Rango numérico cuadrático

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Universidad de Los Andes Departamento de Matemáticas

Rango numérico cuadrático

Tesis presentada por David Bolle Asesor: Monika Winklmeier

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Índice general

1. Introducción 3

2. Preliminares 5

3. Rango numérico 13

3.1. Denición y propiedades básicas . . . 13

3.2. Teorema de Hausdor-Toeplitz. . . 16

3.3. Estimada de la resolvente . . . 19

3.4. Propiedad de la inclusión . . . 22

3.5. Esquinas del rango numérico . . . 26

4. Rango numérico cuadrático 30 4.1. Denición y propiedades básicas . . . 30

4.2. Propiedad de la inclusión del rango numérico cuadrático . . . 40

4.3. Estimada de la resolvente . . . 44

4.4. Esquinas del rango numérico cuadrático. . . 45

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Capítulo 1

Introducción

En este documento queremos estudiar el rango numérico cuadrático de un ope-rador en un espacio de Hilbert. Queremos ver sus propiedades como localizador del espectro y sus diferentes relaciones con el rango numérico del operador. Para con-textualizar nuestro estudio, debemos primero presentar unas preliminares de análisis funcional para entender diferentes conceptos y características de los operadores y su espectro que necesitaremos para la denición y descripción del rango numérico y el rango numérico cuadrático.

Luego se trabaja el rango numérico. Se muestran las propiedades principales del mismo, entre las cuales está el teorema de Hausdor-Toeplitz (el rango numérico es convexo) y que la cerradura del rango numérico de un operador acotado contiene el espectro del operador (en este sentido, el rango numérico es un localizador del espectro).

Finalmente, se trata el rango numérico cuadrático. Las propiedades de éste se relacionan directamente a aquellas del rango numérico. En el caso del rango numérico cuadrático, este conjunto no siempre es convexo. Sin embargo, se muestra que resulta en un mejor localizador del espectro, en el sentido que su cerradura contiene el espectro y está contenida en la cerradura del rango numérico.

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4 Capítulo 1. Introducción

Notación

Por conveniencia a lo largo del documento asumimos las siguientes convenciones:

H es un espacio de Hilbert sobre C.

La letra K es el campo real R o el campo complejo C. Los números reales positivos se denotan R+ := (0,∞).

Para un mapa T :X →X y λ ∈C, el mapa T −λI se denota T −λ.

RgT denota el rango de T. D(T) denota el dominio de T.

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Capítulo 2

Preliminares

Para poder hablar del rango numérico y posteriormente del rango numérico cuadrático, tenemos que mencionar primero conceptos básicos como la denición de un espacio de Hilbert y los operadores lineales en estos espacios (y sus propiedades relevantes). Los teoremas que se presentan a continuación son impor-tantes y muchas veces no triviales pero no se presentan pruebas por no ser el tema principal a desarrollar. Sin embargo todas se encuentran en [14].

Espacios de Hilbert

Denición 2.1. Sea X un espacio vectorial sobre K. Un mapa

h·,·i:X×X →_K

es un producto interno en X si para todo x, y, z ∈X y λ ∈_Ktenemos:

(i) hλx+y, zi=λhx, zi+hy, zi,

(ii) hx, yi=hy, xi,

(iii) hx, xi ≥0 y hx, xi= 0 si y solo six= 0.

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6 Capítulo 2. Preliminares

Observaciones 2.2. De (i) y (ii) se sigue que

hx, λy+zi=λhx, yi+hx, zi.

Para x∈X, tenemos que

hx, xi=hx, xi ∈_R.

Un producto interno sobre X induce una norma sobre X denida por

kxk=hx, xi12 _, _x∈_X.

Todo subespacio nito-dimensional de un espacio de Hilbert es cerrado. Lema 2.3 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea X un espacio vectorial sobre _K

con producto interno. Entonces para todo x, y ∈X tenemos

|hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi,

con igualdad si y solo si x, y son linealmente dependientes.

Denición 2.4. Un espacio métrico es completo si cualquier sucesión de Cauchy converge.

Denición 2.5. Un espacio normado completo es un espacio de Banach.

Denición 2.6. Un espacio con producto interno y completo es un espacio de Hil-bert.

Operadores lineales

Denición 2.7. Sean X, Y espacios normados y sea T : X ⊇ D(T) → Y un

operador lineal. T es densamente denido si D(T)es un subespacio denso en X.

Denición 2.8. Sean X, Y espacios normados sobre el mismo campo K.

Denimos

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y L(X) :=L(X, X).

Observación 2.9. L(X, Y) es un espacio vectorial.

Denición 2.10. Sean X, Y espacios normados sobre el mismo campo _K y T :X →Y lineal. La norma de operadores de T es

kTk:= sup{kT xk : x∈X, kxk= 1}.

Si kTk<∞ entoncesT es un operador lineal acotado.

Observación 2.11. Para T :X →Y lineal tenemos que

kT xk ≤ kTk kxk, ∀x∈X.

Teorema 2.12. Sean X, Y espacios normados sobre _K y T : X → Y lineal.

Entonces T es continuo si y solo si es acotado.

Teorema 2.13 (Serie de Neumann). Sea X un espacio normado y T ∈ L(X) tal que P∞

n=0T

n _{converge. Entonces} _T ₋_I _{es invertible en} _L₍_X₎ _y

(T −I)−1 = ∞

X

n=0

Tn.

En particular, si X es un espacio de Banach y kTk<1, entonces T −I es invertible y

(T −I)

−1

≤(kTk −1)

−1

.

Espacio dual y teorema del mapa abierto

Denición 2.14. Sea X un espacio normado. X0 :=L(X, _K) es el espacio dual de

X. Los elementos de X0 se denominan funcionales lineales de X.

Teorema 2.15 (Teorema del mapa abierto). Sean X, Y espacios de Banach y T ∈L(X, Y). Entonces T es abierto si y solo si es sobreyectivo.

Corolario 2.16. Sean X, Y espacios de Banach yT ∈L(X, Y)inyectivo. Entonces

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Teorema de la gráca cerrada

Denición 2.17. Sean X, Y espacios normados y T :X ⊇ D(T)→ Y lineal.T es

cerrado si su gráca

G (T) :={(x, T x) : x∈ D(T)} ⊆X×Y

es cerrada como subconjunto deX×Y.T es clausurable si G (T)es la gráca de un operador T, en este caso el operadorT es la clausura de T.

Lema 2.18. Sean X, Y espacios normados y T : X ⊇ D(T) →Y lineal. Entonces T es cerrado si y solo si para cada sucesión (xn)n∈N ⊆ D(T) se cumple que

(xn)n∈N, (T xn)n∈N convergen =⇒ x0 := l´ım

n→∞xn ∈ D(T) y nl´ım→∞T xn=T x0.

Lema 2.19. Sean X, Y espacios normados y T : X ⊇ D(T) →Y lineal. Entonces T es clausurable si y solo si para cada sucesión (xn)n∈N⊆ D(T) se cumple que

l´ım

n→∞xn= 0, (T xn)n∈N converge =⇒ _nl´ım_→∞T xn= 0. Observaciones 2.20. Cada T ∈L(X, Y) es cerrado.

Si T es cerrado e inyectivo, entonces T−1 es cerrado.

Teorema 2.21 (Teorema de la gráca cerrada). Sean X, Y espacios de Banach y T :X →Y lineal y cerrado. Entonces T es acotado.

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Lema 2.22. Sean X, Y espacios de Banach y T :X ⊇ D(T)→Y lineal. Entonces

las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) T es cerrado y D(T) es cerrado. (ii) T es cerrado y T es continuo.

(iii) D(T) es cerrado y T es continuo.

Proyecciones en espacios de Hilbert

Denición 2.23. SeaX un espacio con producto interno.

(i) x, y ∈X son ortogonales si y solo si hx, yi= 0. Esto se denota x⊥y.

(ii) A, B ⊆X son ortogonales si y solo si ha, bi= 0 para todo a∈A, b∈B.

(iii) Para M ⊆X su complemento ortogonal es

M⊥:={x∈X : x⊥m, m∈M}.

Denición 2.24. Sea X un espacio vectorial.P :X →X es una proyección (sobre

Rg (T)) si P2 =P.

Teorema 2.25. Sea H un espacio de Hilbert y U ⊆ H un subespacio cerrado tal que U 6={0}. Entonces existe una proyección PU ∈L(H) sobre U tal que

kPUk= 1, ker (PU) = U⊥.

También, I−PU es una proyección continua, tal que

kI−PUk= 0 si U =H y kI−PUk= 1 si U 6=H.

(10)

Adjunto de un operador

Teorema 2.27 (Teorema de representación de Riesz-Fréchet). Sea H un espacio de

Hilbert. Entonces el mapa

φ :H → H0, y7→ h·, yi

es una isometría antilineal biyectiva.

Denición 2.28. Sean H1, H2 espacios de Hilbert y T :H1 ⊇ D(T)→ H2 lineal y

densamente denido. Denimos

D(T∗) ={y∈ H2 : x7→ hT x, yi es acotado en D(T)}.

Para y ∈ D(T∗), el mapa x 7→ hT x, yi es continuo y densamente denido, por lo

tanto puede ser extendido de manera única a un mapa φy ∈ H01. Por el teorema de

representación de Riesz-Fréchet existe un único y∗ ∈ H1 tal que

hx, y∗_i₌_φ

y(x) =hT x, yi, ∀y∈ D(T∗).

Denimos el operador adjunto del espacio de Hilbert de T como

T∗ :H2 ⊇ D(T∗)→ H1, T∗y=y∗.

En particular se tiene que

hT x, yi=hx, T∗yi, ∀x∈ D(T), y ∈ D(T∗).

Observación 2.29. Para T ∈ L(H1,H2) tenemos T∗ ∈ L(H2, H1) y

kTk=kT∗_k_.

Teorema 2.30. Sean H1, H2 espacios de Hilbert y T : H1 ⊇ D(T) → H2 lineal,

cerrado y densamente denido. Entonces se tiene lo siguiente: (i) Rg (T)⊥ = Rg (T)⊥ = ker (T∗).

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(iii) Rg (T∗)⊥= ker (T). (iv) Rg (T∗_{) = (ker (}_T₎₎⊥.

Denición 2.31. Sean H un espacio de Hilbert y T : H ⊇ D(T) → H lineal y

densamente denido.

(i) T es simétrico si T ⊆T∗.

(ii) T es autoadjunto si T =T∗.

(iii) T es normal si D(T∗) =D(T)y T∗T =T T∗.

(iv) T es unitario siT está denido sobre todo H y T∗T =T T∗ = I.

Observaciones 2.32. Es claro que todo operadorT autoadjunto es simétrico.

SiT es unitario, T es sobreyectivo pues Rg (T)⊇Rg (T T∗) = Rg (I) =H.

Teorema 2.33. SeaHun espacio de Hilbert y sean S:D(S)→ H, seanT :D(T)→ H operadores lineales. Entonces

(i) (T +S)∗ ⊆ T∗ +S∗. Si los operadores S y T son acotados, se tiene igualdad:

(T +S)∗ =T∗+S∗.

(ii) Si T, S son simétricos, entonces T +S es simétrico.

Espectro de operadores lineales

Denición 2.34. SeaX un espacio de Banach yT :H ⊇ D(T)→ Hlineal, cerrado

y densamente denido.

(i) ρ(T) :={λ∈_C : T −λ es biyectivo}:= Conjunto resolvente de T.

(12)

El espectro de T se divide en espectro puntual σp(T), espectro continuo σc(T) y

espectro residual σr(T):

σp(T) :={λ ∈C : T −λ no es inyectivo},

σc(T) :=

n

λ∈_C : T −λ es inyectivo, Rg (T −λ)6=X, Rg (T −λ) = X

o

,

σr(T) :=

n

λ ∈_C : T −λ es inyectivo, Rg (T −λ)6=Xo.

Denición 2.35. Los elementos λ ∈σp(T) se llaman valores propios de T.

Para λ∈ρ(T), el resolvente de T enλ es (T −λ)−1 =:R(λ, T).

Denición 2.36. Sea X un espacio de Banach y T ∈ L(X). El radio espectral de

T es

r(T) := l´ım sup

n→∞

kTn_k_n1 _.

Teorema 2.37. Sea X un espacio de Banach, T ∈L(X) yr(T) su radio espectral. Entonces

(i) r(T)≤ kTm_km1 ≤ kTk para todo _m∈N, en particular

r(T) = l´ım

m→∞kT

m_km1 _.

(ii) σ(T)⊆ {λ ∈_C : |λ| ≤r(T)}.

(iii) Si X es un espacio de Banach complejo, entonces existe λ ∈ σ(T) tal que

|λ|=r(T), en particular

r(T) = m´ax{|λ| : λ∈σ(T)}.

(13)

13

Capítulo 3

Rango numérico

3.1. Denición y propiedades básicas

La noción de rango numérico (también llamado campo de valores) fue introducida por O. Toeplitz en 1918 [10] para matrices, pero su denición se puede aplicar a operadores en espacios de Hilbert innito-dimensionales.

Denición 3.1. Sea H un espacio de Hilbert y T : H ⊇ D(T) → H un operador

lineal. El rango numérico de T se dene como

W(T) :={hT x, xi : x∈ D(T), kxk= 1} ⊆_C.

El rango numérico de un operador es un subconjunto de los complejos cuyas propiedades nos dan información acerca del espectro del operador en cuestión. Hay ciertas propiedades de este conjunto que son fáciles de observar y se nombran a continuación.

Denición 3.2. Sea X un espacio de Hilbert. La esfera unitaria de H es

SH:={x∈ H : kxk= 1}.

Teorema 3.3. Sean λ, β ∈C, H un espacio de Hilbert yT :H ⊇ D(T)→ H lineal.

Entonces tenemos

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14 Capítulo 3. Rango numérico

(ii) σp(T)⊂W(T).

(iii) W(U∗T U) =W(T) para todo U ∈L(H) unitario.

Demostración. (i): Para poder mirar qué es el rango numérico deλT+βInecesitamos conocer su dominio:

D(λT+βI) =D(T)∩ D(βI) =D(T).

Por lo tanto

W(λT +βI) ={h(λT +βI)x, xi : x∈ D(T), kxk= 1}

={λhT x, xi+βhx, xi : x∈ D(T), kxk= 1}

={λhT x, xi+β : x∈ D(T), kxk= 1}

=λW(T) +β.

(ii): Seaν ∈σp(T), entonces existex∈ D(T), tal quekxk= 1y T x=νx. Tenemos

que

hT x, xi=hνx, xi=νkxk2 =ν ∈W(T).

(iii): SeaU ∈L(H) unitario yx∈SH, es fácil ver que

kU xk2 =hU x, U xi=hx, xi= 1. (3.1)

Entonces se sigue que x∈SH ⇐⇒ U x∈SH. Observe queU es sobreyectivo y que

hU∗T U x, xi=hT U x, U xi

para x∈ H con U x∈ D(T). Por lo tanto tenemos queW(U∗T U) =W(T).

(15)

3.1. Denición y propiedades básicas 15

Corolario 3.5. Sea H un espacio de Hilbert y T : D(T) ⊇ H → H un operador

lineal densamente denido. Entonces T es simétrico si y solo si W(T)⊂R.

Demostración. (⇒): Sea T simétrico. Entonces es fácil ver que para x ∈ D(T) tal que kxk= 1, tenemos

hT x, xi=hx, T∗xi=hT∗_{x, xi}₌_{hT x, xi.}

Por lo tanto W(T)⊆R.

(⇐): Sea W(T)⊂R. Entonces para todo x, y ∈ D(T) y λ∈_C obtenemos hT(λx+y), λx+yi=hλx+y, T(λx+y)i.

Para λ= 1 obtenemos

hT x, yi+hT y, xi=hx, T yi+hy, T xi

=⇒ hT x, yi − hy, T xi=hT y, xi − hx, T yi

=⇒ 2i=hT x, yi= 2i=hy, T xi (3.2)

Para λ= iobtenemos

ihT x, yi −ihT y, xi= ihx, T yi −ihy, T xi

=⇒ hT x, yi+hy, T xi=hT y, xi+hx, T yi

=⇒ 2<hT x, yi= 2<hy, T xi (3.3)

Las igualdades (3.2) y (3.3) demuestran quehT x, yi=hx, T yi, así queD(T)⊆ D(T∗) y T x=T∗x para todo x∈ D(T). Por tanto T es simétrico.

Decir que σ(T) ⊆ _R es falso en general para T simétrico. Por ejemplo, si un

operadorT es simétrico, pero no es esencialmente autoadjunto, entonces por lo menos

uno de los semiplanos{z ∈_C:=(z)≥0}o{z ∈_C:=(z)≤0}pertenece al espectro

(16)

Teorema 3.6. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈L(H). Entonces el rango numé-rico de T cumple las siguientes propiedades:

(i) W(T)⊆ {α∈_C : |α| ≤ kTk}.

(ii) W(T∗) = λ : λ∈W(T) .

(iii) Si dimH <∞, entonces W(T) es compacto.

Demostración. (i): Por el lema 2.3, para x∈SH tenemos

|hT x, xi| ≤ kT xk kxk ≤ kTk kxk2 =kTk.

(ii): Usando la denición de operador adjunto, para x∈SH, tenemos

hT∗x, xi=hx, T∗_xi₌_{hT x, xi.}

Se sigue entonces que

W(T∗) = {hT∗x, xi : x∈SH}=

λ : λ∈W(T) .

(iii): Denimos

f :H ⊇SH→C, x7→ hT x, xi.

f es una función continua. Dado que dimH < ∞ tenemos que SH es un subcon-junto compacto de H. La imagen de un compacto a través de un mapa continuo es

compacto, entonces tenemos que f(SH) =W(T)es compacto en C.

3.2. Teorema de Hausdor-Toeplitz

En el artículo original de Toeplitz [10] y con la ayuda de Hausdor unos meses más tarde [4], se prueba que el rango numérico es un conjunto convexo en C. La prueba más común para este teorema muestra que la propiedad se cumple para los espacios 2-dimensionales y utiliza el concepto de operadores inducidos que deniremos en 3.21 (ver [9, Teorema 4.1] y [3]). Sin embargo, en este documento mostramos una prueba diferente presentada por Raghavendran en [8], la cual utiliza un argumento geométrico interesante.

(17)

3.2. Teorema de Hausdor-Toeplitz 17

Denición 3.7. Sea X un espacio vectorial y C ⊆ X. C es convexo si para dos

puntos en C el segmento de línea que los conecta está contenido en C. Es decir,

∀x, y ∈C ∀t ∈[0,1]⊆_R tenemos que (1−t)x+ty∈C.

Para la prueba de Raghavendran del teorema de Hausdor-Toeplitz utilizaremos el lema que se presenta a continuación.

Lema 3.8. Sea H un espacio de Hilbert y T : H ⊇ D(T) → H lineal tal que

dimW(T)≥2. Sean w1, w2 elementos distintos en W(T) yx1, x2 ∈ D(T)

elemen-tos tales que kxkk= 1 y hT xk, xki=wk, (k= 1, 2). Entonces para z ∈ C, tenemos

que kx1+zx2k 6= 0.

Demostración. Sea z ∈_Cy supongamos que kx1+zx2k= 0.

Tenemos entonces x1 =−zx2 y

|z|=|z| kx2k=k−zx2k=kx1k= 1,

por lo cual

w1 =hT x1, x1i=hT (−zx2), −zx2i=hT x2, x2i=w2,

lo que contradice nuestra escogencia de w1 y w2 como elementos distintos.

Teorema 3.9 (Teorema de Hausdor-Toeplitz). Sea H un espacio de Hilbert y T :H ⊇ D(T)→ H lineal. Entonces W(T) es un subconjunto convexo de C.

Demostración. Para probar convexidad solo tenemos que considerar el caso donde el rango numérico tiene más de dos elementos. Sean w1, w2 ∈ W(T) elementos

distintos de W(T). Por denición existen elementos xk ∈ D(T), (k= 1, 2)tal que

kxkk = 1 y hT xk, xki = wk. Para z ∈ C, tenemos que kx1+zx2k 6= 0. Nuestra

prueba quedaría nalizada si mostramos que para todo t ∈ _R, 0 < t < 1, existe

z ∈_C, z =α+iβ, α, β ∈R, tal que

T

x1+zx2

kx1+zx2k

, x1+zx2 kx1+zx2k

(18)

Sea t ∈_R, 0< t <1. En este caso, tendríamos que

hT (x1+zx2), x1+zx2i= (tw1+ (1−t)w2)kx1+zx2k 2

⇐⇒ hT x1, x1i+zhT x1, x2i+zhT x2, x1i+|z|2hT x2, x2i

= (tw1+ (1−t)w2)hx1+zx2, x1+zx2i

⇐⇒ w1+zhT x1, x2i+zhT x2, x1i+|z|2w2

= (tw1+ (1−t)w2) 1 +zhx1, x2i+zhx2, x1i+|z|2

⇐⇒ |z|2₍_t₍_w

2−w1)) +z(hT x2, x1i −(tw1+ (1−t)w2)hx2, x1i)

+z(hT x1, x2i −(tw1+ (1−t)w2)hx1, x2i) + (1−t) (w1−w2) = 0.

Esta ecuación se puede ver de la forma

|z|2_p₊_zq₊_zr₊_s_{= 0}_, _(3.5)

donde p=t(w2−w1), s= (1−t) (w1 −w2) y q, r ∈C.

Dado que p6= 0 podemos dividir por él y (3.5) es equivalente a

|z|2₊_z

q p +z r p

−(1−t)/t= 0

y podemos separar esta ecuación en su parte real e imaginaria obteniendo

α2+β2+aα+bβ −(1−t)/t= 0 (3.6) y

cα+dβ = 0, (3.7)

donde

a= Re

q p + Re r p

, b= Im

r p −Im q p ,

c= Im

q p + Im r p

, d = Re

q p −Re r p ,

(19)

3.3. Estimada de la resolvente 19

a, b, c, d∈R. La ecuación (3.6) se puede reescribir de la siguiente manera:

(α+ (a/2))2+ (β+ (b/2))2 = 1−t

t +

a2₊_b2

4 .

Dado que 0 < ((1−t)/t) + ((a2+b2)/4) =: r2, la ecuación describe un círculo en

el plano cartesiano centrado en −a

2,−

b

2

con radior. Este círculo contiene el origen

pues su radio es mayor que la distancia de su centro al origen.

Sic, d= 0 cualquier puntoz en el círculo cumpliría la ecuación (3.4). Si c, dno son

ambos 0, tenemos que la ecuación (3.7) describe una línea que pasa por el origen, por lo tanto existen dos puntos en el plano donde esta línea interseca al círculo. Es decir, existen al menos dos elementos zk ∈ C, (k = 1,2), que cumplen la ecuación

(3.4).

3.3. Estimada de la resolvente

Kato nos muestra en [5, Teorema 3.2] una caracterización de los puntos afuera de la cerradura del rango numérico de un operador. En el caso en que los puntos afuera de la cerradura del rango numérico son además puntos del conjunto resolvente del operador, el rango numérico nos ayuda a construir un estimado de la norma del resolvente en el punto dado. Para simplicar la prueba de Kato utilizamos el concepto de puntos de tipo regular y una caracterización de los mismos que se presentan a continuación.

Denición 3.10. Sean H un espacio de Hilbert, H 6= {0}, T : H ⊇ D(T) → H

lineal yλ∈C. λes un punto de tipo regular de T si existe c∈_R+ tal que para todo

x∈ D(T) tenemos

k(T −λ)xk ≥ckxk.

Teorema 3.11. Sea H un espacio de Hilbert, H 6= 0, λ ∈_C y T :H ⊇ D(T)→ H

lineal y cerrado. Entonces λ es un punto de tipo regular de T si y solo T −λ es

inyectivo y su rango es cerrado.

(20)

se sigue directamente pues

k(T −λ)xk ≥ckxk ∀x∈ H =⇒ (T −λ)x6= 0 ∀x∈ H\ {0}. (3.8)

Ahora tenemos queT−λes cerrado e inyectivo. Usando la observación2.20, tenemos

que (T −λ)−1 es cerrado. Es fácil ver por (3.8) que (T −λ)−1 es acotado. Usando el teorema de la gráca cerrada 2.21 se sigue que

D (T −λ)−1= Rg (T −λ) es cerrado.

(⇐): Sea T − λ inyectivo con rango cerrado. Por el corolario 2.16 tenemos que

(T −λ)−1 : Rg (T)→ H es acotado. En particular, para x∈ D(T) tenemos

kxk=(T −λ)

−1

(T −λ)x≤

(T −λ)

−1

(T −λ)x .

Por consiguiente,

k(T −λ)xk ≥ckxk, c= 1

(T −λ)

−1

∈_R+_.

Ahora podemos dar ciertas propiedades de los puntos afuera de la cerradura del rango numérico.

Teorema 3.12. Sea H un espacio de Hilbert y T : H ⊇ D(T) → H lineal, cerrado

y densamente denido. Entonces

(i) para λ ∈_C\W(T), T −λ es inyectivo y su rango es cerrado.

(ii) para λ ∈ρ(T)\W(T) tenemos

(T −λ)

−1 ≤

1

dist

λ, W(T)

.

(iii) Sea 40 una componente conexa de C\W(T). Entonces 40 ⊂ σ(T) o

(21)

3.3. Estimada de la resolvente 21

Demostración. Sea λ∈_C\W(T), x∈ D(T), kxk= 1 y seaδ:= dist

λ, W(T)

. (i): Tenemos que:

0< δ =|hT x, xi −λ|=|h(T −λ)x, xi| ≤ k(T −λ)xk. (3.9)

Es claro queλ es un punto de tipo regular deT. Por el teorema 3.11obtenemos que T −λ es inyectivo y su rango es cerrado.

(ii): Si λ ∈ρ(T)\W(T), de (3.9) obtenemos directamente

(T −λ)

−1 ≤

1

distλ, W(T)

.

(iii): Sea λ0 ∈ρ(T)\W(T). Sea λ∈C tal que

|λ0−λ|<

1

(T −λ₀)

−1

. (*)

T −λ se puede expresar de la siguiente manera

T −λ= (T −λ0)

I−(T −λ0)

−1

(λ0 −λ)

.

Entonces usando el teorema de la serie de Neumann (2.13) tenemos que este operador es invertible porque

(T −λ₀)

−1

(λ0−λ)

≤

(T −λ₀)

−1

|(λ₀−λ)|.

Se sigue que el operador T −λ es invertible por denición de λ en (*). Podemos

notar que por la parte (ii) se tiene que si|λ0−λ|<dist

λ0, W(T)

=:δ, entonces T −λes invertible. Por lo tanto el disco de radio δ alrededor de λ está contenido en ρ(T)\W(T) y se sigue que este conjunto es abierto en C.

Ahora sea β en σ(T)\W(T). Tenemos entonces que dist

β, W (T)

:= γ > 0. Consideramos el disco de radio γ/2 centrado en β. Este disco no intersecta W(T) y mostramos que no contiene ningún elemento de ρ(T)\W(T). Supongamos que el disco contuviese algún elemento λ1 ∈ ρ(T)\W (T). La distancia de λ1 a W(T) es

(22)

mayor que γ/2. Por lo que mostramos anteriormente, tenemos que el disco de radio

γ/2 centrado en λ1 está contenido en ρ(T)\W(T), contradiciendo el hecho de que

β estaba en σ(T)\W(T). Por lo tanto obtenemos que σ(T)\W(T) también es un conjunto abierto.

Finalmente, 40∩

σ(T)\W(T) y 40∩

ρ(T)\W(T) constituirían una separa-ción de 40. Por lo cual obtenemos

40 ⊂σ(T) o 40 ⊂ρ(T).

Existe otro estilo de prueba del teorema3.12que vale mencionar (ver [1, Teorema 3.12]). En esta prueba Derezi«ski utiliza la parte (i) del teorema3.3para transformar linealmente el rango numérico (sin perder sus propiedades originales) y poder realizar cálculos con el mas fácilmente.

De conocerse el espectro del operador, se puede mostrar que existe una estimada de la resolvente mas apropiada, dada por

(T −λ)

−1 ≤

1

dist (λ, σ(T)).

3.4. Propiedad de la inclusión

Existen casos donde el espectro está contenido en la clausura del rango numérico de un operador. En particular, por el teorema 3.12 tendríamos un estimado para la resolvente de todos los puntos afuera de la cerradura del rango numérico. Todos los operadores acotados cumplen esta propiedad y para esta demostración utilizamos la prueba presentada por Shapiro en sus notas de clase ([9, Teorema 5.1]).

Denición 3.13. Un operador T lineal y cerrado es maximal si σ(T)⊂W(T). Observación 3.14. Si T es un operador maximal yλ6∈W(T), por el teorema 3.12 tenemos

(T −λ)

−1 ≤

1

distλ, W(T)

.

Dado que el rango numérico es convexo, es fácil ver por un argumento geométrico que 4 := _C\W(T) es un conjunto conexo, excepto en el caso donde W(T) es

(23)

3.4. Propiedad de la inclusión 23

un segmento acotado por dos líneas rectas paralelas (El caso límite está incluido cuando las dos líneas coinciden). En este caso 4 se compone de dos componentes

conexas41,42. Por medio de esta representación y con ayuda de la descripción de los

puntos afuera de la clausura del rango numérico, podemos continuar caracterizando los operadores maximales.

Teorema 3.15. Sea H un espacio de Hilbert y T un operador lineal y densamente

denido en H. Para cada componente conexo 4i de C\W(T) escogemos λi ∈ 4i.

Entonces las siguientes condiciones son necesarias y sucientes para que T sea

ma-ximal.

(i) T es cerrado y para todo i, λi ∈ρ(T).

(ii) T es clausurable y para todo i, Rg (T −λi) =H.

(iii) T es cerrado y para todo i, Rg (T −λi) es denso en H.

(iv) T es cerrado y para todo i, ker T∗−λi

={0}.

Demostración. (i)⇒(ii): Seaλi ∈ 4i conλi ∈ρ(T). Se sigue queRg (T −λi) = H.

(ii)⇒(iii): Basta mostrar que T es cerrado.T−λi es inyectivo pues λi es un punto

de tipo regular. Además sabemos que (T −λi)

−1 _{esta acotado por} 1

dist(λi, W(T)). Por

lo tanto (T −λi)

−1 _{es cerrado. Su inversa es un operador cerrado, es decir,}

(T −λi)

es cerrado. Se sigue que T es cerrado.

(iii)⇒(iv): Se puede ver fácilmente que para todo λ ∈_Ctenemos

(T −λI)∗ = T∗−λI.

Utilizando el teorema 2.30 obtenemos

ker T∗−λi

⊥

= Rg (T −λi) =H =⇒ ker T∗−λi

={0}.

(iv)⇒(i):

Dado queλi ∈∆i tenemos que y(T −λi)−1 es acotado y también cerrado porque

T lo es. Por el teorema de la gráca cerrado se sigue que el rango deT−λi es cerrado.

Usando el teorema 2.30 tenemosRg (T −λi) = Rg (T −λi) = ker T∗−λi

⊥

(24)

Ahora vamos a probar que todos los operadores cerrados son maximales. Para esta prueba utilizamos un lema que nuevamente utiliza los puntos de tipo regular, esta vez para caracterizar los puntos del espectro de un operador en términos de puntos de tipo regular.

Lema 3.16. Sean H un espacio de Hilbert, λ ∈ H y T :H ⊇ D(T) → H cerrado.

Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) λ∈σ(T).

(ii) λ no es punto de tipo regular de T o λ es punto de tipo regular de T y T −λ

no es sobreyectivo.

Demostración. (i)⇒(ii): Si λ∈σ(T), entonces por deniciónT −λ no es inyectivo

o T −λ es inyectivo y no sobreyectivo. En estos casos:

SiT −λ no es inyectivo: Por el teorema 3.11,λ no es un punto de tipo regular

de T y se sigue (ii).

SiT−λes inyectivo y no sobreyectivo: Entoncesλ es un punto de tipo regular

o no, en cualquier caso obtenemos (ii).

(ii)⇒(i): Siλ no es punto de tipo regular deT oλ es punto de tipo regular deT y T −λ no es sobreyectivo ocurre lo siguiente:

Si λ no es un punto de tipo regular: Por el teorema 3.11 tenemos que T −λ

no es inyectivo o su rango no es cerrado. En particular, T −λ no es inyectivo

o no es sobreyectivo, en cualquiera de estos casos tenemos (i).

Si λ es un punto de tipo regular de T y T −λ no es sobreyectivo: Se sigue (i)

directamente.

A continuación demostramos que todo operador acotado tiene su espectro conte-nido en la clausura de su rango numérico. Esta característica la llamamos propiedad de la inclusión.

Teorema 3.17 (Propiedad de la inclusión). Sea H un espacio de Hilbert y T :H ⊇ D(T)→ H cerrado. Entonces tenemos la siguiente inclusión:

(25)

3.4. Propiedad de la inclusión 25

Demostración. Sea λ ∈ _C\r(T). Entonces existen vectores (xn)n∈N ∈ H tal que

kxnk = 1 y l´ımn→∞k(T −λ)xnk = 0. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz

(lema 2.3) obtenemos

|h(T −λ)xn, xni| ≤ k(T −λ)xnk kxnk=k(T −λ)xnk

n−→∞

−−−−→0

y

h(T −λ)xn, xni=hT xn, xni − hλxn, xni=hT xn, xni −λ

n−→∞

−−−−→0.

Por lo tanto λ es el límite de elementos de W(T)y pertenece a W(T).

Usando lo que tenemos hasta ahora, podemos caracterizar el rango numérico de un operador acotado y autoadjunto.

Teorema 3.18. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈L(H) autoadjunto. Entonces

W(T) = [m´ınσ(T), m´axσ(T)].

Demostración. Dado queT es acotado y autoadjunto, usando el teorema3.5, la parte

(iii) del teorema 3.6 y el teorema de Toeplitz-Hausdor 3.9, sabemos que W(T) es un subconjunto convexo y acotado en R. Por lo tanto tenemos que W(T) es de la forma (m, M], [m, M], [m, M) o (m, M), donde m := ´ınfW(T), M := supW(T). Para probar nuestro teorema basta mostrar que m, M ∈σ(T) y usando el teorema de la inclusion3.17 se sigue que estos deben ser el mínimo y el máximo del espectro deT, respectivamente. Mostramos que m ∈σ(T)y el caso de M es análogo.

Sea m := ´ınfW(T). Entonces existe una sucesión (xn)_n∈N tal que kxnk = 1 para todo n∈_N y hT xn, xni →m. Esto es equivalente a

h(T −m)xn, xni n−→∞

−−−−→0.

Se sigue que m no es un punto de tipo regular de T y por el lema 3.16 tenemos que m∈σ(T). De manera análoga se muestra que M ∈σ(T) y obtenemos

(26)

3.5. Esquinas del rango numérico

Como ya vimos antes, si un operador es acotado y autoadjunto, su espectro se encuentra en la línea real y sus esquinas (en este caso, los puntos extremos del segmento de línea) son elementos en el espectro del operador. Donoghue en [2] prueba algo más general y muestra que para todo operador acotadoT, las esquinas del rango

numérico (contenidas en el) son autovalores deT. Utilizaremos la prueba en las notas

de Shapiro [9, teorema 4.3].

Denición 3.19. Sea H un espacio de Hilbert, C un conjunto conexo de H y x

un punto en la frontera de C. x es una esquina si la intersección de cualquier disco

alrededor de x con el conjunto C está contenida en un cono de apertura menor que π.

Para probar una propiedad acerca de las esquinas del rango numérico, utilizare-mos un argumento que reduce el problema a un espacio 2-dimensional. Con este n, a continuación mostramos una caracterización geométrica del rango numérico de una matrix 2×2compleja, vista como un operador actuando en_C2. Esta caracterización

se conoce como el teorema del rango elíptico. Para este teorema, utilizaremos una prueba presentada por Chi-Kwong en [6].

Lema 3.20. Sea T una matrix2×2compleja, con valores propiosλ0 yλ1. Entonces

el rango numérico de T es una elipse con λ0, λ1 como sus focos y

tr (A∗A)− |λ0|2− |λ1|2

1 2

como largo de su eje menor.

Demostración. Supongamos primero que T es normal. En particular T es

diagonali-zable. Es decir, existe una matriz diagonal D= diag (λ0, λ1) y una matriz unitaria

U tal que T =U∗DU. Por la parte (iii) del teorema 3.3 tenemos

W(T) =W(D) = λ0|x|2+λ1|y|2 : x, y ∈C, |x|2+|y|2 = 1 .

Entonces W(T) es un segmento de línea, que puede ser visto como una elipse con focos λ0, λ1 y con eje menor de largo 0.

(27)

3.5. Esquinas del rango numérico 27

Ahora supongamos queT no es normal. ConsideramosT0 =T −tr(₂T)I. Por la parte (i) del teorema 3.3 tenemos

W(T0) =W(T)− tr (T)

2 .

En particular, para T0 tenemos que tr (T0) = 0. Además, T tendrá las propiedades

que queremos si T0 las tiene.

Supongamos que los valores propios de T0 son iguales. Sin pérdida de generalidad,

nuevamente por la parte (i) del teorema 3.3, podemos asumir que λ0 = λ1 = 0.

Entonces T0 es similar a una matrizT0 = 0 b 0 0

!

. Por lo tanto,

W(T0) =

bxy : x, y ∈_C, |x|2+|y|2 = 1 .

Entonces el rango numérico de T0 puede ser visto como una elipse con focos 0 (es decir, un círculo centrado en 0) con largo del eje menor (radio) b/2.

Finalmente, supongamos queT tiene valores propios distintos. Sin pérdida de

gene-ralidad (a través de transformaciones lineales apropiadas y la ayuda del teorema 3.3), podemos tomarlos 1 y −1. Entonces T es similar a una matriz de la

for-ma T = 1 2c 0 −1

!

, con c > 0. Denotamos J := {(T +T∗) +γ(T −T∗)}/2, con

γ = √1 +c2_/c. Entonces ambos valores propios de _J son ₀ y se puede ver que _J

es similar a la matriz J = 0 2

√

1 +c2

0 0

!

. Por la primera parte de esta prueba, tenemos que W(J) es un círculo con radio √1 +c2, centrado en el origen. Notamos

que, para un elemento α0+iα1 ∈W(T), α0, α1 ∈R, tenemos

α0+iα1 ∈W(T)

⇐⇒ ∃x∈S_C2, 1 2

h(T +T∗), xi+γh(T −T∗)x, xi

⇐⇒ ∃x∈S_C2, 1 2

hT x, xi+hT x, xi+γhT x, xi − hT x, xi

(28)

Ahora, comoW(J)denota un círculo, este tiene frontera√1 +c2_eit _: _t_∈

R . Por lo tanto, W(T)tiene frontera √1 +c2_cos_t₊_ic_sin_t _: _t _∈

R . Se sigue que W(T) se puede describir por la ecuación

x2

1 +c2 +

y2

c2 = 1.

Por lo tanto W(T)es una elipse, con 2√1 +c2 y ₂_c como el largo de sus ejes mayor

y menor respectivamente y focos 1y −1.

Para la prueba del teorema de Donoghue utilizaremos también la denición de operadores inducidos y un lema al respecto de sus rangos numéricos. Estos nos ayu-dan a comprimir el problema a espacios 2-dimensionales, un argumento típico para pruebas acerca del rango numérico de un operador (ver [9]).

Denición 3.21. SeanHun espacio de Hilbert, M ⊆ H un subespacio cerrado,PM

la proyección ortogonal de H sobre M y T ∈L(H). El operador inducido por T en M es la restricción a M del operador PMT y se denota TM.

Lema 3.22. Sea H un espacio de Hilbert y T ∈L(H). Entonces

W(TM)⊆W(T),

para todo subespacio cerrado M ⊆ H.

Demostración. Sea M ⊆ H un subespacio cerrado y seax ∈M. Usando que PM es

un operador autoadjunto, tenemos

hTMx, xi=hPMT x, xi=hT x, PM∗ xi=hT x, PMxi=hT x, xi.

Si tomamos x∈M, kxk= 1, se sigue directamente lo que queríamos.

Para probar la siguiente propiedad de los puntos esquinas, es necesario que

λ ∈W(T), como se puede observar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.23. Sea T = diag{1/n}∞₁ en `2. Se puede ver fácilmente que T es

(29)

3.5. Esquinas del rango numérico 29

espectro de T es la union de todos los puntos 1/n para 1 ≤n <∞, junto con el 0. Es decirσ(T) ={1/n : n∈_N} ∪ {0}. En particular, 0no es un valor propio de T.

Teorema 3.24. SeaHun espacio de Hilbert condimH ≥2,T ∈L(H)yλ∈W(T) un punto esquina de W(T). Entonces λ∈σp(T).

Demostración. Sea λ∈W(T) un punto esquina. En particular

λ =hT x, xi, (3.10)

dondex∈ H,kxk= 1. Seay ∈ H,kyk= 1, tal que yes ortogonal ax. Consideramos

el subespacio M := span (x, y). Por lo tanto, tenemos que el rango numérico de la restricción TM de T en M, es por el teorema 3.20 una elipse que contiene λ en su

frontera (pues λ está en la frontera de W(T)). Usando el lema 3.22, tenemos que

W(TM) ⊂ W(T). Dado que λ es un punto esquina, W(T) no contiene una elipse

alrededor de λ. Llegamos a la conclusión de que W(TM) debe ser una línea con λ

en alguno de sus extremos. Por el teorema 3.20tenemos que λ es un valor propio de TM y por lo tanto es un valor propio de T.

(30)

30

Capítulo 4

Rango numérico cuadrático

4.1. Denición y propiedades básicas

En el caso en que el espacio de HilbertHse puede descomponer en la suma directa

de dos espacios de Hilbert H1 y H2, podemos utilizar el concepto de rango numérico

cuadrático. Tretter en [11] nos muestra su denición y varias propiedades que nos dan información del operador, pero además se relacionan con el rango numérico del mismo. A la vez, podremos ver que resulta en un estimador del espectro más adecuado que el rango numérico.

Denición 4.1. Sea Hun espacio de Hilbert que se descompone en la suma directa

de los espacios de Hilbert H1 y H2 (es decir H = H1 ⊕ H2) y sea T ∈ L(H).

Sean P1, P2 las proyecciones en H sobre H1 y H2 respectivamente. Denotamos los

siguientes operadores:

A =P1T|H1, A∈L(H1), B =P1T|H2, B ∈L(H2,H1),

C =P2T|H1, C ∈L(H1,H2), D=P2T|H2, D ∈L(H2).

El operador T se puede escribir como

T = A B

C D

!

, (4.1)

(31)

Denición 4.2. Sean H un espacio de Hilbert, T ∈ L(H). Para x ∈ H1, y ∈ H2,

denimos

Tx,y :=

hAx, xi hBy, xi hCx, yi hDy, yi

!

∈M2(C),

y el conjunto

W2(T) := {λ : λ ∈σ(Tx,y), x∈SH1, y ∈SH2} ⊆C

es el rango numérico cuadrático de T (con respecto a la representación por matriz

de bloques de operadores de T en (4.1)).

De ahora en adelante asumimos que el espacio de Hilbert H se descompone en

la suma directa de dos espacios de Hilbert H1 y H2 y T está dado por su

represen-tación en matriz de operadores por bloques (4.1). A continuación tenemos ciertas propiedades del rango numérico cuadrático similares a aquellas del rango numérico. Vale aclarar, que el rango numérico cuadrático es diferente dependiendo de la descomposición que se tome para H.

Ejemplo 4.3. Consideramos la matrix

T0 =

     

2 i 3 0

i 2 0 3

3 0 −2 i

0 3 i −2

     

∈M4(C).

Los rangos numéricos cuadráticos de T0, con respecto a las descomposiciones

C4 = C2⊕C2 y C4 = C3⊕C1 se muestran en la gura 4.1. Las grácas del rango numérico y rango numérico cuadrático que se presentan en el documento fueron ge-neradas con [12].

Los siguientes teoremas nos muestran ciertas propiedades del rango numérico cua-drático, análogas a las propiedades del rango numérico presentadas en los teoremas 3.3 y 3.6.

(32)

32 Capítulo 4. Rango numérico cuadrático

Figura 4.1: Rango numérico cuadrático de T0 con respecto a las descomposiciones

(33)

(i) W2₍_λT ₊_β_{I) =}_λW2₍_T_{) +}_β.

(ii) W2₍_U−1_{T U}_{) =} _W2₍_T₎ para _U _{= diag (}_U

1, U2), U1 ∈ L(H1), U2 ∈ L(H2)

unitarios.

Demostración. (i): Se puede ver que paraT ∈L(H), x∈SH1, y ∈SH2,

(λT +βI)_x,y = hP1(λT +βI)|H1x, xi hP1(λT +βI)|H2y, xi

hP2(λT +βI)|H1x, yi hP2(λT +βI)|H2y, yi

!

= hλP1T|H1x, xi+β hλP1T|H2y, xi

hλP2T|H1x, yi hλP2T|H2y, yi+β

!

.

Por lo tanto

(λT +βI)_x,y =λTx,y+βI

y

σp(λT +βI)_x,y =σp(λTx,y +βI) =λ σp(Tx,y) +β. (4.2)

Es fácil ver que λT+βI∈L(H). Podemos calcular su rango numérico cuadrático y usando el resultado (4.2) obtenemos:

W2(λT +βI) =nθ : θ∈σp(λT +βI)_x,y, x∈SH1, y ∈SH2

o

={λθ+β : θ ∈σp(Tx,y), x∈SH1, y ∈SH2} =λW2(T) +β.

(ii): Usando la ecuación (3.1), es fácil ver que parax∈SH1, y ∈SH2, tenemos que

(x y)t∈SH1 ×SH2 ⇐⇒ (U1x U2y)

t_∈

SH1 ×SH2.

Por esto y usando que (U−1_{T U}₎

x,y = TU1x,U2y obtenemos que

(34)

Teorema 4.5. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈L(H). Entonces tenemos:

(i) Para x∈SH1, y ∈SH2 tenemos que kTx,yk ≤ kTk.

(ii) W2(T)⊆ {λ∈_C : |λ| ≤ kTk}.

Demostración. (i): Sean x ∈ SH1, y ∈ SH2 y (α1α2)t ∈ C2 tal que

|α1|2+|α2|2 = 1. Observamos que

Tx,y

α1

α2

!

= hAx, xiα1+hBy, xiα2

hCx, yiα1+hDy, yiα2

!

= hA(α1x) +B(α2y), xi

hC(α1x) +D(α2y), yi

!

y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Tx,y α1 α2 ! 2

=|hA(α1x) +B(α2y), xi|2+|hC(α1x) +D(α2y), yi|2

≤ kA(α1x) +B(α2y)k2+kC(α1x) +D(α2y)k2

=

T α1x α2y

! 2 . (4.3)

Es fácil observar que

(α₁x α₂y)

t

= 1. Tomando supremos en (4.3) tenemos que

kTx,yk ≤ kTk.

(ii): Usando (i) y el teorema 2.37 obtenemos para x∈SH1, y ∈SH2,

σ(Tx,y)⊆ {λ∈C : |λ| ≤ kTx,yk} ⊆ {λ∈C : |λ| ≤ kTk}.

Se sigue directamente que

W2(T)⊆ {λ∈_C : |λ| ≤ kTk}.

Por el teorema3.5 es fácil ver que el rango numérico de un operador T acotado

es real si y solo si T es autoadjunto. Para el rango numérico cuadrático solo tenemos

(35)

Teorema 4.6. Sea H un espacio de Hilbert y T ∈L(H). Entonces tenemos que: (i) W2(T∗) = λ∈_C : λ∈W2(T) .

(ii) T =T∗ =⇒ W2(T)⊂R.

Demostración. (i): Primero observamos que:

(T∗)_x,y = hA

∗_{x, xi hC}∗_{y, xi}

hB∗_{x, yi hD}∗_{y, yi}

!

= hAx, xi hCx, yi

hBy, xi hDy, yi

!

= (Tx,y)

∗

,

por lo tanto por propiedades del espectro tenemos

W2(T∗) = {λ : λ∈σ((Tx,y)

∗

), x∈SH1, y ∈SH2} =

λ : λ∈σ(Tx,y), x∈SH1, y ∈SH2 .

(ii): Si T =T∗ tenemos que (T∗)_x,y =Tx,y y con (i) obtenemos

W2(T∗) =W2(T)⊂_R.

Ejemplo 4.7. Sea

T1 =

     

0 2i 1 −i

−2i 0 0 0

0 0 0 i

0 0 −i 0

      .

Es fácil ver queW2(T1) =W(A)∪W(D). ComoA, Dson operadores autoadjuntos,

tenemos que W2(T1)⊆R. Sin embargo, T1 no es autoadjunto.

Teorema 4.8. Sean H un espacio de Hilbert tal que dimH < ∞ y T ∈ L(H). Entonces W2₍_T₎ _{es compacto.}

Demostración. Consideramos la función

f :SH1 ×SH2 →M2(C), f(x, y) = Tx,y.

La función f es continua componente a componente y por lo tanto es continua. Los

(36)

directamente que los valores propios de una matriz son continuos con respecto a los coecientes de la matriz (pues estos son los ceros del polinomio característico determinado por los coecientes de la matriz) y por lo tanto los autovalores varian continuamente. Ya queSHi, (i= 1, 2), es un conjunto compacto enH(puesdimH< ∞), tenemos que W2₍_T₎ _{es compacto.}

Observación 4.9. En el desarrollo del teorema anterior, por (??) podemos ver que

W2(T) se compone de a lo mas dos componentes conexos. Si tienen un punto en común, entonces W2(T)es conexo.

Podemos ver que el rango numérico cuadrático no siempre es convexo, en con-traste al rango numérico (ver teorema 3.9).

Ejemplo 4.10. SeaHun espacio de Hilbert yT ∈L(H). SiT es triangular superior

o inferior y W(A)∩W(D) =∅ obtenemos directamente que

W2(T) =W(A)∪W(D).

Dado que estos dos componentes son convexos y disjuntos, tenemos que T no es

convexo.

Ni siquiera los componentes de W2(T) necesitan ser convexos. Ejemplo 4.11. Consideramos la matrix

T2 =

     

3 i 1 7 +i

i 3 7 +i 1

1 7 +i −2 i

7 +i 1 i −2

     

,

T2 ∈ M4(C). Consideramos el rango numérico cuadrático de T2 con respecto a la

descomposición C4 = C2 ⊕C2. La gura 4.2 muestra que este rango numérico cua-drático consiste de dos componentes no convexas.

(37)

Figura 4.2: Componentes no convexas - Rango numérico de T2

(i) dimH2 ≥2 =⇒ W(A)⊂W2(T).

(ii) dimH1 ≥2 =⇒ W(D)⊂W2(T).

Demostración. (i): Sea x∈SH1. Si dimH2 ≥2, tenemos que existe y∈SH2 tal que

hCx, yi= 0. En este caso tenemos

Tx,y =

hAx, xi hBy, xi

0 hDy, yi

!

y por lo tanto hAx, xi ∈σ(Tx,y)⊂W2(T). La prueba para (ii) es análoga.

Las inclusiones presentadas en el teorema 4.12 no necesariamente son ciertas si dimH1 = 1 odimH2 = 1, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.13. Consideramos la matrix

T3 =

     

−2 −1 1 0

−1 −3 0 2

i −i 0 4i

−i −2 2i 0

     

(38)

T3 ∈ M4(C). Consideramos el rango numérico cuadrático de T3 con respecto a la

descomposición C4 = C3 ⊕C1. La gura 4.3 muestra que este rango numérico del bloque superior izquierdo no se encuentra contenido en el rango numérico cuadrático de T3

Corolario 4.14. Sea H un espacio de Hilbert tal que dimH1 ≥ 2 y dimH1 ≥ 2, y

T ∈L(H). Entonces

(i) SiW2(T)consiste de dos componentes disjuntos,W2(T) = F1∪F2, estos pueden

ser enumerados tal que

W(A)⊂F1, W (D)⊂F2.

(ii) Si W(A)∩W(D)6=∅ entonces W2₍_T₎ _{consiste de un único componente.}

Demostración. Por la hipótesis en las dimensiones deH1 y H2, tenemos que existen

x ∈ SH1, y ∈ SH2 tal que hCx, yi = 0. Los valores propios de la matriz correspon-diente Tx,y son hAx, xi y hDy, yi. Los conjuntos de autovalores son conexos, por lo

tanto pertenecen a diferentes componentes de W2₍_T₎ _{si este último consiste de dos}

componentes disjuntos. Por el teorema 4.12 y el hecho de que los rangos numéricos de W(A)y W (D) son conexos (inclusive convexos) obtenemos (i) y (ii).

Lema 4.15. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈L(H). Sean

W(A)∩W(D) =∅

y

2pkBk kCk<dist (W(A), W(D)).

Entonces W2₍_T₎ _{consiste de dos componentes disjuntos.}

Demostración. Denotamos β := dist (W(A), W (D)) y asumimos que λ pertenece

(39)

Figura 4.3: El rango numérico del bloque superior izquierdo deT3 según la

descom-posición de H dada (A ∈ M3(C)) no se encuentra contenido en el rango numérico cuadrático de T3 (de arriba a abajo)

(40)

a ambos conjuntos. Entonces, para todo x∈SH1, y ∈SH2,

|det (Tx,y−λ)|=

(λ− hAx, xi) (λ− hDy, yi)− hBy, xi hCx, yi

≥

λ− |hAx, xi|

λ− |hDy, yi|

− kBk kCk

≥ β

2

4 − kBk kCk>0,

lo que nos muestra que λ 6∈W2₍_T₎_.

4.2. Propiedad de la inclusión del rango numérico

cuadrático

El rango numérico cuadrático de un operador se puede ver como un mejor esti-mador del espectro de un operador acotado, si observamos que este contiene al rango numérico del operador y a su vez, el espectro del operador está contenido en la clau-sura del rango numérico cuadrático. Estas propiedades se prueban a continuación.

Teorema 4.16. Sea H un espacio de Hilbert y T ∈L(H). Entonces tenemos

W2(T)⊆W(T).

Demostración. Seaλ∈W2(T). Por denición, existenx∈SH1, y ∈SH2y(α1 α2)

t

∈

C2 tal que |α1|2 +|α2|2 = 1 y

Tx,y

α1

α2

!

=λ α1 α2

!

.

Es fácil ver que

Tx,y

α1

α2

!

= hA(α1x) +B(α2y), xi

hC(α1x) +D(α2y), yi

!

(41)

4.2. Propiedad de la inclusión del rango numérico cuadrático 41

y tomando el producto interno por (α1 α2)

t _en

C2 obtenemos

λ=

*

λ α1 α2

!

, α1 α2 !+ C2 = * Tx,y α1 α2 !

, α1 α2

!+

C2 =α1hA(α1x) +B(α2y), xi+α2hC(α1x) +D(α2y), yi

=hA(α1x) +B(α2y), α1xi+hC(α1x) +D(α2y), α2yi

=

*

T α1x α2y

!

, α1x α2y

!+

.

Como kα1xk 2

+kα2yk 2

= 1, tenemos queλ ∈W(T).

Para probar la propiedad de la inclusión para el rango numérico cuadrático, que demostraremos a continuación, utilizo el siguiente lema.

Lema 4.17. Sea (Mn)n∈_N ⊆M2(C) una sucesión de matrices, r >0 tal que

kMnk< r para todon∈N y(xn)n∈N⊆C

2 _{una sucesión de vectores tal que}_kx

nk= 1

para todo n∈N. Entonces

kMnxnk n→∞

−−−−→0 =⇒ 0∈ [

n∈_N

σ(Mn).

Demostración. Sea (Mn)n∈N ⊆ M2(C) una sucesión de matrices y (xn)n∈N una su-cesión de vectores en C2 tal que kxnk = 1 para todo n ∈ N. Por contradicción

asumamos que l´ımn→∞kMnxnk= 0 y 06∈S_n∈_Nσ(Mn).

Entonces existe un >0tal que

B(0) ⊂C\

[

n∈_N

σ(Mn) =

\

n∈_N

ρ(Mn).

En particular, todas las matricesMnson invertibles ykMn−1k ≤1/para todon ∈N.

Denimos yn:=Mnxn y obtenemos que

kxnk ≤

1

kynk

n→∞

−−−−→0,

(42)

Teorema 4.18 (Propiedad de la inclusión para el rango numérico cuadrático). Sea

H un espacio de Hilbert y T ∈L(H). Entonces tenemos las siguientes inclusiones: (i) σp(T)⊂W2(T),

(ii) σ(T)⊂W2₍_T₎.

Demostración. (i): Sea λ∈σp(T). Entonces existe (x y)t∈ H no nulo tal que

T x

y

!

= Ax+By

Cx+Dy

!

=λ x y

!

.

Escogemos xˆ∈SH1, yˆ∈SH2 tal que

x=kxkx,ˆ y=kyky.ˆ

Tomando productos internos obtenemos

hλx, xiˆ =λkxk=hAx+By, xiˆ =hAx,ˆ xi kxkˆ +hBy,ˆ xi kykˆ

y

hλy, yiˆ =λkyk=hCx+Dy, yiˆ =hCx,ˆ yi kxkˆ +hBy,ˆ yi kykˆ .

Se sigue que

Tx,ˆyˆ

kxk kyk

!

=λ kxk kyk

!

.

El vector (kxk kyk)t no es 0 pues (x y)t no es 0. Por lo tanto

λ∈σp(Tx,ˆyˆ)⊆W2(T).

(ii): Sea λ ∈ σ(T). Por el lema 3.16 λ no es un punto de tipo regular de T

o λ es punto de tipo regular de T y T −λ no es sobreyectivo. En estos casos:

Siλno es un punto de tipo regular deT: Entonces existe una sucesión((xnyn)t)_n∈_N⊆

H tal que |xn|2+|yn|2 = 1 para todon ∈N y

(T −λ) xn

yn ! n−→∞

(43)

4.2. Propiedad de la inclusión del rango numérico cuadrático 43

Usando la parte (i) del teorema 4.5 es fácil ver que

(Tˆxn,yˆn −λ)

kxnk

kynk

! ≤

(T −λ) xn

yn ! n−→∞ −−−−→0

con xˆn, yˆn denidos como antes. Ahora, por el lema 4.17 tenemos que

0∈ [

n∈N

σ(Txˆn,yˆn−λ)

y por propiedades del espectro se sigue que

λ ∈ [

n∈N

σ(Txˆn,yˆn)⊆W

2₍_T₎_.

Siλes un punto de tipo regular yT−λno es sobreyectivo: Usando el argumento

presentado en la parte (ii) del teorema 4.12 y la parte (i) de este teorema, tenemos que

λ ∈σp(T∗)⊆W2(T∗).

Por la parte (i) del teorema 4.6 obtenemos λ∈W2(T).

En el caso de los operadores acotados y autoadjuntos, nuevamente tenemos una caracterización más especica, en esta oportunidad acerca de su rango numérico cuadrático.

Teorema 4.19. Sea H un espacio de Hilbert y T ∈L(H) autoadjunto. Entonces o

W2₍_T₎ conexo con

W2₍_T_{) = [m´ın}_σ₍_T₎_, _m´_ax_σ₍_T_{)] =}_W₍_T₎_, (4.4)

o si consiste de dos intervalos disjuntos,

W2₍_T_{) = [m´ın}_σ₍_T₎_{, δ}_]_∪_[_α, _m´_ax_σ₍_T_)]_, (4.5)

con δ < α.

(44)

teorema3.18sabemos también queW2₍_T₎_⊂_W₍_T_{) = [m´ın}_σ₍_T₎_, _m´_ax_σ₍_T_)]. Dado

quem´ınσ(T), m´axσ(T)∈σ(T)⊆W2₍_T₎y dado que_W2₍_T₎_{consiste de a lo mas}

dos componentes conexos, se sigue que W2₍_T₎es de la forma (4.4) o (4.5).

4.3. Estimada de la resolvente

También obtenemos un estimado del resolvente para cualquier punto λ en el

conjunto resolvente que además se encuentra afuera de la clausura del rango numérico cuadrático de nuestro operador. Dicha relación se muestra a continuación.

Teorema 4.20. SeaH un espacio de Hilbert yT ∈L(H). La resolvente deT admite

el siguiente estimado

(T −λ)

−1 ≤

kTk+|λ|

dist (λ, W2₍_T₎₎2, λ6∈W 2₍_T₎_.

Demostración. Sea λ6∈W2₍_T₎. Para_x_∈_S

H1, y ∈SH2, tenemos que

(T_x,y−λ)

−1 =

kTx,y−λk

|det (Tx,y−λ)|

= kTx,y −λk

|λx,y,1−λ| |λx,y,2−λ|

,

donde λx,y,i, (i= 1, 2) son los valores propios de Tx,y. Usando que kTx,yk ≤ kTk y

que|λx,y,i−λ| ≥dist (λ, W2(T)), (i= 1, 2), es fácil ver que parax∈SH1, y ∈SH2,

(T_x,y−λ)

−1 ≤

kTk+|λ|

(dist (λ, W2₍_T₎₎₎2.

Tenemos entonces

k(Tx,y−λ)k ≥

(dist (λ, W2(T)))2

kTk+|λ| .

Usando la parte (i) del teorema 4.5 tenemos que para(α1 α2)t ∈C2 tal que |α1|2+

|α2|2 = 1 y h= (α1x α2y)t∈ H, khk= 1

k(T −λ)hk ≥

(Tx,y−λ)

α1 α2 !

≥ (dist (λ, W

2₍_T₎₎₎2

(45)

4.4. Esquinas del rango numérico cuadrático 45

Como λ6∈W2₍_T₎, por el teorema 4.18 tenemos que _λ_∈_ρ₍_T₎y se sigue que

(T −λ)

−1 ≤

kTk+|λ|

dist (λ, W2₍_T₎₎2, λ6∈W 2₍_T₎_.

4.4. Esquinas del rango numérico cuadrático

Análogo al rango numérico obtenemos una descripción para las esquinas del rango numérico cuadrático. Esta descripción no es tan sencilla y los puntos de las esquinas pueden ser de diferentes tipos:

Teorema 4.21. Sea λ0 ∈ W2(T) y sea x0 ∈SH1, y0 ∈SH2 tal que λ0 ∈ σ(Tx0,y0). Si λ0 es un punto de tipo esquina de W2(T), entonces al menos una de las siguientes

armaciones se cumple:

(i) λ0 es un valor propio de A con vector propio x0.

(ii) λ0 es un valor propio de D con vector propio y0.

(iii) λ0 es un valor propio de T con vector propio (x0 αy0)t, donde

α =− hCx0, y0i

h(D−λ0)y0, y0i o

α=−h(A−λ0)x0, x0i hBy0, x0i

.

Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos asumir que λ0 = 0. Primero

consideramos el caso en que los dos valores propios de Tx0,y0 son diferentes. Para

y∈SH2, z ∈Cdenimos

gy(λ, z) := (hAx0, x0i −λ) (hD(y0+zy), y0+zyi −λhy0+zy, y0+zyi)

− hB(y0+zy), x0i hCx0, y0+zyi.

Entonces gy(λ,0) = det (Tx0, y0 −λ) y gy(·, z) es un polinomio cuadrático en λ. Este último tiene un cero λy(z) tal que λy es analítico en una vecindad U de 0con

(46)

λy(0) =λ0 = 0 y está dado por

λy(z) =

hAx0, x0i

2 +

hD(y0+zy), y0+zyi

2hy0+zy, y0+zyi

+

s _hAx

0, x0i

2 −

hD(y0 +zy), y0+zyi

2hy0+zy, y0+zyi

2

+hB(y0+zy), x0i hCx0, y0 +zyi 4hy0+zy, y0+zyi

.

Aquí se escoge la rama de la raíz cuadrada tal que λy(0) = 0. Obviamente, λy(t)∈

σp

T_x

0,_ky_y0+ty 0+tyk

⊂ W2(T) para un real t ∈ U y, por hipótesis, λy(0) = 0 es una

esquina deW2(T). Esto implica que la curvaλy(t), t∈U∪R, no tiene una tangente

en el punto 0 y por lo tanto

d

dtλy(t)|t=0 = 0. (4.6)

Por otro lado, gy(λy(z), z) = 0 para todo z ∈ C. Por lo tanto es diferenciable, y

para t ∈U∪_R tenemos

0 = d

dtgy(λy(t), t)

=−d dtλy(t)

hD(y0+ty), y0+tyi −λy(t)hy0+ty, y0+tyi

+

hAx0, x0i −λy(t) hDy, y0+tyi+hD(y0+ty), yi

− d

dtλy(t)hy0+ty, y0+tyi −λy(t)

hy, y0+tyi+hy0+ty, yi

− hBy, x0i hCx0, y0+tyi − hB(y0+ty), x0i hCx0, yi.

Para t= 0, usando (4.6) y λy(0) = 0tenemos

0 = hAx0, x0i(hDy, y0i+hDy0, yi)− hBy, x0i hCx0, y0i − hBy0, x0i hCx0, yi

=Dy, hAx0, x0iD∗y0− hCx0, y0iB∗x0

E

+hhAx0, x0iDy0− hBy0, x0iCx0, yi.

(47)

lo que se sigue que

hAx0, x0iDy0− hBy0, x0iCx0 = 0, (4.7)

hAx0, x0iD∗y0− hCx0, y0iB∗x0 = 0. (4.8)

De manera similar, para x∈SH1, z∈C consideramos el polinomio

hx(λ, z) := (hA(x0+zx), x0+zxi −λhx0 +zx, x0+zxi) (hDy0, y0i −λ)

− hBy0, x0+zxi hC(x0 +zx), y0i

y por lo tanto se sigue análogamente que

hDy0, y0iAx0− hCx0, y0iBy0 = 0, (4.9)

hDy0, y0iA∗x0− hBy0, x0iC∗y0 = 0. (4.10)

Usando el teorema 4.12, podemos distinguir los siguientes casos:

(i) dimH1 = dimH2 = 1: En este casoW2(T)consiste únicamente de los dos valores

propios de T y nuestro teorema se cumple trivialmente.

(ii) dimH1 = 1 o dimH2 = 1: Supongamos sin perder generalidad que dimH2 = 1.

Entonces Des la multiplicación por una constanted. Si Ax0 = 0 od = 0, la esquina

0es un valor propio deA oD, respectivamente. SiAx0 6= 0 yd 6= 0, la relación (4.9)

implica que hCx0, y0i 6= 0 y

Ax0+B

−hCx0, y0i

d y0

= 0. (4.11)

Mas aun, sin pérdida de generalidad podemos escoger y0 = 1 y Dy0 =d, por lo que

también tenemos

Cx0+D

−hCx0, y0i

d y0

= 0. (4.12)

Por lo tanto, por (4.11) y (4.12) es inmediato que 0 es un valor propio de T con

vector propio

x0

−hCx0, y0i hDy0, y0iy0

!

= x0

−1

dCx0

!

(48)

Podemos notar que dado que dimH2 = 1, no podemos concluir de Ax0 6= 0 que

hAx0, x0i 6= 0 y por lo tanto hBy0, x0i 6= 0. La razón de esto es que hAx0, x0i = 0

muestra que 0 ∈ W(A), pero no podemos concluir que 0 es una esquina de W(A) porque el rango numérico deAno está necesariamente contenido en el rango numérico

cuadrático de T (ver ejemplo 4.13). Por lo tanto en este caso, únicamente se puede

usar la primera forma de la constante α en los autovalores descritos en (iii).

(iii) dimH1 ≥ 2, dimH2 ≥ 2 : Suponemos primero que hAx0, x0i = 0. Por el

teorema 4.12, se sigue que W(A) ⊂ W2(T). Entonces 0 ∈ W(A) también es una esquina de W(A). Por el teorema de Donoghue3.24, tenemos que 0 es valor propio de A. Si hDy0, y0i = 0, un argumento similar nos lleva a que 0 es valor propio

de D. Ahora, si hAx0, x0i 6= 0 y hDy0, y0i 6= 0, entonces también tenemos que

hBy0, x0i 6= 0 y usando (4.7) y (4.9) obtenemos

Ax0 +B

−hCx0, y0i hDy0, y0i

y0

= 0,

Cx0+D

−hAx0, x0i hBy0, x0i

y0

= 0.

Usando la relación det (Tx0,y0) = hAx0, x0i hDy0, y0i − hBy0, x0i hCx0, y0i= 0, con-cluimos que 0 es un valor propio deT con vector propio

x0

−hCx0, y0i hDy0, y0iy0

!

= x0

−hAx0, x0i hBy0, x0iy0

!

.

Hasta aquí la prueba se encargó de aquellos λ que son valor propio simple, es decir,

su multiplicidad algebraica es 1. La prueba para λ cero doble se vuelve un poco más

compleja. La misma se presenta a continuación.

Si λ0 es un cero doble, entonces, para todo y ∈ SH2, hay dos funciones raíces

λ(1)y (t), λ(2)y (t), t ∈ R tal que gy

λ(yj)(t), t

= 0 cerca de t = 0 y λ(yj)(0) = 0,

(j = 1, 2), con expansión de Puiseux (Ver [5, II,1.2])

λ(_yj)(t) =a1eπijt1/2+a2e2πijt+..., (j = 1, 2).

(49)

λ(2)y (−t), t≥0, dividen el plano en cuatro sectores de ánguloπ/2. Esto contradice el

hecho de que 0es una esquina de W2₍_T₎. Si _a

1 = 0, entonces losλ (j)

y (t), (j = 1, 2)

(50)

50

Bibliografía

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(51)

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