Estabilidad de puentes líquidos axilsimétricos

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ESTABILIDAD DE PUENTES

LÍQUIDOS AXILSIMETRICOS

por

MARIOLA GÓMEZ LÓPEZ

Ingeniero Aeronáutico

dirigida por

IGNACIO PARRA FABIÁN

Doctor Ingeniero Aeronáutico

JOSÉ MANUEL PERALES PERALES

Doctor Ingeniero Aeronáutico

^xstó .,.

.(Qif3J..<pOH.P0E..\;

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS

Marzo, 1995

3

y i . a p ^ ^ ' ; ; ; ; ; ; ^ ; ; " - ; - - - ' !

ÍNDICE

ÍNDICE ii

AGRADECIMIENTOS iv

RESUMEN v

ABSTRACT vii

1. INTRODUCCIÓN 1

1.1 Antecedentes históricos 3

1.2 Revisión de la literatura 5

1.3 Objetivos de la Tesis Doctoral 12

2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 14

2.1 Planteamiento de las ecuaciones diferenciales adimensionales y

condiciones de contorno 14 2.2 Formas de equilibrio en ausencia de fuerzas exteriores (B = W = 0) 18

2.3 Método de obtención de los límites de estabilidad 22

2.4 Método de Lyapunov-Schmidt 25

3. ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD LINEAL PARA DISCOS

IGUALES Y GRAVEDAD NULA 28

3.1 Límite de estabilidad de mínimo volumen 29 3.2 Límite de estabilidad debido a perturbaciones no axilsimétricas 47

4. ANÁLISIS DE LA BIFURCACIÓN EN EL ENTORNO DEL LIMITE DE ESTABILIDAD DE MÍNIMO VOLUMEN PARA DISCOS

IGUALES Y GRAVEDAD NULA 72

4.1 Bifurcación para A > A¿ 83

4.1.1 Bifurcación en el caso a = 1 (v < 1) 83 4.1.2 Bifurcación en el caso a = l/cos2a (v > 1) 91

4.1.3 Límite para a = 0 (zona cilindrica, cosa = 1, A = n, v = 1) 96

4.2 Bifurcación para A < A¿ 121

5. LIMITES DE ESTABILIDAD DE MÁXIMO Y MÍNIMO VOLUMEN

PARA PUENTES LÍQUIDOS ENTRE DISCOS DESIGUALES 154

5.1 Formulación del problema 155

5.1.1 Planteamiento de las ecuaciones 155 5.1.2 Particularización al caso en el que no existen fuerzas másicas 156

5.2 Análisis de estabilidad 163 5.2.1 Descripción del método 163

5.2.2 Particularización para puentes líquidos axilsimétricos con bordes

anclados 165 5.3 Resolución numérica del problema 170

5.4 Análisis de resultados. Expresiones aproximadas 173

5.4.1 Límites generales de estabilidad 174

5.4.2 Resultados particulares 218

6. CONCLUSIONES 228

7. REFERENCIAS 233 APÉNDICE A. RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE DIFERENTES

ORDENES INVOLUCRADOS EN LA ECUACIÓN DE

BIFURCACIÓN PARA A > AA 239

A.l Problema de orden £\2 (e2) 239

A.2 Problema de orden e2 (V) 246

A.3 Problema de orden e\e% (£V) 249 A.4 Problema de orden £i3 (fi3) 252

A.5 Problema de orden £5 (W) 261 A.6 Problema de orden £i£5 (eW) 264

APÉNDICE B. RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE ORDEN £3

Y £4 EN EL CASO A < AA 269

B.l Problema de orden £3 (//) 269

B.2 Problema de orden £4 (B) 274

AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer a mis Directores de Tesis, Ignacio Parra Fabián y José Manuel

Perales Perales, el apoyo constante y la ayuda que me brindaron durante la

realización de esta Tesis Doctoral. Agradezco también la colaboración que me

prestaron todos mis compañeros de Aerodinámica.

También he de mencionar a las personas que han colaborado en la preparación de

este trabajo, Celia, Alicia, Donato y Manolo.

Mención aparte en este capítulo de agradecimientos merece Jorge, quien día a día

me ha soportado con enorme paciencia y con su amistad y colaboración

desinteresada me ha sabido infundir la fuerza necesaria para sacar adelante este

trabajo.

Por último, quiero dar las gracias a mis padres por la comprensión y el apoyo que

me han ofrecido siempre, así como a Belén, mi hermana, por la confianza y el

RESUMEN

En este trabajo se ha realizado una descripción analítica detallada de los límites de

estabilidad (tanto de máximo como de mínimo volumen) de puentes líquidos

axilsimétricos entre dos discos coaxiales y circulares, en ausencia de fuerzas

exteriores sometidos a perturbaciones arbitrarias. Se ha obtenido una

parametrización de la entrefase de las formas de equilibrio marginalmente estables,

así como expresiones analíticas de los parámetros característicos de la

configuración, en términos de variables elípticas.

Mediante el método de Lyapunov-Schmidt, se ha descrito en detalle la bifurcación a

soluciones de equilibrio en el entorno del límite de estabilidad de mínimo volumen.

Se ha obtenido analíticamente la ecuación de bifurcación en el entorno de cada

punto crítico, contemplándose el efecto de pequeñas perturbaciones axilsimétricas:

gravedad axial, desigualdad del diámetro de los discos soporte y rotación del

sistema alrededor de su eje. Se ha descrito así el comportamiento aslntótico del

límite de estabilidad de mínimo volumen para pequeños valores de estas

imperfecciones.

Por último, se ha analizado numéricamente la estabilidad de las formas de equilibrio

axilsimétricas de puentes líquidos entre discos coaxiales de diferente diámetro, en

condiciones de ingravidez. Se han calculado las regiones estables para diferentes

valores de la relación entre los radios de los discos, en función de los parámetros

adimensionales que caracterizan la longitud y el volumen del puente. Se ha

encontrado que una pequeña desigualdad en el diámetro de los discos cambia

valores críticos de los parámetros para algunos casos particulares de especial interés

en los procesos de purificación de materiales y crecimiento de monocnstales

mediante el método de la zona flotante: para valores típicos del ángulo de

crecimiento en materiales semiconductores y para volúmenes de líquido próximos al

ABSTRACT

The stability limits of axisymmetric liquid bridges (both that of máximum and that

of minimum volume) have been analytically calculated when the supports of the

liquid bridge are two circular, coaxial disks. The interface shapes have been

parametrically described and the parameters of the marginally stable shapes have

been determined in terms of elliptic variables.

By using the Lyapunov-Schmidt method the bifurcation to equilibrium shapes in a

neighbourhood of the minimum volume stability limit has been described.

The bifurcation equation has been obtained analytically cióse to the critical point,

considering the effect of small axisymmetric imperfections, namely, axial gravity,

unequal diameter supporting disks and liquid bridge isorotation.

Finally, the stability of axisymmetric liquid bridges between unequal diameter

circular coaxial disks for zero-gravity conditions has been analyzed. It has been

found that any difference between the disk diameters radically changes the

máximum volume stability limit. Some particular cases of special transcendence for

crystal growth techniques have been analyzed: volumes cióse to the unity and fixed

1. INTRODUCCIÓN

Se llama puente líquido a la configuración fluida formada por una masa de líquido

mantenida por las fuerzas de tensión superficial entre dos discos sólidos, en un

campo gravitatorio débil o nulo. Esta configuración es el tema central de análisis de

un programa de investigación que, bajo la dirección del fallecido Prof. Da Riva, se

inició en 1975 en el Laboratorio de Aerodinámica de la E.T.S.I. Aeronáuticos, con

el patrocinio hasta 1986 de la Comisión Nacional de Investigación del Espacio

(CONIE) y, desde entonces, de la Comisión Interministerial de Ciencia y

Tecnología (CICYT), y en el que se han obtenido un número considerable de logros

tanto en el aspecto teórico como en el experimental. Conviene recordar aquí los

experimentos realizados a bordo del Spacelab en las tres misiones con participación

europea de este Laboratorio espacial, la primera en 1983 (Spacelab-1), la segunda

en 1985 (Spacelab-Dl) y la tercera en 1993 (Spacelab-D2) así como los

experimentos en cohetes de sondeo del programa TEXUS (1984, 1985, 1988, 1989,

1992, 1994) relacionados con el comportamiento de puentes líquidos en

microgravedad (Martínez, 1984; Da Riva y Martínez, 1984; Martínez y Sanz, 1985;

Meseguer, Mayo, Llórente y Fernández, 1985; Martínez, 1987a; Martínez, 1987b;

Martínez y Meseguer, 1987; Martínez, Sanz, Perales y Meseguer, 1988; Perales,

Sanz y Rivas, 1990). Se han realizado también experimentos en torres de caída libre

(Drop Tower Bremen, 1992).

Se prevé seguir realizando experimentos en cohetes de sondeo y vuelos parabólicos

y, caso de realizarse, en futuras misiones del Spacelab. En la actualidad, se están

preparando un experimento relacionado con la vibración forzada de puentes líquidos

existen propuestas para realizar experimentos en cápsulas recuperables FOTÓN sobre la estabilidad de puentes líquidos no axilsimétricos. En la siguiente figura se resumen los diversos ensayos en vuelo realizados y previstos.

DT-BREMEN

fSPAÍ •MBflflfl—M

SPACELAB-D2

Caravelle

1.1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS

El interés actual de la comunidad científica internacional por el estudio de la

configuración conocida como columna o puente líquido, ha originado una extensa

serie de trabajos y publicaciones sobre el tema en los últimos quince años, sin duda

gracias al impulso producido por la puesta en servicio del laboratorio espacial

europeo Spacelab. Las posibles aplicaciones industriales sobre el tema están bien

documentadas en la literatura (Wilcox, 1984; Martínez y Eyer, 1986; Regel, 1990).

Sin embargo, el interés por el comportamiento de líquidos bajo la acción dominante

de la tensión superficial se remonta al siglo XVIII, con la utilización de torres de

caída para la fabricación de balas de plomo esféricas (Watts, 1782).

Al comienzo del siglo XIX se empezó a estudiar la forma de un menisco

axilsimétrico bajo la acción de la gravedad y de la tensión superficial. Así, los

primeros científicos que formularon este problema fueron Thomas Young en 1804,

el Marqués de Laplace en 1805 y Karl Friedrich Gauss en 1830 (véase, por ejemplo,

Huh y Scriven, 1969, o Padday, 1971).

Thomas Young se planteó el problema del comportamiento de una gota de líquido

sobre una superficie sólida horizontal. La forma de la gota viene en parte

determinada por las fuerzas de atracción entre las moléculas del líquido, que tienden

a minimizar la superficie de la misma. Young denominó línea trifásica a la curva

que delimita la superficie de contacto entre la superficie sólida y la gota, pues allí

coinciden sólido, líquido y gas. El ángulo que forma la superficie del líquido y el

que el líquido tienda a esparcirse sobre el sólido (ángulo inferior a noventa grados),

o que se contraiga en una gota sobre el sólido (ángulo mayor de noventa grados).

Los estudios sobre el comportamiento de líquidos cuando son dominantes las

fuerzas capilares se dividen en dos grandes grupos. En el primero de ellos, se

consideran las propiedades del líquido uniformes e interesa estudiar las

características mecánicas de la configuración. En el otro grupo, se estudia el

comportamiento del fluido bajo la influencia de campos de temperatura y/o de

concentración que originan la variación de alguna de las propiedades del líquido a

lo largo de la zona. La separación entre ambas clases de fenómenos se basa en la

distinta magnitud de los tiempos característicos involucrados, siendo menor en

general el tiempo asociado a los procesos mecánicos (respuesta capilar a la

oscilación o al movimiento de los soportes) que el de los térmicos (rotación de los

discos o avance de frentes de solidificación) o difusivos.

En el primer grupo, cabe mencionar los primeros estudios sobre hidrostática de

puentes líquidos realizados por Lord Rayleigh sobre el comportamiento de chorros

y por Plateau sobre el estudio experimental en condiciones de microgravedad

simulada mediante la técnica de flotabilidad neutra (Strutt, 1879).

En cuanto al segundo bloque, se debe mencionar la aportación de James Thomson

(1855), que fue el primero en estudiar la influencia de variaciones en la tensión

superficial y, sobre todo, al italiano Cario Marangoni que entre los años 1871 y

1.2. REVISIÓN DE LA LITERATURA

Dada la cantidad de publicaciones existentes relacionadas con el análisis del

comportamiento de la configuración fluida objeto de estudio, se han elaborado unas

Tablas que resumen el estado actual del conocimiento de la estática de puentes

líquidos, tanto desde el punto de vista teórico (Tabla 1.1) como experimental (Tabla

1.2). En estas Tablas no se ha realizado un análisis exhaustivo del estado del

conocimiento sobre puentes líquidos, sino que tan sólo se han recogido aquellos

trabajos que tienen una relación importante con el tema objeto de esta Tesis

Tabla 1.1

ESTÁTICA DE PUENTES LIQUIDO >S. LIMITES DE ESTÁBIL] [DAD

REFERENCIA CON. * VOLUMEN APOYOS i GRAVEDAD ROTACIÓN

Boucher y Evans 1980 A Cualquiera Discos iguales Nula Nula

Boucher y Jones 1988 A Cualquiera Discos iguales Nula Nula

Brown y Scriven 1980 A Cualquiera Discos iguales Nula Cualquiera

Coriell, Hardy y Cordes 1977 A Cualquiera Discos iguales Cualquiera Nula

Da Riva 1981 A Cilindrico Discos iguales Nula Cualquiera

Da Riva y Martínez 1979 A Cualquiera Discos desiguales Nula Nula

Erle, Gillette y Dyson 1970 A Catenoidal Discos iguales Nula Nula

Gillette y Dyson 1971 A Cualquiera Discos iguales Nula Nula

Haynes 1970 A Cilindrico Discos iguales Nula Nula

Heywang 1956 B Cualquiera Discos desiguales Axial Nula

Langbein 1992 A Cualquiera Planos paralelos Axial Nula

Martínez 1976 A Cualquiera Bordes no anclados Nula Nula

Martínez 1978a A Cualquiera Bordes no anclados Nula Nula A Cualquiera Discos iguales Nula Nula

Martínez 1978b A Cualquiera Bordes no anclados Nula Nula A Cualquiera Discos iguales Nula Nula

Martínez 1983 A Cualquiera Discos no planos Nula Nula

Martínez, Haynes y 1987 A Cualquiera Discos iguales Axial Nula Langbein

(Continúa en la página siguiente)

* En esta columna se indica la geometría de la configuración fluida, de acuerdo con la clave siguiente

A: Axilsimétrica

NA: No Axilsimétrica

Tabla 1.1 (Continuación)

ESTÁTICA DE PUENTES LÍQUIDOS. LIMITES DE ESTABILIDAD

CON.* VOLUMEN APOYOS GRAVEDAD ROTACIÓN

1986 A Cualquiera Discos desiguales Nula Nula

1987 B Cualquiera Discos desiguales Axial Nula

1992 A Cualquiera Discos desiguales Axial Cualquiera REFERENCIA

Martínez y Perales

Martínez y Perales

Martínez, Perales y Gómez Meseguer Meseguer Meseguer, Sanz y Perales Perales Perales, Meseguer y Martínez 1987 1991

A Cualquiera Discos desiguales Axial pequeña Nula

A Cilindrico Discos desiguales Axial pequeña Nula

A Cualquiera Discos desiguales Axial Nula

SÍA Cilindrico Discos iguales Lateral pequeña Nula VA Cilindrico Discos iguales

desalineados

Nula Nula

A Cualquiera Discos desiguales Axial Nula

Perales, Sanz y Rivas 1990 NA Cilindrico Discos iguales

Russo y Steen

Sanz, Perales y Rivas

Slobozhanin

Slobozhanin y Perales

Ungar y Brown

Vega y Perales

1986 A Cualquiera Discos iguales

1992 NA Cilindrico Discos iguales

1982 A Cualquiera Discos iguales

1993 A Cualquiera Discos iguales

1982 1983 A Casi cilindrico A Cilindrico NA Cilindrico Discos iguales Discos iguales Discos iguales Nula Nula Nula Nula Axial Axial pequeña Excéntrica casi crítica Nula Excéntrica casi crítica Nula Nula Cualquiera

Axial pequeña Casi crítica Axial pequeña Casi crítica

En esta columna se indica la geometría de la configuración fluida, de acuerdo con la clave siguiente

A: Axilsimétrica

NA: No Axilsimétrica

Tabla 1.2

TRABAJOS EXPERIMENTALES

REFERENCIA EQUIPO* EXPERIMENTO

Bezdenejnykh y Meseguer 1991 MZ Límites de estabilidad de mínimo volumen. Rotura.

Bezdenejnykh, Meseguer y Perales

1992 MZ Influencia de la gravedad axial en los límites de estabilidad

Bisch, Lasek y Rodot

Carruthers, Gibson, Klett y Facemire

Carruthers, Gibson, Klett y Facemire

Carruthers y Grasso

1982 1975 1977 1972 PT SIV SIV PT

Modos propios y frecuencias de resonancia de gotas.

Influencia de la rotación en el limite de estabilidad.

Influencia de la rotación en el límite de estabilidad.

Influencia de la rotación en el límite de estabilidad.

Elagin, Lebedev Tsmelev

1982 PT

González, McCluskey Castellanos y Barrero

1989 PT

Martínez 1984 FPM (SL-1)

Martínez 1987a,b FPM (SL-D1)

Martínez y Meseguer 1987 FPM (SL-D1)

Martínez y Sanz 1985 LCC (T-12)

Martínez, Sanz, 1988 LCC (T-18) Perales y Meseguer

Modos propios y frecuencias de y resonancia (oscilación axial).

Influencia de un campo eléctrico en el límite de estabilidad de mínimo volumen.

Rotación. Discos iguales.

Formación del puente líquido. Vibración axial y lateral. Rotación. Discos desiguales.

Formación del puente líquido. Vibración axial y lateral. Rotación. Discos desiguales.

Formación del puente líquido. Máxima velocidad de inyección. Discos iguales.

Solidificación de un puente líquido.

(Continúa en la página siguiente)

* Las siglas en esta columna indican el equipo utilizado de acuerdo con la siguiente clave:

MZ: Microzonas PTF: Plateau Tank Facility LCC: Liquid Column Cell FPM: Fluid Physics Module DFF: Drop Freezing Facility

SkyiablV STV:

Drop Freezing Facility SkyiablV

Tabla 1.2 (Continuación)

TRABAJOS EXPERIMENTALES

REFERENCIA

Masón

Meseguer, Mayo, Llórente y Fernández

Meseguer y Sanz

Meseguer y Sanz

Meseguer, Sanz y López

Perales, Sanz y Rivas

1970 1985 1985 EQUIPO* PT PTF PTF

1985 PTF

1986 FPM (SL-Dl)

1992 LCC (T-23)

EXPERIMENTO

Límite de estabilidad de mínimo volumen.

Límite de estabilidad de mínimo volumen. Influencia de la gravedad y de la desigualdad de los discos.

Límite de estabilidad de mínimo volumen. Influencia de la gravedad. Discos iguales.

Dinámica de rotura. Discos iguales.

Dinámica de rotura. Discos iguales.

Rotación excéntrica en microgravedad. Discos iguales. Obtención de la velocidad angular de rotura

Rodot, Bisch y Lasek 1979 PT

Russo y Steen 1986 PT

Sanz 1985 PTF

Sanz y López-Díez 1989 PTF

Sanz y Martínez 1983 PTF

Sanz, Meseguer y Mayo

1987 DFF

Sanz y Perales 1989 LCC

Tagg, Cammack,

Cronquist y Wang 1980 PT

* Las siglas en esta columna indican el equipo utilizado de acuerdo ce

MZ: PTF: LCC: FPM: DFF: SIV: PT: SL-1: SL-Dl: T-12: T-18: Microzonas Plateau Tank Facility Liquid Column Cell Fluid Physics Module Drop Freezing Facility Skylab IV Plateau Tank Spacelab-1 (1983) Spacelab-Dl (1985) TEXUS-12 (1985) TEXUS-18(1988) T-23: TEXUS-23(1989)

Modos propios y frecuencias de resonancia de gotas.

Límite de estabilidad por desbordamiento.

Modos propios y frecuencias de resonancia (oscilación axial).

Modos propios y fenómenos de resonancia (oscilación lateral).

Límite de estabilidad de mínimo volumen. Gravedad nula. Discos iguales.

Solidificación de gotas milimétricas.

Formación del puente líquido. Máxima velocidad de inyección. Discos iguales.

De entre todos estos trabajos cabe destacar por su contribución relevante al estudio

y comprensión del tema objeto de esta Tesis Doctoral, entre otros, los siguientes:

La obra básica del comportamiento de líquidos en condiciones de microgravedad,

en la que se analiza exhaustivamente la estática de gran número de configuraciones

dominadas por las fuerzas capilares, debida a Myshkis, Babskii, Kopachevskii,

Slobozhanin y Tyuptsov (1987).

Se destaca también el trabajo de Martínez (1978b) en el que se presenta el análisis

de la configuración de equilibrio y su estabilidad estática de una zona líquida

flotante entre dos discos coaxiales, deduciéndose la solución exacta en ausencia de

fuerzas exteriores y la solución aproximada para zonas cilindricas sometidas a

deformaciones por exceso de volumen líquido, gravedad axial y transversal. Se

analiza también en este trabajo el efecto de la rotación sobre la estabilidad de zonas

cilindricas. De gran utilidad son las expresiones aproximadas y gráficas de variación

de los parámetros característicos de las formas de equilibrio y límites de estabilidad

de mínimo volumen de puentes líquidos axilsimétricos obtenidas por Martínez

(1983), donde se consideran soportes con forma de paraboloide, placas con bordes

libres y discos desiguales.

De entre toda la literatura existente sobre el límite de estabilidad de mínimo

volumen, cabe señalar las aportaciones de Vega y Perales (1983), Meseguer (1984a,

1984b), Martínez y Perales (1986) y Perales, Meseguer y Martínez (1991). Vega y

Perales (1983) presentan un estudio analítico de la estabilidad estática de puentes

líquidos de volumen cilindrico entre discos iguales, sometidos a rotación casi crítica

bifurcación así como las formas casi-cilíndricas bifurcadas, considerando tanto

configuraciones axilsimétricas como no axilsimétricas. Se pueden encontrar

expresiones analíticas para los límites de estabilidad de mínimo volumen de

columnas líquidas axilsimétricas esbeltas con volumen cilindrico en el trabajo de

Meseguer (1984a), donde se muestra la dependencia de los límites de estabilidad

con la longitud del puente, el nivel de microgravedad axial y la desigualdad de los

discos. Estos efectos también son abordados tanto desde el punto de vista teórico

como experimental en Perales, Meseguer y Martínez (1991). De gran utilidad son

los resultados numéricos para los parámetros característicos y el mínimo volumen

de la forma de equilibrio de puentes líquidos axilsimétricos anclados a discos

coaxiales y desiguales, en ausencia de fuerzas exteriores, presentados gráficamente

o tabulados por Martínez y Perales (1986).

Más recientemente, Martínez, Perales y Gómez (1992) presentan un estudio

multiparamétrico, utilizando métodos numéricos, de los efectos de rotación,

gravedad axial y geometría de los soportes sólidos, sobre las formas de equilibrio y

su estabilidad estática de puentes líquidos y presentan expresiones analíticas para

los correspondientes puntos de bifurcación en el diagrama de estabilidad. El efecto

de considerar pequeñas imperfecciones sobre la estabilidad de puentes líquidos

axilsimétricos marginalmente estables tanto de máximo como de mínimo volumen

se analiza exhaustivamente en Slobozhanin y Perales (1993), donde se considera

gravedad axial de diversa intensidad, y en Slobozhanin y Perales (1994), donde se

considera el puente líquido girando con velocidad uniforme alrededor de su eje. En

todos estos casos se determinan numéricamente los distintos modos posibles de

pérdida de estabilidad por perturbaciones tanto axilsimétricas como no

1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS DOCTORAL

Tras la revisión de la literatura existente hasta la fecha, se comprueba que la

mayoría de los trabajos realizados hasta el momento tratan de la estabilidad de

puentes líquidos axilsimétricos sometidos a perturbaciones axilsimétricas. En los

trabajos más recientes se ha prestado también atención a la posible pérdida de

estabilidad del puente líquido debida a perturbaciones no axilsimétricas, críticas en

una parte apreciable de los casos.

Es obvio el interés de establecer de modo preciso los límites de estabilidad para las

formas de equilibrio de puentes líquidos axilsimétricos. Con este objetivo, se han

venido desarrollando diversos métodos numéricos orientados al cálculo del límite de

estabilidad de mínimo volumen para puentes líquidos esbeltos en situaciones ideales

(sin rotación ni gravedad y para discos iguales).

El objetivo de esta Tesis es, en primer lugar, describir en detalle los límites de

estabilidad para el caso general de discos soporte de diámetro desigual y, en

particular, llenar el hueco existente en la literatura, calculando analíticamente el

límite de estabilidad de máximo volumen así como el correspondiente al mínimo

volumen (este último para zonas líquidas flotantes muy cortas ya que el

correspondiente a zonas largas ya ha sido calculado). En este caso se analizará la

posible pérdida de estabilidad tanto frente a perturbaciones axilsimétricas como a no

axilsimétricas (en trabajos previos sólo se consideraron perturbaciones

Por otra parte, y en lo que concierne al límite de estabilidad de mínimo volumen,

algunos estudios realizados más recientemente han analizado la influencia de

gravedad axial (Slobozhanin y Perales, 1993) y de isorrotación (Slobozhanin y

Perales, 1994). Sin embargo, en todos los casos se emplea una formulación que

requiere el desarrollo de métodos numéricos que presentan dificultades de

utilización cuando se consideran valores pequeños de las perturbaciones. Otros

estudios (Martínez y Perales, 1986) emplean una formulación en términos de

funciones elípticas para obtener el límite de estabilidad de mínimo volumen en

ausencia de fuerzas exteriores y, en otros casos, se usan métodos numéricos para

calcular los límites de estabilidad (Perales, Meseguer y Martínez, 1991; Martínez,

Perales y Gómez, 1992). Es difícil determinar a partir de los estudios mencionados

el comportamiento para valores pequeños de las imperfecciones (B, W y H). Se han

realizado estudios analíticos en el entorno del cilindro (Vega y Perales, 1983) pero

aun para este caso particular, el conocimiento es claramente insuficiente. Esta

carencia de datos, junto con la necesidad de estudiar el comportamiento asintótico

de los límites de estabilidad para pequeños valores de los mismos, fuerza a una

apücación de distintos métodos utilizados en la teoría de la bifurcación para su

2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

2.1. PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

ADIMENSIONALES Y CONDICIONES DE CONTORNO

En este capítulo se analizan las formas de equilibrio axilsimétricas de puentes

líquidos anclados a los bordes (que se suponen agudos) de dos discos circulares y

coaxiales, en general de diferente diámetro. Esta configuración, mostrada en la Fig.

2.1, está caracterizada por los siguientes parámetros adimensionales:

2Rn

V

KR]L

H

-^2ZA

B

R2 + R,

ApgR¿

o

o

Siendo:

L = distancia entre los dos discos, [m]. R + R

R0 = -i——L ^ ra(jj[0 medio, calculado a partir del radio del disco inferior (R¡) y el

del superior (/?2), [m].

V = volumen físico del líquido entre los discos, [m3].

Ap = diferencia entre la densidad del fluido de trabajo del puente y la del fluido

que lo rodea (que puede ser un gas, generalmente aire, u otro líquido

inmiscible con el del puente), [kg.m-3].

a s tensión superficial en la entrefase fluido de trabajo-fluido circundante,

[N.nr1].

g = aceleración de la gravedad (positiva o negativa) en dirección axial (eje z),

[m.s"2].

A = esbeltez del puente.

v = relación del volumen físico al volumen de un cilindro de altura L y radio RQ. H = medida adimensional de la desigualdad de los discos.

B = número de Bond.

W = número de Weber, que puede ser negativo si la densidad del fluido

circundante es mayor que la del puente líquido, obteniéndose así un efecto

estabilizante.

En este análisis se supone que la diferencia de densidad, Ap, y la tensión superficial

en la entrefase, a, permanecen constantes.

La forma de equilibrio del puente líquido queda definida, en el caso axilsimétrico,

gobierna esta forma se obtiene al plantear el equilibrio de la superficie exterior en

su dirección normal, lo que conduce a la ecuación de Young-Laplace, que en

términos adimensionales se escribe, en un sistema de referencia que gira a

velocidad Q,

M(F)-Bz + ^F2 + P = 0 , (2.1)

donde se ha considerado el sistema formado por el líquido y sus soportes sólidos girando alrededor de su eje con una velocidad angular uniforme Q.

En la expresión anterior

F(z) = f > ,

M(F) = curvatura media de la superficie,

P = constante adimensional que representa el salto de presiones

adimensional en z = 0,

r

_{r-Po)*o

a

siendo P0 = presión exterior (uniforme).

P = constante desconocida que determina el origen de presiones dentro

del puente líquido.

En ausencia de fuerzas másicas exteriores (gravedad, rotación) las formas de

equilibrio axilsimétricas de un puente líquido sometido únicamente a las fuerzas de

curvatura media de la superficie permanece constante

M(F) + P = 0 (2.2)

En el caso axilsimétrico objeto de estudio, el operador M(F) se puede escribir como

M(F) = —

F ( i

F / r (i+if)

s _ _ J . J L

A

( > ^ / )

2\l/2 (2.3)

siendo M(F) el doble de la curvatura media de la superficie.

Esta ecuación debe resolverse imponiendo las condiciones de contorno de anclaje

del puente a los bordes de los discos y la ecuación de conservación del volumen del

fluido. Con la nomenclatura utilizada, estas condiciones se escriben

• Condiciones de anclaje

F(±A) = ͱH , (2.4)

Conservación del volumen

3 A IJC

V = ^jdzJF

(z,d)dO ,

-A 0

que, en el caso de formas axilsimétricas, se puede escribir

v

= ^LJF

(

)dz

2.2. FORMAS DE EQUILIBRIO EN AUSENCIA DE FUERZAS

EXTERIORES (B = W = 0)

Integrando la ecuación (2.2) con la expresión de curvatura media dada por (2.3) se obtiene

t^r'i"

1

" •

<26)

y, por tanto,

(2.7)

donde se ha llamado

a = -%[(! - KP) + Vi - 2KP] ,

(2.8)

P = -^-[(1 - KP) - Vl-2/0>]

Para que ambas expresiones estén definidas debe ser KP < i . Con ello a > 0 y J3>0.

A la vista de la expresión (2.7) para Fz, para que la integral tenga sentido debe

cumplirse

Si realizamos el cambio

F = \/?sin (p + acos <p = V a \ l - s i n asin <p ,

donde

. 2

a-p

sin a = — ,

a

de (2.8) se deduce

cosa = 2K _aP 0 < a < - | ,

P =

Va (1 +cosa)

K va cosa

(1 + cosa)

De este modo

• 2

dP _ /— sin a sin (p eos (p ~d(p~ I, - 2 - 2

^ -yl-sin asín (p

Con la expresión de F dada por (2.7), se obtiene que

±oz

= Va

V

1-sin «sin (p + cosa ,

V

F = Va \ 1 - sin asín (p , n\U z = Va [F(a, <p) eos a + E(a, <p) + b] .

donde a y b son constantes con (0 < a < nll), y F(a,<p) y E(a,(p) son las integrales elípticas de primera y segunda especie.

Fte,) = j - * L _ ,

<p

E(a, q>)= \ 1 - sin2 a sin2 r\ dr¡

Con ello, la entrefase corresponde a un tramo de las curvas periódicas de Plateau, esto es, secciones meridianas de superficies de revolución de curvatura media constante: cilindros, onduloides, catenoides, nodoides y esferas. La parametrización anterior es válida para todas ellas salvo para la catenoide (Martínez, 1983; Martínez y Perales, 1986). En las expresiones anteriores a identifica la curva de Plateau (cosa es la relación de radios vientre-valle) y q> es el parámetro con el que se recorre la curva.

Se debe señalar que la anterior formulación del problema fue ya utilizada por Martínez (1978) pero se ha incluido en el presente capítulo por completitud y para mejor comprensión de lo que sigue.

Utilizando la variable u = ¥{a,(p), se tiene

Las condiciones de contorno (2.4) se escriben ahora

\ + H = 4aánul , (2.14)

A = Va [ulcosa + E(a,amul) + b] , (2.15)

l - / / = Vadnw2 , (2.16)

-A = V a [ideosa+ E(a,amii2) + b] , (2.17)

y la condición de conservación del volumen

3/2 r 2

** I sin «[dn^snujcntíj - d n t ^ s n i ^ c n i ^ ] *

+2(l + cosa)2[E(a,amM1)-E(a,amu2)]}- (2.18)

-•a-cosa = v .

Para pasar de las funciones inversas elípticas a las funciones elípticas, se debe tener

en cuenta que

u = ¥(a,(p)= \-¡= J

oVl-dX

sin a sin X

cuya inversa es q> = amw

Así snw = sin ^5 = sin(amw) ,

cnu = cos<p = cos(amu) ,

V

2.3. MÉTODO DE OBTENCIÓN DE LOS LIMITES DE ESTABILIDAD

Considérese el operador

F :XxJR->YxTR

(

r: (/,«) -»

M(f) + a,^jf

dz\ ,

V

siendo XeY espacios de Banach, definidos en la forma

X = {/ e C¡([-A,A],TR)/f(-A) = f(A) = o} ,

Y = C0d-A,Aim ,

con las normas

• EnX: Il/H = ^sup^d/ízM + l/'ízX + irCz)!} ,

• E n F : \\g\\= sup |^(z)| .

-A<z<A

Con esta formulación el problema anterior (2.2)-(2.5) se puede escribir en la forma

r(F,P) = (0,v) , (2-19)

donde las condiciones de contorno (2.4) se han incluido en la definición del espacio

funcional X.

La derivada de Frechet de este operador en un punto ( F . P ) e X x l R se puede

T'(F,P){f,a) = M'{F)f + a,\^Ffdz\ , (f,a)eXxJR

siendo

M\F)f = fu WtF„

7*/-, ^ 2 \ 3 / 2 T T 2 \ 5 / 2

(i+fr w+nr (

i+

í)

/ , +

/ z _ _7T2\l/2

F2( l + Fz2)

H

f _

[(i

+

F

z

f

2

jV(i

+

F

z2

)

-(2.20)

El límite de estabilidad vendrá determinado por aquellas soluciones del problema

(2.19) en cuyo entorno una pequeña variación de los parámetros característicos del

problema suponen un cambio en el carácter de estabilidad de la solución de

equilibrio.

Una condición necesaria para que haya bifurcación en el entorno de una solución de

equilibrio, esto es para que haya más de una solución del problema linealizado

obtenido a partir de (2.19), es que no se cumpla en él el Teorema de la Función

Implícita. Así, el operador derivada de Frechet en dicho punto no debe ser biyectivo

(no inyectivo ó no sobreyectivo ó ambas cosas). En este caso, ambas condiciones

son equivalentes y se cumple, además, que la dimensión del núcleo del operador es

siempre igual a la codimensión de la imagen del operador.

Supuesta la solución en la forma

F=F+f ,

buscamos vectores del núcleo de la derivada del operador (f,q)eN {T '(F,P)).

Esto es, buscamos aquellos vectores (f,q) e C0([-A,A],JR)xTR tales que:

r'(F,P)(f,q) = (0,0).

Este operador lineal es autoadjunto en el espacio vectorial euclídeo

(C0([-yl,y\],IR) x IR,<,>), donde el producto escalar se define como

A

<(f,a),(h,b)>=±JFfhdz + ab , (F>0)

-A

2.4. MÉTODO DE LYAPUNOV-SCHMIDT

Una vez conocidos los posibles puntos de bifurcación, este método permite conocer

cómo es la solución bifurcada en el entorno de dichos puntos (ver Chow y Hale,

1982; y Vainberg y Tregonin, 1974).

En los posibles puntos de bifurcación se ha visto que el operador lineal T '(F,P)

no es biyectivo, esto es

JV [r '(F,P))*{(0,0)} ó im(r '(F,P))*YXTR ,

o ambas cosas (como ocurre en el caso que nos ocupa). Así, existen ciertos

subespacios de Banach U czXxJR ,V cYxM tales que

N (r ,(F,P))@U = XxJR ,

lm(r'(F,P))®V = Yx1R .

Al ser P'autoadjunto en (X,<,>), para los casos analizados en esta tesis puede

tomarse

N(r\F,P))=V ,

y, por tanto, dim(;7V [r '(F,P))) = codim(lm(r '(F,P))) = 1 ,

aunque para alguna combinación de parámetros este último valor puede ser mayor.

Así, una vez determinados los (f,q)<=N(f'(F,P~)), todo (F,P)eXxJR se

(F,P) = (F,P) + e(f,q) + (u,r) , (u,r)eU ,

y todo (g, a) € Y x IR se puede escribir de forma única como

{g,a)=Y(f,q) + (K,c) , (K, c) e Im(F \F,P)) .

El problema original (2.2)-(2.5), se puede expresar en la forma

G(F,P,V) = r (F,P)-(0,v) = (0,0) , (2.21)

con

v=v+V ,

siendo el parámetro V la diferencia de volumen respecto al correspondiente al

puente líquido neutralmente estable, dado por ( F , /,) e X x I R solución de

G(F,P,0) = (0,0).

Se considera ahora la nueva ecuación vectorial

(p{e,u,r,V,Y) = G(F+sf + u,P + eq + r,v)+y/(f,q) =

= r(F + ef + u,P+eq + r,v)-(0,v/2 + V)+Y(f,q) = (0,0) ,

(2.22)

que coincide con la del problema original (2.21) si y sólo si y/= 0.

Esta ecuación define de forma única en el entorno de («,r) = (0,0); e = y = V - 0,

unas funciones

(u,r) = (u(e,V),r(e,V)) ,

(2.23)

como asegura el Teorema de la Función Implícita, pues

#0,0,0,0,0) = (0,0) ,

y el operador <p(u ^0,0,0,0,0) es el operador lineal

((Ü,r)-¥)^r'(F,P)(ü,r)+xír(f,q) ,

que es biyectivo por ser

3. ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD LINEAL PARA DISCOS

IGUALES Y GRAVEDAD NULA

Como se vio en el apartado 2.3, el límite de estabilidad viene determinado por aquellas soluciones de equilibrio del problema (2.19) en cuyo entorno puede presentarse una bifurcación. Ya se explicó que el primer paso para realizar este análisis es encontrar las autofunciones (/,<?) e N {T '(F,P)), esto es, el núcleo del operador lineal derivada de Frechet particularizada en ( F , F ) G X X I R . De este modo se debe resolver el problema

M\F)f + q = 0 , (3.1)

A

JFfdz = 0 . (3.2)

-A

Con /tal que cumpla la condiciones de contorno (en el caso H = 0)

3.1. LIMITE DE ESTABILIDAD DE MÍNIMO VOLUMEN

Con la formulación utilizada en el apartado 2.2 (ver (2.9) a (2.11)) estas inestabilidades aparecerán para 0 < a < TC/2. El problema derivado en torno a

cualquiera de las soluciones de equilibrio, dadas por las expresiones (2.12) a (2.18)

del problema (2.19), estaría dado por el sistema (3.1), (3.2) y (3.3), del que se

necesita conocer la solución.

Obsérvese que Fz, siendo F una solución de equilibrio cualquiera, cumple la

ecuación (3.1) con q = 0 dado que

f

M'(F)F =-i--¿-11 Kr} z F dz

FF..

(i+í)

H

-V ( 1+F / ) 2\!/2

J F2( l+F * )

2\!/2

FF

1 z zz

= -

L-.

F „/, . ^2V>/2 ^2/-, . „2\V2

F7 F7

p z_ z

F F

- P + - 1

V F ( I + FZ2)

J

2\l/2 = 0 ,

como era lógico pues

M(F) = -/>=> -jj¿[M(F)} = M\F)FZ = 0

tó(*).*) = ft.o) •

Otra solución, linealmente independiente de la anterior, del problema (3.1) con

q = 0 se puede obtener por el "Método de variación de las constantes". Suponemos:

f2(z) = Q(z)f1(z) = Q(z)Fz .

Con Q{z) tal que Q(z) = g(z) + h(z), donde g{z)Fz es una solución de la ecuación

homogénea (q = 0) y h(z)Fz es solución particular de la ecuación completa. Esto es

posible hacerlo de esta forma gracias a la linealidad de la ecuación.

Obtención de g(z)

WWJi-M

F dz

L(

1+

>?)'

2\3/2 8Fzz +

F>(l + F*f

LA

F dz

FF„

<1

J?)

F F + 12 o" + o' -22 +

/ 2 \ 3 / 2 * ^¿> / 2\3/2 ^

(l + Fz2) (l + Fz2)

F f

dz

FF„

( i + í r j

F

(

,+f

?)

2\l/2 = 0 ,

(7

como el factor que multiplica a ^ esM'(F)Fz = 0, se obtiene que

0 = £" + £'

I 2\3/2

(1 + F« ) d

FF. dz FF.

y si g' # O

o =

i #

/ 2\3'2

g' dz FFZ dz FF,

I 2\3'2 Fz dz '

cuya solución es

lng' = I n A - l n

( \ FF7

— I F

(i+i?)

(l

F¡)

FF'

De esta última expresión, con A = 1:

dF dz F,

/ 2 \3 / 2

K)

FF?

±8F

(F

-P\«-F*j

y con el cambio F = p sin <p + a eos <p, resulta

dg_

^ " P 3s i n4^3 / 2

-yl-sin asín 9

2 2

P~ sin aaf' sin <pcos (p

o, usando variables elípticas,

dg__

du l p 3c; 4 „3/2

1 dn u

• -T ->/^- 2 2

F sin a a y sn u en w

I* dn u ¿u _ f dnu ¿(snu\ = ánu

J s n2u c n2u J s n2u l c n" ' snucnu

(

-sin alsn «en u - 2 s n u c n u d n u sni

cnu sn u 4 - d n M + usin2a + 2

snu cnu

fdn_i£

:

J sn u

= dnu +Msin2fl + 2 f d n u d f ^n^ ) =

snu cnu J \ snu /

= ^M^ + u ú n \ + 2\-dnucnu+¡^(-Sm2a)snucnudul snucnu ]_ snu J snu\ / J

_ _ _ d n w _ (1_ 2c n M) + M Sin a- 2 s i n a ( l - s n u]du

snu cnu \ / J \ /

y dn2u = 1 - sin2a sn2u, se obtiene

J

2 2

sn u en u

du =__dnu_ ( i _ 2 c n2u ) + ísin2a + 2cos2íz)u-2E(a,amu) + cortíí ,

snucnu V / V /

y podemos tomar

8(u)= _{D3 • 4 3/2} P sm aa J

dnuísn u - c n u)

snucnu +íl+cos a)u-2E(a,amu) (3.6)

Obtención de una solución particular de M'(F) + q = 0.

Buscando soluciones de la forma

f = h(z)Fz ,

c^r

H

( I ^ T J (•+'?)

Probando con /i' = £(z)g' (siendo g' la obtenida como solución de la homogénea)

-q = k'g' _{I 9X3/2 ' " " I * / o\3/2} + k\g

(l + F2) [ (l + F2)

+ g

XA

FF.

wr (i^r.

y al ser el factor que multiplica a k,M'(F)g = 0, se obtiene

k'8'~ ^ v i =-q=>k' = -qFFz => k{z) = - ^

(l

Por tanto

dh = ¡.dg= Qr\l + Fz) dz dz 2 p2

2\3/2

dh = *l Ú =>

^ P

[(

2-p)(

-

if

(

_ _ = 1-sin asm 9)

d(P P3 sin4 a a3 / 2 sin2<pcos2<p

rf/t _ 4<?«

d" P3 sin4 a a3 / 2 sn2w en2 u

dn M

Como

fdn!ü¿M=f dn2^ ^ _ f ^=d n u s ni i + u_E ( a > a m M ) ^

J e n « J sn u en u J sn u c n M

í

- 8

2 2

sn «en w

P sin a

se obtiene

h(u) = 4qa

,P3 sin2 acc3'2 i c n"

snw dnw

+ ¡í-E(a,am«)

-(f><«)

Llamando

h(u)=h(u) + ^-g(u) (3.7)

la solución general de la ecuación (3.1) viene dada por

f = [A + Bg + h]Fz , (3.8)

con Ay B constantes, g(u) dada por la expresión (3.6), h (u) dada por (3.7) y

. 2

_ . . sin a sn u cn u

Fz(u) = 2

dn u + cosa

Se ha encontrado la solución general de la ecuación (3.1). Sin embargo las

autofunciones (f,q)eN (f '(F,P)) deben de cumplir también la ecuación (3.2) y

la condición (3.3), esto es

La solución (3.8) se puede poner como

f{z(u)) = A—i +

B-dn u + cosa

2

dnw(2sn w - l l + snu cnw íl + cos a « - 2 E ( a , a m « )

dn u + cosa dnwsn íí + sn«cn¡í[«-E(a,am«)]

dn u + cosa

/-> - 4 «

con (J = 3 212 a '

P a

la cual debe cumplir las condiciones (ver (3.2)-(3.3))

f(A) = f{z{ul)) = 0 ,

f(-A) = f{z{u2)) = 0 ,

A «1

JFfdz= JF{z(u))f{z(u))^du = 0 ,

—A «2

que conducen al sistema homogéneo:

(3.9)

(3.10)

í«ll «12 «13 "i

Í

1

rtn

l^l

1(2 J

loj

(3.11)

Los coeficientes de este sistema son

au = sntíjcnuj

¿¿21 = sni^cni^ ,

ai2 = dnw(Í2sn w¿-lj + sni^cnw, (1 + cos a)ui—2E(a,amui)\ ,

a¡3 = dn u¿ sn u¡ + sn u¡ en u¡[u¿ - E(a, am u¡)] ,

i = l,2

2 (1 + cos a)

a32 = Mic o s a ~ o E(a, amMj J + dn ^

11 +eos a) E ^ a m i ^ ) - - = -ux

. 2 2 (1 + COS fl)c/ x

- s i n a d n ^ s n u j c n i í j - c o s aM2 + - 5 - E ^ a m i ^ j

-- d n u2

íl + cos a

E ( a , a m « 2 ) - - ~ '-Ui - s i n a d n j ^ s n i ^ c n i ^ ,

a33 = 9 lc o s oWi_(l_2sin ajE(a,amw1) + dn u j E ^ a m ^ ) ^ ]

--sin adniíjsnwjCnMj-i^cos a + í l - 2 s i n

ajE(a,amí¿2)-- d n M2[E(a'arnM2)-M2] + sin a d n i ^ s n i ^ c n ^ } >

que, con las relaciones (2.15), (2.17) y (2.18), se pueden expresar como

032 = 4(1 + cosa)2[E(a,am «j) - E(a,am «2)] +

+dn u.

-dn i^

íl + cos a)

E(a,amul)-- x u^

íl + cos a\

E(a,amii2) - ~ -u^ 3vÁ

a 3/2

_ 3

033 = •^(l + cosa)[E(a,am«1)-E(a,amu2)] +

+4-dn u1[E(a,amw1)-M1]-^-dn ^ [ E ^ a m i ^ ) - ^ ] — 3/2 '

d n « j = dnw2 ,

y el sistema (3.11) equivale a

bn hi ^ _(A)

í°l

hx

1(2 J

loj

con

bn = sniíjcnwj - s n ^ c n i ^ ,

b21 = snulcnu1+snu2cnu2 ,

b,

--Ü-(3.12)

bu = au ~ <hi • b2i = au+a2i > b3¡ = a3i . i = 1.2.3

Por tanto los coeficientes del sistema (3.12) se reducen a

b12 = snMjenWj (1 + cos ajuj —2E(a,amul) —

- s n t ^ en¿¿2 íl + cos a W -2E(a,am«2) ,

¿?22 = 2dnwJ2sn u^ - 1 ] + sn Wj en Wj [íl + cos aW -2E(a,amw1

)J-+sn«2cni/2f(l + cos a W - 2 E ( a , a m w 2 ) j ,

¿>52 - 4 (1 + cosa) ^(a.amMi) —E(a,amií2)] +

+ d n U\

-dn «2

íl + cos aj

E ( a , a m «1) - ^ ~ - i ^

íl + cos a

bn =snw1cnu1[íí1-E(a,amM1)]-sni¿2cní/2[«2-E(a,amí^2)] ,

£>23=2dnw1sn ul+snulcnul[ul-E(a,amul)]+snu2cnu2[u2—Ji(a,amu2)] ,

¿>33 = 4 ( l + cosfl)[E(a,ami^) —

E(<3,am«2)]4-+ y d n MjfE^amwJ-MjJ-^-dn ^[Efaami^) -1*2]— yi •

2aJ

Como H = 0 y dn u, = dn i¿, = -4= , se tienen dos posibilidades: v a

u\ +u2 ~ 2wK(a) ( n e Z ) ,

Mi """2 = 2« K(a) ( n e 2 ) ,

con

71/2

K<

a

)

= J //

z

o\l-sin a s m 9

En el primer caso ul + u2 - 2nK(a). Con ello (ver Abramovitz y Stegun, 1965)

sn(w! + «2) = 0 lo que implica

snw.cnw, = - s n « 9 c n í ^ = — i — , / ( I - — ) — - e o s a)r-^r

Además, E(a,am«1) + E(a,amií2) = 2nE(a), siendo

nll

E(a)= \ l - s i n a sin <pd<p , o

Obsérvese que E(a) < K(a) si a * 0.

fo>, = 0 ,

(3.13)

^ = ^ #

I

i ) ( F ^ [ (

1 + < w 2 f l

)

K ( f l )

-

2 E ( f l )

] ^ f '

¿ - - 2 - (1 + cos a) _{• 2 • 2} sin a asm a

1

sin a

T T ^ ' - i X i - "

2

- )

-2«

¿1 3 = — T

-sin a

#-¿)(¿-

cos2a

)<

K

<

a

)-

E(a

»H •

v23

y OC V s i Psin a asín aJ sin a / 1 / V c í n /7 / oír» /i Í^, v\ a / v a /

•[(«! -M2)-(E(a,amí/1)-E(a,am«2))] »

* 3 1 = 0 ,

¿32 = 4 (1 + eos a)2 [E(a, am «j) - E(a, am «2)] +

íl + cos a)

+i-

_a

a

¿>33 = •^•(l + cosa)[E(a,amM1)-E(a,amíi2)] +

+^ [ (_{2 a} E(a'a m" i ) ~E(a'a m M2 ) ) ~ ( " i ~ " 2 ) ]_~ 3 7 2 •

2 a

Para que el sistema (3.12) tenga solución distinta de la trivial debe ser det(fi) = 0,

esto es: ^11(^22^33 _ ^23^32)_ ^21(^12^33 ~ ^13^32) + ^31^12^23 ~ ^13^22) = 0 y al ser

blx = b3l = 0, queda bn(b1-fi-i-i - brib-i2> = 0, es decir

-X£j Au- AE(cosaAu+AE) +

+[ ^ j - e o s2 a U « + 2 Í l + c o s2 a — 2 - W

(3.14)

donde se ha llamado

Au = ux-u2 ,

AE = Eia&mu^) - E(a,am«2)

Con las expresiones (2.15) y (2.17) la expresión anterior se simplifica obteniéndose

*#-¿X¿-~

a

-)HKX¿-«

2

<tfe^)

+

é>

^M((^"

c o s 2 a

)

4

"

+ 2

(

1 + c o s 2 f l

~«H

Las soluciones de esta ecuación son:

a- 1 ,

a 2

eos a • 1 < a < ₂

COS (3

, siendo a raíz de

i-m-™4%(^-^

+ •eos a

Ka

1 Au + 2\\ + cos2 a-— jAE 0

Solución g = 1 (Fig. 3.1)

En este caso a = 1 sn «j = sn U2 = 0 => Uj = 0 ,

ÍÍJ - « 2 = 2 « K ( a ) ,

E(a,amw1)-E(a,amií2) = 2«E(a)

COS G

0

K

2K

3K

~U

Figura 3.1. Variación de la función elíptica dnu que caracteriza las formas de

equilibrio (onduloides).

En este caso, de las relaciones (2.14) a (2.18) se obtiene

A - n(K(a)cosa + E(a)) ,

2(1 +cosa)" E(a) cosa _ 2 (l + cosa)2E(a)

v = ti- cosa

3/1 3 3 (K(a)cosa + E(a)) 3

Como se ve, v disminuye cuando lo hace cosa, al menos cerca de la región donde

las soluciones de equilibrio son cilindros (cosa = 1). En dicho caso, los

con n = 1. Así, para v < 1, zonas de menor volumen que la cilindrica, la curva que

define la estabilidad neutra vendrá dada por

A = K(a)cosa + E(a) , _(3.16)

v =

_2 (l + cosa)^E(g) cosa <1

3 (K(a)cosa + E(a)) 3

con cosax < cosa < 1 => 0 < a < av donde ax corresponde al llamado "punto doble"

que determinaremos más adelante, pues es el punto de empalme con la curva de las

soluciones de (3.15) con 1 < a< \/cos2a.

Para las relaciones (3.16), se ha comprobado que la otra condición posible de

nulidad de (3.15) no conduce a volúmenes más pequeños.

• Solución a - —-— (Fig. 3.2)

cos"ü

Ahora es dn¿¿j = dnu-, - cosa => sn ux = 1, Uj = K(a) ,

E(a,amu1)-E(a,am¿í2) = 2/2 E(a)

clnu

i k

eos a

^

V////

/•

' /. _{/ ///}

0

K

2K

3K

U

Figura 3.2. Variación de la función elíptica dnw que caracteriza las formas de

De las relaciones (2.14) a (2.18) se deduce que

A

=

(

E2l) ,

\ cosa)

2(l + cosa)¿E(a) i

v = n o Ó

3yicos3a 3 c o s f l

_ 1

2

eos a

2(1 +cosa) E(a) COSfl

3(K(a)cosa + E(a)) 3

Cuando cosa decrece, cerca de la región donde las soluciones de equilibrio son

cilindros (cosa = 1 => v = 1), entonces v crece. Además al suponer que los

alargamientos más bajos son estables, la primera inestabilidad se presentará con

n = 1. Así, en este caso:

A =K(a) + E(a)

cosa

2

eos a

2(1 +cosa) E(a) c o s a

3(K(a)cosa + E(a)) 3 >1 , (3-17)

con coso2 < cosa < l = > 0 < a < O 2 , y a2 determinado por la posibilidad de

desbordamiento.

En ambos casos, las soluciones no triviales del problema (3.1)—(3.3) son

proporcionales a

(fvq) = (Fz,0) .

Nótese que para H = 0, F2 es antisimétrica respecto a z = 0 y la única condición

necesaria para que (fvqx) = (Fz,0) sea solución de (3.1)—(3.3) es FZ(±A) = 0, ya que

J

Solución 1 < a < —^~~ eos a

Con las relaciones (2.14) a (2.18) y la condición (3.15) se obtiene

A =2j£-(Aucosa + AE) ,

2a

(Aucosa + AE) 3

'#4)-ñ^íF^^^

_w

( c o s2a f - ^ ) ] = - f ^ ( l - ¿ ) ( i - c o s2a ) ^2 ,

(3.18)

siendo

4M = 2K(a)-2«2 ,

AE- 2E(a)-2E(a,amiÍ2) ,

-4= = dn IU .

Va

Nótese que en este caso v < l y z = 0 s e corresponde con u = K(á). El punto doble,

flj, correspondiente al punto de corte de las curvas (3.16) y (3.18) viene dado por

Kfo) = 2E(a1) =>al = 1.14065. (3.19)

sn u en u

J2 — A 2 " 2

dn u + cosa dn u + cosa

n ánu , ,2B | g )dnMsn2M-snM cnuE(fl,anm)) |

dn M + cosa

+ [(l + cos2a)fl + £>] u sntf cnu

dn u + cosa

_ P V/ 2 _-2

a(l + cosa)-•Q ,

(3.20)

(3.21)

con

A = sin a | ( K ( a ) c o s a + E(a))AE + ^(K(a)AE - E(a)Au) - ^ - K ( a )

B = h\ + cosa)AE + ^-{AE-Au)-Q¿r , 2a

a 3/2

(3.22)

Q = -^(í + cosa)2AE + ^-

AE-íl + cos a]

Au 6vA a 3/2 •

La función dada por (3.20) es simétrica respecto de u = K(a) (z = 0), pues si

tomamos los valores

u = ü + K(a) => snu = cnw/dníí ,

cnu = - c o s a s n ü / d n ü ,

dnu = c o s a / d n ü ,

2 1 2

u - K(a)-ü => snu = s n « = cn£t/dnü ,

cn« = cosasnü/dnw ,

dnu = cosa/dnw ,

/ ( « ' ) = - * dnw

2

-dn ¿Z + cosa + (25 + 0

dnücn ü + snücnüE(a,amü) dn ü + cosa

sn« cnu

•cosa

I7i , 2 \D , ^ 1 - snwci

• l + cos flB + Q « — =

LV ; J d n ú + i

• s n M c n M U + ((l + eos2 a)fi + Q)K(a) + (26 + Q)E(a)l ,

dn w + cosaL vv ; ' J

/ ( " > -

5-dnw

dn ü + cosa - + (25 + 0 )

2

dnw en íi + snüí cníZ E(a,am£í) dn ü + cosa

í 1 + eos2 a\B + Q

[l + cos

snü cnü

_ snwcnu

u—2 +

- dn ¿Z + cosa

dn ¿Z + cosa

-A + (í 1 + eos2 a\B + Q\ K(ÚI) + (25 + Q) E(á)

y, teniendo en cuenta que

2B

+ Q = ^¿^(3AE-^) ,

(l + cos2a)5 + 2 = M ! ^ 6 v A _ 3 c o s f l ^ _ ^

a .

se comprueba que

A + [(l + eos2 a)B + 0 ] K(fl) + (25 + Q) E(á) = 0 ,

3.2. LIMITE DE ESTABILIDAD DEBIDO A PERTURBACIONES NO

AXILSIMETRICAS

Con la formulación dada en el apartado 2.2 en función de variables elípticas, las

inestabilidades cuando los alargamientos son pequeños aparecen para x/2 < a < n

(eos a < 0). Para seguir utilizando el parámetro a de forma que 0<a<x/2 (eos a >

0) se ha reformulado el problema en la forma

F = V a \ l - s i n asin <p

(\ < n < _

0 < a < #

(3.23)

z=—Ja(E(a,(p)cosa-E(a,(p)+b) .

Así, las ecuaciones (2.12)—(2.13) se transforman en

F = 4aánu ,

z =-yfa (u eos a-E(a,&mu) + b) ,

y las expresiones (2.14)-(2.18) quedan

l + // = Vadnu1 ,

A = -yfa[ulcosa-E(a,amuí) + b] ,

l-H = -fcidnu2 , (3.24)

-A--•^a[u2cosa-E(a,a.mu2) + b] ,

3/2 , 2

v = Ñ¿-cosa+cíÁ |sin a(dnux snux enux - d n í ^ s n i ^ e n í ^ )

Dado el problema (2.2)-(2.5), el problema derivado en tomo a cualquiera de las

soluciones (3.23) y (3.24) del mismo se obtiene, sin más que considerar pequeñas

perturbaciones, en la forma

F=F+f ,

P=P+q ,

con lo que se debe cumplir:

M'(F)f + q = 0 , (3.25)

cumpliendo las condiciones de contomo, que son

Periodicidad de la solución

f(z,0) = f(z,d + 2n) , (3.26)

Bordes anclados a los discos soporte

f{±A,6) = Q , 0e[O,2?rí , (3.27)

y la condición de conservación del volumen

A 2n

[dz\Ffdd = Q .

-A 0

(3.28)

siendo

MXF)f = }f

\1 + F*)

2>¿/2 dz +

/ +

dy

F2(l + Fz2)1/2l dé

Se ha tenido ahora en cuenta que, aunque la forma original de equilibrio es

axilsimétrica, la forma perturbada puede no serlo.

Las soluciones axilsimétricas de (3.25)-(3.28) son las soluciones de (3.1)—(3.3)

estudiadas en el apartado anterior, las cuales son idénticamente nulas salvo sobre las

curvas del diagrama (A,v) descritas por (3.16), (3.17) y (3.18), que corresponden a

las soluciones (fv0) y

(f2,Q)-Utilizando la técnica de separación de variables f(z,0) = Z(z)0(6), el problema

(3.25)-(3.28) conduce en primer lugar a:

0" + A0 = O ,

0(0) = 0(9 + 2n) , (periodicidad de la solución) (3.30)

0'(9) = 0'(d + 2n) , (regularidad de la solución)

que tiene soluciones del tipo

A = n neNu{0} ,

0(6) = An eos n6 + Bn sin n0

(3.31)

En el caso n = 0, 0O(6) = const, se encuentra que Z0(z) es la solución del problema

para perturbaciones axilsimétricas que ha sido mencionado anteriormente.

Los restantes problemas asociados, para n * 0, son

M

z +-L-¿

2/ 2 \1 / 2 n F dz

p - • ^

Zn(±A) = 0

Se observa que la condición de conservación de volumen se cumple inmediatamente para n * 0 (I cosnOdd = I sinnOdd = 0).

Jo Jo

Si (3.32) tiene una solución, Zn(z), distinta de la trivial, al multiplicar la ecuación

diferencial por FZn e integrar en el intervalo [-A,A] se obtiene

J\ 2 A

( l - n

) f \

dz

ízA

FZ'n

(\ + K)

dz = 0 , (3.33)

expresión que, tras integrar por partes en la segunda integral, utilizando las

condiciones de contorno, da lugar a

/ i

í

F(Z'n)2

2 2

(n-l)Z¿n

(l + / f )3 / 2 F(l + Fz2)1/2

dz = 0 (3.34)

La expresión anterior contradice la hipótesis hecha en el sentido de que Zn * 0 para n * 0, puesto que la única posibilidad sería, para n = 1, Zx = cte * 0. Pero esto

también quedaría descartado al imponer las condiciones de contorno de (3.32). En

resumen, las únicas soluciones no nulas del problema (3.25)-(3.28) obtenidas por

separación de variables serían las correspondientes al autovalor A = 0 (n = 0 en

(3.31)), que son, como ya se ha comentado, las obtenidas para el problema

axilsimétrico (3.1)—(3.3) en la sección anterior.

Por otro lado, el problema (3.25)-(3.28) no puede tener otro tipo de soluciones que

completitud del sistema trigonométrico {I,sin0,cos0, ,sinné?,cosní?, } en el espacio (CP ([0,2^]), <•, •>), siendo

CP([0,2x]) = {ge C([0,2x]) I g(0) = g(2n)} ,

<f,8>= \f(0)g(d)dd ,

o

se puede expresar /(z, G), solución del problema (3.30), en la forma (desarrollo en

serie de Fourier)

oo

f(z,6) = ao(z) + \[an(z)cosn0 + bn(z)smnO] , (3.35)

n=l

siendo

2x

i0(z) = ±jf(z,6)dd , (3.36)

o

2„(z) = ^J/(z,0)cos«6>d6> , (3.37) o

2n

bn(z) = ±jf(z,6)smndd0 , (3.38)

o

Para Fz acotada, el operador M'{F) dado por (3.29) es estrictamente elíptico en

[-y\,yl]x[0,27r].

Por otro lado, los coeficientes de M'(F), que son sólo función de z, son de clase C°°

]-A,A[x[0,2n[ (Gilbarg y Trudinger, 1977).

Así, las funciones an{z) y bn(z) dadas por (3.36)-{3.38) son de clase C°° en ]-A,y\[.

De la continuidad de estas funciones y la de sus derivadas de cualquier orden, se

puede deducir que V/,fc e N y Va 6 ]0,A[

ÍÍA.1

₊

<dz' >

2" ÍÍ/2

const V z e [ - a , a ] ,

donde la constante depende en general de (l,k,a) (Courant y Hilbert, 1953).

De esto se deduce que la serie (3.35) así como las series obtenidas de ella por

derivación formal en z y 6 son uniformemente convergentes en [—a,á] \[0,2n[

para todo 0 < a < A. Por tanto, en (3.35) se puede intercambiar el signo de sumacion

con el de derivación de cualquier orden en ]-A,7l[ x [0,2TT[.

Sustituyendo (3.35) en (3.25) y (3.28) resulta

c0 + ^ ( cnc o s r t 0 + íinsin«0) + <7 = 0 ,

A

Fa0dz = 0 ,

donde

Cn p

( i ^2)

2\3/2 an

(3.39)

(3.40)

(l-n2)

F2( l+Fz 2)