Certamen 3 - Fisica General Electromágnetismo (2009).pdf

(1)

PAUTA

CERTAMEN

Nº03

FISICA GENERAL ELECTROMAGNETISMO

(FIS 331)

Prof. Rodrigo

Vergara Rojas

PRIMER

SEMESTRE

2009

Miércoles 01 de Julio de 2009

G-1) Los tableros de ajedrez magnéticos usan piezas con un imán en su base que los atraen hacia ellos.

a) Si uno acerca las bases de dos piezas cualesquiera, se observará que algunos

pares se atraen y otros se repelen. Explique este fenómeno usando la idea de polos magnéticos.

b) ¿Resulta posible disponer los imanes en las bases de manera que todas

piezas se atraigan entre sí? Explique brevemente

c) ¿Resulta posible disponer los imanes en las bases de manera que todas

piezas se repelan entre sí? Explique brevemente

Desarrollo:

a) Algunas de las piezas tienen el polo norte (N) en la base, en contacto con el tablero metálico, mientras que otras tienen el polo sur (S) en contacto con el tablero.

• Las piezas con el mismo polo en la base (N-N y S-S) se repelen entre sí

• Las piezas con polos opuestos en la base (N-S y S-N) se atraen entre sí

(4 puntos)

b) Resulta imposible, porque eso implicaría tener algunas piezas con el polo N en la base y otras con el polo S en la base. En ese caso, aunque las piezas de polos diferentes se atraerían, las de igual polo se repelerían.

(3 puntos)

c) Es posible. Basta con que todas las piezas tengan la misma polaridad en la base, ya se a N ó S.

(3 puntos)

G-2) Una fuente de cargas dispara una carga positiva de magnitud q y masa m a una rapidez v en una zona de campo magnético uniforme de magnitud B y dirección entrante, como se muestra en la figura.

a) Determine el vector campo

eléctrico uniforme que tendría

que existir en la zona para que la carga viaje en forma horizontal. Dicho campo eléctrico tiene que compensar la fuerza magnética y el peso de la carga.

b) Determine m en función de q, B y v de manera que no sea necesario un campo

eléctrico externo para que la carga se mueva horizontalmente.

Desarrollo:

a) En el DCL de la figura se aprecian las tres fuerzas implicadas. De este se puede deducir que:

(

)

mag E E mag

F +F + =P 0⇒F = − P+F

Reemplazando Fmag = ⋅ ⋅ ⋅q v B zˆ

y P= − ⋅ ⋅m g zˆ

, nos queda:

(

)

(

)

E

F = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =q v B m g zˆ m g⋅ − ⋅ ⋅q v B ⋅zˆ

(6 puntos)

b) Para que no sea necesario el campo eléctrico:

E

q v B F m g q v B m g q v B m

g

0 0 ⋅ ⋅

= ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =

(4 puntos)

X X X X X X X X

q

D B

v

+

y z

x

+ v

q,m P

mag

F

E

F

(2)

G-3) En la figura se aprecian dos cargas negativas de igual magnitud q e igual masa m que son lanzadas simultáneamente con velocidades de magnitudes v1 y v2 en una zona

de campo magnético uniforme perpendicular al plano del movimiento de las cargas. Calcule la

razón v1_v

2

para que ambas cargas lleguen

simultáneamente al punto a.

Desarrollo:

Para que las cargas lleguen simultáneamente al punto a, ambas deben recorrer sus respectivas trayectorias semicirculares en el mismo tiempo. En consecuencia, sus semiperíodos deben ser iguales, y por ende sus períodos también deben ser iguales.

Para la carga 1

v q B R

q v B m v

R m

2 1

1 1

⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ₌ (3 puntos)

La rapidez angular es v q B

R m

1 1

ω = = ⋅

Para la carga 2

v q B R

q v B m v

R m

2 2

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ₌

⋅ (3 puntos)

La rapidez angular es v q B

R m

2 2

2

ω = = ⋅

⋅

Luego, ω ω1= 2⇒T1=T2. Finalmente:

q B R

v _m

q B R v

m 1

2

1

2 2

⋅ ⋅

= _{⋅ ⋅ ⋅} = (4 puntos)

X X X X X X X X

X X X X X X X X X

X

R R 2R

-q -q

v1 v2

B

a

G-4) [OBLIGATORIA] Los “Cazadores de Mitos” están estudiando el mito del “elevador magnético”, que consiste en una plancha metálica de longitud L y masa m a través de la cual fluye una corriente i y que está ubicada en medio de un campo magnético uniforme de

magnitud B y dirección saliente. Los “Cazadores” tratan con este sistema de hacer levitar un camión de masa M (ver figura). Suponga que la plancha se mantiene siempre horizontal durante todo el proceso.

a) Indique el sentido de la corriente para que el camión pueda levitar. Explique cómo lo determinó.

b) Determine la magnitud de la corriente para que el camión pueda levitar, en función de B, L, M, m y g

Desarrollo:

a) Del diagrama de cuerpo libre de la figura:

B total

F +P =0

(1 punto)

donde:

(

)

total

P = − M+m ⋅ ⋅g yˆ

(1 punto)

B

F = ⋅ ⋅ ⋅i B L yˆ

(1 punto)

Para que exista posibilidad de equilibrio, la corriente debe fluir de manera que la fuerza FB

tenga orientación +y. En virtud de la regla de la mano derecha, el sentido de

la corriente se muestra en la figura. (3 puntos)

b) Del desarrollo anterior:

(

)

(

)

B total

M m g

F P M m g i B L i

B L

0 + ⋅

+ = ⇒ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅

(4 puntos)

g

B

L

y

x

g

B

L

total

P

B

F

Sentido de flujo de la corriente i

(3)

G-5) Una espira rectangular de lados a y b y masa m, tiene uno de sus lados pegado al suelo, de manera que pueda girar libremente en torno a ese lado (ver figura). La espira está en medio de una zona de campo magnético uniforme de magnitud B mostrada en la figura. A través de la espira fluye una corriente

de magnitud i. La espira está en equilibrio de torque en un ángulo α con el suelo

debido a su propio peso y a la fuerza magnética. Determine el sentido y la magnitud de i (en función de las demás variables) para que esto sea posible.

Desarrollo:

Del DCL de la figura, se aprecia que, para que exista equilibrio de torques, la fuerza magnética sobre el lado de longitud a elevado debe tener orientación +y. La regla de la mano derecha indica el sentido de flujo de la

corriente. (3 puntos)

En la figura, P= − ⋅ ⋅M g yˆ y

B

F = ⋅ ⋅ ⋅i B a yˆ.(4 puntos)

Por equilibrio de torques:

( )

b

( )

M g tg

( )

M g i B a sen b i

B a

c cos

2 2

α

α α ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ₌

⋅ ⋅ (3 puntos)

α

_α

a b

g

B

Espira gira libremente en torno a este lado

α

g

B

α a

b i

i

i i

i

P

B

F

H-1) [OBLIGATORIA] En la figura se muestran dos espiras conductoras concéntricas de radios R (la interior) y 2R (la exterior). Determine la magnitud y el sentido de la corriente en la espira exterior para que el campo magnético en el centro C sea igual a cero.

Desarrollo:

El campo magnético de una espira en su centro tiene una magnitud B i

r 0

2

µ ⋅ =

⋅ , donde r

es el radio de la espira e i la corriente. La orientación del campo magnético está dada

por la regla de la mano derecha. (2 puntos)

Para la espira interior de corriente i1 y radio R, el campo magnético tiene magnitud

i B

R 0 1 1

2

µ ⋅ =

⋅ y sentido hacia abajo. (2 puntos)

Para que el campo magnético total en el centro sea nulo, el campo generado por la espira exterior debe igualar la magnitud del anterior, y además tener sentido opuesto al de i1. Luego, para la espira exterior de corriente i2, el campo magnético tiene

magnitud B i

R 0 2 2

4

µ ⋅ =

⋅ y sentido hacia arriba. (2 puntos)

Luego:

• i2 tiene sentido opuesto a i1. (2 puntos)

• Igualando magnitudes, B B i i i i

R R

0 1 0 2

1 2 2 2 1

2 4

µ ⋅ µ ⋅

= ⇒ ₌ ⇒ _{= ⋅}

⋅ ⋅ (2 puntos)

R

2 i1

(4)

H-2) En la figura se aprecian dos conductores paralelos de longitud L, a una distancia d y con corrientes paralelas de igual magnitud i. Uno de los conductores está conectado a un resorte de constante elástica k. Si el sistema está en equilibrio y el resorte está estirado en una

longitud d, exprese i en función de k, L, d y µ0.

Desarrollo:

En el DCL de la figura:

mag

i L

F x

d 2

0 _ˆ

2

µ π

⋅ ⋅

= − ⋅

⋅ ⋅

. (2 puntos)

res

F = ⋅ ⋅k d xˆ

. (2 puntos)

Como están en equilibrio:

mag res

i L k

F F k d i d

d L

2 0

0

2 0

2

µ π

π µ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ = ⇒ _{= ⋅} ⇒ _{= ⋅}

⋅ ⋅ ⋅

. (6 puntos)

L k

i i

d

L

k

i i

d mag

F

res

F

H-3) En la figura, las corrientes entrantes tienen magnitud i1 y

las salientes tienen magnitud i2. Determine i2 en términos de

i1 para que el campo magnético para r > 3R sea igual a cero.

Desarrollo:

Considere el anillo amperiano de la figura. Si B=0

en todos los puntos del anillo, se cumple que

C

B ds=0

∫

i

. En

virtud de la Ley de Ampere, µ0⋅ =I 0, donde I en la

corriente total encerrada en el anillo amperiano.

Finalmente, I=0. (6 puntos)

De la figura se puede deducir que

i

I i i i 1

1 2 2

0 4 8

2

= = ⋅ − ⋅ ⇒ ₌ . (4 puntos)

X

X X X

R

2

R

3

i1

X

i₂

X

X X X

R

2

R

3

i1

X

i2

(5)

I-1) En la figura se aprecia una reproducción del experimento de Henry. Para la figura, la fem entre los extremos de la barra conductora de longitud L es +V. Se quiere lograr una fem entre los extremos de -5V con la misma barra. Inicialmente, su velocidad tiene magnitud v y el campo magnético uniforme tiene magnitud B, con los sentidos indicados en la figura.

a) Si, respecto de la situación inicial, el sentido del

campo magnético se mantiene constante y B se triplica, indique dirección y sentido de la velocidad.

b) Si, respecto de la situación inicial, el sentido de la velocidad se mantiene y su

magnitud disminuye a la décima parte, indique dirección y sentido de B.

Desarrollo:

En el experimento de muestra V = ⋅ ⋅v B L.

a) V v B L v V v B L v

B L B L

1 1

5 5 5

5 3

3 3 3

− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ₌ ₌ _{= − ⋅}

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Por lo tanto, la velocidad

de la barra tiene sentido opuesto a la del experimento de muestra y magnitud 5 v

3⋅ . (5 puntos)

b) V v B L B V v B L B

v L v L

2

50 50

5 50

10

− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ₌ ₌ _{= − ⋅}

⋅ ⋅ . Por lo tanto, el campo

magnético uniforme tiene sentido opuesto a la del experimento de muestra y magnitud

B

50⋅ . (5 puntos)

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

B

v

fem = +V I-2) En la figura se aprecia una espira circular de

radio r t

( )

= − ⋅r0 a t (con a > 0) en medio de una

zona de campo magnético uniforme de magnitud B. A partir de la Ley de Lenz, indique el sentido de flujo de la corriente inducida en la espira. Explique brevemente.

Desarrollo:

De la ecuación, se deduce que el radio

disminuye con el

tiempo, por lo que el

área de la espira

disminuye con el

tiempo. (2 puntos)

Luego, el flujo

magnético a través de la espira disminuye con el tiempo, lo que en

términos de líneas

significa que disminuye

el número de líneas entrantes (X) que pasan a través de la espira. (3 puntos)

En virtud de la Ley de Lenz, el campo magnético inducido Bind

debe agregar las líneas

entrantes que se perdieron (ver figura). (3 puntos)

Finalmente, la regla de la mano derecha aplicada a Bind

indica el sentido de la corriente inducida I_ind (ver figura) (2 puntos)

X X X X X

X

X X X

X X

X X X

X

X X

X

X X

X

X X

X

R

( )

r t

B

X X X X X

X

X X X

X X

X

X X

X

X X

X

X X

X

R

( )

r t

B

X

X X

X

X X

X

ind

B

ind

(6)

I-3) [OBLIGATORIA] En la figura se aprecia una espira circular de radio r t

( )

= − ⋅r0 a t (con a > 0)

en medio de una zona de campo magnético uniforme de magnitud B. Determine expresiones para las magnitudes de fem inducida, corriente inducida y la potencia disipada por la resistencia R.

Desarrollo:

El área de la espira está dada por:

( )

(

)

A t r2 t r a t 2 0

π π

= ⋅ = ⋅ − ⋅ (1 punto)

El flujo de campo magnético a través de la espira está dado por:

( )

(

)

B t B A t B r a t

2 0 π

Φ = ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ (1 punto)

La fem inducida en la espira está dada por

( )

(

) ( )

(

)

B _t _B _r _{a t} _a _{a B} _r _{a t}

t 2 0 2 0

ε = −∂Φ = − ⋅ ⋅ ⋅π − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π − ⋅

∂ (3 puntos)

La corriente inducida en la espira está dada por

(

)

ind

a B

I r a t

R R 0

2

ε ⋅ ⋅ ⋅π

= = ⋅ − ⋅ (2 puntos)

La potencia disipada por la resistencia R está dada por:

(

)

(

)

disip ind

a B a B

P I R r a t R r a t

R R

2 2 2 2

2 2

0 0

2⋅ ⋅ ⋅π 4⋅π ⋅ ⋅

 

= ⋅ =_ ⋅ − ⋅ _ ⋅ = ⋅ − ⋅

  (3 puntos)

X X X X X

X

X X X

X X X X X

X X

X X X

X

X X

X

X X

X

X X

X

R

( ) r t

B

I-4) En la figura se aprecian dos alambres

rígidos, uno doblado en forma de cuadrado de lado a, y otro en forma de semicírculo de

diámetro a. El primero gira a una frecuencia f1 y

el segundo a una frecuencia f2, dentro de un

campo magnético uniforme de magnitud B. Exprese f2 en función de f1 para que ambos

tengan la misma amplitud de fem inducida.

Desarrollo:

Para el alambre en forma de cuadrado.

• El área entre espiras está dada por A t

( )

A a2

(

f t

)

1 = 0+ ⋅cos 2⋅ ⋅ ⋅π 1 . (1 punto)

• El flujo de campo magnético a través de la espira

es

( )

t B A t

( )

B A a2

(

f t

)

1 1  0 cos 2 π 1 

Φ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  (1 punto)

• La fem inducida está dada por

( )

t B a f sen

(

f t

)

t

2 1

1 2 1 2 1

ε = −∂Φ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ ⋅π

∂ (1

punto)

Para el alambre en forma de semicircunferencia.

• El área entre espiras está dada por A t

( )

A a

(

f t

)

2

2 0 cos 2 2

4

π π

= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (1

punto)

• El flujo de campo magnético a través de la espira

es

( )

t B A t

( )

B A a

(

f t

)

2

2 2 0 cos 2 2

4

π π

 

Φ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

  (1 punto)

• La fem inducida está dada por

( )

a

(

)

t B f sen f t

t

2 2

2 2 2 2 1

4

ε = −∂Φ = ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ ⋅π

∂ (1 punto)

Igualando las amplitudes de las fem

B a2 f 2 B a2 f f f

1 2 2 1

1 4

2

π π _π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ (4 puntos)

a

X X X X X X X X X X X X X X X X

X X X X

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

R

X X X X X X X X X X X X X X X X

X X X X

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X