TRANSFORMADA Z

(1)

ING. PISCOYA SILVA ULISES CIP: 124611 PÁGINA 1

TRANSFORMADA Z

Definición:

Se define la transformada Z mediante la siguiente ecuación:

ܩሾܼሿ ൌ σஶ୬ୀିஶ݃ሾ݊ሿܼି௡ … (1)

Donde:

G [Z] indica que la función esta en el dominio de Z (notar que es letra mayúscula)

g[n] indica que la función está en el dominio de n (notar que es letra minúscula)

Otra nomenclatura muy usada es:

G [Z] g[n] … (2)

También es necesario que se cumpla el teorema de convergencia de una transformada Z lo cual implica que:

െλ ൏ σାஶ௡ୀିஶ݃ሾ݊ሿܼି௡ ൏ ൅λ… (3)

EJEMPLO 1:

෍ ݊ ൌ ͳ ൅ ʹ ൅ ͵ ൅ Ͷ ǥ

ାஶ

௡ୀ଴

Si observamos esta sumatoria vemos que su valor tiende al infinito por tal razón podemos decir que esta sumatoria diverge

EJEMPLO 2:

Sea la sumatoria:

෍ ܺ௡ ൌ ͳ ൅ ܺ ൅ ܺଶ൅ ܺଷ൅ ڮ

ାஶ

௡ୀ଴

(2)

ING. PISCOYA SILVA ULISES CIP: 124611 PÁGINA 2 Observamos que la solución de esta sumatoria es:

෍ ܺ௡

ାஶ

௡ୀ଴

ൌ

୬՜ஶ൬

ܺ௡െ ͳ ܺ െ ͳ൰

Por tal razón si:

ݔ ൏ ͳ

ݔ ൒ ͳ

RCO: región de convergencia

Se define la RCO como el lugar donde está definida la transformada Z es decir el dominio de la transformada Z

Debe cumplirse tambien :

σାஶ௡ୀିஶȀ݃ሾ݊ሿݎି௡Ȁ൏ ൅λ…(4)

Dónde:

Z=r݁௝ఏ

Nota:

De la definición de la transformada Z tenemos:

ܩሾܼሿ ൌ ෍ ݃ሾ݊ሿܼି௡

ାஶ

௡ୀିஶ

Si colocamos a Z en su forma exponencial tenemos

Z=r݁௝ఏ

Reemplazando tenemos:

ܩሺݎ݁௝௪ሻ ൌ ෍ ݃ሾ݊ሿሺݎ݁௝௪ሻି௡

ାஶ

௡ୀିஶ

Converge

(3)

ING. PISCOYA SILVA ULISES CIP: 124611 PÁGINA 3 En donde concluimos:

ܩ൫ݎ݁௝௪൯ ൌ σାஶ௡ୀିஶݎି௡݃ሾ݊ሿ݁ି௝௡௪ǥ ሺͷሻ

EJEMPLO 3:

Hallar la transformada Z de:

X[n]=ߙ௡ߤሾ݊ሿ

ߤሾ݊ሿ= función escalón

Solución

X[Z]=σାஶ௡ୀିஶሺߙ௡ߤሾ݊ሿሻܼ

ି௡

ܺሾܼሿ ൌ σାஶ௡ୀିஶሺߙ௡ܼି௡ሻߤሾ݊ሿ

Nota: cuando existe una multiplicación de una función cualesquiera por un escalón unitario en una sumatoria los límites de la sumatoria que estaban de -00 a +00 van a variar de 0 hasta +00 fíjate en ese detalle en este paso de procedimiento del problema

ܺሾܼሿ ൌ ෍ ߙ௡

ାஶ

௡ୀ଴

ܼି௡

ܺሾܼሿ ൌ ෍ሺߙܼିଵሻ௡ǥ Ǥ ሺ݌͵Ǥͳ

ାஶ

௡ୀ଴

ሻ

También debes conocer:

෍ ܽ௡

௡ୀே

௡ୀ଴

ൌ ͳ ൅ ܽ ൅ ܽଶ൅ ǥ ൅ ܽே

෍ ܽ௡

௡ୀே

௡ୀ଴

ൌ ͳ ൅ ܽ ൅ ܽଶ൅ ǥ ൏ λ ՜ ܽ ൏ ͳ

(4)

/ࢻࢆି૚/൏ ͳ

Con esta expresión debemos definir la RCO

ȀࢻȀ ȀࢆȀ<1

ȀࢻȀ൏ȀࢆȀ

Im

R Z

෍ ܽ௡

௡ୀே

௡ୀ଴

ൌͳ െ ܽ

ேାଵ

ͳ െ ܽ

෍ ܽ௡

ା଴଴

௡ୀ଴

ൌ ͳ

ͳ െ ܽ݋݆݋ǣȀܽȀ൏ ͳ

a<1 N _λ

Esta ecuación no se deben olvidar es muy usada

Regresamos a (p3.1)

X[Z]= ଵ

ଵିఈ௓షభȀܽȀ൏ ͳ

X[Z]= ௓

(5)

Secuencia Transformada Z RCO

ߜሺ݊ሻ 1 ׊ܼ

ߤሾ݊ሿ ͳ

ͳ െ ܼିଵ

/Z/>1

ߙ௡ߤሾ݊ሿ ͳ

ͳ െ ߙܼିଵ

/Z/>/ߙ/

݊ߙ௡ߤሾ݊ሿ

ߙܼିଵ ሺͳ െ ߙܼିଵሻଶ

/Z/>/ߙ/

ሺ݊ ൅ ͳሻߙ௡ߤሾ݊ሿ ͳ

ሺͳ െ ߙܼିଵሻଶ

/Z/>/ߙ/

ሺݎ௡ܿ݋ݏݓ଴݊ሻߤሾ݊ሿ ͳ െ ሺݎܿ݋ݏݓ଴ሻܼିଵ ͳ െ ሺʹݎܿ݋ݏݓ଴ሻܼିଵାݎଶ൅ ܼିଶ

/Z/>/ݎ/

ሺݎ௡ݏ݁݊ݓ଴݊ሻߤሾ݊ሿ ሺݎݏ݁݊ݓ଴ሻܼିଵ

ͳ െ ሺʹݎܿ݋ݏݓ଴ሻܼିଵାݎଶ൅ ܼିଶ

/Z/>/ݎ/

TRANSFORMADA Z RACIONAL

݄ሾܼሿ ൌሾሿ ሾሿ

ܪሾܼሿ ൌ ܲ଴൅ ܲଵܼ ିଵ

൅ ܲଶܼିଶǥ ǥ ൅ ܲ௡ܼିெ ݀଴൅ ݀ଵܼିଵ൅ ݀ଶܼିଶǥ ǥ ൅ ݀௡ܼିெ Dónde:

 _{Grado del polinomio P[Z]=M}  _{Grado del polinomio D[Z]=N}

También es posible hacer:

ܪሾܼሿ ൌ ܼேିெሺܲ଴ܼ ெ

൅ ܲଵܼெିଵ൅ ǥ ǥ ǥ ൅ ܲ௡ିଵܼ ൅ ܲெ ݀଴ܼே൅ ݀ଵܼேିଵ൅ ǥ ǥ ǥ ݀௡ିଵܼ ൅ ݀ே Factorizando:

ܪሾܼሿ ൌ ሺ௉బ ௗబሻሺ

ςಾ೗సభ൫ଵି௄೗௓షభ൯

ςಿ೗సభଵି௅೗௓షభ

ሻ …(6)

ܪሾܼሿ ൌ ܼெିேሺ௉బ ௗబሻሺ

ςಾ೗సభሺ௓ି௄೗ሻ

ςಿ೗సభሺ୞ି௅೗ሻ

(6)

EJEMPLO 4:

Sea el polinomio mostrado expresarlo como se muestra en a ecuación 7

ܪሾܼሿ ൌͳ ൅ ʹܼ ିଵ

൅ ͵ܼିଶ൅ ͸ܼିଷ ͳ ൅ ܼିଵ൅ ܼିଶ Solución:

ܪሾܼሿ ൌଵାଶ௓

షభ

ାଷ௓షమା଺௓షయ ଵା௓షభ_ା௓షమ ൌ

௉ೋ

஽ೋ

 _{Grado P[Z]=3}  _{Grado D[Z]=2}

ܪሾܼሿ ൌ ܼିଵሺܼ ൅ ʹ ൅ ͵ܼ ିଵ

൅ ͸ܼିଶ ͳ ൅ ܼିଵ൅ ܼିଶ ሻሺ

ܼଶ ܼଶሻ

ܪሾܼሿ ൌ ܼିଵሺܼ ଷ

൅ ʹܼଶ൅ ͵ܼ ൅ ͸ ܼଶ൅ ܼ ൅ ͳ ሻ

EJEMPLO:

X[n]=7ሺଵ ଷሻ

௡

µ[n] - 6ሺଵ ଶሻ

௡ µ[n]

Hallar X [Z]

SOLUCIÓN:

De las propiedades de transformada Z sabemos:

ߙ௡Ɋሾሿ ଵ

ଵିఈ௓షభ /Z/>/ߙ /

Reemplazamos esta ecuación para ߙ ൌ ͳȀ͵ y ߙ ൌ ͳȀʹ y ambas expresiones las sumamos y obtenemos:

X [Z]= 7 ଵ ଵିభ

య௓ షభ - 6

ଵ ଵିభ

మ௓ షభ

X [Z]=_ଷି௓ଶଵషభ -

ଵଶ ଶି௓షభ

La RCO de X [Z] es la RCO de la intersección de las 2 expresiones que se calcularon para los valores de ߙ ൌ ͳȀ͵ y ߙ ൌ ͳȀʹ por lo tanto:

RCO=RC1ȳRC2

(7)

ING. PISCOYA SILVA ULISES CIP: 124611 PÁGINA 7 RC2=IZI>ଵ

ଶ

Por lo tanto de la intersección concluimos: RCO= IZI>ଵ_ଷ

X [Z]= ସଶିଶଵ௓

షభ_{ିଷ଺ାଵଶ௓}షభ

ሺଷି௓షభ_{ሻሺଶି௓}షభ_ሻ

X [Z]= ଺ିଽ௓

షభ

ሺ଺ିହ௓షభ_ା௓షమ_ሻ

TRANSFORMADA Z INVERSA SERIE BINOMIAL

De la serie binomial:

ͳ

ሺͳ െ ܼିଵሻଶൌ ͳ ൅ ʹܼ ିଵ

൅ ͵ܼିଶ൅ Ͷܼିଷ൅ ǥ ǥǤ

X [Z]= ௓

షభ

ሺଵି௓షభ_ሻమൌ Ͳ ൅ ܼ

ିଵ

൅ ʹܼିଶ൅ ͵ܼିଷ൅ Ͷܼିସ൅ ǥ ǥ Ǥ ׊ܼ …(6)

Siendo la expresión 6 el valor de X[Z] su transformada inversa será expresada como:

x[n]=ሼͲǡͳǡʹǡ͵ǡͶǡ ǥ ሽ

Donde:

x[0]=0

x[1]=1

x[2]=2

De donde se concluye que:

x[n]=ሼ݊݊ ൒ Ͳ ;

(8)

TRANSFORMADA Z INVERSA MEDIANTE DIVISIÓN LARGA

EJEMPLO

ܪሾܼሿ ൌ ͳ ൅ ʹܼ ିଵ

ͳ ൅ ͲǤͶܼିଵെ ͲǤͳʹܼିଶ

1+2ܼିଵ 1+0.4ܼିଵെ ͲǤͳʹܼିଶ -1- 0.4ܼିଵ൅ ͲǤͳʹܼିଶ 1+1.6ܼିଵെ ͲǤͷʹܼିଶ 0 1.6ܼିଵ൅ ͲǤͳʹܼିଶ

-1.6ܼିଵെ ͲǤ͸Ͷܼିଶ൅ ͲǤͳͻʹܼିଷ

0 -0.52ܼିଶ൅ ͲǤͳͻʹܼିଷ

0.52ܼିଶ൅ ͲǤʹͲͺܼିଷǤ ͲǤͲ͸ʹͶܼିସ 0 +0.400ܼିଷ൅ ͲǤ͸ʹͶܼିସ

  

h[n]ؠ{1,1.6,-0.52,…}

TAMBIÉN

H [Z]=1+1.6ܼିଵെ ͲǤͷʹܼିଶ+ ଴Ǥସ଴଴௓

షయ_{ା଴Ǥ଺ଶସ௓}షర

ଵି଴Ǥସ௓షభା଴Ǥଵଶ௓షమ

H1[z] H2[Z]

݄ଵ[n]ؠ{1,1.6,-0.52,…}