Soluciones – Final y Tercer lugar

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Soluciones de la Final y partido de Tercer Lugar

Set 1 - Problema 1

Se calcula el producto y se expresa como una

fracción irreducible ab donde y son números enteros positivos. ¿Cuánto vale a b a+b?

Respuesta:

9

Solución: Se observa que el producto pedido es igual a (23)( )( )( )( ) y simplificamos el 3

4 4 5

56 67 = 27

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Soluciones de la Final y partido de Tercer Lugar

Set 1 - Problema 2

Sandra tiene una lista de cuatro números. Tzoali suma algunos de estos números, tres por vez, y obtiene las sumas 415, 442, 396 y 325. ¿Cuál es la suma de los cuatro números en la lista de Sandra?

Respuesta:

526

Solución: Se observa que si sumamos las cuatro sumas que calculó Tzoali, obtendremos la suma de cada uno de los términos de Sandra multiplicada por 3, ya que cada término aparece en tres de las sumas de Tzoali. Si los términos son a, b, c y d, entonces las sumas son a+b+c, b+c+d, c+d+a, d+a+b. Entonces pues sólo debemos sumar las sumas que obtuvo Tzoali y dividir el resultado entre 3.

26

3

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Soluciones de la Final y partido de Tercer Lugar

Set 1 - Problema 3

En el diagrama, determina el número de caminos que siguen las flechas y que deletrean en orden la palabra “WATERLOO”.

Respuesta:

20

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Soluciones de la Final y partido de Tercer Lugar Set 2 - Problema 1

Un alfil es una pieza del juego de ajedrez que puede hacer movimientos en diagonal, esta pieza puede moverse cuantas casillas quiera desde una casilla a otra casilla en la misma diagonal. En la figura de abajo, se indican los posibles movimientos del alfil a partir de una determinada casilla en el tablero. Decimos que dos alfiles se atacan cuando uno de ellos está en una casilla del tablero que puede ser alcanzada por otro alfil. ¿Cuál es la mayor cantidad de alfiles que podemos colocar en un tablero de ajedrez de 8 × 8 de tal forma que no haya dos alfiles atacándose? Justifica tu respuesta.

Respuesta: 14 alfiles

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Soluciones de la Final y partido de Tercer Lugar Set 2 - Problema 2

En la figura, P, A, D y B son puntos sobre una misma línea; T, B y C son puntos sobre una misma línea; y N, C y D son puntos sobre una misma línea. Si

, y ,

T BD 110°

∠ = ∠BCN = 126° DC = DA determina la medida del ángulo ∠P AC.

Respuesta:

152°

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Soluciones de la Final y partido de Tercer Lugar

Set 2 - Problema 3

Suponga que y son dígitos conA B

¿Cuánto vale A3+B2?

Respuesta:

57

Solución: La solución es A= 2, B= 7, entonces A3+B2= 57. Esta solución se obtiene de lo siguiente:

, , ,

AA 11A

A = 1 AAB= 110A+B ABB = 100A+ 11B BBB= 111B

Luego la suma de los cuatro números de tres cifras debe de ser

. Entonces dividiendo entre 3,

503 11A 10A 00A 1B 11B 21A 23B

1 = 1 + 1 +B+ 1 + 1 + 1 = 3 + 1

obtenemos que 501 = 107A+ 41B. Esto nos limita el tamaño de A a ser máximo 4 (si no el lado derecho se pasaría). Luego probamos las opciones, observando que necesitamos que

sea un múltiplo de 41.

01 07A 1B

5 − 1 = 4

A 501− 107A

1 394 - no múltiplo de 41

2 287 - B=7

3 180 - no múltiplo de 41

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Soluciones de la Final y partido de Tercer Lugar

Set 3 - Problema 1

Roberto nació en el año n2. En su cumpleaños del año ( + 1n )2, cumplirá 89 años. ¿En qué año nació Roberto?

Respuesta:

1936

Solución: En su cumpleaños ( + 1n )2 cumplirá ( + 1n )2−n2= 2 + 1n años, por lo tanto y . Luego entonces, Roberto nació en el año

n 9

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Soluciones de la Final y partido de Tercer Lugar Set 3 - Problema 2

Una función es definida sobre los números enteros positivos de tal forma que:f

f

(1)

= 1

Si es un entero par, n

f

(

n

)

=

f

( )

n2

Si es un entero impar mayor a , entonces n 1

f

(

n

)

=

f

(

n

− 1 + 1

)

Por ejemplo, f(34)=f(17) y f(17)=f(16)+ 1

Determina el valor de f(211)

Respuesta:

5

Solución: Vayamos calculando f(211) usando las reglas dadas:

(211) (210)

f = 1 +f

(210) (105)

f =f

(105) (104)

f = 1 +f

(104) (52) (26) (13)

f =f =f =f

(13) (12)

f = 1 +f

(12) (6) (3)

f =f =f

(3) (2)

f = 1 +f

(2) (1)

f =f = 1

Por lo tanto f(211)= 5

Solución alternativa: Se puede notar que la función que se está calculando, precisamente es la suma de las cifras del número cuando lo escribimos en binario, entonces como

, entonces la suma de sus cifras en binario es 5.

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Soluciones de la Final y partido de Tercer Lugar

Set 3 - Problema 3

Los puntos A(5,− ) 8 , B(9,− 0)3 y C(n, )n están todos sobre la misma línea recta. ¿Cuál es el valor de ?n

Respuesta:

3

Solución: Como todos los puntos están sobre la misma línea recta, entonces calcular la pendiente de esa línea recta debe de resultar igual utilizando cualquier pareja de números. Entonces la pendiente de AB −8−(−30)5−9 = 22 − y la pendiente de AC deben de ser

−4 = 112 n−5

n−(−8) = n−5

n+8

iguales. Entonces −112 = y resolvemos para : n−5

n+8 n

1(n ) (n ) − 1n 5 n 6 5 6 n 1n 9 3n

Figure

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