El Principio de Mach en la Relatividad General

EPISTEMOLOGÍA E HISTORIA DE LA CIENCIA

SELECCIÓN DE TRABAJOS DE LAS XVI JORNADAS

VOLUMEN 12 (2006)

José Ahumada

Marzio Pantalone

Víctor Rodríguez

Editores

ÁREA LOGICO-EPISTEMOLÓGICA DE LA ESCUELA DE FILOSOFÍA

CENTRO DE INVESTIGACIONES DE LA FACULTAD DE FILOSOFÍA Y HUMANIDADES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA

1.-Introducción

El Principio de Mach en la Relatividad General

Olimpia Lombardt

El Prmcipio de Mach se vincula con el famoso debate filosófico relacwnalismo-absolutismo, y parece recoger el guante lanzado por Leibniz en cuanto a la interpretación relacional del espacio y del tiempo. No obstante, tdeas relacionales pueden ya reconocerse en Aristóteles, con su concepción del tiempo como medida del movimiento. Algunos autores encuentran, incluso, rastros de relacionalismo en autores modernos como Copérnico y Kepler (cfr. Barbour l995a)..

Sin embargo, el debate se instala con la controversia entre Leibniz y Newton, frecuentemente encarnada en el conocido ejemplo del balde: según Newton, las fuerzas inerciales ~centrífugas- que actúan sobre el agua en un balde en rotación manifestarían la aceleración respecto del espacio absoluto .. A fines del siglo XIX, Ernst Mach retoma el famoso ejemplo en su conocida obra The Science of Mechanícs (1883), donde sostiene que el comportamiento del agua en el balde no prueba la existencia del espacio absoluto, puesto que las mismas fuerzas centrífugas se obtendrían con la rotación del resto de las masas del universo: lo único relevante es el movimiento relativo y, por tanto, rotación del balde y rotación del resto de las masas del universo son sólo dos formas diferentes de describir el mismo fenómeno fisiCo.

Einstein admite explícitamente su adhesión a la concepctón relacional de la merci)l, a la

que pretende respetar en su formulación de la relatividad especial y en las primeras versiones de su relatividad generaL Sin embargo, a partir de 1918 su entustasmo por el Principio de Mach empíeza a ceder, iniciándose un proceso que culmina, cerca del final de sus días, en el rechazo del principio. A pesar de ello, actualmente siguen existiendo fervientes defensores del Principio de Mach, quienes consideran que la relatividad general puede y debe ser concebida como una teoría perfectamente machiana. El mejor representante de esta posición es Julian Barbour, con su propuesta de una reconstrucción pura y totalmente relacional de la teoría general de la relatividad. El propósito del presente trabajo consiste en evaluar la reconstrucción de Barbour y, con ello, reflexionar acerca de la posibilidad de interpretar la relattvidad general en términos relacionales machianos. Pero para ello es necesario comenzar por recordar las afirmaciones del propio Macha fin de eStablecer la real autoría del principio.

2.- ¿Quién es el autor del Principio de Mach?

Si bien la respuesta a esta pregunta parece trivial, no lo es tanto cuando se rastrean los textos de Mach en la búsqueda del famoso principio. las alusiones de Mach son vagas y a veces casi contradictonas y no existe una formulación clara del principio que permita establecer inequívocamente su contenido. Los pasajes relevantes de The Science of Mechanics, ponen de manifiesto que los esfuerzos argumentativos de Mach están más dirigidos a atacar las nociones

• CONICET- Umverstdad de Buenos Aires, Umverstdad Nac1onal de Qmlmes.

Epistemología e Historia de la Ciencia, Volumen 12 (2006)

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newtonianas de espacio, tiempo y movimiento absolutos que a formular un pnncipio de alcance cosmológico y metafisico. Las críticas de Mach se fundan en su supuesto acerca de la naturaleza y los objetivos de la fisica, expresado por el dictum "La física es experiencia organizada en un orden económico" (Mach 1882, p.l97). S1 la fisica debe aspirar únicamente a

suministrar descripciones económicas de la experiencia directa, las nociones newtonianas de

espacio, tiempo y movimiento absolutos son meros excesos metafisicos que resultan totalmente superfluos a la luz del legítimo objetivo de la fisica.

John Norton (1995) se pregunta explícitamente si las afrrmac10nes de Mach deben interpretarse como la exigencm de una redescripción de la fisica newtoniana que prescinda de los términos 'espacio' y 'tiempo', o como la propuesta de un nuevo mecanismo fisico para explicar las fuerzas inerciales. Según el propio Norton, es muy dificil encontrar en los escritos de Mach indicios de la defensa de un nuevo mecanismo fisico; por el contrario, sus afirmaciones parecen apuntar

a

una mera redescripción, adecuada al supuesto de la primacía de lo observable y de la necesidad de erradicar la metafisica de la fis1ca. Por lo tanto, no habría en Mach la postulación de un principio relacional respecto del espacio, el tiempo y el

movimiento.

Los historiadores de la fisica comciden en afirmar que el pnncipio fue en realidad formulado por Einstein, quien utilizó por primera vez el término 'Principio de Mach' en un artículo de 1918 sobre teoría general1 Sin embargo, en los escritos de Einstein pueden hallarse referencias previas y su formulación del principio atribuido a Mach fue variando a través de los años La primera alusión se encuentra en un artículo de 1912 (cfr. Norton 1995; Hoefer 1995), donde el principio se formula como la exigencia de que la inerc1a de una masa puntual sea el efecto de la presencia de todas las restantes masas .. Esta alusión es seguida por una nota a pie de página donde Einstein, muy poco inclinado a las referencias en sus escritos, menciona explícitamente a Mach y el segundo capítulo de su The Science of Mechamcs. Según Einstein, la teoría especial de la relatividad no cumplía aún las exigencias impuestas por el principio puesto que aún distinguía los sistemas inerciales como sistemas de referencia privilegiados; Einstem se propone, entonces, generalizar la relatividad de modo de asegurar la mexistencia de sistemas de referencia privilegiados. En este camino hacia la relatividad general, cuya formulación definitiva aparece en 1916, en 1914 Einstein asimila el Principio de Mach al principio de equivalencia entre mercia y gravedad; las fuerzas inerciales son producidas por la interacción con las otras masas del universo (cfr Hoefer 1995). A su vez, en 1918 Einstein considera el principio de equivalencia como un caso particular del reqms1to general de

covarianc1a de las ecuaciones dinámicas y, por tanto, la covariancm pasa a ser la expresión

matemática del principio de Mach2•

En el mismo artículo de 1918 Emstem tamb1én 1dentlfica el princ1p1o con la condición de que la métrica del espacio-tiempo (representada por el tensor métrico g"") se encuentre totalmente determinada por la distribución de materia-energía en dicho espacio-tiempo (representada por el tensor de energía-momento Tw) Pero el propio Einstein tenía claro desde 1916 que tal requisito no era satisfecho por sus ecuaciones de campo en la medida en que tales ecuaciones tienen solución para un espacio-tiempo vacío (Tp,=O) que corresponde al espacio· !lempo plano de Minkowski. el espacio-tiempo de Minkowski es el espacio-tiempo más

mach~ano posible, puesto que posee una estructura métrica e mercial bien definida sin masa alguna que pudiera ser considerada como aquello que determina tal estructura. I'or este motivo, Einstein comienza a evaluar la necesidad de condiciones de contorno machianas que, suplementando las ecuaciones de campo, bloquearían las soluciones no-machianas como el espacio-tiempo de Minkowski o la solución de Kerr de un universo en rotación respecto de condiciones c!e contorno minkowskianas en el infinito

Según Carl Hoefer (1995), la disminución del entusiasmo de Einstein por le. Prmcipio de Mach puede explicarse por dos motivos: por un lado, la díficultad de formular el principio de modo que la teoría general de la relatividad resultase perfectamente machiana; por otra parte, el creciente mterés de Einstein en las teorías unificadas de campo, donde se presupone una actitud realista respecto del campo métrico.

3.- Julian Barbour: la relatividad general como teoría perfectamente machiana

Durante las ultimas décadas, Julian Barbour junto a un grupo reducido de colaboradores se ha propuésto demostrar que la relatividad general es una teoría perfectamente inachiana. Pero, para ello, debe comenzar por brindar una adecuada formulación del Principio de Mach que tan elusivo se mostró a los intentos de Einstein.

Según Barbour, si bien Einstein brindó diversas formulaciOnes del principio, fue Poíncaré quien estableció un cnterio inequívoco para la mecánica no-relativista de partículas, según el cual el estado de un sistema debe venir dado por las distancias entre partículas y sus derivadas, de modo tal que el estado del sistema en un instante detennine su estado en cualquier otro estado Sobre la base de esta idea, Barbour formula dos "criterios de machianidad'

considerados como el verdadero contenido del Prmcipio de Mach (Barbour 1995b):

·Primer requisito machiano: Lá evolución dinámiCa del uriívefso

cómo

tin foi:lo debe poder ·predecirse unívocamente sobre la base de condiciones miciales puramente relativas.

Segundo requzsíto machzano; El tiempo externo no exiSte; la evolución dinámica

del universo es una secuencia de sus configuraciones relativas.

El primer requisito recoge el criterio de Poincaré. El segundo reqms1to introduce un elemento propio del relacionalismo leibniciano pero generalmente ausente en las discusiones acerca del Principio de Mach: no sólo el espacio sino también el tiempo debe ser relacional.

Barbour y sus colaboradores aplimmestqs criterios de machianidad a la reconstrucción de la mecánica clásica (Barbour y Bertotti 1982) sobre la base de la fonnulación de una

"dinámica intrínseca". En lugar de trabajar en el espacio de configuraciones habitual, definido

respecto de un cierto sistema de referencia, la idea centrai consiste en trabajar en urt "espacio de configuraciones relativas", donde cada configuración viene dada por las distancias relativas entre partículas Con ello se recoge el carácter relacional del espacio. Pero dado que el tiempo "externo" al sistema no existe, la evolución no puede defmirse como la secuencia temporal de tales configuraciones. Por lo tanto, la dinámica se recupera mediante un ordenamiento basado en el criterio de "mejor correspondencia" ("best matching''), según el cual dos configuraciones son inmediatamente adyacentes en el ordenamiento cuando su diferencia intrínseca (su "distancia" en el espacio de configuraciones) es mínima. La evolución del sistema resulta,

entonces, la secuencia de configuraciones ordenadas por el cnterío de mejor correspondencia. De este modo se respeta el carácter relacional del tiempo .. Según diversos autores, la dinámica intrínseca de Barbour y Bertotti es una teoría genuinamente relacional con ciertas ventajas sobre la teoría newtomana (cfr Pooley y Brown 2002).

El paso siguiente de Barbour consiste en aplicar la misma estrategia de reconstrucción a la relatividad general. En este caso, cada configuración viene dada por una variedad diferencial tridimensional L dotada de una métrica hij (i, }=1, 2, 3). Pero desde una perspectiva relacionalísta deben identificarse todas las variedades que sólo difieren en el modo en la métrica hü se "ubica" sobre L (cfr Pooley 2002). De este modo se obtienen las configuraciones intrínsecas o relativas y se construye el espacio de configuraciones relativas correspondiente a la relatividad general. A partir de aquí, la estrategia es similar a la utilizada en el caso clásico; la historia del universo se reconstruye como la evolución de las geometrías tridimensionales sobre la base de una dinámica intrínseca basada en el criterio de mejor correspondencia (cfr.

Barbour !999a, b). Según Barbour (1995b), esta reconstrucción machíana de la relatividad general evita el problema de los modelos supuestamente no-machianos, en particular el problema de los espacio-tiempos carentes de materia. según el autor, incluso el espacio-tiempo aparentemente más anti-machiano, el espacio-tiempo de Minkowskl, admite ser interpretado como la evolución dinámica de geometrías tridimensionales.

4.- ¿Es la relatividad general una teoría perfectamente machiana?

Sí b1en parece existir un consenso acerca de las virtudes de la reconstrucción relacional de la mecánica clásica llevada a cabo por Barbour y Bertotti, en su aphcación a la relatividad general el programa de Barbour ha sido objetado desde diversos frentes. Por eJemplo, se ha señalado que, cuando se acepta que las entidades básicas descriptas por la teoría son las variedades tridimensionales ¿ con sus correspondientes métricas hu y que la geometría puede definirse incluso en el caso de vacío de materia, entonces la teoría se convierte en. ~na teoría relacional respecto del tiempo pero que trata al espacio desde una perspectiva sustarícialista (cfr Póoley 2002). También se señala que, mientras la relatividad general admite diferentes foliaciones del espacio-tiempo (esto es, distintas formas de definir las variedades tridimensionales) y las evoluciones defmidas por tales foliaciones son todas igualmente legítimas, en la teoría de Barbour existe una foliación privilegiada que define la historia del universo (cfr Kuchat 1995) Sm embargo, existe un argumento mucho más básico para objetar el programa de Barbour como reconstrucción machiana de la relatividad generaL tal argumento se refiere a la posibilidad de foliación del espacio-tiempo.

Como es bien sabido, la relatividad general reemplaza la concepción de 'espacio a través del tiempo' por el concepto de espacio-tiempo donde el tiempo se convierte en una dimensión de una variedad cuatridímenswnal que se curva a gran escala como consecuencia de la presencia de masas Por lo tanto, muchas topologías diferentes son consistentes con las ecuaciones de campo. En particular, el espaciO-tiempo puede curvarse a lo largo de la dimens1ón espacial de modo tal que sus secciones espaciales se conviertan en análogos tridimensionales de una cinta de Moebms, en términos técnicos, se dice que el espacio-tiempo es no temporalmente orientable Un espacio-tiempo es temporalmente orientable Sl puede

definirse sobre él un campo vectorial tipo-tiempo (timelike) respecto de su métrica. Esta definición implica que, en un espacio-tiempo no temporalmente orientable, es posible convertir un vector tipo-tiempo que apunta hacia el futuro en un vector tipo-tiempo que apunta hacia el pasado a través de una transformación continua; por lo tanto, la distinción entre semiconos pasados y futuros no puede establecerse a nivel global (cfr. Castagmno y Lombardi 2004a,b).

Pero aún si el espacio-tiempo es temporalmente orientable, puede poseer características tales que impiden particionar el conjunto de todos los eventos en clases de equivalencia tales que. (í) cada una de las clases sea una h1persuperficie tipo-espacio (space/ike), y (ii) las hipersuperficies puedan ser ordenadas temporalmente. Esto sucede cuando existen curvas temporales cerradas o, incluso sin ellas, cuando es imposible detinir una función que asigne a cada evento un número, que representa el tiempo del evento, tal que el número asignado a e1 sea inferior al asignado a e₂ cuando existe una señal causal propagable de e1 a e2• En tales

ca>v>, .uu ~xiste. una par!ición glqbal en. hipersuperfi.cie.s e$paciales, cad.a. una

M

las .cuales contiene todos los eventos simultáneos entre sí (cfr. Sklar 1974). Es posible definir una jerarquía de condiciones que, aplicadas a un espacio-tiempo temporalmente orientable, evitan estas situaciones "anómalas". En particular, un espacio-tiempo (M, g), donde M es una variedad cuatridimensional diferenciable y g es su métrica, posee unafonción tiempo global si existe una función t: M~ cuyo gradiente es tipo-tiempo en todo punto de M (cfY Hawking y Ellis, 1973). Esto significa que existe una función cuyo valor aumenta en el mismo sentido a lo largo de cualquier curva temporal; la existencia de tal función garantiza que el espacio-tiempo es particionable en hipersuperficies de simultaneidad (t~const.) que definen una foliación

(cfr

Schutz, 1980).

Resulta claro que la existencia de tiempo global y, por tanto, la posibilidad de foliación Impone re-strícGiones topológicas significativas al espacio-tiempo En easos completamente generales no es posible definir un tiempo global en términos del cual la historia del universo como un todo puede concebirse como la secuencm temporal de sus estados instantáneos Pero ésta es precisamente la situación que surge de la reconstrucción relacional de Barbour: al partir de vanedades tridimensionales E, Barbour presupone desde el comienzo la existencia de un tiempo global, es decir, la folíabilidad del espacio-tiempo en hipersuperficíes tipo-espacio cuya secuencia define la historia del universo. En otras palabras, la propuesta de Barbour brinda una reconstrucción relacional del tiempo de la tlsica clásica, concebido como el parámetro de

evoludóu Ue los sistema::; físk:os, pero !!Q del tíempu-dirmmsión de la relatividad generat Y

e~ta cuestión no es menor cuando :se l,;OU!:Iid~,:a que lal vez d Inayur obstáculo pa1a lograr la

unifkadón entre relatividad general y mecánka cuántíca_y formula! asi una gravedad cuántica

consistente resida en la diferencia en el concepto de tiempo utilizado en ambas teorías (cfr lsham 1992, 1999).

Al describir el espacio-tiempo que respondería al Principio de Mach, diversos autores

asumen implícitamente sa h'1H:;hiH_dad Por ejemplo, Earm:m (10~9) define el P.tpacio-Jh:mpo machiano como una variedad cuatridimensional diferenciable que puede particíonarse en una

familia de hipersuperficies tridimensionales de s_imultaneidad~ tal defmición, aplicada al caso

de la relatividad general, conduce a un espacio-tiempo foliable. Por su parte, lsenberg (1995) se refiere al Prmcipio WEM (Wheeler-Eínstem-Mach) como un principio que sólo puede

J72-satisfacerse en un espacio-tiempo descnptíble como una variedad M4~~'xlt cuya estructura es

establemente causal; pero dado que la condición de estabilidad causal es eqwvalente a la condición de existencia de tiempo global (cfr. Hawking y Ellis 1973), el requisito impuesto por lsenberg equivale nuevamente a la foliabilidad del espacio-tiempo.

La necesidad de foliabilidad no suele ser discutida como limitación del programa de

Barbour (una excepción es Butterfield 2001 ). Sin embargo, esta cuestión conceptual resulta

central cuando el problema consiste en evaluar la posibilidad de reconstruir la relatividad general como una teoría completamente machiana. El supuesto de foliabilidad del espacio-tiempo adoptado por Barbour en su propuesta pone de manifiesto que su teoría posee menos modelos que la re-latividad general y, por tanto, no puede ser considerada como una efectiva

reconstrucción de la teoría de Einstem: la teoría general de la relatividad sigue mostrándose

esquiva a la interpretación totalmente machiana que pretende Barbour. ·

5.~ Conclusiones

Si la teoría de Barbour no puede ser considerada como una adecuada reconstrucción de la relatividad general, se impone la pregunta epistemológica general acerca de las motivaciones del autor. Si su meta es demostrar que la relatividad general es una teoría perfectamente ma~hiana, tal como se infiere de muchos de sus escritos, parece claro que no ha conseguido cumplir su objetivo, puesto que su teoría sólo recoge un subconjunto de los modelos de la teoría einsteniana. Si su interés es brindar una teoría de la gravedad adecuada para el desarrollo de la gravedad cuántica, sus esfuerzos resultan injustificados en la medida en que ya desde hace tiempo existen diversos enfoques teóricos para ello (ADM, geometrodinámica, etc}.

:Sin embargo, la motivación central de Barbour podria no fundarse en cuestiones técnicas de la fisica sino tener raíces filosóficas basadas en una pos1ción metafisica profundamente rdacionalista .. Por supuesto, tal motivación no disminuye la relevan¡:ia de su propuesta, por el contrano, el intento de reformular la tisica fundamental en ténninos puramente relacionales resulta un esfuerzo valioso desde el punto de vista filosófico. Sin embargo, si esta. tuera su verdadera motivación, Barbour debería admitír que su programa apunta al reemplazo de la

tcoria general de la relatividad de Einstein por una nueva teoría consistente con el espíritu

ruachiano, pero ésta es una postura tan fuerte que muy pocos están dispuestos a adoptar.

NotalJ

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Ames de la formulación de la relatividad general el llamado ·rrincipio de Mach·· fue considerado como una idea 1mng:mal. l.'ll general rechazada por qulcncs s.c convertirían en Jos mas tCrvtcntcs JctCnsorcs de las tcorias de l:::.instcm. Con excepcion de unos pocos fis-¡-cos·tom'o lmmanuel y t3ened!ct Friedlaender y August roppl. la comunidad científica

~ Utu.s'!ró muy poco interesada en un principio no testeable por vía empinca. Por otra parte. en la comunidad tilosofica

el princ1p1o no parece haber Sido un toco de debate Incluso los m1embros del Circulo de Viena. para quienes Mach constituía una inspiración intelectual, no recibieron con enrusia<>mo la<> ideas sugeridas por el principio. Por ejemplo .. Phihpp frank. defensor de fa rclattV!dad emstcruana. rccha7.aba fa propuesta de un nuevo mecamsmo fist<::O para

explh.:ar la int!n.:.ia que d cn::fa t!m.:onmtr t:n los trabcijos de Mm.:h A su vez. Moritz S~.:hlick criti-.:aba t!Xplkimmente a

Mae:h por 1gnorar la dtlerl!ncia entre cuestiones cinemáticas y dmámicas. y consideraba que la propuesta de Mach se

habia convertido en un ejercicio de fisica a priori contradiciendo las enseñanzas centrales del propio autor (cfr Norton 1995 ).

3?3-2 _{Hoy resulta claro que este razonamiento confunde sistemas de referencia con sistemas de coordenadas, y que el}

requisitO puramente formal de covariancia general no se relaciona con el princ¡pio de equivalencia (cfr Norton 1993).

Bibliografla

Batbour,J. (l995a), "Mach before Mach", en J Barboury H Pfister (eds.) (1995).

Barbour, J (l995b), "General Relativity as a Perfectly Machian Theory", en J .. Barbour y H. Pfister (eds,), (1995) Barbour, J (1999a), "The Development ofMachian Themes in the Twentieth Century", en J Buttertield (ed.) (1999). Barbour, J (1999b), The End ofTime. The Next Revolution in Our Understanding ofthe Untverse, Weidenfeld &

Nichotson, Londres.

Barbour, J y Bertotti, B. (eds ) (1982), "Mach 's Prmc1ple and the Structure of Dynarntcal Tbeones", Proceedings of

the Royal Society of London, Series A, 382, 295-306

Barbour, J y Pfister, H. ( eds.) ( 1995), Mach 's Principie. From Newton 's Bucket to Quantum Gravtty, Einstein Studtes Vol6, The Center for Einstein Studies, Birkhauser

Butterfield; J. (ed.) (1999), The Argwnents· ofTime, Oxford Umvers1ty Press, üxford. Butterfield, J. (2001), ''The End ofTime?", LosA/amos Archive, arXiv: gr-qc'Ol03055

Castagnino, M. y Lombardt, O. (2004a), ''The Generic Nature ofthe Global and Non-Entrop1c Arrow of Time and·-the Double role Ofthe Energy-Momentum Tensor", Journal of Physics A (MathematicaJ and General), 37,

4445-4463

Castagnino, M. y Lombard1, O (2004b), "The Global Non-Entroptc Arrow of Time:_ from Global Gc;:om.;:trical Asymmetry to Local Energy Aow", Synthese, a aparecer en número a designar

Eannan, J. (1989), World Enough and Space-Time, The MIT Press, Cambridge MA.

Einstein, A. (1918), "Prinzipielles zur allgememen Relativitll.tstheorie", Anna/en der Physik, 55, 241-244 Hawkmg, S. y Ellis, G (1973), The Large Sea/eStructure ojSpace-Time, Cambridge University Press, Cambridge. Hoefer, C. (1995), "Einstein-'s Formulations ofMach's Prmciple", en J Barbour y H .. Pfister (eds.), (1995) Isenbérg, J (1995), "Wheeler-Einstein-Mach Spacetimes", en J Barbour y H. Pfister (eds.), (1995)

Isham, C. (1992), "Canonical Quantum Gravtty and the Problem ofTime", Los Alamas Archive, arXiv. gr-qc/9210011 Isham,_ C. {I99S?)_,_ "0!1-th~ E_rrt~rgen~~ ofJ'!_m~ 1q _Qu~w~ Gnwlty" en} Bqtt~rfi_eld (elf.) _(1Q99).

Kuchat, K. (1995), intervención en "General Oiscussion: What is the Machian Program?", en J Barbour y H Pfister (eds.), (1995)

Mach, E. (1882) [1943], ''The Economtcal Nature ofPhys1cal Inqmry", en PopularScientific Lectures, Sta. Edtc1ón, Open Court, Illinoís.

Mach, E. (1883) [1960], The Sctence oj Mechanics A Critica! and Historicai Account of !ts Development, 6ta. Edición, Open Court, lllinois.

Norton, J (1993), "General Covariance and the Foundatmns ofGeneral Relat!VIty", Reports on Progress in Phystcs,

56,791-858

Norton, J. (1995), ''Mach's Pnnctple before Emstem", en J Barbour y H. Pfister (eds.), (1995). Pooley, O. (2002), "Relat1onaJism Rehabilitated? U: Rel&!:ivity", Pittsburgh Phi/Sci Archive

Pooley, O. y Brown, H (2002), "Relatiomi.lisni Rehabil-itated? L Classical Mechanics", The British Journal jor the Philosophy ojScience, 53, 183-204

Schutz, B. (1980), Geometrical Methods oj Mathematical Physics, Cambndge Umverstty PresS, Cambndge Sklar, L. (1974), Space, Time andSpacetime, University ofCalifomiaPress,,Berkeley