Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez Concha
Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo
Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín
Integrales dobles y triples
Integrales Dobles Aspectos geometricos
Sea R un rectangulo representado por R = [a; b] [c; d] y f una función continua de…nida sobreR, es decir
f :R R2!R
Caso de funciones no negativas:
Supongamos que f(x; y) 0 y para todo (x; y) 2 R tal que la grá…ca de z=f(x; y)está arriba del plano xy ,determinando una regiónV del espacioR3; bajo la super…ciez=f(x; y)y sobre la region R:
Antes de dar una de…nición en el lenguaje de las Sumas de Riemann, podemos decir que; bajo las condiciones anteriores el volumen de la regiónV corresponde en este caso a lo que llamaremos integral doble def sobreRy que denotaremos
Z Z
R
f(x; y)dAo Z Z
R
f(x; y)dxdy
Ejemplo:
Seaf(x; y) =x2+y2 yR= [0;1] [0;2].
El volumen bajo el paraboloidez=x2+y2sobre el rectánguloRcorresponde a la integral doble def sobreRen este caso.
Z Z
R
(x2+y2)dA
Debemos estar claros eso si, que el concepto de integral doble es mucho mas que esta interpretación geométrica
Integral doble sobre un rectángulo
Sea R= [a; b] [c; d]un rectángulo yf una función acotada de…nida sobre Res decir existeM >0 tal que
M f(x; y) M para(x; y)2R
Obs: Una función continua sobre un rectángulo cerrado siempre es acotada. Partición
Sean P1=fx0; x1; :::; xng partición de[a; b]
P2=fy0; y1; :::; yng partición de[c; d]
Al conjuntoP = P1 P2 =f(xi; yj)=0 i n; 0 j ng lo llamaremos
Sea kP1k= maxf4xi =xi xi 1=i= 1;2; :::; ng
kP2k= maxf4yi=yi yi 1=j= 1;2; :::; ng
Norma de la partición.
La norma de P denotadakPk se de…ne por kPk= maxfkP1k;kP2kg
(no es única forma de de…nir norma de P, pero esta es la que usaremos) xxxx
Sumas superiores y sumas inferiores
SeanRij rectángulo[xi 1; xi] [yj 1; yj] 1 i; j n
y4ij =área del rectánguloRij = (xi xi 1) (yj yj 1)
De…nimos ahora, sumas inferiores y sumas superiores de Riemann de f re-specto de la partición respectivamente por
sP(f) = n
X
i;j=1
mij(f)4ij;
SP(f) = n
X
i;j=1
Mij(f)4ij
Como consecuencia de estas de…niciones podemos decir de estas sumas: i) SiP es una partición cualquiera deR
sP(f) SP(f)
ii) Si P0 es partición mas …na que P ( P P0)entonces
sP(f) sP0(f)ySP0(f) SP(f)
iii)Si P1 yP2 son dos particiones cualquiera deR sP1(f) SP2(f)
Con estas sumas formamos los respectivos conjuntos: Conjunto de sumas inferiores.
fsP(f)=P es partición de Rg
Conjunto de sumas superiores.
fSP(f)=P es partición de Rg
SimyM son cortas inferior y superior respectivamente def enRentonces siA= (b a) (d c).
i)sP(f) m A para todoP partición deR
ii)SP(f) M Apara todoP partición deR
es decir el conjunto de sumas superiores es acotado superiormente.
Por lo tanto haciendo uso del axioma del supremo (o del ín…mo) de la ax-iomatica de los números reales podemos de…nir.
De…nición
SiR es un rectángulo deR2 yf una función acotada sobreRde…nimos: a)Integral Inf eriordef sobreRpor
Z Z
R
f dA= supfsP(f) :P es partición de Rg
b)Integral Superior def sobreR por Z Z
R
f dA= inffSP(f) :P es partición de Rg
Sumas e Integrales
Las de…niciones de estas respectivas integrales permiten a…rmar que para toda particióP de R y toda función acotada de…nida sobreR
sP(f)
Z Z
R
f dA Z Z
R
f dA SP(f)
Estamos ahora en condiciones de formular la de…nición de integral doble sobre un rectángulo en base a sumas superiores e inferiores.
De…nición:
Una funciónf(x; y)de…nida y acotada sobre un rectánguloR se dice que es Riemann integrable sobreR si
Z Z
R
f dA=
Z Z
R
f dA
Si f es integrable sobre R, entonces la integral doble de…nida de f sobre R se denota porR RRf dAo R RRf dxdyy en tal caso
Z Z
R
f dA=
Z Z
R
f dA=
Z Z
R
f dA
Nota: Alternativamente en cursos de calculo se de…ne: Z Z
R
f dA= lim
kpk!0
n
X
i;j=1
f(xi; yj)Aij; (xi; yj)2Rij
Teorema:
Cualquier función continua de…nida en un rectángulo cerradoRes integrable Demostración:
La demostración de este hecho no resulta de interes en este curso a pesar de su enorme importancia, dejemos las cosas aquí a la imaginación del estudiante.
Propiedades básicas de la Integral Doble De la de…nición se desprende que:
1)Si f(x; y) = 1todo(x; y)2R;la integral resulta el área de la región
A=Área deR=
Z Z
R
dA
2)Si f es integrable enR Z Z
R
cf dA=c Z Z
R
f dA
3)Si f ygson funciones integrables enR Z Z
R
(f+g)dA=
Z Z
R
f dA+
Z Z
R
gdA
4)Si f y g son funciones integrables en R y f(x; y) g(x; y) para todo
(x; y)2Rentonces Z Z
R
f dA Z Z
R
gdA
5)Si f es integrable sobreR, entonces jfjes integrable sobreRy Z Z
R
f dA
Z Z
Rj
fjdA
Teorema del Valor Medio para Integrales Dobles
Si f(x; y) es continua sobre rectángulo R con área A(R), entonces existe un punto ("; ) en el interior de Rtal que
Z Z
R
f(x; y)dA=f("; ) A(R)
Demostración Sea
m = minff(x; y) : (x; y)2Rg M = maxff(x; y) : (x; y)2Rg
Entonces m f(x; y) M; y sif no es identicamente igual a m o M, entonces
m A(R)< Z Z
R
f(x; y)dA < M A(R)
El teorema del valor medio de las funciones continuas asegura que existe un punto ("; ) en el interiorRtal que
f("; ) =
Z Z
R
f(x; y)dA A(R)
=))f("; ) A(R) =
Z Z
R
f(x; y)dA
Integrales sobre conjuntos acotados de R2
En este caso extenderemos la de…nición de integral doble a regiones que no son necesariamente rectángulos, sino que regiones acotadas en general.
Supongamos queS es una región cerrada y acotada de R2; por ejemplo un circulo, un triángulo, un rombo etc. , cualquier región con estas características se puede poner dentro de un rectánguloR
De…nición:
SeaRrectángulo que contiene a región cerrada y acotadaSyf una función de…nida y acotada enS,
extendemosf aR de la siguiente forma.
fR(x; y) =
f(x; y); (x; y)2S
0; (x; y)2R S
fR la consideraremos como la extención de f a todoR:
De…nición:
Sea S una región acotada de R2 y f una función de…nida y acotada sobre S, siRes en rectángulo tal queR S yfR la extención de f aRentonces si
existeR RRfRdA, de…nimos
Z Z
S
f dA=
Z Z
R
fRdA
Inportante.
Las propiedades enunciadas, de la integral doble en rectángulos siguen siendo válidas en conjuntos mas generales lo que se puede justi…car por la de…nición anterior
Integrales Iteradas Una integral de la forma
Z b
a
Z h(x)
g(x)
se llama integral iterada y se interpreta como RabF(x)dx donde para cada x2[a; b];conF(x) =Rgh((xx))f(x; y)dy:
Si f(x; y) es función continua sobref(x; y) :a x b; g(x) y h(x)g y G(x; y) una primitiva en la segunda variable, de f(x; y); es decir @G@y(x;y) =
f(x; y)para cadax2[a; b]y todog(x) y h(x);el teorema Fundamental del calculo permite que
F(x) =
Z h(x)
g(x)
f(x; y)dy=G(x; y)jyy==hg((xx))=G(x; h(x)) G(x; g(x))
Se puede interpretar entonces la integral iterada como un proceso sucesivo de integración así
Z b
a
Z h(x)
g(x)
f(x; y)dydx=
Z b
a
Z h(x)
g(x)
f(x; y)dy !
dx
De manera similar se tiene Z d
c
Z h(y)
g(y)
f(x; y)dxdy =
Z d
c
Z h(y)
g(y)
f(x; y)dx !
dy
Ejemplo. R1
0 Rx
0(x2+ 4xy)dydx= R1
0 Rx
0(x2+ 4xy)dy dx= R1
0 x2y+ 2xy2
x
0dx
=R01(x3+ 2x3)dx=R1 0 3x
3dx= 3 4x4
1 0 =
3 4 Otros ejemplos:
Interprete y evalúe i) R04R02xpydxdy ii) R02R04xpydydx iii)R01R0xsin(x2)dydx iv)R02Rp3
x x
2+y dydx
v) R05R2xx2(x+y)dydx
Algunas Respuestas
i) R04R02xpydxdy=R04hR02xpydxidy=R04hx2
2 pyi2
0dy=
=R042pydy=h2 2 3y
3 2
i4
0= 32
3
iii)R01R0xsin(x2)dydx=1 cos 12
iv) R02Rp3
x x
2+y dydx16h1 p2 7
i
Evaluación de la integral doble por medio de integrales iteradas Teorema de Fubini
a)SiR=f(x; y) a x b; g1(x) y g2(x)gygy son funciones contin-uas en[a; b]se tiene
Z Z
R
f dA=
Z b
a
Z g2(x)
g1(x)
f(x; y)dydx
b)Si R = f(x; y) c y d; h1(x) x h2(x)g y h1 y h2 son funciones continuas en[c; d]se tiene
Z Z
R
f dA=
Z d
c
Z h2(y)
h1(y)
f(x; y)dxdy
Ejemplo
Este ejemplo ilustra como este teorema se adapta a la situación del problema, en este caso se pide calcular
Z Z
R
xydA
y R es la region triangular del plano con vértices en los puntos A(-6,-2), B(-1,3) y C(9,-7).
Solución.
La región se debe subdividir en dos subregiones del tipo a) mediante una recta paralela al eje vertical
Los segmentos de recta AB, BC Y AC tienen ecuaciones y =x+ 4; y =
x+ 2 e y= 13x 4 respectivemente. Las regiones pueden escribirse. I: 6 x 1; 13x 4 y x+ 4
II: 1 x 9; 13x 4 y x+ 2
Entonces aplicando T. de Fubini en ambas regiones se tiene Z Z
R
xydA =
Z 1
6 Z x+4
1 3x 4
xydydx+
Z 9
1 Z x+2
1 3x 4
xydydx
= 1
2
Z 1
6
xy2 x1+ 4 3x 4
dx+1 2
Z 9
1
xy2 1x+ 2 3x 4
dx
= 1
9
Z 1
6
(4x3+ 24x2)dx+1 9
Z 9
1
(4x3 30x2 54x)dx
= 1025
27
SE observa que R puede subdividirse también en dos regiones del tipo b)
Suponga que Ses una región acotada y sea C una curva la cual divide a S en dos subregiones S1 y S2.
Si f es continua enS , lo es tambien enS1 y S2 , y Z Z
S
f(x; y)dA=
Z Z
S1
f(x; y)dA+
Z Z
S2
f(x; y)dA
Demostración.- Directamente de la de…nición eligiendo un rectangulo su…-cientemente grande que contenga a S
y extendiendo f de S a R, de S1 a R, S2 a R. Ejemplo.
Calcular R RS(x2+y)dA; dondeS es la región limitada por la recta y=x y la curva y=x3
Solución.- En este caso
S1= (x; y)2R2: 1 x 0; x y x3
S2= (x; y)2R2: 0 x 1; x3 y x Z Z
S
(x2+y)dA=
Z Z
S1
(x2+y)dA+
Z Z
S2
(x2+y)dA
Z Z
S1
(x2+y)dA =
Z 0
1 Z x3
x
(x2+y)dydx=
Z 0
1
(x2y+y
2 2 ) x3 xdx = Z 0 1
[(x5+x
6
2 ) (x
3+x2
2 )]dx
= (x
6 6 + x7 14 x4 4 x3 6 ) 0 1
= ( 1)
6
6
( 1)7
14 +
( 1)4
4 +
( 1)3
6
= 1
84
Z Z
S2
(x2+y)dA =
Z 1
0 Z x
x3
(x2+y)dydx=
Z 1
0
(x2y+y
2
2 )
x x3dx
=
Z 1
0
[(x3+x
2
2 ) (x
5+x6
2 )]dx
= [(x
4
4 +
x3
6 ) (
x6 6 + x7 14)] 1 0
= (1
4
4 + 13
Por lo tanto Z Z
S
(x2+y)dA= 1 84+
5 28 =
1 6
Areas y Volumenes Area
Como se dijo en la introducción y de acuerdo a la idea geométrica si R es una región plana entonces elárea de R se calcula con la integral doble
A(R) =
Z Z
R
dA
Ejemplo.
Calcule el área de la región interior a la circunferencia x2+y2= 2ax arriba de la parábolaay=x2,a›0
Solución. …gura
R: 0 x a; xa2 y p2ax x2
A =
Z Z
R
dA=
Z a
0 Z p
2ax x2
x2
a
dydx
=
Z a
0
(p2ax x2 x 2
a)dx
= a
2
12(3 4)
Volumen
Si R es una región plana, z=f(x; y); z=g(x; y)son dos super…cies tal que f(x; y) g(x; y) 8(x; y)2R ,
el volumen entre ambas super…cies al interior de la región se puede calcular usando la siguiente integral doble
V =
Z Z
R
[f(x; y) g(x; y)]dA
Ejemplos
1)Use la integral doble para determinar el volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano3x+ 6y+ 4z 12 = 0
Solución.
para determinar la región R hacemos z=0 para encontrar la intersección del plano dado con el plano xy
La región en el plano xy está acotada por el eje x, el eje y y la recta y= 12x+ 2;por lo tanto
…gura
R: 0 x 4;0 y 1 2x+ 2 z=f(x; y) = 12 34x 6y = 3 3
4x 3
2y y z=g(x; y) = 0 El volumen del tetraedro es:
V =
Z Z
R
f(x; y)dA
=
Z Z
R
3 3
4x 3
2y dA=
Z 4
0 Z 1
2x+2
0
3 3
4x 3
2y dydx=
=
Z 4
0
3 3
4x y 3y2
4
1 2x+2
0
dx=
Z 4
0
3 16x
2 3
2x+ 3 dx
= x
3
16 3x2
4 + 3x
4
0
= 4
Otros
1)Usando integral iterada calcule R R
s x
2+ 2y dA; S: región comprendida entrey=x2 ey=px
2)Calcule el volumen del solido limitado por los cilindros x2+z2 = 16 y y2+z2= 16.
Este es un interesante ejercicio, puede empazar por bosquejar el solido o una parte de él, pues se puede aprovechar su simetría.
Cambio de variable
U n cambio de variables adecuado puede no solo simpli…car el integrando sino también la región donde se evalúa la integral
Sea f una función continua de…nida sobre la region R cerrada y acotada. Considerese la integral doble
Z Z
R
f(x; y)dxdy
De…nimosT, transformación invertible
x = x(u; v); (u; v)2S y = y(u; v); (u; v)2S
tal que @(x; y)
@(u; v) 6= 0, la que produce una correspondencia biunívoca
SiPes una partición de…nida enRla transformación induce a su vez una cor-respondiente partición enSde tal modo que siRijes un subrectángulo generado
por la particiónP enR;denotaremos porSij el correspondiente subrectángulo
enS
Si 4Aij =Area deRij
4A0
ij=Area deSij
Se tiene la siguiente razón entre las áreas. 4Aij
4A0 ij
= @(x; y)
@(u; v) =) 4Aij =
@(x; y)
@(u; v) 4A
0 ij
Entonces
f(x; y)4Axytf(x; y)
@(x; y)
@(u; v) 4Auv
De esta relación y la de…nición de integral doble se tiene el siguiente teorema de cambio de variable.
Teorema
Sea R una región en el plano xy acotado por una curva simple cerrada y suave y queS es la imagen deR bajo la transformaciónT invertible, de…nida
x = x(u; v); (u; v)2S y = y(u; v); (u; v)2S
donde x(u; v); y(u; v) son continuamente diferenciables en un dominio que contiene aS en cual
J @(x; y) @(u; v) 6= 0
Sif(x; y)de…ne una función continua sobreRse tiene: Z Z
R
f(x; y)dxdy=
Z Z
S
f(x(u; v); y(u; v)) @(x; y)
@(u; v) dudv
Ejemplo 1:
Calcular Z Z
R
3xydA
Sea R la región limitada por las rectasx 2y = 0; x 2y = 4; x+y= 4; x+y= 1
Solución: …gura
Sea u=x+y; v=x 2y
Resolviendo el sistema lineal obtenemos u=x+y
v=x 2y %
=) x=
1
3(2u+v) y= 1
@(x; y)
@(u; v) =
@x @u @x @v @y @u @y @v = 2 3 1 3 1 3 1 3 = 2 9 1 9= 1 3 Z Z R
3xydA =
Z Z
S
3(1
3(2u+v) 1
3(u v)) 1 3 dA = 1 9 Z Z S
(2u+v) (u v)dA
= 1 9 Z 4 1 Z 0 4
(2u+v) (u v)dudv
= 104
9
Ejemplo 2:
Calcular Z Z
R
p
x2+y2dA
R región del plano xy limitada porx2+y2= 4; x2+y2= 9 Solución:
Sea x=rcos y=rsin =)
@(x; y)
@(u; v) =
@x @u @x @v @y @u @y @v
= cos rsin
sin rcos =r
Z Z
R
p
x2+y2dA = Z Z
S
r jrjdrd
=
Z 2
0 Z 3
2 r2drd
=
Z 2
0
19 3 d =
38 3
Aplicaciones de la integral doble
A. Masa de una región plana de densidad variable.
Sea (x; y)función positiva y de…nida sobre un conjunto cerrado y acotado S con área no nula, que indica la densidad en cada punto(x; y) deS:
Lamasa deS es la integral de la función densidad.
M(S)= Z Z
S
(x; y)dA
Ejemplo:
Encuentre la masa de un circulo de radio a si su densidad es veces la distancia al centro.
Solucion:
Con el uso de coordenadas polares el calculo de la integral resultante es mas sencillo.
M(S) =
Z Z
S
p
x2+y2dydx= Z 2
0 Z a
0
2d d =2 a3
3
B:Momentos y centroide de una region plana
Para un conjunto S acotado y de área positiva , y una función densidad de…nida enS;tenemos las siguientesde…niciones.
Primer momento con respecto al eje y:
My=
Z Z
S
(x; y)xdA
Primer momento con respecto al eje x:
Mx=
Z Z
S
(x; y)ydA
Segundo momento con respecto al eje y:
Iy=
Z Z
S
(x; y)x2dA
Segundo momento con respecto al eje x:
Ix=
Z Z
S
(x; y)y2dA
Segundo momento Polar con respecto al origen:
I0= Z Z
S
(x; y)(x2+y2)dA
Centroide:
(x; y) = My
M ; M x
Cuando la función densidad es variable y está asociada con la distribución de la masa, los segundos momentos se llaman tambiénmomentos de inercia y el centroide se le llama también centro de masas.
En una forma más general, el primer y segundo momento de un conjunto S se puede de…nir con respecto a una linea recta cualquiera L.
ML =
Z Z
S
(x; y)D(x; y)dA
IL =
Z Z
S
(x; y) [D(x; y)]2dA
SiendoD(x; y)la distancia de la recta L al punto (x,y). Ejemplo.
Una lámina triangular tiene los vértices (0;0);(1;0) y (1;2);y tiene den-sidad (x; y) =x2y:Halle su centro de masa.
Solución:
En este casoR es: 0 x 1;0 x 2x
En este caso debemos calcular M =M(S); My y Mx:
M =
Z Z
S
x2ydA=
Z 1
0 Z 2x
0
x2ydydx=
Z 1
0 x2y2
2
2x
0 dx
=) M =
Z 1
0
2x4dx= 2x
5 5 1 0 = 2 5 Calculemos ahora
My =
Z Z
S
x2yxdA=
Z 1
0 Z 2x
0
x3ydydx=
Z 1
0
2x5dx= 2x
6
6
1
0
=) My=
1 3
Por último
Mx =
Z Z
S
x2yydA Z 1
0 Z 2x
0
x2y2dydx=
Z 1
0 x2y3
3 2x 0 dx= Z 1 0
8x5
3 dx
=) Mx=
8x6
18
1
0
= 4 9
Así tenemos que
(x; y) = My
M ; M x
M = (
5 6;
10 9 )
Integrales triples
Ideas preliminaresLos conceptos a desarrollar en lo referente a la Integral en su genesis, su signi…cado y su cálculo en el caso de tres variables es similar al mismo tema en funciones de una variable y de dos variables. El tratamiento hecho en el caso de la integral doble se extiende en forma natural a las integrales triples en su forma y sus mecanismos conceptuales involucrados solo hay un cambio en el escenario, el espacio R3.
Atendiendo a la declaración anterior no haremos el detalle de la generación del concepto porque como ya lo dijimos se trata de una generalización. Para mantener el marco de referencia, pensemos en sumas superiores, sumas inferi-ores, integral superior e integral inferior para funciones de…nidas sobre una caja rectangular de tipo:
h(x; y; z) :fa1 x b1; a2 y b2; a3 z b3g
Con este trasfondo se plantea el teorema de Fubini que permitirá el cálculo de la integral triple.
Teorema de Fubuni
Sif(x; y; z)esta de…nida sobre una regiónR=fa1 x b1; a2 y b2; a3 z b3g; entonces:
ZZZ
R
f(x; y; z)dv=
b1 Z
a1
b2 Z
a2
b3 Z
a2
f(x; y; z)dzdydx
siempre que estas integrales existan.
Obs: Hay otras cinco formas de calcular la integral triple dependiendo el orden de integración en la integral iterada.
Ejemplo: Calcule
ZZZ
R
x2+yz dv
R=f0 x 2; 1 y 2; 1 z 3g
ZZZ
R
x2+yz dv =
2 Z
0 2 Z
1 3 Z
1
x2+yz dzdydx
=
2 Z
0 2 Z
1
x2z+yz 2
2
3 j 1
dydx
=
2 Z
0 2 Z
1
3x2+9
2y x
2+y
2 dydx
2 Z
0 2 Z
1
4x2+ 4y dydx
=
2 Z
0
4x2y+ 2y2 2 j 1
dx
=
2 Z
0
12x2+ 6 dx
= 4x3+ 6x 2 j 0
= 44
Teorema de la integral triple (Para dominios más generales)
Si f(x; y; z) esta de…nida sobre un conjunto acotado R formado por to-dos los puntos tales que a1 x b1; y1(x) y y2(x) y z1(x; y) z z2(x; y)entonces:
ZZZ
R
f(x; y; z)dv=
b1 Z
a1
y2(Zx)
y1(x)
z2(Zx;y)
z1(x;y)
f(x; y; z)dzdydx
siempre que ambas integrales existan.
Obs:? Hay otras cinco formas de calcular la integral triple dependiendo el orden de integración para el calculo de la integral iterada.
v(R) =
ZZ
S
f(x; y)dA
?Si Res una rigión deR3 que tiene volumen, entonces
v(R) =
ZZZ
R
f(x; y; z)dv con f(x; y; z) = 1
Ejemplo:
SeaRla región acotada por los paraboloidesz=x2+y2y2z= 12 x2 y2. Usando integral triple calcule el volumen deR:
x2+y2
5 2.5
0 -2.5 -5 5 2.5 0 -2.5 -5
50
37.5
25
12.5
0
x y
z
x y
z
12 x2 y2
2
5 2.5
0 -2.5
-5
5 2.5 0 -2.5
-5 5
0
-5
-10
-15
x
y
z
x
y
z
La curva de intersección es el circulox2+y2= 4; z= 4
Sif(x; y; z) = 1se tiene el volumen
v(R) =
ZZZ
R
f(x; y; z)dv
=
2 Z
2
p
4 x2 Z
p
4 x2
12 x2 y2
2 Z
x2+y2
dzdydx
= 6
2 Z
0
p
4 x2 Z
0
4 x2+y2 dydx
= 4
2 Z
0
4 x2 3 2 dx
= 12
Ejemplo 2.
Calcular el volumen de la región del espacio limitada por las super…cies cilindricasx2+z2= 1; y2+z2= 1:
Solución.
Utilizaremos la simetría del problema y proyectaremos la región al plano xz ( también se pudiera proyectar al plano yz ).
La proyección nos da un circulo de radio 1 La región se puede expresar:
1 x 1
p
1 x2 z p1 x2
p
1 z2 y p1 z2
Expresando el calculo del volumen como una integral triple tenemos
V =
Z Z Z
dxdydz
R
usando integrales iteradas
V =
1 Z
1
p
1 x2 Z
p
1 x2
p
1 z2 Z
p
1 z2
dydzdx=
1 Z
1
p
1 x2 Z
p
1 x2
Si seguimos por este camino llegamos a una expresión de feo aspecto y mal comportamiento( intentelo), recurriremos entonces al cambio de orden de inte-gración que es un recurso siempre disponible
V =
1 Z
1
p
1 x2 Z
p
1 x2
2p1 z2dzdx= 1 Z
1
p
1 z2 Z
p
1 z2
2p1 z2dxdz
=
1 Z
1
4(1 z2)dxdz= (4z 4z
3
3 )
1 j 1
= 16 3
El volumen calculado es V = 16
3 (unidades de volumen)
Cambio de variable para integrales triples. SeaT :U R3!R3 una transformación de claseC1 de…nida por:
x=x(u; v; w)
y=y(u; v; w)
z=z(u; v; w)
Recordando el jacobiano de la transformación se tiene:
J = @(x; y; z)
@(u; v; w)=
@x @u
@x @v
@x @w @y
@u @y @v
@y @w @z
@u @z @v
@z @w
Como en el caso anterior de dos variables, el jacobiano mide como la curva la transformación distorsiona su dominio.
Formula de cambio de variable para integrales triples
Sea R una región en el espacio xyz yS una región en el espacio uvw que corresponde a R bajo la transformación T de…nida porx =x(u; v; w); y =
y(u; v; w)yz=z(u; v; w)siempre queT sea de claseC1y uno a uno, @(x;y;z)
@(u;v;w) 6=
0 en S. Entonces: ZZZ
R
f(x; y; z)dv=
ZZZ
S
f(x(u; v; w); y(u; v; w); z(u; v; w))jJjdudvdw
Donde
J = @(x; y; z)
Los cambios más usados en integrales triples es a coordenadas cilindricas y coordenadas esféricas dependiendo de la naturaleza del problema.
Coordenadas cilíndricas El cambio de variable es:
x=rcos
y=rsin
z=z
Supongamos que: P es un punto del espacio de coordenadas xyz P1 proyección deP en planoxy
r radio vector deOa P1 y
el ángulo entre eje x y OP!1, medido del lado positivo del ejex
entonces r=px2+y2 y = arctany x
Tenemos
J = @(x; y; z)
@(r; ; z) =
cos rsin 0
sin rcos 0
0 0 1
= rcos2 +rsin2 =r
ZZZ
R
f(x; y; z)dv=
ZZZ
S
f(rcos ; rsin ; z) r drd dz
Ejemplo:
Figura. z=x2+y2
Solución:
En el espacio xyz, la …gura es al interior del elipsoide y limitado por arriba por el plano z= 4 que es un plano paralelo al plan xy
Aprovechando la simetría del sólido calculamos la cuarta parte de el (por conveniencia). En esta situación la región transformada viene descrita por:
0 r 2;0
2; r
2< z <4
V
4 =
2 Z
0 2 Z
0 4 Z
r2 rdzdrd
=
2 Z
0 2 Z
0
4r r3 drd
=
2 Z
0
4d = 2
)V = 8
Coordenadas Esféricas El cambio de variable es:
x= cos sin
y= sin sin
z= cos
Supongamos que P es un punto del espacio de coordenadas xyz P1proyección de P en planoxy
magnitud del radio vectorOP!
el ángulo entre ejexyOP!1, medido del lado positivo del ejex angulo formado porOP!y el eje Z;medido del lado positivo del ejez:
J = @(x; y; z)
@( ; ; )=
cos sin sin sin cos
sin sin cos sin 0
cos cos sin cos sin
= 2sin
Formula del cambio de variable
ZZZ
R
f(x; y; z)dv=
ZZZ
S
f( cos sin ; sin sin ; cos ) 2sin drd dz
Ejemplo 1
Hallar el volumen de la región sólida limitada inferiormente por el paraboloide z=x2+y2y superiormente por la esferax2+y2+z2= 9:
Solución:
haciendo la intersección de
x2+y2+z2= 9 yz=x2+y2
resulta que la intersección de estas super…cies es una circunferencia en el planoz= p3
2 de…nida por las ecuaciones )x2+y2=9
2; z= 3
p
2
esto permite visualizar que(0;p3 2;
3
p
2) es un punto de la intersección por lo que 0 4;la esfera tiene radio 3 por lo cual 0 3; y 0 2 : Como se está calculando el volumen de una región que es simétrica respecto del ejez;la cuarta parte de la región queda descrita por
0 3;0
2;0 4
=) ) V 4 =
ZZZ
R
f(x; y; z)dV =
2 Z
0 4 Z
0 3 Z
0
2sin d d d
V
4 =
2 Z
0 4 Z
0
9 sin d d
V
4 =
2 Z
0
9
p
2+ 9 d = 9 2
p
2 1
p
2
!
Por lo tanto
V = 18
p
2 1
p
2
!
Ejemplo 2
Utilice coordinadas esfericas para hallar el volumen del sólido que está arriba del cono z=px2+y2 y debajo de la esferax2+y2+z2=z
Solución.
x2+y2+z2=z()x2+y2+ (z 1
2)
2=1
4
a su vez de la ecuación del cono se in…ere que 0 4: Por lo que la región en coordenadas esfericas esta descrita por
;0
4;0 2 ;0 cos
El volumen de la región es
V =
ZZZ
R
f(x; y; z)dV =
2 Z
0 4 Z
0 cosZ
0
2sin d d d
=
2 Z
0 4 Z
0
sin
3
3
cos j 0
d d
= 2
3
4 Z
0
sin cos3 d =2 3
cos4
4
4 j 0
= 8
Por lo tanto
V = 8
Masa, Momentos, y Centroide de una Región del Espacio
Como en el caso de dos dimensiones, si (x; y; z) función positiva y con-tinua, de…nida sobre una region compacta (conjunto cerrado y acotado)W con volumen, que indica la densidad en cada punto(x; y; z) de W:
Lamasa deW es dada por la integral de la función densidad.
M(W)= Z Z Z
W
(x; y; z)dV
El primer momento de W se de…ne respecto de algun plano, y elsegundo momento (o momento de inercia) con respecto a algun plano, linea o punto.
Daremos aqui solo las formulas típicas planos coordenados, ejes y el origen. Primer momento con respecto al planoyz:
Myz =
Z Z Z
W
(x; y; z)xdV
Segundo momento con repecto al planoyz:
Iyz=
Z Z Z
W
(x; y; z)x2dV
Segundo momento con repecto al eje x Ix=
Z Z Z
W
Segundo momento polar con respecto del origen I0=
Z Z Z
W
(x; y; z)(x2+y2+z2)dV
Centroide: (x; y; z) = Myz
M ; Mzx
M ; Mxy
M :
Ejemplo 1
Determinar el centroide de la porción de la esfera x2+y2+z2 a2;en el primer octante, asumiendo densidad constante.
Solución.
El problema no pierde generalidad si suponemos que =1, y claramente x=y=z:
Necesitamos calcular solamente Mxy=
Z Z Z
W
(x; y; z)zdV
y usando coordenadas esfericas esta integral queda
Mxy=
2 Z
0 2 Z
0
a
Z
0
( cos ) 2sen d d d = a
4
16
ComoV = a3
6 ; el centroide es ( 3 8a;
3 8a;
3 8a) Ejemplo 2
Encontrar el momento de inerciaIL de un cilindro circular recto coaradio
de la base, haltura y densidad proporcional a la distancia al eje del cilindro, con respecto a una rectaL paralela al eje del cilindro y a una distanciab de él.
Solución.
La rectaLse de…ne por: x=b; y= 0
El cilindro es descrito por: 0 r a;0 z h La densidad es =kr
Entonces
IL =
Z Z Z
W
(x; y; z)((x b)2+y2)dV
=
2 Z
0
a
Z
0
h
Z
0
kr((x b)2+y2)rdzdrd
=
2 Z
0
a
Z
0
h
Z
0
kr2(r2+b2)dzdrd + 0
= 2 ka3h a2
5 +
b2