Representaciones de grupos finitos, el grupo simétrico

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(1)Representaciones de Grupos Finitos, El Grupo Simétrico. Trabajo de Tesis presentado al Departamento de Matemáticas por. Gina Maritza Angueyra Castañeda Asesor: Bernardo Uribe. Para optar al tı́tulo de Matemática. Matemáticas Universidad de Los Andes Febrero 2007.

(2) Representaciones de Grupos Finitos, El Grupo Simétrico. Aprobado por:. Bernardo Uribe, Asesor. Alexander Cardona Fecha de Aprobación.

(3) A mi mami y a mi esposo, por apoyarme en todos los momentos y decisiones de mi vida.. iii.

(4) Reconocimientos. Ante todo agradezco, a mi mami, por enseñarme desde pequeña el gusto por las Matemáticas, por apoyarme, darme fuerzas y ser mi soporte para seguir adelante siempre, y a mi esposo, por apoyarme en todas las decisiones que tomo y por ser la razón principal para seguir creciendo en todas las áreas de mi vida. También quiero agradecer a todas las personas que participaron directamente en mi formación matemática, primero que todo, a Yenny Galvis de Velazquez por enseñarme las bases de esta hermosa disciplina, a Sergio Adarve por mostrarme la belleza de la Topologı́a y la Geometrı́a con sus increı́bles dibujos, a Leonardo Venegas por permitirme conocer (casi personalmente), a través de sus relatos, a los grandes matemáticos y fı́sicos de la historia, a Italo Capasso porque por una decisión suya pude continuar estudiando en un momento difı́cil y a Bernardo Uribe, mi director de tesis, por ser ejemplo de responsabilidad y digno de emulación.. iv.

(5) Tabla de Contenido Dedicatoria. iii. Reconocimientos. iv. Resumen I.. vii. Representaciones De Grupos Finitos. 1. 1.1. Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3. Representaciones Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. G-Homomorfismos y el Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5. Productos Tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6. Álgebra de Conmutadores y Álgebra de Endomorfismos . . . . . . . 28 II. Teorı́a de Caracteres. 35. 2.1. El Caracter de una Representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Ortogonalidad de Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Número de Representaciones Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4. Productos Tensoriales y sus Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . 57. v.

(6) 2.5. Representaciones Restringidas e Inducidas . . . . . . . . . . . . . . . 63 Referencias. 72. vi.

(7) Resumen. A lo largo de este trabajo encontraremos la teorı́a básica de las representaciones de grupos finitos (Capı́tulo 1) y de sus caracteres (Capı́tulo 2). No son necesarios conocimientos previos muy profundos, basta con estar familiarizado con álgebra lineal y teorı́a de grupos (en caso contrario, una buena fuente de consulta es [1]), el resto, se desarrollará aquı́ completamente. En la sección (1.1) encontraremos las definiciones de representación y subrepresentación de un grupo G, las definiciones en términos de G-módulos y las definiciones en términos matriciales. Luego veremos los ejemplos de las representaciones más importantes de varios grupos en la sección (1.2). En la sección (1.3) hablamos de las condiciones que debe cumplir una representación para ser reducible y probamos el teorema más importante y más usado durante todo este trabajo, el Teorema de Maschke, que es el que permite descomponer cualquier representación en subrepresentaciones irreducibles. Definimos las nociones de G-homomorfismos y G-isomorfismos entre módulos y demostramos el Teorema de Schur en la sección (1.4). En la sección (1.5) encontramos la definición y las propiedades del producto tensorial. vii.

(8) entre matrices, espacios vectoriales y representaciones del mismo grupo. Por último, en la sección (1.6) describimos completamente el Álgebra de Conmutadores de una representación matricial de un grupo G y el Algebra de Endomorfismos de un Gmódulo, ya que los dos últimos teoremas enunciados en esta sección son usados a lo largo del Capı́tulo 2, especialmente en la sección (2.3) para la demostración de la Proposición (2.3.1). En el Capı́tulo 2 estudiamos la teorı́a de caracteres, teorı́a que es muy importante para las representaciones, ya que éstos proveen invariantes que permiten clasificar las representaciones y aportan información especı́fica acerca de la descomposición de una representación en sus partes irreducibles. En la sección (2.1) encontramos la definición de caracter, sus propiedades, algunos ejemplos de cálculos de caracteres, una proposición en la que se calcula el caracter de la suma directa y el producto tensorial de dos representaciones (Proposición (2.1.2)), y se introduce la noción de tabla de caracteres. En la sección (2.2) definimos un producto interno de caracteres, que nos va a dar una relación de ortogonalidad entre los caracteres irreducibles de un grupo (Teorema (2.2.1)); dicha relación, nos proporcionará una herramienta muy poderosa, ya que con ella podremos saber si una representación es irreducible o no, hallaremos el número de veces que se encuentra una representación irreducible dentro de otra y podremos decir cuándo dos representaciones son isomorfas (Corolario (2.2.1)), y terminamos con la Proposición (2.2.2) que describe la forma general de la descomposición de la representación de definición de Sn en sus dos subrepresentaciones irreducibles. En la sección (2.3) hablamos de las funciones de clase de un grupo G y vemos su. viii.

(9) estrecha relación con los módulos irreducibles del grupo y en especial con sus caracteres, resumiendo todo en el Teorema (2.3.1) que prueba que el espacio generado por los G-módulos irreducibles es isomorfo al espacio de las funciones de clase. En la siguiente sección, la (2.4) definimos el producto tensorial entre dos representaciones de grupos distintos, calculamos su caracter y el caracter del producto tensorial definido en la sección (1.5), revisamos bajo qué condiciones el producto tensorial de representaciones irreducibles sigue siendo irreducible y en cuales no. Para terminar, en la sección (2.5) definimos nuevas representaciones por medio de tres operaciones que son la restricción, la inducción y la inflación. En la parte teórica de este trabajo completé las demostraciones de los teoremas, lemas y proposiciones e incluı́ la Proposición (2.2.2) y el Teorema (2.4.3). A lo largo de los dos capı́tulos resolvı́ varios ejemplos haciendo todos cálculos necesarios, especialmente para el grupo S3 y la final incluı́ el cálculo completo de las representaciones irreducibles junto con la tabla de caracteres del grupo simétrico de orden 4, S4 .. ix.

(10) Capı́tulo I. Representaciones De Grupos Finitos. A lo largo de este capı́tulo estudiaremos los conceptos básicos de las representaciones de grupos finitos, como la caracterı́stica de ser irreducible o la descomposición en subrepresentaciones irreducibles. Veremos algunos ejemplos de representaciones y trabajaremos especialmente con el grupo simétrico S3 . Usaremos las representaciones de dos formas distintas, como G-módulos y como matrices, y como las dos formas son equivalentes, escogeremos una o la otra dependiendo de la que facilite más los cálculos. Cabe anotar que todos los espacios vectoriales con los que trabajaremos están sobre el campo de los complejos (C). La teorı́a y algunos de los ejemplos de éste capı́tulo se basan en los libros [1], [2] y [3]; y se completaron, tanto las demostraciones de las proposiciones y los teoremas, como los cálculos de los ejemplos.. 1.

(11) 1.1.. Definiciones Básicas. En esta sección definiremos los conceptos mı́nimos que necesitamos para desarrollar la teorı́a del capı́tulo completo. Definición 1.1.1. Una representación matricial de un grupo G es un homomorfismo X : G → GLd donde para cada g ∈ G se asigna X(g) ∈ Matd , donde Matd es el conjunto de todas las matrices de tamaño d × d con entradas en C y GLd , tal que 1. X() = I la matriz identidad para la identidad de G. 2. X(gh) = X(g)X(h) para todo g, h ∈ G. El parámetro d se llama grado o dimensión de la representación.. . Definición 1.1.2. Sea V un espacio vectorial sobre C de dimensión finita, GL(V ) es el grupo de transformaciones lineales invertibles de V en V , llamado el grupo lineal general de V . Si dim(V ) = d, entonces GL(V ) y GLd son isomorfos como grupos.. . Definición 1.1.3. Sea V un espacio vectorial y G un grupo. Entonces V es un G-módulo si existe un homomorfismo de grupos ρ : G → GL(V ) tal que: ρ(gh) = ρ(g) · ρ(h). g, h ∈ G. En particular, se tiene que ρ(g −1 ) = ρ(g)−1. ρ() = 1V. . 2.

(12) Definición 1.1.4. Equivalente a la definición anterior, se dice que V es un G-módulo si existe una multiplicación, gv, de elementos de G por elementos de V tal que 1. gv ∈ V 2. g(cv + dw) = c(gv) + d(gw) 3. (gh)v = g(hv) 4. v = v para todos g, h ∈ G, v, w ∈ V y escalares c, d ∈ C.. . Definición 1.1.5. Si V es un G-módulo, se dice que V es la representación de G y si V tiene dimensión n, entonces se dice que ρ es de dimensión n.. . Definición 1.1.6. Si S es un conjunto con una multiplicación por elementos de un grupo G que satisface 1, 3 y 4 de la definición (1.1.4), decimos que G actúa en S.. . Definición 1.1.7. Sea ρ : G → GL(V ) una representación lineal y W un subespacio vectorial de V , supongamos que W es estable bajo la acción de G (i.e. si x ∈ W ⇒ ρg (x) ∈ W ∀g ∈ G). La restricción ρW g de ρg a W es un isomorfismo de W en él W W mismo y cumple ρW gh = ρg · ρh . Por lo tanto,. ρW : G → GL(W ) es una representación lineal de G en W ; W se llama subrepresentación de V.. . Definición 1.1.8. Sean S = {s1 , s2 , . . . , sn } un conjunto y CS = C{s1 , s2 , . . . , sn } el espacio vectorial generado por S sobre C, esto es, CS consiste de todas las combinaciones lineales formales c1 s1 + c2 s2 + · · · + cn sn donde ci ∈ C para todo i. Se definen la adición de vectores y la multiplicación por escalar en CS como: (c1 s1 + c2 s2 + · · · + cn sn ) + (d1 s1 + d2 s2 + · · · + dn sn ) = (c1 + d1 )s1 + (c2 + d2 )s2 + · · · + (cn + dn )sn 3.

(13) y c(c1 s1 + c2 s2 + · · · + cn sn ) = (cc1 )s1 + (cc2 )s2 + · · · + (ccn )sn respectivamente. La acción de G sobre S puede ser extendida a una acción sobre CS linealmente, ası́: g(c1s1 + c2 s2 + · · · + cn sn ) = c1 (gs1 ) + c2 (gs2 ) + · · · + cn (gsn ) para todo g ∈ G. Esto convierte a CS en un G-módulo de dimensión |S|.. . Definición 1.1.9. Si un grupo G actúa en un conjunto S, entonces el módulo asociado CS es llamado representación de permutación asociada a S. Los elementos de S forman una base para CS llamada la base estándar.. . Definición 1.1.10. Si G actúa en cualquier espacio vectorial V , entonces C[G] también actúa en V , de la siguiente manera: si c1 g1 + c2 g2 + · · · + cn gn ∈ C[G] y v ∈ V , entonces podemos definir la acción de C[G] en V como: (c1 g1 + c2 g2 + · · · + cn gn )v = c1 (g1 v) + c2 (g2 v) + · · · + cn (gn v) De hecho, se puede extender el concepto de representación a álgebras: una representación de un álgebra A es un homomorfismo entre álgebras, que va de A en GL(V ). De esta forma, toda representación de un grupo G genera una representación de su álgebra C[G].. . Definición 1.1.11. Una partición de n es una secuencia λ = (λ1 , λ2 , . . . , λl ) donde los λi son débilmente decrecientes y. l i=1. λi = n. Por ejemplo, si π ∈ S5. está dado por π = (1, 2, 3)(4)(5) entonces λ corresponde a la partición λ = (3, 1, 1) donde λi indica la cantidad de elementos que hay en cada ciclo. 4. .

(14) Definición 1.1.12. Sea λ = (λ1 , λ2 , . . . , λl ) una partición de n. Un tabloide de Young de forma λ es un arreglo con l filas tal que cada fila i contiene λi enteros y el orden de los enteros en una fila no importa. Por ejemplo, si λ = (4, 2, 1), entonces algunas de los posibles tabloides de Young son. 3 1 4. 1. 5 9 2. 3 1 1. 4. 9 5 3. = 9 5. = 2 1. 2. 1. 4. . 1.2.. Ejemplos. Ahora vamos a ver algunos ejemplos de las representaciones más importantes de un grupo G, como son: la representación regular, la de definición y la de cosets, entre otras. Ejemplo 1.2.1. Si definimos la representación ρ que le asigna a cualquier g ∈ G, ρ(g) = 1, entonces ρ se llama representación unitaria o trivial de G.. . Ejemplo 1.2.2. Una representación de grado 1 de un grupo G es un homomorfismo ρ : G → GL(V ) donde dim(V ) = 1 ⇒ V = C ⇒ GL(V ) = GL(C) ∼ = (C∗ , ·) (el grupo multiplicativo de los complejos distintos de cero) y por lo tanto, ρ : G → C∗ Como G es un grupo finito, entonces todos sus elementos tienen orden finito, y por lo tanto, para todo g ∈ G, si g n = 1 ⇒ (ρ(g))n = ρ(g n ) = ρ(1) = 1 lo que implica que ρ(g) es una raı́z de la unidad y |ρ(g)| = 1. 5.

(15) Consideremos el grupo cı́clico de orden n, Cn , entonces si g es un generador de Cn , es decir, Cn = {g, g 2, g 3, . . . , g n = e} y si tenemos que ρ(g) = c, c ∈ C, entonces c y sus potencias, son raı́ces de la unidad y como cada una corresponde a una representación, hay exactamente n representaciones de Cn que tienen grado 1. En particular, tomemos n = 4 y C4 = {e, g, g 2, g 3}. Las cuatro raı́ces de la unidad son 1, i, −1, −i. Si denotamos por ρ1 , ρ2 , ρ3 , ρ4 a las 4 representaciones correspondientes, podemos construir la tabla: e. g. g2. g3. ρ1. 1. 1. 1. 1. ρ2. 1. i. −1. −i. ρ3. 1 −1. 1. −1. ρ4. 1. −i. 1. i. donde la entrada de la fila i y la columna j es ρi (g j ). Esta tabla es un ejemplo de una tabla de caracteres (concepto que veremos más adelante), ya que para las representaciones de dimensión 1, la representación y su caracter coinciden.. . Ejemplo 1.2.3. Consideremos el grupo simétrico Sn . Decimos que el homomorfismo ρ(π) = signo(π) es una representación llamada representación de signo. Si π se descompone en transposiciones como π = τ1 τ2 · · · τk , entonces definimos ρ(π) = signo(π) = (−1)k . Ejemplo 1.2.4. Otra representación importante de Sn es la representación de definición, que es de grado n. Si π ∈ Sn , entonces definimos (en notación matricial) X(π) = (xi,j )n×n , donde xi,j. ⎧ ⎨1 si π(j) = i, = ⎩0 de lo contrario. 6.

(16) La matriz X(π) es llamada matriz de permutación, ya que contiene solo ceros y unos, con un único uno en cada columna y cada fila. En particular, consideremos S3 con sus permutaciones escritas en notación cı́clica, entonces las matrices de la representación de definición son: ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ X( (1, 3, 2) ) = ⎝0 0 1⎟ ⎠ 1 0 0. ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 2) ) = ⎜ 1 0 0 ⎝ ⎠ 0 0 1. ⎛ ⎞ 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 2, 3) ) = ⎜ 1 0 0 ⎝ ⎠ 0 1 0. ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ X( (2, 3) ) = ⎜ 0 0 1 ⎝ ⎠ 0 1 0 ⎛ ⎞ 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 3) ) = ⎜ 0 1 0 ⎝ ⎠ 1 0 0. ⎛. ⎞ 1 0 0. ⎜ ⎟ ⎟ X( e = (1)(2)(3) ) = ⎜ 0 1 0 ⎝ ⎠ 0 0 1 . Ejemplo 1.2.5. Ahora consideremos Sn con su acción usual en S = {1, 2, . . . , n}. Si CS = {c1 1 + c2 2 + · · · + cn n : ci ∈ C para todo i} entonces Sn actúa en CS con la acción π(c1 1 + c2 2 + · · · + cn n) = c1 π(1) + c2 π(2) + · · · + cn π(n) para todo π ∈ Sn . Tomemos como caso particular S3 y determinemos las matrices X(π) para π ∈ S3 en la base estándar {1, 2, 3}.. 7.

(17) Para encontrar, por ejemplo, la matriz de π = (1, 2) calculamos (1, 2)1 = 2. (1, 2)2 = 1. (1, 2)3 = 3. y haciendo los mismos cálculos para las otras permutaciones encontramos, ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ X( (1, 3, 2) ) = ⎝0 0 1⎟ ⎠ 1 0 0. ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 2) ) = ⎜ 1 0 0 ⎝ ⎠ 0 0 1. ⎛ ⎞ 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 2, 3) ) = ⎜ 1 0 0 ⎝ ⎠ 0 1 0. ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ X( (2, 3) ) = ⎜ 0 0 1 ⎝ ⎠ 0 1 0 ⎛ ⎞ 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 3) ) = ⎜ 0 1 0 ⎝ ⎠ 1 0 0. ⎛. ⎞ 1 0 0. ⎜ ⎟ ⎟ X( e = (1)(2)(3) ) = ⎜ 0 1 0 ⎝ ⎠ 0 0 1. que son las mismas matrices de la representación de definición descrita en el ejemplo anterior, por lo que nos referiremos a esta representación por medio de CS.. . Ejemplo 1.2.6. Sean n el orden de G y V un espacio vectorial de dimensión n con base (eh )h∈G indizada por los h ∈ G. Si para cada g ∈ G tomamos ρg : V → V eh → egh entonces se define una representación lineal llamada representación regular de G. El grado de esta representación es el grado de G. Además se tiene que ρg (e1 ) = eg ⇒ {ρg (e1 ) : g ∈ G} 8.

(18) es una base para V . Por otro lado, si W es una representación de G que contiene un vector w tal que {ρg (w) : g ∈ G} forman una base de W , entonces W es isomorfo a la representación regular y definimos ese isomorfismo como: τ :V →W eg → ρg (w) Ejemplo 1.2.7. Dado G un grupo arbitrario, describimos la representación regular de G cuando G actúa en sı́ mismo con multiplicación por izquierda, ası́: si g ∈ G y h ∈ S = G, entonces la acción de g en h, gh está definida por la multiplicación usual del grupo. Las propiedades 1,3 y 4 de la definición (1.1.4) de un G-módulo, se satisfacen por los axiomas de clausura, asociatividad e identidad del grupo. Ası́, si G = {g1 , g2 , . . . , gn }, entonces el correspondiente G-módulo C[G] = {c1 g1 + c2 g2 + · · · + cn gn : ci ∈ C para todo i} es llamado el álgebra del grupo G. Tiene estructura de álgebra ya que se puede definir la multiplicación como gi gj = gk si gi gj = gk en G. Ahora, la acción de G en el álgebra del grupo puede ser expresada como g(c1 g1 + c2 g2 + · · · + cn gn ) = c1 (gg1 ) + c2 (gg2 ) + · · · + cn (ggn ) para todo g ∈ G. Tomemos como caso particular al grupo cı́clico de orden 4, C4 y encontremos la representación regular de él en sı́ mismo. Tenemos que C[C4 ] = {c1 e + c2 g + c3 g2 + c4 g3 : ci ∈ C para todo i} 9.

(19) Encontremos, por ejemplo, la matriz de g 2 en la base estándar: g 2 e = g2. g 2 g = g3. g 2 g2 = e. g 2 g3 = g.. Por lo tanto, haciendo los mismos cálculos para todos los elementos de C4 obtenemos las siguientes matrices: ⎛ 0 ⎜ ⎜0 ⎜ X(g 2) = ⎜ ⎜1 ⎝ 0 ⎛ 0 ⎜ ⎜1 ⎜ X(g) = ⎜ ⎜0 ⎝ 0. 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1. ⎞ 0 ⎟ 1⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠ 0. ⎛ 0 ⎜ ⎜0 ⎜ X(g 3 ) = ⎜ ⎜0 ⎝ 1. ⎞ 1 ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠ 0. 1 0 0 1 0 0 0 0. ⎛ 1 0 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎜ X(e) = ⎜ ⎜0 0 1 ⎝ 0 0 0. ⎞ 0 ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 1⎟ ⎠ 0 ⎞ 0 ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠ 1. Notemos que estas matrices son matrices de permutación distintas. En general, la representación regular de G genera una inmersión de G en el grupo simétrico de |G| . elementos.. Ejemplo 1.2.8. Si G actúa en un conjunto finito S y si V es el espacio vectorial que tiene como base al conjunto {et : t ∈ S}, para cada g ∈ G definimos ρg : V → V et → egt y obtenemos la representación lineal llamada representación de permutación asocia. da a S.. 10.

(20) Ejemplo 1.2.9. Un submódulo no trivial de la representación de definición (V = C{1, 2, . . . , n}) del grupo G = Sn (n ≥ 2) es W = C{1 + 2 + · · · + n} = {c(1 + 2 + · · · + n) : c ∈ C}, es decir, W es el subespacio de dimensión 1 generado por el vector 1 + 2 + · · · + n. Para verificar que W es una subrepresentación de V (Definición (1.1.7)) debemos verificar que W es estable bajo la acción de G. Ası́, para cualquier π ∈ Sn tenemos que π(1 + 2 + · · · + n) = π(1) + π(2) + · · · + π(n) = 1 + 2 + · · · + n ∈ W. Como dim W = 1 y dim V ≥ 2, entonces W es un submódulo no trivial de V . Para saber cual representación se obtiene al restringir la acción de G a W , basta con ver que todo π ∈ Sn envı́a al vector base 1 + 2 + · · · + n en él mismo y, por lo tanto, su representación matricial es X(π) = 1, que es una copia de la representación trivial de C{1, 2, . . . , n}. Ejemplo 1.2.10. Generalizando el ejemplo anterior, tomemos G = {g1 , g2 , . . . , gn } y V = C[G] la representación de definición de G. Consideremos el subespacio W de V , de dimensión 1, generado por la suma de todos los elementos de G, es decir: W = C[g1 + g2 + · · · + gn ]. W es un submódulo ya que para todo g ∈ G, W es invariante bajo su acción: g(g1 + g2 + · · · + gn ) = gg1 + gg2 + · · · + ggn = g1 + g2 + · · · + gn ∈ W. En general, si V es la representación de definición de G y W es el subespacio de V eg , donde {eg : g ∈ G} es una base. de dimensión 1, generado por el elemento x = g∈G. de V , entonces W es una subrepresentación de V que es isomorfa a la representación trivial, ya que ρg (x) = x ∀g ∈ G.. 11.

(21) Ejemplo 1.2.11. Sea G un grupo y H un subgrupo de G (H ≤ G). Una generalización de la representación regular es la representación de coset (izquierdo) de G respecto a H. Dados g1 , g2 , . . . , gk transversales a H, es decir, H = {g1 H, g2 H, . . . , gk H} es un conjunto completo de cosets izquierdos disyuntos para H en G, entonces G actúa en H de la siguiente forma g(giH) = (ggi)H para todo g ∈ G. El módulo correspondiente CH = {c1 g1 H + c2 g2 H + · · · + ck gk H : ci ∈ C para todo i} hereda la acción de G, ası́ g(c1 g1 H + c2 g2 H + · · · + ck gk H) = c1 (gg1 H) + c2 (gg2 H) + · · · + ck (ggk H) Notemos que si H = G, entonces esta se reduce a la representación trivial y si H = {}, entonces H = G y obtenemos la representación regular. Consideremos el caso especial en que G = S3 y H = {, (2, 3)}. Podemos tomar H = {H, (1, 2)H, (1, 3)H} y CH = {c1 H + c2 (1, 2)H + c3 (1, 3)H : ci ∈ C para todo i} Calculando las matrices X(g) de la representación en la base estándar obtenemos (1, 2)H = (1, 2)H, (1, 2)(1, 2)H = H, (1, 2)(1, 3)H = (1, 3, 2)H = (1, 3)H por lo tanto, ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ X( (1, 2) ) = ⎝1 0 0⎟ ⎠ 0 0 1 y haciendo los mismos cálculos para los otros elementos de S3 obtenemos las siguientes matrices 12.

(22) ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ X( (2, 3) ) = ⎜ 0 0 1 ⎝ ⎠ 0 1 0. ⎛ ⎞ 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 2, 3) ) = ⎜ 1 0 0 ⎝ ⎠ 0 1 0. ⎛ ⎞ 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 3) ) = ⎜ 0 1 0 ⎝ ⎠ 1 0 0. ⎛. ⎜ ⎟ ⎟ X( e = (1)(2)(3) ) = ⎜ 0 1 0 ⎝ ⎠ 0 0 1. ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 3, 2) ) = ⎜ 0 0 1 ⎝ ⎠ 1 0 0. que son las mismas matrices de la representación de definición de S3 .. 1.3.. ⎞ 1 0 0. . Representaciones Irreducibles. En esta sección vamos a ver una de las caracterı́sticas más importantes de la teorı́a de representaciones: la irreducibilidad. Aprenderemos a descomponer una representación matricial en subrepresentaciones irreducibles y probaremos el teorema más usado a lo largo de este trabajo, el Teorema de Maschke (1.3.2). Definición 1.3.1. Sea X : G → GL(V ) una representación lineal de G. Decimos que es irreducible o simple si V no es 0 y si no tiene subespacios vectoriales estables bajo la acción de G, excepto por 0 y V mismos, de lo contrario, se dice que V es reducible. Equivalentemente, V es reducible si tiene una base B, en la cual, a todo g ∈ G se le asigna una matriz por bloques de la forma X(g) =. A(g). B(g). 0. C(g). donde las matrices A(g) (para cada g) son cuadradas y todas del mismo tamaño, y 0 es la matriz de ceros.. . 13.

(23) Ejemplo 1.3.1. Vamos a ver que la representación de definición de S3 es reducible de acuerdo con la definición anterior. Consideremos el subespacio W = C[1 + 2 + 3] de V = C[1, 2, 3] como en el ejemplo (1.2.9), por lo tanto, W es una subrepresentación de V . Vamos a extender la base de W a una base de V , ası́: B = {1 + 2 + 3, 2, 3} y encontremos cómo actúan los elementos de S3 en la base B, por ejemplo (1, 2) y (1, 3, 2): (1, 2)(1 + 2 + 3) = 1 + 2 + 3 (1, 2)2 = 1 = (1 + 2 + 3) − 2 − 3 (1, 2)3 = 3 (1, 2, 3)(1 + 2 + 3) = 1 + 2 + 3 (1, 2, 3)2 = 3 (1, 2, 3)3 = 1 = (1 + 2 + 3) − 2 − 3 Haciendo los cálculos para los 6 elementos de S3 obtenemos las matrices: ⎛ ⎞ 1 1 0 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 2) ) = ⎜ 0 −1 0 ⎝ ⎠ 0 −1 1. ⎛ ⎞ 1 1 0 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 3, 2) ) = ⎜ 0 −1 1 ⎝ ⎠ 0 −1 0. ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ X( (2, 3) ) = ⎜ 0 0 1 ⎝ ⎠ 0 1 0. ⎛ ⎞ 1 0 1 ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 2, 3) ) = ⎜ 0 0 −1 ⎝ ⎠ 0 1 −1. ⎛ ⎞ 1 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ X( (1, 3) ) = ⎝0 1 −1⎟ ⎠ 0 0 −1. ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ X( e ) = ⎝0 1 0⎟ ⎠ 0 0 1. 14.

(24) Notemos que todas estas matrices son de la forma: ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟ X( π ) = ⎜ 0 ⎠ ⎝ 0 lo que implica que la representación de definición de S3 es reducible, y el uno que corresponde a la matriz A(g) quiere decir que S3 actúa trivialmente sobre W .. . Definición 1.3.2. Sea V un espacio vectorial con subespacios U y W , entonces V es la suma directa (interna) de U y W (V = U ⊕ W ), si todo v ∈ V puede escribirse como la suma u ∈ U, w ∈ W.. v =u+w. Si V es un G-módulo y U, W son G-submódulos, entonces decimos que U y W son complementos uno del otro. Si X es una matriz, entonces X es la suma directa de las matrices A y B (X = A⊕B), si X tiene forma diagonal por bloques, ası́: X=. A. 0. 0. B . Sea V un G-módulo con V = U ⊕ W , donde U, W ≤ V . Como esta es una suma directa de espacios vectoriales, podemos encontrar una base para V B = {u1 , u2 , . . . , uf , wf +1 , wf +2 , . . . , wd } tal que {u1 , u2 , . . . , uf } es una base para U y {wf +1 , wf +2 , . . . , wd } es una base para W . Como U y W son submódulos, tenemos gui ∈ U y gwj ∈ W para todo g ∈ G, ui ∈ U, wj ∈ W . Por lo tanto, la matriz para cualquier g ∈ G en la base B es X(g) =. A(g). 0. 0. B(g). 15.

(25) donde A(g) y B(g) son las matrices de la acción de G restringida a U y W , respectivamente. Teorema 1.3.1. Sea V un G-módulo y sea W un subespacio vectorial de V estable bajo G. Entonces existe un complemento W ⊥ de W en V estable bajo G. Demostración. Sea B = {v1 , v2 , . . . , vd } una base para V . Consideremos el único producto interno que satisface vi , vj = δi,j para los elementos de B. Como este producto puede no ser G-invariante, entonces definimos para v, w ∈ V v, w =. gv, gw g∈G. que es invariante bajo la acción de G ya que para v, w ∈ V y para todo h ∈ G tenemos hv, hw =. ghv, ghw. (definición de ·, · ). f v, f w. (como g varı́a sobre G, también lo hace f = gh). g∈G. = f ∈G. = v, w. . (definición de ·, · ). Ahora tomemos W ⊥ = {v ∈ V : v, w = 0 para todo w ∈ W } y veamos que es invariante bajo G: sean u ∈ W ⊥ , w ∈ W y g ∈ G arbitrarios, entonces gu, w = g −1gu, g −1w = u, g −1w =0. . . (porque ·, · es invariante bajo G) (propiedad de grupo) (u ∈ W ⊥ y g −1 w ∈ W porque W es invariante bajo G) . 16.

(26) Teorema 1.3.2. (Teorema de Maschke) Toda representación es la suma directa de representaciones irreducibles. Demostración. (Por inducción en la dim(V )) Sea V una representación lineal de G, si dim(V ) = 0 entonces tomamos el 0 como la suma directa de la familia de representaciones irreducibles vacı́as. Ahora supongamos que dim(V ) ≥ 1. Si V es irreducible tomamos V = V ⊕ 0; si no, usando el Teorema (1.3.1) podemos descomponer V en la suma directa W ⊕ W ⊥ con dim(W ) < dim(V ) y dim(W ⊥ ) < dim(V ). Aplicando la hipótesis de inducción a W y W ⊥ podemos escribirlos como sumas directas de representaciones irreducibles y por lo tanto V tiene la forma deseada.. . Corolario 1.3.1. Sea G un grupo finito y sea X una representación matricial de G de dimensión d > 0. Entonces existe una matriz fija T tal que toda matriz X(g), g ∈ G tiene la forma. T X(g)T −1. ⎛ X (1) (g) 0 ⎜ ⎜ 0 X (2) (g) ⎜ =⎜ . .. ⎜ .. . ⎝ 0 0. ⎞. ···. 0. ··· .. .. 0 .. .. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (k) · · · X (g). donde cada X (i) es una representación matricial irreducible de G. Demostración. Sea V = Cd con la acción gv = X(g)v para todos g ∈ G y v ∈ V . Por el teorema de Maschke (1.3.2), V = W (1) ⊕ W (2) ⊕ · · · ⊕ W (k) , donde cada W (i) es irreducible de dimensión di . Tomemos una base B para V tal que los primeros d1 vectores sean una base para W (1) , los siguientes d2 sean una base para W (2) , etc. La matriz T que transforma la base estándar de Cd en B es 17.

(27) la matriz buscada ya que al conjugar T con X(g), estamos expresando X(g) en la nueva base B.. . Ejemplo 1.3.2. Tomando la representación de definición de S3 podemos ver que V = C{1, 2, 3} = C{1 + 2 + 3} ⊕ C{2, 3} como espacios vectoriales. Pero C{1 + 2 + 3} es un S3 -submódulo y C{2, 3} no (por ejemplo (1, 2)2 = 1 ∈ / C{2, 3}), por lo tanto, vamos a encontrar un submódulo U de V tal que C{1, 2, 3} = C{1 + 2 + 3} ⊕ U. Como en el teorema de Maschke(1.3.2), vamos a definir un producto interno en V = C{1, 2, 3}. Dados dos vectores i, j en la base {1, 2, 3}, tomamos i, j = δi,j donde δi,j es el delta de Kronecker y lo extendemos a V linealmente en la primera componente y linealmente conjugado en la segunda. El producto ası́ definido es invariante bajo la acción de G ya que πi, πj = δπ(i),π(j) = δi,j = i, j donde la igualdad del medio es válida porque π es una biyección. Ası́, U = C{1 + 2 + 3}⊥ = {v ∈ V : v, w = 0 para todo w ∈ C{1 + 2 + 3}} es un submódulo de V . También podemos ver a U como C{1 + 2 + 3}⊥ = {v = a1 + b2 + c3 : v, 1 + 2 + 3 = 0} = {v = a1 + b2 + c3 : a + b + c = 0}. Para calcular las matrices de la suma directa escogemos la base {1 + 2 + 3} para C{1 + 2 + 3} y {2 − 1, 3 − 1} para C{1 + 2 + 3}⊥ . Calculemos la acción de (1, 2) 18.

(28) en los elementos de la base de S3 ası́ escogida ({1 + 2 + 3, 2 − 1, 3 − 1}): (1, 2)(1 + 2 + 3) = 1 + 2 + 3 (1, 2)(2 − 1) = 1 − 2 = −(2 − 1) (1, 2)(3 − 1) = 3 − 2 = (3 − 1) + (1 − 2) = (3 − 1) − (2 − 1) Por lo tanto, la matriz de (1, 2) y las otras matrices son: ⎛. ⎞ 1. 0. 0. 1. 0. 0. ⎛. ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 2) ) = ⎜ 0 −1 −1 ⎝ ⎠ 0 0 1 ⎛. ⎜ ⎟ ⎟ X( e ) = ⎜ 0 1 0 ⎝ ⎠ 0 0 1. ⎞. ⎜ X( (1, 3) ) = ⎜ ⎝ 0. ⎛. ⎟ 0 ⎟ ⎠ 0 −1 −1. ⎜ ⎟ ⎟ X( (2, 3) ) = ⎜ 0 0 1 ⎝ ⎠ 0 1 0. ⎞ 1. ⎜ X( (1, 3, 2) ) = ⎜ ⎝ 0. 0. ⎞ 1 0 0. 1. ⎛. ⎞ 1 0 0. ⎛. 0. ⎞ 1. ⎟ 1 ⎟ ⎠ 0 −1 −1. 0. 0. ⎜ ⎟ ⎟ X( (1, 2, 3) ) = ⎜ ⎝ 0 −1 −1 ⎠ 0 1 0. 0. Por la forma que tienen estas matrices podemos ver que son la suma directa de dos matrices, ası́:. ⎞. ⎛ ⎜ X(g) = ⎜ ⎝. A(g) 0. 0. 0. ⎟ B(g) ⎟ ⎠. 0 Obviamente A(g) es irreducible (porque es de grado 1), y veremos después que B(g) también lo es, por lo tanto, hemos descompuesto la representación de definición de S3 en sus partes irreducibles.. . Definición 1.3.3. Una representación es completamente reducible si puede ser escrita como una suma directa de irreducibles. 19. .

(29) 1.4.. G-Homomorfismos y el Lema de Schur. Dados dos G-módulos vamos a decir si son G-isomorfos o no, y si son irreducibles encontraremos, por medio del Lema de Schur, que son el mismo módulo ó son completamente distintos, es decir, no hay una copia de uno dentro del otro. Definición 1.4.1. Sean V y W G-módulos, entonces un G-homomorfismo es una transformación lineal θ : V → W tal que θ(gv) = gθ(v) para todo g ∈ G y v ∈ V . También decimos que θ preserva o respeta la acción de G.. . Escribiendo esta definición en términos matriciales, tomamos las bases B y C de V y W respectivamente, X(g) y Y (g) las matrices correspondientes a las representaciones y T como la matriz de θ en las bases B y C. Entonces, la propiedad de G-homomorfismo se escribe como T X(g)v = Y (g)T v para todo vector columna v y g ∈ G, pero como esto es cierto para todo v, entonces tenemos para todo g ∈ G. T X(g) = Y (g)T. (1). Por lo tanto, tener un G-homomorfismo θ es equivalente a la existencia de una matriz T tal que (1) se satisface. Escribiremos esta condición como T X = Y T . Ejemplo 1.4.1. Sean G = Sn , V = C{v} con la acción trivial de Sn y W = C{1, 2, . . . , n} con la acción de definición de Sn . Definamos la transformación θ : V → W como θ(v) = 1 + 2 + · · · + n y la extendemos linealmente, es decir, θ(cv) = c(1 + 2 + · · · + n) 20.

(30) para todo c ∈ C. Como para todo π ∈ Sn se tiene θ(πv) = θ(v) = 1 + 2 + · · · + n = π(1 + 2 + · · · + n) = πθ(v) entonces θ preserva la acción de G y, por lo tanto, es un G-homomorfismo. De la misma forma, si G es un grupo arbitrario que actúa trivialmente sobre V = C{v}, y W = C[G] es el algebra del grupo, entonces tenemos el G-homomorfismo θ : V → W dado por g. θ(v) = g∈G. . extendido linealmente.. Definición 1.4.2. Sean V y W módulos de un grupo G. Un G-isomorfismo es un G-homomorfismo θ : V → W que es biyectivo. En este caso decimos que V y W son G-isomorfos o G-equivalentes y se escribe V ∼ = W . De lo contrario decimos que V y W no son G-equivalentes.. . En términos matriciales, como θ es una biyección, entonces la matriz T de la ecuación (1) debe ser invertible, es decir, si X y Y son dos representaciones matriciales de un grupo G, X es equivalente a Y si y solo si existe una matriz fija T tal que Y (g) = T X(g)T −1 para todo g ∈ G. Ejemplo 1.4.2. Teniendo en cuenta la definición anterior, vamos a ver por qué la representación de coset de S3 (ejemplo 1.2.11)es la misma representación de definición. Recordemos que habı́amos tomado H = {, (2, 3)} ⊂ S3 que daba el módulo de representación de coset CH con H = {H, (1, 2)H, (1, 3)H}. Dado un conjunto A, sea SA el grupo simétrico en A, es decir, el conjunto de todas las permutaciones de A, entonces el grupo H puede ser expresado como un producto directo (interno) H = {(1)(2)(3), (1)(2, 3)} = {(1)} × {(2)(3), (2, 3)} = S{1} × S{2,3} . 21.

(31) Una forma conveniente de escribir los productos de los subgrupos de Sn es el tabloide de Young, que en este caso tendrı́a forma λ = (2, 1) ası́: 2 3 1 El conjunto completo de tabloides de forma λ = (2, 1) con entradas 1, 2, 3 es S=. 2. 3. 1 3. ,. 1. 2. ,. 1. 2. . 3. además, existe una acción de cualquier π ∈ S3 en S dada por. π. i. j. π(i). =. k. π(j). .. π(k). y por lo tanto, podemos considerar la función θ que envı́a θ. H −→. 2 3 1. θ. (1, 2)H −→ (1, 2) θ. (1, 3)H −→ (1, 3). 2. 3. =. 1 2. 1. 3. 2 3. =. 1. 1. 2. .. 3. Por extensión lineal, θ se convierte en un G-isomorfismo de espacios vectoriales de CH en CS, y para verificar que es estable bajo G, revisamos la acción de cada π ∈ S3 en los elementos de la base de H, por ejemplo, si (1, 3) ∈ S3 y H ∈ H, entonces θ((1, 3)H) = θ((1, 3)H) =. 1. 2. 3. = (1, 3). 2 3 1. 22. = (1, 3)θ(H).

(32) y si (1, 2, 3) ∈ S3 y (1, 2)H ∈ H, entonces 1. θ((1, 2, 3)(1, 2)H) = θ((1, 3)H) =. 2. 3 = (1, 2, 3). 1. 3. 2. = (1, 2, 3)θ((1, 2)H). Por lo tanto, CH ∼ = CS.. (2). Por otro lado, los tabloides están completamente determinados por el elemento en la segunda fila, ası́, tenemos que existe una función natural η entre la base {1, 2, 3} de la representación de definición y S, que es 1. 2. 3. 2 3. η. −−→. 1 1 3. η. −−→. 2 1 2. η. −−→. .. 3. Extendiendo η linealmente, se obtiene un G-isomorfismo de C{1, 2, 3} en CS. Combinando este resultado con la ecuación (2) obtenemos la equivalencia entre CH y C{1, 2, 3}, que era lo que querı́amos demostrar.. . Proposición 1.4.1. Sea θ : V → W un G-homomorfismo. Entonces 1. ker θ = {v ∈ V : θ(v) = 0} es un G-submódulo de V . 2. im θ = {w ∈ W : w = θ(v) para algún v ∈ V } es un G-submódulo de W . Demostración.. 1. Sabemos que ker θ es un subespacio de V ya que θ es lineal, por. lo tanto, solo basta probar que es cerrado bajo la acción de G. Sea v ∈ ker θ,. 23.

(33) entonces para cualquier g ∈ G, θ(gv) = gθ(v). (θ es G-homomorfismo) (v ∈ ker θ). = g0 =0 ası́, gv ∈ ker θ.. 2. De la misma forma, sabemos que im θ es un subespacio de W y, por lo tanto, vamos a probar que es cerrada bajo la acción de G. Sea w ∈ im θ y g ∈ G, entonces existe un v ∈ V tal que w = θ(v) gw = gθ(v). (porque w = θ(v)). = θ(gv). (θ es G-homomorfismo). y como V es un G-módulo, entonces gv ∈ V , ası́ gw ∈ im θ. . Proposición 1.4.2. (Lema de Schur) Sean V y W dos G-módulos irreducibles, y sea θ : V → W un G-homomorfismo, entonces 1. θ es un G-isomorfismo, ó 2. θ es la función cero. Demostración. Como V es irreducible y ker θ es un submódulo de V (por la proposición anterior), entonces tenemos ker θ = {0} ó ker θ = V . De la misma forma, como W es irreducible, entonces im θ = {0} ó im θ = W . Si ker θ = V ó im θ = {0}, entonces θ debe ser la función cero. Por otro lado, si ker θ = {0} y im θ = W , entonces θ debe ser un isomorfismo.. . El lema de Schur es muy importante ya que sigue siendo válido sobre campos arbitrarios y para grupos infinitos, es más, la demostración anterior, sigue funcionando para estos casos. La versión matricial también es cierta para los casos generalizados. 24.

(34) Corolario 1.4.1. Sean X y Y dos representaciones matriciales irreducibles de G. Si T es cualquier matriz tal que T X(g) = Y (g)T para todo g ∈ G, entonces 1. T es invertible, ó 2. T es la matriz cero. Corolario 1.4.2. Sean V y W dos G-módulos con V irreducible, entonces la dim Hom(V, W ) = 0 si y solo si W no contiene un submódulo isomorfo a V . Corolario 1.4.3. Sea X una representación matricial irreducible de G sobre los complejos, entonces las únicas matrices T que conmutan con X(g) para todo g ∈ G son las matrices de la forma T = cI, es decir, múltiplos escalares de la identidad. Demostración. Como T cumple T X(g) = X(g)T para todo g ∈ G, entonces podemos escribir (T − cI)X = X(T − cI) donde I es la matriz identidad apropiada y c ∈ C es cualquier escalar. Como C es algebraicamente cerrado, entonces podemos escoger c de manera que sea un eigenvalor de T , ası́ la matriz T − cI satisface la hipótesis del corolario (1.4.1) con X = Y y no es invertible por la escogencia de c, por lo tanto, debemos tener que T − cI = 0.. 1.5.. . Productos Tensoriales. Las siguientes definiciones de productos tensoriales van a ser muy usadas en el resto del capı́tulo y al final del Capı́tulo 2; en ese capı́tulo se usará, particularmente, la definición del producto tensorial de dos representaciones del mismo grupo, para la cual, se probarán varias afirmaciones usando teorı́a de caracteres. Definición 1.5.1. Sean X = (xi,j ) y Y matrices, entonces su producto tensorial es la matriz por bloques. ⎛ x1,1 Y ⎜ X ⊗ Y = (xi,j Y ) = ⎜ ⎝x2,1 Y .. . 25. x1,2 Y x2,2 Y .. .. ⎞ ··· ⎟ · · ·⎟ ⎠ ···.

(35) . Lema 1.5.1. Sean A, X ∈ Matd y B, Y ∈ Matf , entonces 1. (A ⊗ B)(X ⊗ Y ) = AX ⊗ BY. 2. (A ⊕ B)(X ⊕ Y ) = AX ⊕ BY. Demostración.. 1. Supongamos que A = (ai,j ) y X = (xi,j ), entonces. (A ⊗ B)(X ⊗ Y ) = (ai,j B)(xi,j Y ) =. (por definición de ⊗ (1.5.1)). (ai,k B xk,j Y ). (multiplicación por bloques). k. ai,k xk,j. =. BY. (distributividad). k. = AX ⊗ BY. (definición de ⊗ (1.5.1)). 2. Multiplicando por bloques obtenemos (A ⊕ B)(X ⊕ Y ) =. =. A. 0. X. 0. 0. B. 0. Y. AX. 0. 0. BY. = AX ⊕ BY . Definición 1.5.2. Sean V y W dos espacios vectoriales, entonces su producto tensorial es el conjunto . . V ⊗W =. ci,j vi ⊗ wj : ci,j ∈ C, vi ∈ V, wi ∈ W i,j. con las siguientes condiciones:. 26.

(36) 1. (c1 v1 + c2 v2 ) ⊗ w = c1 (v1 ⊗ w) + c2 (v2 ⊗ w) 2. v ⊗ (d1 w1 + d2 w2 ) = d1 (v ⊗ w1 ) + d2 (v ⊗ w2 ) . Podemos ver que V ⊗ W es un espacio vectorial, y que, si B = {v1 , v2 , . . . , vd } y C = {w1 , w2 , . . . , wf } son bases de V y W respectivamente, entonces el conjunto {vi ⊗ wj : 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ j ≤ f } es una base para V ⊗ W , por lo tanto, dim(V ⊗ W ) = dim(V ) · dim(W ). Definición 1.5.3. Sean X y Y dos representaciones matriciales de G, entonces definimos el producto tensorial de las representaciones dadas como (X ⊗ Y )(g) = X(g) ⊗ Y (g) para todo g ∈ G.. . Para verificar que esta definición es correcta, debemos revisar las dos condiciones de una representación matricial (Definición 1.1.1), ası́ 1. Para la identidad de G tenemos (X ⊗ Y )() = X() ⊗ Y () = I ⊗ I = I. 2. Si g, g ∈ G, entonces (X ⊗ Y )(g · g ) = X(g · g ) ⊗ Y (g · g ) = X(g)X(g ) ⊗ Y (g)Y (g ). (definición de ⊗) (X y Y representaciones). = (X(g) ⊗ Y (g)) · (X(g ) ⊗ Y (g )) (parte (1) del Lema (1.5.1)) = (X ⊗ Y )(g) · (X ⊗ Y )(g ) 27. (definición de ⊗).

(37) 1.6.. Álgebra de Conmutadores y Álgebra de Endomorfismos. El Álgebra de Conmutadores de una representación matricial de un grupo G o el Álgebra de Endomorfismos de un G-módulo, nos darán información acerca de la descomposición de la representación en subrepresentaciones irreducibles, y usaremos los dos últimos teoremas de la sección para encontrar (en el Capı́tulo 2) la igualdad entre el número de representaciones irreducibles de un grupo y el número de sus funciones de clase. Definición 1.6.1. Dada una representación matricial X : G → GLd , la correspondiente álgebra de conmutadores es Com X = {T ∈ Matd : T X(g) = X(g)T para todo g ∈ G}, donde Matd es el conjunto de todas las matrices de tamaño d × d con entradas en C. Dado un G-módulo V , la correspondiente álgebra de endomorfismos es End V = {θ : V → V : θ es un G-homomorfismo}. . Si V es un G-módulo y X es su representación matricial correspondiente, al tomar la base B que da origen a X y usar la función Φ : End V → Com X que envı́a a θ ∈ End V en la matriz T ∈ Com X que corresponde a θ en la base B, podemos ver que End V y Com X son isomorfas como álgebras, resultado que será importante para los dos últimos teoremas de esta sección. Ejemplo 1.6.1. De acuerdo con el Corolario (1.4.3) si X es la representación matricial de G y es irreducible, entonces Com X = {T ∈ Matd : T X(g) = X(g)T para todo g ∈ G} = {cId : c ∈ C} por lo tanto, dim(Com X) = 1 como espacio vectorial, ya que la matriz Id está fija y lo único que puede cambiar es el escalar c. 28. .

(38) Ejemplo 1.6.2. Supongamos que X es una representación matricial tal que X=. X (1). 0. 0. X (2). = X (1) ⊕ X (2). donde X (1) , X (2) son irreducibles y no equivalentes de grados d1 , d2, respectivamente. Supongamos que T1,1 T1,2. T =. T2,1 T2,2. es una matriz con bloques de la misma dimensión que los bloques de X. Si T X = XT , entonces al multiplicar a ambos lados obtenemos T1,1 X (1) T1,2 X (2). =. T2,1 X (1) T2,2 X (2). X (1) T1,1 X (1) T1,2 X (2) T2,1 X (2) T2,2. que separado por bloques es T1,1 X (1) = X (1) T1,1 T1,2 X (2) = X (1) T1,2 T2,1 X (1) = X (2) T2,1 T2,2 X (2) = X (2) T2,2 . Usando los Corolarios (1.4.1) y (1.4.3) y teniendo en cuenta que X (1) y X (2) no son equivalentes, podemos resolver estas ecuaciones para obtener T1,1 = c1 Id1 ,. T1,2 = T2,1 = 0,. T2,2 = c2 Id2 ,. donde c1 , c2 ∈ C y Id1 , Id2 son las matrices identidad de grados d1 , d2 . Por lo tanto, T =. c1 Id1. 0. 0. c2 Id2. .. En conclusión, tenemos que si X = X (1) ⊕ X (2) con X (1) X (2) e irreducibles, entonces Com X = {c1 Id1 ⊕ c2 Id2 : c1 , c2 ∈ C}, . donde d1 = gr X (1) y d2 = gr X (2) . 29.

(39) En general, si X =. k i=1. X (i) donde los X (i) son irreducibles y no equivalentes entre. ellos, entonces Com X =. k i=1. donde di = gr X (i) . Notemos que gr X =. ci Idi : ci ∈ C , k i=1. di y que la dimensión de Com X es. k (como espacio vectorial) porque solamente pueden variar los k escalares ci ya que las matrices Idi son fijas. Ejemplo 1.6.3. Supongamos que X=. X (1) 0. 0 X. (1). = 2X (1) ,. donde X (1) es irreducible de grado d. Tomemos T partida como X y calculemos la multiplicación por bloques de T X = XT , ası́ T1,1 X (1) = X (1) T1,1 T1,2 X (1) = X (1) T1,2 T2,1 X (1) = X (1) T2,1 T2,2 X (1) = X (1) T2,2 . De nuevo, usando los Corolarios (1.4.1) y (1.4.3) encontramos que para todo i, j = 1, 2 Ti,j = ci,j Id , donde ci,j ∈ C. Ası́, el álgebra de conmutadores es c1,1 Id c1,2 Id Com X = : ci,j ∈ C para todo i, j c2,1 Id c2,2 Id que usando la notación de la Definición (1.5.1) podemos escribir como c1,1 c1,2 ⊗ Id : ci,j ∈ C para todo i, j Com X = c2,1 c2,2 = {M2 ⊗ Id : M2 ∈ Mat2 }. 30.

(40) Si tomamos X = mX (1) , entonces Com X = {Mm ⊗ Id : Mm ∈ Matm }, donde d es el grado de X. Calculando grados y dimensiones obtenemos gr X = gr mX (1) = m gr X (1) = md y dim(Com X) = dim{Mm : Mm ∈ Matm } = m2 . Finalmente, en el caso más general, si X = m1 X (1) ⊕ m2 X (2) ⊕ · · · ⊕ mk X (k) ,. (3). donde los X (i) son irreducibles y no equivalentes entre ellos con gr X (i) = di , entonces el grado de X está dado por k. gr(mi X (i) ) = m1 d1 + m2 d2 + · · · + mk dk .. gr X = i=1. Combinando los Ejemplos (1.6.2) y (1.6.3) podemos encontrar que k Com X = (Mmi ⊗ Idi ) : Mmi ∈ Matmi para todo i. (4). i=1. cuya dimensión es dim(Com X) = dim. k . Mmi : Mmi ∈ Matmi. = m21 + m22 + · · · + m2k .. i=1. Definición 1.6.2. El centro de un álgebra A es ZA = {a ∈ A : ab = ba para todo b ∈ A}. . Proposición 1.6.1. El centro de Matd es ZMatd = {cId : c ∈ C}. 31.

(41) Demostración. El álgebra Matd tiene como base al conjunto B = {Ei,j : 1 ≤ i, j ≤ d}, donde Ei,j es la matriz de ceros con exactamente un 1 en la posición (i, j), ası́, si C ∈ ZMatd , entonces en particular, tenemos CEi,i = Ei,i C. (5). para todo i. Pero CEi,i (respectivamente Ei,i C) es una matriz de sólo ceros excepto en la i-ésima columna (respectivamente i-ésima fila) y está compuesta por los valores de C de esa columna (resp. fila). Ası́, la ecuación (5) implica que todos los elementos de fuera de la diagonal de la matriz C son cero. Similarmente, si i = j, entonces C(Ei,j + Ej,i) = (Ei,j + Ej,i)C donde la multiplicación izquierda (respectivamente derecha) cambia las columnas (resp. filas) i, j de C. Esto implica que todos los elementos de la diagonal son iguales, es decir, C = cId para algún c ∈ C y claramente, estas matrices conmutan con cualquier otra matriz.. . Ahora consideremos C ∈ ZCom X donde X y Com X están dados como en las ecuaciones (3) y (4), respectivamente. Entonces, CT = T C para todo T ∈ Com X. (6). donde T = ⊕ki=1 (Mmi ⊗ Idi ) y C = ⊕ki=1 (Cmi ⊗ Idi ). Calculando el lado izquierdo obtenemos CT = (⊕ki=1 Cmi ⊗ Idi )(⊕ki=1 Mmi ⊗ Idi ). (definición de C y T ). = ⊕ki=1 (Cmi ⊗ Idi )(Mmi ⊗ Idi ). (parte (2) del Lema (1.5.1)). = ⊕ki=1 (Cmi Mmi ⊗ Idi ). (parte (1) del Lema (1.5.1)). Similarmente, T C = ⊕ki=1 (Mmi Cmi ⊗ Idi ). 32.

(42) Ası́ la ecuación (6) es cierta si y solo si Cmi Mmi = Mmi Cmi para todo Mmi ∈ Matmi pero esto implica que C está en el centro de Matmi , que por la Proposición (1.6.1) equivale a Cmi = ci Imi para algún ci ∈ C, por lo tanto, C = ⊕ki=1 ci Imi ⊗ Idi = ⊕ki=1 ci Imi di ⎛ c1 Im1 d1 0 ⎜ ⎜ 0 c2 Im2 d2 ⎜ =⎜ . .. ⎜ .. . ⎝ 0 0. ⎞. ···. 0. ··· .. .. 0 .. .. · · · ck Imk dk. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠. y todos los elementos de ZCom X tienen esta forma. Notemos que dim ZCom X = k. Teorema 1.6.1. Sea X una representación matricial de G tal que X = m1 X (1) + m2 X (2) + · · · + mk X (k) , donde los X (i) son irreducibles y no equivalentes entre ellos con gr X (i) = di , entonces 1. gr X = m1 d1 + m2 d2 + · · · + mk dk , 2. Com X = {⊕ki=1 (Mmi ⊗ Idi ) : Mmi ∈ Matmi para todo i}, 3. dim(Com X) = m21 + m22 + · · · + m2k , 4. ZCom X = {⊕ki=1 ci Imi di : ci ∈ C para todo i}, 5. dim ZCom X = k.. . Y la versión de este teorema para módulos es:. 33.

(43) Teorema 1.6.2. Sea V un G-módulo tal que V = m1 V (1) + m2 V (2) + · · · + mk V (k) , donde los V (i) son irreducibles y no equivalentes entre ellos con dim V (i) = di , entonces 1. dim V = m1 d1 + m2 d2 + · · · + mk dk , 2. End V ∼ = ⊕ki=1 Mmi , 3. dim(End V ) = m21 + m22 + · · · + m2k , 4. ZEnd V es isomorfo al álgebra de las matrices diagonales de grado k, y 5. dim ZEnd V = k.. . 34.

(44) Capı́tulo II. Teorı́a de Caracteres. La teorı́a de caracteres es una de las teorı́as más importantes cuando se habla de representaciones de grupos finitos, ya que proporciona invariantes que permiten clasificar las representaciones irreducibles de un grupo y permiten descomponer de manera única (salvo isomorfismo) cualquier representación reducible en sus partes irreducibles. A lo largo de éste capı́tulo aprenderemos, desde la definición del caracter de una representación, pasando por cálculos especı́ficos de caracteres para determinar cuándo una representación es irreducible, o cuándo dos representaciones son isomorfas, hasta la equivalencia entre el número de caracteres irreducibles de un grupo y el número de sus funciones de clase. Luego calcularemos el caracter del producto de dos representaciones y veremos en qué casos ese producto es irreducible; y, para terminar, veremos cómo se puede restringir una representación de un grupo a sus subgrupos, o bajo qué condiciones se puede inducir una representación de un subgrupo a un grupo. La teorı́a y los ejemplos de éste capı́tulo están basados en los libros [1], [2] y [4]; se completaron, tanto las demostraciones de las proposiciones y los teoremas, como los cálculos de los ejemplos y se realizaron algunos de los ejercicios propuestos. Al final, se encuentran todas las representaciones del grupo simétrico S4 con su respectiva tabla de caracteres.. 35.

(45) 2.1.. El Caracter de una Representación. En ésta sección aprenderemos a calcular el caracter de una representación, el caracter la suma directa y del producto tensorial de dos representaciones y veremos cómo se crea la tabla de caracteres de un grupo. Definición 2.1.1. Sea V un espacio vectorial con base (ei ) de n elementos, y sea a una función lineal de V en V con matriz (aij ). Definimos la traza de a como el número complejo: aii. Tr(a) = i. que es la suma de los valores propios de a (contados con sus multiplicidades), y que no depende de la base escogida.. . Definición 2.1.2. Sea X(g), g ∈ G una representación matricial, entonces el caracter de X es χ(g) = Tr X(g). Por otro lado, χ se puede ver como la función χ:G→C g → Tr X(g). Si V es un G-módulo, entonces su caracter es el caracter de la representación matricial X correspondiente a V .. . Como hay muchas representaciones matriciales correspondientes a un sólo G-módulo, debemos verificar que el caracter está bien definido, es decir, si X y Y corresponden a V , entonces Y = T XT −1 para alguna matriz T fija, por lo tanto, para todo g ∈ G tenemos Tr Y (g) = Tr T X(g)T −1 = Tr X(g) ya que la traza es invariante bajo conjugación. Ası́, X y Y tienen el mismo caracter. Ejemplo 2.1.1. Supongamos que G es arbitrario y X es una representación de grado 1, entonces el caracter χ(g) es la única entrada de X(g) para cada g ∈ G. . Este caracter se llama caracter lineal. 36.

(46) Ejemplo 2.1.2. Consideremos la representación de definición de Sn con su caracter χdef . Si tomamos n = 3, entonces podemos calcular los valores de los caracteres directamente tomando las trazas de las matrices del Ejemplo (1.2.4), que son χdef ((1)(2)(3)) = 3,. χdef ((1, 2)(3)) = 1,. χdef ((1, 3)(2)) = 1,. χdef ((1)(2, 3)) = 1,. χdef ((1, 2, 3)) = 0,. χdef ((1, 3, 2)) = 0. Podemos ver que en general, si π ∈ Sn , entonces χdef (π) = el número de unos en la diagonal de X(π) = el número de puntos fijos de π. Ejemplo 2.1.3. Sea G = {g1 , g2 , . . . , gn } y consideremos la representación regular con módulo V = C[G] y caracter χreg . Como X() = In , entonces χreg () = |G|. Para calcular los valores de los caracteres para g = , debemos usar las matrices que salen de la base estándar B = {g1 , g2 , . . . , gn } y como X(g) es la matriz de permutación de acción de g sobre B, entonces χreg es el número de puntos fijos bajo esta acción, pero si ggi = gi para cualquier i, entonces g = , que no es el caso, por lo tanto, si g = , entonces X(g) no tiene puntos fijos, es decir, ⎧ ⎨|G| si g = , χreg (g) = ⎩0 de lo contrario. Proposición 2.1.1. Sea X una representación matricial de un grupo G de grado d con caracter χ, entonces 1. χ() = d 2. χ(g −1) = χ(g)∗. para g ∈ G. 3. Si K es una clase de conjugación de G, entonces g, h ∈ K ⇒ χ(g) = χ(h) 37.

(47) 4. Si Y es una representación de G con caracter ψ, entonces X∼ = Y ⇒ χ(g) = ψ(g) para todo g ∈ G. Demostración.. 1. Como X() = Id y T r(Id ) = d, entonces χ() = d.. 2. X(g) es finita, por lo tanto sus valores propios λ1 , . . . , λd también, lo que los hace de norma uno. Ası́ χ(g)∗ = Tr(X(g))∗ =. λ∗i =. −1 −1 −1 λ−1 i = Tr(X(g) ) = Tr(X(g )) = χ(g ).. 3. Como g, h ∈ K, entonces g = khk −1 para algún k ∈ K, ası́ χ(g) = Tr X(g) = Tr X(k)X(h)X(k)−1 = Tr X(h) = χ(h). 4. Esta afirmación la probamos después de la Definición (2.1.2) al mostrar que el caracter estaba bien definido. . Proposición 2.1.2. Sean X (1) (g) y X (2) (g) dos representaciones matriciales de G (g ∈ G), y sean χ(1) y χ(2) sus respectivos caracteres, entonces: 1. El caracter χ(g) de la suma directa de las representaciones (X (1) ⊕ X (2) )(g) (Definición 1.3.2) es igual a χ(1) (g) + χ(2) (g). 2. El caracter ψ(g) del producto tensorial de las representaciones (X (1) ⊗X (2) )(g) (Definición 1.5.3) es igual a χ(1) (g) · χ(2) (g). Demostración.. 1. La representación X(g) = (X (1) ⊕ X (2) )(g) = X (1) (g) ⊕ X (2) (g). está dada por X(g) =. X (1) (g). 0. 0. X (2) (g). donde Tr X(g) = Tr(X (1) ⊕ X (2) )(g) = Tr X (1) (g) + Tr X (2) (g) y por lo tanto, χ(g) = χ(1) (g) + χ(2) (g). 38.

(48) 2. Notemos que para dos matrices A y B cualesquiera. Tr(A ⊗ B) = Tr(ai,jB ) =. ai,i Tr B = Tr A · Tr B.. (7). i. por lo tanto, Tr X(g) = Tr(X (1) ⊗ X (2) )(g) = Tr(X (1) (g) ⊗ X (2) (g)). (def. producto tensorial 1.5.3). = Tr X (1) (g) · Tr X (2) (g). (por la ecuación 7). ası́, ψ(g) = χ(1) (g) · χ(2) (g) . Si K es una clase de conjugación de G y χ es su caracter, podemos definir χK como el valor de el caracter en la clase dada: χK = χ(g) para cualquier g ∈ K. Definición 2.1.3. Sea G un grupo. La tabla de caracteres de G es un arreglo con las filas indizadas por los caracteres irreducibles no equivalentes de G y las columnas por las clases de conjugación de G. La entrada de la tabla en la fila χ y la columna K es χK y se verı́a de la forma. K .. .. ···. .. .. ··· χ .. .. · · · χK .. .. ···. 39.

(49) Por convención, la primera fila corresponde al caracter trivial y la primera columna a la clase de la identidad K = {}.. . Esta tabla siempre es finita, ya que más adelante probaremos que el número de representaciones irreducibles de un grupo es igual al número de sus funciones de clase, lo que también implica que la tabla es cuadrada. Ejemplo 2.1.4. Si G = Cn , el grupo cı́clico de n elementos, entonces cada elemento está en una clase de conjugación. Como hay n clases de conjugación, debe haber n representaciones irreducibles no equivalentes de Cn . En el Ejemplo 1.2.2 encontramos n representaciones de grado 1 que no son equivalentes entre ellas porque sus caracteres son diferentes (Parte 4 Proposición 2.1.1), por lo tanto, ya encontramos todas las representaciones irreducibles de Cn y su tabla de caracteres es la mostrada . allı́.. Ejemplo 2.1.5. Si G = S3 , entonces hay tres clases de conjugación (una por cada tipo de ciclo), que son K1 = {},. K2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. K3 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2)}. y. Por lo tanto, debe haber tres representaciones irreducibles para S3 . Anteriormente encontramos dos de ellas, la trivial y la del signo y encontraremos el caracter de la tercera usando producto interno de caracteres. Hasta ahora tenemos la siguiente tabla de caracteres para este grupo, luego encontraremos el resto, K1. K2. K3. χ. 1. 1. 1. χ(2). 1 −1. 1. χ(3). ?. ?. (1). ?. . 40.

(50) 2.2.. Ortogonalidad de Caracteres. Ahora estudiaremos el producto interno de caracteres, que nos permitirá determinar: la irreducibilidad de una representación, el número de veces que está una representación irreducible dentro de otra o si dos representaciones son equivalentes. Podemos ver al caracter χ de un grupo G = {g1 , g2 , . . . , gn } como un vector fila de números complejos, ası́: χ = ( χ(g1 ), χ(g2 ), . . . , χ(gn ) ). Si χ es irreducible, entonces este vector se puede obtener de la tabla de caracteres, simplemente repitiendo el valor del caracter en la clase K un número |K| veces. Por ejemplo, los dos primeros caracteres de S3 de la última tabla de la sección anterior, son χ(1) = (1, 1, 1, 1, 1, 1). χ(2) = (1, −1, −1, −1, 1, 1).. y. Para dos vectores fila de números complejos tenemos el producto interno usual dado por (c1 , c2 , . . . , cn ) · (d1 , d2, . . . , dn ) = c1 d1 + c2 d2 + . . . + cn dn donde la barra significa conjugado complejo. Calculando el producto interno de los dos caracteres que conocemos de S3 obtenemos χ(1) · χ(1) = (1, 1, 1, 1, 1, 1) · (1, 1, 1, 1, 1, 1) = 6 χ(2) · χ(2) = (1, −1, −1, −1, 1, 1) · (1, −1, −1, −1, 1, 1) = 6 χ(1) · χ(2) = (1, 1, 1, 1, 1, 1) · (1, −1, −1, −1, 1, 1) = 0 Y calculando, por ejemplo, los productos internos de los caracteres de C4 de la tabla. 41.

(51) del Ejemplo 1.2.2, encontramos ρ1 · ρ1 = (1, 1, 1, 1) · (1, 1, 1, 1) = 4 ρ2 · ρ2 = (1, i, −1, −i) · (1, i, −1, −i) = 1 + i i + (−1)2 + (−i)(−i) = 1 + i(−i) + 1 + (−i)i = 1 + (−i2 ) + 1 + (−i2 ) = 4 ρ3 · ρ3 = (1, −1, 1, −1) · (1, −1, 1, −1) = 4 ρ4 · ρ4 = (1, −i, 1, i) · (1, −i, 1, i) = 4 y con algunos ρi · ρj para i = j obtenemos ρ1 · ρ3 = (1, 1, 1, 1) · (1, −1, 1, −1) = 1 + (−1) + 1 + (−1) = 0 ρ2 · ρ3 = (1, i, −1, −i) · (1, −1, 1, −1) = 1 + (−i) + (−1) + i = 0 ρ2 · ρ4 = (1, i, −1, −i) · (1, −i, 1, i) = 1 + i(−i) + (−1) + (−i)i = 0 con lo que podemos establecer la siguiente conjetura: Si χ(i) y χ(j) son caracteres irreducibles de G, entonces χ(i) · χ(j). ⎧ ⎨|G| si i = j, = ⎩0 si i = j.. Dividiendo por |G|, para normalizar el resultado, obtenemos una definición para el producto interno de caracteres. Definición 2.2.1. Definimos el producto interno de las funciones χ y ψ de un grupo G a un campo arbitrario como: 1 1 χ(g −1)ψ(g) = χ(g)ψ(g −1). χ, ψ = |G| g∈G |G| g∈G . Tenemos que χ, ψ = ψ, χ y que χ, ψ es lineal en χ y en ψ. Definición 2.2.2. Definimos el producto escalar de las funciones χ y ψ de G en los números complejos C como: χ, ψ =. 1 χ(g)ψ(g). |G| g∈G . 42.

(52) Tenemos que χ, ψ es lineal en χ y semilineal en ψ, además χ, χ > 0 para todo χ = 0. Supongamos que V es un G-módulo con caracter ψ. Si tomamos una base ortonormal de V obtenemos una representación matricial Y para ψ, donde cada Y (g) es unitario, es decir, t. Y (g −1 ) = Y (g)−1 = Y (g) , donde t es la transpuesta. Proposición 2.2.1. Sean χ y ψ caracteres, entonces χ, ψ = χ, ψ . Demostración. Supongamos que ψ es el caracter de Y (como en la afirmación anterior), por lo tanto, χ, ψ =. 1 1 χ(g)ψ(g) = χ(g) Tr Y (g) |G| g∈G |G| g∈G. =. 1 1 χ(g) Tr Y (g −1) t = χ(g) Tr Y (g −1) |G| g∈G |G| g∈G. =. 1 χ(g)ψ(g −1) = χ, ψ |G| g∈G. . . Por otro lado, como χ y ψ son constantes en las clases de conjugación, podemos llamar χK y ψK al valor de cada caracter en la clase K. Entonces la siguiente igualdad es cierta χ, ψ =. 1 |G|. |K|χK ψK , K. donde la suma es sobre todas las clases de conjugación de G. Teorema 2.2.1. Sean χ y ψ caracteres irreducibles de un grupo G, entonces χ, ψ = δχ,ψ 43. (8).

(53) Demostración. Supongamos que χ y ψ son los caracteres de las representaciones matriciales A y B de grados d y f , respectivamente. Vamos a usar el Lema de Schur (1.4.2) y por lo tanto, debemos encontrar una matriz que cumpla las condiciones de T en el Corolario 1.4.1. Sea X = (xi,j ) una matriz de tamaño d×f de indeterminadas xi,j , y consideremos la matriz Y =. 1 A(g)XB(g −1) |G| g∈G. (9). que cumple A(h)Y = Y B(h) para todo h ∈ G porque A(h)Y B(h)−1 = A(h). 1 A(g)XB(g −1) B(h)−1 |G| g∈G. =. 1 A(h)A(g)XB(g −1)B(h−1 ) |G| g∈G. =. 1 A(hg)XB(g −1h−1 ) |G| g∈G. =. 1 |G|. A( g )XB( g −1 ) g ∈G =hg g. =Y Ası́, concluimos usando los Corolarios (1.4.1) y (1.4.3) que ⎧ ⎨0 si A B, Y = ⎩cI si A ∼ = B.. (10). d. Consideremos el caso en el que χ = ψ, por lo tanto, A y B no son equivalentes, lo que implica que yi,j = 0 para todo elemento de Y , ası́, podemos tomar la entrada (i, j) de la ecuación (9) para obtener 1 |G|. ai,k (g)xk,l bl,j (g −1 ) = 0 k,l g∈G. para todo i, j. Si este polinomio es cero, el coeficiente de cada xk,l debe ser cero, entonces 1 ai,k (g)bl,j (g −1 ) = 0 |G| g∈G 44.

(54) para todo i, j, k, l. Notemos que esta ecuación se puede escribir más fácilmente como ai,k , bl,j = 0. ∀i, j, k, l. (11). ya que nuestra definición de producto interno aplica a todas las funciones de G en C. Ahora, χ = Tr A = a1,1 + a2,2 + · · · + ad,d y ψ = Tr B = b1,1 + b2,2 + · · · + bf,f , por lo tanto, χ, ψ = χ, ψ 1 = χ(g)ψ(g −1) |G| g∈G =. 1 Tr A(g) Tr B(g −1) |G| g∈G. =. 1 |G| g∈G. =. 1 |G| g∈G. = i,j. bj,j (g −1). ai,i (g) i. j. ai,i (g)bj,j (g −1) i,j. 1 ai,i (g)bj,j (g −1) |G| g∈G ai,i, bj,j = 0. = i,j. como querı́amos. Ahora supongamos que χ = ψ, entonces podemos tomar A = B. Por la ecuación (10) sabemos que existe un escalar c ∈ C tal que yi,j = cδi,j , entonces tenemos ai,k , al,j. . = 0 siempre que i = j(como en el caso anterior), y debemos revisar el. caso en el que i = j. Consideremos 1 A(g)XA(g −1) = cId |G| g∈G 45.

(55) y tomemos trazas en ambos lados cd = Tr cId = Tr =. 1 A(g)XA(g −1) |G| g∈G. 1 1 Tr(A(g)XA(g −1)) = Tr X |G| g∈G |G| g∈G. = Tr X. Entonces, yi,i = c = 1 |G|. k,l. 1 d. Tr X puede reescribirse como. 1 ai,k (g)xk,l al,i (g −1 ) = (x1,1 + x2,2 + · · · + xd,d ) d g∈G. e igualando los coeficientes de xk,l en la ecuación anterior obtenemos 1 1 ai,k (g)al,i (g −1) = δk,l |G| g∈G d. ai,k , al,i = de lo que podemos concluir. . d. . d. ai,i ,. χ, χ = i=1. aj,j. i=1. ai,i , aj,j. . i,j=1 d. ai,i , ai,i =. =. d. =. i=1. d. (12). i=1. 1 d. =1 que era lo que querı́amos probar.. . Notemos que las ecuaciones (11) y (12) dan relaciones de ortogonalidad entre las entradas de las matrices de las representaciones, ası́ como estas relaciones entre los caracteres dan las siguientes consecuencias importantes: Corolario 2.2.1. Sea X una representación matricial de G con caracter χ y supongamos que X∼ = m1 X (1) ⊕ m2 X (2) ⊕ · · · ⊕ mk X (k) , donde todos los X (i) son irreducibles y no equivalentes entre ellos, con caracteres χ(i) . Entonces, 46.

(56) 1. χ = m1 χ(1) + m2 χ(2) + · · · + mk χ(k) . 2. χ, χ(j) = mj , para todo j. 3. χ, χ = m21 + m22 + · · · + m2k . 4. X es irreducible si y solo si χ, χ = 1. 5. Sea Y otra representación matricial de G con caracter ψ, entonces X∼ = Y si y solo si χ(g) = ψ(g) para todo g ∈ G. Demostración.. 1. Usando la parte 1 de la Proposición (2.1.2) tenemos χ = Tr X = Tr. k . k. mi X. (i). mi χ(i) .. =. i=1. i=1. 2. Por el teorema anterior tenemos que χ, χ(j) =. mi χ(i) , χ(j) =. mi χ(i) , χ(j) = mj .. i. i. 3. También usando el teorema anterior tenemos mi χ(i) ,. χ, χ = i. mj χ(j) = j. mi mj χ(i) , χ(j) = i,j. m2i . i. 4. Supongamos que X es irreducible. Como X∼ = m1 X (1) ⊕ m2 X (2) ⊕ · · · ⊕ mk X (k) se debe tener que todos los mi son iguales a cero, excepto uno, sea éste mj , entonces X = mj X (j) que implica que mj = 1, ası́ usando la parte 2 podemos concluir que χ, χ = χ, χ(j) = mj = 1.. 47.

(57) Ahora, supongamos que χ, χ = 1. Por la parte 3 tenemos que m2i = 1. χ, χ = i. por lo que debe haber exactamente un ı́ndice j tal que mj = 1 y los otros mi deben ser cero, ası́ que X = X (j) que habı́amos asumido que era irreducible. 5. La implicación ⇒ ya la habı́amos probado en la parte 4 de la Proposición (2.1.1). Para la otra implicación, tomemos Y ∼ =. k . ni X (i) ,. i=1. descomposición en la que podemos asumir que X y Y comparten los mismos irreducibles, y si hay uno en una descomposición que no esté en el otro, simplemente se pone con multiplicidad 0. Ahora, como χ = ψ, entonces χ, χ(i) = ψ, χ(i) para todo i, pero por la parte 2 podemos concluir que mi = ni para todo i. Ası́ las dos sumas directas son equivalentes, es decir, X ∼ = Y. . Volviendo a trabajar con Sn , si χ es su caracter, podemos ver que para π ∈ Sn tenemos que χ(π) = χ(π −1 ) ya que los caracteres son constantes en las clases de conjugación y tanto π como π −1 están en la misma clase. De esto podemos concluir que la fórmula para el producto interno de caracteres de Sn puede reescribirse como χ, ψ =. 1 χ(π)ψ(π). n! π∈S. (13). n. Ejemplo 2.2.1. Sea G = S3 y consideremos χ = χdef . Sean χ(1) , χ(2) , χ(3) los tres caracteres irreducibles de S3 , donde los dos primeros son el trivial y el del signo, respectivamente. Por el Teorema de Maschke (1.3.2) y la parte 1 del Corolario (2.2.1) sabemos que χ = m1 χ(1) + m2 χ(2) + m3 χ(3) . 48.

(58) Además, si usamos la ecuación (13) y la parte 2 del Corolario (2.2.1) podemos calcular m1 y m2 ya que conocemos los valores del caracter de la representación de definición, porque los encontramos en el Ejemplo (2.1.2). m1 = χ, χ(1) =. 1 χ(π)χ(1) (π) 3! π∈S 3. 1 = (3 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + 0 · 1 + 0 · 1) = 1 6 1 χ(π)χ(2) (π) m2 = χ, χ(2) = 3! π∈S 3. 1 = (3 · 1 + 1 · (−1) + 1 · (−1) + 1 · (−1) + 0 · 1 + 0 · 1) = 0. 6 Ası́, χ = χ(1) + m3 χ(3) . De hecho, ya sabı́amos que el caracter de definición contenı́a una copia de la representación trivial y además habı́amos encontrado otra subrepresentación en el Ejemplo (1.3.2). Allı́ habı́amos descompuesto X como A ⊕ B, donde A era la matriz de la representación trivial, por lo tanto, vamos a probar que las matrices B(g) corresponden a una o más copias del caracter χ(3) . Estas matrices eran. B( e ) =. B( (1, 2) ) =. B( (1, 3) ) =. 1 0. B( (2, 3) ) =. 0 1 −1 −1 0. 1. 1. 0. B( (1, 3, 2) ) =. B( (1, 2, 3) ) =. −1 −1. 49. 0 1 1 0 0. 1. −1 −1 −1 −1 1. 0.

(59) Si llamamos ψ al caracter correspondiente, entonces ψ() = 2 ψ((1, 2)) = ψ((1, 3)) = ψ((2, 3)) = 0 ψ((1, 2, 3)) = ψ((1, 3, 2)) = −1. Si ψ es irreducible, entonces m3 = 1 y ya encontramos χ(3) , si no, entonces al ser ψ de grado 2, debe contener dos copias de χ(3) . Por la parte 4 del Corolario (2.2.1) podemos saber si ψ es irreducible o no, ası́: 1 ψ, ψ = (22 + 02 + 02 + 02 + (−1)2 + (−1)2 ) = 1. 6 Como ya encontramos el caracter irreducible que faltaba, entonces podemos completar la tabla de caracteres de S3 , que es K1. K2. K3. χ(1). 1. 1. 1. χ(2). 1 −1. 1. χ(3). 2. 0 −1 . Proposición 2.2.2. El módulo de definición de Sn , V = C{1, 2, . . . , n}, siempre tiene a W = C{1 + 2 + · · · + n} como un submódulo. Si χ(1) y χ⊥ son los caracteres correspondientes a W y W ⊥ , respectivamente, entonces V = W ⊕ W ⊥ que implica que χdef = χ(1) + χ⊥ . Ya sabı́amos que χdef cuenta los puntos fijos de π ∈ Sn y que χ(1) es el caracter trivial, por lo tanto, χ⊥ (π) = (número de puntos fijos de π) − 1 también es un caracter de Sn y es irreducible.. 50.

(60) Demostración. En el Ejemplo (1.2.9) vimos que W es un submódulo de V y en el Teorema (1.3.1) probamos que W ⊥ también lo es. Como W es la subrepresentación trivial (de grado 1), entonces es irreducible y para mostrar que W ⊥ también es irreducible, calculamos su caracter y hacemos producto interno con él mismo, para ver que siempre es 1.. . Ya vimos la aplicación de esta proposición al grupo S3 en el Ejemplo (2.2.1), ahora veremos la aplicación para S4 . Ejemplo 2.2.2. Si G = S4 y χ = χdef , sabemos que χ cuenta los puntos fijos de cada clase de conjugación de G y que cada clase corresponde a un tipo de ciclo, por lo tanto, las clases son K1 = {} K2 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} K3 = {(1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} K4 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3)} K5 = {(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)} y el valor de χ en cada clase es K1 → 4. K3 → 0. K2 → 2. K4 → 1. K5 → 0.. Tomando πi como algún elemento de Ki y combinando la ecuación (8) con la ecuación (13) obtenemos ⊥. ⊥. χ ,χ. 1 = 4!. 5. |Ki |(χ⊥ (πi ))2 i=1. 1 (1 · 32 + 6 · 12 + 3 · (−1)2 + 8 · 02 + 6 · (−1)2 ) 4! 1 24 = (9 + 6 + 3 + 0 + 6) = = 1. 24 24. =. 51.

(61) 2.3.. Número de Representaciones Irreducibles. En esta sección veremos la estrecha relación que existe entre los caracteres irreducibles de una representación y sus funciones de clase. Definición 2.3.1. Una función de clase en un grupo G es una función f : G → C tal que f (g) = f (h) siempre que g y h estén en la misma clase de conjugación. El conjunto de funciones de clase sobre G se denota R(G).. . Claramente, las sumas y múltiplos escalares de las funciones de clase son funciones de clase, ası́ R(G) es entonces un espacio vectorial sobre C. Además R(G) tiene una base natural que consiste de las funciones que tienen el valor 1 en una clase de conjugación dada y 0 en el resto, por lo tanto, dim R(G) = número de clases de conjugación de G. Proposición 2.3.1. Sea G un grupo finito y supongamos que C[G] =. (14) i. mi V (i) ,. donde los V (i) forman una lista completa de G-módulos irreducibles y no equivalentes entre ellos, entonces 1. mi = dim V (i) 2.. . i (dim V. ) = |G|. (i) 2. 3. El número de V (i) ’s es igual al número de clases de conjugación de G. Demostración.. 1. Consideremos el caracter χ = χreg de G, por lo tanto, si V (i). tiene caracter χ(i) , por la parte 2 del Corolario (2.2.1) tenemos que mi = χ, χ(i) =. 1 χ(g)χ(i) (g −1 ). |G| g∈G. Como ya habı́amos calculado el caracter de la representación regular en el Ejemplo (2.1.3) y era 0 excepto para g = que era |G|, reemplazando en la. 52.