Distribución de corriente en los conductores
de mallas de tierra
Luis Ortiz N.*
RESUMEN: Las expresiones para evaluar el desempeño de las puestas a tierra, mediante métodos generales, presen-tados en la mayoría de los artículos están derivados de dos conceptos básicos: el cálculo de la corriente difundida por los diferentes segmentos de la malla de tierra y el uso de estos valores de corriente para determinar los potenciales en un punto deseado en las cercanías de la malla de tierra. Este artículo presenta un método general para calcular la corriente difundida por los diferentes conductores de la malla de tierra, el cual se basa en dividir cada conductor en varios segmentos lineales. Este método es aplicado a un electrodo formado por un conductor horizontal y a un electrodo de cuatro conductores formando un cuadrado. Para ambos electrodos el suelo es considerado homogéneo y no homogéneo de dos capas. Es analizada la precisión en función de la longitud de los segmentos lineales y la in-fluencia del número de imágenes para un suelo de dos
estratos. Finalmente son dadas pautas para mejorar la precisión, tiempo de procesamiento computacional y re -querimiento de memoria.
l. INTRODUCCIÓN
El campo creado por los conductores de una malla de tierra, en el exterior de ellos. en régimen estacionario o de vari a-ción muy lenta. puede ser obtenido, considerando líneas de corriente con densidad de corriente tal que. en ausencia de los conductores creasen en la superficie externa de éstos, potenciales idénticos a aquellos a que se encontraban los conductores.
En el caso de conductores de forma cilíndrica de radio muy pequeño comparado con las longitudes y distancias entre conductores, no considerando el error en los extre-mos, se consigue reproducir aproximadamente la condi -ción de la superficie de cada conductor ser una equipoten-cial, considerando líneas de corriente en el eje de los conductores, con densidad de corriente convenientemente ajustada. El error es tanto menor cuanto menor sea el radio de los conductores en relación a la longitud de éstos y a las distancias entre ellos. Es importante destacar que esta den-sidad de corriente depende, en cuanto a su distribución relativa, no sólo del conductor correspondiente. como ta m-bién de los restantes conductores.
*Departamento de Ingeniería Eléctrica. Facultad de Ingeniería Universidad de Santiago de Chile.
SUMMARY: Equations on the computation of grounding systems performance for the general methods, presented in the most ofthe papers are based on two basic concepts: the calcu/ating of the leakage current in different lineals seg -ments of a grounding electrode and the use of these leakage current values to find the potential at any desired point around the ground e/ectrode layout. This paper presented a general method, that is based to divide the wires into a large numbers of segments. This method is applied to horizontal wire electrode and square electrode of four wires. F or the both electrodes. the soil is considered homo -geneous and non-homogeneous oftwo [ayer. lt is analysed the precision infunction ofthe length ofthe linear segments and the influence ofthe number ofimagesfor the two /ayer soil model. Finally it give any ruler for improve the accur a-cy. process time and computation memory requirement.
El método indicado es reducible a un problema de cálculo de variaciones, determinando la densidad de co-rriente a lo largo de cada línea.
Otro procedimiento, aceptando implícitamente algunos errores. consiste en sustituir las líneas con distribución continua de densidad de corriente, por segmento, supo-niendo en cada segmento un valor uniforme de densidad de corriente. Este método sería conceptualmente equivalente al anterior, si se considerasen segmentos infinitamente pequeños.
A partir de las distribuciones de corriente, por integ ra-ción. se obtiene el potencial o el campo eléctrico en c ual-quier punto.
La aproximación de Sunde [ 1], de considerar la densi -dad de corriente constante a través de los conductores de
una malla de tierra, es en la actualidad utilizada en la mayoría de las situaciones prácticas. Los métodos basados en esta aproximación [2) consideran terreno uniforme y geometrías rectangulares típicas, por lo tanto presentan un gran error para terrenos con fuerte variación de resistividad y no son aplicables a mallas de configuraciones complejas (no rectangulares, conductores en distintos niveles, con conductores anexos).
En la última década han sido desarrollados métodos generales, que evalúan en forma más exacta el co
mporta-miento de una malla de tierra [3. 4. 5. 6. 7]. Éstos se basan en el cálculo exacto de la densidad de corriente difundida por los conductores. La utilización de estos métodos ha
sido posible gracias al advenimiento de los computadores de gran capacidad y alta velocidad.
La referencia [6) hace un estudio completo de un si
ste-ma de puesta a tierra que incluye el cálculo de las corrientes
residuales. su distribución. potenciales y resistencias. Ade-más incluye una aplicación y análbis a algunas situaciones prácticas. En cambio en la [8] encontramos una revisión de
los métodos generales incluyendo resultados numéricos. En este trabajo es realizado un estudio de las dis tribucio-nes de densidades de corriente difundida por los conducto-res de una malla de tierra usando el método de dividir el conductor en varios segmentos de conductor a igual pote
n-cial. Es evaluada la influencia del número de segmentos en
la precisión de la distribución de la corriente. Es además considerada la influencia del número imágenes para un
suelo de dos capas.
Fue elaborado un programa de computación a través del cual se realizaron los estudios indicados anteriormente para un conductor y una malla de cuatro conductores colocados en suelo homogéneo y en el suelo de dos estratos.
Final-mente se dan indicaciones en el sentido de mejorar la precisión del cálculo y disminuir los requerimientos de capacidad del computador.
2. ANÁLISIS TEÓRICO
El procedimiento utilizado en el cálculo de la distribución de corriente en los conductores de una malla de tierra. consiste fundamentalmente en sustituir los conductores con
distribución continua de corriente por n segmentos. supo-niendo en cada uno un valor uniforme de densidad de corriente y un mismo potencial, finalmente cada segmento de conductor es sustituido por un segmento lineal de co-rriente. Este método es general. puede ser aplicado cual-quiera que sea el número de conductores. sus dimensiones y sus posiciones relativas entre ellos y a la superficie del suelo. El método es aproximado. si consideramos segme
n-tos infinitamente pequeños, se obtiene la solución exacta.
La superficie del suelo es tornada en cuenta en un suelo homogéneo considerando una imagen a una distancia igual a la profundidad del conductor.
Cuando el suelo no es homogéneo y es simulado por un
suelo de dos estratos o más, las condiciones de interacción
¡
'"
v
(
~
)
2
+ r2 +t
R, ~ _e_ 2 + ln 471'(v
(1_)2 +~
- 1_ 2 2¡
V
(;
-
x)2 + z2 + l_ - x R,J _e_tn
2 471'(y
(
~
+ xf + z- -'
(1_ +X) 2entre las distintas zonas. pueden ser obtenidas en cada una de ellas. considerando un medio infinito en todas las direc-ciones de resistividad unifonne igual al de esa región. e
imágenes sucesivas en número infinito. La distribución de corriente. en este caso no sólo depende del diámetro.
longi-tud y profundidad del conductor. sino además del espesor
de los estratos y la relación entre sus resistividades. En una malla de tierra sustituida por n segmentos de conductores de resistividad nula. colocada en un suelo homogéneo o no homogéneo. la relación entre las tensiones y las corrientes en los segmentos conductores es:
[V)
=
[
R
JIII
(1)donde [V) es el vector de los potenciales de los conductores (en relación a un punto remoto), [1) vector de las corrientes en los conductores (inyectadas en el suelo desde los con-ductores) y [R] la matriz de las re~istcncias entre los con-ductores.
La distribución de corriente en los conductores se obti
e-ne resolviendo para [ 1 )la ecuación ( 1) suponiendo el mismo valor del potencial para todos los segmentos de conductor. Suelo Homogéneo
Consideremos el caso de un conductor de longitud L. radio r enterrado horizontalmente en suelo homogéneo de resi
sti-vidad p a una profundidad h como lo muestra la Figura l.
El sistema de la Figura 1 . para efectos de análisis en la superficie de la tierra o bajo ella. pero dentro de la primera capa. es sustituido por el sistema equivalente de la Figura 2.
1
h1
> //$7 res1St1v dad r yla=:::::===========
l
-~~2rFigura l. Conductor horizontal en suelo homogéneo.
Al dividir el conductor Len n segmentos de longitud l Un. los elementos de la matri7 [R) de la ecuación ( 1)
\On:
y<~J
2
+ (2h)2 + 1_l
2 (2)v
(~)2
+ (2h)2 _l_ 2l
y
(;
-
x)z + zz + (2h)2 + ..f_ - X +tn
2 (3)y<~
+d
+z
2 + (2h)2 - (l_ T X) 2Figura 2. Sistema equivalente al de la Figura l.
dondes:
p = Resistividad del terreno.
h
=
Profundidad del conductor.e
= Longitud de cada segmento conductor.x
=
Distancia en la dirección x entre los segmentos ij de[R]. Para el caso particular de un conductor colocado
en la dirección x. la variable z toma el valor constante
de r.
z
= Distancia en la dirección z entre los elemento~ ij de[ R [. Para el caso particular de un conductor colocado
en la dirección x. la variable z toma el valor constante
de r.
Suelo no homogéneo (2 estratos)
Para un conductor colocado horizontalmente en el estrato
superficial (resistividad p1) en un suelo de dos estratos.
como se muestra en la Figura 3. al ser sustituido el suelo por
un medio infinito en todas las direcciones, de resistividad
uniforme p1 igual al de la zona considerada, se tiene un
número infinito de imágenes con los valores y las localiza
-ciones dados en la Figura 4.
Para el sistema de la Figura 4. los elementos de la matriz
[RJ son:
{
e,
v
(;)2+
r
+
1..
R;; ___Q_ 2 4'1Tev
(;
)2+
r-
1..
2 X+
lV ( ; )
2+
(2nH - 2h)2+
;
"- 1+
en
+
en
H¡
h[-=======~l._
1 - - -Tir
/7//l resiStividadr,
~ rosost1vidad r 2 Figura 3. Cond~ctor horizontal en un suelo de 2 estratos.-l4Hth) • 4H -(4H-h) -)H -(1H·h) -ZH -11H-h) -H -h
- ---11
1ir- --
~==
-=
'=®jl====
-
+2~
-
-
---y H ( 1 H -h) ]H (1H•h) 3H (4H -hl 4H l 4H•h)Figura 4. Sistema equivalente al de la Figura 3.
v
(;)2+
(2h)2+
.s_
2v
(;)2+
(2h)2 -.s_
2+
2en
+
(2nH)2+
1._
2+
(2nH)2 -..f
2(
V
el..
-
x)2+ z
2+
l.. -
x 2 2 R=
____e_
en
'l 4e
TIV
(
~
+
x)2+
z2 - (~
+
x)+
en
[
V
(
~
-
x)2+
z2+
(2nH - 2h)2+
~
-
x¡
K"en
V
(
~
+
x)2+
z2+
(2nH - 2h)2 - (~
+
x)+
"= 1+
2en
V
(
~
+
x)2+
z2+
(2nH)2 - (~
+
x) +tn
V
<-f -
x)2+
z2+
(2nH+
2h)2+
f
-
xV (
~
+
x)2+
z2+
(2nH+
2h)2 - (~
+
x)]
l
(5) donde: X. Z H K=
tienen el significado de las ecuaciones (2) y(3)
=
espesor del primer estrato del suelo (resistivi-dad p1)
=
resistividad de los estratos 1 y 2, respectiva-mente= factor de reflexión dado por:
K
=
P2- PtP2 + pi
+
p¡/p23. APLICACIÓN DEL MÉTODO
El método indicado es aplicado considerando suelo
homo-géneo y de do5 capas a los siguientes casos:
-Conductor circular horizontal de 2m de longitud, de 5
mm de radio. colocado a 0,5 m de profundidad.
- Cuatro conductores de las dimensiones anteriores for-mando un cuadrado horizontal colocados a 0.5 m de profundidad.
Cada uno de los conductores fueron divididos en l. 1 O. 20. 50 y 100 segmentos.
Cuando es considerado suelo de dos capas es hecho
también un estudio del error en función del número de
imágenes consideradas para el conductor.
4. RESULTADOS
Los resultados son presentados en su mayoría en forma de
gráficos:
La Figura 5 muestra la distribución de la corriente en el
caso de un conductor de 2m de longitud, 5 mm de diámetro
enterrado a 0.5 m de profundidad en un suelo homogéneo
de resistividad p y en un suelo de 2 estratos con un espesor de 2 m la capa superficial (resistividad p1). La capa más
profunda tiene un valor de resistividad igual a JO veces el valor de la resistividad de la capa superficial. Se visualiza
cómo influye el número de segmentos en que se divide el
conductor. e
.. ..
e : 1.4 .. 1.3 "O*
1,2 ~ 1.1 "O "' e ~ 1.0o.
9 profundo dad-del conductor O.Sm ·de la 1• capo 2m t1•om del cond Smm
- suelo homoqe'neo
--- suelo de 2 copas
1'21 p1 =10
0.8 L_~:----:L-.J..._-..J..,--_J'----'---'--..1..--'--_J
-1 -06 -06 -04 ·02
o
02 04 06 08Dostancoa desde el centro 1m 1
Figura S. Distribución de la corriente en un conductor de 2m de longitud enterrado horizontalmente en un suelo homogéneo y
La Figura 6 muestra la distribución de la corriente en un
conductor de un electrodo cuadrado de conductores iguales
a los descritos anteriormente, colocada horizontalmente a
0,5 m de profundidad en un suelo homogéneo de
resistivi-dad p y en un suelo de 2 estratos p 1 y p2
= 1 O
p 1, el espesor del estrato superficial es 2 m.La Tabla 1 muestra la influencia del número de
imáge-nes en el valor de distribución de corriente para el caso de
un conductor como el descrito anteriormente enterrado a
0,5 m de profundidad en un terreno no homogéneo con una
capa superficial de 2 m de espesor y resistividad P1. la resistividad de la capa inferior es p2 = 10
PI-Para terrenos biestratificados en que la capa superficial
es de menor resistividad, el método expuesto es totalmente
aplicable. La diferencia radica en que el coeficiente de
reflexión K, de las ecuaciones (4) y (5), es negativo,
teniendo como consecuencia una convergencia más lenta
de las series. Esto significa que para tener una exactitud, del mismo orden de los casos tratados, se debe considerar
un mayor número de imágenes. en el cálculo de los
elemen-tos de la matriz [R].
S. CONCLUSIONES
De entre las conclusiones más importantes podemos d
es-tacar:
En el caso de un suelo de dos capas la distribución de
corriente es menos uniforme que para un suelo homogéneo.
La distribución de corriente en los conductores del
cuadrado horizontal es más uniforme que en la situación de
~ 1.5
e
"' profundidad -suelo homogéneo
"' 1,4
e:
"' ~ 1.3 ~ o-del electrodo O,Sm
-de la 1•copo 2m
doom del cond. S mm
---suelo de 2 copas fi1~=10 "' ..., 1.2
"
"'
e 1,1 := ..., o ..., 1,0 "' e"'
o 0',9 0,8 L - - - ' - - - - l . - - L _ _._ _ _¡__..._____.'----l.----'-___J -1 -0,8 -0,6 -0.4 -0,2 0.2o.4
o
.
6
o.a
Dostancio desde el centro del conductor (m)
Figura 6. Distribución de la corriente en uno de los conductores
de un electrodo cuadrado de 2 x 2 m, enterrado
horizontal-mente en terreno homogéneo y en uno de 2 estratos.
un solo conductor. Una distribución de corriente uniforme
se obtendría en un anillo enterrado horizontalmente.
Los cálculos realizados son muy sensibles al número de
divisiones del conductor. de acuerdo con el análisis teórico,
cuanto mayor es el número de segmentos. mejor es la
precisión del cálculo; por supuesto esto debe relacionarse
con el costo involucrado. Una buena manera para optimizar
es considerar segmentos más cortos en los extremos de los
conductores y más largos en el centro de éste.
Tabla 1
INFLUENCIA DEL NÚMERO DE IMÁGENES EN
LA DENSIDAD DE CORRIENTE EN UN CONDUCTOR
ENTERRADO EN UN TERRENO DE 2 CAPAS
Número de Densidad de corriente en el conductor
imágenes en "/1 del valor medio
Div. 10 Div.
2 1.211
10 1.275
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