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Problemas de Satisfacción de
Restricciones (CSP)
Contenidos:
Definición del problema de satisfacción de
restricciones (CSP). Áreas de aplicación.
Especificación de un problema CSP:
variables, dominios y restricciones.
Tipología de restricciones (discretas y
continuas, fuertes y débiles, restricciones
lineales, disyuntivas, etc.).
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CSP
“
“
Constraint Satisfaction is a
Constraint Satisfaction is a
simple but powerful idea”
simple but powerful idea”
Rina Dechter,
In
'Constraint Processing'
Morgan Kaufmann Pub. (2003)3
EJEMPLOS 1
s e n d + m o r e m o n e y • Variables: s,e,n,d,m,o,r,y • Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y∈{0,…,9} • Restricciones103(s+m)+102(e+o)+10(n+r)+d+e=104m+103o+102n+y
Objetivos
• Consistencia
• Soluciones
El Problema de las 8 Reinas… Coloreado de Mapas • Variables: x,y,z,w• Dominios: x,y,z,w :{r,v,a} • Restricciones: binarias
x ≠ y, y≠z, z ≠ w, ...
x y
z w
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EJEMPLOS 2
Juan, Pepe y Paco nacieron y viven en ciudades diferentes (Málaga, Madrid y Valencia). Además, ninguno vive en la ciudad donde nació.
Juan es más alto que el que vive en Madrid. Paco es cuñado del que vive en Valencia. El que vive en Madrid y el que nació en Málaga tienen nombres que comienzan por distinta letra. El que nació en Málaga y el que vive ahora en Valencia tienen nombres que comienzan por la misma letra.
Donde nació y vive cada uno?
Donde nació y vive cada uno?
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EJEMPLOS 3
"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30
minutos) o en metro (40-50 minutos).
Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis
llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera de casa“
Cuestiones:
– ¿Esta información es consistente?
– ¿Es posible que Juan haya usado el tren y Luis haya usado el Metro?
– ¿Cuales son los posibles tiempos en los que Luis pudo haber salido de casa?, etc.
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EJEMPLOS 4
• Variables: altura de viga, longitud de viga, canto de forjado
• Dominios continuos: altura, longitud : [0, 10]
• Restricciones: vibraciones, refuerzos, conexiones, etc.
• Consistencia
• Intervalos de tolerancia
• Soluciones
• etc
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CSP
Problemas de Satisfacción de Restricciones CSP
Metodología de Resolución de problemas
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Definición de CSP
Un Problema de Satisfacción de Restricciones (CSP)
se puede representar como:
• Un Conjunto de Variables: X={x1, x2, ..., xn}
• Dominios de Interpretación (D = <D1,…,Dn> ) para las variables: xi∈Di
• Un Conjunto de Restricciones entre las variables:
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Modelización CSP
MODELACIÓN CSP Variables Dominios Restricciones (EXPRESIVIDAD) (EXPRESIVIDAD)1)
RESOLUCIÓN CSP Técnicas Resolución CSP (EFICICIENCIA) (EFICICIENCIA)2)
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Modelización 1
s e n d + m o r e m o n e y • Variables: s,e,n,d,m,o,r,y • Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y:{0,…,9} • Restricciones • Variables: s, e, n, d, m, o, r, y • Dominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9} • Restricciones: • Todas Diferentes, • 103(s+m) + 102(e+o) + 10(n+r) + d + e= 104m + 103o + 102n + 10e+y Especificación CSP11
Modelización 2
• Variables: s, e, n, d, m, o, r, y • Dominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9} • Restricciones: • s≠
e, s≠
n, s≠
d, s≠
m, s≠
o, s≠
r, s≠
y, e≠
n, e≠
d, e≠
m,….. • d+e = y+10c1 • c1+n+r = e+10c2 • c2+e+o = n+10c3 • c3+s+m = 10m+o s e n d + m o r e m o n e y12
Resolución
s e n d
+
m o r e
m o n e y
MODELACIÓN CSP RESOLUCIÓN CSP13
Objetivos
Consistencia del problema (existe solución).
Consistencia
Obtener una o todas las
soluciones del
soluciones
problema.
Obtener los dominios mínimos.
La solución que optimiza
optimiza una función objetivo
o multi-objetivo.
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Objetivos
Objetivo de un CSP:
• Tiene solución? ⇒ Consistencia.
• Obtener una solución. Obtener todas las soluciones.
• Obtener una solución óptima, o al menos una buena solución, medida por alguna función objetivo (función de evaluación).
Algoritmos para CSP:
• Técnicas de Búsqueda (Algoritmos CSP): Obtienen una solución, guiados por heurísticas.
• Técnicas Inferenciales (Algoritmos de propagación): Obtienen las consecuencias de las restricciones explícitamente conocidas del
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Conceptos básicos
Dado un CSP (X, Di, C),• Una instanciación (o asignación) de las variables X es una asignación de valores a las variables en sus dominios:
x1=v1, x2=v2, ..., xn=vn / vi∈D
• Una solución del CSP es una instanciación consistente de las variables, de forma que se satisfacen todas las restricciones del problema.
• Un valor v es un valor consistente (o posible) para xi si existe una solución del CSP en la cual participa la asignación xi=v.
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Conceptos básicos
Variables
• Un CSP discreto es aquel en el que todas las variables son discretas, es decir, toman valores en dominios discretos.
• Un CSP continuo es un CSP en el que todas las variables son continuas, es decir, tienen dominios continuos.
• Un CSP mixto consta de variables continuas y discretas.
• Un CSP binario es aquel en el que todas las restricciones tienen a los sumo dos variables respectivamente.
• Un CSP no binario o n-ario es aquel en el que las restricciones tienen más de dos variables.
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Conceptos básicos
Restricciones
• Discretas: las variables participantes están acotadas en dominios discretos. • Continuas: las variables participantes están acotadas en dominios continuos. • Binarias: son restricciones en las que sólo participan dos variables.
• N-arias: son restricciones en las que participan N variables (N>2). • Fuertes (hard): son restricciones cuya satisfabilidad es imprescindible. • Débiles (soft): son restricciones cuya satisfabilidad no es imprescindible. • Difusas (fuzzy): son restricciones definidas sobre niveles de preferencia. • Disyuntivas: son restricciones compuestas por un conjunto disjunto de restricciones.
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N-reinas
Definición: posicionar n reinas en un tablero de ajedrez n x n, de forma que no se ataquen.
Formulación: 1 reina por fila
• variables: reinas, Xi reina en la fila i-ésima • dominios: columnas posibles {1, 2, . . . , n} • restricciones: no colocar dos reinas en
– la misma columna – la misma diagonal
Características:
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Coloreado de Grafos
Definición: Dado un grafo, • n nodos
• m colores,
asignar un color a cada nodo de forma que no haya dos nodos adyacentes con el mismo color.
Formulación:
• variables: nodos
• dominios: colores posibles
• restricciones:
≠
nodos adyacentesCaracterísticas:
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Crucigrama
Definición: Dada una rejilla y un diccionario, construir un crucigrama compatible.
Formulación:
• variables: grupo de casillas para una palabra (slots)
• dominios: palabras del diccionario con la longitud adecuada
• restricciones: misma letra en la intersección de dos palabras
Características:
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Restricciones Temporales
Definición: dado un conjunto de sucesos que ocurren
en intervalos temporales con ciertas relaciones, encontrar una asignación temporal consistente.
Formulación:
• variables: sucesos
• dominios: intervalo temporal para cada suceso • restricciones: distancia temporal permitida entre
sucesos; relaciones temporales antes, después, solapado, etc.
Características:
• CSP binario, continuo, con restricciones disyuntivas
T0 T1 T2 T3 T4 {[10, 20]} {[30, 40], [60, ∞]} {[10, 20]} {[20, 30], [40, 50]}
T0: Tiempo inicial (en este caso, 8:00 h.)
T1 / T2: Tiempo en que Juan sale de casa / llega al trabajo. T3/T4: Tiempo en que Luis sale de casa / llega al trabajo.
{[60, 70]}
"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30
minutos) o en metro (40-50 minutos).
Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos
después de que Luis saliera de casa"
"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30
minutos) o en metro (40-50 minutos).
Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos
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Problema de diseño
a) Solución por defecto para los arcos dados:
b) Versión teniendo en cuenta aspectos estéticos y geotecnológicos:
c) Bases para diseñar los detalles de los pilares:
e) Diseño final: d2) Pilares sobre el peralte d3) Pilares en el agua Backtracking sobre los detalles de diseño de los pilares d1) Pilares
demasiado cerca
? ?
Definición: el problema consiste en llevar a cabo el diseño de un puente que debe constar de pocos arcos siendo preferible que los pilares no toquen el agua y los pilares sean lo más bajos posibles.
Formulación:
• variables: partes y elementos del diseño • dominios: valores permitidos para cada parte y elemento
• restricciones: propiedades que las partes deben satisfacer.
Características:
• CSP no binario, mixto, con restricciones hard, soft y difusas.
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CSPs binarios & n-arios
Binario
Un CSP binario se suele representar mediante un grafo, donde:
Nodos: Variables
Arcos: Relaciones binarias entre las variables.
X1 X2 X3 X5 X4 X1 R12 x2 x3 R35 x5 x1 R15 x5 x4 R42 x2 x4 R45 x5 x2 R25 x5
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CSPs binarios & n-arios
No Binario
Un CSP no binario no se suele representar mediante un grafo, sino como un hiper-grafo perdiendo toda la
funcionalidad existente sobre la teoría de grafos. donde:
Nodos: Variables
Arcos: Relaciones binarias entre las variables.
C123 X1 X2 X3 X5 X4 X7 X6 C24567
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Consistencia: Niveles
1-consistencia
Consistencia de nodoConsistencia de nodo (1(1--consistencia)consistencia)
Un nodo (xi) es consistente si al menos un valor en su dominio es consistente con la restricción unaria del nodo:
10≤xi≤ 15, D(Xi):{0, 10}
Un grafo red es nodo-consistente sii todos sus nodos son consistentes: ∀xi∈CSP, ∃vi∈D / (xi ci0) se cumple para xi=vi (ie: D∩ci0≠{∅})
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Consistencia: Niveles
2-consistencia
Consistencia de arco
Consistencia de arco (2(2--consistencia)consistencia): :
Un arco (xi {cij} xj) es consistente si y solo si para cada asignación de xi en su dominio, existe una asignación para xi, tal que la restricción {cij} se satisface.
Por ejemplo el arco:
xi Cij≤ xj [3,6] [8,10]
es consistente, pero no lo sería si cij en vez de ≤ fuese ≥
Un grafo es arco-consistente si todos sus arcos son consistentes. ∀cij ⊆CSP, ∀vi∈di ∃vj∈dj / (xi cij xj) se cumple para xi=vi, xj=vj