Usando modelos sumo y resto. Secuencia didáctica de matemática

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(1)Facultad de Educación Departamento de Educación Inicial y Básica Carrera de Educación Básica. Usando Modelos Sumo y Resto Secuencia didáctica de Matemática ¡Qué extraño es el tiempo atmosférico! Secuencia didáctica de Ciencias Naturales. Proyecto de título para optar al título de Profesora de Educación General Básica con mención en Matemática y en Ciencias Naturales Elizabeth Tamar Eloísa Aranda Jofré Profesor didacta en Matemática: Macarena Valenzuela Molina Profesor didacta en Ciencias Naturales: Edgard Hernández Lema. Santiago de Chile, 2019.

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(3) Facultad de Educación Departamento de Educación Inicial y Básica Carrera de Educación Básica. Usando Modelos Sumo y Resto Secuencia didáctica de Matemática ¡Qué extraño es el tiempo atmosférico! Secuencia didáctica de Ciencias Naturales Proyecto de título para optar al título de Profesora de Educación General Básica con mención en Matemática y en Ciencias Naturales Elizabeth Aranda Calificación profesora didacta mención Matemática. Calificación profesor didacta mención en Ciencias Naturales. PROMEDIO. Santiago de Chile, 2019.

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(5) Dedicatoria Este trabajo es el resultado de mucho esfuerzo tanto propio como de las personas que han sido un apoyo para el desarrollo de este trabajo. Por esta razón es que este trabajo esta dedicado a mi prometido, mis amigas, mi familia y los docentes que han hecho que esto sea posible..

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(7) Agradecimientos En primer lugar agradezco a Dios por su amor, su paciencia y su fortaleza por permitirme llegar hasta este punto. A mi prometido, Mathias, por su amor, paciencia y apoyo, tanto emocional como económico, por ser mi luz en las noches más oscuras y mi mejor amigo. A mis amigas, Cristina, Vanesa, Aracely y Catalina, por su compañía y confianza incondicional en que juntas podríamos llegar a la meta. Desde el primer día y hasta el último, sé que sin su apoyo no habría llegado hasta aquí. A mis padres, por ser un increíble soporte emocional, psicológico y económico, recordándome que puedo lograr lo que me proponga. A mis hermanas, Yanny y Tiare, por hacerme la vida un poco más fácil con sus risas y su compañía. Agradezco especialmente a mis profesores didactas, por su paciencia y su apoyo a lo largo de todo el proceso sde este trabajo. Y también a mi profesora guía, por su apoyo y su cariño, que me reanimó en los momentos más difíciles..

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(9) Índice Dedicatoria .............................................................................................................................. v Agradecimientos ................................................................................................................... vii Índice....................................................................................................................................... ix 1. Introducción .................................................................................................................. 13 Capítulo I. Antecedentes Institucionales ............................................................ 15 1. Diagnóstico Institucional ............................................................................................. 17 1.1.. Introducción .......................................................................................................... 17. 1.2.. Presentación del establecimiento........................................................................ 18. 1.3.. Caracterización del Establecimiento: Cultura Escolar .................................... 18. 2. Diagnóstico pedagógico ............................................................................................... 21 2.1.. Presentación del curso ......................................................................................... 21. 2.2.. Modalidad de aprendizaje .................................................................................... 22. Capitulo II. Marco Teórico General .................................................................... 25 1. Educación en Chile ....................................................................................................... 27 1.1.. Constructivismo .................................................................................................... 28. 1.2.. Aprendizaje significativo...................................................................................... 30. Capítulo III. Secuencia didáctica Mención I ...................................................... 33 1. Diagnóstico Pedagógico............................................................................................... 35 2. Fundamentación teórica de la secuencia didáctica ................................................... 39 2.1. Análisis didáctico: ..................................................................................................... 39 2.2.. Método Singapur .................................................................................................. 42. 2.3. Teoría de situaciones didácticas .............................................................................. 42 2.4. Análisis didáctico de las situaciones aditivas ......................................................... 45 2.4.1. Análisis Conceptual ........................................................................................... 45 2.4.2. Análisis de Contenido ....................................................................................... 50 2.4.3. Análisis Cognitivo.............................................................................................. 59 3. Secuencia didáctica........................................................................................................ 63 3.1.. Presentación de la secuencia ............................................................................... 63. 3.2.. Selección curricular............................................................................................... 63. ix.

(10) 3.3.. Mapa de la secuencia ............................................................................................ 65. 3.4.. Diseño clase a clase .............................................................................................. 66. Guión de clase N°1...................................................................................................... 66 Situación Formulación ................................................................................................ 67 Situación Validación .................................................................................................... 68 Situación Formulación ................................................................................................ 62 -. Contando las galletas, porque son pocas........................................................... 68. -. Sumando 10 + 12, porque son todas las que hay en las dos .......................... 68. vandejas. ........................................................................................................................ 68 Situación Validación .................................................................................................... 68 Actividad 2: Ejercitación ............................................................................................. 70 Actividad 2: Ejercitación ............................................................................................. 70 Guión de clase N° 2 .................................................................................................... 71 Guión de clase N° 3 .................................................................................................... 75 Guión de clase N° 4 .................................................................................................... 79 4. Reflexión sobre la implementación ............................................................................ 83 4.1.. Clase 1 .................................................................................................................... 83. 4.2.. Clase 2 .................................................................................................................... 84. 4.3.. Clase 3 .................................................................................................................... 85. 4.4.. Clase 4 .................................................................................................................... 86. 5. Análisis de resultados ................................................................................................... 86 Capítulo IV. Secuencia didáctica Mención II ..................................................... 89 1. Diagnóstico Pedagógico............................................................................................... 91 2. Fundamentación teórica de la secuencia didáctica ................................................... 95 3. Secuencia didáctica......................................................................................................105 3.1.. Presentación de la secuencia .............................................................................105. 3.2.. Selección curricular.............................................................................................105. 3.3.. Progresión de aprendizajes ................................................................................106. 3.4.. Mapa de la secuencia ..........................................................................................108. 3.5.. Diseño clase a clase ............................................................................................110. 4. Reflexión sobre la implementación ..........................................................................124. x.

(11) 4.1.. Clase 1 ..................................................................................................................124. 4.2.. Clase 2 ..................................................................................................................125. 4.3.. Clase 3 ..................................................................................................................126. 4.4.. Clase 4 ..................................................................................................................126. 5. Análisis de resultados .................................................................................................127 Capítulo V. Aprendizajes Profesionales............................................................. 133 Aprendizajes profesionales desde los estándares pedagógicos y disciplinarios, y el perfil de egreso. ................................................................................................................................135 Bibliografía ......................................................................................................... 143 Anexos ................................................................................................................ 149. xi.

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(13) 1. Introducción El presente trabajo se enmarca en la práctica profesional realizada en el último año de la carrera de Educación Básica de la Universidad Alberto Hurtado. En este proyecto de título se desarrolla una investigación que se concentra en cinco capítulos distribuidos de acuerd al tema que en él se trabaja. El primer capítulo corresponde a un sustento de tipo inicial que corresponde al diagnóstico institucional y pedagógico del establecimiento y curso en el que se desarrolla la investigación. Dentro de este capítulo se ha procurado entregar información que de respaldo a las secuencias didácticas desde las prácticas propias del colegio y a nivel de curso, rescatando análisis generales desde el conocimiento del grupo y sus actividades dentro del colegio. El segundo capítulo corresponde a un Marco teórico general en el cual se describen las condiciones de la Educación en Chile actualmente, las corrientes teóricas en las que se respalda las bases curriculares, todo esto en base a la investigación de dos autores que se consideran relevantes, tanto para el trabajo en su totalidad, como lo son para el desarrollo del marco educativo chileno. El tercer capítulo presenta el trabajo realizado para la secuencia didáctica con la mención de matemáticas, en este se presenta un breve diagnóstico pedagógico, seguido de un Marco teórico conceptual disciplinar, en el cual se presentan aquellas corrientes y teorías en las cuales se sustenta el trabajo. Del mismo modo, se presenta una investigación detallada utilizando el Análisis didáctico, en el cual se presentan diferentes aristas del tema trabajado. El cuarto capítulo corresponde a la investigación desarrollada para la mención de Ciencias Naturales, con la respectiva secuencia didáctica, presentando también el diagnóstico pedagógico con su marco teórico, para luego presentar los recursos directos de la secuencia, las reflexiones sobre las clases realizadas y el análisis de los resultados. Finalmente, el quinto capítulo corresponde a los Aprendizajes Profesionales desarrollados tanto en el presente proyecto como a nivel de carrera.

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(15) Capítulo I. Antecedentes Institucionales.

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(17) 1. Diagnóstico Institucional 1.1.. Introducción. Durante el primer semestre del año 2018 se lleva a cabo parte del proyecto de título correspondiente a la carrera de Educación Básica de la Universidad Alberto Hurtado, para ello se ha designado el Colegio San Ignacio Alonso de Ovalle, el cual se encuentra ubicado en la comuna de Santiago Centro. Para realizar un diagnóstico resulta necesario analizar lo que se propone desde los lineamientos generales del colegio hasta las características propias del grupo, reconociendo sus debilidades y fortalezas, los recursos disponibles, su actitud general frente a la asignatura de matemáticas y los principales obstáculos que se puedan presentar para la implementación. Se comenzará realizando una descripción general del establecimiento para luego adentrarnos en la cultura escolar y cómo esta influye en el presente proyecto. Luego, se realizará una descripción física del colegio, para luego adentrarnos de lleno en la segunda parte del apartado, describiendo características organizacionales del curso, su comportamiento, la relación que se establece con la profesora jefe del curso y la actitud que tienen frente a la asignatura de matemáticas. Finalmente se busca realizar un breve a análisis sobre la manera en que todos los antecedentes recabados, principalmente en conversaciones informales con la profesora jefe, podrían afectar en la implementación y diseño de la secuencia didáctica.. 17.

(18) 1.2.. Presentación del establecimiento. Tabla 1: Ficha Institucional Nº de Alumnos. 1.449 estudiantes matriculados. Nº de Profesores. 85. Nº de Cursos. 42 cursos.. Dependencia. Particular No Subvencionado. Niveles que abarca. Educación Parvularia, Básica y Enseñanza media.. 1.3.. Caracterización del Establecimiento: Cultura Escolar. Para implementar el presente proyecto se ha utilizado como ambiente un colegio de Santiago Centro, el cual ha abierto sus puertas para facilitar el trabajo realizado por las estudiantes de la Universidad Alberto Hurtado. En este apartado se procederá a presentar los aspectos institucionales que se consideran como posibles factores influyentes en la implementación de este proyecto. El Colegio se encuentra ubicado en la comuna de Santiago, en uno de los barrios céntricos de la ciudad, a un costado de la Iglesia San Ignacio de Loyola. Este colegio cuenta con preescolar, enseñanza básica y enseñanza media, cuyo mayor porcentaje de estudiantes es masculino, puesto que el colegio solo tiene enseñanza mixta en los primeros cursos, por lo cual desde 3º básico en adelante sólo hay varones. Los cursos se distribuyen de tal manera que hay 3 cursos por nivel, desde pre kínder a cuarto medio, con un aproximado de 36 estudiantes por sala. Durante los primeros tres años (pre kínder, kínder y primero básico) hay una profesora jefe (o parvularia en el caso de pre básica) y una asistente de aula. El colegio fue fundado en 1856 por un grupo de misioneros correspondientes a la Compañía de Jesús con el fin de formar a los futuros líderes del país con una sólida visión católica, cánones morales y los conocimientos necesarios para aquella época (Colegio San Ignacio Alonso de Ovalle, 2016). En el año 2013 asume por primera vez un Rector Laico, y también ex-alumno del colegio. Este arribo desencadena una serie de cambios en el colegio que se articulan para permitir el ingreso de niñas al establecimiento. (Colegio San Ignacio Alonso de Ovalle, 2018). 18.

(19) Es necesario mencionar también que este colegio está considerado como un colegio particular privado, lo que a su vez permite otra mirada al establecimiento, dado que gran parte de los estudiantes proviene de familias más acaudaladas, lo cual se ve reflejado en, por el ejemplo, el vocabulario, en el trabajo colaborativo, en la participación activa dentro de la sala. Además, resulta importante señalar que no se encuentra en los registros de Indicadores de Vulnerabilidad que proporciona la Junta Nacional de Auxilio Escolar y Becas en su página oficial de los últimos 3 años, lo que da cuenta de que su nivel de vulnerabilidad es muy por debajo de lo establecido para ser parte de la red de ayuda estatal. Este establecimiento, al ser parte de la Red Ignaciana, se encuentra guiado y orientado por una misión y visión orientada hacia una educación de calidad, formación integral, desarrollo de comunidades educativas, ser un aporte al país, desarrollo del sentido de colaboración y deseo de una sociedad justa y fraterna. Todo esto se encuentra expresado en su proyecto Educativo, el cual se refleja en las prácticas internas que se desarrollan en el colegio, donde se potencian ambientes de respeto mutuo, de cuidado y de formación íntegra de todos los y las estudiantes de la institución (Colegio San Ignacio Alonso de Ovalle, 2018). Esta visión se imparte a los niños desde la forma en que los docentes se dirigen a ellos, el trabajo colaborativo que se promueve y el modo en que se planifican las diferentes actividades que se proponen en el establecimiento, desde fomentar el respeto entre los estudiantes hasta la integración de la formación cristiana que se promueve en los estudiantes, particularmente en los primeros niveles. Dentro del colegio se establecen una variedad de interacciones que tiene que ver con el cuerpo docente, paradocente, padres y apoderados, estudiantes y también estudiantes en práctica. Todas estas interacciones se enmarcan en una institución que promueve una alta participación de todos los integrantes de la comunidad educativa, por lo que no resulta extraño ver a los padres de los estudiantes acompañándolos en diversas actividades que se realizan en el marco del día del libro, por ejemplo. Para comprender muchas de las actividades que se realizan dentro del establecimiento, es necesario describir las características físicas que tiene el establecimiento, particularmente, por ejemplo, cabe mencionar que el colegio cuenta con un ascensor que permite un mejor desplazamiento para la silla de ruedas, del mismo modo que el acceso a los patios, al gimnasio y las canchas cuentan con rampas que permiten un mejor movimiento. El establecimiento cuenta con tres áreas, en primer lugar cuenta con un edificio muy antiguo que se encuentra a la derecha de la entrada principal, frente a las canchas centrales.. 19.

(20) Luego, un edificio un poco menos antiguo, el cual se encuentra de frente a la entrada principal, justo al lado de la capilla que fue recientemente habilitada y a la cual solo algunos estudiantes tienen acceso, principalmente encargados de curso. Finalmente se encuentra el edificio principal, que corresponde a una construcción relativamente reciente en la cual se encuentran la mayor parte de las salas de clase, las oficinas de los docentes, coordinadores y directivos, así como la entrada principal. Es un edificio con una forma difícil de definir, ya que cuenta con un pasillo principal en forma de L que contiene ramificaciones de tal modo que se forman pasillos más pequeños con varias salas más. El colegio cuenta también con tres canchas, un patio infantil, además de tener dos bibliotecas, una sala de computación, una capilla, un gimnasio y un teatro, cuyo acceso se encuentra a un costado del gimnasio. Las canchas son utilizadas principalmente para las clases de educación física, sin embargo también se encuentran habilitadas para los talleres que se implementan después de clases. El patio infantil está habilitado para libre acceso, aunque se utiliza principalmente para los primeros niveles, de pre kínder a segundo básico. La bibliotecas se dividen por niveles, de tal forma que pre básica y primer ciclo (primero y segundo básico, según la distribución del colegio) utilizan la biblioteca que se encuentra en el ala sureste del colegio, mientras que la biblioteca del ala noroeste está habilitada para estudiantes desde tercero básico en adelante. La sala de computación cuenta con 38 computadores, de los cuales 36 se encuentran habilitados para los estudiantes, mientras que los otros dos son para que el docente a cargo pueda realizar un seguimiento de los avances de los estudiantes.. 20.

(21) 2. Diagnóstico pedagógico 2.1.. Presentación del curso. El presente apartado se centra en la descripción y caracterización del curso en el cual se implementará el proyecto desarrollado a lo largo del año. En este documento se presentarán informaciones relevantes como condiciones socioeconómicas, índice de vulnerabilidad, materiales y recursos disponibles, intereses de los estudiantes, entre otros. Dentro del Colegio San Ignacio Alonso de Ovalle, cada nivel se compone por 3 cursos, particularmente, la implementación del proyecto se ha determinado para uno de los cursos correspondientes al segundo nivel de enseñanza básica, es decir 2° básico. Este curso está compuesto por 36 estudiantes, de los cuales 20 corresponden a niñas y 16 son niños. De acuerdo a la observación diaria, en el interior de la sala, los estudiantes se encuentran ordenados en 6 grupos mixtos, distribuidos de tal manera que todos pueden trabajar de manera participativa en el grupo y al mismo tiempo, su ubicación les permite observar lo que ocurre cerca de la pizarra, desde donde la profesora da las instrucciones generales antes de moverse entre los grupos y realizar un trabajo más individualizado. Se ha observado dentro de la sala de clases que los grupos conversan de diferentes temas, algunos relacionados con el trabajo realizado en clases y otros sobre intereses propios de los estudiantes; muchas de estas conversaciones se desarrollan en momentos que la profesora no se encuentra exponiendo o durante los trabajos individuales, sin embargo también ocurren en momentos en los cuales el docente en sala está realizando una exposición de la actividad de clases. Los estudiantes del curso pertenecen en su mayoría a familias de un nivel socioeconómico alto, de los cuales muchos tienen más hermanos dentro del establecimiento escolar, y adicional a esto, muchos de ellos son hijos de ex alumnos y de funcionarios del colegio. Uno de los indicadores de esto corresponde a la matrícula, la cual se encuentra cercana a los $300.000 (varía entre estudiantes antiguos y nuevos), mientras que la colegiatura anual tiene un valor de $2.990.000 (Colegio San Ignacio, 2018).. 21.

(22) 2.2.. Modalidad de aprendizaje. Se ha observado que el grupo curso se caracteriza por ser muy activo, altamente participativo, muy inclusivo, en el cual se procura generar un ambiente de respeto para cada integrante del curso, lo que se refleja puntualmente en algunos estudiantes que tienen características que los particularizan, sin producir con ello rechazo o discriminación, como es el caso de una niña que utiliza silla de ruedas o de aquellos que se encuentran diagnosticado con TDAH, e incluso un niño que se identifica con aspectos femeninos, esta información ha sido proporcionada por la profesora jefe, quien se encuentra trabajando en conjunto con la psicopedagoga del colegio y la psicóloga encargada de primer ciclo. Cada niño tiene intereses propios, pero como grupo también tienen intereses en común, como por ejemplo que a los varones les gusten las cosas de futbol, los álbumes de colección de pegatinas (FIFA, Dragon Ball), mientras que las damas prefieren jugar entre ellas, practicar algunas acrobacias, leer o dibujar, o inventar juegos donde puedan mostrar sus capacidades y habilidades individuales, esto de acuerdo a entrevistas u observaciones de ellos en el patio durante los turnos asignados desde la coordinación académica de primer ciclo. A pesar de que existen varios estudiantes que presentan situaciones puntuales como trastornos del aprendizaje o de conducta, que según lo señalado por la profesora jefe corresponde a 13 estudiantes, el curso tiene rendimiento general que se promedia en un 5.9. Como es posible observar en la tabla 2, los promedios más bajos, corresponden a las áreas de Lenguaje y Matemáticas, mientras que el promedio más alto es Ciencias Sociales.. Tabla 2. Promedios del curso por asignatura.. Asignatura. Promedio. Asignatura. Promedio. Ciencias Sociales. 6,2. Matemáticas. 5,9. Ciencias Naturales. 6,1. Lenguaje. 5,9. Por otra parte, como se señaló anteriormente, dentro del curso se presentan varios casos de trastornos conductuales, sociales y de aprendizaje, entre los cuales destacan, casos como Trastorno de Déficit Atencional (6 estudiantes), mientras que hay otros que además presentan Hiperactividad (4 estudiantes). Adicional a ellos, hay un caso de una niña que tiene lectura silábica y además escribe al revés, por lo que se encuentra en evaluación para determinar si corresponde a un problema específico del lenguaje o simplemente requiere. 22.

(23) más apoyo. También se presentan estudiantes que requieren tratamiento de fonoaudiólogo y otros que se les ha sugerido revisión de psicopedagoga; lo cual fue proporcionado por la profesora mediante a entrevistas no formales o conversaciones de pasillo.. 23.

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(25) Capitulo II. Marco Teórico General. 25.

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(27) 1. Educación en Chile Hablar de la educación en Chile necesariamente nos lleva a dar una vuelta a los actores presentes en ello y los intereses que radican tras las principales ideas que se implementan en nuestro país. Un poco de historia nos recuerda que la instrucción primaria comenzó con una clara intencionalidad que surge en cuanto a la independencia de nuestro país, que se relaciona con la necesidad de desarrollar las habilidades de los habitantes del país, es decir, la alfabetización, artes mecánicas e intelectuales. Sin embargo, el fin último de esta educación se centraba en la creciente idea de que “un pueblo educado estaba destinado a ser un pueblo industrioso y amante de la libertad” (Mancilla, 2005). Luego de más de 200 años la perspectiva antes mencionada sigue siendo referida. En una publicación del Ministerio de Educación del año 2017, se señala que “la educación es vista como un motor que fomenta un desarrollo económico, social y democrático más robusto, y que contribuye también a una sociedad más participativa, con mejores índices de salud y satisfacción con la vida” (Ministerio de Educación, 2017). De aquí es que se fomenta la idea de que la educación es una herramienta que permite a los estudiantes desarrollar mejores oportunidades en su vida, logrando objetivos económicos y sociales, formando ciudadanos que puedan ser parte activa en nuestra sociedad. Para esto, resulta fundamental que todas las asignaturas que son parte tanto de la educación básica como de la enseñanza media se integren y complementen para este propósito. Para efectos del presente trabajo, nos centraremos únicamente en educación básica, para ello debemos mirar lo que nos señalan los programas publicados por el Ministerio de Educación desde su presentación, señalando que: El ciclo de Educación Básica tiene como fin entregar a los estudiantes aprendizajes cognitivos y no cognitivos que conducen a la autonomía necesaria para participar en la vida de nuestra sociedad. Esto requiere desarrollar las facultades que permiten acceder al conocimiento de forma progresivamente independiente y proseguir con éxito las etapas educativas posteriores. (Ministerio de Educación, 2013, p.7). Desde esta base se sientan dos ideas fundamentales que sustentan el marco central de la educación chilena, como también la secuencia didáctica que se enmarca en este trabajo. Estas ideas son la del constructivismo y la del aprendizaje significativo.. 27.

(28) 1.1.. Constructivismo. Durante los últimos 25 años se encuentra muy mencionada la educación basada en la teoría del constructivismo. En el texto de Rosas y Sebastián (2001), se menciona que en Chile existe el decreto 40 que indica lo siguiente: Centrar el trabajo pedagógico en el aprendizaje más que en la enseñanza exige, adicionalmente, desarrollar estrategias pedagógicas diferenciadas y adaptadas a los distintos ritmos y estilos de aprendizaje de un alumno heterogéneo, y reorientar el trabajo […] a una forma basada en actividades de exploración, búsqueda de información y construcción de nuevos conocimientos por parte de los alumnos, tanto individual como colaborativamente y en equipo (Rosas & Sebastián, 2001, p. 7).. Esta idea que hoy se considera parte estructural del sistema educativo en Chile explicitado en las Bases Curriculares (2015), responde a la idea de pensar al estudiante como sujeto cognitivo, dicho de esta forma, el estudiante es “un constructor activo de sus estructuras de conocimiento”. En esta posición constructivista se sustenta en la idea de la “evolución de un estado cognitivo a otro estado cognitivo, se intenta explicar la construcción de ciertas estructuras a partir de otras que son diferentes” (Rosas & Sebastián, 2001). Con esto como base es que Vigotski postula la teoría histórico-cultural bajo la cual hace referencia al origen social de los procesos sicológicos superiores, en el texto Piaget, Vigotsky y Maturana. Constructivismo a tres voces, se señala que: Cualquier función aparece dos veces o en dos planos distintos. En primer lugar aparece en el plano social, para hacerlo luego en el plano psicológico. En principio, aparece entre las personas y como una categoría interpsicológica, para luego aparecer en el niño como una categoría intrapsicológica (Rosas & Sebastián, 2001, p. 39).. Si bien es cierto, Vigotsky no plantea una teoría específicamente para el aprendizaje, la teoría histórico cultural propuesta sirvió como base para sustentar lo que hoy conocemos como Zona de Desarrollo Próximo. Esto se define como “la distancia entre el nivel real de desarrollo, el cual se encuentra determinado por la capacidad de resolver un problema de manera independiente, y el nivel de desarrollo potencial, que está determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con otro compañero más capaz” (Baquero, 1997, p. 137). Aplicado a la enseñanza, Baquero señala que hay cuatro cláusulas que completan esta idea principal, y que sustentan la labor docente (Baquero, 1997, pp. 138-139). Éstas son: 1. Lo que hoy se realiza con la asistencia o con el auxilio de una persona más experta en el dominio en juego, en un futuro se realizará con autonomía sin necesidad de tal asistencia.. 28.

(29) 2. Tal autonomía en el desempeño se obtiene, algo paradójicamente, como producto de la asistencia o auxilio, lo que conforma una relación dinámica entre aprendizaje y desarrollo. 3. Conviene recordar que el concepto remite a los procesos de constitución de los Procesos Psicológicos Superiores que se ha examinado. 4. El auxilio o asistencia suministrada por el sujeto con mayor dominio debe reunir una serie de características. Visto desde el marco educativo, estas ideas son fundamentales para el desarrollo cognitivo del estudiante, ya que los procesos de aprendizaje se sustentan en que éstos activan ciertos procesos evolutivos internos que sólo se desarrollan cuando el estudiante se encuentra en interacción con otras personas de un entorno o bien, en cooperación con otros estudiantes semejantes a sí. Pese a esto, como se menciona en la cuarta clausula, el sujeto que presta la asistencia debe cumplir una serie de características, las cuales no son definidas por Vigotsky, pero que se relacionan directamente con la relación “enseñanza-aprendizaje”, es decir que para que la interacción se manifieste en un desarrollo cognitivo necesariamente debe ser organizado e intencionado. La teoría de la Zona de Desarrollo Próximo, entonces, nos manifiesta la necesidad de comprender que el aprendizaje no es lo mismo que el desarrollo, sin embargo, el aprendizaje organizado e intencionado se puede convertir en desarrollo mental que pone en marcha una serie de procesos evolutivos que sólo pueden desarrollarse producto del aprendizaje (Baquero, 1997). El sistema educativo chileno se sustenta en esta base para que la enseñanza permita a los educandos establecer nuevos niveles de desarrollo con apoyo del profesor a cargo y en colaboración con otros estudiantes de su nivel que permitan activar nuevos procesos para establecer nuevos niveles de desarrollo.. 29.

(30) 1.2.. Aprendizaje significativo. Para comprender la idea del aprendizaje significativo es primordial dejar atrás la idea de que el aprendizaje corresponde a un cambio de conducta, ya que debemos comprender que el aprendizaje depende en gran parte de la experiencia humana y que ésta no se limita únicamente al pensamiento, sino también a la dimensión afectiva. Para enriquecer el significado de la experiencia humana es necesario considerar ambas dimensiones (Ausubel, 1983). Para entender la labor educativa, es necesario tener en consideración otros tres elementos del proceso educativo: los profesores y su manera de enseñar; la estructura de los conocimientos que conforman el currículo y el modo en que éste se produce y el entramado social en el que se desarrolla el proceso educativo (Sansevero, Lúquez, & Fernandez, 2006, p. 279). Lo planteado en el texto citado pone en evidencia la importancia de tres factores que se articulan entre sí que corresponde al profesor y la didáctica, los conocimientos establecidos y la sociedad en que se desarrolla este proceso. Principalmente este último juega un rol fundamental, en vista de que, como se mencionaba en el apartado anterior, desde la teoría planteada por Vigotsky, el aprendizaje tiene un componente social que resulta fundamental en la construcción de los conocimientos. Ausubel nos plantea una teoría educativa relacionada con el aprendizaje significativo, la cual se sustenta en la idea de las estructuras cognitivas previas que tiene el estudiante, y que corresponde al conjunto de ideas, concepciones, conceptos y significados que son parte de estructural de una determinada organización de conocimientos adquiridos previamente. Según lo señalado por Ausubel, resulta fundamental comprender estas estructuras cognitivas que poseen nuestros estudiantes, señalando que “no sólo se trata de saber la cantidad de información que posee, sino cuales son los conceptos y proposiciones que maneja así como de su grado de estabilidad.” (Ausubel, 1983). Esto con el fin de sustentar los nuevos aprendizajes en las estructuras cognitivas previas. Para que un aprendizaje sea considerado significativo debe, necesariamente, ser relacionado “de modo no arbitrario y sustancial” con lo que el estudiante ya sabe. Dicho de otro modo, los nuevos aprendizajes deben relacionarse con algún aspecto ya existente y relevante que sea parte de la estructura cognitiva del estudiante, que debe ser significativo para él. Este concepto resulta fundamental para el sistema educativo que se busca desarrollar en nuestro país, en vista que su importancia radica principalmente en la idea de construir nuevos aprendizajes. Para que estos aprendizajes sean significativos, deben. 30.

(31) necesariamente existir puntos de anclaje, los cuales deben ser parte de la estructura cognitiva previa.. 31.

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(33) Capítulo III. Secuencia didáctica Mención I.

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(35) 1. Diagnóstico Pedagógico Dado que el colegio ha implementado de primero a cuarto básico el método de aprendizaje Singapur, se promueve el uso de materiales concretos como los cubos multibase y Unifix, los cuales se utilizan para dar introducción a los temas como adición y sustracción, modelos y representaciones, entre otros. Estos materiales están disponibles en la sala de modo que cada estudiante tenga su propio set. El método Singapur es un sistema centrado en la resolución de problemas que se mueve bajo la estructura COPISI (Concreto, Pictórico, Simbólico), que además viene con la estructura de la clase, las estrategias a presentar, la forma de implementar las clases y los problemas que los estudiantes deben resolver ya sea con apoyo de la profesora o de manera individual. A pesar de que el método Singapur presenta varios problemas, estos son bastante repetitivos, poco cercanos al estudiante y difíciles de acercar a su realidad concreta, razón por la cual los estudiantes comienzan a desarrollar los problemas de manera mecánica, sin detenerse a analizar, pensar o cuestionar los problemas que resuelven, de modo que no logran contextualizar, lo cual se evidenció en la última evaluación realizada. Un ejemplo de ello es lo siguiente: Gugo recogió 313 envases entre latas y botellas. De estos 23 correspondían a botellas, ¿cuántas latas hay en la bolsa? (Libro de ejercicio 2018, p. 28). Este problema es un problema que resulta irrelevante para nuestros estudiantes, Sierra entrega un ejemplo de un problema similar en el texto Didáctica del Álgebra (Sierra, 2010), señalando que nuestros estudiantes no tiene problemas de ese tipo. Es muy probable que ellos no recojan latas y botellas, y mucho menos las cuenten. Desde esta mirada Singapur propone problemas que, aunque útiles, son irrelevantes y descontextualizados a la realidad del Colegio, precisamente porque corresponde a un método estandarizado. Por lo general las clases de matemáticas comienzan después de alguno de los recreos, por lo que los estudiantes esperan afuera de la sala sentados en el suelo por orden de lista, de modo que cuando la profesora (o profesor) llega a la sala, los estudiantes entran en orden, pasan a sus casilleros que se encuentran al fondo de la sala para dejar cualquier objeto que pueda distraerlos y luego regresan a sus asientos. Durante la primera parte de la clase la profesora da la oportunidad de exponer 3 situaciones de conflicto que hayan ocurrido en el recreo, siempre y cuando no hayan sido resueltas por los mismos estudiantes o por otro docente. En ese momento, los estudiantes. 35.

(36) narran las situaciones, exponiendo el conflicto y los participantes y la profesora actúa como mediadora potenciando el trabajo autónomo para la resolución del problema. Luego de resolver los problemas expuestos, la profesora realiza la clase, terminando unos minutos antes de que suene el próximo timbre, de modo que los estudiantes tomen su recreo completo. Las clases de matemáticas son realizadas en su mayoría con el cuadernillo de trabajo que propone Singapur, por lo que no es mucha la gestión como tal. La profesora a cargo es quien acompaña a los estudiantes en las 4 asignaturas principales, por lo que es quien pasa más tiempo con ellos. A pesar de que se podría esperar una actitud más protectora en base a mis experiencias anteriores, la profesora jefe los ve como personas independientes, capaces de resolver sus problemas, por lo que se encarga constantemente de fomentar la autonomía de cada uno de ellos, instándolos a tomar decisiones, actuar por sus propios medios antes de recurrir a un adulto y buscar soluciones innovadoras. Como se mencionó anteriormente, la participación en clase es muy activa por parte de los estudiantes, lo que genera interacciones, muchas veces guiadas por los docentes, de tal manera que se realicen correcciones mutuas y se privilegia, no el acierto o el error, sino la participación activa y consciente de los estudiantes. Principalmente la Interacción se centra en diálogos entre la profesora y los estudiantes, entre los estudiantes, entre las dos profesoras en sala (profesora jefe y profesora practicante) o la profesora practicante y los estudiantes. La intención de esta interacción didáctica es permitir que los estudiantes puedan evaluar su propio conocimiento, el de sus compañeros, apoyar o diferir con lo planteado por sus compañeros y dar una justificación a lo que expresan. Algunas interacciones son del tipo: “¿Estás de acuerdo con Claudio? ¿No? ¿Por qué no? ¿Cómo podrías ayudar a Claudio?”. Resulta muy importante señalar para el presente trabajo que la profesora desde el primer momento expresó y demostró a los niños que el trabajo sería realizado en conjunto de tal modo que la participación sería activa y dando todas las posibilidades de intervención y acción tanto dentro como fuera del aula, lo cual resulta significativo al momento de implementar las clases. Conocer los aspectos ya presentados resulta fundamental para diseñar una secuencia didáctica, puesto que los elementos centrales de esta deben ser adecuados para sus conocimientos, su actitud frente a la asignatura y sus intereses. Del mismo modo, su bagaje cultural permite que, como docentes, podamos estar conscientes sobre cómo se desenvuelven con determinados temas o sobre ciertas actividades.. 36.

(37) Por otra parte, tener en conocimiento la participación que tiene la profesora y los estudiantes, permite tener una claridad frente a las actividades que resulta posible implementar, lo cual se fortalece al tener conocimiento, por ejemplo, de los niños que tiene problemas conductuales, o limitaciones de otra índole, las cuales nos entregan orientaciones sobre cómo actuar y también como resolver aquellos conflictos que se puedan presentar en diferentes situaciones. En relación a la implementación de la secuencia didáctica, conocer el sistema Singapur nos permite tener una idea de cómo aprenden los niños, sus formas de aprendizaje y de la misma forma, replicar el sistema que conocen, adecuándose a los métodos que se propondrán en la secuencia didáctica. El método Singapur, implementado en el curso, dirige los aprendizajes de manera guiada, orientada a la progresividad de los contenidos, sin embargo, mantiene una metodología individual, permitiendo que los estudiantes solucionen problemas y realicen ejercitación de las situaciones propuestas. Por ello es que la implementación de la secuencia didáctica se establecerá por medio de la construcción entre el método Singapur en cuanto a los modelos de representación, utilizando actividades propuestas por el libro de clases, sin embargo la estructura de clases se guiará de acuerdo a la teoría de las situaciones didácticas, como se detalla más adelante. Dentro del diagnóstico se ha hecho referencia a mucha información, la cual se encuentra basada principalmente en conversaciones informales con la coordinadora académica de primer ciclo y con la profesora jefe del curso en el que se va a implementar el proyecto en cuestión. Comenzamos señalando que el colegio se encuentra en Santiago Centro, presenta un nivel socioeconómico medio y alto. Desde esta perspectiva se pueden reconocer ciertas fortalezas como una mayor variedad de situaciones aditivas que es posible implementar en la sala de clases, las cuales tienen que ver con las costumbres que tienen los niños, sus intereses y la forma en que las matemáticas son parte de sus vidas y que no tienen que ver con las situaciones estandarizadas que se implementan en colegios de otros niveles socioeconómicos, por ejemplo, manejo de dinero, de multiplicidad de objetos (tiene más de un auto de juguete o más de cinco lápices), de material didáctico (como cubos Unifix, cubos multibase, tangram, fichas de unidad), que permiten abordar situaciones que sean parte de su vida cotidiana. Por ejemplo, situaciones como “le regalaron un juego de 24 lápices nuevos”, “regaló a su amiga 20 esquelas de ‘Soy Luna’”, son situaciones que son frecuentes en la cotidianeidad de los estudiantes y que brindan oportunidades de aprendizaje real en cuanto a las situaciones aditivas que representan con ello.. 37.

(38) Del mismo modo, podemos señalar la falta de coherencia entre lo que el colegio señala en su proyecto educativo con lo que se verifica dentro de la sala de clases y particularmente en la observación y la conversación con otras profesoras en práctica dentro del establecimiento. El proyecto educativo institucional señala que: El principio de flexibilidad curricular, es decir, la opción de introducir adecuaciones diversas según tiempos, lugares y personas, es muy necesario para responder tanto a los requerimientos del saber sistematizado como a las necesidades e intereses de cada grupo de estudiantes, según sus contextos y características. (PEI, 2018, p. 33) Lo mencionado anteriormente, en contraste al Método Singapur que se implementa en el colegio muestra una visible diferencia que radica en la estandarización de los saberes matemáticos, que lejos de ser adecuados a los estudiantes según sus contextos y características, se enmarcan en un modelo sujeto lo que se espera para un determinado estándar de estudiante. Desde esta perspectiva podría decirse que el modelo y método bajo el cual se enmarcan las enseñanzas del colegio son poco pertinentes para lo que se propone en un proyecto institucional, por lo que sería mucho más adecuado proponer un modelo de aprendizaje basado en el descubrimiento con una metodología similar a la propuesta por Brousseau, desde la matemática realista con problemas surgidos desde su propio contexto y no desde un proyecto externo, ya que responde de manera adecuada a lo señalado por el Proyecto Educativo Institucional. A modo de conclusión, podemos señalar que, si bien es cierto el colegio cuenta con múltiples recursos educativos como bibliotecas, laboratorios de computación y materiales concretos, el modelo de enseñanza al cual suscriben no resulta el más adecuado para el tipo de enseñanza que se promueve en el proyecto educativo, es por esta razón que considero relevante la implementación de un modelo de enseñanza ligeramente diferente al que se implementa actualmente, que permita el desarrollo del pensamiento autónomo y crítico por parte de los estudiantes, en el cual tengan la posibilidad de revisar su propio desarrollo desde la resolución de problemáticas reales, cercanas, pertinentes y significativas.. 38.

(39) 2. Fundamentación teórica de la secuencia didáctica Las matemáticas son contexto muy amplio que se suele agrupar en 4 grandes ejes que direccionan la labor docente. Al ser un tema tan amplio y que se encuentra tantas veces en nuestra vida cotidiana resulta fundamental para el profesor tener una cierta claridad respecto a algunos temas, principalmente, al momento de planificar, el docente debe tener herramientas que le permitan concretar el trabajo requerido. Para desarrollar el presente marco teórico disciplinar, específico a la Mención de Matemáticas, es necesario describir dos áreas que resultan ser la base del trabajo realizado y que constituyen herramientas para la labor profesional docente. En primer lugar, es necesario señalar que la investigación adscrita en este marco se fundamenta en la teoría propuesta por Luis Rico, conocida como Análisis didáctico, que en sí contempla 5 áreas o sub-temas que cumplen funciones específicas en cuanto a investigación, planificación, desarrollo y evaluación relacionadas con la Secuencia didáctica. Por otra parte, también resulta necesario señalar que la secuencia que constituye el centro de este trabajo se encuentra desarrollada desde dos perspectivas que se complementan entre sí: Por una parte, el método solicitado por el colegio que corresponde al Método Singapur y el método propuesto por Brousseau, conocido como Teoría de Situaciones didácticas.. 2.1. Análisis didáctico: El metodología de investigación en aula propuesta por Luis Rico (2013) centra su idea en pensar el análisis desde una perspectiva educativa que lo comprende como una manera de entender y abordar la labor investigativa del docente. El método llamado Análisis didáctico resulta ser sistemático, con enfoques particulares, comprendiendo diferentes concepciones de éste, dando un valor particular a su relación con la matemática, la didáctica y el aprendizaje. Para realizar el análisis desde un desglosamiento de los contenidos involucrados en los procesos de enseñanza-aprendizaje, es que se distribuye el proceso completo en 5 categorías que responden a diferentes aristas del Análisis propiamente tal. Análisis Conceptual: Desde lo señalado por Rico podemos decir que “el análisis conceptual es una herramienta metodológica para controlar la complejidad semántica, seleccionar opciones idóneas y disponer de un aparato teórico, adecuado para la investigación educativa” (Rico, El método del análisis didáctico, 2013). Dicho de otro modo nos aporta una precisión teórica de los conceptos que nos brinda datos técnicos como definiciones, descripciones, formulaciones simbólicas, históricas, que aportan a la construcción de significados que articulan el tema de investigación.. 39.

(40) En esta parte, lo que se busca es el sustento teórico de la investigación realizada y que da pie a la construcción de la Secuencia didáctica que se encuentra enmarcada en el presente trabajo. Análisis del Contenido: Esta parte del análisis didáctico tiene como objetivo “establecer y estudiar la diversidad de significados escolares de los conceptos y procedimientos de las matemáticas” (Rico, El método del análisis didáctico, 2013). Para realizar el análisis del contenido matemático existen 4 categorías que son: Conceptual, que considera el momento histórico y el marco poblacional donde se insertan. Formal y estructural, que abarca los conceptos, definiciones y procedimientos, junto con la estructura formal, que proporcionan referencia a los contenidos utilizados. Representacional, que comprende las notaciones gráficas, simbólicas, y sistemas de signos involucrados. Fenomenológica, que aborda los fenómenos que dan origen a los conceptos, los contextos en los que se utilizan y aquellas situaciones en las que se presentan y en las cuales se aplican, que dotan de sentido a los contenidos en estudio (Rico, 2013, p. 18). Análisis Cognitivo: Al referirnos a este tipo de análisis, nos referimos a un proceso que capacita a los docentes para que a partir de la información adquirida mediante el análisis de contenido y conceptual logren enunciar y organizar los aprendizajes y capacidades que se espera que logren sus estudiantes de la determinada área de estudio, la contribución que ésta supone al desarrollo de competencias matemáticas globales y adicional, se lleva a cabo un estudio de los posibles errores y dificultades que podrían presentarse en los estudiantes. (Lupiañez & Rico, 2008) Análisis de Instrucción: Este tipo de análisis realiza la adaptación de las consideraciones establecidas en los dos análisis anteriores, para ser interpretadas en un marco que puede ser un aula, centro o una planificación realizada por un profesor. Este análisis se encuentra determinado por tres categorías, la primera de ellas se encarga de definir los tipos de tareas junto con su secuenciación, el segundo se relaciona con los materiales y recursos que se requieren para la enseñanza, y finalmente, encontramos la organización y gestión del trabajo en el aula (Rico, El método del análisis didáctico, 2013). Análisis evaluativo: Este análisis muestra los aprendizajes alcanzados, determinando el desarrollo cognitivo, evidenciando las fortalezas y debilidades del proceso de instrucción. La principal relevancia de este análisis es que permite interpretar los rendimientos y resultados alcanzados. La finalidad de este análisis es contribuir a la toma. 40.

(41) de decisiones para la revisión del proceso de enseñanza y aprendizaje que se infiere de los logros alcanzados (Rico, El método del análisis didáctico, 2013). Rico propone un esquema que permite organizar los cinco tipos de análisis, los cuales resultan ser una herramienta que además de permitir una investigación, diseño pedagógico y evaluación de este, permite tomar decisiones en cuanto al proceso de enseñanza, de modo que se pueda establecer posibles mejoras en el proceso al momento de comenzar nuevamente el ciclo representado en la figura.. Figura 1. Ciclo del Análisis Didáctico de Luis Rico.. 41.

(42) 2.2.. Método Singapur. El Método Singapur busca el logro de los objetivos anteriores a través de una estructura pentagonal que articula el desarrollo de conceptos, habilidades, procesos matemáticos, metacognición y actitudes necesarias para el aprendizaje, cuyo foco central es la resolución de problemas en contextos significativos. Se plantea una metodología de acercamiento que evoluciona desde el uso de material concreto a la representación pictórica del problema y, posteriormente, a la utilización de símbolos y de un lenguaje más abstracto (Barbe, Espinoza, Fuentes, Matus & Márquez, 2016).. Como se menciona en la cita al comienzo, el Método Singapur es una metodología de enseñanza de las matemáticas que se encuentra enfocada en potenciar el desarrollo de habilidades, actitudes y conocimientos matemáticos utilizando el sistema que se conoce en Chile como COPISI, es decir, desde lo concreto, pasando por lo pictórico hasta llegar a lo simbólico. Este método considera como punto central de la enseñanza de las matemáticas la importancia de los contextos significativos en la resolución de problemas, es decir, que para que la resolución de un problema sea significativo para el estudiante necesariamente debe estar relacionada a su propia realidad. Si bien es cierto, este método no se encuentra especificado en el Currículo Nacional vigente, este método responde a lo solicitado por éste, dado que desarrolla conceptos y conocimientos, habilidades y actitudes, y, además, las actividades propuestas por este método, también se condicen con lo solicitado dentro de los programas entregados por el Ministerio de Educación. Pese a que este modelo responde a lo solicitado por los programas de educación básica (considerados de 1° a 6°), este método se utiliza principalmente dentro del primer ciclo, es decir, de Primero a Cuarto básico, ya que se entiende que para los niveles superiores, correspondientes a segundo ciclo, no debería requerirse la necesidad de modelos pictóricos, puesto que estos son construidos a nivel cognitivo dentro de los primeros años de educación básica (Espinoza, Matus, Barbe, Fuentes, & Márquez, 2016).. 2.3. Teoría de situaciones didácticas Cuando hablamos de la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) nos referimos a una forma de diseñar una Interacción didáctica que tiene como objetivo que los estudiantes sean capaces de construir su propio conocimiento, transformando al docente en un mediador entre el conocimiento (saber sabio o saber erudito ya antes mencionado) y el estudiante (De Faria, 2006). El concepto central de esta teoría radica en la idea de Situación didáctica, Panizza la define como “[…] una situación construida intencionalmente con el fin de hacer adquirir a. 42.

(43) los alumnos un saber determinado” (Panizza, 2003, p.4). Esta teoría propuesta por Brousseau define que para que un saber sea adquirido por un estudiante se le debe poner en una situación de desequilibrio en la cual se vea obligado a resolver el problema. Esta teoría, como menciona Panizza (2003), se sustenta en elementos piagetanos que le dan un sentido constructivista del aprendizaje. Sadovsky señala que “Brousseau postula que para todo conocimiento existe una situación fundamental que de alguna manera representa la problemática que permite la emergencia de dicho conocimiento. Esto significa que el conocimiento en cuestión aparece como la estrategia óptima para resolver el problema involucrado” (Sadovsky, 2005, p. 21). Dicho de otro modo, el docente debe plantear una situación fundamental que permita a los estudiantes buscar la estrategia adecuada para resolver el problema de manera personal. Esta teoría presenta una diferencia significativa con la planificación que se establece en otras asignaturas en la cual el docente comienza dando indicios sobre lo que se va a trabajar, activando conocimientos previos mediante una pregunta o una actividad especialmente diseñada para ello, de tal modo que el estudiante sabe desde el comienzo de la clase a que se va a enfrentar y la actitud que debe tener para ello. En el marco de la Teoría de las Situaciones didácticas el estudiante no tiene ningún indicio de lo que debe hacer, el problema al cual se ve enfrentado le obliga a recurrir a sus conocimientos previos, a buscar alternativas en base a lo que ya conoce, sin embargo no tiene ninguna certeza de que “ese” saber es el que requiere. Dentro de esta teoría se determinan 4 momentos en los que se divide la interacción y que permite la aprehensión del conocimiento. Situación Acción: En esta situación se plantea el problema al estudiante y se permite que realice la resolución del modo que estime pertinente, buscando una o más formas de solucionarlo. Situación Formulación: El estudiante establece una fórmula o un método estándar que pueda ser aplicado en cualquier situación para resolver el problema. Situación Validación: El estudiante expone a su grupo (o curso) su fórmula para la resolución de problema, la cual es o no validada por los demás integrantes del grupo. En esta etapa la justificación que respalda tanto la formula como sus opositoras es lo prioritario. Situación Institucionalización: En las 3 situaciones anteriores es el estudiante quien tiene el completo dominio de la situación, ya que es quien indaga, formula y valida lo realizado; sin embargo, en esta situación es el docente quien recoge las conclusiones realizadas por los estudiantes, las despersonaliza y las presenta como un saber general que. 43.

(44) pueda ser constitutivo para nuevos saberes. Esta etapa es la más importante, ya que es la que permite que los estudiantes sean capaces de formalizar lo aprendido para que no quede solo como una “actividad divertida”. (Vidal, 2009) Desde esta teoría el docente espera que sus estudiantes sean capaces de indagar en la búsqueda de las posibles soluciones, que diseñen sus propias fórmulas, que sean capaces de evaluar sus soluciones y las de sus pares, argumentando y justificando desde la matemática. Este tipo de dinámica permite el desarrollo autónomo de los estudiantes, permite que sean capaces de cuestionarse, de evaluar su desempeño de manera veraz, y, más que llegar al resultado correcto, sean capaces de darse cuenta de sus aciertos y errores. En primer ciclo, nivel en que se enmarca la secuencia, este modelo de planificación no es muy habitual dado que se entiende que los estudiantes aún se encuentran en niveles cognitivos iniciales, sin embargo, como señala Brousseau, hay situaciones que podrían permitir que los estudiantes sean capaces de llegar a niveles cognitivos más avanzados aunque, claramente, requieren de más directrices.. 44.

(45) 2.4. Análisis didáctico de las situaciones aditivas Como ya se ha mencionado, el Análisis didáctico constituye una herramienta de investigación profesional que permite al docente contar con toda la información disponible relacionada al tema a trabajar. Para esto, el análisis didáctico se define en 5 áreas de las cuales 3 consisten en investigaciones previas a la planificación e implementación, una de ellas corresponde al diseño de la secuencia y finalmente, la última área corresponde al análisis de la implementación, sus resultados y reflexiones a considerar para mejorar la calidad del aprendizaje. Cada uno de los siguientes apartados centra su investigación en una rama específica del tema trabajado en la secuencia didáctica que corresponde a Adición y Sustracción, para ello se analizará el tema desde su historia, sus contenidos, conceptos, fenomenología, errores y obstáculos, y representaciones, para, finalmente, logra planificar la secuencia que englobe todos los temas. 2.4.1. Análisis Conceptual Historia Hablar de la historia de los números y, más específicamente, de los números naturales, puede resultar bastante complejo. No es lo mismo que hablar de la historia de las matemáticas la cual, a pesar de llevar muchos años funcionando con teoremas como los de Thales o Pitágoras, no fueron axiomatizados formalmente hasta el siglo XIX. Los números, por otra parte tienen una historia que se eleva desde los principios de las más antiguas civilizaciones como Mesopotamia, Babilonia o Egipto, en los cuales, si bien no utilizaban el sistema decimal bajo el cual nos regimos actualmente, tenía sus propios sistemas de conteo. Los números surgen de la necesidad de contar, de allí que el primer acercamiento que existe a contar tiene que ver con la relación 1 a 1. La escritura de los números responde a la necesidad de contar y registrar grandes cantidades. La correspondencia de uno a uno se reflejaba en muescas en una roca o madera, en nudos en el cinturón, y aunque efectiva, las grandes cantidades no alcanzaban en pequeños espacios. Entonces comenzaron a agrupar las cantidades mediante a representación. Algunos señalan que las primeras agrupaciones eran en grupos de 5 haciendo relación a los dedos de una mano, por ejemplo. Posteriormente comenzaron a realizarse las agrupaciones en torno a las 10 unidades, las cuales al ser representadas realizaban un cambio de símbolo para señalarlo. Ejemplos de esto son los sistemas de numeración babilónicos y egipcios (ver figuras 2 y 3).. 45.

(46) Figura 2– Numeración Babilónica.. Figura 3 – Numeración Egipcia.. Si bien es cierto no hay certeza del lugar ni la fecha en que surgió el sistema numérico que utilizamos actualmente fue conocido por muchos años como numeración árabe, sin embargo los matemáticos árabes lo conocían como número hindú, dejando entonces el sistema actual como números hindú árabes. Actualmente este sistema de numeración es el más reconocido y utilizado en el mundo, y son conocidos como números naturales, los que van del 1 al 9. La característica principal que diferencia nuestro sistema actual de otros es el Valor Posicional. Dicho de otra forma es que el número toma el valor del lugar que se le asigna, lo mencionado se describe en la tabla 1. Por ejemplo, si tenemos un número como 154.759, en una tabla de valor posicional se vería así:. 46.

(47) Tabla 3. Valor Posicional. m. m. m. 1. Leyenda Cm: Centena de Mil Dm: Decena de Mil Um: Unidad de Mil C: Centena D: Decena U: Unidad. Según lo presentado en esta tabla, entonces, el valor que toma el número va a depender de la ubicación que se le asigne. En el caso del 1, su valor posicional es de la centena de mil, por eso vale 100.000. En el caso del 5 es más interesante puesto que se encuentra primero en la decena, en donde vale 50 y luego en la decena de mil donde vale 50.000. De ahí que, a pesar de representar un mismo digito, no representan el mismo valor. Adición y sustracción El concepto básico que da pie al surgimiento de la idea de la adición es la idea de unión o combinación de colecciones, más específicamente, de conjuntos para el caso de la adición, y de separación de los elementos de estas colecciones, para el caso de la sustracción. Esta idea que surge incluso antes de la educación formal se sustenta en la idea n + 1 y n – 1, cuando el niño descubre la posibilidad de resolver problemas aritméticos con ayuda de la habitual secuencia numérica, esto con el paso del tiempo es potenciado con el uso de nuevos conceptos que se relacionan con el concepto central de adición y sustracción como reunir- juntar y quitar-separar (Vidal, 2009).. 47.

(48) Llegada la etapa escolar, los mecanismos relacionados con el algoritmo de la adición y la sustracción deben realizarse de manera conjunta al trabajo realizado con los números. Cada número debe aparecer como un sistema integrado de relaciones y no como algo puramente estático. Así, conoce 5 es saber que 5 = 4 + 1, 5 = 3+2, 5= 9-4. Desde esto se señala que cada operación puede caracterizarse como la colección de todos los modelos que la representan. Modelos lineales, desde este modelo la línea numérica es lo primero a considerar. Esta es un esquema mental que integra la sucesión de términos que sirven para contar, y que a su vez expresan el cardinal. Del mismo modo existen diferentes modelos físicos como plantillas, reglas, líneas numéricas. Otra forma de presentar la línea es en forma de escalera.. Figuras 4 y 5 –Representación lineal de la adición. Si bien es cierto los modelos lineales son los más comunes, y específicamente los que serán utilizados para el presente trabajo, existen otros modelos que corresponden a modelos cardinales, modelos funcionales y modelos con medidas.. 48.

(49) Mapa Conceptual. Figura 6: Mapa conceptual de Situaciones Aditivas. 49.

(50) 2.4.2. Análisis de Contenido Para comenzar analizando el contenido relativo es necesario comprender que la vida común a la que nuestros estudiantes se enfrentan se encuentra profundamente matematizada, más allá del sistema escolar tradicional, la forma en que interactúan con su contexto personal se encuentra ligado a las matemáticas. El acto de comprar o vender, de jugar fútbol, de distribuir los lápices, los dulces, los juguetes, de salir en familia, incluso al momento de leer un libro o una actividad, de algún modo todo se encuentra relacionado a las matemáticas. Es por ello que pensar en las situaciones aditivas que se encuentran presentes en la vida cotidiana no debería resultar en un problema para el docente, pero sí lo es el hecho de comprender que nuestros estudiantes no están acostumbrados a buscar la matemática en su contexto diario. En base a esto es que se ha desarrollado lo que se conoce en España los Problemas Aritméticos Verbales Elementales (PAEV), los cuales pueden ser resueltos por medio de una adición o sustracción. Estos problemas nos permiten diseñar situaciones didácticas que abran la posibilidad de presentarse en diferentes representaciones, de tal modo que puedan ser cercanos a nuestros estudiantes. Desde el modelo COPISI (concreto-pictórico-Simbólico), podemos orientar a nuestros estudiantes a la construcción del conocimiento partiendo desde lo concreto, de tal modo que se puedan establecer análisis analíticos que permitan la resolución de problemas desde lo práctico antes de continuar con los modelos pictóricos, los cuales permiten que el estudiante sea capaz de visualizar los problemas aritméticos, estableciendo conexiones entre el contenido y lo que es capaz de representar por medio de dibujos, para luego dar paso a la representación simbólica, que corresponde al contenido puramente abstracto que utilizamos comúnmente en matemáticas. Es necesario considerar, que para el presente proyecto se utilizará el Método Singapur, el cual establece los tres pasos antes mencionados desde una perspectiva tradicional y metódica, la cual se llevará a cabo desde la Teoría de Situaciones didácticas, propuesta por Brousseau. Para este fin los recursos disponibles en la sala de clase serán insumo suficiente, de tal modo que se puedan presentar diferentes situaciones aditivas utilizando los tres modelos de representación. Saber Erudito En el presente apartado se presentará la definición matemática de lo que se entiende por Números Naturales, para ello se presenta un extracto del libro Lecciones de Aritmética Elemental Moderna de Alamiro Robledo (Robledo, 1977, p. 41).. 50.

(51) Llamaremos Números Naturales a los elementos de un conjunto N, que denominaremos conjunto natural, no vacío algebrizado mediante dos operaciones de adición y multiplicación dadas por las reglas.. Figura 7: Definición de los números Naturales. (Robledo, 1977, p. 41). Figura 8: Axiomas de los Números Naturales (Robledo, 1977, p. 41). Para definir la adición utilizaremos la siguiente definición (Robledo, 1977, p. 42). 51.

(52) Figura 9: Definición de adición en N y su demostración.. Figura 10: Leyes que riguen la Adición en N. 52.