3 puntos
1. ¿Qu´e hora es 17 horas despu´es de las 17:00?
(A) 8:00 (B) 10:00 (C) 11:00 (D) 12:00 (E) 13:00
R/17 + 17 = 34; 34 - 24 = 10. As´ı son las 10:00 a.m.
2. Un grupo de muchachas est´an de pie en c´ırculo. Xinia es la cuarta hacia la izquierda de Gina y la s´etima hacia la derecha de Gina. ¿Cu´antas muchachas hay en el grupo?
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13
R/De Gina a Xinia, sin incluir a Gina, hay 4, y de Gina a Xinia, sin incluir a Gina, hay 7, eso quiere decir que en total hay 4 + 7 = 11 muchachas, quitando a Xinia porque la contamos dos veces, pero agregando a Gina porque no se cont´o.
3. ¿Qu´e n´umero se le debe restar a−17 para obtener−33?
(A)−50 (B)−16 (C) 16 (D) 40 (E) 50
R/Si a −17 se le resta 16, entonces se tiene que−17−16 =−33.
4. El diagrama muestra a un tri´angulo is´osceles con franjas, y su altura. Cada franja tiene la misma altura. ¿Qu´e fracci´on del ´area del tri´angulo es blanca?
(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 2/3 (D) 3/4 (E) 2/5
R/Dado que las franjas se alternan, y el tri´angulo es is´osceles, entonces el ´area blanca es la mitad del ´area de colores, por lo que es la mitad del ´area total.
5. ¿Cu´al de las siguientes igualdades es correcta?
(A) 4
1 = 1.4 (B)
5
2 = 2.5 (C)
6
3 = 3.6 (D)
7
4 = 4.7 (E)
8 5 = 5.8 R/La ´unica correcta es 5/2 = 2.5.
6. El diagrama muestra dos rect´angulos cuyos lados son paralelos. ¿Cu´al es la diferencia entre las longitudes de los per´ımetros de los dos rect´angulos?
R/Observe que se necesita cada medida dos veces para completar el per´ımetro, es decir, 2×(2 + 4 + 3 + 3) = 24 m.
7. La suma de tres enteros positivos distintos es 7. ¿Cu´al es el producto de estos tres enteros?
(A) 12 (B) 10 (C) 9 (D) 8 (E) 5
R/La ´unica posibilidad es que los enteros sea 1, 2 y 4, por lo que el producto es 8.
8. Isabel tiene 20 euros. Cada una de sus cuatro hermanas tiene 10 euros. ¿Cu´antos euros le debe dar Isabel a cada una de sus hermanas, de manera que todas las cinco hermanas tengan la misma cantidad de dinero?
(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 10
R/Isabel tiene 10 euros de m´as, Si reparte los 10 entre 5, es decir, 2 euros para cada una, entonces cada una de ellas quedar´a con 12 euros en total.
9. Roberto hizo dos dobleces en un pedazo de papel y entonces hizo un agujero en el papel doblado. El papel desdoblado se muestra en al figura.
¿C´omo fue que Roberto dobl´o el pedazo de papel?
(A) (B) (C) (D) (E)
R/Un doblez tuvo que ser diagonal. Debido a la forma del doblez, el agujero no perfor´o 4 veces, por lo que la opci´on correcta es la D.
10. El diagrama muestra cuatro corazones que se sobreponen. Las ´areas de los corazones son 1 cm2, 4 cm2,
9 cm2 and 16 cm2. ¿Cu´al es el ´area sombreada?
(A) 9 cm2 (B) 10 cm2 (C) 11 cm2 (D) 12 cm2 (E) 13 cm2
R/El ´area grande es 16 y le quitamos 9, por lo que el ´area sombreada externa es de 7 cm2. Similarmente, el
´
area sombreada interna es de 4−1 = 3 cm2, por lo que el ´area sombreada es de 10 cm2.
11. La hormiga Lul´u comenz´o a caminar en el extremo izquierdo de la vara y se detuvo a 2
3 de su longitud total. La mariquita Kok´o comenz´o en el extremo derecho de la vara y se detuvo a 3
4 de su longitud total. ¿Qu´e fracci´on de la vara separa a Lul´u y a Kok´o?
(A) 3
8 (B)
1
12 (C)
5
7 (D)
1
2 (E)
5 12
R/ Tomando el extremo izquierdo, la mariquita est´a a 1/4 y la hormiga est´a a 2/3, por lo que las separa 2/3−1/4 = 5/12. Se pudo haber tomado el extremo derecho, de donde la mariquita est´a a 3/4 y la hormiga a 1/3, por lo que las separa 3/4−1/3 = 5/12.
12. Un sexto de la audiencia en un teatro infantil eran adultos. Dos quintos del resto eran ni˜nos varones. ¿Qu´e fracci´on de la audiencia eran ni˜nas?
(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/5 (E) 2/5
R/ Se tiene entonces que 5/6 eran ni˜nos y ni˜nas. As´ı, las ni˜nas eran 3/5 del resto, por lo que en total eran 3/5 de 5/6, es decir (3/5)·(5/6) = 3/6 = 1/2 del total eran ni˜nas.
13. En el diagrama, la l´ınea punteada y la l´ınea continua forman siete tri´angulos equil´ateros. La longitud de la linea punteada es 20. ¿Cu´al es la longitud de la l´ınea continua?
(A) 25 (B) 30 (C) 35 (D) 40 (E) 45
R/La longitud de la l´ınea continua debe ser el doble de la longitud de la l´ınea punteada, dado que en cada tri´angulo hay dos lados formados por la l´ınea continua y un lado corresponde a la l´ınea punteada, as´ı que la longitud de la l´ınea continua es de 40.
14. Cuatro primas, Ema, Eva, Rita y Gina tienen 3, 8, 12 y 14 a˜nos de edad, aunque no necesariamente en ese orden. Ema es menor que Rita. La suma de las edades de Gina y Ema es divisible por 5. La suma de las edades de Gina y Rita tambi´en es divisible por 5. ¿Cu´al es la edad de Eva?
(A) 14 (B) 12 (C) 8 (D) 5 (E) 3
R/Gina debe tener 12 a˜nos, porque 3 con 12 y 8 con 12 son las ´unicas posibilidades de que las sumas sean m´ultiplos de 5, y 12 es el n´umero com´un en ambos casos. As´ı que Eva debe tener 14 a˜nos. (La informaci´on de que Ema es menor que Rita, es innecesaria.)
15. Este a˜no hubo m´as de 800 personas que participaron en la marat´on. El 35% eran mujeres y hab´ıa 252 m´as hombres que mujeres. ¿Cu´antas personas participaron en total?
(A) 802 (B) 810 (C) 822 (D) 824 (E) 840
16. Rita desea escribir un n´umero en cada celda del diagrama que se muestra. Ella ya ha escrito dos de los n´umeros. Ella quiere que la suma de todos los n´umeros sea igual a 35, que la suma de los n´umeros en las tres primeras celdas sea igual a 22, y que la suma de los n´umeros en las tres ´ultimas celdas sea igual a 25. ¿Cu´al es el producto de los n´umeros que ella escribe en las celdas que est´an sombreadas?
3 4
(A) 63 (B) 108 (C) 0 (D) 48 (E) 39
R/Seana,byclos n´umeros que faltan de izquierda a derecha respectivamente. As´ı se necesita quea+b= 19, b+c= 21 ya+b+c= 28. Sustituyendo el valor de a+b en la ´ultima ecuaci´on se tiene que 19 +c= 28 de dondec= 9. De manera similar, sustituyendob+cen la misma ecuaci´on se tiene quea+ 21 = 28 de donde a= 7. As´ıa·c= 63, que corresponde al producto de los n´umeros que est´an en las celdas sombreadas.
17. Sim´on desea cortar un pedazo de papel en 9 tiras del mismo ancho y marca los lugares donde lo debe cortar. B´arbara desea cortar el mismo pedazo de papel en 8 tiras del mismo ancho y tambi´en marca los lugares donde debe cortar. Llega Carlos, y corta el papel en todos los lugares marcados. ¿Cu´antas tiras de papel obtuvo?
(A) 15 (B) 16 (C) 17 (D) 18 (E) 19
R/Dado que 8 y 9 son primos relativos, no hubo ninguna marca en com´un. Para cortar el papel en 9 tiras, Sim´on realiz´o 8 marcas; para cortar el papel en 8 tiras, B´arbara realiz´o 7 marcas, por lo que en total hay 8 + 7 = 15 marcas, de donde se obtienen 16 tiras de papel.
18. Dos segmentos de 1 cm de largo cada uno, se marcan en lados opuestos de un cuadrado de 8 cm de lado. Los extremos de los segmentos se unen como se muestra en la figura. ¿Cu´al es el ´area sombreada?
(A) 2 (B) 4 (C) 6.4 (D) 8 (E) 10
R/ Se tienen dos tri´angulos, cada uno de base 1 y cuyas alturas h1 y h2 suman en total 8 (no se deber´ıa
suponer que las alturas son 4 y 4, y no es necesario asegurarlo, pero utilizando semejanza de tri´angulos no es
dif´ıcil concluirlo, en todo caso). As´ı que el ´area total est´a dada por 1·h1
2 +
1·h2
2 =
h1+h2 2 = 4.
19. Emilia desea escribir un n´umero en cada celda de una tabla 3×3 de tal manera que la suma de los n´umeros en cualesquiera dos celdas que compartan un borde sea la misma. Ella ya ha escrito dos n´umeros, como se muestra. ¿Cu´al es la suma de todos los n´umeros en la tabla?
2
3
(A) 18 (B) 20 (C) 21 (D) 22 (E) 23
2 2
2 2
2
x
x x
x
y dado que x est´a en la posici´on del 3, entonces el 2 est´a 5 veces y el 3 est´a 4 veces, por lo que los n´umeros suman 22.
20. Tom´as desea escoger dos d´ıas de la semana para su entrenamiento, de manera que no sean d´ıas consec-utivos. ¿De cu´antas formas lo puede hacer?
(A) 16 (B) 14 (C) 12 (D) 10 (E) 8
R/ Si el primer d´ıa es el domingo, tiene de martes a viernes (4 opciones) para escoger el segundo d´ıa. Si escoge el lunes como el primer d´ıa, tiene de mi´ercoles a s´abado (4 opciones) para escoger el segundo d´ıa. Si martes es el primer d´ıa, tiene de jueves a s´abado (3 opciones; ya no puede escoger el domingo porque repetir´ıa con la primera opci´on); si mi´ercoles es el primer d´ıa, viernes o s´abado ser´ıa el segundo (2 opciones) y si jueves es el primer d´ıa, el segundo solo puede ser el s´abado (1 opci´on). Sumando las opciones, tiene 14 posibilidades.
5 puntos
21. Las medidas de los ´angulos en un tri´angulo, dadas en grados, corresponden a tres enteros diferentes. ¿Cu´al es la menor suma posible del ´angulo mayor con el ´angulo menor?
(A) 61◦ (B) 90◦ (C) 91◦ (D) 120◦ (E) 121◦
R/ Dado que la suma de los ´angulos x+y+z = 180 es una relaci´on lineal, revisemos los extremos. Una posibilidad es tener los ´angulos lo m´as parecidos posibles, es decir, 59◦, 60◦ y 61◦, y la suma de los extremos
ser´ıa 120◦. Otra posibilidad, es pensar que el ´angulo menor mide 1◦, y para obtener el menor valor para el
´
angulo mayor, los otros dos ´angulos deber´ıan ser 89◦ y 90◦. As´ı, la suma del ´angulo menor con el mayor ser´ıa
91◦, que ser´ıa la respuesta correcta.
22. Diez canguros est´an en l´ınea como se muestra en la figura. Siempre que haya dos canguros que se miren de frente, intercambian de posici´on, saltando uno por encima del otro. ¿Cu´antos intercambios, hasta que no queden dos canguros que se miren de frente, son posibles?
(A) 15 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 21
R/ Vamos a mover a los canguros que est´an viendo hacia la izquierda hacia dicho extremo (lo hacemos as´ı porque son menos que los que ven a la derecha). Comenzando con el que est´a m´as cerca del extremo izquierdo, vemos que tiene intercambiar con 3 canguros. El que le sigue, debe intercambiar tambi´en con los mismos 3 canguros. Los que est´an al extremo derecho deben intercambiar cada uno con 6 canguros, por lo que en total se deben realizar 18 intercambios.
23. Diana tiene nueve n´umeros: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Ella suma 2 a algunos de ellos y suma 5 al resto. ¿Cu´al es el menor n´umero de resultados diferentes que puede obtener?
R/Hay varias formas de hacerlo. Por ejemplo, si sumamos 5 a los tres primeros n´umeros, entonces sumamos 2 al 4, 5 y 6 para obtener el mismo resultado. Con los tres n´umeros restantes no se puede hacer que coincidan valores, por lo que el menor n´umero de resultados diferentes son 6.
24. Los buses salen del aeropuerto cada 3 minutos al centro de la ciudad, y viajan por una v´ıa que tiene un carril exclusivo. Un carro sale del aeropuerto al mismo momento en el que est´a saliendo un bus, siguiendo la misma ruta de los buses, pero no por el carril exclusivo. Cada bus dura 35 minutos en llegar al centro, mientras que al carro le toma 60 minutos. ¿Cu´antos buses rebasaron al carro de camino al centro, sin contar el bus con el que sali´o?
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 13
R/Supongamos que hayan salido a las 10:00, eso quiere que el carro lleg´o a las 11:00. Si sali´o un bus a las 10:00, salieron a las 10:30 (que lleg´o 11:05), 10:27 (que lleg´o 11:02), 10:24 (que lleg´o 10:59)... quiere decir que los buses que salieron a partir de las 10:03 hasta el que sali´o a las 10:24 rebasaron al carro. En ese tiempo salieron (24−3)/3 + 1 = 8 buses.
25. El limpi´on de Olga tiene un patr´on regular, como se muestra en la figura. ¿Qu´e porcentaje del limpi´on es negro?
(A) 16 (B) 24 (C) 25 (D) 32 (E) 36
R/ Primero observamos que el patr´on se puede dividir en una cuadr´ıcula de 5×5, por lo que el borde corresponde a 16/25 del ´area total. Si tomamos un cuadrito del borde, se observa que la mitad es negra, por lo que el porcentaje de ´area de negro es de 8/25, que corresponde a un 32%.
26. Cada d´ıgito en la secuencia 2,3,6,8,8, . . . se obtiene de la siguiente manera: los primeros dos d´ıgitos son 2 y 3, y a partir de ah´ı, el d´ıgito siguiente es el d´ıgito de las unidades del producto de los dos d´ıgitos anteriores. ¿Cu´al d´ıgito se encuentra en la posici´on 2017 de la secuencia?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 8
R/Haciendo m´as t´erminos de la secuencia se tiene que:
2,3,6,8,8,4,2,8
| {z }
,6,8,8,4,2,8
| {z }
,6, . . .
Descartando los primeros dos valores, se est´a buscando el d´ıgito en la posici´on 2015 de una secuencia que se repite cada 6 d´ıgitos. El residuo de dividir 2015/6 es 5, por lo que el d´ıgito en la posici´on 2015 se corresponde con el 5to d´ıgito de la secuencia, es decir, el 2.
(A) 52 (B) 45 (C) 42 (D) 39 (E) 36
R/ Sin los t´uneles, hubiera utilizados todos los cubitos. Cada grupo de 3 t´uneles comparten un cubito en com´un; quiere decir que si el primer tunel del grupo quita 5 cubitos, los otros dos solo requieren quitar 4, por lo que en total quitan 13 cubitos. As´ı, no se utilizaron 39 cubitos.
28. Dos corredores entrenan en una pista circular de 720 metros. Corren en direcci´on opuesta, cada uno de ellos a velocidad constante. Al primer corredor le toma 4 minutos dar una vuelta, mientras que al segundo corredor le toma 5 minutos. ¿Cu´antos metros corre el segundo de ellos, entre dos encuentros consecutivos?
(A) 355 (B) 350 (C) 340 (D) 330 (E) 320
R/Entre dos encuentros consecutivos, si el segundo corredor corredmetros, el primero corre 720−dmetros, y duran el mismo tiempo. Dado que t=d/v, entonces:
720−d 720
4
= d 720
5
de donded= 320 metros.
29. Sara desea escribir un entero positivo en cada celda de la figura de manera que cada n´umero por encima de la fila inferior sea la suma de los dos n´umeros de las celdas que est´an debajo. ¿Cu´al es la mayor cantidad de n´umeros impares que Sara puede escribir?
(A) 5 (B) 7 (C) 8 (D) 10 (E) 11
R/La mayor cantidad es 10, y una posibilidad se muestra en la figura:
impar impar impar impar impar impar
impar impar
impar impar
par
par par
30. La figura muestra al paralelogramo ABCDcon ´areaS. El punto de intersecci´on de las diagonales esO. El puntoM se marca enDC. El punto de intersecci´on deAM yBDesE y el punto de intersecci´on deBM y AC es F. La suma de las ´areas de los tri´angulos AED y BF C es S/3. ¿Cu´al es el ´area del cuadril´atero EOF M, en t´erminos deS?
(A) 1
6S (B)
1
8S (C)
1
10S (D)
1
12S (E)
1 14S
R/[Me parece demasiado dif´ıcil!!!] Las diagonales en un paralelogramo lo parten en 4 ´areas iguales. Dado que△ADM y△BDM comparten base y alturas, entonces A(△AED) =A(△BEM). Luego:
S
2 =A(△BCD)
=A(△BEM) +A(△BF C) +A(△DEM) +A(△CF M) =A(△AED) +A(△BF C) +A(△DEM) +A(△CF M)
= S
3 +A(△DEM) +A(△CF M)
⇒ S
6 =A(△DEM) +A(△CF M)