NIVEL A.pdf

(1)

Nivel : B (Intercambio) Tema : Geometr´ıa

SeaABCD un rectángulo tal que BC = 2AB,4BCE un triángulo equilátero cuyos lados inter-secan aAD yM el punto medio deCE. Entonces la medida del ]CM D es

a) 60o b) 75o c) 80o d) 87o

Soluci´on:

Tenemos que EC=BC. Adem´as 2M C =EC =BC = 2AB ⇒M C =AB=DC. As´ı, el4CDM es is´osceles.

Ahora m]M CD = m]BCD−m]BCE = 90o−60o

= 30o

Por lo tanto, m]M CD+m]CM D+m]CDM = 180o ⇒30o + 2m]CM D = 180o ⇒m]CM D = 75o

Nivel: B (Intercambio) Tema: Razonamiento l´ogico

Dada la siguiente secuencia XY Z55XY5XY Z55XY5XY Z55XY5, entonces la letra o el n´umero que se encuentra en la posici´on 2011 corresponde a

a)X b) Y c)Z d) 5

Soluci´on:

Se puede apreciar que en la secuencia dada existe un periodo de ocho elementos por lo que realizamos la siguiente divisi´on: 2011 : 8 = 251, con residuo 3 por lo que la letra que se encuentra en la posici´on 2011 esZ.

Por lo que la opci´on correcta es c.

Nivel: A

(2)

Una baldosa cuadrada se une con cuatro baldosas rectangulares iguales de tal manera que se forma una baldosa cuadrada m´as grande que la original. Si el per´ımetro de cada baldosa rectangular es 14, entonces el ´area de la baldosa cuadrada grande es

a) 49 b) 64 c) 100 d) 121

Soluci´on:

La baldosa cuadrada grande es de tal forma que su lado es la suma del largo y ancho de cada baldosa rectangular. Como el per´ımetro de cada baldosa rectangular es 14, entonces la suma del largo y ancho es 7 . Por lo tanto, el ´area de la baldosa cuadrada grande es 49.

Nivel: A

Tema: Geometr´ıa

Se triseca (divide en tres partes iguales) cada lado de un cuadrado y se inscribe otro cuadrado de tal forma que sus vértices son puntos de trisección. Entonces la razón entre el área del cuadrado inscrito y el área del cuadrado mayor es

a) √

3 3 b) 5

9 c) 2 3 d)

√ 5 3 Soluci´on:

Supongamos que el cuadrado es de lado 3, entonces su área es 9. Cada uno de los cuatro triángulos rectángulos que se forman tiene área 1·2

2 = 1 . As´ı, el área del cuadrado inscrito es igual al área del cuadrado mayor menos la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos; o sea 9-4=5. Por lo tanto la razón es 5

9 . Nivel: A

Tema: Geometr´ıa

Dado un pentágonoABCDE , sea M el punto medio del segmentoAB. Trácese una recta paralela al segmento BC por M y sea N el punto de intersección de dicha recta con la recta

←→

AC , entonces N C es equivalente a

a)BM

(3)

c) AN ·BM M N

d) AN·BC 2M N

Soluci´on:

Los tri´angulos4AM N y4ABCson semejantes, por lo que AC AN =

BC

M N , de dondeAC =

AN ·BC M N adem´asAC = 2N C por lo queN C= AN ·BC

2M N . Nivel: A, F´acil

Tema: Geometr´ıa

El área de un cuadrado es el doble del área de un triángulo, y la base del triángulo mide el doble del lado del cuadrado. Entonces la razón entre el lado del cuadrado y la altura del triángulo es

a) 1 2 b) 1 c) 2 d) 1

4 Soluci´on:

Seal el lado del cuadrado, b,h la base y altura del tri´angulo respectivamente. Sabemos l2 = 2·bh 2 yb= 2l entoncesl2= 2·l·h de dondeh= 1

2·l. Por tanto, l

h = l 1 2·l

= 2.

Nivel: A

Tema: Geometr´ıa

Si en un triángulo dado uno de sus ángulos internos mide 42◦ y otro de sus ángulos externos mide 84◦. Entonces dicho triángulo se clasifica de acuerdo con medida de sus lados como

a) Escaleno b) Equilátero c) Isósceles d) Acutángulo

Soluci´on:

Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180◦ y además un ángulo interno y ángulo externo en un vértice dado son suplementarios, por lo que

(4)

Entonces la clasificación de dicho triángulo por la medida de sus lados corresponde a isósceles.

Nivel: A

Tema: Geometr´ıa

En la figura, 4ABC es equil´atero, 4CDE es rect´angulo en DyB−C−E

... .

..._... ..._...

... ..._...

..._... ..._...

..._... ...

..._... ..._...

... ..._...

..._... ..._...

..._... ...

..._... ..._...

..._... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... A

B

C

D E

El ´angulo ∠DCE mide a) 22,5◦

b) 30◦ c) 45◦ d) 60◦

Soluci´on:

4ABC equil´atero ⇒ _∠BCA= 60◦ ⇒ _∠CED= 60◦ ⇒ _∠DCE= 30◦.

Nivel: A

Tema: Geometr´ıa

(5)

... . ... • A B C D E F O . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .._...

Entonces el ´area de4DEF es igual a a) 80

b) 90 c) 100 d) 120

Soluci´on:

El hexágono está compuesto por seis triángulos equiláteros congruentes y el triángulo está compuesto por 9 de los mismos triángulos, entonces el área de 4ABC es 90.

Nivel: A

Tema: Razonamiento l´ogico

El ministerio de salud reportó hace un mes que 10 % de la población padeció de una enfermedad. En el trascurso de este mes, 20 % de las personas enfermas se curaron y un 10 % de las personas sanas se enfermaron. Entonces el porcentaje de la población que goza de buena salud actualmente es a) 82

b) 83 c) 90 d) 91

Soluci´on:

El n´umero de personas no es importante en el problema pero podemos suponer que son 100 para resolverlo. Como hace un mes 10 % estaban enfermos, entonces hab´ıa 10 personas enfermas y 90 saludables. En el transcurso del mes, un 20 % de las personas enfermas se curaron;es decir; 2 se recuperaron. El 10 % de las personas saludables; o sea, 9 se enfermaron. De ah´ı se sigue que hay 8 + 9 = 17 personas enfermas y 83 saludables o el 83 %.

(6)

El ´angulo que recorre la aguja de las horas de un reloj en 75 minutos es a) 30◦

b) 32,5◦ c) 35◦ d) 37,5◦

Soluci´on:

En 12 horas la aguja recorre un ´angulo de 360◦. Ahora 75 minutos corresponden a 11

4 horas. Por regla de tres, la aguja recorre un ´angulo de

11 4·360

12 =

5 4 ·360

12 =

75 2 = 37

1

2 = 37,5 Nivel: A

El n´umero de combinaciones posibles para tener 900 colones en 11 monedas de todas las denomina-ciones (c|5, c|10, c|25, c|50, c|100, c|500) es

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Soluci´on:

Se debe tener al menos una moneda de cada denominaci´on, es decir 6 monedas distintas que suman c|690. Por lo tanto se debe tener c|210 en las restantes 5 monedas. Esto significa que no pueden haber m´as monedas de c|500 y a lo sumo una moneda de c|100. Las formas posibles son

# denominación # denominación # denominación

1 100 colones 1 100 colones 4 50 colones

1 50 colones 2 50 colones 1 10 colones

2 25 colones 2 5 colones

1 10 colones

Por lo tanto la respuesta correcta es c.

Nivel: A

En la siguiente cuadr´ıcula deben colocarse los n´umeros 1, 2, 3, 4 de modo que la suma de los n´umeros de cada fila, columna, diagonal y subcuadr´ıcula sea 10.

(7)

Entonces la suma de los n´umeros que deben colocarse en las casillas inferior izquierda y superior derecha es a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 Soluci´on:

La diagonal donde est´an el 3 y 4 solamente puede completarse con 2 y 1. El 1 no puede colocarse en la casilla inferior derecha (pues en esa subcuadr´ıcula faltar´ıa n´umero 5). Para completar la columna derecha deben colocarse el 4 y 3, en la casillas superior debe colocarse el 4 (si se coloca el 3 se llega nuevamente a necesitar un 5 en una casilla).

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 4 3 3 4 2 1 2 1 3 4 4 3 1 2

La ´unica forma posible es colocando los n´umeros por lo que la respuesta correcta es d.

Nivel: A

Si a un alambre de 90 cm se le realizan dos cortes de la siguiente forma:

• El primer corte se realiza de tal forma que resulten dos pedazos en donde uno es el doble de la longitud del otro

• El segundo corte se le aplica al pedazo m´as largo de tal forma que resulten dos pedazos en donde uno es el doble del otro.

Entonces la medida del alambre de menor longitud corresponde a a) 10cm

b) 15cm c) 20cm d) 30cm

Soluci´on:

En el primer corte resultan dos pedazos de 30cm y 60cm. En el segundo corte realizado al pedazo de 60cm resultan dos pedazos de 20cm y 40cm. Por lo que la longitud del alambre m´as corto es de 20cm.

(8)

La cantidad de veces que aparece el n´umero 1 como d´ıgito en los n´umeros naturales menores que 100 corresponde a

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22

Soluci´on:

De 0 a 9 hay 1, de 10 a 11 hay 11, de 20 a 99 hay 8. Entonces hay un total de 1 + 11 + 8 = 20.

Nivel: A

En un grupo hay 50 personas que hablan al menos uno de los idiomas español, inglés y francés. Hay 5 que hablan los tres idiomas, 14 que hablan español e inglés, 11 que hablan francés e inglés y 8 que hablan francés y español. La cantidad de personas que hablan solo uno de estos tres idiomas corresponden a

a) 17 b) 27 c) 32 d) 37

Soluci´on:

Los que hablan inglés y español pero no francés son 14−5 = 9. Los que hablan francés y español pero no inglés son 8−5 = 3. Los que hablan inglés y francés pero no español son 11−5 = 6. De este modo, hay 5 que hablan los tres idiomas. Hay 9 + 3 + 6 = 18 que hablan dos idiomas. Entonces, los que hablan solo un idioma son 50−5−18 = 27

Nivel: A

Se tienen cinco medidores de agua A, B, C, D y E que corresponden cada uno a uno de cinco apartamentos 1, 2, 3, 4 y 5, no necesariamente en ese orden, situados cada uno en un piso distinto de un edificio. Ningún apartamento tiene tanque auxiliar de agua. Quien instaló los medidores ol-vidó señalar qué medidor corresponde a cada apartamento y ahora se ha presentado un daño que obliga a identificarlos correctamente. Se dispone de la siguiente información:

(9)

II) Se cerraron todos los medidores, y posteriormente, al abrir a la vez el A y el B el inquilino del 4 report´o que ten´ıa agua.

III) Luego se cierra A y se abre C (B contin´ua abierto) y no se reporta cambios en la situaci´on de los apartamentos.

Con esta información señale la única afirmación, entre las siguientes, que es falsa a) El medidor E no corresponde al apartamento 5

b) El medidor C corresponde al apartamento 2 o al 5 c) El medidor A corresponde al apartamento 1 o al 3 d) El medidor B corresponde al apartamento 4

Soluci´on:

De II y III se infiere que el medidor B corresponde al apartamento 4. La afirmaci´on d) es verdadera. Como al abrir C no se reportan cambios entonces este medidor corresponde a uno de los apartamen-tos vac´ıos: 2 o 5. As´ı, b) es verdadera.

Cuando A estuvo abierto solo el 4 report´o que ten´ıa agua, pero esta proven´ıa del B (de acuerdo con II y III), entonces A corresponde a uno de los apartamento no habitados (el 2 o el 5). De este modo, c) es falsa.

Como los medidores A y C corresponden a 2 y 5 (en un orden no determinado), entonces B no puede corresponder a ninguno de estos dos. As´ı a) es verdadera.

Nivel: A

Tema: Teor´ıa de n´umeros aritm´etica

La suma de cinco n´umeros entre 1 y 9, todos distintos, es 30. Entonces el menor de los cinco n´umeros que se puede encontrar es

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Soluci´on:

Las ´unicas posibilidades de escoger cinco cifras con la condici´on son 2, 4, 7, 8, 9 y 3, 4, 6, 8, 9. Por lo tanto, la menor cifra que se puede encontrar es 2.

Nivel: A

Tema: Teor´ıa de n´umeros, aritm´etica

La suma de los primeros 2011 n´umeros pares esp y la suma de los primeros 2011 n´umeros impares esq. Entonces la diferenciap−q es

(10)

b) −2010 c) 2011 d) −2011

Soluci´on:

p−q = (2 + 4 + 6 +...+ 4022)−(1 + 3 + 5 +...+ 4021) = (2−1) + (4−3) +...+ (4022−4021)

= 1 +· · ·+ 1

| {z }

2011veces = 2011 Nivel: A

Tema: Teor´ıa n´umeros

Hab´ıa un pastor que sólo sab´ıa contar hasta diez y que ten´ıa a su cargo un rebaño numeroso. Para saber si no le faltaba ninguna oveja inventó un sistema que pon´ıa en práctica todas las tardes. Agru-paba a las ovejas de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco y de seis en seis; en todos los casos le sobraban una oveja. Luego las agrupaba de siete en siete sin que sobrara ninguna. La suma de las cifras del menor número posibles de ovejas es

a) 4 b) 7 c) 9 d) 10

Soluci´on:

Si llamamosnal número de ovejas,n−1 debe ser divisible entre 2, 3, 4, 5, 6 ynmúltiplo de 7. Los números divisibles entre 2, 3, 4, 5, 6 son los múltiplos de 60, y al sumarle 1 debe ser divisible entre 7. Tenemos entonces

n−1 : 60,120,180,240,300 n : 61,121,181,241,301

Vemos que el menor n´umero posible es 301, por lo que la respuesta correcta es a.

Nivel: A

Tema: Teor´ıa de n´umeros

La cantidad de n´umeros positivos de tres d´ıgitos que son divisibles por 11, tales que el d´ıgito de las centenas es la suma de los otros dos d´ıgitos, es

a) 8 b) 9 c) 10 d) 18

(11)

Seana, b, c los d´ıgitos de las centenas, decenas y unidades respectivamente. Para que el n´umeroabcsea divisible por 11, (a+c)−bdebe ser m´ultiplo de 11. Se pide que a=b+c por lo que (a+c)−b=b+c+c−b= 2c.

El único valor posible para que 2c sea múltiplo de 11 es c = 0 . Por lo tanto, a=b . Los números son entonces 110,220,330,440,550,660,770,880,990 o sea 9 números positivos.

Nivel: A

La cantidad de n´umeros primos menores que 100, cuyos d´ıgitos sumen 5 corresponden a a) 2

b) 3 c) 5 d) 6

Soluci´on:

Los n´umeros primos son 5, 23 y 41.

Nivel: A

La cantidad de ceros al final de la cifras del n´umero 158·210·105 corresponde a a) 5

b) 8 c) 10 d) 13

Soluci´on:

158_·₂10_·₁₀5 _{= (3}_·₅₎8_·₂10_·₁₀5 _{= 3}8_·₅8_·₂10_·₁₀5 _{= 3}8_·₅8_·₂8_·₂2_·₁₀5 _{= 3}8_·₂2_·₅8_·₂8 _·₁₀5 ₌

38·22·(5·2)8·105 = 38·22·108·105 = 38·22·1013 As´ı, la cantidad de ceros es 13.

Nivel: A

La cantidad de n´umeros enteros entre 100 y 500 que tienen exactamente 5 divisores es a) 0

b) 1 c) 2 d) 3

Soluci´on:

(12)

primo. Tenemos que 34 = 81<100 y 54 = 625 >500, luego, no hay ningún número que cumpla la condición.

Nivel: A

La cantidad de parejas de n´umeros enteros positivos n,mque satisfacen nm= 3240 +n, es a) 28

b) 32 c) 40 d) 52

Soluci´on: