SISTEMA EDUCACIONAL LIAHONA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
_____________________________________________________ ________________________________________ NM2-SEGUNDO MEDIO-2010
UNIDAD Nº 7: FUNCIONES.
GUIA PARA EL APRENDIZAJE Nº 34: CONCEPTO, DOMINIO, RECORRIDO, LINEAL, AFIN Y EXPONENCIAL
NOMBRE: CURSO:
Introducción: En esta unidad conoceremos el concepto, los tipos de función y la aplicación a problemas de la vida diaria.
Objetivo: En esta GPA aprenderás a:
i) Conocer el concepto de función de forma gráfica. ii) Conocer el concepto de función de manera algebraica.
iii) Determinar el dominio y recorrido de una función expresada en forma gráfica y algebraica.
CONCEPTO DE FUNCIÓN.
Una función es un modelo matemático expresado a través de una fórmula, la cual sirve para generalizar situaciones numéricas repetitivas, es decir, es una relación numérica que se establece entre dos variables.
Las variables se denotan por x e y, una de ellas se llama dependiente (y) y la otra independiente (x). Por ejemplo “en un curso se está organizando una fiesta”. Se comprarán bebidas y comida. Ciertamente se gastará una cierta cantidad de dinero ¿Cuánto? Esto dependerá del número de invitados.
En el ejemplo, la variable dependiente “y” es la cantidad de dinero, pues depende del número de personas “x”(independiente).
A cada valor de la primera variable le corresponde un único valor de la segunda variable que llamamos imagen.
EJERCICIO: En los siguientes ejemplos, identifica variables dependiente e independiente. 1) Número de horas trabajadas por una persona y salario percibido.
2) Ventas realizadas en un negocio y ganancias obtenidas.
3) Metros cúbicos de agua consumida en un hogar y dinero a pagar en su cuenta. 4) Número de personas realizando una obra y tiempo empleado en ejecutarla.
En funciones se utiliza la equivalencia y = f(x), “lo que se lee: y es igual a f de x”. ( y es imagen de x)
Si la función es , se obtiene:
La imagen de 1 es 3
La imagen de 1/2 es 5/2
la imagen de -1 es 1
EN RESUMEN:
Si y son subconjuntos no vacíos de los números reales. Una función de en , es una relación que asigna a cada elemento “x” del conjunto uno y sólo un elemento “y” del conjunto , lo cual se expresa como:
Relaciona los elementos de dos conjuntos, es decir a todos los elementos de un conjunto inicial que llamaremos Dominio le asigna por medio de alguna regla, uno y sólo uno de los elementos de un conjunto final que llamaremos Codominio. Al elemento inicial se le conoce como Preimagen y el elemento que se le asigna a través de la función como Imagen.
Podríamos considerar, por ejemplo, que una función f es una especie de máquina a la cual ingresa un elemento de un Dominio A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} que le es asignado un elemento del
Codominio B = {a, b, c, d, e, f}.
El Plano Cartesiano.
Es un sistema de ejes coordenados utilizado principalmente en Geometría Analítica, pero acá lo ocuparemos en el estudio de las funciones por medio de sus gráficos. Su nombre se debe al matemático francés René Descartes.
Consta de dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en el 0 de ambas. A este punto se le conoce como origen. La recta horizontal se conoce como eje de las abcisas o eje de las X y a la recta vertical como eje de las ordenadas o eje de las Y. Se divide en cuatro cuadrantes, los cuales son:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES.
Las funciones que estudiaremos son aquellas en las cuales su dominio y recorrido son el conjunto de los números reales, o simplemente .
El eje de las abscisas se utiliza para representar a las preimágenes (el eje de las x es el dominio de la función), y el eje de las ordenadas se utiliza para representar a las imágenes ( el eje de las y es el codominio de la función).
DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.
Un aspecto importante de una función son aquellos valores de la variable independiente x a los cuales se puede aplicar la función. Al conjunto de estos valores de la variable x se le denomina DOMINIO.
Por ejemplo la función f(x)= , no tiene sentido para x=3. (Se indefine)
Si la función está definida en el conjunto de los números reales, el dominio de la función se anota:
El conjunto de los valores posibles de una función se llama RECORRIDO o conjunto de imágenes de la función. Para determinar el recorrido de una función de forma algebraica se debe despejar la variable x en función de y.
En el ejemplo anterior:
Por tanto el recorrido de la función se expresa como: ( La expresión se indefine para y = 0 )
EJERCICIO: En las siguientes funciones reales, hallar dominio y recorrido: 1)
2)
3) 4)
FUNCIÓN LINEAL.
Son todas aquellas funciones que están determinadas por una ecuación de primer grado de la forma: en donde es un valor constante.
Se conoce a como constante de proporcionalidad debido a que la función lineal relaciona a la variable” x” y a la variable “y” de manera proporcional.
Principalmente llamaremos a la pendiente, pues al ver representada gráficamente la función lineal, será la que determine la inclinación de la gráfica.
EJEMPLO:
a)
Grafiquemos la función dondeb)
Grafiquemos la función dondeAl igual que el ejemplo anterior, se construye una tabla de valores, se ubican los puntos en el plano cartesiano y se unen dichos puntos.
Como puedes apreciar lo único que cambia es la pendiente m, lo que significa que ésta determina por completo la forma del gráfico. (inclinación de la recta).
LA FUNCIÓN AFÍN.
Es aquella que está determinada por una ecuación de primer grado de la forma: con y constantes.
La ecuación de una función afín es conocida como ecuación de la recta, porque las gráficas de todas las funciones de esta forma son líneas rectas.
Las funciones lineales son un caso particular de las funciones afines, pues si en una función afín de la forma se tiene que , tendremos entonces la ecuación de una función lineal.
¿Qué otra diferencia puedes obtener de ambas funciones?
EJEMPLO:
Grafiquemos la función . Debemos dar valores a , para calcular los valores de para poder graficar.
Notemos que la inclinación es la misma que la de la función , pues tiene la misma pendiente. Una línea Recta es la representación gráfica de una función afín.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Se llama función exponencial de base , siendo un número real positivo y distinto de 1, a la función definida como
Ejemplo:
La función es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función son:
Resuelve los siguientes problemas y marca la alternativa que consideres correcta.
1) ¿Cuál es el valor de y, en ; si x toma el valor de 9?
A) 1 B) 9 C) 10 D) 18 E) 19
2) Dada la función A = π ∙ r , donde A representa la medida del área de un círculo y r la medida del radio, podemos decir que la variable independiente es.
A) La medida del radio. B) La medida del área. C) El número π.
3) De las siguientes graficas es(son) funciones
A)Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D)Sólo I y II E) I, II y III
4) En el gráfico se muestra la equivalencia de cambio entre dólares y pesos. ¿a cuántos pesos corresponden 8 dólares y medio?
A) $6.400 B) $5.950 C) $5.600 D) $5.100
E)
No se puede determinar 5) Indica la función que corresponde a la tablasiguiente:
A) y =x - 4 B) y = C) y = x4 D) y = 4x E) Y = 4x
6) El dominio de la función f ( x ) = 2x es: A)
B) C) D) E)
7) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) La variable dependiente se representa en el eje x.
B) la variable independiente se representa en el eje y.
C) Siempre es necesario unir los puntos que se ubican en el plano.
D) El gráfico es una forma de representar una función.
E) Todas las anteriores son verdaderas.
8) Si y , entonces el
valor de es:
A) 24 B) 36 C) -6 D) 30
E) No se puede calcular.
9) Sea de modo que
. El dominio y recorrido de
son, respectivamente: A)
B)
C)
D)
E)
10)Si , entonces
A) -6 B) -2 C) 2 D) 4 E) 6
11) Si f(x) = 5x, entonces 5 f(5x) es igual a
A) 125x B) 25x C) 125x 2 D) 25x 2
E) ninguna de las expresiones anteriores
12) El conjunto de todos los números reales para los
cuales la expresión no está
definida es: A) { 2,− 2, 9} B) {− 2, 2, -9} C) { 2} D) {−9, 2}
E) Está definida x y
0 1 1 4 2 16
3 64
13) Se definen las funciones y . Luego,
A) a 2 + 9 B) 2a 2 + 9 C) 9 + a D) 2a 2 + 9 + a E) a 2 + 9 + a - ab
14) En el conjunto A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} definimos las siguientes relaciones:
I) P = { (0,-1); (2,0); (-1,2); (1,2)} II) Q = {(1,1); (1,-1); (4,2); (4,-2); (3,3)}
III) R= {(-2,2); (-1,1); (0,0); (1,-1); (2,-2); (3,0); (4,0)} De estas relaciones. ¿Cuál(es) es (son) función(es)? A) Sólo I
B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III 15) Si f(x) = 5 entonces f(2) =
A) 2 B) 5 C) 7 D) 10 E) 12
16) El dominio de la función es:
A) B) C) D) E) 17) Aníbal pagó al mismo taxista $1.400 por
una carrera de 4 Km. y $2.000 por una carrera de 6 Km. ¿Cuánto cobra el taxista por kilómetro recorrido?
A) $350 B) $333 C) $300 D) $340 E) $360
18) Para la función , ¿Qué valor
debe tomar x para que ?
A) 0 B) -1 C) 1/2 D) -1/2 E) 1
19) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función?
I. II III
.
A) Sólo II
B) I y III C) Sólo III D) Sólo I
E) Todos 20) A un vendedor le pagan $250.000 de
sueldo base, y por cada producto que vende le pagan $900 adicionales. ¿Cuál de las siguientes funciones representa el sueldo que ganaría dicho vendedor, si “x “representa el número de productos vendidos e “y” el sueldo a recibir en un mes cualquiera?
A) Y = 250.000 B) Y = 900 X C) Y = 250.000 X D) Y = 250.000 + 900 X E) y = 250.000 + 900
21) La siguiente tabla muestra una función lineal representada por:
A)y = x + 3 B) y = 3x – 3 C) y = 3x – 1 D)y = 2x + 1 E) y = 2x - 1
22) Un taxista cobra $500 por subirse a su auto y $250 por cada km recorrido ¿Cuánto debe cancelar una persona que hace un viaje de 6,5 km?
A)1.800 B)1.625 C)3.250 D) 5460
E)Ninguna de las anteriores
23) ¿Cuál de las siguientes representa una función afín?
A) y = 3x B) y = 4 C) y= x+4 D) y = 5x
E) Ninguna de las anteriores
X Y
1 2
2 5
3 8
24) El gráfico de la figura muestra la cantidad de celulares que venden 2 marcas que compiten en el mercado, durante el primer semestre.
De acuerdo con el gráfico, la información más correcta es:
A) La marca A vende más que la marca B mensualmente.
B) La marca B aumenta sus ventas a partir de Mayo.
C) Ambas marcas experimentan el mismo aumento en cantidad de celulares mensualmente. D) Ambas marcas venden la misma cantidad de
celulares en el mes de Mayo. E) Todas las anteriores son falsas.
25) Una empresa contrata a un empleado por 50 días, pagándole $36.000 por cada día completo trabajado con la condición de que por cada día trabajado parcialmente se rebaja de este salario $24.000. Finalizado el trabajo, el empleado recibió $1.080.000. La ecuación que relaciona los días completos trabajados (x) respecto del dinero recibido es:
A) B) C) D) E)
26) Para f(x) = 8x – 1 , la imagen del punto -4 es:
A) 4 B) 32 C) -33 D) 33 E)-32
27) la función f en los números naturales la cual le hace corresponder a cada número natural”ene” el triple del cuadrado de su sucesor está dada por la fórmula matemática:
A) B) C)
D)
E)
28) Sean las funciones reales f y h definidas por: F(x) = 2x + 5 h(x) = 3x + 11 Entonces el par ordenado que pertenece a f y h es:
A) (-6,-7) B) (1,0) C) (3,0) D) (-6,-1) E) (-7,-6)
29) Una compañía de teléfonos cobra mensualmente $7000 por arriendo de equipos y $45 por minuto en cada llamada. ¿Cuántos minutos usó un consumidor cuya cuenta mensual asciende a $26.440?
A) 743 B)626 C)532 D)432 E)332
30) El costo de arrendar una casa de veraneo es $15.000 más $22.500 por semana. Una función que permite calcular el costo de arrendar la casa durante n semanas es:
A) C(n) = (15.000+ 22.500) n
B) C(n) = (15.000 + 22.500 )
C) C(n) = 15.000 + 22.500n D) C(n) = 15.000n + 22.500
E) C(n) = + 15.000
31) Un excursionista estima que el tiempo que demora en subir una colina en una cierta región
está dado por T(h) = 2 + horas, donde h es
la altura de la colina en metros. ¿Cuál es la altura de una colina si demora 4 horas en subirla?
A) 3.200 m B) 3.400 m C) 3.500 m D) 4.000 m E) 5.200 m
del canto de los grillos de una cierta especie está relacionada con la temperatura, y la relación parece afín. Un grillo produce 120 sonidos por minuto a 70º F y 168 por minuto a 80º F. La función afín que relaciona la temperatura “t” y el número de sonidos por minuto es:
A) f(t) = 75t + 144 B) f(t) = 150t + 288
C) f(t) = - 216
D) f(t) = 144t + 75
E) f(t) =216t +
una función afín? A) f =
B) f= C) f= D) f = E)
34) El largo de un rectángulo es el doble del ancho. La función que permite calcular el perímetro del rectángulo si se conoce su ancho x es:
A) f(x) = 2x B) f(x) = 4x C) f(x) = 6x D) f(x) = 8x E) f(x) = 10x
35) ¿Es la función f lineal?
(1) Su gráfico es una recta con pendiente positiva. (2) Su gráfico pasa por los puntos P(-2,0) y Q(0,5).
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.
36) El crecimiento de una bacteria, la cual se duplica semanalmente, es un ejemplo de una función:
A) Lineal. B) Exponencial. C) Por tramos. D) Afín.
E) Valor absoluto.
37) Se define la función f(x)= 5 x. Si f(x) = 125. ¿Cuál es el valor de x ?
A) 3 B) 25 C) 10 D) 2 E) 655
39) Si f(x) = 2 –x y g(x) = x -2 , entonces
=
A) 16
B) 1
C) -1
D) -1/16
E) 1/16
40) Una planta que mide 1 metro tiene el siguiente crecimiento: Al mes mide 3 metros, a los 2 meses medirá 9 metros, a los 3 meses 27 metros, y así sucesivamente. La función que describe la situación es:
A) B) C) D)
E) f( x )= x - 3
41) La función representada por f(x) = 10x representa un ejemplo de una función de tipo: A) Parte entera
B) exponencial C) lineal
D) valor absoluto E) Por tramos
42) Una empresa telefónica ofrece un servicio de internet por un valor de $28.900 con tiempo ilimitado. Este ejemplo corresponde a una función del tipo:
A)Identidad B)Constante C)Exponencial D)Por tramos E) valor absoluto
imagen del punto 3?
A)2 B)6 C)8 D)4 E)--8
A) -125 B) -3 C) -1 D) 1 E) 3
45) Sea la función f(x) = 2x 2 + 1. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s) con respecto a esta función?
I) f(2) = 9
II) f(-1) = 3
III) f( ) = 5
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
46) Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es:
A) 5.000 33 bacterias. B) 5.000 34 bacterias. C) 5.000 39 bacterias. D) 5.000 360 bacterias. E) 5.000 3180 bacterias.
47) Si 9 9 = 3x , entonces x=
A) 2 B)3 C)4 D)6 E)27
48) La imagen de -3 bajo la función f(x) = 4x2 – 1 es:
A) 35 B) 143 C) -37 D) -35 E) 37
49) Una planta del tipo enredadera tiene un crecimiento del tipo f(x) = 3x, en que x representa el numero de meses. Esta función es del tipo:
A) Lineal B) Por tramos C)Parte entera D)Exponencial
E) Ninguna de las anteriores
50) El crecimiento de una bacteria, la cual se duplica semanalmente, es un ejemplo de una función:
A) Lineal. F) Exponencial. G) Por tramos. D) Afín.