dt2 + B(t, r) dr2 + 2C(t, r) dt dr + D(t, r) dΩ2 . 4. (1.21). En geometrı́a diferencial, se puede asignar a cada punto P de una variedad diferenciable un espacio vectorial llamado espacio cotangente a P. Generalmente, el espacio cotangente está definido como el espacio dual del espacio tangente a P..

(13) CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL. 8. Ahora, sin pérdida de generalidad, podemos cambiar r por D1/2 (t, r) en (1.21) ds2 = −E(t, r) dt2 + F (t, r) dr2 + 2G(t, r) dt dr + r2 dΩ2 ,. (1.22). con relaciones entre E, F y G y A, B y C. Podemos eliminar ahora el coeficiente dt dr, cambiando la coordenada t por medio de un diferencial perfecto dt0 = H(t, r) [E(t, r) dt − G(t, r) dr] ,. (1.23). la sustituimos en (1.22) y obtenemos (ignorando las primas) ds2 = −E −1 (H −1 dt + G dr)2 + F dr2 + 2GE −1 (H −1 dt + G dr) dr + r2 dΩ2 H −2 2 G2 2 dt + dr + r2 dΩ2 =− E E = −e2Φ dt2 + e2Λ dr2 + r2 dΩ2 , (1.24) donde e2Φ ≡ H −2 /E y e2Λ ≡ G2 /E son funciones de r y t, y se escogen de esta forma por conveniencia. Un resultado importante de la gravitación newtoniana es que en cualquier punto fuera de una distribución esférica de masa, el campo gravitacional sólo depende de la masa interior a ese punto. Más aún, incluso si la masa interior está moviéndose con simetrı́a esférica, el campo afuera es constante en el tiempo (simplemente Φ). Este resultado es también cierto en relatividad general, donde se conoce como teorema de Birkhoff : el único campo gravitacional esféricamente simétrico en el vacı́o es estático. Una definición más profunda de este teorema y sus consecuencias se estudiarán más adelante.. 1.3.. Generalidades sobre agujeros negros. Como vimos, la relatividad general ve la masa como el factor que deforma el espaciotiempo, y es la forma del espacio-tiempo tiempo la que determina el movimiento de la materia a través del espacio. Para objetos mucho menos densos que los agujeros negros, estas caracterı́sticas resultan en algo similar a las leyes gravitacionales de Newton: los objetos con masa se atraen entre sı́, pero es posible definir una velocidad de escape que permita a un objeto de prueba abandonar el campo gravitacional de un objeto mayor. Para objetos tan densos como los agujeros negros, éste ya no es el caso. El esfuerzo requerido para abandonar el agujero se vuelve infinito, sin una velocidad de escape definida. Los agujeros negros, en general, tienen ciertos aspectos caracterı́sticos que definiremos a continuación:.

(14) CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL. 1.3.1.. 9. Horizonte de eventos. Es la frontera de la región de la cual ni siquiera la luz puede escapar. El horizonte de eventos no es una superficie sólida, y no obstruye o disminuye la velocidad de la materia o radiación que esté viajando hacia la región en el interior de él. El horizonte es la caracterı́stica que define un agujero negro: es negro porque ni la luz ni ninguna otra radiación puede escapar de él. Ası́ que el horizonte esconde lo que sea que pase en su interior y sólo podemos calcular lo que sucede usando la mejor teorı́a de la que dispongamos, que en la actualidad es la relatividad general. El campo gravitacional producido por un agujero negro (que se caracteriza por este horizonte de eventos) es idéntico al campo exterior a cualquier otro objeto esféricamente simétrico de la misma masa. La popular concepción de los agujeros negros como objetos succionadores es falsa: una partı́cula puede mantener una órbita alrededor de un agujero negro indefinidamente mientras esté por fuera del horizonte. Más adelante veremos que para agujeros negros rotantes existen otros horizontes además del horizonte de eventos.. 1.3.2.. Singularidades. De acuerdo con la relatividad general, la masa de un agujero negro está completamente comprimida en una región con volumen cero, lo cual implica que su densidad y atracción gravitacional sean infinitas, al igual que la curvatura del espacio-tiempo que causa. Estos valores infinitos causan que la mayorı́a de ecuaciones fı́sicas, incluyendo las de la relatividad general, dejen de trabajar en el centro de un agujero. Ası́ que los fı́sicos denominan a la región de volumen cero e infinitamente densa en el centro de un agujero negro como singularidad. Sin embargo, existe una incertidumbre importante con respecto a esta descripción, hace falta una teorı́a más completa que no permita objetos de tamaño cero. En el presente, no se tiene una teorı́a establecida que combine mecánica cuántica con relatividad (llamada gravedad cuántica), pero se cree que evitarı́a las singularidades, reemplazándolas por nuevas condiciones fı́sicas increı́blemente extremas. Las singularidades que surgen en las soluciones a las ecuaciones de Einstein están normalmente escondidas tras horizontes de sucesos, por lo tanto no pueden ser observadas desde el resto del universo. Las singularidades que no lo están se llaman comúnmente “singularidades desnudas”. Roger Penrose en 1969 propuso lo que se conoce como la hipótesis de censura cósmica que dice que no hay las singularidades desnudas en relatividad general: toda singularidad está tras un horizonte de sucesos sin posibilidad de sondearla (la singularidad está “desconectada causalmente” del mundo exterior). Pese a esto, existen diversas dificultades para formalizar la hipótesis, empezando por los problemas existentes con la noción de singularidad..

(15) CAPÍTULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL. 1.3.3.. 10. Esfera fotónica. La esfera fotónica de un agujero negro no-rotante es una frontera esférica de grosor cero, tal que los fotones que se mueven tangentes a la esfera queden atrapados en una órbita circular. Ningún fotón durará mucho en una órbita ası́, por dos razones. Primero, porque puede interactuar con materia de la vecindad (siendo absorbida o dispersada). Segundo, porque la órbita es dinámicamente inestable, pequeñas desviaciones de una trayectoria perfectamente circular se convertirán rápidamente en desviaciones cada vez mayores, provocando el escape o caı́da del fotón dentro del agujero. Otros objetos compactos como las estrellas de neutrones pueden tener esféras fotónicas. Esto se debe a que la luz “capturada” por una esfera fotónica no atraviesa el radio que formarı́a el horizonte de sucesos si el objeto fuera un agujero negro de la misma masa, por lo tanto su comportamiento no depende de la presencia del horizonte.. 1.3.4.. Aforismo de Wheeler. El teorema de “no-cabello” establece que la solución más general de un agujero negro estacionario depende únicamente de tres parámetros internos independientes: la masa, el momento angular y la carga eléctrica. Toda otra información sobre el estado inicial es radiada en forma de ondas electromagnéticas y gravitacionales durante el colapso. Esta teorı́a toma su nombre de un comentario del famoso astrofı́sico John Wheeler, quien dijo que “los agujeros negros no poseen cabello.” En capı́tulos posteriores veremos la importancia de este teorema como primera conexión de la teorı́a de agujeros negros con la teorı́a termodinámica..

(16) Capı́tulo 2 Colapso gravitacional y geometrı́a La geometrı́a de un agujero negro está determinada por el estado de la estrella moribunda justo antes del colapso, es decir, por el valor de los tres parámetros antes mencionados en el teorema de “no-cabello.” De esta manera, podemos clasificar los agujeros negros dependiendo de la solución exterior de la estrella antes de colapsar, según su momento angular y su carga eléctrica: No Rotante No Cargado Schwarzschild Cargado Reissner-Nordström. Rotante Kerr Kerr-Newman. Cuadro 2.1: Tipos de agujeros negros. No se espera que se formen agujeros negros con carga eléctrica significativa, debido a que la repulsión electromágnetica que se resiste a la compresión de una masa cargada eléctricamente es 40 órdenes de magnitud mayor que la atracción gravitacional que comprime la masa. Por otro lado, se espera que casi todos los agujeros negros sean rotantes, ya que las estrellas de las que se formaron rotan. De hecho, se espera que roten muy rápido, ya que conservan el momento de la estrella inicial pero concentrado en un radio mucho más pequeño. Empezaremos entonces con un breve recuento sobre el proceso de colapso gravitacional al que están sujetas las estrellas.. 2.1.. El destino final de las estrellas. Una estrella normal es estable mientras las reacciones nucleares en ella provean la presión térmica (o cuántica) para contrarrestar la gravedad. Pero la combustión nuclear convierte gradualmente el hidrógeno del núcleo de la estrella en helio, y para 11.

(17) CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA. 12. núcleos masivos (M > 5M ) éste se transforma en carbono, y ası́ en elementos más pesados hasta alcanzar el grupo del hierro. El núcleo se contrae a medida que cada tipo de combustible se acaba, ya que pierde presión temporalmente hasta que el calor que resulta de la contracción dispara la siguiente reacción. Debido a que la nucleosı́ntesis de núcleos pesados a partir de livianos aumenta la masa promedio de las partı́culas, esta contribuye a la pérdida de presión. Al final, la desintegración endotérmica de los núcleos del grupo del hierro (los más fuertemente ligados) precipita el colapso del núcleo estelar. Cálculos de la evolución estelar [7] muestran que estrellas con masas iniciales entre 20 y 30M dejan núcleos de más de 1,8M . Estos colapsan rápidamente a “agujeros negros masivos” (M > 1,8M ) sin mostrar efectos ópticos, pero con una emisión intensa de neutrinos debida a la neutronización. Para masas iniciales entre 18 y 20M la implosión del núcleo (acompañada también por neutronización) genera una onda de choque que puede arrancar parte de la estrella (supernova tipo II). Queda un núcleo de masa 1,5M < M < 1,8M momentáneamente rico en neutrones que colapsa en un “agujero negro poco masivo”. Estrellas con masas iniciales entre 10 y 18M aparecerán formando supernovas que dejan remanentes de estrellas neutrónicas. El destino de estrellas con un rango de masa inicial ∼ 35 − 80M es incierto.. 2.2.. Agujero negro de Schwarzschild. En relatividad general, la solución de Schwarzschild (o vacı́o de Schwarzschild) describe el campo gravitacional exterior a una masa esférica y no rotante como una estrella, un planeta o un agujero negro. También es una buena aproximación al campo gravitacional de un cuerpo que rota lentamente como la Tierra o el Sol. Según la clasificación vista, una agujero negro de Schwarzschild (o agujero estático) no posee carga ni momento angular; su geometrı́a está dada por la métrica de Schwarzschild, y no puede ser distinguido de otro agujero estático excepto por su masa. Un agujero negro de Schwarzschild se caracteriza por el área que lo rodea, su horizonte de eventos, situado en el radio de Schwarzschild (algunas veces referido históricamente como radio gravitacional ). Cualquier objeto no rotante y sin carga con un radio menor a su radio de Schwarzschild formarı́a un agujero negro. Como veremos a continuación, la solución de las ecuaciones de campo de Einstein es válida para cualquier masa M , ası́ que en principio podrı́an existir agujeros negros de este tipo de cualquier masa si la naturaleza lo permitiese. La métrica de Schwarzschild, en coordenadas de Schwarzschild, está dada por   −1  2M 2M 2 2 dt + 1 − dr2 + r2 dΩ2 , (2.1) ds = − 1 − r r que es independiente del tiempo y con simetrı́a esférica (ver sección 1.2.2), dos aspectos que determinarán el movimiento de partı́culas de prueba alrededor de cuerpos con esta.

(18) CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA. 13. geometrı́a; notar por ejemplo, según la ecuación (1.20), que las componentes p0 y pφ se conservan. Estas simetrı́as nos conectan con el ya mencionado teorema de Birkhoff, que dice que cualquier solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo en el vacı́o debe ser estacionaria y asintóticamente plana1 . Esto implica que la solución exterior esté dada por la métrica de Schwarzschild (una demostración del teorema se puede encontrar en [5, 8]). La conclusión de que el campo exterior debe ser también estacionario es bastante sorprendente y tiene una consecuencia interesante. Suponga una estrella esféricamente simétrica de masa fija que sufre pulsaciones esféricas. Por consiguiente, el teorema nos dice que la geometrı́a exterior debe ser la de Schwarzschild; el único efecto de la pulsación es cambiar la ubicación de la superficie estelar. Esto implica que estrellas que pulsen esféricamente no pueden emitir ondas gravitacionales. Ahora, el radio de Schwarzschild2 está ubicado en rs = 2M . Al reemplazar este valor en la métrica (2.1), vemos como el término temporal se va a cero, lo que le da el nombre de lı́mite estático al radio de Schwarzschild: en su interior las partı́culas no pueden estar en reposo, estarán supeditadas a movimiento perpetuo; mientras que el término radial genera una singularidad, en este caso coordenada, ya que al escoger un conjunto apropiado de coordenadas se puede demostrar que la métrica está bien definida en el radio de Schwarzschild.. 2.3.. Agujeros negros rotantes. Los agujeros negros rotantes se forman durante el colapso gravitacional de estrellas rotantes masivas (o de un conjunto de estrellas con momento angular promedio diferente de cero). Debido a que las estrellas (y demás cuerpos celestes) rotan, se espera que los agujeros negros presentes en la naturaleza sean rotantes. Los agujeros negros rotantes comparten muchas caracterı́sticas con aquellos no rotantes: incapacidad de la luz o de cualquier otro objeto de escapar desde el horizonte de eventos, discos de acrecimiento, etc. Pero la relatividad general predice que las rotaciones rápidas de un cuerpo masivo producen otras distorsiones del espacio-tiempo aparte de las descritas en la sección anterior, y son estos efectos adicionales los que hacen la gran diferencia entre agujeros rotantes y no rotantes. Dos horizontes de eventos. Si dos agujeros negros rotantes tienen la misma masa pero diferente velocidad angular, el horizonte de eventos interior del agujero más rápido tendrá un radio mayor; y su horizonte exterior, un radio menor que en el agujero más lento. En el caso más extremo los dos horizontes tendrı́an radio cero, por lo tanto la región escondida por ellos tendrı́a tamaño cero y dejarı́a de ser un agujero negro para pasar a ser una singularidad desnuda. Según la hipótesis de Penrose (sección 1.3.2), 1. Debe tender a la métrica de Minkowski a distancias muy alejadas de la fuente gravitacional. Puede deducirse simplemente a partir de la expresión para velocidad de escape, igualando esta velocidad a la velocidad de la luz. 2.

(19) CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA. 14. debe existir algún principio sin descubrir que prevenga la existencia de sigularidades desnudas, y que por lo tanto evite que un agujero negro rote tan rápido como para crear una. Dos esféras fotónicas. La relatividad general predice la existencia de dos esferas fotónicas, una para cada horizonte de eventos. Un rayo de luz viajando en dirección opuesta al movimiento de rotación del agujero orbitará circularmente en la esfera fotónica exterior; mientras que un rayo de luz que viaja en la misma dirección tendrá una órbita circular en la esfera interior. Este rayo se partirá entonces en dos; ambas partes caerán finalmente al agujero negro. Ergosfera. Un agujero negro rotante tiene un horizonte de eventos análogo al radio de Schwarzschild, pero tiene una superficie adicional exterior a este lı́mite llamada ergosuperficie, que puede ser caracterizada intuitivamente como la esfera espacio-temporal que es arrastrada rotacionalmente a la velocidad de la luz. En el interior de esta esfera (y por fuera del horizonte), la velocidad de arrastre es mayor a la velocidad de la luz3 , esta región es la conocida como ergosfera. Ası́ que dentro de ella, ningún observador o partı́cula se puede mantener en una órbita no rotante, sino que está forzado a ser “co-rotado.”. Figura 2.1: Vista esquemática de un agujero negro rotante. La esfera interior es el horizonte de eventos, y es la frontera interior de una región llamada ergosfera (región sombreada). La superficie esferoidal o lı́mite estático, que toca al horizonte en los polos, es la frontera exterior de la ergosfera. Los objetos y la radiación pueden mantenerse en órbita en el interior de la ergosfera 3. La relatividad general prohibe que objetos materiales se muevan con velocidades mayores a c, pero permite que regiones de espacio-tiempo se muevan más rápido que la luz con respecto a otras regiones..

(20) CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA. 15. sin caer al centro. Pero no pueden levitar (permanecer estacionarios con respecto a un observador externo) porque aquello requirirı́a que se movieran hacia atrás con velocidad mayor a la velocidad de la luz relativa a sus propias regiones de espacio-tiempo, que se mueven más rápido que la luz con respecto al observador externo. Por otro lado, cabe la posibilidad de escapar de la ergosfera. Debido a que las partı́culas que caen en ella son forzadas a rotar más rápidamente, estas ganan energı́a; el proceso neto implica la emisión de partı́culas energéticas por el agujero negro a costa de su propia energı́a rotacional. La posibilidad de extraer energı́a de rotación de un agujero negro rotante fue propuesta por primera vez por Roger Penrose en 1969 y es llamada entonces proceso Penrose. Si una gran masa de objetos escapan de esta manera, el agujero rotarı́a más lentamente y podrı́a llegar a parar en algún momento.. 2.3.1.. Métrica de Kerr. Un agujero negro rotante es entonces una solución a las ecuaciones de campo de Einstein. Esta solución, la métrica axialmente simétrica del espacio-tiempo asociado a una masa puntual con momento angular y vacı́o en el exterior, fue obtenida por Roy Kerr en 1963 y se conoce como métrica de Kerr. La solución en el vacı́o de Kerr, escrita en coordenadas de Boyer-Lindquist4 , está dada entonces por   Σ 2M r 4aM r sin2 θ 2 dt dφ + dr2 + Σ dθ2 + ds = − 1 − dt2 − Σ Σ ∆   2 2 2M r(r + a ) (2.2) ∆+ sin2 θ dφ2 , Σ donde Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ y ∆ ≡ r2 − 2M r + a2 . La masa del objeto rotante es M , y a describe la rotación del agujero negro, estando relacionada con el momento angular J de la forma a ≡ J/M . Cuando este parámetro de rotación (llamado frecuentemente momento angular especı́fico) tiene valor cero, no hay rotación y recuperamos la solución de Schwarzschild. El caso a = M corresponde a un cuerpo masivo rotando maximalmente 5 . Algunos detalles importantes de la métrica de Kerr bueden ser descubiertos cuando se escribe de la forma (2.2). Por ejemplo, el horizonte de eventos está ubicado donde el término radial grr diverge, es decir, en la superficie donde ∆ = 0 r2 − 2M r + a2 = 0 √ r ± = M ± M 2 − a2 ; 4. (2.3). Son una generalización de√las coordenadas usadas en la métrica de Schwarzschild, donde la coordenada r es reemplazada por r2 + a2 ; el parámetro a toma en cuenta los efectos rotacionales. 5 Rotación maximal se refiere al máximo valor de a para el cual un agujero negro puede existir, no el valor máximo de a que puede tener un objeto rotante masivo..

(21) CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA. 16. tomamos la raı́z positiva r+ como el radio del horizonte. Por otro lado, la ergosfera llega hasta la superficie donde 1 − 2M r/Σ = 0 (donde el término gtt se hace cero) r2 − 2M r + a2 cos2 θ = 0 √ r0 = M + M 2 − a2 cos2 θ,. (2.4). donde r0 define el radio del lı́mite estático6 .. 2.3.2.. Observadores estacionarios en geometrı́a de Kerr. Un observador estático en un campo gravitacional de Schwarzschild es uno que tenga r, θ y φ fijos. Estudiar este tipo de observadores es bastante útil para entender la métrica de Schwarzschild. En esta sección, generalizaremos el concepto para agujeros negros rotantes, introduciendo los observadores estacionarios, que están a r y θ fijos, pero que rotan con frecuencia angular constante Ω=. uφ dφ = 0. dt u. (2.5). La condición ~u · ~u = −1 nos da una ecuación más (los observadores siguen una lı́nea de mundo temporal) 2 2 − 1 = gtt u0 + 2gtφ u0 uφ + gφφ uφ 2   −1 = u0 gtt + 2Ωgtφ + Ω2 gφφ .. (2.6). La cantidad entre corchetes debe ser negativa. Como la componente gφφ en la ecuación (2.2) es positiva, esto es cierto solamente si Ω está entre las raı́ces de la ecuación cuadrática que se obtiene al igualar a cero la expresión entre corchetes. Por lo tanto, Ωmin < Ω < Ωmax , donde Ω max. min. 2 −gtφ ± gtφ − gtt gφφ = gφφ. 1/2 .. (2.7). Haciendo uso de esta ecuación, se calcularán los valores lı́mites de Ω justo sobre el horizonte de eventos. Los valores que necesitamos de la métrica podemos escribirlos de 6 Notar que el lı́mite estático es el mismo horizonte de eventos para un agujero negro de Schwarzschild..

(22) CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA. 17. la siguiente forma Σ − 2M r Σ ∆ − a2 sin2 θ =− Σ   2M r(r2 + a2 ) sin2 θ = ∆+ Σ   2M r(∆ + 2M r) = ∆+ sin2 θ, Σ. gtt = −. gφφ. (2.8). (2.9). y para el horizonte de eventos, tenemos ∆ = 0 y r = r+ , por lo cual podemos simplificar (2.8) y (2.9) aún más a2 sin2 θ Σ+ 2 2 sin2 θ + a2 ) 2 4M 2 r+ 2M r+ (r+ = = sin θ. Σ+ Σ+. gtt = gφφ. Finalmente, reemplazamos en la ecuación (2.7) q   2 2 sin4 θ − a2 sin2 θ 4M 2 r+ sin2 θ 2aM r+ sin2 θ ± 4a2 M 2 r+ ; Ω+ = 2 2M r+ (r+ + a2 ) sin2 θ. (2.10) (2.11). (2.12). simplificando encontramos la expresión deseada para la frecuencia angular uniforme que adquieren las partı́culas justo antes de penetrar el horizonte. Ω+ =. 2 r+. a . + a2. (2.13). Esta frecuencia es también una buena definición de la frecuencia de rotación del agujero negro en cuestión, ya que las partı́culas (u observadores) consideradas son estacionarias y su movimiento se debe únicamente al efecto de arrastre de la ergosfera, en este caso justo sobre el horizonte de eventos.. 2.3.3.. Métrica de Kerr-Newman. La métrica de Kerr-Newman es una solución a las ecuaciones de campo en relatividad general que describe la geometrı́a del espacio-tiempo en la región exterior de un agujero negro cargado, rotante y de masa M . El resultado obtenido por Newman representa entonces la solución estacionaria, axialmente simétrica y asintóticamente plana más general de las ecuaciones de campo en presencia de un campo electromagnético en cuatro dimensiones. Sin embargo, aunque.

(23) CAPÍTULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRÍA. 18. representa una generalización de la métrica de Kerr, no se considera muy importante para propósitos astrofı́sicos, ya que como se dijo anteriormente, no se espera encontrar agujeros negros con una cantidad importante de carga eléctrica. La expresión matemática para la métrica (en coordenadas de Boyer-Lindquist generalizadas) es ds2 = −. 2 sin2 θ  2  2 ∆ dt − a sin2 θd φ + r + a2 dφ − a dt + Σ Σ. Σ 2 dr + Σ dθ2 , ∆. (2.14). donde Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ y ∆ ≡ r2 − 2M r + a2 + Q2 (Q siendo la carga del agujero). Vemos cómo la métrica de Kerr-Newman se reduce a la métrica de Schwarzschild en el caso Q = a = 0; a la métrica de Reissner-Nordström en el caso no rotante a = 0; y a la métrica de Kerr en el caso sin carga Q = 0. Podemos reescribir (2.14) de la forma usual, obteniendo   2a sin2 θ 1 ∆ − a2 sin2 θ dt2 + ∆ − r2 − a2 dt dφ + Σ Σ 2   Σ 2 sin θ dr + Σ dθ2 + (r2 + a2 )2 − ∆ a2 sin2 θ dφ2 . ∆ Σ. ds2 = −. (2.15). Con la métrica escrita de esta forma, podemos aplicar el mismo método que usamos para encontrar las ecuaciones (2.3) y (2.4). El horizonte de eventos y el lı́mite estático para una agujero de Kerr-Newman tienen los siguientes radios respectivamente p (2.16) r+ = M + M 2 − Q2 − a2 p r0 = M + M 2 − Q2 − a2 cos2 θ. (2.17) Con respecto a lo obtenido con la solución de Kerr, lo único que cambia es el factor adicional correspondiente a la carga Q. Por lo tanto, la nueva métrica define un agujero negro únicamente cuando a2 + Q2 ≤ M 2 . Además, podemos hacer el mismo razonamiento que seguimos en la sección 2.3.2 para observadores estacionarios, pero usando las componentes de la métrica de KerrNewman en la ecuación (2.7) y con ∆ = 0. Como era de esperarse, el resultado es el mismo (ec. (2.13)), pero con r+ definido por la expresión (2.16). A pesar de que las métricas de Kerr y Kerr-Newman son soluciones válidas para las ecuaciones de campo de Einstein, se debe tener cuidado a la hora de distinguir entre la geometrı́a interior axialmente simétrica de ellas y la geometrı́a interior de un agujero negro que se forma por colapso, que probablemente no posee simetrı́a axial..

(24) Capı́tulo 3 La conexión con la termodinámica Los procesos que sigue un agujero negro están gobernados por las leyes fı́sicas que conocemos: relatividad general, electrodinámica de Maxwell, hidrodinámica, mecánica cuántica, y otras leyes para la fı́sica de la materia y la radiación. De estas leyes estándar, se pueden derivar ciertas “reglas” o “restricciones” que todo proceso para agujeros negros debe satisfacer. Estas reglas tienen un poder, elegancia y simplicidad que rivalizan y recuerdan el poder, elegancia y simplicidad de las leyes de la termodinámica. ¿Cómo se le puede dar a un agujero negro un tratamiento termodinámico? Mediante la termodinámica se logra una descripción exitosa de un sistema ya que este se puede describir con unos pocos parámetros: energı́a, volumen, magnetización, etc., por lo menos a una escala suficientemente grande. Hemos visto cómo un agujero negro puede describirse completamente con solo tres parámetros: M , Q y J; no hay necesidad de describir la materia que formó al agujero con lujo de detalles. Por esta razón, la termodinámica parece ser un paradigma apropiado para los agujeros negros. ¿Cuáles serı́an sus variables? La masa del agujero negro M , en el papel de la energı́a, es un parámetro tı́pico de la termodinámica. Sistemas termodinámicos cargados y rotantes son también conocidos, ası́ que se admiten Q y J. Pero para tener un conjunto completo de parámetros termodinámicos, se necesita además una entropı́a. Y es claro que la entropı́a de un agujero negro no puede identificarse con la entropı́a de la materia que lo formó (o la que ha caı́do en él), ya que esta, junto con la materia, se vuelve inobservable en el curso del colapso. En este capı́tulo, se exponen diversos teoremas y resultados que llevaron a hacer este vı́nculo entre agujeros negros y termodinámica, y al planteamiento de las leyes generalizadas de la termodinámica.. 19.

(25) CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA. 3.1.. 20. Teorema de “no-cabello”. En astrofı́sica, el teorema de “no-cabello” formula: “En teorı́a gravitacional estándar, la geometrı́a exterior del agujero negro más general está dada por la solución de KerrNewman con M , Q y J como únicos parámetros.”[10] Toda información adicional de la materia que formó al agujero o que cae en él, “desaparece” tras el horizonte de eventos y es por tanto permanentemente inaccesible a observadores externos. Por ejemplo, si se “construyeran” dos agujeros negros con la misma masa, carga eléctrica y momento angular, pero con un agujero hecho de materia ordinaria mientras el otro hecho de antimateria, serı́an completamente indistinguibles. ¿Cómo conocer estos tres parámetros? Hay dos posibilidades: un observador que presencia el colapso podrá medir directamente los parámetros, ya que estos son heredados directamente de la estrella moribunda (justo antes del colapso); si, en caso contrario, tenemos un agujero negro y no conocemos nada de la estrella que lo formó, podemos hacer uso de simples fenómenos fı́sicos para medirlos. La masa es observable, por ejemplo, al aplicar la tercera ley de Kepler a satélites en un campo gravitacional newtoniano a una gran distancia del agujero; la carga, con la fuerza de Coulomb que siente una carga de prueba lejana; hasta aquı́, se usan efectos newtonianos, pero en el caso del momento angular, se debe recurrir a un efecto puramente relativista conocido como efecto Lense-Thirring o de arrastre de marcos, que discutimos brevemente en la sección 2.3.2 para el caso de agujeros negros rotantes1 .. 3.2.. Cálculo de áreas para agujeros negros. Para las secciones posteriores será de gran utilidad conocer el área superficial de los horizontes de eventos para los diferentes tipos de agujeros negros, ya que esta dependerá exclusivamente de los tres parámetros M , Q y J, y proveerá de la primera gran conexión con la teorı́a termodinámica. Procederemos entonces a hacer los cálculos pertinentes para hallar el área de un agujero negro de Kerr-Newman (KN), ya que es el más general. Tomamos el elemento de lı́nea para KN, que está dado por la ecuación (2.15), y lo evaluamos para tiempo y distancia radial constantes (r = r+ , ∆ = 0), es decir sobre la superficie definida por el horizonte: ds02 = Σ+ dθ2 + 1. (r2 + a2 )2 sin2 θ dφ2 , Σ+. (3.1). El efecto se extiende para cualquier cuerpo rotante y fue derivado por primera vez por los fı́sicos austrı́acos J. Lense y H. Thirring. Predijeron que la rotación del objeto en cuestión alterarı́a el espaciotiempo de modo tal que arrastrarı́a un objeto cercano en la dirección de rotación..

(26) CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA. 21. donde Σ+ ≡ Σ(r+ ). Ahora, el área de cierta superficie en una geometrı́a dada, es ZZ  0  . (3.2) A= g 1/2 dθ dφ, g = det gαβ La cantidad g, usando (3.1) es simplemente g = (r2 + a2 )2 sin2 θ, y reemplazando esto en la integral del área obtenemos Z 2πZ π 2 2 2 A = (r + a ) sin2 θdθ dφ 0 0 2 = 4π r+ + a2   2 p 2 = 4π M + M 2 − a2 − Q2 + a .. (3.3). (3.4). Hemos hallado ası́ el área para el agujero negro com métrica de KN, y a partir de esta podemos calcular la de los agujeros menos generales. Los resultados se presentan en la tabla 3.1. h i √ 2 Kerr 4π M + M 2 − a2 + a2  2 p Reissner-Nordström 4π M + M 2 − Q2 Schwarzschild 16πM 2 Cuadro 3.1: Áreas del horizonte de eventos para diferentes agujeros negros.. 3.3.. Primera Ley Generalizada. El área que acabamos de hallar (ec. (3.4)), depende únicamente de los parámetros del teorema de no-cabello que discutı́amos con anterioridad, como una especie de ecuación de estado para agujeros negros. Si calculamos un diferencial de la forma dA = (∂A/∂M )dM + (∂A/∂Q)dQ + (∂A/∂J)dJ, esperamos poder compararlo con la primera ley termodinámica de conservación de energı́a. Primero, reescribimos A de la forma p A Q2 = M2 − + M M 2 − Q2 − J 2 M −2 , 8π 2. (3.5).

(27) CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA. 22. y diferenciando " # 2 2 −2  dA M + J M 1/2 = 2M + M 2 − Q2 − a2 dM − + 8π (M 2 − Q2 − a2 )1/2 # " a MQ dQ − dJ Q+ 1/2 (M 2 − Q2 − a2 ) (M 2 − Q2 − a2 )1/2 =2. M2 −. Q2 2. 1/2. + M (M 2 − Q2 − a2 ). (M 2 − Q2 − a2 )1/2 a dJ; (M 2 − Q2 − a2 )1/2. 1/2. dM − Q. M + (M 2 − Q2 − a2 ) (M 2 − Q2 − a2 )1/2. dQ − (3.6). 1/2. recordar A de la ecuación (3.4), y (M 2 − Q2 − a2 ). = r+ −M , obteniendo finalmente. dA A Qr+ a = dM − dQ − dJ. 8π 4π (r+ − M ) r+ − M r+ − M. (3.7). Por último, despejamos dM , que hará el papel de la energı́a termodinámica del sistema r+ − M 4πQr+ 4πa dA + dQ + dJ A  2A  A   r+ − M Qr+ a = dA + dQ + dJ. 2 2 2A r+ + a2 r+ + a2. dM =. (3.8). A partir de esta ecuación, definimos las siguientes cantidades r+ − M 2A Qr+ Φ= 2 r + + a2 a Ω= 2 , r + + a2. Θ=. (3.9) (3.10) (3.11). donde Φ es el potencial eléctrico en el horizonte del agujero, mientras que Ω es la frecuencia de rotación del agujero negro, que ya calculamos en la sección 2.3.2 (nótese que es el mismo resultado obtenido en (2.13)). Esta es entonces la forma análoga de la primera ley de la termodinámica, con Θ sin una interpretación fı́sica aún, dM = Θ dA + Φ dQ + Ω dJ.. (3.12). Si comparamos esto con dE = T dS +ΦdQ+ΩdJ, y si queremos que los agujeros negros puedan describirse termodinámicamente (o que por lo menos tengan una primera ley), tendrı́amos que identificar Θ dA ↔ TAN dSAN , la temperatura y entropı́a del agujero.

(28) CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA. 23. negro respectivamente. Por ahora asumiremos la entropı́a del agujero como una función que crece monótonamente con su área [9, 12] S = f (A) T dS = T f 0 (A)dA Θ T = 0 , f (A). (3.13). (3.14). con f 0 (A) = df /dA. El por qué de la escogencia de f (A) se verá en la siguiente sección.. 3.4.. Teorema del área y entropı́a. Un agujero negro exhibe una notable tendencia a incrementar su área cada vez que sufre una transformación. Esto fue notado por primera vez por Floyd y Penrose, en un ejemplo de la extracción de energı́a de un agujero rotante de Kerr por medio del proceso Penrose (sec. 2.3.1). Se sugirió entonces que el incremento del área era una caracterı́stica general de las transformaciones de agujeros negros. Por otro lado, Hawking [8] expuso y probó lo que se conoce como el teorema del área (o teorema de Hawking): cuando materia o radiación caen en un agujero negro, o varios agujeros colisionan y se fusionan, o colisionan y se dispersan, o en cualquier otro proceso que concierna agujeros negros, la suma de las áreas superficiales de todos los agujeros negros en cuestión nunca puede decrecer. A continuación desarrollaremos una demostración a este teorema desde un acercamiento muy diferente al usado por Hawking, pero con los mismos resultados.. 3.4.1.. Transformaciones de agujeros negros y masa irreducible. El razonamiento que usaremos fue desarrollado por Christodoulou [13, 14] de forma independiente y simultáneamente al planteamiento de Hawking. Consideremos un agujero negro de KN interactuando con la materia y campos adyacentes. Su área superficial está dada por (3.4). La interacción con la materia y los campos pueden cambiar M , Q y a de diferentes maneras; M puede inclusive decrecer (extracción de energı́a del agujero vı́a el proceso Penrose). Pero sin importar los cambios, nunca podrán reducir el área superficial A. Más aún, si alguno de estos cambios incrementa el área, ningún proceso futuro podrá reducirla a su valor inicial. De esta forma, podemos clasificar los procesos de agujeros negros en dos grupos: 1. Las transformaciones reversibles cambian M , Q o a (o combinaciones), dejando el área superficial fija. Pueden invertirse, regresando al agujero negro a su estado original. 2. Las transformaciones irreversibles cambian M , Q o a (o combinaciones), e incrementan el área superficial en el proceso. Tal transformación nunca podrá ser.

(29) CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA. 24. invertida. Un agujero negro no podrá regresar a su estado inicial después de una transformación irreversible. Una extracción reversible de carga y momento angular de un agujero negro (disminución de Q y a manteniendo A fija) reduce necesariamente la masa del agujero negro. En el momento en el que toda la carga y todo el momento angular sean removidos, la masa habrá caı́do a un valor irreducible final 1/2  A , (3.15) Mir = 16π que es la masa de un agujero negro de Schwarzschild con área superficial A. La masaenergı́a inicial del agujero negro en términos de la masa irreducible se calcula a partir de las expresiones (3.4) y (3.15) 1/2 A = 2M 2 − Q2 + 2M M 2 − Q2 − a2 4π    J2 2 2 2 2 2 2 2 = 4M M − Q − 2 4Mir + Q − 2M M  2 4Mir2 + Q2 + 4J 2 = 16M 2 Mir2 , obteniendo finalmente 2. M =. . Q2 Mir + 4Mir. 2 +. J2 . 4Mir. (3.16). Por lo tanto, se puede considerar que la masa-energı́a total de un agujero negro contiene un término de masa irreducible, otro de masa-energı́a electromagnética y otro de energı́a rotacional. Sin embargo, estas contribuciones no se suman linealmente entre sı́; por el contrario, se combinan de una manera análoga a la manera como se combinan la masa en reposo y el momento lineal para dar energı́a (E 2 = m2 + p2 ). Como vimos, la masa irreducible para un agujero negro es proporcional a la raı́z cuadrada de su área superficial, por consiguiente podemos replantear el teorema del área de la forma: en procesos de agujeros negros, la suma de los cuadrados de las masas irreducibles de todos los agujeros negros en cuestión nunca puede decrecer.. 3.4.2.. La relación entre área y entropı́a. De la sección anterior, es claro cómo los cambios que sufre un agujero negro generalmente se ven evidenciados en un aumento del área del horizonte de eventos. Este fenómeno nos hace recordar la segunda ley de la termodinámica, que establece que los cambios sobre un sistema termodinámico cerrado toman lugar en dirección de la entropı́a creciente. Veremos que este paralelismo es más profundo aun. Procederemos.

(30) CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA. 25. a demostrar que es posible dar una definición precisa para la entropı́a de un agujero negro. Resulta ser que el área de un agujero negro está tan ı́ntimamente ligada a la degradación de la energı́a como lo está la entropı́a. En termodinámica, decir que se ha incrementado la entropı́a implica que cierta cantidad de energı́a se ha degradado (no se puede seguir transformando en trabajo). Ahora, como enfatiza Christodoulou, la masa irreducible representa energı́a que no puede ser extraı́da por medio de procesos Penrose. En este sentido es energı́a inerte que no puede transformarse en trabajo. Ası́, un incremento en el área superficial corresponderı́a a la degradación (en el sentido termodinámico) de cierta cantidad de energı́a del agujero negro. La masa irreducible de un agujero negro de Schwarzschild es simplemente igual a su masa total. Por tanto, no se puede extraer energı́a por medio de procesos Penrose, se dice entonces que un agujero de Schwarzschild está “muerto.” Sin embargo, la unión de dos (o más) agujeros negros de Schwarzschild puede radiar energı́a en forma de ondas gravitacionales. La única restricción del proceso es que el área total no decrezca como resultado de la fusión. A pesar de esto, la suma de las masas irreversibles de cada agujero negro decrece; esto es, para un sistema de varios agujeros negros la energı́a degradada está dada mejor por Ed =. X. Mir2. 1/2. (3.17). P que por Mir . De acuerdo a esto, la energı́a degradada de un sistema de agujeros negros es menor que la suma de las energı́as degradadas de cada agujero considerado por separado. Entonces, el combinar agujeros que ya están “‘muertos” se puede aun obtener energı́a. Análogamente, al dejar interactuar dos sistemas termodinámicos (separadamente en equilibrio), se puede obtener trabajo, mientras que cada sistema por separado no lo conseguirı́a. Con esta relación bien establecida, podemos retomar nuestro estudio de la función de entropı́a dada por (3.13). Aunque nuestra motivación para la introducción del concepto de entropı́a para agujeros negros usaba ciertas propiedades de agujeros estacionarios, podemos tomar (3.13) como válida para cualquier tipo de agujero, incluso uno que evoluciona dinámicamente, ya que el área superficial está bien definida para todo agujero negro. Las siguientes observaciones soportan esta escogencia. El incremento de la entropı́a de un sistema termodinámico en evolución se debe a la pérdida gradual de información de las condiciones iniciales de la estrella colapsante. Ahora, cuando un agujero negro se acerca al equilibrio, los efectos de las condiciones iniciales se pierden (el agujero pierde su cabello); sólo la masa, la carga y el momento angular determinarán el agujero cuando alcance el equilibrio. Debemos esperar entonces que la pérdida de información sobre las peculiaridades iniciales del agujero se refleje en un aumento gradual de S, que es lo que predice precisamente (3.13); por el teorema de Hawking, S incrementa monótonamente a medida que el agujero negro evoluciona..

(31) CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA. 26. Por otro lado, sabemos que la posibilidad de provocar el decrecimiento de la entropı́a de un sistema termodinámico está ligada con la posibilidad de obtener información sobre su configuración interna. En oposición, un observador externo no puede adquirir información acerca del interior de un agujero negro; la naturaleza del horizonte de eventos previene esto2 . Por consiguiente, no se espera que agente externo alguno cause un decremento en la entropı́a del agujero. La ecuación (3.13) está de acuerdo con esta expectativa; por el teorema de Hawking, S nunca disminuye. Finalmente, ¿cuál función hemos de escoger? Una escogencia posible para f , f (A) ∝ A1/2 , no es viable por varias razones. Consideremos dos agujeros negros muy alejados entre sı́ inicialmente. La entropı́a de cada agujero vendrı́a dada por S ∝ A1/2 ∝ Mir en términos de la masaPirreducible. La entropı́a total es entonces la suma de las entropı́as individuales Si ∝ Mir,i . Ahora, los agujeros se acercan y se fusionan, formando un nuevo agujero negro que alcanza el equilibrio. Durante el proceso, no se conoce información del interior del agujero, por el contrario, mucha información se pierde mientras el agujero “pierde cabello.” Ası́ que esperamos que la entropı́a final Sf ∝ Mir,t P exceda la inicial (Sf > Si ); comparando, obtenemos que Mir,t > Mir,i . Si suponemos que los tres agujeros son agujeros negros de Schwarzschild (M = Mir ), nos enfrentamos a la predicción de que la masa final del agujero es mayor a la suma de las iniciales. Esto nos conlleva a una contradicción, ya que como vimos más arriba la masa final decrecerı́a por la emisión de ondas gravitacionales. Por tanto, esta escogencia no es válida. La siguiente opción sencilla para f es f (A) = γA,. (3.18). donde γ es una constante. Siguiendo el mismo razonamiento que usamos con la opción anterior nos lleva P a la conclusión de que el área final del agujero excede el área total inicial (Af > Ai ). Pero esto es cierto por el teorema del área, ası́ que no recuperamos la contradicción. Comparando (3.13) y (3.18), vemos que la constante γ deberı́a tener unidades de (longitud)−2 , pero no tenemos una constante con tales unidades en relatividad general clásica. Debemos acudir entonces a la teorı́a cuántica, aunque por ahora la conexión sea bastante nebulosa. Es ası́ como entra en juego la única constante con unidades ası́, 1/2 presente en la mecánica cuántica: la longitud de Planck `P ≡ h̄1/2 = (Gh̄/c3 ) ; según Wheeler esta constante debe jugar un papel crucial en nuestra definición de entropı́a. Reemplazando en (3.18) tenemos nuestra primera expresión para la entropı́a de un agujero negro S = ηh̄−1 A, (3.19) donde η es una constante adimensional, que se espera sea del orden de la unidad. Esta simple expresión propuesta por Bekenstein [11, 12], nos da un primer acercamiento 2. Recordar la hipótesis de censura cósmica discutida en la sec. 1.3.2..

(32) CAPÍTULO 3. LA CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA. 27. cualitativo al tratamiento termodinámico de agujeros negros. La aparición de la longitud de Planck en (3.19) no es sorpresiva (la constante h̄ aparece en la entropı́a de diversos sistemas termodinámicos que se tratan clásicamente). De hecho, esto refleja que la entropı́a es, en cierto sentido, un conteo de estados del sistema, donde estos estados son siempre de naturaleza cuántica. Sin embargo, hasta ahora el tratamiento termodinámico se ha hecho con base en analogı́as, sin entenderse aún la realidad cuántica que subyace a un agujero negro “clásico.”.

(33) Parte II Radiación de Hawking: entropı́a e información. 28.

(34) Capı́tulo 4 El descubrimiento de Hawking Como se analizó en el capı́tulo anterior, podemos caracterizar un agujero negro con su entropı́a termodinámica. Más aun, podemos encontrar la temperatura asociada a dicha entropı́a combinando las ecuaciones (3.14) y (3.19), para el agujero de KN que venı́amos estudiando Θ f 0 (A) h̄ = Θ, η. TAN =. y reemplazando Θ de la ecuación (3.9) obtenemos  p h̄ TAN = M 2 − Q2 − a2 , 2ηA. (4.1). (4.2). que para un agujero de Schwarzschild se reduce a la simple expresión Ts =. h̄ . 32πηM. (4.3). Un agujero masivo tendrı́a entonces una temperatura pequeña comparado con uno menos masivo. La entropı́a de un agujero negro compensarı́a entonces la entropı́a perdida de la materia que cae en él. Por tanto, Bekenstein sugirió [15] una Segunda Ley Generalizada: la suma de la entropı́a de agujeros negros más la entropı́a ordinaria por fuera de ellos nunca puede decrecer. Sin embargo, la presencia de entropı́a implica, como ya vimos, una temperatura para agujeros negros, y sabemos que un cuerpo con temperatura determinada debe emitir radiación a cierta rata. Se requiere de esta radiación para evitar una violación de la segunda ley. Bekenstein trató de desarrollar una termodinámica para interacciones entre agujeros negros en relatividad general clásica, pero en esta teorı́a no hay un estado de equilibrio para agujeros negros: si un agujero está inmerso 29.

(35) CAPÍTULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING. 30. en un baño de radiación de cuerpo negro, este la absorbe continuamente sin llegar al equilibrio (notar que cuando la temperatura de la radiación es menor a la del agujero, la segunda ley es violada). Fue Hawking [16], en 1975, quien demostró teóricamente que un agujero negro formado por colapso gravitacional radı́a con un espectro térmico definido. Usando teorı́a de campos cuánticos, con un campo gravitacional clásico de fondo, se deduce que si un campo cuántico está en el estado de vacı́o en presencia de un objeto que comienza a colapsar en un agujero negro, entonces a medida que el radio del objeto se aproxima al radio del horizonte de eventos, el estado del campo en el exterior del agujero se acerca a un estado tı́pico de radiación distribuida térmicamente con una temperatura de la forma (4.1) con η = 1/4. Esta temperatura es la misma sin importar el campo usado, ya sea escalar, electromagnético, neutrino, etc. Ahora podemos escribir (3.19) y (4.1) de forma completa A 4h̄ 4πM 2 = h1 (Q/M, a/M ) h̄  2 M 77 ≈ 1 × 10 h1 , M 2h̄ p 2 = M − Q2 − a2 A h̄ = h2 (Q/M, a/M ) 8πM   M −75 ≈ 5 × 10 h2 m, M. SAN =. TAN. (4.4). (4.5). donde h1 (Q/M, a/M ) y h2 (Q/M, a/M ) son dos funciones adimensionales del orden de la unidad (iguales a uno para Q = a = 0). Es consistente con la segunda ley generalizada que un agujero negro de una masa solar tenga una entropı́a mayor a la entropı́a de una estrella de la misma masa que pudo ser su predecesora. Pero, ¿por qué la supera en tantos órdenes de magnitud? El principio de Boltzmann que dice que la entropı́a de un sistema es el logaritmo del número de configuraciones microscópicas compatible con las propiedades macroscópicas del sistema, junto con el teorema de “no-cabello”, sugiere que la entropı́a de un agujero negro es grande porque su aspecto no puede darnos precisamente el tipo de sistema que le dio origen. Esta falta de “información de composición” adicional aumenta el número de configuraciones microscópicas accesibles, aumentando ası́ la entropı́a. Un agujero negro es sinónimo de una gran cantidad de información perdida..

(36) CAPÍTULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING. 4.1.. 31. Segunda Ley Generalizada. Supongamos un cuerpo con cierta entropı́a ordinaria que cae a un agujero negro (ver figura 4.1). La entropı́a del universo visible disminuye entonces en el proceso. Aquı́ parecerı́a que la segunda ley de la termodinámica es trascendida, ya que ningún observador externo puede verificar directamente que la entropı́a total del universo no decrece en el proceso. Sin embargo, sabemos que el área del agujero negro “compensa” la desaparición del cuerpo incrementándose irreversiblemente. Entonces no hay necesidad de cambiar el sentido de la ley, sino que la replanteamos en forma generalizada: la entropı́a ordinaria en el exterior de un agujero negro más la entropı́a de este nunca decrece. Ası́ podemos considerar la entropı́a de agujeros negros como una contribución genuina al contenido entrópico del universo.. Figura 4.1: Ilustrando la segunda ley generalizada. Caja de gas altamente entrópico (entropı́a S) que cae en un agujero negro (entropı́a SAN ); la entropı́a del agujero negro debe incrementar por lo menos en una cantidad igual a la entropı́a de la caja que cae en él. El siguiente experimento mental nos ayudará a entender esta nueva ley. Consideremos un cuerpo con entropı́a S que cae en un agujero negro. Como sabemos, S es la incertidumbre en nuestro conocimiento de la configuración interna del cuerpo. Mientras el cuerpo se encuentra fuera del agujero podemos efectuar mediciones para desaparecer dicha incertidumbre y adquirir una cantidad máxima de información S; pero una vez atraviesa el horizonte de sucesos, esta información es completamente inaccesible. Por tanto esperamos que la entropı́a del agujero negro (que mide la cantidad de información inaccesible) aumente en S. De hecho, el incremento en SAN serı́a incluso mayor, debido a la pérdida de toda la información disponible en el cuerpo antes de caer en el agujero. Entonces tenemos ∆SAN > S. ⇒. ∆SAN − S > 0..

(37) CAPÍTULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING. 32. Denotando ∆SO como el cambio en entropı́a ordinaria en el exterior del agujero y notando que ∆SO = −S, obtenemos finalmente ∆ (SAN + SO ) > 0,. (4.6). que es simplemente la segunda ley generalizada propuesta más arriba: la entropı́a generalizada SAN + So nunca decrece. ¿A qué entropı́a se refiere exactamente el enunciado de la segunda ley generalizada como “entropı́a ordinaria”? Después de todo, la entropı́a que asociamos con cierto tipo de materia depende de la resolución de nuestra descripción. Si esta es más bien pobre e ignora grados de libertad atómicos, entonces nos referimos a la entropı́a termodinámica quı́mica. Pero si incluimos grados de libertad atómicos y subatómicos, entonces podrán existir nuevas contribuciones a la entropı́a a temperaturas suficientemente altas. Es fácil de percibir entonces que la “entropı́a ordinaria” debe tomarse como la entropı́a calculada usando mecánica estadı́stica aplicada a todos los grados de libertad de la materia y la radiación, sin importar que tan recónditos estos sean. La razón es que la ley es una ley fundamentalmente gravitacional, y la relatividad, mediante el principio de equivalencia, toma en cuenta la energı́a que reside en todos los grados de libertad.. 4.2.. Emisión de partı́culas por agujeros negros. ¿Cómo es posible que un agujero negro emita partı́culas cuando sabemos que nada puede escapar del interior del horizonte de eventos? Este fenómeno se deduce directamente de la teorı́a cuántica: las partı́culas emitidas no provienen del interior del agujero, sino del espacio “vacı́o” justo afuera del horizonte de eventos. Esto se puede entender de la siguiente manera: lo que pensamos como espacio vacı́o no puede ser completamente vacı́o, ya que esto implicarı́a que todos los campos, como el gravitacional o el electromagnético, tendrı́an que ser exactamente cero. Sin embargo, el valor de un campo y su rata de cambio con el tiempo en un punto son como la posición y la velocidad de una partı́cula: el principio de incertidumbre implica que el conocimiento preciso de una de estas cantidades generará un conocimiento pobre de la otra. Ası́ que en el espacio vacı́o un campo no puede fijarse en cero, porque tendrı́a tanto un valor preciso (cero) como una razón de cambio precisa (cero también). Por consiguiente, debe exisir cierta cantidad de incertidumbre, o fluctuaciones del vacı́o, en el valor del campo. Podemos pensar en estas fluctuaciones como pares partı́cula-antipartı́cula que aparecen en algún momento, se separan, vuelven a unirse y se aniquilan entre sı́. Las partı́culas (y antipartı́culas) en cuestión son virtuales, es decir, no pueden ser observadas directamente con un detector de partı́culas. Sin embargo, sus efectos indirectos, como pequeños cambios en la energı́a de las órbitas del electrón en el átomo, pueden medirse y concuerdan con las predicciones teóricas bajo un buen nivel de precisión. Por simple conservación de energı́a, esta no puede crearse de la nada, ası́ que en un par partı́cula-antipartı́cula, uno tendrá energı́a positiva, y el otro, energı́a negati-.

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