Dinámica del vuelo de un balón de fútbol - simulaciones en Mathematica y CFX

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(1)DINÁMICA DEL VUELO DE UN BALÓN DE FÚTBOL: SIMULACIONES EN Mathematica Y CFX. por. Raúl Camilo Rincón Sierra. Universidad de los Andes Departamento de Ingenierı́a Mecánica Bogotá, Colombia Junio, 2007.

(2) IM-2007-I-26. ii. DINÁMICA DEL VUELO DE UN BALÓN DE FÚTBOL: SIMULACIONES EN Mathematica Y CFX. por. Raúl Camilo Rincón Sierra. Proyecto de grado para optar por el tı́tulo de. Ingeniero Mecánico. Director: Álvaro Enrique Pinilla Sepúlveda Ph.D.. Universidad de los Andes Departamento de Ingenierı́a Mecánica Bogotá, Colombia Junio, 2007.

(3) IM-2007-I-26. iii. Bogotá, D.C. Junio de 2007. Doctor LUIS MARIO MATEUS Director Dep. de Ing. Mecánica Universidad de los Andes Ciudad. Respetado Doctor,. Por medio de la presente someto a su consideración el proyecto de grado “DINÁMICA DEL VUELO DE UN BALÓN DE FÚTBOL: SIMULACIONES EN MATHEMATICA Y CFX ” elaborado por Raúl Camilo Rincón Sierra como requisito para optar por el tı́tulo de Ingeniero Mecánico.. Atentamente,. ÁLVARO ENRIQUE PINILLA SEPÚLVEDA Asesor.

(4) IM-2007-I-26. iv. Bogotá, D.C. Junio de 2007. Doctor LUIS MARIO MATEUS Director Dep. de Ing. Mecánica Universidad de los Andes Ciudad. Respetado Doctor,. Por medio de la presente someto a su consideración el proyecto de grado “DINÁMICA DEL VUELO DE UN BALÓN DE FÚTBOL: SIMULACIONES EN MATHEMATICA Y CFX ” elaborado por Raúl Camilo Rincón Sierra como requisito para optar por el tı́tulo de Ingeniero Mecánico.. Atentamente,. RAÚL CAMILO RINCÓN SIERRA cod. 200211281.

(5) IM-2007-I-26. v. AGRADECIMIENTOS. Quiero expresar mis más sinceros agradecimientos a todas las personas que de una u otra forma han estado a mi lado en estos años y que sin su colaboración y compañia no podrı́a estar disfrutando de este logro. Agradezco al profesor Álvaro Pinilla por su ayuda en todos los momentos en los que la necesité. Finalmente, muchas gracias a mis padres por su apoyo incondicional..

(6) Índice general. 1. Introducción. 1. 2. Marco Teórico. 5. 2.1. Fuerzas Aerodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.2. Flujo Alrededor de Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.3. Aplicación a Pelotas Deportivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.4. Cuerpos en Rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Obtención de las Trayectorias en Mathematica. 13. 3.1. Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2. Método de Solución Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3. Definición y Parámetros de la Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4. Resultados de la Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. Cálculo de las Fuerzas Aerodinámicas con CFX. 24. 4.1. Definición de la Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2. Geometrı́a a Simular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 vi.

(7) IM-2007-I-26. vii. 4.3. Caracterı́sticas del Enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3.1. Problemas del Refinamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3.2. Enmallado Óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4. Parámetros de la Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.5. Resultados de la Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.5.1. Calibración del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.5.2. Obtención de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5. Análisis de Resultados. 37. 5.1. Tipos de Trayectorias e Influencia de las Variables Termodinámicas . . . . . . . . . 37 5.2. Consecuencias de las Costuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.1. Resultados Globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.2. Resultados Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6. Conclusiones. 49. Bibliografı́a. 54.

(8) Índice de figuras. 1.1. Partes que conforman un balón de fútbol (Tomada de [12]). . . . . . . . . . . . . .. 2. 2.1. Capa lı́mite alrededor de una esfera. (a) En régimen laminar y (b) en régimen turbulento (Tomada de [23]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2. Gráfica del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds para una esfera lisa (Tomada de [17]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.3. Flujo alrededor de una pelota de golf con y sin hoyuelos (Tomada de [18]). . . . . . 10 2.4. Gráfica del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds para esferas de diferentes rugosidades (Tomada de [23]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.5. Flujo alrededor en una esfera en rotación. (a) Aparición de la fuerza de sustentación F L y (b) lineas de flujo (Tomada de [2]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6. Coeficientes de arrastre y sustentación versus velocidad adimensional (Tomada de [23]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1. Definición del sistema de coordenadas. (a) Vector unitario τ en el plano x − y y definición del ángulo θ, (b) vector unitario τ en el plano y − z y definición del ángulo ψ y (c) vector unitario σ y definición del ángulo γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 viii.

(9) IM-2007-I-26. ix. 3.2. Diagrama de cuerpo libre del balón. (a) Plano x − y y (b) plano y − z. . . . . . . . 16 3.3. Ejemplo de cómo se aproximó el coeficiente de arrastre (lı́nea punteada). . . . . . . 19 3.4. Vista 3D de la trayectoria de dos tiros libres; en lı́nea negra teniendo en cuenta la fuerza aerodinámica de sustentación y en lı́nea gris sin tener en cuenta dicha fuerza.. 21. 3.5. Vista superior (plano x − y) de la trayectoria de dos tiros libres; en lı́nea negra teniendo en cuenta la fuerza aerodinámica de sustentación y en lı́nea gris sin tener en cuenta dicha fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.6. Vista 3D de la trayectoria de dos tiros libres; en lı́nea negra teniendo en cuenta la transición de flujo turbulento a flujo laminar y en lı́nea gris sin tener en cuenta dicho efecto aerodinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.7. Vista lateral (plano y −z) de la trayectoria de dos tiros libres; en lı́nea negra teniendo en cuenta la transición de flujo turbulento a flujo laminar y en lı́nea gris sin tener en cuenta dicho efecto aerodinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1. Forma de la sección transversal de los dos tipos de costuras empleados en este estudio. 25 4.2. Ubicación y forma de la costuras estudiadas. (a) Costura cuadrada posición 1, (b) costura triangular posición 1, (c) costura cuadrada posición 2 y (d) costura triangular posición 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3. Dimensiones del volumen de control del balón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.4. Coeficiente de arrastre versus número de Reynolds, en negro obtenida experimentalmente, en colores obtenidas computacionalmente con distintos refinamientos sobre la superficie del balón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.5. Enmallado del volumen de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.6. Lı́neas de flujo alrededor de una esfera lisa. Obtenidas computacionalmente con ayuda del programa Ansys CFX v.11.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.7. Gráfica del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds para una esfera lisa. En negro curva experimental y en gris curva obtenida computacionalmente. . . . . . 35.

(10) IM-2007-I-26. x. 4.8. Coeficientes de arrastre y sustentación versus velocidad adimensional. En lı́nea continua coeficiente de sustentación y en lı́nea a trozos coeficiente de arrastre; las gráficas negras corresponden a una esfera lisa mientras que las gráficas azules corresponden a un balón con costura cuadrada ubicada en la posición 1. . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1. Trayectorias de un balón de fútbol, en negro cobro efectuado en la ciudad de Buenos Aires, Argentina y en gris cobro efectuado en la ciudad de La Paz, Bolivia. (a) Vista superior (plano x − y) y (b) vista lateral (plano y − z). . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2. Distancia x desde el centro del arco a la que el balón cruza la lı́nea de meta; la lı́nea horizonal corresponde a la ubicación del poste del arco.. . . . . . . . . . . . . . . . 40. 5.3. Distancia z desde el suelo a la que el balón cruza la lı́nea de meta; la lı́nea horizonal corresponde a la ubicación del poste del arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4. Tiempo t que tarda el balón en cruzar la lı́nea de meta. . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.5. Trayectorias de un balón de fútbol, de derecha a izquierda, en Buenos Aires, en Barranquilla, en Sao Paulo, en Cali, en Medellı́n, en Bogotá, en Quito y en la Paz. (a) Vista 3D y (b) vista lateral (plano y − z).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. 5.6. Lı́neas de flujo alrededor de una esfera lisa (izquierda) y un balón con costurara cuadrada en la posición 1 (derecha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.7. Distribución de presiones alrededor de un balón liso (izquierda) y un balón con costurara cuadrada en la posición 1 (derecha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.8. Lı́neas de flujo alrededor de un balón en flujo laminar (izquierda) y en flujo tubulento (derecha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.9. Coeficientes de arrastre versus número de Reynolds; en negro pelota lisa, en azul costura cuadrada y en rojo costura triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.

(11) Índice de cuadros. 3.1. Parámetros del método de solución por Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Parámetros de los cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3. Condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1. Combinaciones estudiadas del espesor b y la profundidad h para la costura del balón. 4.2. Parámetros de la simulación.. 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 4.3. Parámetros de control para la simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4. Condiciones de frontera para la simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1. Viscosidad y densidad del aire para diferentes ciudades. . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.2. Velocidad de un balón de fútbol a la que ocurre la transición de flujo laminar a turbulento para diferentes ciudades (el cálculo se ha hecho para Re = 130000 basados en [7]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3. Distancia a la que queda el balón del arco en un tiro cancha a cancha para las mismas condiciones de lanzamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. xi.

(12) CAPÍTULO. 1. Introducción. En las últimas décadas, con el incremento de la competitividad deportiva, se ha hecho necesario vincular la ciencia al deporte. Básicamente son dos los frentes de ataque, por un lado se puede investigar acerca de los accesorias deportivos, cómo éstos pueden ayudar a tener una ventaja sobre los oponentes; por otro lado, se puede investigar que debe hacer el deportista para ser mejor, dónde está dando ventajas a sus contrincantes. Este trabajo aborda los dos lados del problema, se investigaron las propiedades aerodinámicas que tiene un balón de fútbol y a partir de éstas se estudiaron las trayectorias que puede seguir la pelota y que debe hacer el jugador para conseguirlas.. En la Figura 1.1 se muestran las partes principales que conforman un balón de fútbol, en esta figura se observa que, debido al proceso de fabricación, sobre la superficie de éste se forman unas imperfecciones o costuras (no todos los balones son cosidos, pero sı́ todos tienen las ranuras mostradas). Uno de los propósito de este trabajo es investigar la influencia que tienen el tipo, espesor y ubicación de las costuras en el comportamiento aerodinámico de la pelota de fútbol. El otro propósito será determinar la relevancia que tienen las fuerzas aerodinámicas en las trayectorias que describe 1.

(13) IM-2007-I-26. 2. la pelota y establecer que condiciones iniciales debe impartir el jugador al balón para conseguir que éste siga caminos poco convencionales.. Figura 1.1: Partes que conforman un balón de fútbol (Tomada de [12]). El interés de este estudio nace de filmaciones que se han hecho de tiros libres cobrados por jugadores como David Beckham1 en las que se aprecia como el balón se curva y cae súbitamente antes de lo esperado. Con el modelo de tiro parabólico, que serı́a el empleado para predecir el camino que sigue el balón, no se pueden reproducir los fenómenos mencionados, es por ésto que se hace necesario entrar al campo de la aerodinámica para encontrar respuestas de cómo se puede conseguir ese tipo de cobros.. La forma de atacar el problema fue mediante simulaciones por elemento finı́tos para construir las curvas de arrastre versus número de Reynolds que permiten dar una idea de las fuerzas que experimenta la pelota cuando viaja por el aire; y el empleo de métodos de solución numérica para resolver las ecuaciones diferenciales que permiten describir la trayectoria que sigue el balón. 1. Futbolista Inglés, considerado por muchos como uno de los mejores jugadores y un especialista en los cobros. con pelota quieta..

(14) IM-2007-I-26. 3. Son varios los trabajos previos que se han hecho al respecto, para comenzar, vale la pena resaltar un artı́culo sobre psicologı́a deportiva en el que se plantean el problema de si es más importante concentrarse en las habilidades del cuerpo o en la fı́sica que hay detrás de la trayectoria que sigue un balón, de manera experimental se encontró que es más efectivo enseñar cual es la mecánica del balón en vuelo que la técnica corporal [11]. En artı́culos como [8] y [14] se recalca en la importancia de los tiros con pelota quieta y se muestran evidencias de que es posible engañar al arquero (juzgan erróneamente a donde va a parar la pelota) si se logran generar trayectorias curvas ya que éstos tienen tiempos muy cortos de reacción.. Un argumento contundente del porque es importante unir la ciencia al deporte se ve en [13] donde se concluye acerca de la importancia de dar una instrucción cuidadosa y un correcto material a los jugadores jóvenes para evitar lesiones y mejorar el desempeño.. Para saber cuales deben ser las condiciones iniciales empleadas en este trabajo se utilizó el artı́culo [15] en el que encontraron, de manera experimental, la velocidad promedio de lanzamiento en un tiro libre (26,3 ± 3,4m/s en un intervalo de 19,2 − 32,6m/s). También se empleó la información mostrada en [5], donde se simulan las trayectorias bajo los supuestos que los coeficientes de arrastre y sustentación son constantes a lo largo de la trayectoria. Sin embargo, como se muestra en [6], los coeficientes de arrastre y sustentación son funcion de la velocidad, spin y rugosidad superficial. En estos trabajos ası́ como en [3], donde solo modela el régimen turbulento, no se estudia la transición de flujo laminar a turbulento para la predicción de trayectorias, es por esto, que este estudio se propone hacerlo ya que en la práctica se evidencia que debe ser tenida en cuenta dicha transición.. Finalmente, otra fuente importante para estudiar la influencia de las costuras en la aerdinámica del balón es [7], donde además vuelven a recalcar que el spin puede confundir al portero en la trayectoria a seguir pero se aumenta el tiempo de vuelo..

(15) IM-2007-I-26. 4. Con el desarrollo de este trabajo se va a poder llegar a la importancia de estudiar las fuerzas aerodinámicas para predecir correctamente el comportamiento de un balón de fútbol, se logró reproducir correctamente que la pelota se curve en vuelo y que caiga antes de lo esperado y se estableció que debe hacer un jugador para poder conseguir esos efectos; también se concluyó acerca de que tipo y ubicación de las costuras es mejor emplear según el efecto que se quiera que tenga el balón. Al respecto de la actual polémica por la prohibición de jugar partidos internacionales a más de 2500m de altura, se hizo un estudio para ocho diferentes ciudades suramericanas ubicadas a diferentes alturas sobre el nivel del mar (de 0 a 3600m.s.n.m) en el que se pone en evidencia la gran diferencia que representa jugar a distintas alturas y que para un jugador habituado a ciertas condiciones de altura puede representar la diferencia entre hacer o no un gol..

(16) CAPÍTULO. 2. Marco Teórico. 2.1.. Fuerzas Aerodinámicas. Cuando se estudia el comportamiento de los cuerpos sumergidos en fluidos, se encuentra que se produce una fuerza neta sobre el cuerpo debido al movimiento relativo entre éste y el fluido; usualmente se descompone esta fuerza aerodinámica en dos componentes; la fuerza de arrastre F D (drag en inglés) y la fuerza de sustentación F L (lift en englés). Se define el arrastre como la componente de la fuerza en la dirección paralela al vector de velocidad v y la sustentación como la componente de la fuerza en la dirección perpendicular a v.. Sin embargo, hay cantidades de naturaleza más fundamental que las fuerzas aerodinámmicas [2]; dichas cantidades son los coeficientes adimensionales de las fuerzas, que se definen a partir de la presión dinámica q dada por q ≡ 21 ρv 2. 5. (2.1).

(17) IM-2007-I-26. 6. donde ρ es la densidad del fluido y v = |v| la magnitud de su velocidad. Sea A el área de referencia del cuerpo, los coeficiente adimensionales de arrastre y sustentación se definen como CD =. FD qA. (2.2). CL =. FL qA. (2.3). respectivamente.. Para entender porque se producen las fuerzas aerodinámicas es necesario estudiar el comportamiento del fluido cuando éste interactúa con el cuerpo sumergido.. 2.2.. Flujo Alrededor de Esferas. En este caso particular, el cuerpo sumergido de interés es una esfera. Por ser una geometrı́a común ha sido estudiada ampliamente y en la mayorı́a de textos de Mecánica de Fluidos se incluye una sección dedicada, exclusivamente, al estudio de esferas y cilindros sumergidos, ver por ejemplo [23].. Cuando se observa el flujo alrededor de una esfera se encuentra que la fuerza de arrastre es producida, principalmente, por el desprendimiento de la capa lı́mite. La capa lı́mite es una región muy pequeña ubicada en las cercanı́as del cuerpo sumergido que se produce por la condición de no deslizamiento del fluido sobre la superficie del cuerpo; la frontera de dicha capa se define como: la región en la cual el fluido pasa de tener velocidad cero a tener la velocidad del fluido no perturbado. Adicionalmente, ésta puede corresponder a flujo laminar o flujo turbulento. La diferencia entre éstos dos es que en flujo laminar el fluido se mueve a lo largo de trayectorias suaves en láminas, o capas que se deslizan suavemente una sobre otra y cualquier tendencia al giro es atenuada por la viscosidad, mientras que en flujo turbulento el fluido se mueve en trayectorias arremolinadas irregulares generándose continuos intercambios de momentum [21]..

(18) IM-2007-I-26. 7. Para saber si el comportamiento del fluido es de tipo laminar o turbulento se utiliza el número adimensional de Reynolds Re que mide la relación entre las fuerzas inerciales y las viscosas y está definido como Re =. ρvD µ. (2.4). con µ la viscosidad diámica del fluido y D el diámetro de la esfera.. En la Figura 2.1 se muestra el flujo alrededor de una esfera (a) cuando el flujo es laminar y (b) cuando el flujo es turbulento. Nótese que para el caso de flujo laminar el desprendimiento de la capa lı́mite ocurre antes y la estela que se produce es mayor (en el caso de flujo laminar la capa lı́mite se desprende aproximadamente a 82◦ sobre la horizontal en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que en el caso de flujo turbulento lo hace a 120◦ ). El desprendimiento posterior de la capa lı́mite en el caso de flujo turbulento se debe a que en éste hay gran transferencia de momentum, lo que requiere de un mayor gradiente de presión adversa para desprender dicha capa. La estela que se genera por el desprendimiento de la capa lı́mite produce una disminución de la presión en la zona posterior de la esfera debida al aumento de la velocidad del fluido (de la ecuación de Bernoulli [21] se deduce que un aumento en la velocidad genera una disminución en la presión). Como la fuerza de arrastre se debe a la diferencia de presiones que hay entre la parte posterior y la parte delantera de la esfera, si la presión en la parte posterior disminuye la diferencia de presiones aumentará y en consecuencia habrá mayor arrastre. Como se ha visto, el arrastre depende de la naturaleza del flujo con el que se esté trabajando, la cual está indicada por el número de Reynolds; por lo tanto, una curva de interés es la del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds. En la Figura 2.2 se muestra dicha curva para el caso de una esfera lisa (Tomada de [17]). La drástica caı́da que presenta la curva para Re ≈ 2,5 × 105 se debe a la transición de flujo laminar a flujo turbulento; como en el caso de flujo turbulento la capa lı́mite tarda más en desprenderse, la fuerza de arrastre es menor que si se desprendiera a los 82◦ a los que se desprende en flujo laminar y por lo tanto, el coeficiente de arrastre cae drásticamente en la transición. Las causas que producen la fuerza de sustentación se estudiarán en la sección 2.4..

(19) IM-2007-I-26. 8. Figura 2.1: Capa lı́mite alrededor de una esfera. (a) En régimen laminar y (b) en régimen turbulento (Tomada de [23]).. Figura 2.2: Gráfica del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds para una esfera lisa (Tomada de [17])..

(20) IM-2007-I-26. 2.3.. 9. Aplicación a Pelotas Deportivas. Como se estudiará en los capı́tulos 3 y 4, la zona de transición de flujo laminar a flujo turbulento es de vital interés para entender el comportamiento de las pelotas deportivas; es por esto, que se hace necesario comprender como manipular dicha zona a partir de las propiedades de éstas. De la ecuación (2.4) se ve que el diámetro del balón es la única caracterı́stica de éste que indica la naturaleza del flujo; sin embargo, la calidad de la superficie puede inducir una prematura transición de flujo laminar a turbulento; haciendo de gran relevancia estudiar la relación entre las caracterı́sticas de la superficie de la pelota y la naturaleza del flujo.. En las últimas décadas son varios los trabajos que se han realizado sobre el comportamiento aerodinámica de pelotas deportivas que han generado hallazgos de gran utilidad en la práctica. Por ejemplo, en el caso de las pelotas de golf se estudió la influencia de poner hoyuelos sobre su superficie (se estudiaron hoyuelos circulares y hexagonales) [4], los resultados concluyeron en la importancia de éstos para conseguir un mejor comportamiento; en particular se encontró que los hoyuelos hexagonales presentan mejores caracterı́sticas aerodinámicas, mayor sustentación y menor arrastre. A forma de ilustración, en la Figura 2.3 se compara el flujo alrededor de una pelota de golf con y sin hoyuelos; en el segundo caso se ve que la capa lı́mite tarda más en desprenderse, mejorando la aerodinámica de la pelota. También se han estudiado pelotas de cricket [16], tennis [10] y en nuestro caso particular la influencia de las costuras del balón de fútbol en la aerodinámica de éste [3] y [7]. Todos han llegado a conclusiones similares, el estudio de las caracterı́sticas superficiales de las pelotas permite conseguir trayectorias no convencionales y que la pelota dure más tiempo en vuelo.. Por otro lado, en la Figura 2.4 se comparan las curvas del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds para una esfera lisa, esferas de distintas rugosidades y una pelota de golf. En esta figura se ve claramente las variaciones que puede tener dicha curva cuando se alteran las caracterı́sticas superficiales de la pelota, llegando a la importancia de estudiar la influencia del tipo y dimensiones de las costuras del balón de fútbol en el coeficiente de arrastre como función del número de Reynolds..

(21) IM-2007-I-26. 10. Figura 2.3: Flujo alrededor de una pelota de golf con y sin hoyuelos (Tomada de [18]).. Figura 2.4: Gráfica del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds para esferas de diferentes rugosidades (Tomada de [23])..

(22) IM-2007-I-26. 2.4.. 11. Cuerpos en Rotación. Como se ve en la Figura 2.1, las lı́neas de flujo alrededor de una esfera son simétricas con respecto a una lı́nea horizontal que la divide en dos partes iguales. Sin embargo, esto solo es cierto en la teorı́a o parcialmente cierto para Re < 40. El hecho que las lı́neas de flujo no sean simétricas significa que la presión en la parte superior es diferente a la presión en la parte inferior y como consecuencia se genera una fuerza, esta es la fuerza de sustentación que se definió en la sección 2.1. Un fenómeno similar se consigue cuando se pone a rotar la esfera, en este caso el cuerpo que está siendo atacada por un fluido en movimiento se pone a rotar a una velocidad ω, induciendo una zona de alta velocidad y baja presión en la parte superior y una zona de baja velocidad y alta presión en la parte inferior, trayendo como resultado la aparcición de la fuerza de sustentación, Figura 2.5.a; como se ve en la Figura 2.5.b la fuerza de sustentación equivale a unas lı́neas de flujo no simétricas.. (a). (b). Figura 2.5: Flujo alrededor en una esfera en rotación. (a) Aparición de la fuerza de sustentación F L y (b) lineas de flujo (Tomada de [2]). La magnitud de la fuerza de sustentación depende de la diferencia de velocidades que haya entre la parte superior e inferior de la pelota, que a su vez está dada por la velocidad de rotación. En la Figura 2.6 se muestra la dependencia de la fuerza de sustentaicón (por medio del coeficiente de sustentación) con respecto a la velocidad de rotación mediante la velocidad adimensional Γ=. ωR v. (2.5).

(23) IM-2007-I-26. 12. donde R es el radio de la esfera. En esa misma figura también se muestra la influencia que tiene la rotación en el coeficiente de arrastre.. Figura 2.6: Coeficientes de arrastre y sustentación versus velocidad adimensional (Tomada de [23])..

(24) CAPÍTULO. 3. Obtención de las Trayectorias en Mathematica. Uno de los objetivos de este trabajo consiste en poder predecir la trayectoria seguida por un balón de fútbol en vuelo; el interés de éste nace de las trayectorias poco convencionales conseguidas por algunos jugadores en el cobro de tiros con pelota quieta; artı́culos como el publicado por Jean Thilmany, titulado How Does Beckham Bend it? [22], son una evidencia clara de la importancia de estudiar el flujo externo que actúa alrededor de un cuerpo y por lo tanto, la aerodinámica de la pelota, para poder explicar dichas trayectorias.. 3.1.. Ecuaciones de Movimiento. Lo primero que hay que hacer es encontrar las ecuaciones de movimientos de una pelota en vuelo, a partir de las fuerzas de arrastre y sustentación; con dichas ecuaciones se pordrá calcular la posición del balón en función del tiempo si éste ha sido lanzado con velocidades lineal y angular.. La Figura 3.1 muestra el sistema de coordenadas (x, y, z) utilizado para referenciar el vector de 13.

(25) IM-2007-I-26. 14. posición del balón r que es pateado desde un punto con coordenadas (x0 , y0 , z0 ). Las dimensiones de la cancha, mostrada en dicha figura, están en total concordancia con las estipuladas en el reglamento de la FIFA1 [9]. Como se muestra en la figura, el vector velocidad del balón v puede escribirse como: la magnitud de la velocidad v multiplicada por el vector unitario τ , que define la dirección de v; dicho vector unitario está inclinado un ángulo ψ con respecto al plano (x, y) y formando un ángulo θ con respecto al eje y en dicho plano, ambos ángulos pueden variar con respecto al tiempo t.. Figura 3.1: Definición del sistema de coordenadas. (a) Vector unitario τ en el plano x − y y definición del ángulo θ, (b) vector unitario τ en el plano y − z y definición del ángulo ψ y (c) vector unitario σ y definición del ángulo γ. 1. Disponible de manera electrónica en la página http://www.fifa.com.

(26) IM-2007-I-26. 15. Adicionalmente, el balón puede estar rotando en un eje paralelo al plano (x, z) e inclinado un ángulo γ con respecto al eje x (a diferencia de los ángulos ψ y θ, γ se mantiene constante en el tiempo); podrı́a tenerse en cuenta rotación con respecto al eje y; sin embargo, en la práctica, es poco común ver rotación en dicho eje. Similar a lo hecho con el vector velocidad, se define la dirección de rotación con ayuda del vector unitario σ Figura 3.1c.. Para escribir las ecuaciones de movimiento es útil hacer el diagrama de cuerpo libre del balón, Figura 3.2, donde solo se han considerado las fuerzas de arrastre F D , sustentación F L y gravedad mg; otra fuerza que podrı́a ser tenida en cuenta es la fuerza de flotación; pero no lo fue, ya que es 64 veces más pequeña que la fuerza de gravedad. De dicha figura puede escribirse la fuerza resultante F como F = mg + F D + F L. (3.1). De la sección 2.1 se ve que las fuerzas de arrastre y sustentació están dadas por 1 F D = − ρAv 2 CD τ 2. (3.2). 1 F L = ρAv 2 CL σ × τ 2. (3.3). respectivamente. Si se reemplazan las ecuaciones (3.2) y (3.3) en la ecuación (3.1), esta se puede reescribir como r̈ = g − kD v 2 τ + kL v 2 σ × τ. (3.4). donde r̈ es el vector de aceleración del balón, kD = ρACD /2m y kL = ρACL /2m. Nótese que según lo estudiado en el capı́tulo 2, kD y kL varı́an con la velocidad. Resolver la ecuación de movimiento (3.4) es la tarea necesaria para predecir la trayectoria del balón de fútbol; sin embargo, es más fácil pasar de la forma vectorial a una forma escalar; para ello es necesario escribir los vectores unitarios τ y σ en función de los ángulos ψ y θ. De la Figura 3.1 se ve que τ = cos ψ sin θi + cos ψ cos θj + sin ψk. (3.5).

(27) IM-2007-I-26. 16. Figura 3.2: Diagrama de cuerpo libre del balón. (a) Plano x − y y (b) plano y − z. y σ = cos γi + sin γk. (3.6). donde i, j y k son los vectores unitarios de (x, y, z). Adicionalmente, es conveniente expresar v en función de sus componentes cartesianas vx , vy y vz ; al hacer esto queda ẋ = vx = v cos ψ sin θ, ẏ = v cos ψ cos θ y ż = v sin ψ. Llegando, finalmente, a las tres ecuaciones escalares ẍ = −v{kD ẋ + kL sin γ ẏ} ÿ = −v{kD ẏ + kL [cos γ ż − sin γ ẋ]}. (3.7). z̈ = −g − v{kD ż − kL cos γ ẏ} La ecuación (3.7) es un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden que no.

(28) IM-2007-I-26. 17. tiene solución analı́tica; pero puede ser solucionada numéricamente por el método de Runge-Kutta.. 3.2.. Método de Solución Numérica. Para aplicar el método de Runge-Kutta, que dará una solución numérica a la ecuación (3.7), lo primero que hay que hacer es transformarla en el sistema de ecuaciones de primer orden v̇x (t, vx , vy , vz , x, y, z) = −v{kD vx + kL sin γvy } v̇y (t, vx , vy , vz , x, y, z) = −v{kD vy + kL [cos γvz − sin γvx ]} v̇z (t, vx , vy , vz , x, y, z) = −g − v{kD vz − kL cos γvy }. (3.8). ẋ(t, vx , vy , vz , x, y, z) = vx ẏ(t, vx , vy , vz , x, y, z) = vy ż(t, vx , vy , vz , x, y, z) = vz con condiciones iniciales vx (t = 0) = vx0. x(t = 0) = x0. vy (t = 0) = vy0. y(t = 0) = y0. vz (t = 0) = vz0. z(t = 0) = z0. (3.9). Basándose en el libro de ecuaciones diferenciales de Simmons [20], el método de Runge-Kutta de cuarto orden para este sistema es 1 vxk+1 = vxk + (µk1 + 2µk2 + 2µk3 + µk4 ) 6 1 vyk+1 = vyk + (νk1 + 2νk2 + 2νk3 + νk4 ) 6 1 vk+1 = vzk + (ξk1 + 2ξk2 + 2ξk3 + ξk4 ) 6 1 xk+1 = xk + (ηk1 + 2ηk2 + 2ηk3 + ηk4 ) 6 1 yk+1 = yk + (ϑk1 + 2ϑk2 + 2ϑk3 + ϑk4 ) 6 1 zk+1 = zk + (ζk1 + 2ζk2 + 2ζk3 + ζk4 ) 6. (3.10).

(29) IM-2007-I-26. 18. con µk1 = hv̇x (tk , vxk , vyk , vzk , xk , yk , zk ) h µk2 = hv̇x (tk + , vxk + 2 h µk3 = hv̇x (tk + , vxk + 2 h µk4 = hv̇x (tk + , vxk + 2. µk1 , vyk + 2 µk2 , vyk + 2 µk3 , vyk + 2. νk1 , vzk + 2 νk2 , vzk + 2 νk3 , vzk + 2. ξk1 , xk + 2 ξk2 , xk + 2 ξk3 , xk + 2. ηk1 , yk + 2 ηk2 , yk + 2 ηk3 , yk + 2. ϑk1 , zk + 2 ϑk2 , zk + 2 ϑk3 , zk + 2. ζk1 ) 2 ζk2 ) 2 ζk3 ) 2. (3.11). donde h es el tamaño de paso; cabe anotar que el error de discretización total para este Runge-Kutta es proporcional a h4 . Para ν, ξ, η, ϑ y ζ se encuentran ecuaciones similares a las mostradas en la ecuación (3.11).. Con el fin de encontrar una trayectoria hay que resolver las ecuaciones (3.8) a (3.11), lo que implica solucionar 42 ecuaciones de manera simultanea; esto para las n particiones en las que se debe dividir el intervalo de tiempo de interés para el que se quiere obtener la solución a la ecuación (3.7). Como se puede intuir, no es una tarea nada fácil de hacer a mano; por lo tanto, se utilizó el programa Mathematica v.5.2 para poder llevar a cabo dichos cálculos.. 3.3.. Definición y Parámetros de la Simulación. En una hoja de Mathematica se hizo un programa que itera las ecuaciones (3.8) a (3.11) a partir del: tiempo a simular t, número de particiones del intervalo de tiempo n = t/h, densidad del aire ρ, viscosidad del aire µ, coeficiente de sustentación CL , coeficiente de arrastre CD , masa del balón m, ángulos γ, θ y ψ, la magnitud de la velocidad v y la posición inicial (x0 , y0 , z0 ). De la ecuación (3.7) se ve que es necesario definir valores a los coeficientes adimencionales de arrastre y sustentación para poder resolver este sistema de ecuaciones. Por un lado, el coeficientes de sustentación se asumió constante a lo largo de la trayectoria, la validez de dicha suposición se basa en que la velocidad de rotación del balón es baja y no varı́a significativamente durante el tiempo de.

(30) IM-2007-I-26. 19. vuelo; por el contrario, el coeficiente de arrastre no se puede asumir constante, ya que las velocidades que experimenta el balón corresponden a números de Reynolds con flujo laminar y números de Reynolds con flujo turbulento; para este caso lo que se hizo fue suponer un valor constante de CD para flujo laminar y otro valor constante de CD para flujo turbulento; por ejemplo, en la Figura 3.3 se muestra con lı́nea continua una curva del coeficiente de arrastre versus número de Reynolds que ha sido aproximada a dos valores (lı́nea a trozos). Por lo anterior, en la simulación se deben especificar como parámetros de entrada los dos valores que puede tomar el coeficiente de arrastre y el número de Reynolds en el que ocurre la transición.. 0.6 0.5. CD. 0.4 0.3 0.2 0.1. 103. 104. 105 Re. 106. 107. Figura 3.3: Ejemplo de cómo se aproximó el coeficiente de arrastre (lı́nea punteada). Los intervalos o valores de los parámetros mencionados fueron especificados como se muestra en las Tablas 3.1 a 3.3. Parámetros del Runge-Kutta Tamaño de Paso. 10ms. Intervalo de Tiempo. ≤ 5s. Tabla 3.1: Parámetros del método de solución por Runge-Kutta..

(31) IM-2007-I-26. 20. Parámetros del Fluido Densidad. 0,7 − 1,3 kg/m3. Viscosidad Dinámica. 17 − 19 µNs/m2. Parámetros del Balón Masa*. 420g. Coeficiente de Sustentacón. ±0,2. Coeficiente de Arrastre Laminar. 0,5. Coeficiente de Arrastre Turbulento. 0,27. Reynolds de Transición. 80000 − 250000. *Según la FIFA [9] debe estar entre 410g y 450g.. Tabla 3.2: Parámetros de los cuerpos.. Condiciones Iniciales Ángulo γ. 70◦ − 90◦. Ángulo θ. 90◦ − 270◦. Ángulo ψ. ∼ 20◦. Magnitud de la Velocidad. 18 − 30 m/s. Posición Inicial en x. −45 − 45 m. Posición Inicial en y. 0 − 90 m. Posición Inicial en z. 0. Tabla 3.3: Condiciones iniciales.. 3.4.. Resultados de la Simulación. Una vez definidas las condiciones iniciales y los parámetros de la simulación, Mathematica encuentra los valores de la posición y velocidad del balón cada cierto tiempo (definido por el tamaño.

(32) IM-2007-I-26. 21. de paso h), permitiendo trazar la curva que describe éste desde que es lanzado hasta que cruza la lı́nea de meta (y = 0) o toca el suelo (z = 0).. Cuando se solucionó el sistema de ecuaciones (3.7) se encontraron trayectorias similares a las observadas en tiros libres efectuados en partidos profesionales; esto es una señal de que el modelo reproduce correctamente el mundo real. Básicamente son dos los fenómenos que se lograron reproducir con este modelo y que no pueden ser reproducidos con el tiro parabólico [19].. Por un lado, se consiguieron trayectorias curvas en el plano x − y, fenómeno evidenciado en ciertos tiros libres y que no es posible predecir sino hasta que se tienen en cuenta los efectos aerodinámicos. En la Figura 3.4 se muestran dos trayectorias resultantes al solucionar la ecuación (3.7); ambas trayectorias tienen las mismas condiciones iniciales excepto porque la trayectoria representada mediante una lı́nea negra fue obtenido teniendo en cuenta la fuerza aerodinámica de sustentación, mientras que la lı́nea gris fue obtenida despreciando dicha fuerza.. Figura 3.4: Vista 3D de la trayectoria de dos tiros libres; en lı́nea negra teniendo en cuenta la fuerza aerodinámica de sustentación y en lı́nea gris sin tener en cuenta dicha fuerza..

(33) IM-2007-I-26. 22. La Figura 3.5 corresponde a la vista superior (plano x − y) de la figura anterior, en ésta se aprecia claramente que cuando se tienen en cuenta los efectos aerodinámicos se consiguen trayectorias curvas que pueden representar la diferencia entre anotar o no un gol.. 20. y HmL. 15. 10. 5. 0 -20. -10. 0 x HmL. 10. 20. Figura 3.5: Vista superior (plano x − y) de la trayectoria de dos tiros libres; en lı́nea negra teniendo en cuenta la fuerza aerodinámica de sustentación y en lı́nea gris sin tener en cuenta dicha fuerza. Por otro lado, también se logró reproducir el fenómeno conocido comúnmente como que la pelota “se clava”. En ciertos cobros se ve que el balón de fútbol se precipita a tierra antes de lo esperado; esto se debe al aumento en el arrastre producido por la transición de flujo turbulento a laminar, nuevamente es un fenómeno que solo pudo ser reproducido al tener en cuenta los efectos aerodinámicos. Con el modelo hecho se logró reproducir dicho efecto del balón, en la Figura 3.6 se muestra la posición inicial de dos cobros de pelota quieta; en uno se ha tenido en cuenta la transición del tipo de flujo (lı́nea negra) y en el otro no (lı́nea gris). El efecto producido al tener en cuenta dicha transición en el tipo de flujo se aprecia más claramente en la Figura 3.7 que corresponde a la vista lateral de la figura anterior; en esta figura se aprecia en gris la trayectoria que tenderı́a a seguir el balón si el arrastre fuera constante a lo largo del vuelo; sin embargo, como se presenta una transición del tipo de flujo la pelota cae antes de lo esperado y se logra meter en la cancha..

(34) IM-2007-I-26. 23. Figura 3.6: Vista 3D de la trayectoria de dos tiros libres; en lı́nea negra teniendo en cuenta la transición de flujo turbulento a flujo laminar y en lı́nea gris sin tener en cuenta dicho efecto aerodinámico.. 5. z HmL. 4 3 2 1 0 0. 2.5. 5. 7.5. 10 y HmL. 12.5. 15. 17.5. Figura 3.7: Vista lateral (plano y−z) de la trayectoria de dos tiros libres; en lı́nea negra teniendo en cuenta la transición de flujo turbulento a flujo laminar y en lı́nea gris sin tener en cuenta dicho efecto aerodinámico..

(35) CAPÍTULO. 4. Cálculo de las Fuerzas Aerodinámicas con CFX. Como se mencionó en el capı́tulo 3, para poder predecir las trayectorias a seguir por un balón de fútbol en vuelo, es necesario determinar las fuerzas aerodinámicas de arrastre y sustentación como función de la velocidad de vuelo. Para ésto se realizaron simulaciones por elementos finitos en el programa Ansys CFX v.11.0.. 4.1.. Definición de la Simulación. Las simulaciones hechas tienen como objetivo poder construir gráficas del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds y gráficas de los coeficientes de arrastre y sustentación versus la velocidad de rotación adimencional, similares a las mostradas en el capı́tulo 2. Con estas gráficas se quiere determinar la influencia de la forma y dimensiones de las costuras del balón de fútbol en la transición de flujo laminar a flujo turbulento; adicionalmente, dichas gráficas pueden ser utilizadas para calcular las fuerzas de arrastre y sustentación necesarias en la predicción de trayectorias.. 24.

(36) IM-2007-I-26. 25. Para poder construir las gráficas mencionadas de manera correcta se hicieron 20 simulaciones por gráfica para valores del número de Reynolds entre 28000 y 450000. En total se obtuvieron 13 gráficas que corresponden a diferentes combinaciones de forma, posición y tamaño de las costuras. Una costura está definida por su espesor b y profundidad h (la profundidad es medida paralela al radio del balón mientras que el espesor es medido perpendicular a éste) y consiste en una inserción al balón que recorre los 360◦ de la esfera; en este trabajo se estudian dos tipos de costuras: rectangular y triangular (ver Figura 4.1). Las posiciones en las que se puede ubicar la costura son: en la mitad del balón o a un cuarto de la altura de éste, manteniendo siempre la simetrı́a del mismo; de ahora en adelante cuando la costura esté en la mitad del balón se hará referencia a la posición 1 y cuando esté a un cuarto de la altura se hará referencia a la posición 2. b b ¢¢. AA. h. h A. A. ¢. A¢. ¢. Figura 4.1: Forma de la sección transversal de los dos tipos de costuras empleados en este estudio. En la Figura 4.2 se muestra un balón con las cuatro posibles combinaciones de forma y ubicación de la costura: (a) cuadrada en la posición 1, (b) triangular en la posición 1, (c) cuadrada en la posición 2 y (d) triangular en la posición 2. Para cada uno de los dos tipos de costuras se tomaron 3 combinaciones del espesor y la profundidad, tal como se indica en la Tabla 4.1. Para este trabajo se dejo fijo la profundidad y se varió el espesor ya que la influencia de ésta ha sido ampliamente estudiada [3] y [7], mientras que la influencia del espesor ha sido relegada. b (mm). h (mm). 5. 5. 4. 5. 3. 5. Tabla 4.1: Combinaciones estudiadas del espesor b y la profundidad h para la costura del balón..

(37) IM-2007-I-26. 26. (a). (b). (c). (d). Figura 4.2: Ubicación y forma de la costuras estudiadas. (a) Costura cuadrada posición 1, (b) costura triangular posición 1, (c) costura cuadrada posición 2 y (d) costura triangular posición 2..

(38) IM-2007-I-26. 4.2.. 27. Geometrı́a a Simular. La geometrı́a a simular es básicamente una esfera de 22cm de diámetro con cortes en forma de anillo, como se muestra en la Figura 4.2, según las dimensiones que se listan en la Tabla 4.1. El diámetro de la esfera se tomó con base en las dimensiones de los balones fabricados en el mercado nacional; cabe anotar que dicho diámetro corresponde a una circunferencia de 69.08cm, lo que está en total concordancia con el reglamento de la FIFA1 [9] quien dispone que el balón tendrá una circunferencia no superior a 70cm y no inferior a 68cm.. Debido a que en las simulaciones de la dinámica de fluidos, tales como las hechas con Ansys CFX, no se simula el objeto de interés sino el fluido que lo rodea, es necesario definir un volumen de control que lo contenga; dicho volumen debe ser lo suficientemente grande para garantizar que los resultados no están siendo alterados por la escogencia de éste, pero no tanto que se esté sobredimensionándolo. Un buen criterio para las dimensiones del volumen de control es que la distancia entre las paredes de éste y la superficie del cuerpo sumergido sea mayor a 3 veces la longitud caracterı́stica del cuerpo (para una esfera el diámetro).. En este estudio las dimensiones del volumen de control fueron determinadas de manera empı́rica, minimizando el tiempo de simulación sin alterar el comportamiento del fluido por la sercanı́a entre cuerpo y fronteras del volumen; el resultado se muestra en la Figura 4.3 para una costura rectangular con parámetros b = 5mm y h = 5mm ubicada en la posición 2. La geomterı́a de los volúmenes de control se realizó con ayuda del programa SolidEdge v.18.. El volumen de control que se muestra en la Figura 4.3 es un cuadrado de 80cm de lado por 1.2m de profundidad.. 1. Disponible de manera electrónica en la página http://www.fifa.com.

(39) IM-2007-I-26. 28. Figura 4.3: Dimensiones del volumen de control del balón.. 4.3.. Caracterı́sticas del Enmallado. Para enmallar el volumen de control se utilizó el paquete CFX-Mesh del programa Ansys Workbench v.11.0. El enmallado se puede dividir en tres zonas: las regiones alejadas al balón, las regiones cercanas al balón y la superficie del balón; con el fin de tener un modelo que reproduzca de manera confiable los resultados experimentales pero que pueda ser procesado con los recursos computacionales disponibles, el refinamiento de dichas zonas debe ser especificado por separado, ya que entre más alejado se encuentre un elemento de la superficie del balón menor será su relevancia en los resultados y por lo tanto requerirá un menor refinamiento; sin embargo, hay que tener en mente que un mayor refinamiento implica mayor tiempo de simulación..

(40) IM-2007-I-26. 4.3.1.. 29. Problemas del Refinamiento. Por lo mencionado anteriormente, debido al tiempo disponible para este estudio, habrá enmallados que aunque puedan ser procesados con los recursos computacionales no son viables de utilizar, a pesar de reproducir mejor las medidas experimentales, ya que se demorán mucho tiempo en arrojar resultados.. CD. 1. 0.1 102. 103. 104 Re. 105. 106. Figura 4.4: Coeficiente de arrastre versus número de Reynolds, en negro obtenida experimentalmente, en colores obtenidas computacionalmente con distintos refinamientos sobre la superficie del balón. En la Figura 4.4 se muestra la gráfica del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds obtenida de manera experimental (lı́nea negra) en la que se ha superpuesto esa misma gráfica obtenida de manera computacional para 3 enmallados con diferentes refinamientos sobre la superficie del balón; en rojo nodos a 10mm, en amarillo nodos a 5mm y en azul nodos a 1mm; los tiempos promedio para obtener un punto en cada una de las simulaciones fueron: 10 minutos, 1 hora y 7 horas respectivamente. Véase de dicha gráfica que entre menor sea la distancia de separación entre.

(41) IM-2007-I-26. 30. nodos, los resultados computacionales se acercan más a los experimentales; sin embargo, el tiempo requerido en las simulaciones con nodos a 1mm no es viable debido al número de simulaciones que requiere este estudio (seccion 4.1).. Después de hacer varias pruebas, se encontró que el refinamiento óptimo para este trabajo es con nodos a 5mm sobre la superficie del balón. Basados en el estándar para las simulaciones computacionales de fluidos, hecha por el Institúto Americano para la Aeronaútica y la Astronaútica (AIAA por sus siglas en Inglés) [1], como el objetivo del presente trabajo no es la elaboración exácta de la curva del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds, sino una comparación cualitativa entre las variaciones que tiene dicha curva cuando se cambia el tipo, posición y medidas de la costura; no es grave que con este refinamiento no se prediga de manera exácta los resultados experimentales.. 4.3.2.. Enmallado Óptimo. Finalmente, depués del análisis de la sección anterior, se llegó a que las caracterı́sticas del enmallado aceptable para este estudio son: en las regiones alejadas al balón, el tamaño máximo de los elementos se limitó a 50mm, en las regiones próximas a éste a 5mm con un radio de influencia de 20mm y sobre la superficie del balón se especificaron elementos a 5mm con 5 capas que reproducen la superficie (inflated boundaries) contenidas en 1mm de espesor. En total se construyeron más de 15 mallas independientes; debido a que la geometrı́a de cada una de las mallas presenta variaciones por el tipo de costura, la cantidad de nodos varı́a de malla a malla, el número de nodos varió entre 50000 y 100000, mientras que el número de elemento presentes se mantuvo en 260000 (los tipos de elementos fueron tetraédricos y prismáticos).. En la Figura 4.5 se muestra el enmallado del volumen de control del aire alrededor del balón de fútbol para el cual se simuló en Ansys CFX , si se comparan las Figuras 4.3 y 4.5 se aprecia que solo se tomó un cuarto del balón, ésto se debe a que se hicieron dos cortes en los dos planos de simetrı́a que tiene la pelota; siempre que sea posible es útil hacer estos cortes simétricos para reducir.

(42) IM-2007-I-26. 31. el tiempo de simulación. Nótese de la Figura 4.5 la diferencia en el refinamiento a medida que se acerca a la superficie del balón.. Figura 4.5: Enmallado del volumen de control.. 4.4.. Parámetros de la Simulación. Los parámetros de la simulación fueron especificados en concordancia con los mostrados en la Tabla 4.2. El hecho que se indique flujo laminar y flujo turbulento se debe a que la zona de interés los abarca a ambos. En la transición entre los dos se simuló para las dos caracterı́sticas; los resultados mostrados más adelante corresponden a la intersección de ambas curvas, por la izquierda la obtenida suponiendo flujo laminar y por la derecha la obtenida suponiendo flujo turbulento..

(43) IM-2007-I-26. 32. Simulación Tipo. Estado Estable. Dimensión. 3D. Propiedades del Dominio Tipo. Estacionario. Fluido. Aire (Gas Ideal). Presión de Referencia. 1,013 × 105 Pa. Temperatura de Referencia 300K Modelo del Fluido Transporte de Calor. Isotérmico. Turbulencia*. Ninguno (Laminar) Shear Stess Transport. *Dependiendo de Re se toma alguna de las dos opciones.. Tabla 4.2: Parámetros de la simulación. Los parámetros de control de la simulación fueron los especificados en la Tabla 4.3; mientras que las condiciones de frontera se especificaron según las listadas en la Tabla 4.4. Convergencia Resolución. Alta. Escala Temporal. Fı́sica (5s). Máximo de Iteraciones. 100. Residuos RMS. 1 × 10−4. Tabla 4.3: Parámetros de control para la simulación. Para cada una de las simulaciones se debe escribir un archivo de definición que contiene los parámetros especificados en las Tablas 4.2 a 4.4. Para un mismo enmallado se varió la componente de la velocidad en el eje y entre 2m/s y 30m/s tal como se indica en la Tabla 4.4..

(44) IM-2007-I-26. 33. Frontera de Entrada Tipo. Subsónica. Componentes de la Velocidad. u = 0m/s v = 2m/s − 30m/s w = 0m/s. Frontera de Salida Tipo. Subsónica. Presión Relativa. 0Pa. Fronteras Lateral Izquierda y Superior Tipo. Pared. Opción. Deslizamiento Libre. Fronteras Lateral Derecha e Inferior Tipo. Periódica Simétrica. Fronteras del Balón Tipo. Pared. Opciones. Sin Deslizamiento Pared rotante. Tabla 4.4: Condiciones de frontera para la simulación.. 4.5.. Resultados de la Simulación. 4.5.1.. Calibración del Modelo. Antes de poder comenzar a obtener resultados es necesario hacer un proceso de validación del modelo computacional (el proceso de verificación y validación se hizo con base en la norma de la AIAA [1]), para ello se deben poder reproducir los fenómenos experimentales. En este caso se.

(45) IM-2007-I-26. 34. verificó que el modelo predijera la existencia de los dos tipos de flujo y que la transición entre ambos se presentara para el número de Reynolds que indican los experimentos (250000 para esfera lisa); en particular, se reprodujo el desprendimiento de la capa lı́mite, Figura 4.6, para el mismo valor de ángulo que indican los experimentos (82◦ para flujo laminar y 120◦ para flujo turbulento). Además se verificó que el valor obtenido para el coeficiente de arrastre corresponde con las mediciones experimentales en cada uno de los tipos de flujo.. Figura 4.6: Lı́neas de flujo alrededor de una esfera lisa. Obtenidas computacionalmente con ayuda del programa Ansys CFX v.11.0.. 4.5.2.. Obtención de Resultados. Una vez que se ha validado el modelo computacional, se puede empezar a obtener resultados con la confianza de que éstos estarán en total concordancia con el mundo real. Lo primero que se hizo fue obtener la gráfica del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds para una pelota lisa. En la Figura 4.7 se muestra la gráfica obtenida computacionalmente en gris y en negro la curva experimental, en esta figura se aprecia que se reproduce adecuadamente la forma de la curva experimental y que se evidencia la transición de flujo; sin embargo, el modelo subestima el valor del.

(46) IM-2007-I-26. 35. número de Reynolds para el cual ocurre la transición; como se mencionó anteriormente, ésto no es grave ya que el objetivo de este trabajo no es construir dicha curva de manera precisa, sino darse una idea cualitativa de su comportamiento.. 0.6 0.5. CD. 0.4 0.3 0.2 0.1. 104. 105 Re. 106. Figura 4.7: Gráfica del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds para una esfera lisa. En negro curva experimental y en gris curva obtenida computacionalmente. El siguiente paso fue poner a rotar la esfera a medida que ésta viaja por el aire, con lo que se construyeron las curvas de los coeficiente de arrastre y sustentación como función de la velocidad adimensional, Figura 4.8. En ésta se observa con lı́nea continua el coeficiente de sustentación y con lı́nea a trozos el coeficiente de arrastre; las gráficas negras corresponden a una esfera lisa mientras que las gráficas azules corresponden a un balón con costura cuadrada ubicada en la posición 1. El comportamiento general de estas curvas concuerda con los experimentos; sin embargo, se sobreestima el valor del coeficiente de sustentación.. Las curvas del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds para balones con diferentes tipos, ubicación y tamaño de costura se muestran en el capı́tulo 5..

(47) IM-2007-I-26. 36. 0.6. CD ,CL. 0.4 0.2 0 -0.2 0.1. 0.2. 0.3 wr v. 0.4. 0.5. Figura 4.8: Coeficientes de arrastre y sustentación versus velocidad adimensional. En lı́nea continua coeficiente de sustentación y en lı́nea a trozos coeficiente de arrastre; las gráficas negras corresponden a una esfera lisa mientras que las gráficas azules corresponden a un balón con costura cuadrada ubicada en la posición 1..

(48) CAPÍTULO. 5. Análisis de Resultados. 5.1.. Tipos de Trayectorias e Influencia de las Variables Termodinámicas. En el capı́tulo 3 se mencionó que este trabajo permite concluir que cuando se tienen en cuenta las fuerzas aerodinámicas en el estudio de las trayectorias que sigue un balón de fútbol, se generan dos efectos de interés: que la pelota se curve en el plano x − y, según el sistema de coordenadas de la Figura 3.1, o que el balón se precipite a tierra antes de lo esperado. Recientemente se ha generado polémica por la desición del presidente de la FIFA, Joseph Blatter, de prohibir partidos internacionales de fútbol a más de 2500 metros de altura sobre el nivel del mar, se podrı́a pensar que el deseo de dicha prohibición es debido al comportamiento del balón y no a razones medicinales como se argumentó; con los modelos generados en este trabajo se puede estudiar que efectos tiene la altura sobre el comportamiento de la pelota.. 37.

(49) IM-2007-I-26. 38. Antes de comenzar, es necesario determinar cuales son las variables termodinámicas de interés y como varı́an con la altura. Para este caso la densidad ρ y la viscosidad µ serán las variables a tener en cuenta; la densidad es función de la temperatura T y la presión, que a su vez varı́a con la altura h, mientras que la viscosidad es función, principalmente, de la temperatura. Se encontró que los datos no son fuertemente influenciados por la viscosidad, mientras que la densidad si es de vital importancia. Para poder determinar los valores de densidad y viscosidad necesarios para la predicción de trayectorias se emplearon las ecuaciones (5.1)1 y (5.2)2 respectivamente. ³ ´ gM · ¸ RL +1 0 T0 ρ = ρ0 T0 + L0 (h − h0 ) √ 1,458 × 10−6 T µ= 1 + 110,4/T. (5.1) (5.2). con L0 la rata de temperatura a distancia, g la aceleración de la gravedad, M la masa molar del aire y R la constante universal de los gases. Ciudad. Densidad. Viscosidad. Buenos Aires 1,20kg/m3. 1,81 × 10−5 Ns/m2. Barranquilla. 1,18kg/m3. 1,85 × 10−5 Ns/m2. Sao Paulo. 1,11kg/m3. 1,80 × 10−5 Ns/m2. Cali. 1,06kg/m3. 1,83 × 10−5 Ns/m2. Medellı́n. 0,99kg/m3. 1,83 × 10−5 Ns/m2. Bogotá. 0,90kg/m3. 1,78 × 10−5 Ns/m2. Quito. 0,88kg/m3. 1,78 × 10−5 Ns/m2. La Paz. 0,79kg/m3. 1,79 × 10−5 Ns/m2. Tabla 5.1: Viscosidad y densidad del aire para diferentes ciudades. Para analizar la influencia de la altura en las trayectorias, se tomaron 8 ciudades suramericanas ubicadas a diferentes alturas sobre el nivel del mar, Barranquilla (0m), Buenos Aires (25m), Sao 1 2. Recuperado el 10 de Junio de 2007 en http://en.wikipedia.org/wiki/Barometric formula Recuperado el 10 de Junio de 2007 en http://www.aeromech.usyd.edu.au/aero/atmos/atmos.html.

(50) IM-2007-I-26. 39. Paulo (750m), Cali (995m), Medellı́n (1538m), Bogotá (2640m), Quito (2850m) y La Paz (3600m); para cada una de ellas se generó la trayectoria que sigue el balón para el misma cobro de pelota quieta (los valores de ρ y µ se listan en la Tabla 5.1). En la Figura 5.1 se han dibujado las trayectorias resultantes del cobro en las ciudad de Buenos Aires (curva negra) y La Paz (curva gris).. 20. y HmL. 15. 10. 5. 0 -20. -10. 0 x HmL. 10. 20. (a). 5. z HmL. 4 3 2 1 0 0. 2.5. 5. 7.5 10 y HmL. 12.5. 15. 17.5. (b) Figura 5.1: Trayectorias de un balón de fútbol, en negro cobro efectuado en la ciudad de Buenos Aires, Argentina y en gris cobro efectuado en la ciudad de La Paz, Bolivia. (a) Vista superior (plano x − y) y (b) vista lateral (plano y − z)..

(51) IM-2007-I-26. 40. Cabe anotar que para que la posición final de las dos trayectorias mostradas en la Figura 5.1.b sea la misma, el jugador deberı́a ubicarse 2m más atrás. Las Figuras 5.2, 5.3 y 5.4 muestran la posición del balón cuando cruza la lı́nea de meta y el tiempo que éste tarda en llegar a dicha posición. 4.4. x HmL. 4.2 4 3.8 3.6 3.4 0. 500. 1000. 1500 2000 m.s.n.m. 2500. 3000. 3500. Figura 5.2: Distancia x desde el centro del arco a la que el balón cruza la lı́nea de meta; la lı́nea horizonal corresponde a la ubicación del poste del arco.. 2.8. z HmL. 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 0. 500. 1000. 1500 2000 m.s.n.m. 2500. 3000. 3500. Figura 5.3: Distancia z desde el suelo a la que el balón cruza la lı́nea de meta; la lı́nea horizonal corresponde a la ubicación del poste del arco..

(52) IM-2007-I-26. 41. 1.35 1.34. t HsL. 1.33 1.32 1.31 1.3 1.29 1.28. 0. 500. 1000. 1500 2000 m.s.n.m. 2500. 3000. 3500. Figura 5.4: Tiempo t que tarda el balón en cruzar la lı́nea de meta. De las tres figuras anteriores se puede ver que cuando se juega a mayor altura, la bola se curva menos, cae menos y es más rápida. Como en general los especialistas en cobros de tiros libres lo hacen bien desde un lugar en particular (son capaces de impartir unas condiciones iniciales particulares al balón pero no se les facilita modificar dichas condiciones a conveniencia), cuando se juega en altura su cobro puede verse modificado drásticamente impidiendo conseguir una anotación. De las Figuras 5.2 y 5.3 se lee que el punto final de la trayectoria puede llegar a desplazarse 1.2m en el eje x y 60cm en el eje z para ese cobro en particular; perdiendo totalmente las posibilidades de anotar un gol con pelota quieta.. Adicional a los efectos mencionados en el párrafo anterior, cuando se juega a mayor altitud es más fácil lograr que se de la transición de flujo turbulento a laminar, lo que significa que es más fácil lograr que la pelota caiga prematuramente. La razón de esto es que a menor altura habrá mayor densidad y por lo tanto, para una misma velocidad inicial el número de Reynolds será mayor, como la transición de flujo laminar a turbulento se da para un Reynolds fijo, a nivel del mar será necesario impartir una velocidad inicial menor que puede no ser suficiente para que el balón llegue a la porterı́a, por el contrario, a gran altura, se puede conseguir la transición del tipo de flujo a mayores velocidades. En.

(53) IM-2007-I-26. 42. la Tabla 5.2 se han listado las velocidades del balón a las que ocurre la transición del tipo de flujo para cada una de las ciudades estudiadas. Ciudad. Velocidad. Buenos Aires. 8,87m/s. Barranquilla. 9,28m/s. Sao Paulo. 9,62m/s. Cali. 10,18m/s. Medellı́n. 10,91m/s. Bogotá. 11,74m/s. Quito. 11,97m/s. La Paz. 13,30m/s. Tabla 5.2: Velocidad de un balón de fútbol a la que ocurre la transición de flujo laminar a turbulento para diferentes ciudades (el cálculo se ha hecho para Re = 130000 basados en [7]). Otro fenómeno que es interesante estudiar es mirar las condiciones iniciales que debe impartir el arquero para poder generar una trayectoria que atraviese toda la cancha y anote un gol en el otro arco, este cobro se muestra en la Figura 5.5; en gris claro se aprecia la trayectoria seguida por el balón en la ciudad de la Paz, mientras que en negro oscuro se muestra la trayectoria obtenida para las condiciones de aire en Buenos Aires. Nótese la diferencia tan marcada entre ambas curvas, por un lado, en La Paz, el tiro puede representar un gol mientras que en Buenos Aires nisiquiera se acerca al área del arquero, esto es una evidencia marcada que a mayor altitud la pelota recorre más distancia. También es importante recalcar que de la Figura 5.5.b se puede concluir que el tiro parabólico no es un bueno modelo para predecir las trayectorias de un balón de fútbol (vease que las trayectorias están lejos de parecer parábolas simétricas). Las condiciones de lanzamiento para conseguir la trayectoria mostrada son: una velocidad de 60m/s y un ángulo ψ = 28◦ ; cabe anotar que para una misma velocidad de lanzamiento en la misma ciudad el máximo alcance se consigue para un ángulo de 35◦ , que difiere con los 45◦ del tiro parabólico..

(54) IM-2007-I-26. 43. (a). z m. 20 15 10 5 0 0. 20. 40. 60 y m. 80. 100. 120. (b) Figura 5.5: Trayectorias de un balón de fútbol, de derecha a izquierda, en Buenos Aires, en Barranquilla, en Sao Paulo, en Cali, en Medellı́n, en Bogotá, en Quito y en la Paz. (a) Vista 3D y (b) vista lateral (plano y − z)..

(55) IM-2007-I-26. 44. La Tabla 5.3 permite cuantificar que tanto alcance tiene el balón en cada una de las ciudades estudiadas, mostrando que entre menos altura menos distancia puede recorrer el balón para unas mismas condiciones iniciales. Ciudad. Distancia. Buenos Aires. 24,3m. Barranquilla. 22,8m. Sao Paulo. 19,3m. Cali. 16,7m. Medellı́n. 12,5m. Bogotá. 6,2m. Quito. 4,7m. La Paz. 0m. Tabla 5.3: Distancia a la que queda el balón del arco en un tiro cancha a cancha para las mismas condiciones de lanzamiento.. 5.2.. Consecuencias de las Costuras. 5.2.1.. Resultados Globales. Como se ha venido mencionando, la presencia de imperfecciones sobre la superficie de un balón de fútbol altera las curvas de arrastre y sustentación. En esta sección se analizará cómo influencia el tipo de costura, el tamaño y la posición de ésta en dichas curvas. Para ver la influencia que tienen las costuras en el comportamiento aerodinámico del balón, con ayuda de Asys CFX , se puede visualizar cómo es el flujo alrededor de la pelota y como es la distribución de presión alrededor de ésta. En la Figura 5.6 se muestran las lı́neas de flujo alrededor de un balón liso y alrededor de un balón con costura cuadrada en la posición 1, cabe resaltar que cuando hay costura la capa lı́mite tarda más en desprenderse y la estela tiende a ser menor, por lo que se esperará menor arrastre cuando hay costuras..

(56) IM-2007-I-26. 45. Figura 5.6: Lı́neas de flujo alrededor de una esfera lisa (izquierda) y un balón con costurara cuadrada en la posición 1 (derecha).. Figura 5.7: Distribución de presiones alrededor de un balón liso (izquierda) y un balón con costurara cuadrada en la posición 1 (derecha)..

(57) IM-2007-I-26. 46. Por otro lado, en la Figura 5.7 se muestra la distribución de presiones alrededor del balón donde se ve que la esfera lisa tiene una región de baja presión mayor en la parte posterior, lo que argumenta porque cuando el balón tiene costuras hay menos arrastre. Para darse una idea de la diferencia entre flujo laminar y flujo turbulento, en la Figura 5.8 se muestran las lı́neas de flujo alrededor del balón para régimen laminar (izquierda) y régimen turbulento (derecha), de dicha figura se observa claramente que para el caso de flujo laminar el arrastre será mayor ya que el desprendimiento de la capa lı́mite ocurre antes y la estela es más grande.. Figura 5.8: Lı́neas de flujo alrededor de un balón en flujo laminar (izquierda) y en flujo tubulento (derecha).. 5.2.2.. Resultados Particulares. En la Figura 5.9 se muestran las gráfica de arrastre versus número de Reynolds obtenidas computacionalmente para cada una de las combinaciones de forma, tamaño y ubicación de la costura; las curvas negras corresponden a un balón liso, las curvas azules a un balón con costuras cuadradas y las curvas rojas a un balón con costuras triangulares; de dicha figura lo primero que se observa es que las curvas azules se encuentran más a la izquierda que las curvas rojas, por lo tanto se infiere.

(58) IM-2007-I-26. 47. que la costura cuadrada induce la transición de flujo laminar a flujo turbulento a menor número de Reynolds. Si se comparan las curvas que se muestran en dicha figura entre sı́ se ve que, en general, las curvas azules tienden a quedarse en el mismo lugar mientras que las curvas rojas se acercan y alejan de la curva correspondiente a una esfera lisa; de esta observación se concluye que el comportamiento aerodinámico de un balón con costuras triangulares es más susceptible a las variaciones dimensionales de éstas; en particular, las costuras cuadradas sin importar ubicación o tamaño generarán que la transición del tipo de flujo ocurra a un número de Reynolds menor que al de una esfera lisa, mientras que para las costuras triangulares si está en la posición 1 se necesita que la costura tenga un espesor pequeño y si está en la posición 2 se necesita un espesor grande para poder inducir la transición a un Reynolds menor (esto sale del hecho que en la posición 1 entre menor sea el tamaño del espesor b, la curva de arrastre menos se asemeja a la de un balón liso y que en la posición 2 entre mayor sea el tamaño de b más se asemeja a dicha curva).. También se deduce de la misma figura que la posición 1 induce valores del coeficiente de arrastre mayores tanto en flujo laminar como en turbulento o lo que es lo mismo, entre más cerca esté la costura al plano que divide el balón en dos semiesferas mayor arrastre inducirá sobre el balón. Además, se aprecia que con la costura cuadrada (curvas azules) después de la transición de flujo laminar a turbulento el coeficiente de arrastre vuelve a aumentar, mientras que con la triangular se estabiliza en un valor menor; con lo que se deduce que en flujo laminar ambos tipos de costura presentan un arrastre similar, sin embargo, en flujo turbulento la costura cuadrada presentará más arrastre.. Finalmente, se observó que cuando se le imparte rotación al balón sin importar si tenga costuras o no, en términos generales, el arrastre no se ve afectado significativamente; sin embargo, la rotación produce la aparición de una fuerza de sustentación, tal como se mostró en la Figura 4.8. De dicha figura se ve que para una esfera lisa cuando la velocidad adimensional es menor a 0.35, la fuerza de sustentación es negativa o en el sentido contrario a lo esperado, este fenómeno es conocido como el efecto Magnus inverso [7]; lo interesante es ver que la presencia de costuras evita que se genere.

(59) IM-2007-I-26. 48. dicho efecto que puede ser motivo de confución a la hora de cobrar un tiro con pelota quieta, ya que el jugador no sabrá en que sentido se le debe impartir giro al balón si se quiere que éste se curve para una dirección determinada; serı́a totalmente impredecible por el deportista para donde va a curvarse el balón.. 0.5. 0.5. 0.4. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0.1 105 Re Posición 1 b=6mm. 106. 0.6. 0.6. 0.5. 0.5. 0.4. 0.4 CD. CD. 0.3. 0.2. 104. 0.3. 0.2. 0.1. 0.1 105 Re Posición 2 b=5mm. 106. 0.6. 0.5. 0.5. 0.4. 0.4 CD. 0.6. 0.3. 0.2. 0.1. 0.1 105 Re. 106. 105 Re Posición 2 b=4mm. 106. 104. 105 Re Posición 2 b=6mm. 106. 104. 105 Re. 106. 0.3. 0.2. 104. 104. 0.3. 0.2. 104. CD. Posición 1 b=5mm 0.6. CD. CD. Posición 1 b=4mm 0.6. Figura 5.9: Coeficientes de arrastre versus número de Reynolds; en negro pelota lisa, en azul costura cuadrada y en rojo costura triangular..

(60) CAPÍTULO. 6. Conclusiones. El desarrollo del presente trabajo permitió llegar a la siguiente serie de conclusiones acerca de las trayectorias que puede seguir un balón de fútbol en vuelo y de la influencia de la forma, tamaño y ubicación de las costuras de éste. Cuando se estudia el efecto que tienen las fuerzas aerodinámicas sobre las trayectorias que describe un balón de fútbol se encuentra que el balón no viaja en lı́nea recta sino que describe un camino curvo, también se logra reproducir el fenómeno conocido como que la pelota se clava (ésta se precipita a tierra antes de lo esperado). Si se quiere estudiar el comportamiento aerodinámico de un balón a diferentes alturas sobre el nivel del mar las variables termodinámicas a tener en cuenta son la densidad y la viscosidada; sin embargo, se encontró que la influencia de la viscosidad en los resultados no es tan relevante como la influencia de la densidad. Con respecto a las variaciones que tienen las trayectorias que describe un balón de fútbol cuando se cambia la altura sobre el nivel del mar, se encontró que: el camino que sigue la 49.

(61) IM-2007-I-26. 50. pelota es menos curvo, ésta cae menos (lo que equivale a decir que el balón recorre distancias más largas) y tarda menos tiempo en llegar a la posición final. Las drásticas diferencias en la ubicación a la que el balón cruza la lı́nea de meta pueden significar la diferencia entre anotar o no un gol; si se considera que los especialistas de cobros con pelota quieta son buenos cobrando desde un lugar en particular, cuando se juegue en condiciones diferentes a las que se está habituado muy seguramente se tendrán dificultades en conseguir que el balón llegue al lugar deseado. Debido a la menor densidad que hay a mayor altura sobre el nivel del mar, la transición de flujo turbulento a laminar se presentará a una velocidad de vuelo mayor, lo que en la práctica significará una mayor facilidad en conseguir que el balón se clave. Se demostró que el tiro parabolico no es un buen método para predecir las trayectorias de un balón de fútbol y que el máximo alcance se da para un ángulo de 35◦ contario a los 45◦ que predice el tiro parabólico. Es sabido de trabajos previos que la presencia de costuras en la superficie de un balón de fútbol altera las curvas de arrastre y sustentación, en particular, sobre el tipo de costura se encontró que: la costura cuadrada genera la transición en el tipo de flujo a un menor número de Reynolds que la costura triangular. Las curvas de arrastre y sustentación son más susceptible a las variaciones dimensionales de las costuras cuando éstas son triangulares. Se encontró que entre más cerca esté la costura al plano que divide la pelota en dos semiesferas, mayor será el arrastre inducido en el balón; adicionalmente, en el régimen de flujo turbulento la costura cuadrada induce más arrastre que la costura triangular. Cuando se le genera rotación al balón el arrastre no se ve mayormente alterado, sin embargo, se produce una fuerza de sustentación que es la responsable de curvar las trayectorias; la.

(62) IM-2007-I-26. 51. presencia de costuras impide que se produzca el efecto Magnus inverso, que puede ser motivo de confución a la hora de saber en que sentido se debe poner a rotar el balón si se quiere que éste se curve hacia una dirección en particular. Finalmente, para conseguir tiros libres que describan trayectorias poco convencionales, lo que aumenta las posibilidades de anotar un gol, se recomienda impartirle un pequeño giro al balón de 1 a 10rev/s (el giro debe ser en el sentido de las manecillas del reloj si se quiere que la pelota se curve a la derecha y viceversa) y una velocidad de lanzamiento no mayor a 20m/s (para conseguir que la pelota se clave). De esto último se ve que pegarle duro al balón no es, necesariamente, un buena estrategia..