Texto completo

(1)

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON Secretaría Académica

(2)
(3)

& F M Í

U 5 3 o

\ i : ï

t> 1 2 o - 2£><?¿o

FONDO

UNIVERSITARIO

1020124184

P R E S E N T A C I O N

El texto d© ALGEBRA II (Funciones y Aplicaciones) fue diseñado como un

curso de álgebra intermedia para alumnos del 2

o

Semestre de

bachillerato, con una estructura mas formal que el curso anterior. El

libro puede utilizarse de dos formas diferentes:

1. Como un libro de álgebra, con aplicaciones, o

2. Como un lib o de aplicaciones, con soporte de álgebra.

Las aplicaciones fueron tomadas de modelos matemáticos de fenómenos

del mundo real. El alumno debe seleccionar una clase de función que

ajuste a la situación dada y derivar la ecuación correspondiente que se

acomode a la información del problema. La ecuación entonces, es

utilizada para predecir valores de Y cuando X es dada, o para predecir

valores X cuando Y es dada. Algunas veces el alumno debe usar los

resultados de los problemas para hacer interpretaciones acerca del

mundo real, como por ejemplo, el significado de "pendiente", etc. Los

problemas requieren que el alumno utilice varios conceptos

matemáticos en un mismo problema. Esto contrasta con los "problemas

con palabras" tradicionales de álgebra elemental, en los cuales un

mismo concepto es usado en varios problemas.

El texto se completa con un "cuaderno de trabajo" como apoyo a fa

práctica del alumno y por una "guía del maestro" con recomendaciones

y sugerencias para el manejo del material.

Atentamente,

COMITE TECNICO DE MATEMATICAS

Ing. Roberto Sánchez Ayala.

(4)

INDICE

1. FUNCIONES Y RELACIONES ]

Introducción 2 1.1 Gráfica de ecuaciones con dos variables 5

1.2 Gráfica de funciones e 1.3 Funciones en el mundo real 1 1

1 „4 Gráfica de funciones y relaciones 1

-2. FUNCIONES LINEALES ™

2.1 Introducción a las funciones lineales

2.2 Propiedades de la gráfica de una función lineal 21 2.3 Otras formas de la ecuación de una función lineal 28 2 . 4 Ecuaciones de funciones lineales a partir de

sus gráficas o 31

2.5 Las funciones lineales como modelos matemáticos 3 6

3 .

SISTEMAS DE

E C U A C I O N E S Y

DESIGUALDADES LINEALES

45

3.1 Introducción a un sistema lineal ^ 3 . 2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales 4 7

3.3 Determinantes de segundo orden

3 . 4 Terminología ffx) y sistemas como modelos 58 3.5 Ecuaciones lineales con tres o mas variables 6 4 3 . 6 Sistemas de ecuaciones lineales con tres o

más variables

3 . 7 Solución de sistemas lineales de segundo orden por matrices aumentadas

4. FUNCION CUADRATICA

4 . 1 Introducción

4 . 2 Gráfica de una función cuadrática

4 . 3 Dado un valor de y, calcular x 8 0 4 . 4 Valores no reales de x, para un valor real dado de y 85

4.5 Bosquejo de la gráfica de la función cuadrática ^ 4 . 6 Dos tópicos importantes

4 . 7 Aplicaciones de la función cuadrática a problemas del mundo real

4 . 8 Ecuación de la función cuadrática a partir de

101 su gráfica

4 . 9 Números imaginarios y complejos

5 . FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 1 1 5

5.1 I n t r o d u c c i ó n a las f u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s 1 1 6 5.2 P o t e n c i a c i ó n para e x p o n e n t e s e n t e r o s

p o s i t i v o s 1 1 7

5.3 P r o p i e d a d e s de l o s e x p o n e n t e s 1 2 0 5.4 E x p o n e n c i a c i ó n para e x p o n e n t e s r a c i o n a l e s 1 2 3

5.5 P o t e n c i a s y R a d i c a l e s s i n c a l c u l a d o r a 1 2 7

5.6 N o t a c i ó n c i e n t í f i c a 1 3 0 5.7 E c u a c i o n e s e x p o n e n c i a l e s r e s u e l t a s por

a p r o x i m a c i o n e s 1 3 5 5.8 E c u a c i o n e s e x p o n e n c i a l e s r e s u e l t a s por

l o g a r i t m o s 1 3 6 5.9 L o g a r i t m o s c o n o t r a s b a s e s 1 4 0

5 . 1 0 P r o p i e d a d de l o s L o g a r i t m o s 1 4 3 5 . 1 1 D e m o s t r a c i ó n de las p r o p i e d a de los

l o g a r i t m o s 1 4 9 5.12 Las f u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s c o m o m o d e l o s

m a t e m á t i c o s 1 5 1

FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 1 5 7 6 . 1 I n t r o d u c c i ó n a las f u n c i o n e s a l g e b r a i c a s

r a c i o n a l e s 1 5 8

6 , 2 G r á f i c a s de f u n c i o n e s r a c i o n a l e s ,

d i s c o n t i n u i d a d e s y a s í n t o t a s 1 5 9 6.3 P r o d u c t o s e s p e c i a l e s y f a c t o r i z a c i ó n 1 6 1 6.4 Más f a c t o r i z a c i o n e s y g r á f i c a s 1 6 4 6.5 D i v i s i ó n l a r g a de P o l i n o m i o s 1 6 8 6 . 6 F a c t o r i z a c i ó n de p o l i n o m i o s de g r a d o

s u p e r i o r . El t e o r e m a del f a c t o r . 1 7 0 6.7 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s de e x p r e s i o n e s

r a c i o n a l e s 1 7 4

6.8 S u m a s y d i f e r e n c i a de e x p r e s i o n e s

r a c i o n a l e s 1 7 9

6.9 V o l v i e n d o a g r a f i c a r f u n c i o n e s a l g e b r a i c a s

1 8 2

r a c i o n a l e s 1 8 2

6 . 1 0 E c u a c i o n e s f r a c c i ó n a l e s y s o l u c i o n e s

e x t r a ñ a s 1 8 7

(5)

FUNCIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES 1 9 7

7 . 1 I n t r o d u c c i ó n a las f u n c i o n e s i r r a c i o n a l e s 1 9 3

7.2 G r á f i c a de f u n c i o n e s i r r a c i o n a l e s 1 9 9

7.3 Radicales en s u f o r m a mas s i m p l e 2 0 1

7.4 E c u a c i o n e s c o n r a d i c a l e s 2 0 9

7.5 F u n c i ó n v a r i a c i ó n c o n e x p o n e n t e s

n o - e n t e r o s 2 1 3

RELACIONES CUADRATICAS Y SISTEMAS 2 1 9

8 . 1 I n t r o d u c c i ó n 2 2 0

8 . 2 C í r c u l o s 2 2 0

8 . 3 E l i p s e s 2 2 4

8 . 4 H i p é r b o l a s 2 3 3

8 . 5 P a r á b o l a s 2 4 0

8 . 6 E c u a c i o n e s c o n d e f i n i c i o n e s g e o m é t r i c a s 2 4 2

8 . 7 R e l a c i o n e s c u a d r á t i c a s c o n el t é r m i n o x y 2 4 6

8 . 8 S i s t e m a s C u a d r á t i c a s 2 4 7

CAPITULO 1

FUNCIONES Y RELACIONES

En este capítulo se considerará el concepto de función matemática. Una función es una clase especial de relación, o conjunto de pares ordenados y una relación puede ser especificada por una ecuación que dice cómo dos variables están relacionadas.

(6)

INTRODUCCION

Sistema de coordenadas cartesianas

Anteriormente vimos que cada número real puede asociarse exactamente con un punto en la recta numérica. Ahora examinaremos una correspondencia entre puntos en el plano y pares ordenados de números reales.

Objetivo:

Localizar pares ordenados en el sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas cartesiano . Se forma en un plano con dos rectas numéricas perpendiculares que se intersectan en un punto llamado origen y se denota con el par ordenado (0,0), generalmente la recta numérica horizontal y vertical se llaman el eje " X " y el eje " Y " , respectivamente.

Los ejes dividen el plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes, que se enumeran c o m o lo muestra la figura 1-1 a.

Y

I I I

I I I IV

Figura 1-1a

En la figura 1 - 1 b se muestra un punto A que lo asociamos con un par ordenado lx,y) de números reales. Este punto se ubica en la intersección de la línea recta vertical que pasa a través de x en el eje " X " y de la recta horizontal que pasa a través de y en el eje " Y " . De aquí en adelante, nos referiremos a un par ordenado como un punto {x,y), donde x es la abscisa o coordenada x de A , así como y es la ordenada o coordenada ymm.

Figura 1-1 b Figura 1-1c

Los signos algebráicos de las coordenadas x,y de cualquier punto {pe,y); en cada uno de los cuatro cuadrantes se muestran en la figura 1-1c. Se considera que los puntos que hay en cualquiera de los ejes no están en ninguno de los cuadrantes.

Ejemplo: Marque los puntos A(1,2), B(-4,3), C(3.5,-2), D(-3,0), E(0,-7/2) y especifique en qué cuadrante está cadu uno de los puntos.

Solución: El punto A se marca en el I cuadrante, B en ei II cuadrante, C III cuadrante, D sobre el eje " X " , negativo y E sobre el eje " Y " negativo.

B(-4,3)

A{X.2 )

D ( - 3 , C ) .. —• í—>—f——JK

« c(3.5,-2)

E ( 0 , - 7 / 2 )

(7)

Ejercicio 1

PARTE A

1. Da el par ordenado para cada punto que se muestra en las siguientes coordenadas cartesianas.

1.- A 6.- F 11.- K 2.- B 7 . - G 12.- L 3.- C 8.- H 13.- M 4.- D 9.- I 14.- N 5.- E 1 0 . - J 15.- 0

H

i

N

»X

H

PARTE B

Dar el cuadrante ai que pertenece cada punto

16.- (-5,3) 18.- (3,2) 2 0 . - ( 4 , - 2 ) 1 7 . - ( - 2 , - 1 ) 1 9 . - ( 5 , - 1 ) 2 1 . - ( - 1 , - 3 )

PARTE C

Dar el eje al que pertenece cada punto 22.- (0,-2) 24.- (3,0)

23.- (0,0) 25.- (-4,0)

1.1 Gráfica de ecuaciones con dos variables Objetivo:

f B I B S B S S S S B S S B S S S S I E S S 5 B E E S g B S B S S B 9 B ^ 8 9 B B S S S S S B 8 B D B B 9 H H B H B & B 9 B

I Graficarás ecuaciones con dos variables

Tú recordarás en cursos previos de matemáticas que la solución de la ecuación con dos variables se define como el conjunto de pares ordenados que hacen que la ecuación sea verdadera.

Ejemplo: 3x-2y=12

Es necesario especificar los valores que tomará x para determinar los valores de y, si x=2 tenemos:

3x-2y=12 Escribe la ecuación original 3(2)-2y=12 Sustituye 2 p o r *

-2y-6 Resta -6 en ambos lados de la ecuación y=-3 Divide todo por -2

entonces x=2 y y=-3 Es una solución de la ecuación

Es costumbre escribir los valores de la variable como pares ordenados (2,-3), donde el primer número representa el valor de * y el segundo número el valor de y.

La solución de una ecuación con dos variables contiene todos los pares ordenados que hacen que la ecuación sea verdadera.

Ahora si le damos a x el valor de 0 tenemos: 3x-2y=12 Escribe la ecuación original 3(0)-2y=12 Sustituye 0 por x

-2y=12 Divide todo por -2 y=-6

entonces x=0 y y=-6 Es otra solución de la ecuación.

En el siguiente ejercicio damos más resultados de la ecuación 3x-2y=l2 y tratamos de ver cuál es el patrón que siguen los puntos.

Ejercicio 1-1

1. Muestra que la pareja ordenada (4,0) satisface la ecuación 3x-2y=12. Haz ésto sustituyendo 4 por x y 0 por y, demostrando que obtienes una verdad.

(8)

4. Repite ei problema 3 para x=l y x=-l y marca los puntos en el mismo sistema cartesiano.

5. Une los puntos que marcaste en el sistema cartesiano del problema 3. Si ellos no te dan una línea recta jRevisa tus operaciones anteriores!

6. Grafica las siguientes ecuaciones: a) 2x-y=0

b) x+y=2 c) 3x-y=5 d) -x+y=3

1.2 Gráfica de funciones

Dada la ecuación de una función la gráfica podrá ser más fácil trazarla, si primero transformas la ecuación donde la variable}' quede de un sólo lado de la ecuación. Por ejemplo: x+2y-8 . Escribe la ecuación

2y=-x+8 Resta x en ambos lados de la ecuación y - - ^ A xJr 4 Divide todo por 2

Todo lo que necesitas para obtener muchos pares ordenados es dar todos los valores que quieras a x. Para obtener valores de y te recomiendo preferentemente en esta ecuación que ios valores que le des a x sean números múltiplos de 2.

Si haces t u tabla de valores y marcas ios puntos en un sistema de coordenadas encontrarás la siguiente gráfica que se muestra en la figura 1-2a.

Figura 1-2a Objetivo:

Dada la ecuación de una función, encuentra su gráfica.

Podemos observar que en la ecuación x+2y=8, si le damos un valor a x obtendremos un único valor de y, se dice que y esta en función de x. Donde y es la variable dependiente porque el valor que obtienes para ello depende de los valores que hayas escogido de la variable x, donde x es la variable independiente. La variable dependiente usualmente se marca en el eje vertical.

La gráfica de la figura 1-2a es una línea recta, muchas funciones tienen gráficas que son curvas, como lo mostramos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Grafica y— —x2

2

Solución

Haz una tabla de valores, luego marca los puntos como se muestra en la figura 1-2b:

- 3

- 2 - 1

4 . 5

0 . 5

0 . 5

4 . 5

y=%x

2

y = % ( - 3 )

2

y=9

y = % ( - 2 )

2

y=2

E s c r i b e l a e c u a c i ó n

S u s t i t u y e c u a n d o x = - 3

S u s t i t u y e c u a n d o x = - 2

H a z l o c u a n d o x = - l , 0 , l , 2 , 3

(9)

A l g u n a s v e c e s n o t o d o s l o s v a l o r e s d e x son permitidos. Por ejemplo si la función y- 2 , x no puede tomar el valor de 2, porque tendrías una división por

2 -x

cero, entonces aplicarás la función para ciertos valores de x. El valor de x que haz escogido para sustituir es llamado dominio de la función.

Definición:

El dominio de una función, es el conjunto de valores de la variable

independiente. Donde !a palabra dominio proviene del latín "Domus" que significa "casa". Así que el dominio de una función es en donde la variable independiente " v i v e " .

El conjunto de valores que haz obtenido para y es por sustitución de todos los valores permitibles de x y se llama rango de la función.

Definición:

[

El rango de una función es el conjunto de valores de la variable dependiente correspondiente a todos los valores de la variable independiente en el dominio.

En la siguiente gráfica mostramos las definiciones de dominio y rango, para ayudarte a comprenderlas.

Ejemplo 2

Traza la gráfica de y=— si el dominio esta integrado entre 1 y 5, menciona el rango.

Solución. Haz t u tabla de valores y sustituye los valores del dominio dado para que encuentres los valores del rango.

- I

X y

l 5

2 2 . 5 0 3 1 . 6 6 4 1 . 2 5

5 1

Figura 1-2d

Rango { 5 , 2 . 5 0 , 1.66, 1.25, 1}

La gráfica se muestra en la figura 1-2d, nota que la gráfica es un conjunto de puntos discretos. La línea punteada une los puntos justo como lo muestra el patrón que ellos siguen.

Ejercicio 1 - 2

Haz estos problemas rápidamente

Los siguientes son 5 problemas diversos. Con ellos se intenta que recuerdes tus conocimientos de los cursos anteriores de matemáticas.

(10)

c) Escribe como un decimal d) Resuelve | x-1 | = 6

e) Da el grado 5y?y*-y47?

Para los problemas del 1 al 6, traza la gráfica de la función y da su rango. 1. y- -0.5x\ dominio = {números reales}

2. y- x-5; dominio = {enteros positivos} 3. y= - ? dominio = { x : 0 . 4 < ^ ^ . 1 0 } 4. y=0.4x+5; dominio = { x : - 2 < * < . 6 }

5. y= | x+2 | ; dominio = { números reales} 6. y= x2+5.4x+J; dominio = {números positivos}

Para los problemas 7 y 8 da el dominio y el rango de la función

* Nota El círculo • indica _> , <_ o indica > o <

Para los problemas 9 y 10, haz un bosquejo de la gráfica de la función dado el dominio y rango.

9. Dominio = {x:1 < ¿ < 4 } , rango = £y:1 < X < 1 0 } 10. Dominio = {x: 0 <a: < 5 } , rango = {y:2<y<_7}

1.3 Funciones en e! mundo real

En la última sección trazaste gráficas de funciones que tenían ecuaciones tales como

En situaciones del mundo real hay casi siempre dos cantidades variables que son relacionadas de tal forma que el valor de una variable depende del valor de la otra. Por ejemplo:

1. La posición de una aguja del velocímetro depende de lo rápido que el auto se desplace.

2. La distancia que viajas depende de qué tanto has estado viajando (y qué tan rápido vayas también).

3. El peso de una persona depende de su estatura, tanto si es hombre o mujer (y otras variables).

4. La cantidad de dedos que tengas heridos depende de qué tan fuerte se golpee con un martillo.

En casos como éste puedes decir, por ejemplo, que la distancia viajada es una función del tiempo. Si conoces algo de la relación entre distancia y tiempo, puedes ser capaz de escribir una ecuación que mencione las dos variables. Aún si no conoces lo suficiente como para escribir una ecuación, puedes dibujar una gráfica razonable que represente la relación. En esta sección bosquejarás esta clase de gráficas.

Objetivo:

1 Dada una situación del mundo real en la cual el valor de una variable depende | del valor de la otra, bosqueja una gráfica razonable mostrando esta relación.

Ejemplo 1

El tiempo que te toma llegar a casa desde el parque de fútbol y la velocidad a la que conduces están relacionadas mutuamente. Bosqueja una gráfica razonable mostrando esta relación.

Solución

Ya que no haz dicho cuál variable depende de la otra, t u primer trabajo es hacer esta decisión. Debes preguntarte cuál de las siguientes sugerencias es más razonable: "Cuánto me toma, depende de qué tan rápido vaya"

(11)

La mayoría de la gente piensa que la primera oración es más razonable, y escogen el tiempo como la variable dependiente. Así, la velocidad es la variable independiente. Ya que estés de acuerdo, traza la variable dependiente en el eje vertical y dibuja y marca los ejes como en la figura 1-3a.

V e l o c i d a d

Figura 1-3a

Para obtener la figura, en la cual la gráfica nos muestra cómo escoger una velocidad moderada para un tiempo moderado como en la figura 1-3a. Entonces piensa en lo que ocurre, si varías la velocidad el tiempo es variable. A mayor velocidad, menor tiempo y a menor velocidad mayor tiempo.

Figura 1-3b

Cuando tengas los suficientes puntos que digan lo que la gráfica quiere mostrar únelos con una línea curva. La figura 1-3b muestra la gráfica completa. Te toma siempre alguna cantidad de tiempo no importa qué tan rápido conduzca, por lo tanto la gráfica nunca toca el eje horizontal. Similarmente, nunca llegarías a casa si la velocidad fuera cero, la gráfica no toca el eje vertical.

Una línea recta que se acerca a la gráfica pero nunca la toca, como lo hacen los ejes horizontal y vertical en la figura 1-3b se llama asíntota. La palabra viene de! griego y significa " n o están j u n t o s " .

Definición: Asíntota

Una asíntota es una recta fija a la cual la gráfica de una función tiende a unirse, pero que nunca la toca. En otras palabras, la distancia entre un punto de la gráfica y la recta llamada asíntota tiende a cero, a medida que el punto en la gráfica se aleja del origen de coordenadas.

En el ejemplo 1 la velocidad debe ser siempre positiva. La velocidad negativa no tiene significado, en este caso si va "retrasado" (despacio) menos llegaría a casa. Así, el dominio de esta función es: dominio = {velocidad > 0 }

Solamente los valores positivos de tiempo tienen sentido en este ejemplo. No puedes llegar a casa antes de que inicies o en el instante que empiezas. Así, el rango de la función es: rango = {tiempo > 0 }

Ejemplo 2

Si tomas una chuleta del refrigerador y la metes al horno caliente. El cocimiento de la carne depende del tiempo en que ésta haya estado en el horno. Diseña una gráfica razonable.

Solución

La figura 1-3c muestra una gráfica razonable. Cuando el tiempo < 0 , la carne está aún en el refrigerador. Para el tiempo > 0 , la carne se calienta rápidamente al principio, después más lentamente y finalmente aprovecha la temperatura del horno muy gradualmente.

Es discutible si la carne realmente alcanza la temperatura del horno, ya que está tan cerrado que nadie puede notar la diferencia. Así la línea punteada de la temperatura del horno es una asíntota.

i

Temperatura

k

i

Temperatura

d e n t r o d e l

(12)

El dominio en este caso incluye ambos valores positivos y negativos del tiempo. El rango es el conjunto de temperaturas entre la temperatura del refrigerador y la temperatura del horno.

En el ejercicio que sigue obtendrás práctica en el diseño razonable de gráficas de situaciones cotidianas de acuerdo con el objetivo de esta sección. Muchas de estas situaciones reales aparecen en capítulos posteriores cuando estudies acerca de las relaciones que tienen gráficas como éstas.

Ejercicio 1-3

Haz esto rápidamente.

Los siguientes problemas refrescarán tus conocimientos.

a) ¿En cuál eje está trazada la variable independiente? b) Dibuja un triángulo Isóseles.

c) Encuentra el 5 % de 800. d) Multiplica (3x+2) (2c=2)

e) Si t es una función de s ¿cuál es la variable dependiente? f) Multiplica (05) (0.02)

g) Suma y simplifica —+— 4 3 h) Asocia el 6 y la b, 3+6-b

i) Resuelve | x-2 | = 1 1

j) Dibuja una gráfica lineal -x<3

Para los problemas de 1 al 10 diseña una gráfica razonable.

1. El número de latas de aluminio que has recolectado está relacionado con la cantidad de dinero que obtendrás.

2. La constitución de una persona de complexión común depende de su estatura (tanto para hombres como para mujeres).

3. La altitud de una pelota de fútbol, depende del número de segundos desde que ésta fue pateada.

4. La edad de Don Juan y el número de cabellos que tiene en su cabeza están relacionados uno con el otro.

5. Cuando llenas el tanque de gasolina y empiezas a manejar, la cantidad de gasolina que has dejado en el tanque depende de la distancia que has recorrido. 6. Cuando abres la llave de la bañera, la cantidad de agua acumulada y el número de segundos que transcurren desde que abres la llave están relacionados una con el otro.

7. Guadalupe Rojas desea perder algo de peso, ella reduce su comida ingiriendo de 5 , 0 0 0 calorías por día a 1,000 calorías por día. Su peso depende del número de días que han transcurrido desde que redujo la cantidad de sus alimentos.

8. Tu auto se detiene y tienes que empujarlo. La velocidad a la cual el auto va depende de que tanto lo empujes.

9. La calificación que podrías sacar en un examen en particular depende de cuánto hayas estudiado.

10. Cuando abres la llave del agua caliente y ésta corre, su temperatura depende del número de segundos que transcurridos desde que la abriste.

1.4 Gráfica de funciones y relaciones

Ya has aprendido a graficar la ecuación de una función y has observado que todas tienen un rasgo en común, para cada valor de x que le das obtienes un único valor de y. Gráficamente te muestro algunas ecuaciones de funciones. Rápidamente sabrás que ellas son funciones si pasas una línea vertical imaginaria a lo largo de toda la figura, si la línea vertical (se muestra con una línea punteada) corta a la figura en tan sólo una vez, eso quiere decir que para cada valor de x tiene un único valor de y. Donde esto es una función.

Algunas veces 2 variables están relacionadas por una ecuación que produce más de un valor de y para un valor de x. Por ejemplo:

la ecuación y*—x

Si le das valores a la variable*, como x-4 lo sustituyes en la ecuación obteniendo lo siguiente:

y—2 ó -2

(13)

y*=-36

y= no es real

Entonces tendrás que sustituir valores convenientes de x para esta ecuación.

Ahora si pasas la línea vertical imaginaria por toda la figura observas que la corta en 2 puntos. Esto te indica que para cada valor de x estás obteniendo 2 valores diferentes de y, a esto se le llama relación.

Definición:

Relación es un conjunto de pares ordenados.

Función es una relación para la cual hay exactamente un valor de la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente ix).

Objetivo:

Dada la ecuación de una relación, grafícala y di si la relación es o no, una función.

Ejemplo 1

Gráfica | y ¡ Di si la relación, es o no, una función

Solución

Los valores convenientes de x deben de ser > 0 porque si le das un valor a x negativo, la ecuación no tiene solución. Si | y \ = - 2 (no es solución). La gráfica se muestra en la Figura 1-4a.

Tabla de Valores

Figura 1-4a

Donde la gráfica no es función puesto que para cada valor de x se ob.tienen 2 valores de y diferentes.

El Dominio de la relación es: dominio =* {jcJ>0} El rango de la relación es: rango = {Y C R} Ejercicio 1 - 4

Haz esto rápidamente:

Los siguientes son 10 problemas diferentes. Te ayudarán a recordar tus conocimientos.

1. Di qué axioma se usa: 4(3+x)=4x+12 2. Resuelve 2x-6x=14

3. Simplifica 4x+8-5x+3-x 4. Multiplica (x+8)(x-5)

5. ¿50 es 4 0 % de qué número? 6. Escribe 5/8 como un decimal 7. Dibuja un paralelogramo 8. Despeja x:5x>-34

9. Escribe una expresión algebraica de: 3 menos que x2

10. Encuentra | 13 |

Para los problemas del 1 al 5

Traza la gráfica y di, si la relación es e no función. Supón que el dominio es el conjunto de todos los valores de x para ios cuates hay valores de números reales de y:

1. fy^x3 3 .5 x - 2 y - 1 0 5

(14)

Para los «s o no una función.

* •

-8.

FUNCIONES LINEALES

CAPITULO 2

Los científicos acostumbran describir algunas situaciones prácticas con ecuaciones que incluyen dos o más variables; de las ecuaciones obtienen gráficas que les permiten una mejor comprensión de estas situaciones y pueden, además, prever el comportamiento de una variable si saben cómo se comportará la otra. Pongamos el caso de un objeto que se mueve con una velocidad constante de 12 metros cada segundo; si llamamos x al tiempo transcurrido y representamos por y la distancia que separa al objeto del punto de partida en un instante x, el científico concluye que el movimiento queda descrito por la ecuación y=12x. Con esta ecuación se puede establecer exactamente la posición del objeto para cualquier valor permisible de x, y recíprocamente se puede determinar qué tiempo debe transcurrir para que el objeto móvil se haya desplazado una cierta distancia, asf, c u a n d o x = 5 s e g u n d o s , y - 6 0 metros; también cuando el objeto se encuentra a 9 0 metros de su punto de partida, o sea cuando y = 9 0 metros, el tiempo transcurrido ;t=7.5 segundos.

Los pares ordenados {x,y) que hacen cierta la ecuación, reciben el nombre de soluciones de la ecuación,, entonces (5,60) y (7.5,90) son dos soluciones de la igualdad y=12x. El par ordenado (2,20) no es solución de esta ecuación, porque si x = 2 entonces y=24 y 2 4 ; * 2 0 . Como x puede sustituirse por un número infinito de valores y como a cada x le corresponde una y, la ecuación anterior tiene infinitas soluciones; esto nos impide enlistarlas y para representarlas es necesario obtener su gráfica.

(15)

Para los es o no una función.

* •

-8.

FUNCIONES LINEALES

CAPITULO 2

Los científicos acostumbran describir algunas situaciones prácticas con ecuaciones que incluyen dos o más variables; de las ecuaciones obtienen gráficas que les permiten una mejor comprensión de estas situaciones y pueden, además, prever el comportamiento de una variable si saben cómo se comportará la otra. Pongamos el caso de un objeto que se mueve con una velocidad constante de 12 metros cada segundo; si llamamos x al tiempo transcurrido y rft&resentamos por y la distancia que separa al objeto del punto de partida en un instante x, el científico concluye que el movimiento queda descrito por la ecuación y=12x. Con esta ecuación se puede establecer exactamente la posición del objeto para cualquier valor permisible de x, y recíprocamente se puede determinar qué tiempo debe transcurrir para que el objeto móvil se haya desplazado una cierta distancia, asf, c u a n d o x = 5 s e g u n d o s , y - 6 0 metros; también cuando el objeto se encuentra a 9 0 metros de su punto de partida, o sea cuando y=90 metros, el tiempo transcurrido x=7.5 segundos.

Los pares ordenados {x,y) que hacen cierta la ecuación, reciben el nombre de soluciones de la ecuación,, entonces (5,60) y (7.5,90) son dos soluciones de la igualdad y=12x. El par ordenado (2,20) no es solución de esta ecuación, porque si x = 2 entonces y=24 y 2 4 ; * 2 0 . Como x puede sustituirse por un número infinito de valores y como a cada x le corresponde una y, la ecuación anterior tiene infinitas soluciones; esto nos impide enlistarlas y para representarlas es necesario obtener su gráfica.

(16)

Función Lineal . : f; V

Una función lineal es una función cuya ecuect$n general es y=mx+b en donde m y b son constantes, y m ^ 0 .

2.1 Introducción a las funciones lineales

A las funciones se les nombra de acuerdo a su ecuación. Por ejemplo, si la ecuación es:

y=3x+5

entonces la función es llamada una función lineal; y se le asignó este nombre porque y es igual a un polinomio lineal en la variable

La ecuación y=mx+b es llamada ecuación general. Pero si son dados valores particulares para m y b, como en y=3x+5, entonces la ecuación es llamada ecuación particular. Si una ecuación particular tiene m*0, como en y=7, entonces y será igual a un polinomio de grado cero. Entonces la ecuación será llamada función constante, y no función lineal.

'I,'': '

Como la gráfica de una ecuación lineal es une línea / e c t a y una línea recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos, las gráficas de estas funciones las obtendremos graficando en el plano dos de sus soluciones y trazando después la recta que los contiene.

Ejercicio 2-1

1. Selecciona valores de x y encuentra los correspondientes valores de y, grafica los puntos y traza la gráfica de las siguientes funciones:

a) y=x+3 b) y~3x+5 c) y = - 2 * + 5 d) y=2x-3 e) y=Qx+3

2. A partir de las gráficas anteriores, contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Por qué las funciones de primer grado son «amadas funciones lineales? b) ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio del coeficiente de la x? c) ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio del término constante?

2.2 Propiedades de la gráfica de una función lineal

¿Cómo se puede medir lo inclinado de una recta? Veamos cómo se realiza en la recta cuya ecuación es y=2x-3:

Seleccionamos dos valores de x y encontramos los correspondientes valores de y así, si x=l, entonces y=-l

si x—4, entonces y=5

graficamos los puntos y trazamos la gráfica. Y

La recta pasa por los puntos (1,-1) y (4,5). Entre estos puntos se "eleva" una distancia vertical de 6 unidades y se "desplaza" una distancia horizontal de 3. Se define la pendiente de una recta como sigue:

Pendiente de una recta = cambio en la distancia vertical =2 3

cambio en la distancia horizontal

Una propiedad de las gráficas de las funciones lineales es que la razón elevación

desplazamiento

(17)

Definición:

Pendiente r ,••

La pendiente de una función lineal es la razón elevgctán desplazamiento

donde el desplazamiento es la distancia hpfízcwitaJ entre dos puntos de la gráfica y la elevación es la distancia vertical entrertaf fritamos puntos.

Cuando encontramos el cambio en una distancia, - por lo general restamos las coordenadas del primer punto menos las co^Mfngdct? correspondientes del segundo punto. Así, si {xlfyj) y ix2>y2) son dos p u n ^ ' t e y ^ i T ^ t a , entonces la elevación y el

desplazamiento podemos escribirlos com% : f ,> ¿.-»i.*** fl!*'* .V*-" ' > -A *

- ;

elevación = y¿-y¡= Ay(se lee ^ í t a y * ) ;

desplazamiento = x2-*; = A * 'tffclta x°) •

z ^-vj,

FORMULA DE LA PENDIENTE

» . - ,.

Si U í J ; ) y U2J2) s o n puntos de ia gráfiéé de una función lineal, entonces:

La aráfica de una función lineal es una recta que debe cortar el eje y en algún punto. Represemos a la gráfica de la ecuación y=2x-3. Observa que la recta corta al eje y en el punto donde y=-3. A este número se le llama "intersección y" de la recta, y es el

mismo valor que el término constante (b) en la ecuación y=mx+b.

De una manera semejante, excepto si la recta es paralela al eje x, tendrá que cortar al eje x en algún punto. En este caso la recta corta ai eje x en el punto donde x-1.5. Al número 1.5 se le llama "intersección x" de la recta.

Se pudo encontrar la ^-áfica de esta ecuación de otra forma, determinando las intersecciones con los ejes.

Para encontrar la intersección x, observa que el punto donde la recta corta el eje x es cuando y = 0 . Haciendo y=0 en la ecuación y=2x-3, obtienes x=1.5. Asi pues la intersecciónx es 1.5 y la gráfica pasa por el punto (1.5,0). De manera semejante para encontrar la intersección y, observa que en el punto donde la recta corta al eje y es cuando x=0. Haciendo x = 0 en ia ecuación obtienes y=-3. La intersección y es -3 y

Definición:

Intersecciones con los ejes

(18)

En el ejercicio 2-1 trazaste las gráficas de cinco funciones lineales. La siguiente figura muestra algunas de ellas.

De las gráficas anteriores debes observar las siguientes propiedades: 1. Las gráficas son líneas rectas.

2. El coeficiente del término en x es la pendiente de la recta. 3. El valor de m determina la inclinación de la recta:

a) Si m es positiva: la recta asciende de izquierda a derecha b) Si m es negativa: la recta desciende de izquierda a derecha. c) Si m es cero: la recta es horizontal (función constante)

4 El valor del término constante (b) es donde la gráfica cruza 3! eje y. y=Qx+3

m=0

3Sz2s±¿

[

FORMA PENDIENTE-INTERSECCION

S i y ^ m x + b , entonces m es la pendiente de la recta y b es la intersección y de la

Ejemplo 1.

Traza la gráfica de Ifi ecuación: y * | x + 4 Tu procedimiento deberé §©r el siguiente! Solución!

1. Le pendiente es | y la Intercepción y es Igual a 4 (porque y**4 cuando * « 0 ) . 2 Coloca t u lápiz sobre el eje y. 4 unidades arriba del origen en el punto (0,4).

Avanza 3 unidades hacia al derecha y luego sube 2 unidades, para señalar otro punto de la gráfica. Repite el proceso si es necesario, para obtener más

puntos.

-3. Une estos dos puntos con una línea recta. La siguiente figura muestra estos tres pasos.

Encuentra la intersección y Encuentra el segundo punto

(19)

Ejemplo 2.

Traza la gráfica de la ecuación: 5x+7y=14 Solución:

Puedes cambiar la forma de esta ecuación a la forma y=mx+b. Así: 5x+7y=14

7y=-5x+14

y - 5 * + 2 k

Entonces j n = - ü y b=2. Como en este caso la pendiente es un número negativo, uno 7 Y:.; ,'j .

de los dos, la elevación o el desplazamiento debe ser negativo (y el otro debe ser positivo). Partiendo del punto (0,2) de la gráfica, puedes avanzar 7 unidades hacia la derecha y luego bajar 5, o bien desplazarte 7 unidades hacia la izquierda y luego subir 5 para encontrar el otro punto de la recta. La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación anterior.

1 7

Ejemplo 3.

Traza ta gráfica de la ecuación: x=6 Solución:

Esta ecuación la puedes escribir como:;t+0y=<5. Transformándola a la forma y=mx+b, obtienes

Las cantidades - - i y son infinitas. Esto significa que son más grandes que cualquier número real. Por lo tanto no hay pendiente ni intersección -y. Pero el trazo de la gráfica es fácil. Como x es siempre 6 sin importar la y que sea, la gráfica es una recta vertical. Esta relación no es una función, pues existe más de un valor de y cuando x es 6.

x=6

Si la ecuación en el ejemplo anterior hubiera sido y=5, la gráfica sería una recta horizontal. Pues no importa qué x sea, y sería siempre 5. A partir de esta observación, se puede concluir la siguiente propiedad:

RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

S\y= constante, entonces la gráfica es una recta horizontal y su pendiente es 0.

Si jc= constante, entonces la gráfica es una recta vertical y su pendiente es infinitamente grande. En este caso no existe valor para la pendiente.

Ejercicio 2-2

Traza correctamente la gráfica de las siguientes ecuaciones en papel cuadriculado. Utiliza el concepto de pendiente e intersección -y, donde sea posible.

2. y-\x+3

4. y = - 2 x + 6 1. y - | x - i

(20)

5. 3x+5y*=10 7. y— 2x 9. x=3

6. 2x-5y=15 8. y=-5 10 .x=0

11. Las relaciones 8, 9 y 10 donde: x = cte. o y- cte, no son llamadas funciones lineales, aunque sus gráficas sean líneas rectas. Sin embargo la razón es diferente en cada caso. Explica por qué a cada una de estas relaciones no se les llama función lineal.

12. Muestra que la relación: y-4=2(x-5) es una función iineal, convirtiéndola a la forma y=mx+b. Traza la gráfica.

2 . 3 Otras formas de la ecuación de una función lineal Supón que una relación tiene como ecuación

y-4=2(x-5)

Si sustituyes (5,4) por ix,y) ambos miembros de la ecuación son cero. Así (5,4) es un punto de la gráfica porque hacen de la ecuación una proposición verdadera. Distribuyendo el 2

y-4=2x-10

luego sumando 4 a ambos miembros, la ecuación queda y=2x-6

por lo tanto, la relación anterior es una función lineal cuya pendiente es 2. Esto debiste descubrirlo en el problema 12 del ejercicio 2-2.

Una ecuación lineal como

y-4=2(x-5)

se dice que está en la forma "punto-pendiente", porque en la ecuación aparecen las coordenadas de un punto y la pendiente de la recta.

La familiar forma y=mx+b de la ecuación de una función lineal es llamada forma pendiente-intersección.

Otra forma de la ecuación de una función lineal es Ax+By=C, siendo A, B y C constantes enteras y en donde ambas variables están en un sólo lado de la ecuación y el término constante en el otro, en este texto a esta forma se le llamará forma

"ordinaria".

La ecuación de una función lineal también puede ser escrita como

a b

y se dirá que está en la forma "intersección", porque a y b representan la intersección -X y la intersección -y de la recta, respectivamente.

FORMAS DE LA ECUACION GENERAL DE UNA FUNCION LINEAL Forma pendiente-intersección.

m es la pendiente de la recta. b es la Intersección -y de la recta.

Forma punto^pendlenta. m e8 la pendente d i la recta.

Un y¡) un punto d@ la reote.

Forma ordinaria.

A, B y € ion consientes enteras

Forma Intersección.

a es la intersección -x de la recta. b es la intersección -y de la recta.

Ejemplo

A partir de la recta cuya ecuación en la forma punto-pendiente es:

y - 9 = - | ( x + 4 )

a. Traza la gráfica.

b. Transforma la ecuación a la forma pendiente-intersección. c. Transforma la ecuación a la forma ordinaria.

d. Transforma la ecuación a la forma intersección.

Solución: _3 a. De la ecuación en la forma punto-pendiente se obtiene que la pendiente es _

y que la recta pasa por el punto (-4,9) porque si sustituyes 9 por y se hace 0 el miembro izquierdo de la ecuación y si sustituyes -4 por x se hace 0 el miembro derecho. La gráfica se muestra en la siguiente figura.

y—mx+b

Ax+Êy&C

(21)

b. La ecuación la puedes transformar a la forma pendiente-intersección distribuyendo el — y luego sumando 9 a cada miembro.

y - 9 = - 2 ( X + 4 ) y - 9 = - | * - 6 y ,

C. A partir de la respuesta en el inciso k puedes sumar l x a cada miembro y después multiplicar la ecuación por 2 para hacer todos los coeficientes enteros,

y - 1 * + 3

3 2 *

3x+2y=6

d. Empezando con la respuesta del inciso anterior, puedes dividir la ecuación entre 6 para hacer miembro derecho igual a 1

3x+2y=6 * + Z = l

2 3

En el siguiente ejercicio obtendrás la práctica necesaria en el manejo de la forma punto-pendiente para trazar la gráfica y transformarla a las otras formas.

Ejercicio 2-3

Para las ecuaciones de la 1 a la 6

a. Determina la pendiente y las coordenadas del punto que aparece en la ecuación y luego traza la gráfica.

b. Transforma la ecuación a la forma pendiente-intersección ci Transforma la ecuación a la forma ordinaria

d. Transforma la ecuación a la forma intersección

1. y - 2 - | ( J r - 6 ) 2. y

+

l = - I ( x - 6 )

3. y+3=3(x+2) y+6=-3(x+2)

5. y « 4 < x - 1 2 ) 6. y + 2 — 2 *

Para las preguntas de la 7 a la 10, escribe una ecuación en la forma punto-pendiente para las funciones lineales descritas.

7. Pasa por el punto (5,7), y tiene pendiente -3 8. Pasa por el punto (6,3), y tiene pendiente 5 9. Pasa por el punto (-2,5), y tiene pendiente ~

10. Pasa por el punto (7,-9), y tiene pendiente z £

2.4 Ecuaciones de funciones lineales a partir de sus gráficas

Suponiendo que alguien te dijera "si la ecuación de una función lineal es: y=4x-7, ¿qué valores tienen la pendiente y la intersección -y de dicha recta?" Tú dirías, leso es

fácil! "Los valores son 4 y -7 respectivamente". Como también es fácil para tí contestar a la pregunta ¿si la pendiente y la intersección -y de una recta son -3 y 10, ¿cuál sería la ecuación? Tu respuesta sería, la ecuación es y=-3x+10.

En esta sección utilizarás la información dada acerca de la gráfica de una función lineal para que determines su ecuación particular.

Ejemplo 1

Encuentra la ecuación particular de una función lineal que pasa por el punto (5,-7) y cuya pendiente es

-Solución:

Como los datos son un punto y la pendiente la forma más sencilla para encontrar el resultado será utilizar la forma punto-pendiente: y-yj=m (x-x¡), donde x¡=5, y,=-7 y

Por lo tanto la ecuación es: y+7 = J ^ ( x - 5 )

No es necesario transformar esta ecuación a cualquier otra forma, a menos de que te lo pidan.

Ejemplo 2

Encuentra la ecuación particular de una función lineal que pasa por los puntos: (-4,5) y (6,10).

Solución:

(22)

Y después escoger cualquiera de los dos puntos dados para utilizar la forma punto-pendiente.

y - 5 = 1 ( x + 4 ) ó y - i o = i ( x - 6 )

2

Observa que estas dos ecuaciones son equivalentes, porque si transformaras cada una de ellas a la forma pendiente-intersección, ambas quedarían así,

y=—x+7

2 2

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. La figura de abajo muestra esta situación, pues la pendiente de ambas rectas es

Dos rectas son perpendiculares, si el valor de la pendiente de una de ellas es el "opuesto del recíproco" de la otra. Por ejemplo, en la figura de abajo, la pendiente de la recta R¡ es — ; la pendiente de la recta R2, perpendicular a R¡, es _

3 ^

Estos principios se pueden usar para encontrar ecuaciones particulares.

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Dos rectas: Rj y R2, son paralelas si sus pendientes son iguales, m1=m2

Dos rectas: R¡ y R^, son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y opuestas, m , = - —

Ejemplo 3

Encuentra la ecuación particular de la función lineal que pasa por punto (-1,5), si su gráfica es perpendicular a la recta cuya ecuación es 3x+4y=28.

Solución: 3 Transformando esta ecuación a la forma pendiente-intersección obtienes que y = - _ x + 7

La pendiente de la recta dada es Por lo tanto, la pendiente de la recta deseada debe ser 1 (el opuesto del recíproco de - 1 ) . Entonces la ecuación particular es

y - 5 = i ( x + i )

Ejemplo 4

Encuentra la ecuación particular de la recta horizontal que pasa por el punto (7,5), Solución:

La manera más sencilla para resolver este problema es darse cuenta que la ecuación de una recta horizontal es de la forma y = constante. Así determinas directamente que la ecuación es:

Este ejemplo también se puede resolver, considerando que la pendiente de una recta horizontal es 0 , y luego, utilizando la ecuación de la forma punto-pendiente, obtienes que:

y-5—0(x-7)

(23)

V

esooiqtoei nofc

«9Jn

L ¿ • 1 o w q :>¿i

Ejemplo 5

Encuentra la ecuación particular de una recta vertical que pasa por el punto (7,5) Solución:

La única manera de resolver este problema es saber que la ecuación de una rectí vertical es de la forma x = constante y determinar inmediatamente que la ecuación es

x=7

Ya que la pendiente de una recta vertical no es un número real, entonces no puede! utilizar las formas punto-pendiente ni la pendiente-intersección. La gráfica se muestrí en la siguiente figura.

:

_

17,5)

ö j a ö l S n u S•. 9íí'»:>:& ! v i J ' . 4

.felÜPft 3JH& Di-: f. n e • ÍS ,L t

x = 7

Ejercicio 2-4

Para los problemas del 1 al 14-:

a. Determina la ecuación de la recta descrita.

b. Transforma la ecuación (si es necesario) a la forma pendiente-intersección. c. Transforma la ecuación a la forma ordinaria [Ax+By=C, donde A, B y C son

constantes enteras).

1. Tiene pendiente de 7 y la intersección y es de -9. 2. Pasa por el punto (4,-5) y tiene una pendiente de -3. 3. Pasa por el punto (-3,7) y tiene una pendiente de -J?

5 4. Pasa por los puntos (5,2) y (8,11).

5. Pasa por los puntos (2,-4) y (-5,-10).

6. Pasa por el punto (7,2) y es paralela a la recta y=-4x+3.

7. Pasa por el punto (3,-5) y es perpendicular a la recta y=-2x+13. 8. Pasa por el punto (2,7) y es paralela a la recta 5x-3y=7.

9. Tiene pendiente de y la intersección es de 5. 10. Su intersección -x es de 5 y su intersección -y es de 3. 11. Pasa por el origen y tiene una pendiente de ^ .

12. Es horizontal y pasa por el punto (11 ,-9). 13. Es vertical y pasa por el punto (11,-9). 14. Pasa por los puntos (6,2), (5,3) y (1,7).

15. Introducción a los modelos lineales. José Garza se traslada en su automóvil diariamente, de su casa en la Cd. de Monterrey a su trabajo en la Cd. de Saltillo. Estando él conduciendo, su distancia a ¡a Cd. de Saltillo depende del número de minutos que ha estado manejando. Cuando ha manejado por 20 minutos, se encuentra a 4 5 Km de su destino; cuando ha manejado por 32 minutos, se encuentra a 27 Km de Saltillo.

Si y es el número de kilómetros que le faltan a José para llegar a la Cd. de Saltillo. Y s i x e s el número de minutos que José ha estado conduciendo. Encuentra lo siguiente: a) Escribe la información de la relación tiempo-distancia como dos pares

ordenados.

b) Ubica estos puntos en un sistema de coordenadas Cartesianas.

c) Considera que la relación anterior de tiempo-distancia es una función lineal. Traza la gráfica del inciso " b " en e! sistema coordenado.

d) Determina una ecuación particular para esta función. Transfórmala, si es necesario, a la forma pendiente-intersección.

e) Utiliza la ecuación anterior para predecir la distancia que le falta recorrer a José para llegar a la Cd. de Saltillo, si ha estado manejando durante 4 0 minutos. f) Utiliza la ecuación anterior para predecir el tiempo total que le tomará a José

(24)

2.5 Las funciones lineales como modelos matemáticos

En el capítulo anterior elaboraste gráficas que relacionaban dos variables del mundo real. Algunas de ellas eran líneas rectas. Ahora, has aprendido como encontrar la ecuación de una función lineal si conoces cierta información acerca de su gráfica. Esta ecuación la puedes utilizar para calcular valores de una variable si te dan valores de la otra variable. Por lo tanto, la ecuación de una función la puedes usar para predecir valores de una variable del mundo real. Cuando una función se utiliza de esta forma, se le conoce con el nombre de modelo matemático.

El objetivo de esta sección es que, dada una situación en la cual dos variables de! mundo real estén relacionados linealmente, seas capaz de:

a. Bosquejar la gráfica

b. Encontrar la ecuación particular.

c. Utilizar la ecuación para predecir valores de la otra variable.

d. Comprender el significado del valor de la pendiente y las intersecciones en e mundo real.

id)

>

7C •5 •

10 \ 7 *

6 »0 i* tó l i Ì0 3i no 50

x

( i )

Ejemplo 1

Cuando conduces del estadio de fútbol a t u casa, el número de kilómetros que tí faltan para llegar a t u destino depende del número de minutos que has estado conduciendo. Supón que te encuentras a 11 Km. de t u casa cuando has estado manejando por 10 minutos, y a 8 Km. de casa cuando has estado manejando por 15 minutos. Si consideras que la distancia varía linealmente con el tiempo:

a. Define las variables para el tiempo y la distancia y bosqueja la gráfica. b. Encuentra la ecuación particular expresando la distancia en términos de tiempo c. Predice la distancia a t u casa cuando has estado conduciendo por 20, 25 y 3C

minutos.

d. ¿Cuánto tiempo tienes que conducir para encontrarte a 7 Km. de t u casa? e. ¿Cuál es el valor de la intersección-distancia y qué significa en el mundo real-f. ¿Cuál es el valor de la intersección-tiempo y qué significa en el mundo real? g. Para que obtengas respuestas razonables:¿Cuál es el dominio de esta función

lineal?

h. ¿Cuáles son las unidades de la pendiente? De acuerdo a estas unidades ¿Qué supones que representa la pendiente de la recta en el mundo real? ¿Qué significado tiene el hecho que la pendiente sea negativa?

Solución

a. Sea / = número de minutos que has estado conduciendo. Sea d=número de kilómetros que te encuentras de t u casa.

Para resolver este problema de la forma más sencilla, debes escribir \i información dada como dos pares ordenados. Como d depende t, entonces los dato¡ serían

(10,11) y (15,8)

b. Como los datos del problemas son las coordenadas de dos puntos de la recta, puedes utilizar la fórmula de la pendiente y determinarla.

m = I l ± L - l

1 5 - 1 0 5

Sustituyendo el valor de la pendiente y las coordenadas de la primera pareja ordenada en la forma punto-pendiente, obtienes

d-ll=-l ( t - i o )

5

La pregunta dice que la d debe ser expresada en términos de t. Entonces, necesitas transformar la ecuación anterior a la forma pendiente-intersección.

d = - 2 t + 1 7

5

c- Para predecir la distancia cuando es dado el tiempo, todo lo que necesitas hacer es sustituir los valores dados de t y calcular la d correspondiente.

Para r = 2 0 min.: d = - l (20) + l 7 = - 1 2 + l 7 = 5 J O n .

5

Para r = 25 min.: d=-l (25) + l 7 = -i5+l7=2JCjn

5

Para / = 3 0 min.: d=-l ( 3 0 ) + 1 7 = - 1 8 + 1 7 = - I i 0 n

5

(25)

Observa que sustituyendo 30 por t se obtiene un valor negativo para la distancia. Como probablemente no conducirás más allá de t u destino, el dominio de la función debe limitarse antes de que t valga 30.

d. Para predecir el tiempo cuando estas a 7 Km. de distancia de t u casa, sustituye 7 por d y resuelve la ecuación resultante.

7 = - —1+17 sustituyendo 7 por d 5

- | t = 1 0 sumando 2 y restando 7

t=— multiplicando por

aproximadamente r = 1 6 . 6 6 s e g .

e. La intersección -d es 17, es el valor de d cuando t = 0. Cuando t = 0 estás justamente partiendo a t u casa. Por lo tanto, la distancia entre el estadio y tu casa debe ser de 17 Km.

f. La intersección -t es el valor de t cuando d = 0. Haciendo d = 0 en la ecuación, obtienes

0 = - l t + 17

— t = 1 7

t= 2 8 . 3 3 seg.

Cuando d-0 significa que has llegado a tu casa, esto te lleva cerca de 28.3 minutos. g. El dominio deberá ser {r:0<_í<_28.33}, que son los valores de t permisibles

durante ei trayecto a t u casa.

h. La pendiente de una recta es elevación/desplazamiento. La elevación está en kilómetros y el desplazamiento en minutos. Como " p o r " es una palabra usada para decir "dividido por", las unidades de la pendiente son Km. por min. Esto significa que t u velocidad es de 1 Km./min. El signo negativo de la pendiente te indica que la distancia a tu casa está decreciendo en — Km/min.

Debes saber que las predicciones realizadas a partir de un modelo matemático no son exactas, pues las consideraciones originales que haces cuando se establece el modelo, pueden cambiar. En el ejemplo anterior consideraste que la relación entre las variables era una función lineal y con pendiente constante. Pero si en el trayecto la velocidad varía, la gráfica realmente tendría pendiente diferente en lugares diferentes. La siguiente figura muestra que la gráfica real puede parecerse a la del modelo lineal y que ésta puede solamente utilizarse como una aproximación.

(d)

Algunas veces tendrás que determinar la relación que existe entre dos variables; en estos casos tendrás que concluir que la relación entre ellas es una función lineal. En el ejemplo 2 verás este tipo de problemas.

Ejemplo 2

En un establecimiento que vende piezas de cristal, el precio de cada vaso de vidrio es de $3.00, más un cargo único de $2.00 por la caja, el servicio, etc.

a- Determina una ecuación que exprese la cantidad total a pagar por un paquete de vasos como una función del número de vasos comprados,

b. Explica por qué la función del inciso anterior es una función lineal. c- Predice el precio de una caja con una docena de vasos.

(26)

Solución

v"V -a. Si v = número de vasos qué eontiene^gta caj-a.

Si c = costo total del paquete Entonces la ecuación es: c = 3 v + 2

La función anterior es lineal, porque la ecuación es de la forma: c es igual a una expresión de primer grado pineal) en te variable v.

Si v = 12

Respuesta: $ 3 8 . 0 0

c = 3 ( 1 2 ) + 2 = 3 6 + 2 = 38

Si c = 4 7 45 = 3v

4 7 = 3 v + 2

v = 4 5

A-- ? ;

v = 15

Respuesta: 15 vasos

La gráfica se muestra en la 'fígtytft. El dominio de la variable es precisamente el conjunto de los núrp&úp e&feros no-negativos, pues rara vez alguien quiere comprar vasos queb^cios. "también la intersección -c,2, se excluye, ya que probablemente n a d i f c ^ o ^ r s solamente la caja vacía.

40

30

20

«0

r"-9

H *

-

W

a ^mr \l * » • : • •' >6 •í 20 - v x (vrj

«

El siguiente ejercicio te dará la habilidad necesaria en el uso de las siguientes funciones lineales como modelos matemáticos.

Ejercicio 2 - 5

Resuelve los siguientes problemas

1. Anita, después de 10 minutos de haber empezado a leer un cuento, le faltan 35 páginas para acabar de leerlo, y después de 5 0 minutos de lectura le faltan todavía 5 páginas para terminarlo. Considera que el número de páginas que le faltan por leer varía linealmente con el número de minutos que ha estado leyendo. Escribe la ecuación particular expresando las páginas que le faltan en términos del tiempo en minutos de lectura, y úsala para predecir el tiempo que le tomará terminarlo de leer. Bosqueja la gráfica.

2. Cuando te picas con un alfiler, transcurre un instante de tiempo antes de que digas "¡ ay !". El tiempo de esta reacción varía linealmente con la distancia entre t u cerebro y el lugar donde te picaste. El Sr. Garza pinchó a Pedro Fuentes en la mano y en el pie y estimó un tiempo de reacción de 15.2 y 22.9 milésimas de segundo, respectivamente. La mano de Pedro se encuentra a 100 cm. del cerebro, y su pie está a 170 cm. del cerebro.

a) Escribe la ecuación particular expresando el instante de tiempo en términos de la distancia.

b) ¿Cuánto tiempo se tardaría Pedro en decir "¡ ay !" si se picara en el cuello, a 10 cm. del cerebro?

c) ¿Cuál es el valor de la intersección - tiempo y qué representa en el mundo real? d) Bosqueja la gráfica de ésta función.

e) Como las unidades de la pendiente son milésimas de segundo por centímetro, su recíproco es la velocidad con que viaja un impulso nervioso en centímetros por milésima de segundo. ¿Cuál es la rapidez de un impulso nervioso en cm/seg?

3. Basados en información proporcionada por el depto. de investigación de la escuela de Biología, se encontró que la frecuencia con la que un grillo chirría es una función lineal de la temperatura. A 15°C los grillos emiten 76 chirridos por minuto y a 19°C emiten 100 chirridos por minuto.

a) Escribe la ecuación particular expresando la razón de chirridos por minuto en términos de temperatura.

b) Predice la razón de chirridos por minuto para 31 °C.

c) ¿Cuál será la temperatura si cuentas 130 chirridos por minuto?

d) Calcula la intersección - temperatura ¿Qué significado tiene éste número en el mundo real?

(27)

a) b) c) d) 5. a) b) c) d) 6.

La cantidad de dinero que desembolsa? mensualmente por mantenimiento de t u automóvil es función del número "áe kilómetros por mes que recorriste. Basados en información emitida en la revista Mecánica Popular, el costo varía linealmente con la distancia. Si por 3 0 0 km. recorridos en un mes te implicaron un costo de $ 2 4 0 y $ 6 0 0 por mes por 1500 km por mes.

Escribe la ecuación particular expresando el costo en términos de la distancia. Bosqueja la gráfica de ésta función.

Predice t u costo mensual si recorres 500, 1000 y 2 0 0 0 km/mes.

¿Cuál sería t u kilometraje mensual si no debes excederte de un costo mensual de $390.

Los puentes en las carreteras frecuentemente tienen juntas de expansión, las cuales son aberturas pequeñas en el asfalto entre una sección del puente y la próxima. Se deja un hueco en ese lugar para que el puente tenga espacio para expanderse cuando la temperatura se eleva. Supón que un puente tiene una abertura de 1.4 cm. cuando la temperatura es de 22°C y que el hueco se estrecha a 1cm. cuando la temperatura sube a 30°C. Considera que el ancho de la abertura varía linealmente con la temperatura, (ver figura)

Abertura

a) b)

Escribe la ecuación particular del ancho de la abertura como una función de la temperatura.

¿Cuál será el ancho de la abertura a 34°C? ¿a - 6°C?

¿A qué temperatura podría cerrarse completamente la abertura? ¿Qué nombre matemático se le dá a esta temperatura? ¿Es probable que la temperatura pueda subir lo suficiente como para cerrar la abertura?

Bosqueja la gráfica de ésta función lineal.

Supón que t u automóvil tiene ya 4 0 meses de uso. De un negocio de carros usados encuentras que su valor comercial presente es de $ 2 0 , 0 0 0 pero hace 10 meses era de $ 2 3 , 0 0 0 . Considera que el valor comercial de un automóvil decrece linealmente con el tiempo.

Escribe la ecuación particular expresando el valor comercial de t u carro como una función del tiempo de uso en meses.

Planeas vender el carro cuando su valor comercial sea de $ 1 4 , 0 0 0 . ¿Cuánto tiempo lo conservarás?

¿Por cuánto dinero se deprecia tu carro en valor cada mes? ¿Qué parte del modelo matemático te indica ésto?

¿Cuándo consideras que el carro ya no tendrá valor?

¿Cuál fue el valor comercial de t u carro cuando era nuevo? ¿Qué parte del modelo matemático te indica ésto?

Bosqueja la gráfica de ésta función

La temperatura Fahrenheit " F " , y la temperatura Celsius " C " , de un objeto están relacionadas por una función lineal. El agua hierve a 100°C ó 212°F y se congela a 0°C ó 32°F.

Escribe una ecuación expresando F en términos de C.

El plomo hierve a 1620°C. ¿Qué temperatura Fahrenheit es ésta?

La temperatura normal del cuerpo humano es de 98.6°F. ¿Qué temperatura Celsius es ésta?

Si el pronóstico del tiempo dice que el día de hoy tendrá una temperatura máxima de 104°F. ¿Será un día caluroso, frío o agradable?

La temperatura más baja posible es el cero absoluto, -273°C, cuando las moléculas no tienen movimiento. ¿Qué temperatura Fahrenheit es ésta?

¿A qué temperatura el número de grados Fahrenheit es igual al número de grados Celsius?

Bosqueja la gráfica de esta función.

El número de metros de cable necesarios para un elevador depende del número de pisos en servicio del edificio. Supón que m = Ip + 12, donde m es el número de metros de cable del elevador y p es el número de pisos de la construcción. La relación anterior, ¿será una función lineal?¿Por qué?

¿Qué cantidad de cable se necesitará para un edificio de 9 pisos? ¿De cuántos pisos es un edificio que utilizó 124 metros de cable? ¿Qué representa la pendiente de la ecuación anterior en el mundo real? Bosqueja la gráfica de le ecuación anterior.

Si la constante b en la ecuación y~mx-\-b es igual a cero, la ecuación queda y—mx y la gráfica de la ecuación resultante pasa por el origen, entonces se dice

que y varía directamente con x. La cantidad de galletas que debes preparar para una merienda varía directamente con el número de personas invitadas. Supón que haces 7 charolas de galletas para servir a 10 personas.

Expresa la ecuación particular expresando el número de charolas en término del número de invitados.

¿Cuántas charolas de galletas debes preparar para 50 personas?

¿Cuántas personas puedes invitar aproximadamente, con 12 charolas de galletas?

(28)

10 La cantidad de combustible que consume un avión varía directamente con ei tiempo de vuelo. Supón que un avión de carga ligera de motores gemelos consume 3 0 0 kg. de Turbosina en 4 horas de vuelo. La nave puede transportar una carga útil de 9 4 0 kg. De éste peso, una parte debe ser destinada para el combustible, cuyo depósito tiene una capacidad máxima de 500 kg. de Turbosina, y el peso sobrante se puede distribuir entre la carga y los pasajeros.

Si se incrementa la carga o los pasajeros, se tiene que disminuir la cantidad de combustible suministrado y el tiempo de vuelo será menor.

a) Traza la gráfica de la cantidad de combustible necesario para volar cierto número de horas. , ... , b) Escribe la ecuación particular expresando la cantidad de combustible en función

al tiempo de vuelo.

c) ¿Cuántos kg. de carga se pueden transportar si el avión debe volar 5 hrs. para Heqar a su destino? El piloto y co-piloto pesan 80 kg. cada uno.

d) Supón que el avión transportará una carga de 260 kg. y a 6 personas que pesan en total 4 5 5 kg. ¿Cuál será el tiempo máximo de vuelo?

CAPITULO 3

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES

Existen muchas aplicaciones que requieren ser trabajadas con dos o más ecuaciones en distintas variables. En estos casos, las ecuaciones determinan lo que se llama un Sistema de Ecuaciones. En este capítulo, aprenderás una clase de sistemas de ecuaciones y desarrollarás métodos para encontrar las soluciones comunes. Son de particular interés, los métodos que usan matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Iniciarás este aprendizaje, recordando lo que gráficamente representa una ecuación de primer grado en dos variables. Por lo tanto, dos ecuaciones pueden graficarse en dos líneas rectas sobre un plano. Dos líneas rectas distintas en un plano, pueden intersectarse en un punto o mantenerse paralelas.

En esta Unidad aprenderás cómo encontrar la intersección de las gráficas y te dirá esta intersección lo que representan.

(29)

10 La cantidad de combustible que consume un avión varía directamente con ei tiempo de vuelo. Supón que un avión de carga ligera de motores gemelos consume 3 0 0 kg. de Turbosina en 4 horas de vuelo. La nave puede transportar una carga útil de 9 4 0 kg. De éste peso, una parte debe ser destinada para el combustible, cuyo depósito tiene una capacidad máxima de 500 kg. de Turbosina, y el peso sobrante se puede distribuir entre la carga y los pasajeros.

Si se incrementa la carga o los pasajeros, se tiene que disminuir la cantidad de combustible suministrado y el tiempo de vuelo será menor.

a) Traza la gráfica de la cantidad de combustible necesario para volar cierto número de horas. , ... , b) Escribe la ecuación particular expresando la cantidad de combustible en función

al tiempo de vuelo.

c) ¿Cuántos kg. de carga se pueden transportar si el avión debe volar 5 hrs. para lleqar a su destino? El piloto y co-piloto pesan 80 kg. cada uno.

d) Supón que el avión transportará una carga de 260 kg. y a 6 personas que pesan en total 4 5 5 kg. ¿Cuál será el tiempo máximo de vuelo?

CAPITULO 3

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES

Existen muchas aplicaciones que requieren ser trabajadas con dos o más ecuaciones en distintas variables. En estos casos, las ecuaciones determinan lo que se llama un Sistema de Ecuaciones. En este capítulo, aprenderás una clase de sistemas de ecuaciones y desarrollarás métodos para encontrar las soluciones comunes. Son de particular interés, los métodos que usan matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Iniciarás este aprendizaje, recordando lo que gráficamente representa una ecuación de primer grado en dos variables. Por lo tanto, dos ecuaciones pueden graficarse en dos líneas rectas sobre un plano. Dos líneas rectas distintas en un plano, pueden intersectarse en un punto o mantenerse paralelas.

En esta Unidad aprenderás cómo encontrar la intersección de las gráficas y te dirá esta intersección lo que representan.

(30)

3.1 introducción 3 un sistema lineal

Dos o más ecuaciones que tienen las mismas variables tal como:

ax+by—c . dx+ey=f con a,b,c,d,ejconstantes y coeficientes de * y y por ejemplo:

5x+4y=9 -3x+y=-2

Se le dá el nombre de Sistema de Ecuaciones Lineales. Una solución de tal sistema es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones al mismo tiempo. Por esta razón frecuentemente se le llama al sistema "Ecuaciones simultáneas .

Figura 3.1

Un sistema lineal es llamado consistente independiente si tiene exactamente una solución. La gráfica muestra rectas que se cruzan.

Un sistema lineal es llamado consistente dependiente si tiene muchas soluciones; cualquier solución de una de las ecuaciones es solución del sistema (las gráficas de las líneas coinciden).

Un sistema lineal es llamado inconsistente si no tiene soluciones, (rectas paralelas). Definiciones:

S53CSBS3EBS" ' ' — •• • •••" ——B—i —— ^ ' WfjEtKM 'I' M "-'' I" '7 '''" B8BB J!" ' '• • '•' —

§j$tema: Un sistema de ecuaciones es un conjunto de oraciones abiertas que contienen las mismas variables.

Conjunto solución: El conjunto solución de un sistema es el conjunto de eneadas ordenadas que satisfacen las oraciones abiertas del sistema.

3.2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables lo podrás hacer por los métodos siguientes: El método gráfico que consiste simplemente en graficar el sistema y por simple inspección determinar la solución (punto de intersección) si existe. Esto no es siempre fácil, por lo que recurrimos a otros métodos algebráicos.

El método de eliminación por suma o resta que trataremos mediante un ejemplo Resolver el sistema

5x+4y=9 1 -j¡y+v=-2 2

Primero multiplicamos la ecuación 2 por 4 con la finalidad de igualar el coeficiente de y en las dos ecuaciones, o sea

Enseguida procederemos a restar la ecuación 3 de la ecuación 1 miembro izquierdo con miembro izquierdo y miembro derecho con miembro derecho.

5x+4y=9 -12x+4v—-8

+17x+0=17 17x=17

x=l

•4 tr.s. ...

a continuación el valor de x lo sustituimos en la ecuación 1 o 2 para encontrar el valor de y

5x+4y=9 1 5+4y=9

(31)

las ecuaciones x-1

forman otro sistema. Ninguna de estas ecuaciones es equivalente a''» 1 6 2 Pero los sistemas de ecuaciones son equivalentes como puede verse en la figura. Ambos pares de ecuaciones se intersectan en el mismo punto (1,1)

Figura 3 . 2

El secreto de eliminar una variable es haciendo los coeficientes de x o y en las dos ecuaciones iguales. La eliminación será por sustracción de ecuaciones si los

coeficientes son ¡guales. Pero con signo opuesto, la eliminación de la vanab.e será por adición de ecuaciones miembro a miembro.

Objetivo: •• Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables se resuelve

transformándolo a un sistema equivalente de la forma x = constante

y = constante «^=====a-==================^

Ejemplo 1:

Resuelve el sistema

2x+3y-13 .1 5x+2y=16 2

primero la ecuación 1 la multiplicamos por 2 y la ecuación 2 la multiplicamos por 3 o sea • • C i r •

4x+6y=26 3

I ' . ;'!•/•

en seguida restamos ecuación 3 de 4 77x4-0=22

11x^22 • 1 x=s2

ahora en 1 ó 2 sustituimos el valor de x para encontrar el valor de y 5x+2y=16 2

10+2y=16 ' 2y=6

y=3

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Descargar ahora (179 página)