TEMA RAÍCES DE ECUACIONES
1.- La forma general para un campo tensorial en tres dimensiones es la siguiente:
En la que los términos en la diagonal principal representan esfuerzos a la tensión ó a la compresión y los términos fuera de la diagonal representan esfuerzos cortantes. Un campo tensorial (en MPa) está dado por la matriz que sigue:
Para resolver cuáles son los esfuerzos principales, es necesario construir la matriz siguiente:
σ1, σ2 y σ3 se obtienen con la ecuación: , donde:
I,II y III se conocen como las invariantes de los esfuerzos. Encuentre σ1, σ2 y σ3 por medio de una técnica cerrada (bisección, falsa posición) de localización de raíces con al menos tres iteraciones ó un error de aproximación menor a 10-3.
2.- Calcule la raíz real positiva de usando algún método
numérico estudiado. Use una gráfica para escoger el valor inicial y realice el cálculo con un error menor o igual a 1%.
Utilice el método de la bisección para encontrar la posición de la viga en la que no hay momento. Estime los valores x1 y x2 del intervalo a partir del método gráfico.
4.- Determine la menor raíz positiva de a) Gráficamente
b) Con el método de Newton Raphson, tres iteraciones, xi=0.3. c) Con el método de la secante.
5.- Encuentre las raíces del siguiente sistema de dos ecuaciones: Y=x2+1
Y=2*cos(x)
TEMA INTERPOLACIÓN LINEAL
6.- Los siguientes datos muestran la relación entre la viscosidad del aceite y la temperatura. Después de aplicar logaritmos a los datos, use regresión lineal para determinar la ecuación de la línea que mejor se ajusta a los datos y al valor de r2.
viscosidad 1.35 0.085 0.012 0.00075
temperatura 80 200 300 600
7.- Use los siguientes valores y la aritmética del redondeo a 4 dígitos para construir una aproximación del tercer polinomio de Lagrange a f(1.09). La función que va a ser aproximada es:
TEMA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
9.- Factorizar las siguientes matrices utilizando el algoritmo de factorización LU.
a) A = b) B = c) C =
Utilizar la factorización realizada en el ejercicio 3 a) y resolver el sistema Ax = b, sabiendo que b = [4, 1, -3, 4]
TEMA INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
10.- Un flujo que pasa a través de un tubo de 40 cm de diámetro tiene el perfil de velocidad siguiente:
radio,r, cm
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0
velocidad, v, m/s
0,914 0,890 0,847 0,795 0,719 0,543 0,427 0,204 0
Encuentre la tasa de flujo volumétrico Q, con la relación:
Donde r, es el eje radial del tubo, R es el radio del tubo y v es la velocidad. Resuelva el problema con dos enfoques diferentes.
a) Ajuste una curva polinomial a los datos de velocidad e intégrela de forma analítica. b) Utilice una aplicación múltiple de la Regla de Simpson 1/3.
c) Encuentre el error porcentual con el uso de la integral del ajuste polinomial como el valor más correcto.
11.- Evalúe la integral doble:
Donde V es el volumen en m3 y z es la profundidad en metros. z se mide a partir de la superficie en dirección del fondo. La concentración promedio de una sustancia c(g/m3) puede determinarse como.
Donde Z es la profundidad total (m). Determine la concentración promedio en base a los datos siguientes:
z,m 0 4 8 12 16
V, 106m3 9,8175 5,1051 1,9635 0,3927 0,0000
c, g/m3 10,2 8,5 7,4 5,2 4,1
13.- Use los siguientes datos para encontrar la velocidad y la aceleración a t= 5 segundos. Use los métodos de diferencias divididas de alta exactitud hacia adelante hacia atrás y centradas.
Tiempo (t,s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Posiciòn x (m)
0 0,7 1,8 3,4 5,1 6,5 7,3 8 8,4
TEMA EDO
14.- Resuelva en forma analítica el problema de valores iniciales siguiente, en el intervalo de x00 a x=2.
Donde y(0)=1. Grafique la solución
15. Utilice el Método de Euler con h=0,5 y 0,25 para resolver el ejercicio 15. 16.- Emplee el método de Heun y h=0,5 para resolver el ejercicio 15.
TEMA EDP
18.- Con los tres métodos estudiados calcule la distribución de temperatura en una barra larga y delgada que tiene 50 cm de longitud y Δx=5 cm, Δt=1 seg., k=0,835 cm2/s. Se sabe que en t=0 la temperatura de la barra es cero y las condiciones de frontera para cualquier instante de tiempo son: T(0)=75ºC, T(50)=22ºC
TEMA ELEMENTOS FINITOS
19.- Una barra de 30 cm de longitud está sometida a una fuente de calor uniforme f(x)=25. Si se sabe que T(0,t) = 70 y T(30,t) = 150
a) Utilice el método de Galerkin para obtener las ecuaciones de un elemento unidimensional de la barra.
b) Si la barra es discretizada en cinco elementos del mismo tamaño, realice el ensamble de todas las ecuaciones del sistema y resuelva el sistema de ecuaciones a partir de la matriz global.
