Estudio y diseño de estructuras tensegríticas

Texto completo

(1)ESTUDIO Y DISEÑO DE ESTRUCTURAS TENSEGRÍTICAS. Septiembre 2019. TRABAJO FIN DE GRADO PARA LA OBTENTICÓN DEL TÍTULO DE GRADUADO EN INGENIERÍAEN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES. Teresa García Albertos DIRECTORA DEL TRABAJO FIN DE GRADO:. Manuel Laso Carbajo.

(2) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Teresa Garcı́a Albertos.. UPM. 2.

(3) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. “No luches contra las fuerzas; úsalas.” -Richard Buckminster Fuller. Teresa Garcı́a Albertos.. 3.


(5) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Agradecimientos Gracias al Dr Manuel Laso Carbajo director de este Trabajo Fin de Grado por su colaboración y ayuda a lo largo de la elaboración del proyecto. Como un movimiento a la deriva, todas las personas que se han cruzado a lo largo de estos 4 años han influenciado en su medida a que haya llegado hasta aquı́. Gracias tanto a la gente de dentro como de fuera de la escuela, a los que se han ido uniendo en el camino y a los que han venido para quedarse. Gracias a mi pequeña familia de metalúrgicos por hacer más cuesta abajo y acogedor este final de carrera. Gracias a mis familiares y en especial a mi padre, por su paciencia y sin quien gran parte de este trabajo no hubiera sido posible. Cierro esta etapa orgullosa de lo conseguido y agradecida por todo el apoyo incondicional recibido.. Teresa Garcı́a Albertos.. 5.


(7) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Sobre el trabajo Todas las figuras que se presentan en este trabajo que han sido construidas son de elaboración propia y su realización ha servido para mayor entendimiento del comportamiento de este tipo de estructuras.. Teresa Garcı́a Albertos.. 7.


(9) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Índice 1. Introducción 1.1. Orı́genes . . . . . . . . 1.2. Tipos de tensegridades 1.2.1. Simplex . . . . 1.2.2. Poliedros . . . . 1.3. Construcciones . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 16 16 18 18 22 24. 2. Fundamento teórico 28 2.1. El equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1. Form Finding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. Metodologı́a 3.1. Algoritmo . . . . . . . . . . 3.2. Programación . . . . . . . . 3.2.1. FORTRAN . . . . . 3.2.2. ParaView . . . . . . 3.3. Validación del programa . . 3.3.1. 2 barras y 1 cuerda . 3.3.2. Prisma básico . . . . 3.3.3. Pirámide tensegrı́tica 4. Resultados 4.1. Dimensiones . . . . . 4.2. Evolución del sistema 4.3. Fuerzas . . . . . . . 4.4. Montaje . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. 35 35 39 39 44 47 47 49 56. . . . .. 62 62 64 70 72. 5. Valoración de impactos y de aspectos de responsabilidad legal, ética y profesional relacionados 77 6. Conclusiones. 79. 7. Planificación temporal. 81. 8. Presupuesto. 87. Teresa Garcı́a Albertos.. 9.


(11) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Índice de figuras 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37.. Gleichgewicht Konstruktion[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema Gleichgewicht Konstruktion[1] . . . . . . . . . . . . Fuerzas en un vértice [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas sobre toda la estructura [1] . . . . . . . . . . . . . . . Diseño del 3-Strut-T-Prism [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplex con base octogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simplex con base de 9 lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simplex con base de 10 lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realización torre tensegrı́tica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema torre tensegrı́tica 1 [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . Realización torre tensegrı́tica 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema torre tensegrı́tica 2 [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelos de poliedros [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poliedro tensegrı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurilpa Bridge [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Georgia Dome [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sección del estadio Georgia Dome [11] . . . . . . . . . . . . . Esquema de los cables y barras del estadio Georgia Dome [11] Estadio Wanda Metropolitano [12] . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de la cubierta del Wanda Metropolitano [13] . . . . . Cubierta del estadio Ciudad de la Plata [14] . . . . . . . . . . Equilibrio de fuerzas sobre un punto [1] . . . . . . . . . . . . . Ejemplo de colapso de una viga por pandeo [15] . . . . . . . . Ejemplo de viga sometida a flexión [16] . . . . . . . . . . . . . Perspectiva exterior de la iglesia de la Colonia Güell de Antoni Gaudı́ [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Archivo .vtk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parámetros ParaView . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 barras 1 cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iteración 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iteración 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iteración 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimensiones del simplex [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planta de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construcción del Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planta de la estructura simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . Planta de la estructura construida . . . . . . . . . . . . . . . . Evolución de la partı́cula 4 desde la iteración 1 a la 200 . . . .. Teresa Garcı́a Albertos.. 16 16 18 18 19 19 20 20 20 20 21 21 22 23 24 25 25 25 26 26 26 28 30 31 32 45 46 48 50 50 51 52 54 54 54 54 55. 11.

(12) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63.. Evolución de la partı́cula 1 desde la iteración 1 a la 200 Variante 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variante 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variante 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evolución de la partı́cula 1 hasta la iteración 200 . . . Evolución de la partı́cula 4 hasta la iteración 200 . . . Evolución de la partı́cula 8 hasta la iteración 200 . . . Sistema en la iteración 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema en la iteración 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas en la iteración 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema en la iteración 100 . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema en la iteración 100 . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas en la iteración 100 . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Montaje con cuerdas elásticas . . . . . . . . . . . . . . Montaje con sedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructura real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructura simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructura real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructura simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dedicación en horas de cada mes . . . . . . . . . . . . Parte 1 diagrama Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . Parte 2 diagrama Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . Parte 3 diagrama Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribución del presupuesto . . . . . . . . . . . . . . .. Teresa Garcı́a Albertos.. UPM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55 57 59 61 64 65 66 66 66 67 67 67 68 68 68 73 74 74 74 75 75 82 83 84 85 87. 12.

(13) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Índice de cuadros 1. 2. 3. 4. 5. 6.. Uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimensiones del Simplex 3-T-Strut . . . . . . Dimensiones del Simplex 3-T-Strut construido Uniones destensadas . . . . . . . . . . . . . . Uniones tensadas . . . . . . . . . . . . . . . . Tipo de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . .. Teresa Garcı́a Albertos.. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 51 53 54 62 62 62. 13.


(15) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Resumen Este trabajo puede dividirse en distintas partes: primero se realizó un estudio previo del significado de tensegridad y qué conlleva la construcción de este tipo de estructuras. Una vez entendidos los principios básicos, se pasó a la realización de estructuras ya existentes para un mejor conocimiento de las mismas y para adquirir la habilidad suficiente en su montaje para la parte final de este trabajo. En el campo de la programación la primera idea fue la utilización de programas de simulación, sin embargo para una mayor compresión del problema y del funcionamiento y comportamiento de estas estructuras, se pasó a la escritura de un programa en el lenguaje de programación de FORTRAN. Este programa está basado en un sencillo algoritmo que se explicará más adelante y que pretende ajustarse de una manera sencilla a la realidad. A partir de este programa se obtendrán datos fácilmente visualizables en ParaView para poder observar la evolución de estas estructuras a lo largo del tiempo mientras están presentes un conjunto de fueras. Este programa pasará a ser validado y comprobar si los datos que este programa aporta coinciden con los que se pueden observar en las estructuras construidas manualmente al principio. Una vez comprobado y demostrado que dicho programa es válido, se pasará a la fase de diseño en la cual se creará una figura tensegrı́tica a partir de las bases de conocimiento adquiridas a lo largo de todo el proceso de este trabajo. Hallada una estructura estable, finalmente se procederá a su construcción y verificación de que efectivamente, dicha estructura es válida.. Teresa Garcı́a Albertos.. 15.

(16) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 1. 1.1.. UPM. Introducción Orı́genes. Richard Buckminster Fuller, David Georges Emmerich y Kenneth D. Snelson. Estos tres hombres han sido considerados los inventores de la tensegridad si bien la primera estructura considerada como tensegrı́tica fue construida por Karl Ioganson. Se trata del “Gleichgewicht Konstruktion”. Figura 1: Gleichgewicht Konstruktion[1]. Figura 2: Esquema Gleichgewicht Konstruktion[1]. El tirante era utilizado para cambiar la configuración de los puntos pero manteniendo el equilibrio. Entre los tres autores comentados no se llegó a ningún acuerdo sobre la definición de tensegridad, dando cada uno su propia definición. Richard Buckminster Fuller:“la tensegridad es un sistema estructural constituido por elementos de compresión discontinuos conectados por elementos de tensión continuos. Debido a la forma en que se distribuyen las fuerzas constituye una estructura estable que es capaz de reaccionar e interactuar de manera dinámica”[2]. David Georges Emmerich: basándose en la estructura de Ioganson describió este tipo de estructuras como redes auto-pretensadas. Teresa Garcı́a Albertos.. 16.

(17) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Kenneth D. Snelson: alumno de Fuller investigó sobre lo que llamaba “componentes sólidos fijados entre sı́ en el espacio y sustentados uno con el otro únicamente por medio de miembros en tracción.” [3] Mención aparte al matemático español Miguel de Guzmán el cual definió el principio de tensegridad de una manera más general que los autores previos diciendo: “Consideremos una configuración geométrica constituida por un número finito de puntos y por unos cuantos segmentos que unen esos puntos. Una estructura de tensegridadconsiste en asignar vectores a los puntos, en las direcciones de los segmentos que concurren en ellos de forma que La resultante en cada punto es nula Para cada segmento, la suma de los vectores asignados a sus extremos es cero” [4]. Teresa Garcı́a Albertos.. 17.

(18) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 1.2. 1.2.1.. UPM. Tipos de tensegridades Simplex. La estructura tensegrı́tica simplex más básica es el denominado “3-strutT-prism” y consta de 6 vértices los cuales son unidos por 3 barras sometidas a compresión y sujetadas por 9 cables traccionados. A cada vértice deben llegar 3 cables y 1 barra para ser estable. Los esfuerzos de tracción y compresión son tan elevados que el peso de las barras y cables se vuelve despreciable.. Figura 3: Fuerzas en un vértice [5]. Figura 4: Fuerzas sobre toda la estructura [1]. En un 3-Strut-T-prism la base se trata de un triángulo equilátero que se encuentra dentro de una circunferencia. La estructura completa podrı́a inscribirse dentro de un cilindro.. Teresa Garcı́a Albertos.. 18.

(19) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 5: Diseño del 3-Strut-T-Prism [6] Es posible realizar variando los lados del polı́gono de la base y de la parte superior diversas construcciones. Hay que tener en cuenta que en estas construcciones siguen llegando tres cables y una barra independientemente de la geometrı́a de la base.. Figura 6: simplex con base octogonal. Teresa Garcı́a Albertos.. 19.

(20) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Figura 7: Simplex con base de 9 lados. UPM. Figura 8: Simplex con base de 10 lados. Acoplando varias estructuras base en equilibrio independiente, se puede formar torres con células tensegrı́ticas autoestables siendo su conjunto igualmente estable con todas las caracterı́sticas de estas construcciones.. Figura 9: Realización torre tensegrı́tica 1 Teresa Garcı́a Albertos.. Figura 10: Esquema torre tensegrı́tica 1 [7] 20.

(21) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Otra posibilidad de torre tensegrı́tica parte del mismo simplex pero añadiendo un tensor más a cada vértice. Este tipo de torres son más estables que las anteriores puesto que los pisos de simplex se ensablan al simplex inferior con un mayor número de tensores:. Figura 11: Realización torre tensegrı́tica 2. Teresa Garcı́a Albertos.. Figura 12: Esquema torre tensegrı́tica 2 [8]. 21.

(22) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 1.2.2.. UPM. Poliedros. Otro tipo de construcciones tensegrı́ticas son los poliedros. Estas estructuras se caracterizan por estar inscritas dentro de una esfera y sus fuerzas apuntar al centro de la misma. consiguiendo el equilibrio de la misma manera que en el apartado anterior, gracias a la sujeción de las cuerdas. Este punto central que es el que consigue dar estabilidad al sistema, solo aparece si se consigue que el poliedro sea regular. De ahı́ la importancia de la simetrı́a en este tipo de construcciones. Si no existe simetrı́a, el problema de la cancelación de las fuerzas en los vértices se complica pudiendo llegar a convertir a la estructura en irrealizable. La figura básica es el octaedro, si bien se puede ir subdividiendo esta geometrı́a hasta conseguir poliedros de un mayor número de caras.. Figura 13: Modelos de poliedros [7] Una vez construidos y gracias a ser autoestables, pueden ser posicionados sobre cualquiera de sus caras y seguir siendo estable. Por tanto no están obligadas a permanecer en una posición determinada lo cual es una ventaja en cuanto al tema del diseño. Esto puede observarse en las imágenes a continuación que muestran un poliedro tensegrı́tico. En este caso se trata del octaedro tensegrı́tico.. Teresa Garcı́a Albertos.. 22.

(23) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 14: Poliedro tensegrı́tico. Teresa Garcı́a Albertos.. 23.

(24) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 1.3.. UPM. Construcciones. Las caracterı́sticas y ventajas que se comentarán más adelante en este trabajo, justifican la aplicación de este tipo de estructuras en todo lo relacionado con puentes, cubiertas o simplemente construcciones ornamentales. A continuación se hará un breve resumen de las más importantes. Kurilpa Bridge: localizado en Brisbane, Australia e inaugurado en 2009 fue el primer diseño estructural tensegrı́tico para un puente de tal tamaño. El sistema tensegrı́tico de barras a compresión y cables que estabilizan lateralmente el puente, provee rigidez a la torsión sin proyectar excesiva sombra sobre los transeúntes. La extructura consta de una extensión de 410 metros con una luz máxima de 120 metros. La altura libre sobre el rı́o alcanza los 11 metros.. Figura 15: Kurilpa Bridge [9] Georgia Dome: antiguo estadio de los Atlanta Falcons fue demolido en 2017. En el año de su inauguración, 1992 era la cubierta más grande jamás construida mediante el diseño tensegrı́tico. Consistı́a en un óvalo externo que se unı́a mediante 26 cables a un aro central comprimido. Esta idea se repetia escalonadamente hasta llegar a la parte más alta de la construcción. Este diseño tensegrı́tico permitı́a una mayor absorción de las vibraciones e impactos provocados por el viento.. Teresa Garcı́a Albertos.. 24.

(25) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 16: Georgia Dome [10]. Figura 17: Sección del estadio Georgia Dome [11]. Figura 18: Esquema de los cables y barras del estadio Georgia Dome [11]. Wanda Metropolitano: el actual estadio del Atlético de Madrid inaugurado en 2017 presenta una cubierta con diseño tensegrı́tico. Está compuesta por dos anillos, uno exterior trabajando a compresión unido mediante cables radiales a un aro traccionado. Entre estos cables se sitúan unas láminas de vidrio que gracias al diseño tensegrı́tico aparentemente están flotando sobre el campo de juego. Esta cubierta tiene unas dimensiones de 286 metros en el sentido norte-sur y de 248 metros en dirección este-oeste totalmente compuesta por la tipologı́a de estructura tensada. En la imagen abajo a la derecha se ven representados en rojo los componentes comprimidos y en azul los elementos traccionados.. Teresa Garcı́a Albertos.. 25.

(26) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Figura 19: Estadio Wanda Metropolitano [12]. UPM. Figura 20: Esquema de la cubierta del Wanda Metropolitano [13]. Estadio Ciudad de La Plata: inaugurado en 2003 situado en Buenos Aires, Argentina. La cubierta de este estadio cubre una superficie de 29.000 m2 basándose igualmente en el diseño tensegrı́tico de autotensión entre barras y cables. Al igual que en el caso de las dos cubiertas mencionadas anteriormente, en esta, se trata de un gran aro perimetral del cual parten cables que quedan unidos a una estructura central que permite la sustenteción de la estructura.. Figura 21: Cubierta del estadio Ciudad de la Plata [14] Cabe destacar que la ligereza de este tipo de estructuras, unida a la absorción de vibraciones e impactos externos hace a los diseños tensegrı́ticos una gran alternativa a la hora de la realización de cubiertas como se acaba de observar. Además, el aspecto flotante de este tipo de construcciones debido a los cables de pequeña seccion en comparación con la superficie a cubrir, permite Teresa Garcı́a Albertos.. 26.

(27) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. una mayor luminosidad a los estadios que poseen estas cubiertas además de aportarles un rasgo distintivo en cuanto al diseño.. Teresa Garcı́a Albertos.. 27.

(28) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 2.. UPM. Fundamento teórico. 2.1.. El equilibrio. Las estructuras tensegrı́ticas se caracterizan por el equilibrio entre las partes sometidas a tracción y las partes sometidas a compresión. Al estar trabajando puramente a tracción o a compresión en todo el elemento, no se encuentran esfuerzos mixtos como podrı́an ser solicitaciones a flexión. Un rasgo importante de estas construcciones se encuentra en que los componentes sometidos a compresión solo pueden ser unidos mediante elementos traccionados. Dos partes comprimidas no pueden estar unidas. Esto lo que ofrece es un aspecto visual en el cual parece que los elementos a compresión están flotando dentro de una red traccionada. Aprovechando que debido a la naturaleza de los cables o cuerdas y a que estos son elementos que solo pueden trabajar a tracción, todos los componentes traccionados en estos diseños se tratan de cuerdas o cables. De tal manera que los elementos traccionados sujetan a los elementos comprimidos que se tratan de barras incrementando ası́ el aspecto de ligereza y la impresión de que las barras se encuentran flotando gracias al equlibrio. En estas estructuras el equilibrio es estable por sı́ mismo. Por tanto como se puede observar en la imagen a continuación, cada punto tiene que estar en equilibrio de fuerzas:. Figura 22: Equilibrio de fuerzas sobre un punto [1] Y para que esté en equilibrio entonces: F~ij1 + F~ij2 + F~ij3 = ~0 El sistema es capaz de recuperar su posición original de equilibrio pese a la aparición de perturbaciones externas. Esto confiere a las estructuras muy aptas para situaciones de vibraciones y cargas dinámicas. Siendo aptas para áreas susceptibles de seismos o cualquier movimiento del terreno.. Teresa Garcı́a Albertos.. 28.

(29) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Responden de manera global a este tipo de cargas. Al perturbar un componente es la estructura entera la que absorbe el esfuerzo para volver a alcanzar la posición de equilibrio. Una ventaja derivada de esta caracterı́stica es que no existen puntos de debilidad local en estas construcciones. Con un correcto diseño es posible el empleo de materiales de una forma más económica y rentable para conseguir grandes valores de resistencia minimizando la cantidad de material y reduciendo de esta manera los costes de fabricación. Las estructuras tensegrı́ticas se caracterizan por su ligereza en comparación con otro tipo de estructuras con unas caracterı́sticas de resistencia similares. También puede decirse que presentan una resistencia muy superior a otras estructuras con un peso similar. Ensamblando módulos tensegrı́ticos básicos se puede llegar a hacer estructuras de gran tamaño que respondan a mayores solicitaciones como torres o conglomerados compuestos por figuras elementales. Este tipo de estructuras son estables gracias al tensado de las cuerdas. Por tanto, aumentando este estado tensional mediante un pretensado se puede conseguir una mayor capacidad de resistencia a esfuerzos. Los elementos sometidos a compresión son de escasa longitud. Al tener una corta longitud, este tipo de componentes presentan una baja esbeltez: r A λ = αL Im Siendo: α: factor que depende de la sujección de la viga. L: longitud de la viga. A: sección de la viga. Im : momento de inercia de la viga. Esto repercute de manera favorable a que estas estructuras no son susceptibles a colapsar debido al pandeo. Fcritica = π 2. EA λ. Donde: Fc ritica: se trata de la carga máxima que es capaz de soportar la viga antes de verse sometida a pandeo. Teresa Garcı́a Albertos.. 29.

(30) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. E: módulo de Young. Depende de la naturaleza del material de la viga. A: sección de la viga. λ: esbeltez de la viga. Como puede comprobarse, a menor longitud, menor esbeltez y por tanto una mayor carga crı́tica a pandeo lo cual es una caracterı́stica favorable a la hora del diseño.. Figura 23: Ejemplo de colapso de una viga por pandeo [15] Para que se produzca fallo por flexión en las vigas, es necesario que exista una lı́nea media en el elemento que lo divida entre zona comprimida y zona traccionada. Sin embargo, en este tipo de estructuras las vigas únicamente están sometidas a contracción. Esto significa que en las estructuras tensegrı́ticas las vigas no sufren flexión y por tanto no pueden colapsar debido a este esfuerzo. En la figura 2 se puede observar una Viga en la cual se representa de manera discontı́nua la lı́nea media. Por encima de ella la viga está trabajando a compresión mientras que la zona inferior se encuentra traccionada, situación imposible en este tipo de estructuras.. Teresa Garcı́a Albertos.. 30.

(31) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 24: Ejemplo de viga sometida a flexión [16]. Teresa Garcı́a Albertos.. 31.

(32) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 2.2.. UPM. Construcción. Para la obtención de este tipo de estructuras es necesario seguir tres pasos. Form-Finding consiste en determinar el estado de equilibrio de la estructura y sus tensiones. Obtenido el resultado geométrico se pasa al estudio de los esfuerzos y las tensiones. Dimensionar los elementos de la estructura 2.2.1.. Form Finding. Los métodos basados en el form finding empezaron a utilizarse como un nuevo instrumento de diseño a finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX. El form finding se basa en procedimientos empı́ricos que utilizan la autoorganización de sistemas materiales sometidos a distintas cargas externas hasta llegar al equilibrio. Con este método, se busca descubrir las formas estructurales más eficaces y eficientes a a hora de realizar una determinada función. El arquitecto A. Gaudı́ fue el primero en realizar el diseño de sus construcciones mediante este tipo de experimentos de find forming, consiguiendo formas óptimas para resistir las fuerzas gravitatorias.. Figura 25: Perspectiva exterior de la iglesia de la Colonia Güell de Antoni Gaudı́ [17] Teresa Garcı́a Albertos.. 32.

(33) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Frei Otto fue un arquitecto que dedicó gran parte de su vida profesional al análisis de los procesos de autogeneración y reorganización de los procesos naturales. Esto le condujo a desarrollar varios métodos de form finding. Llevó a cabo numerosos experimentos con vistas a reproducir formas que encontraba en la naturaleza. Entre estos experimentos destacan los que realizó con pelı́culas de jabón para generar diseños que utilizó para elaborar tensoestructuras de membranas y redes de cables pretensados con áreas mı́nimas similares a las tensegridades que se comentan en este trabajo. Además realizó experimentos de membranas que tensaba con aire o distintos fluidos y estructuras colgantes que alcanzaban el equilibrio gracias a la tracción generada por el propio peso de las mismas. Hoy en dı́a es posible alcanzar resultados similares a estos experimentos sin tener que realizar la parte empı́rica de los mismos ahorrando ası́ en tiempo y dinero. Existen diversos métodos para la realización del Form Finding. En este apartado serán comentarios varias posibilidades. Estos métodos en concreto han sido sacados del artı́culo “Review of FormFinding Methods for Tensegrity Structures” escrito por A.G Tibert y S. Pellegrino del departamento de mecánica del Royal Institute of Technology de Estocolmo, Suecia. Métodos cinemáticos. Consiste en determinar la geometrı́a de la estructura maximizando la longitud de las barras manteniendo con un valor constante la longitud de las cuerdas. Dentro de los métodos cinemáticos hay a su vez tres posibilidades. Aproximación analı́tica Optimización no-lineal. Método iterativo pseudodinámico. Métodos estáticos. En ellos se determina el equilibrio de una topologı́a dada, se estudian la situación de todos sus elementos y nodos. Al igual que en los métodos cinemáticos, para la realización de los métodos estáticos existen diversas opciones. Calculando las fuerzas y comprobando el equilibrio de sus nodos. Este tipo de ecuaciones son lineales y su estudio es más sencillo. Considerando las fuerzas que llegan a los nodos como fuerzas de atración y repulsión, minimizar la energı́a del sistema. Teresa Garcı́a Albertos.. 33.

(34) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Simplificar la estructura en células simétricas en equilibrio.. Teresa Garcı́a Albertos.. 34.

(35) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 3. 3.1.. UPM. Metodologı́a Algoritmo. Como ha sido mencionado en el apartado de Construcción, el primer paso para la realización de estas estructuras es el Find Forming. Para ello, se partirá de una situación cercana a la del equilibrio que sea capaz de evolucionar hasta la configuración estable deseada. Por tanto, va a ser utilizado un método de Form Finding estático. Concretamente se va a utilizar el método de minimización de la energı́a. Se va a considerar un sistema de partı́culas las cuales serán los nodos de la futura estructura. Todos los nodos serán considerados de masa unidad. Cada partı́cula se verá sometida a un conjunto de fuerzas: Gravedad: fuerza uniforme con valor 90 8m/s2 actuará en el eje z para todas las partı́culas. Fuerza debida a las barras: en el caso de que al nodo llegue una barra, se calculará la distancia entre los nodos correspondientes a los extremos de la barra. Una barra puede trabajar tanto a compresión como a tracción. Sin embargo, en este tipo de estructuras lo correcto es que únicamente trabajen a compresión. La fuerza a la que la barra someterá a los nodos extremos dependerá de la elongación a la que esté sometida la misma, es decir, a la diferencia entre la longitud real de la barra y la distancia real a la que se encuentren los extremos. Fb = Kb (Lbarra − Lcalculada )4 Para que la fuerza sea de forma vectorial, se multiplicará por el vector director correspondiente a la dirección entre los nodos extremos: F~b = Kb (Lbarra − Lcalculada)4~n Kb se trata de una constante que depede de la naturaleza del material de la barra. Tiene que ser de un valor elevado ya que representa la rigidez de la misma. Sus unidades son kg/s2 m3 Fuerza debida a las cuerdas: las cuerdas son unos componentes estructurales que debido a su naturaleza únicamente pueden trabajar a compresión. Se calculará la distancia entre los nodos correspondientes a los extremos de la cuerda y en el caso de ser menor o igual a la longitud de la cuerda, esta se encontrará destensada, no presentará trabajo y al Teresa Garcı́a Albertos.. 35.

(36) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. nodo no llegará fuerzas debido a este componente. Si la distancia entre los nodos es superior al de la longitud real de la cuerda, esta estará tensada y la fuerza a la que se verı́an sometidos los nodos extremos será: Fc = Kc (Lcalculada − Lcuerda ) Al igual que en el caso de la fuerza debida a las barras, es necesaria la fuerza en forma vectorial y por tanto también será necesario multiplicar la expresión anterior por el correspondiente vector director: F~c = Kc (Lcalculada − Lcuerda )~n Kc se trata de una constante que depende de la naturaleza del material del cable. Cuanto más elevado sea corresponderá a un material más rı́gido y por tanto serán cuerdas menos elásticas. Sus unidades de medida son kg/s2 Fuerza de viscosidad: fuerza de rozamiento que depende de la viscosidad el ambiente en el que se ve sumergida la estructura: Fv = η~v Finalmente todo el conjunto de fuerzas al que se ven sometidos los nodos es: F~ = F~b + F~c + F~v Aplicando la 2o Ley de Newton N X. F~k = m~a. k=1. Siendo k cada fuerzas de las mencionadas anteriormente. Asumiendo la aceleración nula, este sumatorio se hace cero y por tanto: ~0 = F~b + F~c + F~v Sustituyendo la Fv se tiene η~v = F~b + F~c dr 1 = (F~b + F~c ) dt η Sustituyendo la definición de derivada si limt→0 4r 1 4t ~ = (F~b + F~c ) → 4r = (Fb + F~c ) 4t η η Teresa Garcı́a Albertos.. 36.

(37) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. En la iteración n, el sistema se encontrará en el instante tn = n4t. En la iteración n+1 el sistema se encontrará en el instante tn+1 = (n + 1)4t. Por lo que ~rn+1 = ~rn + 4~rn En cuanto a las ventajas de este sencillo algoritmo y por las cuales ha sido el elegido se encuentran: Se trata de un algoritmo rápido con cálculos sencillos y por tanto que requieren de una pequeña cantidad de memoria a utilizar. Permite variar todo lo que se quiera el paso 4t. Reproduce de una manera aceptable el comportamiento real. Sencillo y fácil de programar. Concretamente este algoritmo se ha basado en el algoritmo predictor corrector de Velvet el cual se corresponde a: 1 r(t + δt) = r(t) + δtv(t + δt) 2 1 1 v(t + δt) = v(t − δt) + δta(t) 2 2 [18] Existen dos tipos de partı́culas o nodos. Por un lado las fijas que son aquellas que se encuentran ancladas a alguna superficie. Esta superficie puede ser el suelo o cualquier otra superficie estática. Estas partı́culas aunque puedan soportar fuerzas, no presentan movimiento al encontrarse fijas y por tanto su velocidad es nula. Por otro lado se tienen las partı́culas no fijas, estas partı́culas son capaces de moverse y presentar por tanto velocidad hasta el momento en el que encuentran la posición de equilibrio. Cuando las partı́culas no fijas alcanzan el equilibrio, el sumatorio de fuerzas que actúa sobre las mismas es nulo y por tanto su velocidad también. Para evitar la posibilidad de que la estructura atraviese el suelo, se ha considerado que en el momento en el que una partı́cula que no debiera tocar el suelo lo hace, esta pasa a ser una partı́cula fija y finaliza su movimiento evitanto que vaya a coordenadas negativas del eje z. Esta consideración para el cálculo de movimiento de una partı́cula que en realidad no está fija aunque sea considerada como tal, conlleva que el cálculo de todas las fuerzas Teresa Garcı́a Albertos.. 37.

(38) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. del sistema deja de ser el que corresponde al sistema real. Sin embargo esto no tiene importancia ya que al tocar el suelo una partı́cula que no debiera, significa que la estructura no es estable y por tanto no se obtendrı́a ningún resultado válido de ella más allá de que esa configuración no corresponde con una posible estructura tensegrı́tica.. Teresa Garcı́a Albertos.. 38.

(39) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 3.2.. UPM. Programación. 3.2.1.. FORTRAN. Se ha realizado un programa mediante el lenguaje de programación orientado al cálculo numérico FORTRAN el cual nos va a permitir obtener archivos para posteriormente poder ser visualizados. Este programa se basa en la repetición de dos subrutinas el número de veces indicado por el usuario. Estas subrutinas se corresponden al algoritmo comentado en el apartado anterior. Primeramente se realizará una lectura de las variables de entrada que necesita el programa para su ejecución. Estas variables son: Paso: corresponde a la variación temporal que hay entre iteraciones. Longitudes de las cuerdas: se debe dar el valor de todas los elementos considerados como cuerdas que se van a emplear. Longitudes de las barras: al igual que las cuerdas, cada barra debe tener una longitud concreta. Constante de la barra: se trata del factor que multiplica a la elogación de la barra a la cuerta y es utilizado para el cálculo de la fuerza a la que la barra está sometida. Al ser un valor que depende de la naturaleza del material, se considerará que la constante de la barra es la misma para todas las barras independientemente de su longitud. Constante del cable: factor que multiplica a la elongación de la cuerda. Al igual que en el caso de las barras, al ser un valor que depende de la naturaleza del material, será tomado como el mismo para todas las cuerdas. Viscosidad. Gravedad. Coordenadas inicales de todos los puntos. Matriz de partı́culas unidas: como se ha comentado, en este estudio se ha modelizado el sistema de barras y cuerdas por un sistema de partı́culas las cuales se ven sometidas a fuerzas de atracción-repulsión dependiendo de si lo que llegan a las mismas son cuerdas o barras. Esta matriz tiene las mismas filas y columnas que número de partı́culas. Teresa Garcı́a Albertos.. 39.

(40) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Cada fila corresponde a una partı́cula. Dependiendo de cuántos elementos de unión(cuerdas o barras) lleguen a este vértice, se irá rellenando cada fila con la posición del extremo de cada elemento de unión. Es decir el componente de la matriz unionesij representará la unión de la partı́cula i con la partı́cula unionesij . El ı́ndice j representa el número de unión al que corresponde. Si el valor de unionesij es nulo, significará que no existe ninguna unión. Ası́, teniendo por ejemplo una matriz   2 0 0 uniones = 1 3 0 2 0 0 Al ser una matriz 3x3 significa que en este sistema solo hay 3 partı́culas. Representarı́a: • uniones11 = 2. La primera unión con la que se encuentra la partı́cula i en este caso la partı́cula 1 es cin la partı́cula unionesij , en este caso la 2. • uniones12 y uniones13 = 0. No existen más uniones para la primera partı́cula. • uniones21 = 1. La primera unión de la partı́cula 2 se realiza con la partı́cula 1. • uniones22 = 3. La segunda unión de la partı́cula 2 se realiza con la partı́cula 3. • uniones23 = 0. No hay más uniones con la partı́cula 2. • uniones31 = 2. La primera unión de la partı́cula 3 es con la partı́cula 2. • uniones32 y uniones33 = 0. No hay más uniones con la partı́cula 3. Matriz de tipo de uniones: una vez conocidas entre qué puntos tenemos elementos de unión, es necesario leer una matriz en la cual se encuentren representadas las naturalezas de estas uniones. Dependiendo del cada valor la unión puede ser: • tipoij = 1: la unión entre la partı́cula i y la j se realiza mediante una cuerda. • tipoij = 2: la unión entre la partı́cula i y la j se realiza mediante una barra. Teresa Garcı́a Albertos.. 40.

(41) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. • tipoij = 0: no existe unión entre la partı́cula i y la j. Para la elaboración de esta matriz se necesita una matriz vacı́a de dimensiones nparticulas x nparticulas . Siguiendo con el ejemplo anterior:   0 0 0 tipo = 0 0 0 0 0 0 Utilizando la matriz de uniones rellenamos la matriz de tipo sabiendo qué huecos son nulos y cuáles no.   0 x 0 tipo = x 0 x 0 x 0 A continuación se sustituye la x por  0  tipo = 1 0. el tipo de unión correspondiente.  1 0 0 2 2 0. Lo cual representarı́a que entre la partı́cula 1 y la partı́cula 2 se encuentra una cuerda y que entre la partı́cula 2 y la partı́cula 3 se encuentra una barra. Partı́culas fijas: se trata de un vector cuyos componentes solo pueden tener el valor 0 o 1. Si el un componente tiene el valor 0 significa que la partı́cula numerada con dicho ı́ndice no es una partı́cula fija. Por otro lado, si tiene el valor de 1, significa que la partı́cula está fija. Que una partı́cula esté fija conlleva que aunque esta unión está soportando esfuerzos, su movimiento está impedido. La posición a la que la partı́cula está fijada es a su posición inicial por lo que que una partı́cula se encuentre fija no significa que esté anclada exclusivamente al suelo. Continuando con el ejemplo. Al tener 3 partı́culas, este vector tendrá dimensión 3x1. Si la única partı́cula fija es, por ejemplo la particula3 , este vector tendrá la forma:   0  f ijas = 0 1. Teresa Garcı́a Albertos.. 41.

(42) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Todas estas variables deben estar escritas en un fichero .dat para que el programa sea capaz de interpretarlo. En cada iteración el programa genera dos tipos de archivos de salida. Por un lado genera archivos con extensión .vtk para poder ser leı́dos y visualizados posteriormente mediante ParaView y por otro lado genera archivos .out. Cada tipo de archivo será guardado en carpetas independientes para su mejor manejo. Los archivos .vtk tienen un formato concreto para poder ser ejecutados correctamente por ParaView y su interpretación puede ser más complicada por parte del usuario, los archivos .out son los que describen en cada iteración la situación de todo el sistema de una forma más sencilla. En los archivos .out se realizará primeramente una copia de las condiciones iniciales del sistema para saber en todo momento cómo ha evolucionado el sistema. Se señalizará el número de iteración correspondiente y el tiempo que ha estado corriendo el programa. A continuación se irán grabando los datos de posiciones de todos los puntos junto con sus velocidades y fuerzas totales a las que se ven sometidos. Las fuerzas totales también se pueden estudiar dividiéndolas entre las fuerzas que ejercen las barras a cada punto y las fuerzas que ejercen las cuerdas a los mismos. Ası́ como las elongaciones de todos los elementos de unión.. Como ya se ha comentado, en cada iteración el programa realizará dos subrutinas: Subrutina de Fuerzas: se necesitarán como valores de entrada tanto las posiciones de todas las partı́culas como las propiedades de cada elemento. En esta subrutina se comprobarán las elongaciones de todas las barras y cuerdas. Si la elongación de las cuerdas es positiva, significará que la cuerda está tensada y por lo tanto genera esfuerzos sobre sus nodos correspondientes. Si la elongación de la barra es negativa, este elemento se encontrará comprimido y por tanto ejerciendo esfuerzos sobre sus nodos extremos. Las barras por su naturaleza también pueden trabajar a tracción, sin embargo en estas estructuras únicamente estarán sometidas a compresión. Se realiza el sumatorio en cada nodo de todas las fuerzas debidas a los elementos que llegan al mismo y se le añade la fuerza que ejerce la gravedad según el eje z. Una vez obtenidas las fuerzas es posible obtener la velocidad de cada partı́cula como se Teresa Garcı́a Albertos.. 42.

(43) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. comentó en el apartado de Fundamento Teórico. Subrutina de Movimiento: se necesitarán como valores de entrada las posiciones de las partı́culas ası́ como el paso temporal y la velocidad de cada nodo calculada previamente en la subrutina de Fuerzas. Mediante la expresión: rnueva = rprevia + 4tv La nueva posición será el parámetro de entrada en la próxima iteración para la subrutina de fuerzas y ası́ sucesivamente hasta completar el número de iteraciones requerido.. Teresa Garcı́a Albertos.. 43.

(44) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 3.2.2.. UPM. ParaView. Una vez hayan sido realizadas todas las iteraciones, se habrán obtenido un archivo .vtk para cada posición intermedia. Todos estos archivos están guardados en la carpeta vtk que será abierta por el programa ParaView, el cual será el encargado de la visualización de los resultados.. Teresa Garcı́a Albertos.. 44.

(45) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 26: Archivo .vtk En ParaView se interpretarán este tipo de archivos de la siguiente manera: Número de puntos con su extensión. A continuación se escriben las tres componentes de cada punto en orden. En estos archivos el primer componente por defecto es el 0 por tanto el número de puntos irá desde Teresa Garcı́a Albertos.. 45.

(46) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. el punto0 hasta puntoparticulas−1 Número de lı́neas. El primer valor es entre cuántos puntos se realiza la lı́nea. Los dos puntos siguientes son entre qué puntos se dibuja. Tipo de las lı́neas. Siguiendo el orden en el cual se han identificado las lı́neas, se les da un valor. En este trabajo el 1 representa las cuerdas y se coloreará según el color azul y el 2 representará a las barras y serán de color rojo. Vectores tanto fuerzas en cada punto según sus tres coordenadas como los vectores que representan las fuerzas igualmente según sus tres ejes. Para la mejor comprensión de los resultados, el programa ParaView nos permite incluir elementos geométricos que ayuden como referencia a la evolución del sistema. Se ha elegido incluir un plano que será correspondiente al plano del suelo para que el estudio de la simulación sea más sencillo. Además se han incluido dos tipos de filtros. Por un lado un filtro Tube para representar cada lı́nea según el TIPO correspondiente y un filtro tipo Glyph el cual permite la visualización de las fuerzas y velocidades en forma de flecha.. Figura 27: Parámetros ParaView. Teresa Garcı́a Albertos.. 46.

(47) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 3.3.. UPM. Validación del programa. El programa va a ser la base sobre la cual se van a ir probando distintas geometrı́as para comprobar su estabilidad. Por ello es esencial asegurarse de que responde correctamente a la realidad. Para ello se han realizado la simulación de distintas estructuras que se sabe cuál es su evolución, ya sea porque no son estables y acaban en el suelo o porque son estructuras que han sido comprobadas su estabilidad previamente por otros autores. Se han realizado las siguientes comprobaciones: 3.3.1.. 2 barras y 1 cuerda. Esta composición es claramente intestable. Para comprobar que el programa es válido, se introducen la posición inicial de los cuatro puntos: R1 x = −0,010 R1 y = 0,500 R1 z = 0,856 R2 x = 0,000 R2 y = 0,000 R2 z = 0,000 R3 x = −0,500 R3 y = 0,500 R3 z = 0,856 R4 x = −0,500 R4 y = 1,000 R4 z = 0,000 Es necesaria la matriz de uniones y la de tipo  2 3 0 1 0 0 uniones =  1 4 0 3 0 0  0 2 tipo =  1 0. 2 0 0 0. 1 0 0 2. de uniones:  0 0  0 0.  0 0  2 0. También hay que indicar los puntos que se encuentran fijos al suelo que son los que no presentan velocidad aunque sı́ fuerzas. Estos puntos son los extremos de las barras apoyados sobre el suelo:   0 1  f ijas =  0 1. Teresa Garcı́a Albertos.. 47.

(48) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 28: 2 barras 1 cuerda Como se ha comentado, esta situación no es estable y deberı́a caer al suelo. Por tanto se hace correr al programa con estos valores iniciales y se comprueba qué ocurre.. Teresa Garcı́a Albertos.. 48.

(49) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 3.3.2.. UPM. Prisma básico. En el ejemplo anterior se ha validado una situación en la cual no se llega a una situación de equilibrio estable si no que todo acaba en el suelo. A continuación se va a evaluar un caso que se ha comprobado que es estable y que ha sido construida. Es el caso del prisma básico de base triangular. Primeramente se ha construido con cables que son elásticos. Esto es debido a que al principio no se sabe dónde van a acabar exactamente cada punto. Los cables elásticos permiten en una primera aproximación dejar a los vértices un ligero movimiento libre para que solos lleguen a la posición de equilibrio. Una vez construida la figura se mide la situación de todos los vertices y se comprueba la longitud concreta de todas las barras y cuerdas. R1 x = 0,058 R1 y = −0,024 R1 z = 0,357 R2 x = −0,008 R2 y = 0,062 R2 z = 0,357 R3 x = −0,050 R3 y = −0,038 R3 z = 0,357 R4 x = 0,100 R4 y = 0,000 R4 z = 0,000 R5 x = −0,050 R5 y = 0,087 R5 z = 0,000 R6 x = −0,050 R6 y = −0,087 R6 z = 0,000 Al igual que en el caso anterior es tipo de uniones:  2 1  1 uniones =  1  2 1  0 1 1 0  1 1 tipo =  1 2  0 1 2 0. necesaria la matriz de uniones y la de 3 3 2 2 3 3 1 1 0 0 2 1. 4 5 6 5 4 4 1 2 0 0 1 1. 6 4 5 6 6 5 0 1 2 1 0 1.  0 0  0  0  0 0  2 0  1  1  1 0. 0 0 0 0 0 0. Este tipo de estructura es estable independientemente de si sus puntos de la base están fijos a la base o no, por tanto en este caso el vector correspon-. Teresa Garcı́a Albertos.. 49.

(50) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. diente a los puntos fijos es:   0 0   0  f ijas =  0   0 0 Una vez inicializados todos estos parámetros en el programa, se pone a correr un número determinado de iteraciones. A continuación se observan los resultados en el ParaView. Aquı́ pueden observarse los pasos 1, 500 y el 1000. Figura 29: Iteración 1. Teresa Garcı́a Albertos.. Figura 30: Iteración 500. 50.

(51) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Punto 1 2 3 4 5 6 1 Sin unión Cuerda 1 Cuerda 2 Cuerda 3 Sin unión Barra 1 2 Cuerda 1 Sin unión Cuerda 4 Barra 2 Cuerda 5 Sin unión 3 Cuerda 2 Cuerda 4 Sin unión Sin unión Barra 3 Cuerda 6 4 Cuerda 3 Barra 2 Sin unión Sin unión Cuerda 7 Cuerda 8 5 Sin unión Cuerda 5 Barra 3 Cuerda 7 Sin unión Cuerda 9 6 Barra 1 Sin unión Cuerda 6 Cuerda 8 Cuerda 9 Sin unión Cuadro 1: Uniones. Figura 31: Iteración 1000 Puede observarse que en la primera iteración la altura de la figura es considerablemente menor que la del resto de iteraciones, esto es debido a que las condiciones iniciales que han sido implementadas, corresponden a un estado tensional que somete a las barras a una compresión excesiva. Esto lo que hace es que para alcanzar el equilibrio, minimizando la energı́a interna, la figura tiende a expandirse hacia arriba. Sin embargo, entre la iteración 500 y la 1000 prácticamente no se ve diferencia. Es debido a que se ha llegado a la posición estable de equilibrio. Con las medidas obtenidas por el programa se intenta realizar la misma construcción esta vez sin que los cables sean elásticos para ver si es posible. Finalmente se comprueban los valores obtenidos empı́ricamente con los que se obtendrı́an según la teorı́a.. Teresa Garcı́a Albertos.. 51.

(52) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Demostración Esta demostración ha sido sacada del artı́culo .A practical guide to tensegrity design.escrito por Robert William Burkhardt Jr de la universidad de Cambridge, EEUU. Se utilizará un método de Form Finding estático. El triángulo de la base se se encuentra en una circunferencia que pasa por los tres vértices. Como condiciones iniciales del problema se considerarán constantes el radio de esta circunferencia, r, la longitud de las barras s y también se considerará que toda la estructura es simétrica. Al haber fijado el radio de la circunferencia, también se han fijado los cables horizontales. Las variables son la altura final de la estructura y el ángulo girado del triángulo superior con respecto al triángulo de la base. Con estos datos, el objetivo del problema consiste en minimizar la longitud de las cuerdas verticales.. Figura 32: Dimensiones del simplex [19] l = longitud de la cuerda vertical. h = altura final de la estructura. r = radio de la circunferencia. s = longitud de la barra ϑ = ángulo girado.. Teresa Garcı́a Albertos.. 52.

(53) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Puntos z radio ϑ 1 0 r 0 2π 2 0 r 3 3 0 r - 2π 3 4 h r ϑ 5 h r ϑ + 2π 3 6 h r ϑ − 2π 3 Cuadro 2: Dimensiones del Simplex 3-T-Strut Para alcanzar la expresión a minimizar, hay que pasar por la fórmula de la longitud de una cuerda sobre un cilindro: l2 = (4z)2 + 2r2 − 2r2 cos(4ϑ) En este caso 4z es la altura de la estructura, es decir, h. Por tanto, variando h y ϑ, hay que minimizar la expresión l2 = h2 + 2r2 − 2r2 cos(. 2π − ϑ) 3. El valor 2π se debe a que es un triángulo equilátero. Por otro lado se sabe 3 que la longitud de las barras es constante y corresponde a: s2 = h2 + 2r2 − 2r2 cos(ϑ) Sustituyendo obtenemos una expresión a minimizar que únicamente depende de la variable ϑ 2π s2 + 2r2 cos(ϑ) − 2r2 cos( − ϑ) 3 Desarrollando se llega a la conclusión de los valores recogidos en el Cuadro 2 representado arriba.. Comprobando los resultados obtenidos experimentalmente con los teóricos y viendo que concuerdan se da por válido el programa.. Teresa Garcı́a Albertos.. 53.

(54) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Puntos z radio ϑ 1 0 4cm 0 2π 2 0 4cm 3 3 0 4cm - 2π 3 4 14cm 4cm - π6 π 5 14cm 4cm 2 6 14cm 4cm − 5π 6 Cuadro 3: Dimensiones del Simplex 3-T-Strut construido. Figura 33: Planta de la estructura. Figura 34: Construcción del Simplex. Para el cálculo de los ángulos se ha considerado el ángulo 0 al punto 1. Figura 35: Planta de la estructura simulada. Teresa Garcı́a Albertos.. Figura 36: Planta de la estructura construida. 54.

(55) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 37: Evolución de la partı́cula 4 desde la iteración 1 a la 200. Figura 38: Evolución de la partı́cula 1 desde la iteración 1 a la 200 Tanto en la figura 37 como en la 38 se puede observar cómo se le da una posición inicial a las partı́culas y ellas son capaces de alcanzar una posición final de equilibrio. Esto se puede comprobar en las gráficas viendo cómo llegan a un valor estable.. Teresa Garcı́a Albertos.. 55.

(56) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 3.3.3.. UPM. Pirámide tensegrı́tica. Diseño Para llegar a esta figura se partió como base del prima básico mencionado en el apartado anterior. Y se fueron realizando diveros cambios y comprobando con el programa la estabilidad de cada caso hasta llegar a la composición final. Variante 1. Primero se eliminaron las cuerdas verticales manteniendo en la misma posición inicial todos los puntos. R1 x = 0,058 R1 y = −0,024 R1 z = 0,357 R2 x = −0,008 R2 y = 0,062 R2 z = 0,357 R3 x = −0,050 R3 y = −0,038 R3 z = 0,357 R4 x = 0,100 R4 y = 0,000 R4 z = 0,000 R5 x = −0,050 R5 y = 0,087 R5 z = 0,000 R6 x = −0,050 R6 y = −0,087 R6 z = 0,000  2 1  1 uniones =  2  3 1. . 0 1  1 tipo =  0  0 2. 1 0 1 2 0 0. 3 3 2 5 4 4. 1 1 0 0 2 0. 6 4 5 6 6 5. 0 0 0 0 0 0. 0 2 0 0 1 1. 0 0 2 1 0 1. 0 0 0 0 0 0.  0 0  0  0  0 0.  2 0  0  1  1 0.   0 0   0  f ijas =  0   0 0 Teresa Garcı́a Albertos.. 56.

(57) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 39: Variante 1 El problema en esta figura es similar al caso de dos barras y una cuerda. Se produce un momento torsor debido a que no hay ninguna fuerza de tracción vertical que compense a la compresión que se ven sometidas las barras. Esto globalmente hace que la figura gire y acabe en el suelo. Variante 2. A continuación se fijaron las barras al suelo, esto permitió eliminar las cuerdas horizontales que unı́an los puntos de la base del prima. Además, se hizo que el triángulo de la base fuera más grande que el triángulo superior. Esto se hizo para que aunque las barras siguieran trabajando a compresión, la componente vertical de esta fuerza fuera menor y minimizar ası́ el momento torsor comentado anteriormente. Como se dijo, este momento es debido a que la fuerza de compresión de las barras en el eje z no se ve compensada con ninguna fuerza en sentido contrario en el mismo eje. Por tanto se optó a volver a utilizar las cuerdas verticales eliminadas en el paso anterior. R1 x = 0,074 R1 y = 0,036 R1 z = 0,758 R2 x = −0,068 R2 y = 0,046 R2 z = 0,758 R3 x = −0,006 R3 y = −0,082 R3 z = 0,758 R4 x = 0,800 R4 y = 0,000 R4 z = 0,000 Teresa Garcı́a Albertos.. 57.

(58) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. R5 x = −0,400 R5 y = 0,693 R5 z = 0,000 R6 x = −0,050 R6 y = −0,693 R6 z = 0,000 . 2 1  1 uniones =  1  1 2. . 0 1  1 tipo =  1  2 0. 1 0 1 0 1 2. 3 3 2 3 2 3. 1 1 0 2 0 1. 4 5 6 0 0 0. 5 6 4 0 0 0. 1 0 2 0 0 0. 2 1 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0.  0 0  0  0  0 0.  0 2  1  0  0 0.   0 0   0  f ijas =  1   1 1. Teresa Garcı́a Albertos.. 58.

(59) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 40: Variante 2 El problema de esta situación es que mientras que las cuerdas verticales tensadas compensan las fuerzas a las que se ven sometidas las barras, no hay nigún elemento que tense las cuerdas superiores si las cuerdas superiores no están tensadas no hay ninguna fuerza que fuerce a las barras a levantarse de la base y esto trae consigo que toda la estructura colapse. Variante 3. Como se ha comentado, el problema es que las cuerdas horizontales superiores no están tensadas. Para solventar este problema, se incluyó otra barra, esta vez en posición completamente vertical y situada en el centro para que la estructura mantuviera la simetrı́a y hacer más fácil el problema de la compensación de fuerzas. Para sujetar esta barra, se atirantó con las cuerdas que en un principio estaban colocadas de manera horizontal. Este paso soluciona dos problemas. Por un lado permite que la barra central no caiga y por otro lado tensa las cuerdas que no sufrı́an tensión ninguna y hacı́an al sistema colapsar. R1 x = 0,150 R1 y = 0,000 R1 z = 0,000 R2 x = −0,075 R2 y = 0,129 R2 z = 0,000 R3 x = −0,075 R3 y = 0,129 R3 z = 0,000 R4 x = 0,070 R4 y = 0,000 R4 z = 0,095 R5 x = −0,050 R5 y = 0,065 R5 z = 0,095 Teresa Garcı́a Albertos.. 59.

(60) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. R6 x = −0,050 R6 y = −0,065 R6 z = 0,095 R7 x = 0,000 R7 y = 0,000 R7 z = 0,000 R8 x = 0,000 R8 y = 0,000 R8 z = 0,150 . 4 5  6  1 uniones =  2  3  8 7  0 0  0  1 tipo =  2  0  0 0. 0 0 0 0 1 2 0 0. 5 6 4 8 8 8 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0. 0 0 0 3 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0. 2 1 2 0 0 0 0 0. 0 2 1 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2. 0 0 0 0 0 0 0 0.  0 0  0  0  0  0  0 0.  0 0  0  1  1  1  2 0.   0 0   0   1  f ijas =  1   1   0 0. Teresa Garcı́a Albertos.. 60.

(61) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 41: Variante 3 Esta disposición de elementos se comprobó estable.. Teresa Garcı́a Albertos.. 61.

(62) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 4.. UPM. Resultados. 4.1.. Dimensiones. Partı́amos de una estructura cuyos elementos de unión tenı́an las siguientes medidas: Puntos 1 1 Sin unión 2 Sin unión 3 Sin unión 4 Cable 0.115m 5 Barra 0.19m 6 Sin unión 7 Sin unión 8 Sin unión. 2 Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Cable 0.115m Barra 0.19m Sin unión Sin unión. 3 Sin unión Sin unión Sin unión Barra 0.19m Sin unión Cable 0.115m Sin unión Sin unión. 4 Cable 0.115m Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión. 5 Barra 0.19m Cable 0.115m Barra 0.19m Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión. 6 Sin unión Barra 0.19m Cable 0.115m Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión. 7 Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Barra 0.151. 8 Sin unión Sin unión Sin unión Cable 0.08m Cable 0.08m Cable 0.08m Barra 0.151m Sin unión. Cuadro 4: Uniones destensadas Finalmente las medidas de los elementos de la estructutra en la última iteración quedan: Puntos 1 1 Sin unión 2 Sin unión 3 Sin unión 4 Cable 0.133m 5 Barra 0.189m 6 Sin unión 7 Sin unión 8 Sin unión. 2 Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Cable 0.133m Barra 0.189m Sin unión Sin unión. 3 Sin unión Sin unión Sin unión Barra 0.189m Sin unión Cable 0.133m Sin unión Sin unión. 4 Cable 0.133m Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión. 5 Barra 0.189m Cable 0.133m Barra 0.189m Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión. 6 Sin unión Barra 0.189m Cable 0.133m Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión. 7 Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Barra 0.149. 8 Sin unión Sin unión Sin unión Cable 0.081m Cable 0.081m Cable 0.081m Barra 0.149m Sin unión. 7 Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Compresión. 8 Sin unión Sin unión Sin unión Tracción Tracción Tracción Compresión Sin unión. Cuadro 5: Uniones tensadas Por lo que cada elemento estarı́a trabajando: Puntos 1 1 Sin unión 2 Sin unión 3 Sin unión 4 Tracción 5 Compresión 6 Sin unión 7 Sin unión 8 Sin unión. 2 Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Tracción Compresión Sin unión Sin unión. 3 Sin unión Sin unión Sin unión Compresión Sin unión Tracción Sin unión Sin unión. 4 5 Tracción Compresión Sin unión Tracción Sin unión Compresión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión. 6 Sin unión Compresión Tracción Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión Sin unión. Cuadro 6: Tipo de tensiones. Teresa Garcı́a Albertos.. 62.

(63) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Estos datos obtenidos son factibles acorde con la naturaleza de este tipo de estructuras y cada tipo de elemento. Era necesario que las barras trabajaran a compresión y los cables a tracción.. Teresa Garcı́a Albertos.. 63.

(64) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 4.2.. UPM. Evolución del sistema. Para comprobar la estabilidad de la estructura se van mirar la evolución de las posiciones de tres puntos de la estructura: Punto 1: se trata de un punto fijo. Por su naturaleza aunque soporte fuerzas, no presenta movimiento, por tanto, que la posición se mantenga constante tiene sentido.. Figura 42: Evolución de la partı́cula 1 hasta la iteración 200 Punto 4: se trata de un punto móvil. Teóricamente estos puntos acaban con velocidad nula por el equilibrio de fuerzas. El estudio de la partı́cula ha concluido en la iteración 200 que es cuando se percibe la tendencia del punto a alcanzar una posición fija. Sin embargo, aun tiene un ligero movimiento. Por ello, aún presenta cierta velocidad sobre ella aunque al final se anularará.. Teresa Garcı́a Albertos.. 64.

(65) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 43: Evolución de la partı́cula 4 hasta la iteración 200 Punto 8: se trata de un punto móvil el cual está sujeto gracias a los tirantes que parten de los puntos 4, 5, 6. El equilibrio entre estos tirantes hace que se anulen las fuerzas de los mismos sobre el punto 8, por tanto, sobre él solo ejerce fuerza la gravedad. Esto explica que el único movimiento que presente este punto sea sobre el eje z y tienda a comprimir la barra.. Teresa Garcı́a Albertos.. 65.

(66) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 44: Evolución de la partı́cula 8 hasta la iteración 200 Para comprobar la evolución en conjunto del sistema se visualizará mediante ParaView. A continuación se han incluido las etapas de la evolución más representativas: Iteración 1. Figura 45: Sistema en la iteración 1. Teresa Garcı́a Albertos.. Figura 46: Sistema en la iteración 1. 66.

(67) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 47: Fuerzas en la iteración 1 Puede observarse cómo la estructura comienza con los cables (representados en azul) destensados mientras que las barras (representadas en rojo) aparecen trabajando a compresión. Iteración 100. Figura 48: Sistema en la iteración 100. Teresa Garcı́a Albertos.. Figura 49: Sistema en la iteración 100. 67.

(68) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 50: Fuerzas en la iteración 100 Puede observarse cómo ahora sobre los puntos, las cuerdas también ejercen fuerza porque ya aparecen tensadas. Estas fuerzas tienden a girar la estructura como se ve en la imagen de la planta de la estructura. La existencia de fuerzas sobre los puntos no fijos representa que la estructura aún no ha alcanzado el equilibrio. Estructura en equlibrio. Figura 51: Sistema en equilibrio Teresa Garcı́a Albertos.. Figura 52: Sistema en equilibrio 68.

(69) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Estas imágenes representan la estructura en la iteración 200. Puede comprobarse que no hay cambio significativo entre la iteración 100 y esta, por tanto se conseidera que la estructura está en equilibrio o muy próximo a él y se concluyen las iteraciones por no obtener mejoras signifcativas. Una vez comprobado que el programa es válido y que la estructura es estable, se realizará la comprobación de las fuerzas de los elementos y se realizará finalmente el montaje de la estructura.. Teresa Garcı́a Albertos.. 69.

(70) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 4.3.. UPM. Fuerzas. Como se ha mencionado en el apartado anterior, al principio las cuerdas se encuentran destensadas y acaban en un estado de tracción que es el que sostiene a la estructura en equilibrio. A continuación se ven reflejados los valores de tensión de las 4 barras y 6 cuerdas de la estructura cuando ésta llega al equilibrio. Estas fuerzas son las únicas necesarias a la hora de construir el diseño. Todos los valores de estas fuerzas están referenciados respecto al origen de coordenadas global de la estructura. Esto justifica que aunque la estructura sea simétrica, no todos los componentes presenten las mismas tensiones. Si la referencia fuera tomada localmente en cada elemento, esta simetrı́a de fuerzas serı́a más evidente. Barra 1. Desde el punto 1 al punto 4. Fx = −1,052N Fy = 0,310N Fz = 0,547N. Barra 2. Desde el punto 2 al punto 5 Fx = 0,155N Fy = −0,875N Fz = 0,488N. Barra 3. Desde el punto 3 al punto 6 Fx = 0,419N Fy = 0,384N Fz = 0,291N. Barra 4. Desde el punto 7 al punto 8 Fx = 0N Fy = 0N Fz = −10,29N. Teresa Garcı́a Albertos.. 70.

(71) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Cuerda 1. Desde el punto 1 al punto 5 Fx = −2524,62N Fy = −370,36N Fz = 2180,78N. Cuerda 2. Desde el punto 2 al punto 6 Fx = 1433,65N Fy = −1873,21N Fz = 1966,01N. Cuerda 3. Desde el punto 3 al punto 4 Fx = 818,40N Fy = 2647,03N Fz = 2579,48N. Cuerda 4. Desde el punto 4 al punto 8 Fx = −13,97N Fy = 4,13N Fz = 14,67N. Cuerda 5. Desde el punto 5 al punto 8 Fx = 4,58N Fy = −16,82N Fz = 22,48N. Cuerda 6. Desde el punto 6 al punto 8 Fx = 17,46N Fy = 13,29N Fz = 22,01N. Puede comprobarse cómo las tensiones a las que se ven sometidas las cuerdas son mucho mayores que las tensiones de compresión a las que se ven sometidas las barras. Este rasgo es el fundamental y es por el cual se dice que en este tipo de estructuras es la tensión de las cuerdas las que permiten el equilibrio. Esta elevada tensión justifica la hipótesis realizada al principio de este trabajo por la cual se decı́a que los pesos de las barras y cuerdas iban a ser despreciados en comparación con el resto de las fuerzas que se ponen de manifiesto. Teresa Garcı́a Albertos.. 71.

(72) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 4.4.. UPM. Montaje. Para su montaje se ha utilizado una base sobre la que se han ido colocando el resto de elementos: Tres barras de sección cuadrada. Cada base presenta una argolla en un extremo y un anclaje para su unión con la base en el otro. Estas barras son de Barra de sección circular. Presentará un enganche en solo un extremo. Esta barra no necesita anclaje adicional pues no irá fija a la base. Sedal de diámetro 0.30 mm lo cual corresponde a una resistencia en kg de 5.8. Sobre la base se realizan marcas en las coordenadas a las que deben ir los puntos fijos. Las coordenadas implementadas en el programa fueron: Punto 1: Rx = 0,8m Ry = 0m Punto 2: Rx = −0,4m Ry = 0,69m Punto 3: Rx = −0,4m Ry = −0,69m Igualmente todas las medidas de barras y cuerdas son las finales obtenidas en el programa Tres barras de 19cm Barra de 15cm Tres cuerdas de 11.5 cm Tres cuerdas de 0.8cm. Teresa Garcı́a Albertos.. 72.

(73) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 53: Montaje con cuerdas elásticas Como se ha visto, las tensiones a las que se ven sometidas las cuerdas son muy elevadas. Por ello, para facilitar el montaje, primero se realizará con cuerdas elásticas. Esto hará más sencillo alcanzar las posiciones de equilibrio.. A continuación se le añadieron los hilos de sedal de la longitud calculada y se procedió a retirar las uniones elásticas. Al eliminar las uniones elásticas, toda la tensión recae sobre el sedal que se tensa y mantiene en equilibrio a la estructura.. Teresa Garcı́a Albertos.. 73.

(74) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. UPM. Figura 54: Montaje con sedal Finalmente se comprobará la similitud de la estructura construida con la visualización obtenida en ParaView. Figura 55: Estructura real. Teresa Garcı́a Albertos.. Figura 56: Estructura simulada. 74.

(75) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Figura 57: Estructura real. Teresa Garcı́a Albertos.. UPM. Figura 58: Estructura simulada. 75.


(77) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 5.. UPM. Valoración de impactos y de aspectos de responsabilidad legal, ética y profesional relacionados. En este apartado, se va a incluir una valoración de los impactos de este proyecto y se mencionarán algunos aspectos de responsabilidad legal, ética y profesional. El estudio en este tipo de estructuras tiene un importante impacto profesional en cuanto a que se tratan de una variante estructural que se encuentra a la vanguardia y que constituyen una clara evolución con respecto a las estructuras convencionales. El empleo de estos diseños en construcciones de gran tamaño es de utilidad a la hora de ahorrar en materiales lo que conlleva un destacable ahorro económico además de aportar estéticamente una apariencia más impactante. En el ámbito ético, una disminución en el empleo de materiales afecta de manera directa convirtiendo a estas estructuras en una buena opción a la hora de conseguir un diseño más sostenible mediante el mı́nimo consumo de recursos. Por otro lado, al conseguir espacios más diáfanos debido a la pequeña sección de las vigas que componen estas construcciones, permiten conseguir espacios que aprovechen mejor la luz natural repercutiendo ası́ en un menor consumo de electricidad. Socialmente también tienen repercusión ya que mediante estas estructuras pueden generarse todo tipo de edificios civiles aprovechables por la población.. Teresa Garcı́a Albertos.. 77.


(79) Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. 6.. UPM. Conclusiones. Este trabajo ha servido para ampliar y aplicar mi conocimiento en dos vertientes: por un lado en el ámbito de la arquitectura y la evolución de distintas corrientes referentes a la construcción y por otro lado las matemáticas y todo lo relacionado a lenguajes de programación que han sido empleados. Las conclusiones sacadas desde el punto de vista estructural y arquitectónico se basan en que los estudios y las lı́neas de investigación actuales están enfocadas en unos diseños más sostenibles y económicos. Se intentan elaborar construcciones que se mimeticen lo máximo posible con la naturaleza siguiendo sus formas y valorando todos los materiales que se ponen en práctica. Esto choca con tendencias pasadas basadas en la ostentosidad y muestra de poder mediante la construcción de estructuras masivas. En cuanto a las matemáticas y la programación cabe destacar lo ligadas que están las matemáticas con la ingenierı́a y en particular con todo el campo de las estructuras. Esto queda demostrado en que a lo largo de todo el trabajo se han ido haciendo referencia de manera indistintiva al trabajo realizado tanto por matemáticos como ingenieros en muchos casos trabajando juntos.. Teresa Garcı́a Albertos.. 79.
