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1

Ejercicios de definición de derivada

Ejercicio nº 1.-

Dada la función:

  



3 1   x x f

Calcula la tasa de variación media en el intervalo [0, 1]. ¿Es creciente o decreciente la función en dicho intervalo?

Ejercicio nº 2-

 

3 enelinterv alo [ 3, 1] función

la de media v ariación de

tasa la Calcula

a)   

x x f

b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la función en dicho intervalo?

Ejercicio nº 3.-

Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:



1,0



a) 

 

1,2 b)

Ejercicio nº 4.-

Consideramos la función:

 

2 1

2 _

 x

x f

Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo.

Solución:

Ejercicio nº 5.-

Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo:

2

Ejercicio nº 6.-

  

1



en 2, aplicando ladefinición dederiv ada. función

la de deriv ada la

Halla f x  x 2 x 

Ejercicio nº 7.-

Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

 

_ 2 _1 x x f

Ejercicio nº 8.-

 

 

.

x x f ,

f' 1 siendo 2

calcula deriv ada,

de definición la

Aplicando 

Ejercicio nº 9.-

 

.

3 1 función

la para (1) deriv ada, de

definición la

utilizando

Calcula, f´ f x  x

Ejercicio nº 10.-

 

.

2 1 3 siendo

1) ( calcula

deriv ada, de

definición la

Utilizando f´  , f x  x

Ejercicio nº 11.-

 

.

3 1 función

la para calcula

deriv ada, de

definición la

Utilizando f´(x) f x  x

Ejercicio nº 12.-

 

2 ,aplicandoladefinicióndederiv ada. función

la de deriv ada la

Halla 2

x x f 

Ejercicio nº 13.-

Halla, utilizando la definición, la derivada de la función:

 

3 2x x

f 

Ejercicio nº 14.-

 

 

.

x x f ,

x

f' siendo 1

calcula deriv ada

de definición la

Aplicando 

Ejercicio nº 15.-

1. siendo

deriv ada, de

definición la

aplicando

3

Soluciones ejercicios de definición de derivada

Ejercicio nº 1.-

Dada la función:

  



3 1   x x f

Calcula la tasa de variación media en el intervalo [0, 1]. ¿Es creciente o decreciente la función en dicho intervalo?

Solución:

 

   

 

1

1 1 1

1 0 0 1

0 1 1 , 0

T.V.M.     

 

 f f

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en este intervalo.

Ejercicio nº 2-

 

3 enelinterv alo [ 3, 1] función

la de media v ariación de

tasa la Calcula

a)   

x x f

b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la función en dicho intervalo?

Solución:





   

_{ }

 

1

2 2 2

1 3 3 1

1 3 3 1

3 1 1 , 3 T.V.M.

a)    

 

      

    

 f f

b) Como la tasa de variación media es negativa, la función es decreciente en el intervalo dado.

Ejercicio nº 3.-

Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:



1,0



a) 

 

1,2 b)

Solución:





   

_{ }

 

2

1 1 1 1

1 1 1 0

1 0 0 , 1 T.V.M.

a)      

 

  

4

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en [-1,0]. (También se

puede apreciar directamente en la gráfica).

 

   

2

1 2 0 1 2

1 2 2 , 1 T.V.M.

b)   

 

f f

La función decrece en este intervalo.

Ejercicio nº 4.-

Consideramos la función:

 

2 1 2 _  x x f

Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo.

Solución:





   

1

2 2 2

2 1 2 3

2 2

1 2 3

0 2

0 2 2 , 0

T.V.M.  

            

 f f

Como la tasa de variación media es positiva, la función crece en ese intervalo.

Ejercicio nº 5.-

Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo:

 

x x x f _2 2_3 Solución:

 

   

  



3

1 3 1

1 2 1

1 2 1 2

1 2 2 1,

T.V.M.       

 

 f f

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en el intervalo [1, 2].

Ejercicio nº 6.-

  

1



en 2, aplicando ladefinición dederiv ada. función

la de deriv ada la

Halla f x  x 2 x 

Solución:

 



  













_

_

2 2 2

2 1

2 1 1

1

1 1 2 2

2 2

'

0 0

2

0 2

0 2

0

2

0 0

  

 

  

   

  

    

  

 

 



 

h lim h

h h lim

h h h lim h

h h

lim h

h lim

h h lim h

f h f lim f

h h

h h

h

5

Ejercicio nº 7.-

Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

 

x x2 1 f

Solución:

 



  











2



2

2 2

2 1 2 1

2 1 1

1 1

1 '

0

0 2

0 2

0

2

0 0

  

  

 

    

    

  



 



 

h lim

h h h lim h

h h lim h

h h lim

h h lim h

f h f lim f

h

h h

h

h h

Ejercicio nº 8.-

 

 

.

x x f ,

f' 1 siendo 2

calcula deriv ada,

de definición la

Aplicando 

Solución:

 



  

























2

1 2 1

2 1

2

1 2 1

2 2 2 1

1 2 2

2 1

2 1

1 1

'

0 0

0 0

0

0 0

         

      

  



      

 

 



 

h lim h h

h lim

h h h lim h

h h lim

h h

h lim

h h lim h

f h f lim f

h h

h h

h

h h

Ejercicio nº 9.-

 

.

3 1 función

la para (1) deriv ada, de

definición la

utilizando

Calcula, f´ f x  x

Solución:

 



  

3 1 3 1 3

0 3

1 1 1

1 1

'

0 0

0 0

 



        

 

 

h h

h h

lim h h lim

h h lim h

6

Ejercicio nº 10.-

 

. 2 1 3 siendo 1) ( calcula deriv ada, de definición la

Utilizando f´  , f x  x

Solución:

 



  

2 3 2 3 lim 2 3 lim 2 2 1 3 3 lim 2 2 2 1 3 3 lim 2 2 2 1 1 3 lim 1 1 lim 1 ' 0 0 0 0 0 0                                        h h h h h h h h h h h f h f f h h h h h h

Ejercicio nº 11.-

 

. 3 1 función la para calcula deriv ada, de definición la

Utilizando f´(x) f x  x

Solución:

 



  

3 1 3 3 3 1 1 3 1 3 1 ' 0 0 0 0 0                             h h lim h h lim h x h x lim h x h x lim h x f h x f lim x f h h h h h

Ejercicio nº 12.-

 

2 ,aplicandoladefinicióndederiv ada. función la de deriv ada la

Halla f x  x2

7

Ejercicio nº 13.-

Halla, utilizando la definición, la derivada de la función:

 

3 2x x f  Solución:

 



  





3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 ' 0 0 0 0 0                   h h lim h h lim h x h x lim h x h x lim h x f h x f lim x f h h h h h

Ejercicio nº 14.-

 

 

. x x f , x

f' siendo 1

calcula deriv ada de definición la Aplicando  Solución:

 



  

























2

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ' x h x x lim h x hx h lim h h x x h lim h h x x h x x lim h h x x h x x lim h x h x lim h x f h x f lim x f h h h h h h h                                

Ejercicio nº 15.-

1. siendo deriv ada, de definición la aplicando

Halla _ 2 _

x (x) f f´(x), Solución:

 



  











