En los ejercicios 1 a 3, encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x1, y1). Elabore una tabla de valores de x, y, m en el intervalo [a, b], e incluya en ella todos los puntos donde la gráfica tiene una pendiente horizontal. Trace la gráfica y muestre un segmento de la tangente en cada uno de los puntos localizados.
En los ejercicios 4 a 6, determine la pendiente de la tangente a la gráfica de la función f en el punto (x1, f(x1)). Elabore una tabla de valores de x, f(x), m en diversos puntos de la gráfica e incluya en dicha tabla todos los puntos donde la gráfica tiene un tangente horizontal. Trace la gráfica de la función.
En los ejercicios 7 a 11, obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal de la curva en el punto indicado. Trace una gráfica de la curva junto con la tangente y la normal
x y m
-3 0 6
-2 5 4
-1 8 2
0 9 0
1 8 -2
2 5 -4
x y m
1 4 -4
2 1 -2
3 0 0
4 1 2
x y m
-2 -7 12
-1 0 3
0 1 0
1 2 3
x y m -5 0 3 4 3 2 1 0 -0.167 -0.25 -0.5 No existe
x y m
III.-Diferenciabilidad y continuidad geométrica (7P) 26-32
En los ejercicios 1 a 7, haga lo siguiente: (a) trace la gráfica de la función; (b) determine si f es continua en el
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
VIII.-La Derivada como variación relativa (t) (6P) 53-58
En los ejercicios 1 a 3, una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación
En los ejercicios 4 y 5, una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la
ecuación indicada, donde s centímetros es la distancia dirigida de la partícula desde un punto O a los t segundos. El sentido positivo es a la derecha. Determine los intervalos de tiempo cuando la partícula se desplaza a la derecha y cuando lo hace a la izquierda. También determine cuándo la partícula cambia de sentido. Muestre el
t s v
-5 -1 36
-4 24 15
-3 31 0
-2 26 -9
-1 15 -12
0 4 -9
1 -1 0
2 6 15
t s v
-9 -0.1 -0.009
-3 -0.17
0
-1 -0.1 0.08
0 0 0.1
1 0.1 0.08
3 0.17 0
9 0.1
-0.009
IX.-Máximos y mínimos de una función (4P) 59-62
En los ejercicios 1 a 3, obtenga los números críticos de la función dada. En el ejercicio 4 halle los extremos absolutos de la función en el intervalo que se da, y calcule los valores de f (x) en los cuales ocurren los extremos absolutos. Trace la gráfica de la función en el intervalo.
8. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula:
R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:
f
f ´ + 200 -
se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local
b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.
c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros
Solución gráfica
9. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)=
40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.
Solución
Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.
V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0
Simplificando t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.
Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).
Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40
V(0)=40
V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47
V(6)=216-324+90+40=22
La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.
Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15
0 1 5 6
V’ + 0 - 0 +
Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5)
Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.
10. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que
momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?
SOLUCIÓN
Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.
Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)
La derivada es:
v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex
Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero)
Estudiamos v en los alrededores de 1
v ‘ + 1 - 2
y crece decrece
Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo:
v(x)= (2-x)ex
v(0)=(2-0).1=2
v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.
LA GRÁFICA:
(No es necesaria la gráfica solo la pongo para ayudar a entender lo que se hace, vemos que pasa justo lo que hemos deducido entre 0 y 2)
11. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de
tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión
Se pide:
a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?
b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
c) Cual fue esa cantidad máxima?
Solución
Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente:
Si , su derivada es f’(t)=
numerador solo, pues el denominador siempre es positivo)
0 6 12
f ’ + -
Crece hasta el 6 y decrece desde el 6
Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues en el infinito da 0) y se tiene:
a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6
b) en t =6
c) f(6)=10/1=10
12. La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que: a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible
b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo mas grande posible
Solución
Sea x e y dichos números, se tiene x + y = 36, de donde y = 36-x
a) Definimos f(x, y)= x2+ y2, como y= 36 –x, podemos sustituir en f con lo q dependerá solo de una variable, f(x) = x2+(36-x)2, y podremos aplicar la condición necesaria de extremo para funciones derivables.
Derivando:
f’(x) = 2x-2(36-x), de donde f’(x) = 4x-72
f es continua en el intervalo [0, 36], y f(0)=f(36)=(36)2>f(18)=2.(18)2 por lo tanto en x=18 tiene el mínimo absoluto.
La gráfica es:
Observación: Otra forma de justificar que el mínimo es absoluto, es diciendo que la función f es cuadrática. Por lo tanto en la abscisa del vértice se alcanza su mínimo (a>0) que es el punto de tangente horizontal.
b) Teniendo en cuenta que y= 36 –x, tenemos h(x)= , derivando:
, h’(x)=0 , elevando al cuadrado ambos miembros y operando se llega a que x=18.
La función h está definida en el intervalo [0, 36], luego el máximo lo tendrá en 18 pues:
f(18)= , y f(0=f(36)=6 (Observa que el menor valor posible lo alcanza en 0 y 36)
la gráfica es: