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Constraint Satisfaction is a simple but powerful idea

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Academic year: 2021

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1

Problemas de Satisfacción de

Restricciones (CSP)

Contenidos:

’

Definición del problema de satisfacción de

restricciones (CSP). Áreas de aplicación.

’

Especificación de un problema CSP:

variables, dominios y restricciones.

’

Tipología de restricciones (discretas y

continuas, fuertes y débiles, restricciones

lineales, disyuntivas, etc.).

(2)

2

CSP

Constraint Satisfaction is a

Constraint Satisfaction is a

simple but powerful idea”

simple but powerful idea”

Rina Dechter,

In

'Constraint Processing'

Morgan Kaufmann Pub. (2003)

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3

EJEMPLOS 1

s e n d + m o r e m o n e y • Variables: s,e,n,d,m,o,r,y • Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y∈{0,…,9} • Restricciones

103(s+m)+102(e+o)+10(n+r)+d+e=104m+103o+102n+y

Objetivos

• Consistencia

• Soluciones

El Problema de las 8 Reinas… Coloreado de Mapas • Variables: x,y,z,w

• Dominios: x,y,z,w :{r,v,a} • Restricciones: binarias

x y, yz, z w, ...

x y

z w

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4

EJEMPLOS 2

Juan, Pepe y Paco nacieron y viven en ciudades diferentes (Málaga, Madrid y Valencia). Además, ninguno vive en la ciudad donde nació.

Juan es más alto que el que vive en Madrid. Paco es cuñado del que vive en Valencia. El que vive en Madrid y el que nació en Málaga tienen nombres que comienzan por distinta letra. El que nació en Málaga y el que vive ahora en Valencia tienen nombres que comienzan por la misma letra.

Donde nació y vive cada uno?

Donde nació y vive cada uno?

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5

EJEMPLOS 3

’ "Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30

minutos) o en metro (40-50 minutos).

’ Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis

llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera de casa“

’ Cuestiones:

– ¿Esta información es consistente?

– ¿Es posible que Juan haya usado el tren y Luis haya usado el Metro?

– ¿Cuales son los posibles tiempos en los que Luis pudo haber salido de casa?, etc.

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6

EJEMPLOS 4

Variables: altura de viga, longitud de viga, canto de forjado

Dominios continuos: altura, longitud : [0, 10]

Restricciones: vibraciones, refuerzos, conexiones, etc.

Consistencia

Intervalos de tolerancia

Soluciones

etc

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7

CSP

Problemas de Satisfacción de Restricciones CSP

Metodología de Resolución de problemas

(8)

8

Definición de CSP

Un Problema de Satisfacción de Restricciones (CSP)

se puede representar como:

• Un Conjunto de Variables: X={x1, x2, ..., xn}

• Dominios de Interpretación (D = <D1,…,Dn> ) para las variables: xiDi

• Un Conjunto de Restricciones entre las variables:

(9)

9

Modelización CSP

MODELACIÓN CSP Variables Dominios Restricciones (EXPRESIVIDAD) (EXPRESIVIDAD)

1)

RESOLUCIÓN CSP Técnicas Resolución CSP (EFICICIENCIA) (EFICICIENCIA)

2)

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10

Modelización 1

s e n d + m o r e m o n e y • Variables: s,e,n,d,m,o,r,y • Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y:{0,…,9} • Restricciones • Variables: s, e, n, d, m, o, r, yDominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9}Restricciones: Todas Diferentes, 103(s+m) + 102(e+o) + 10(n+r) + d + e= 104m + 103o + 102n + 10e+y Especificación CSP

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Modelización 2

Variables: s, e, n, d, m, o, r, yDominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9}Restricciones: s

e, s

n, s

d, s

m, s

o, s

r, s

y, e

n, e

d, e

m,…..d+e = y+10c1c1+n+r = e+10c2c2+e+o = n+10c3c3+s+m = 10m+o s e n d + m o r e m o n e y

(12)

12

Resolución

s e n d

+

m o r e

m o n e y

MODELACIÓN CSP RESOLUCIÓN CSP

(13)

13

Objetivos

’

’

Consistencia del problema (existe solución).

Consistencia

’

Obtener una o todas las

soluciones del

soluciones

problema.

’

Obtener los dominios mínimos.

’

La solución que optimiza

optimiza una función objetivo

o multi-objetivo.

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Objetivos

Objetivo de un CSP:

• Tiene solución? ⇒ Consistencia.

Obtener una solución. Obtener todas las soluciones.

• Obtener una solución óptima, o al menos una buena solución, medida por alguna función objetivo (función de evaluación).

Algoritmos para CSP:

Técnicas de Búsqueda (Algoritmos CSP): Obtienen una solución, guiados por heurísticas.

Técnicas Inferenciales (Algoritmos de propagación): Obtienen las consecuencias de las restricciones explícitamente conocidas del

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Conceptos básicos

Dado un CSP (X, Di, C),

• Una instanciación (o asignación) de las variables X es una asignación de valores a las variables en sus dominios:

x1=v1, x2=v2, ..., xn=vn / vi∈D

• Una solución del CSP es una instanciación consistente de las variables, de forma que se satisfacen todas las restricciones del problema.

• Un valor v es un valor consistente (o posible) para xi si existe una solución del CSP en la cual participa la asignación xi=v.

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Conceptos básicos

Variables

• Un CSP discreto es aquel en el que todas las variables son discretas, es decir, toman valores en dominios discretos.

• Un CSP continuo es un CSP en el que todas las variables son continuas, es decir, tienen dominios continuos.

• Un CSP mixto consta de variables continuas y discretas.

• Un CSP binario es aquel en el que todas las restricciones tienen a los sumo dos variables respectivamente.

• Un CSP no binario o n-ario es aquel en el que las restricciones tienen más de dos variables.

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Conceptos básicos

Restricciones

Discretas: las variables participantes están acotadas en dominios discretos. • Continuas: las variables participantes están acotadas en dominios continuos. • Binarias: son restricciones en las que sólo participan dos variables.

N-arias: son restricciones en las que participan N variables (N>2). • Fuertes (hard): son restricciones cuya satisfabilidad es imprescindible. • Débiles (soft): son restricciones cuya satisfabilidad no es imprescindible. • Difusas (fuzzy): son restricciones definidas sobre niveles de preferencia. • Disyuntivas: son restricciones compuestas por un conjunto disjunto de restricciones.

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N-reinas

Definición: posicionar n reinas en un tablero de ajedrez n x n, de forma que no se ataquen.

Formulación: 1 reina por fila

• variables: reinas, Xi reina en la fila i-ésima • dominios: columnas posibles {1, 2, . . . , n} • restricciones: no colocar dos reinas en

– la misma columna – la misma diagonal

Características:

(19)

19

Coloreado de Grafos

Definición: Dado un grafo, • n nodos

• m colores,

asignar un color a cada nodo de forma que no haya dos nodos adyacentes con el mismo color.

Formulación:

• variables: nodos

• dominios: colores posibles

• restricciones:

nodos adyacentes

Características:

(20)

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Crucigrama

Definición: Dada una rejilla y un diccionario, construir un crucigrama compatible.

Formulación:

variables: grupo de casillas para una palabra (slots)

dominios: palabras del diccionario con la longitud adecuada

restricciones: misma letra en la intersección de dos palabras

Características:

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21

Restricciones Temporales

Definición: dado un conjunto de sucesos que ocurren

en intervalos temporales con ciertas relaciones, encontrar una asignación temporal consistente.

Formulación:

variables: sucesos

dominios: intervalo temporal para cada suceso • restricciones: distancia temporal permitida entre

sucesos; relaciones temporales antes, después, solapado, etc.

Características:

• CSP binario, continuo, con restricciones disyuntivas

T0 T1 T2 T3 T4 {[10, 20]} {[30, 40], [60, ]} {[10, 20]} {[20, 30], [40, 50]}

T0: Tiempo inicial (en este caso, 8:00 h.)

T1 / T2: Tiempo en que Juan sale de casa / llega al trabajo. T3/T4: Tiempo en que Luis sale de casa / llega al trabajo.

{[60, 70]}

"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30

minutos) o en metro (40-50 minutos).

Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos

después de que Luis saliera de casa"

"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30

minutos) o en metro (40-50 minutos).

Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos

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22

Problema de diseño

a) Solución por defecto para los arcos dados:

b) Versión teniendo en cuenta aspectos estéticos y geotecnológicos:

c) Bases para diseñar los detalles de los pilares:

e) Diseño final: d2) Pilares sobre el peralte d3) Pilares en el agua Backtracking sobre los detalles de diseño de los pilares d1) Pilares

demasiado cerca

? ?

Definición: el problema consiste en llevar a cabo el diseño de un puente que debe constar de pocos arcos siendo preferible que los pilares no toquen el agua y los pilares sean lo más bajos posibles.

Formulación:

variables: partes y elementos del diseño • dominios: valores permitidos para cada parte y elemento

restricciones: propiedades que las partes deben satisfacer.

Características:

• CSP no binario, mixto, con restricciones hard, soft y difusas.

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23

CSPs binarios & n-arios

Binario

Un CSP binario se suele representar mediante un grafo, donde:

Nodos: Variables

Arcos: Relaciones binarias entre las variables.

X1 X2 X3 X5 X4 X1 R12 x2 x3 R35 x5 x1 R15 x5 x4 R42 x2 x4 R45 x5 x2 R25 x5

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24

CSPs binarios & n-arios

No Binario

Un CSP no binario no se suele representar mediante un grafo, sino como un hiper-grafo perdiendo toda la

funcionalidad existente sobre la teoría de grafos. donde:

Nodos: Variables

Arcos: Relaciones binarias entre las variables.

C123 X1 X2 X3 X5 X4 X7 X6 C24567

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25

Consistencia: Niveles

1-consistencia

Consistencia de nodo

Consistencia de nodo (1(1--consistencia)consistencia)

Un nodo (xi) es consistente si al menos un valor en su dominio es consistente con la restricción unaria del nodo:

10xi15, D(Xi):{0, 10}

Un grafo red es nodo-consistente sii todos sus nodos son consistentes: ∀xi∈CSP, ∃vi∈D / (xi ci0) se cumple para xi=vi (ie: D∩ci0≠{∅})

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26

Consistencia: Niveles

2-consistencia

Consistencia de arco

Consistencia de arco (2(2--consistencia)consistencia): :

Un arco (xi {cij} xj) es consistente si y solo si para cada asignación de xi en su dominio, existe una asignación para xi, tal que la restricción {cij} se satisface.

Por ejemplo el arco:

xi Cij xj [3,6] [8,10]

es consistente, pero no lo sería si cij en vez de ≤ fuese ≥

Un grafo es arco-consistente si todos sus arcos son consistentes. ∀cij ⊆CSP, ∀vi∈di ∃vj∈dj / (xi cij xj) se cumple para xi=vi, xj=vj

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Referencias

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