VAMOS A CONOCER…
1. Sistema de referencia 2. ¿Qué es el movimiento? 3. La trayectoria4. Magnitudes vectoriales 5. Distancia recorrida y vector
desplazamiento 6. Velocidad media 7. Movimiento rectilíneo uniforme 8. La aceleración 9. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 10. Caída libre
11. Movimiento circular uniforme
¿QUÉ SABES DE ESTO?
1. Un automóvil pasa a las once de la mañana por el km 15 de una carretera. Si al mediodíaestá en el kilómetro 90, ¿cuál fue su velocidad? Expresa esa cantidad en unidades del SI. 2. De las siguientes gráficas, señala la que describe mejor tu actividad en un día de clase, desde que sales de tu casa por la mañana hasta que regresas a primera hora de la tarde.
3. Si dejas caer una hoja de papel arrugada y otra lisa desde una cierta altura, ¿cuál cae antes? ¿Por qué?
3 ·
Formula
1 ·
El movimiento
15h 8h tiempo Distancia recorrida 15h 8h tiempo Posición respecto a tu casa 15h 8h tiempo Posición respecto a tu casa 15h 8h tiempo Distancia recorridaPrimeros versos
de la Iliada (I 1-7)
Canta, diosa, la cólera del Pelida Aquiles funesta, pues que tantos males a los aqueos causó
y muchas almas valerosas mandó de cabeza al Hades
de héroes, a quienes hizo presa de los perros
Y
La Ciencia que estudia el movimiento de los objetos se deno-mina Cinemática. Y se puede decir que la Física nace cuan-do el científico italiano Galileo Galilei descubre, en el siglo XVII, la ley que rige la caída de un objeto en la superficie de la Tierra.
En esta unidad didáctica se definen las magnitudes que des-criben el movimiento de los objetos sin entrar en las causas que los producen.
1. Sistema de referencia
En el transcurso de un viaje se suele preguntar por la distancia que se ha recorrido, por la que falta por recorrer, si se va deprisa o despacio o a la hora que se llegará a un determinado lugar.
Para contestar a esas preguntas, y en general en el estudio del movimiento, se deben relacionar las distancias y los lugares que ocupan los objetos con el tiempo transcurrido.
En primer lugar hay que situar a los objetos y para ello hay que relacionar-los con otros objetos que se eligen como referencia.
Un punto se puede situar sobre una línea, sobre el plano o en el espacio. En todos los casos hay que elegir otro punto respecto del que se describen las posiciones denominado origen del sistema de referencia.
Para localizar un punto en una línea recta, en el plano o en el espacio se utiliza un sistema de referencia cartesiano.
Para la descripción del movimiento se necesita conocer el instante en el que un objeto ocupa una posición determinada, y por ello también hay que ele-gir un origen para el tiempo. En general, el origen de tiempo coincide con el instante en el que comienza la observación.
AP-7
225
km
a Los hitos kilométricos de las carreteras y
autopistas indican la distancia desde el punto elegido como km 0.
Un sistema de referenciaes un punto o un conjunto de puntos respecto de los que se localiza un objeto.
d
Posiciónes el lugar que ocupa un objeto respecto de un sistema de re-ferencia.
d
Un sistema de referencia cartesianoson unos ejes de coordenadas que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.
d
SISTEMAS DE REFERENCIA
En una dimensión En dos dimensiones En tres dimensiones
Origen O e 0 x x X Origen de referencia Y O X x y P (x,y) Y O Z X x z y P (x,y,z) La posición de un punto en una línea curva se determina con una única coordenada,
e,que indica la distancia, si-guiendo la línea, desde el punto elegido como origen del sistema de referencia.
La posición de una partícula en una línea recta se fija con una única coordenada, x,
que indica la distancia desde el origen del sistema de refe-rencia hasta el punto consi-derado.
Para localizar un objeto en un plano se precisan dos co-ordenadas (x, y),que expre-san la distancia desde dos ejes de coordenadas hasta el punto considerado
Un punto en el espacio se lo-caliza con tres coordenadas
(x, y, z),que son igual a las distancias desde los tres ejes de coordenadas hasta el punto considerado.
Y
2. ¿Qué es el movimiento?
En la siguiente figura se observa un tren que pasa frente a una estación
aEl estado de movimiento depende del sistema de referencia.
Si se pregunta a unos viajeros, sentados en sus asientos, sobre su estado de movi-miento, contestan que no se han movido durante todo el viaje. Sin embargo las personas situadas en el andén observan que se alejan cada vez más.
Entre las dos afirmaciones hay una contradicción, que desaparece al acom-pañarlas de la correspondiente referencia. Los viajeros se alejan respecto de la estación, pero están en reposo unos respecto de los otros.
El asegurar que un objeto se mueve o está en reposo no tiene sentido, si no se añade el sistema de referencia elegido. El estado de reposo o de movi-miento de un objeto es siempre relativo respecto a otro objeto, que se uti-liza como referencia.
Un libro encima de una mesa está en reposo respecto a unos ejes de coor-denadas colocados en un rincón de la clase. Si el sistema de referencia estu-viera colocado en el Sol: la Tierra, el aula, la mesa y el libro no están en reposo. Así mismo, el Sol se traslada en torno al centro de la galaxia.
No existe ningún sistema de referencia inmóvil, por lo que no se puede conocer la velocidad absoluta de un objeto. Sólo se puede determinar su velocidad respecto a un sistema de referencia.
a A las personas situadas dentro de un medio
de transporte les parece que el paisaje se mueve hacia atrás.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1. Pon ejemplos en los que algún objeto esté en reposo respecto a un sistema de referencia y en movimiento respecto a otro.
El estado de reposo o de movimiento de un objeto depende del siste-ma de referencia elegido para realizar la descripción.
d
Un objeto está en movimiento cuando su posición, con relación a un sistema de referencia, se modifica a lo largo del tiempo transcurrido. Tanto el estado de reposo como el movimiento son relativos. Uno y otro dependen del sistema de referencia elegido.
d
El movimiento
de la Tierra
A la Tierra se la puede considerar en reposo, para describir los movimientos que transcurren sobre su superficie. En la antigüedad se pensaba que la Tierra estaba inmóvil, en el Universo, por lo que se consideraba la posibili-dad del movimiento absoluto.
3. La trayectoria
La trayectoria es una línea en un mapa, una carretera, un camino, las hue-llas marcadas en la nieve o la estela que deja en el cielo un avión reactor. Las trayectorias pueden ser líneas rectas o líneas curvas. Las trayectorias curvilíneas pueden ser circunferencias, elipses, parábolas u otro tipo de curva cualquiera.
4. Magnitudes vectoriales
Para localizar con precisión la posición de los objetos, respecto de un sis-tema de referencia, hay que expresar además del valor numérico y la uni-dad de esa distancia, la dirección y el sentido en que se encuentran. Esa información la indican las magnitudes vectoriales.
Un vector es un segmento orientado y se escriben en negrita v o con una flecha encima v. Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad, la aceleración y la fuerza.
El módulode un vector es el valor numérico de la magnitud, acompañado de la unidad correspondiente y es igual a la distancia desde el origen hasta el extremo del segmento orientado y se representa:
v= |v|
La direcciónes la recta que contiene al segmento orientado y el sentidoes la orientación del mismo dentro de la recta. En una misma recta hay dos sentidos diferentes. Por ello, dos vectores del mismo módulo pueden tener sentidos distintos y una misma dirección. El punto de aplicacióndel vector es el origen del segmento orientado.
En contraposición con las magnitudes vectoriales, se denominan magnitudes escalares a las que se determinan solo con un número real y una unidad, como por ejemplo: la masa, el volumen, el tiempo y la distancia recorrida. módulo
sentido punto de
aplicación
dirección
a Representación de una magnitud vectorial.
A O B
sentido dirección sentido
a La dirección es la recta que contiene al
vector y el sentido indica hacia dónde se reco-rre la recta.
La trayectoriaes la línea imaginaria que une las sucesivas posiciones que ocupa un objeto respecto del sistema de referencia.
d
Una magnitud se representa por un vectorcuando para su descripción hay que conocer su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.
d
Y
Operaciones con vectores
Una de las diferencias más notables entre las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales es el tratamiento matemático al que obedecen. A las magnitudes escalares se les aplican las operaciones matemáticas con-vencionales. Sin embargo, al operar con vectores hay reglas y operaciones diferentes que forman el conjunto de la matemática vectorial. Un ejemplo de ello es la suma y la resta de magnitudes vectoriales.
Para sumar dos vectores a y b, se traslada uno a continuación de otro y el vector suma, c, se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo. Para restar a un vector a el vector b, basta sumarle al vector a el vector opuesto de b, es decir, el vector –b.
Cuando dos vectores tienen su origen en el mismo punto, entonces el vec-tor suma es la diagonal del paralelogramo cuyo origen coincide con el de los vectores. La otra diagonal es igual a la diferencia.
Si los vectores sumandos tienen la misma dirección y sentido, el vector suma tiene la misma dirección y sentido que los sumandos y su módulo es igual a la suma de ambos módulos: c= a+ b
Si los vectores sumandos tienen la misma dirección y sentido contrarios, el vector suma tiene por módulo la diferencia de ambos módulos y su dirección y sentido coinciden con los del vector de módulo mayor: c= a– b
aSuma de vectores de la misma dirección.
Si los dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo del vector suma se determina aplicando el teorema de Pitágoras, ya que es igual a la hipo-tenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos los módulos de los dos vectores sumandos.
|c| = c=
a2+ b2El producto de un número real npor un vector a, es otro vector de módulo n veces el módulo del vector a, su dirección es la misma que la del vector a y su sentido es el del vector a, si nes positivo, y el opuesto, si nes negativo.
|n· a| = n· |a| = n· a Suma de vectores de la misma dirección y sentido c = a + b b→ a→ a→ c = a + b→ → → b→ Suma de vectores de la misma dirección y sentido contrario c = a – b b→ a→ a→ c = a + b→ → → b→ a → a → a → a – b → → a + b→ → a – b → → b → b → b → b →
a Suma y diferencia de vectores.
a → c = a + b → → → b →
a Suma de vectores perpendiculares.
5a→
a→
a Producto de un vector por un número.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
2. En un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, dibuja un vector de 3 unida-des sobre el eje Xy otro de 4 unidades sobre el eje Y, tomando como origen de los vectores el del sistema de referencia. Súmalos gráficamente y calcula el módu-lo del vector suma.
5. Distancia recorrida y vector desplazamiento
Al realizar un viaje o dar un paseo interesa conocer la distancia que se ha recorrido, cuyo valor dependerá del camino que se haya seguido.Cuando un móvil se traslada entre dos posiciones, puede hacerlo en línea recta o siguiendo cualquiera de las numerosas trayectorias curvilíneas que unen esas posiciones.
Para analizar ese cambio de posición que experimenta el móvil se utilizan las magnitudes distancia recorrida y vector desplazamiento.
La distancia recorrida entre dos posiciones Ay Bse determina restando los valores de las correspondientes posiciones, expresadas por una coorde-nada, e, que indica la distancia desde el origen del sistema de referencia siguiendo la trayectoria.
distancia recorrida = ∆e= eB– eA
Tal es el caso de la distancia recorrida sobre una carretera, que se calcula restando los valores de los correspondientes puntos kilométricos.
La distancia recorrida es una magnitud escalar que se mide en el SI en metros.
Un móvil se puede trasladar entre dos posiciones siguiendo numerosas yectorias. Sin embargo, si el objeto se dirige en línea recta entonces la tra-yectoria es única.
Para desligar la posición de la trayectoria se define una nueva magnitud denominada vector desplazamiento.
Si se elige un sistema de referencia con el eje Xcoincidente con la dirección del vector desplazamiento, entonces se puede prescindir de la notación vec-torial y su valor se calcula restando a la coordenada de la posición final, xB, la de la posición inicial xA, acompañadas de su signo correspondiente.
∆x= xB– xA
El módulo del vector desplazamiento se mide en el SI en metros.
Desplazamiento Trayectoria A B Trayectoria Desplazamiento Distancia recorrida Origen de referencia O eA eB
a La distancia recorrida se mide sobre la
trayectoria. Distancia recorrida Desplazamiento Origen de referencia O xA xB
a El desplazamiento es la distancia más corta
entre dos posiciones.
Distancia recorridaes la longitud de la trayectoria que sigue un obje-to entre dos posiciones distintas.
d
Vector desplazamiento, ∆x, es un vector tiene su origen en la posición inicial del móvil y su extremo en la posición final.
De esta forma, si al recorrer la trayectoria en un sentido el vector desplaza-miento tiene un signo, al seguirla en sentido contrario el signo es el opuesto.
El vector desplazamiento, entre dos posiciones, es siempre el mismo independientemente de cuál sea la trayectoria que recorra el móvil. Sin embargo, la distancia recorrida depende de la trayectoria seguida.
El vector desplazamiento no es solamente una distancia, es una distan-cia siguiendo un determinado sentido a lo largo de una dirección con-creta.
xinicial = 2 m
xinicial xfinal xfinal xinicial xfinal = 5 m ∆x = 5 m – 2 m = 3 m xinicial = 5 m xfinal = 3 m ∆x = 3 m – 5 m = –2 m O O ∆x ∆x
ACTIVIDADES RESUELTAS
Una pista de scalextric tiene un tramo en forma de semicircunferencia de 1,5 m de radio. Dibuja la trayectoria y el vec-tor desplazamiento. Calcula la distancia recorrida y el módulo del vecvec-tor desplazamiento cuando el coche va desde un extremo al otro de ese tramo de pista.
La distancia recorrida es igual a la longitud de la semicircunferencia.
∆e= 2 · 2
π·R
= π· 1,5 m = 4,7 m
El módulo del vector desplazamiento coincide con el valor del diámetro la semicir-cunferencia.
∆x= 2 · R= 2 · 1,5 m = 3 m
Una pelota se lanza rodando contra una pared desde un punto situado a 1 m de una señal realizada en el suelo. Al cabo de un tiempo choca contra una pared situada a 7 m y regresa deteniéndose a 4 m de dicha marca. Representa en un diagrama las posiciones inicial y final de la bola. Dibuja la trayectoria y el vector desplazamiento. Calcula su valor y el de la distancia recorrida.
Identificando trayectoria con el eje de coordenadas Xy el origen del sistema de refe-rencia en la señal, las posiciones de la pelota y de la pared son:
xinicial= 1 m; xfinal= 4 m; xpared= 7 m
El valor del vector desplazamiento es: ∆x= xfinal– xinicial= 4 m – 1 m = 3 m
La pelota recorre 6 m hasta que choca contra la pared, para después regresar por el mismo camino y recorrer 3 m hasta detenerse.
distancia recorrida = 6 m + 3 m = 9 m
El módulo del vector desplazamiento y la distancia recorrida no coinciden porque hay cambios en el sentido del movimiento. La distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento
coinci-den cuando la trayectoria es una línea recta y no hay cambios en el sen-tido del movimiento.
d desplazamiento a El desplazamiento es independiente de la trayectoria. Trayectoria Desplazamiento Radio = 1,5 m Posición inicial Posición final xinicial O Distancia recorrida xfinal ∆x xpared
6. Velocidad media
Cuando un automóvil va por una carretera hay que saber si se desplaza y si lo hace deprisa o despacio y, con frecuencia, hay que determinar en qué sentido recorre la trayectoria.
Para indicar si un objeto va deprisa o despacio, sin precisar la dirección y el sentido del movimiento, se utiliza la magnitud rapidez media.
rapidez media = = ∆
∆
e t
La rapidez media es una magnitud escalar y no informa de la dirección y sentido del movimiento.
Para especificar tanto la distancia recorrida como la dirección y el sentido en el que se realiza un movimiento se emplea la magnitud vector velocidad media.
Si la trayectoria es una línea recta y se elige un sistema de referencia con la dirección de la trayectoria sobre el eje X, se cumple que:
v media= ∆ ∆ x t
y su módulo: |vmedia| = vmedia= ∆
∆
x t
La velocidad media es una magnitud vectorial, de dirección y sentido los del vector desplazamiento.
La mayoría de los movimientos se producen sobre trayectorias curvilíneas, que se conocen previamente. Por tanto, para describir un movimiento basta con conocer la rapidez con la que se realiza y el sentido en el que se reco-rre la trayectoria. vmedia= ∆ ∆ e t
Y se establece un criterio de signos, de forma que si al recorrer la trayecto-ria en un sentido a la velocidad se le asigna el signo positivo, al recorrerla en sentido contrario la velocidad tiene signo negativo.
La rapidez media y la velocidad media se miden en el sistema internacio-nal en m/s y en la práctica en km/h. distancia recorrida tiempo empleado x1 ∆x x2 X O ∆e
a Distancia recorrida y vector desplazamiento.
x1 ∆x x2
X O
∆e
a El módulo del vector desplazamiento y la
distancia recorrida coinciden cuando la trayectoria es una línea recta.
km 0 O km 3 e v < 0 v > 0
a El signo de la velocidad indica el sentido en
el que se recorre la trayectoria.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
3. Expresa la velocidad del sonido, v= 340 m/s en la unidad km/h y la velocidad de 100 km/h en la unidad m/s.
Rapidez mediaes la relación entre la distancia recorrida por un móvil, medida sobre la trayectoria, y el tiempo empleado en recorrerla.
d
Vector velocidad media, vmedia, es la relación entre el desplazamiento realizado por un móvil y el tiempo empleado en efectuarlo.
d
Por ello, la velocidad mediade un objeto se identifica con la distancia que recorre sobre la trayectoria en la unidad de tiempo.
d
Conversión
de unidades
Para expresar la velocidad de unas uni-dades a las otras se utilizan los factores de conversión: 1 km = 1000 m y 1 h = 3 600 s 1 k h m = 1 k h m · 1 1 00 k 0 m m · 3 6 1 0 h 0 s 1 m s= 1 m s· 1 1 00 k 0 m m · 3 6 1 0 h 0 sVelocidad instantánea
La velocidad media determina la rapidez de un móvil en un cierto intervalo de tiempo. Sin embargo, con frecuencia, interesa conocer la velocidad de un móvil en un instante determinado o en una posición de la trayectoria, tal es el caso de los vehículos con el fin, por ejemplo, de respetar las normas de circulación.
Cuando el intervalo de tiempo entre dos observaciones es muy pequeño, entonces el valor medio de la velocidad es igual a la velocidad instantánea. Esta cantidad es la que muestra el velocímetro de los vehículos.
La velocidad instantánea es una magnitud vectorial de dirección la de la tangente a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Su unidad de medida en el SI es el m/s.
a El velocímetro indica el módulo del vector
velocidad instantánea y el cuentakilómetros indica la distancia recorrida.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Las figuras siguientes representan el movimiento de un ciclista a lo largo de dos trayectorias distintas. Calcula su velo-cidad media en cada uno de los ejemplos.
En los dos ejemplos se conoce la trayectoria del movimiento, por lo que hay que calcular la rapidez e indicar el sentido en el que se recorre la trayectoria. La velocidad es negativa en la trayectoria en línea recta y positiva en la curvilínea.
a) Trayectoria rectilínea: vmedia= ∆
∆ x t = = 0 m 2 – 0 1 s 20 m = –6 m/s
b) Trayectoria curvilínea: vmedia= ∆
∆ e t = = 70 km 4 – h 10 km = 15 km/h
Un atleta corre la carrera de 100 m lisos en 9,84 s. Determina su velocidad media y exprésala en m/s y en km/h. La velocidad media es: vmedia= d
t i i s e t m an p c o ia = 1 9 0 ,8 0 4 m s = 10,16 m/s La velocidad expresada en km/h es: vmedia= 10,16 m
s= 10,16 m s· 1 0 k 0 m 0 m · 3 6 h 00 s = 36,58 km/h
Un atleta de maratón recorre los 42,195 km de que consta la prueba en un tiempo de 2 h 13 min 16 s. Determina la velocidad media expresada en km/h y en m/s.
En primer lugar se expresa el tiempo total en horas: t= 2 h 13 min 16 s = 2 h + 13 min 60
h
min+ 16 s 3 6 h
00 s= 2,22 h La velocidad media es: vmedia= d
t i i s e t m an p c o ia = 42 2 ,1 ,2 9 2 5 h km = 19 k h m En unidades del SI: vmedia= 19 k
h m = 19 k h m · 1 0 k 0 m 0 m · 3 6 h 00 s= 5,28 m s efinal– einicial ∆t xfinal–xinicial ∆t 0 20 40 60 20 s 0 s 0 h 4 h 80 100 120 x (m)
xfinal xinicial 0 einicial efinal
10
20 30
40 50
60 70
7. Movimiento rectilíneo uniforme
Un movimiento es rectilíneo cuando la trayectoria es una línea recta y es uniforme si el módulo el vector velocidad permanece constante.
Si se hace coincidir el eje Xdel sistema de referencia con la trayectoria y si, además, el origen de tiempo coincide con el instante inicial, t0= 0 s, enton-ces el módulo del vector velocidad se expresa:
v= ∆∆x t = x t – – x t0 0 = x– t x0 ⇒v· t= x– x0
Ordenando términos, se tiene la ecuación de la posición del movimiento: x= x0+ v· t
Donde x es la posición en cualquier instante, x0 la posición inicial, v la velocidad, tel tiempo transcurrido e ∆x= x– x0la distancia recorrida. De la ecuación anterior se deduce que si la variación de la posición, x– x0, es una cantidad positiva entonces la velocidad tiene signo positivo y si esa variación es negativa, a la velocidad se le asigna el signo negativo.
La ecuación anterior también se aplica a cualquier movimiento uniforme. e= e0+ v· t
Donde e0es la posición inicial, ees la posición en cualquier instante y la distancia recorrida medida sobre la trayectoria es ∆e= e– e0.
Al representar gráficamente la posición, x, en el transcurso del tiempo, t, se obtiene una línea recta que corta al eje de ordenadas en la posición inicial, x0, y cuya pendiente es igual al módulo del vector velocidad.
O ∆x = distancia recorrida X
Origen de referencia
x0 v→ x
a Movimiento rectilíneo uniforme.
∆e = distancia recorrida Origen de referencia 0 e0 e a Movimiento uniforme.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
4. Escribe la ecuación de la posición para los movimientos rectilíneos representados en la figura adjunta.
5. Escribe las ecuaciones de los siguientes movi-mientos y represéntalos gráficamente. a) Un móvil sale de un punto situado a 5 km
del origen y se aleja con una velocidad de 2 km/h.
b) Durante el recreo un compañero que está situado a 30 m de ti, se te acerca con una velocidad de 2 m/s.
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Gráfica posición frente al tiempo de un móvil con velocidad positiva.
Gráfica posición frente al tiempo de un móvil con velocidad negativa.
Gráfica de la velocidad frente al tiempo. t x = x0 + v · t x0 O x Pendiente =∆x = v ∆t ∆x ∆t t x = x0 – v · t x0 O x Pendiente =∆x = v ∆t ∆x ∆t x (m) 45 36 27 18 9 0 2 4 6 A B C 8 10 12 t (s) t O v v > 0 v < 0
ACTIVIDADES RESUELTAS
Un automovilista se encuentra en un instante en el kilómetro 10 de una carretera y transita con una velocidad media de 80 km/h. Escribe la ecuación de la posición en cualquier instante. ¿Dónde se encontrará una hora y media más tarde? ¿En qué instante pasará por la posición 190 km?
Si se elige como sistema de referencia para la posición el km 0, la posición inical es e0= 10 km y la expresión de la posición en cual-quier instante es:
e= e0+ v· t= 10 km + 80 km/h · t Cuando haya transcurrido un tiempo t=1,5 h su posición será:
e= 10 km + 80 km/h · t= 10 km + 80 km/h · 1,5 h = 130 km
Para calcular cuándo pasa por la posición 190 km, se sustituye en la ecuación de la posición y se despeja el tiempo. e= 10 km + 80 km/h · t; 190 km = 10 km + 80 km/h · t⇒t= 2,25 h = 2 h 15 min
Dos autobuses salen al encuentro desde dos ciudades, A y B, que distan 750 km. El que sale desde la ciudad A arranca a las ocho de la mañana con una velocidad media de 50 km/h. El otro sale desde la ciudad B a las once y su velocidad media es de 70 km/h. Determina el lugar y la hora a la que se cruzan en el camino. Representa en un diagrama de posi-ción frente al tiempo el movimiento de los dos vehículos.
a) Se elige como origen del sistema de referencia la posición de la ciudad A y como origen de tiempos el instante en el que sale el autobús más madru-gador, las ocho de la mañana.
En este sistema de referencia, la velocidad del autobús situado en la ciudad B tiene signo negativo.
Las posiciones, en cualquier instante, de los dos autobuses son:
eA= 0 km + 50 km/h · t; eB= 750 km – 70 km/h · (t– 3 h) Los autobuses se cruzan cuando en el mismo instante ocupen la misma posición.
eA= eB; 50 km/h · t= 750 km – 70 km/h · (t– 3 h) ⇒t= 8 h Los autobuses se cruzan cuando son las 8 h + 8 h = 16 h, a las cuatro de la tarde.
La posición de cruce es igual a la distancia que se encuentran de la ciudad A.
eB= eA= 50 km/h · t= 50 km/h · 8 h = 400 km
b) Para representar de forma gráfica el movimiento de los autobuses, se construye una tabla de valores en la que se registran sus posi-ciones cada hora que transcurre y que se trasladan a la correspondiente gráfica.
Ciudad A Ciudad B tsalida = 0 h tsalida = 3 h vA = 50 km/h vB = 70 km/h e0, A = 0 km e0, B = 750 km e (km) 800 Autobús A Autob ús B 700 600 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8t (m) tiempo transcurrido (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 posición autobús A (km) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 posición autobús B (km) 750 750 750 750 680 610 540 470 400 Las dos gráficas se cruzan en el punto de encuentro.
8. La aceleración
La velocidad, considerada como una magnitud vectorial, tiene las caracte-rísticas de módulo, dirección y sentido. Por tanto, el vector velocidad se modifica siempre que cambie su módulo, su dirección o su sentido.
La aceleración, así entendida, tiene dos contribuciones: una que modifica al módulo del vector velocidad y otra que cambia la dirección del mismo.
Es un vector tangente a la trayectoria y sentido el del movimiento si aumenta la velocidad y el contrario, si la velocidad disminuye. Su módulo se representa por: |at| =at= a, y se determina mediante la relación entre la variación del módulo del vector velocidad y el tiempo que tarda en produ-cirse. La aceleración tangencial es positiva si el módulo de la velocidad aumenta y negativa si disminuye.
a= ∆∆v
t
Es un vector perpendicular a la trayectoria en cada punto y su sentido es hacia el centro de curvatura. Su módulo se representa por: |an| = any en un determinado instante es igual a la relación entre el cuadrado del módulo del vector velocidad, v, y el radio Rde curvatura de la trayectoria.
an= v R
2
La unidad de medida de la aceleración en el SI es el m/s2. a La aceleración modifica al vector velocidad.
atangencial
→
a El vector aceleración tangencial siempre
tiene la dirección de la recta tangente a la trayectoria.
anormal
→
a El vector aceleración normal tiene siempre
la dirección de la recta perpendicular a la trayectoria.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
6. Los siguientes esquemas representan el movimiento de un objeto en cuatro situa-ciones diferentes.
Para cada ejemplo señala si se modifica algún atributo del vector velocidad e identifica esa variación con el tipo de aceleración correspondiente.
80 km/h 80 km/h 80 km/h 80 km/h 80 km/h 80 km/h 50 km/h 50 km/h A B C D
Aceleraciónes la magnitud vectorial que mide las variaciones del vec-tor velocidad en el transcurso del tiempo.
d
La aceleración normal, an, es la responsable del cambio de dirección del vector velocidad.
d
La aceleración tangencial, at, es la responsable de la variación del mó-dulo del vector velocidad y habitualmente se conoce como acelera-ción. Siempre que se modifica el módulo del vector velocidad hay ace-leración tangencial.
Clasificación de los movimientos según su aceleración Los movimientos se clasifican de dos formas:
a) Según sea su trayectoria.
b) Según se modifica el módulo del vector velocidad.
O que es lo mismo, se clasifican en función de las aceleraciones tangencial y normal.
a) Según la trayectoria:
• Rectilíneos: no se modifica la dirección del vector velocidad y la aceleración normal es igual a cero.
• Circulares: cuando el radio de la curva es constante. Se modifica la dirección del vector velocidad y por ello hay aceleración normal. • Curvilíneos: si el radio de la curva no es constante. Se modifica la
dirección del vector velocidad y por tanto, hay aceleración normal. b) Según el módulo del vector velocidad:
• Uniformes: no se modifica el módulo del vector velocidad, lo que significa que la aceleración tangencial es igual a cero.
• Uniformemente acelerados: el módulo del vector velocidad se modifica proporcionalmente con el tiempo, por lo que el módulo de la aceleración tangencial es constante.
• Variados: el módulo del vector velocidad no se modifica proporcio-nalmente con el tiempo, por lo que el módulo de la aceleración tan-gencial no es constante.
En un movimiento rectilíneo nunca hay aceleración normal.
En un movimiento circular o curvilíneo siempre existe aceleración normal.
rectilíneo cero curvilíneo otro valor Aceleración normal uniforme cero unifor-memente acelerado constante variado variable Módulo de la aceleración tangencial
ACTIVIDADES RESUELTAS
El guepardo es un animal capaz de alcanzar una velocidad de 72 km/h en 2 s. ¿Cuál es la aceleración del citado animal, supuesta esta constante?
Expresando la velocidad en unidades del SI: v= 72 km/h = 20 m/s A partir de la definición de aceleración: a= ∆
∆ v t = 20 m/s 2 – s 0 m/s = 10 m/s2
Considerando a la órbita terrestre como una circunferencia de 150 millones de km de radio, determina la velocidad, en km/h, y la aceleración, en m/s2, con que la Tierra se mueve alrededor del Sol.
Como la Tierra recorre la longitud de la circunferencia (2 · π· R) en un año su velocidad de traslación alrededor del Sol es: v= d t i i s e t m an p c o ia = · 36 1 5 añ d o ías · 1 24 dí h a = 107 589 k h m que expresada en unidades del SI es: v= 107 589 km/h = 29 886 m/s
Como el módulo del vector velocidad es constante la aceleración tangencial es igual a cero. Solo existe aceleración normal que modi-fica a la dirección del vector velocidad en cada instante.
Su módulo es: an= v R 2 = (2 1 9 50 88 · 6 10 m 9 / m s)2 = 6 · 10–3m s2 2 · π· 150 · 106km 1 año
9. Movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado
Un movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado cuando la trayecto-ria es una línea recta y la aceleración es constante.
Aplicando la definición de aceleración tangencial y considerando que el instante inicial de la observación es t0= 0, se cumple que:
a= ∆ ∆ v t = v t – – v t0 0 = v– t v0 ⇒a· t= v– v0
Ordenando términos, se tiene la ecuación de la velocidad del movimiento: v= v0+ a· t
Ecuación que relaciona el módulo la velocidad en un instante, v, y el de la velocidad inicial, v0, con la aceleración, a, y el tiempo transcurrido, t. De la ecuación anterior se deduce que si la variación de la velocidad, v–v0, es una cantidad positiva entonces la aceleración tiene signo positivo y si esa variación es negativa, como ocurre al frenarse un móvil, entonces a la aceleración se le asigna el signo negativo.
Al representar gráficamente la velocidad, v, de un móvil en el transcurso del tiempo, t, se obtiene una línea recta que corta al eje de ordenadas en la velocidad inicial, v0, y cuya pendiente es igual al módulo de la aceleración.
pendiente = ∆
∆
v t
= a
a Durante una carrera se modifica
continua-mente la velocidad de los automóviles.
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Gráfica de la velocidad frente al tiempo de un móvil con aceleración positiva.
Gráfica de la velocidad frente al tiempo de un móvil con aceleración negativa.
Gráfica de la aceleración frente al tiempo. t v = v0 + a · t v0 O x Pendiente =∆v = a ∆t ∆v ∆t t v = v0 – a · t v0 O v Pendiente =∆v = a ∆t ∆v ∆t t O a a > 0 a < 0
ACTIVIDADES PROPUESTAS
7. Escribe la ecuación de la velocidad para los movimientos representados en la figu-ra adjunta.
8. Escribe las ecuaciones de la velocidad de los siguientes movimientos y represénta-los gráficamente.
a) Un móvil que lleva una velocidad cons-tante de 10 m/s.
b) Un móvil lleva una velocidad de 36 km/h y acelera con a= 2 m/s2.
c) Un móvil que lleva una velocidad de 15 m/s se frena con una aceleración de 3 m/s2. v (m/s) 40 32 24 16 8 0 2 4 6 A B C 8 10 12t (s)
Movimiento
rectilíneo
En tu CD Selección de Encarta de Mi-crosoft, en la carpeta estudio del mo-vimientopuedes encontrar más infor-mación sobre el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.ACTIVIDADES RESUELTAS
El conductor de un automóvil que lleva una velocidad de 54 km/h, pisa el acelerador con lo que imprime al vehículo una aceleración de 2 m/s2. Escribe la ecuación de la velocidad mientras se acelera el vehículo. Determina en qué instante
alcanza la velocidad de 90 km/h. Calcula su velocidad a los 4 s después de comenzar a acelerar. En primer lugar se expresan las velocidades en unidades del SI:
v= 54 km/h = 15 m/s y v= 90 km/h = 25 m/s a) Sustituyendo en la ecuación de la velocidad: v= v0+ a· t= 15 m/s + 2 m/s2· t b) Sustituyendo en la ecuación anterior:
v= 15 m/s + 2 m/s2· t; 25 m/s = 15 m/s + 2 m/s2· t⇒t= 5 s c) Sustituyendo en la ecuación de la velocidad:
v= 15 m/s + 2 m/s2· t= 15 m/s + 2 m/s2· 4 s = 23 m/s que expresada en km/h: v= 23 m/s = 82,8 km/h
La gráfica de la figura adjunta representa la velocidad de un móvil en el transcurso del tiempo. Determina la aceleración del mó-vil en cada uno de los tramos de la gráfica y representa sus valores en un diagrama.
En cada uno de los segmentos que forman la gráfica la aceleración es una cantidad constante y su valor coincide con el de la pendiente.
Aplicando la definición de aceleración a cada segmento de la gráfica, se cumple que: aA= ∆ ∆ v t = 2 m 2 /s s – – 0 0 m s /s = 1 m s2 aB= ∆∆vt = 14 5 m s /s – – 2 2 s m/s = 4 m s2 aC= ∆ ∆ v t = 10 m 6 /s s – – 1 5 4 s m/s = –4 m s2 aD= 0 (velocidad constante) aE= ∆ ∆ v t = 0 m 10 /s s – – 10 8 m s /s = –5 m s2
Un móvil A, arranca desde el reposo con una aceleración de 5 m/s2 y
otro B, sale con una velocidad inicial de 20 m/s y una aceleración de 1 m/s2. Construye la gráfica de la velocidad frente al tiempo para los seis
primeros segundos e indica si en el instante t= 5 s se encuentran los móvi-les.
Aplicando la ecuación de la velocidad: v= v0+ a· t, se construyen las correspon-dientes tablas de valores.
Lo único que se puede afirmar es que en el instante t= 5 s se igualan sus veloci-dades. Se desconoce si los móviles se chocan ya que no se sabe si recorren la misma trayectoria. v (m/s) t (s) 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 B A 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 v (m/s) t (s) 6 4 2 0 -2 -4 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a (m/s2) t (s) t(s) 0 1 2 3 4 5 6 vA(m/s) 0 5 10 15 20 25 30 vB(m/s) 20 21 22 23 24 25 26
La ecuación de la posición
Para cualquier tipo de movimiento, la distancia recorrida por un móvil coin-cide con el área delimitada por la representación gráfica de la velocidad frente al tiempo y el eje de abscisas.
Área total = área rectángulo + área triángulo
∆x= v0· t+ 2 1
· (v– v0) · t
Por la definición de aceleración: v– v0= a· ty como ∆x= x– x0, la expre-sión de la posición en este tipo de movimiento es:
x= x0+ v0· t+
2 1
· a· t2
Ecuación que relaciona la posición, x, de un móvil en un instante, t, con la posición inicial, xo, la velocidad inicial, voy la aceleración, a.
La ecuación de la posición se aplica a cualquier movimiento en el que el módulo de la aceleración tangencial es constante, siempre que la posición se indique con una coordenada, e, que representa la distancia desde el ori-gen de referencia siguiendo la trayectoria.
e= e0+ v0 · t+
2 1
· a· t2
La ecuación de la posición en el transcurso del tiempo es una función poli-nómica de segundo grado, cuya representación gráfica es la rama de una parábola, cuya forma depende de las características de cada movimiento. rectángulo Velocidad Tiempo v0 v – v0 = a · t v t triángulo v = v0 + a · t
a Grafica de la velocidad frente al tiempo.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Un automóvil pasa de cero a 100 km/h en 8 s. Calcula la aceleración supuesta constante y la distancia que recorre hasta alcanzar la citada velocidad.En primer lugar se expresa la velocidad en el SI: v= 100 km/h = 27,8 m/s Aplicando la definición de aceleración: a= v–
t v0 = 27,8 m 8 /s s – 0 m/s = 3,47 m/s2 Por tanto: ∆e= vo· t+ 1 2· a· t 2= 1 2· 3,47 m/s 2· (8 s)2= 111 m
GRÁFICAS DE LA POSICIÓN FRENTE AL TIEMPO
t x0 O x a > 0 t x0 O x a < 0
Gráfica de la posición frente al tiempo de un móvil con aceleración positiva.
Gráfica de la posición frente al tiempo de un móvil con aceleración negativa.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Un conductor está situado a 100 de un semáforo de una carretera y frena el vehículo al observar que el semáforo cambia a color rojo. Si el automóvil tarda en detenerse 10 s y el conductor no comete infracción, calcula la máxima velocidad a la que circulaba y expresa ese resultado en km/h. Construye las gráficas velocidad frente al tiempo y posición frente al tiempo. a) Se elige como origen del sistema de referencia el punto en el que al automovilista comienza a frenar, a 100 m del semáforo. Aplicando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado y como la máxima distancia recorrida es 100 m, resulta que:
v= vo+ a· t⇒0 = vo+ a· 10 s e= eo+ vo· t+ 1 2a· t 2; 100 m = v o· 10 s + 1 2a· (10 s) 2
Despejando la velocidad en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, resulta que: v0= –a· 10 s ⇒100 m = (–a· 10 s) · 10 s + 1
2a· (10 s)
2; 100 m = –a· 100 s2+ a· 50 s2= –a· 50 s2 Despejando: a= –2 m/s2, negativa ya que el coche se frena.
Por lo que la velocidad inicial es: v0= –a· 10 s = – (–2 m/s2) · 10 s = 20 m/s = 72 km/h
b) Con el sistema de referencia indicado y aplicando las ecuaciones de la velocidad y de la posición se construyen las correspondien-tes tablas de valores y con ellas las gráficas pedidas.
El movimiento de un objeto, que recorre una trayectoria en una línea recta, está descrito por la ecuación: x= 5 + 8 t+ 2 t2
en unidades del SI. Indica la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. ¿Cuándo pasará por la posición 100 m? a) Comparando la ecuación del movimiento con la ecuación general: x= xo+ vot+ 1/2a t2, se deduce que:
La posición inicial, t= 0 s, es: xo= 5 m y la velocidad inicial es: vo= 8 m/s Como 2 · t2= 1
2a· t
2, entonces la aceleración es: a= 4 m/s2 b) Aplicando la ecuación del movimiento:
x= 5 m + 8 m/s · t+ 2 m/s2· t2; 100 m = 5 m + 8 m/s · t+ 2 m/s2· t2 Despejando el tiempo en la ecuación de segundo grado: 2 · t2+ 8 · t– 95 = 0
t= = –8 ±
4 28,7
⇒
Solo tiene significado físico la solución: t= 5,2 s
t1= 5,2 s t2= –9,2 s –8 ±82– 4·2 · (–95) 2 · 2 14 12 10 8 6 20 18 16 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 v (m/s) t (s) 70 60 50 40 30 100 90 80 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e (m) t (s) t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 v(m/s) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 e(m) 0 19 36 51 64 75 84 91 96 99 100
10. Caída libre
Se denomina caída libre al movimiento que experimenta un objeto cuando se suelta a cierta altura sobre la superficie de la Tierra y en sus proximidades. Al dejar caer simultáneamente un trozo de tiza y una hoja de papel, se observa que cae antes la tiza. Esta y otras experiencias parecidas hacen pen-sar que los objetos más pesados caen antes que los ligeros.
Si se toman dos hojas de papel y se arruga una de ellas hasta hacer una pelota, se observa que la bola de papel cae antes. De esto se deduce que la velocidad de caída de los objetos no depende de su masa.
Experiencias como esta no se consideraron hasta el Renacimiento, por lo que en la Antigüedad se pensaba que cuanto más pesado fuera un objeto antes caía.
En el siglo IV a.C., el filósofo griego Aristótelesconsideraba que el estado
natural de los objetos es el del reposo y que a él tienden siguiendo trayec-torias en línea recta.
Una piedra tiende a ocupar su estado natural, que es en el suelo, más rápi-damente que una pluma de ave formada, en parte, por aire.
Todas estas ideas perduraron sin modificarse durante 2 000 años hasta que Galileo, en el siglo XVI, se dio cuenta de que Aristóteles no había
consi-derado la existencia del vacío. Se percató que el movimiento de los objetos, ya sean piedras o plumas de ave, siempre ocurren en un medio resistente como el aire o el agua y, por tanto, siempre hay algo que se opone al mismo. Experimentó con planos de diversas inclinaciones y pulidos con esmero, dejando caer, por los mismos, bolas de diversas masas y tamaños. De sus experiencias llegó a la conclusión siguiente:
Esta aceleración, llamada aceleración de la gravedad, se designa con la letra gy tiene el valor de 9,8 m/s2en la superficie de la Tierra.
Si una hoja de papel y una bola de papel no caen al mismo tiempo es por-que no tienen la misma forma y por ello presentan diferente aerodinámica y oponen distinta fricción o resistencia al aire.
Ecuaciones del movimiento
El movimiento vertical de un objeto es un caso particular de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Se elige como sistema de referencia el eje Y, coincidente con la vertical, a la posición se le da el nombre de altura y se designa con la letra h. El signo positivo o negativo de cada magnitud depende del criterio de signos adoptado en cada caso. Las ecuaciones del movimiento son:
h= h0+ v0· t+ 1
2· g· t
2; v= v
0+ g· t a La velocidad con que cae un objeto no
depende de su masa.
a Cuanto más inclinada esté la superficie del
plano, más se asemeja el movimiento de la bola a la caída libre.
moneda
pluma
a En ausencia de un medio resistente la
pluma y la moneda caen al mismo tiempo.
Todos los objetos, en las proximidades de la Tierra y en ausencia de aire, caen con la misma aceleración independientemente de su masa, forma o tamaño.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Verticalmente desde el suelo y hacia arriba, se lanza un objeto con una velocidad inicial de 30 m/s. Prescindiendo del rozamiento con el aire y aproximando el valor de ga 10 m/s2, determina:
a) La altura a la que llega y el tiempo que tarda en alcanzarla.
b) El tiempo que tarda en regresar al suelo y la velocidad con la que llega al mismo.
c) Representa gráficamente la velocidad, la posición y la distancia recorrida en función del tiempo. Se elige como origen de un sistema de referencia el suelo, el eje Yla vertical y se asigna el signo
positivo a todas las magnitudes que tienen sentido hacia arriba. a) Al subir: la velocidad inicial es positiva y la aceleración negativa.
Aplicando la ecuación de la velocidad y como en el punto más alto el objeto se detiene: v= vg+ g· t; 0 m/s = 30 m/s + (–10 m/s2) · t⇒t
subir= 3 s
Sustituyendo en la ecuación de la posición: h= ∆h= h– h0= v0· t+ 1
2· g· t
2= 30 m/s · 3 s + 1
2· (–10 m/s
2) · (3 s)2= 45 m b) Al bajar: la posición inicial es positiva, la posición final es el origen, la velocidad inicial es igual
cero y la aceleración es negativa. Aplicando la ecuación de la posición: h= h0+ v0· t+ 1
2· g· t
2; 0 m = 45 m + 1
2(–10 m/s
2) · t2
Despejando: tbajar= 3 s, el mismo que el que empleó para subir. Sustituyendo en la ecuación de la velocidad.
v= v0+ g· t= 0 + (–10 m/s2) · 3 s = –30 m/s La misma con la que se lanzó y sentido hacia abajo.
c) Para construir la tabla de valores, que se representará gráficamente, se mantiene el sistema de referencia ya descrito y se aplican las ecuaciones:
v= v0+ g· t y h= h0+ v0· t+ 1 2· g· t
2
La distancia recorrida siempre aumenta. A la distancia recorrida al subir se le suma la recorrida al bajar. tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 velocidad (m/s) 30 20 10 0 –10 –20 –30 posición (m) 0 25 40 45 40 25 0 distancia recorrida (m) 0 25 40 45 50 65 90 25 20 30 35 40 45 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 t (s) h (m) v (m/s) 30 20 10 0 -10 -20 -30 1 2 3 4 5 6 t (s) 50 40 60 70 80 90 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 t (s) Distancia recorrida (m) h g vf = 0 v0 = 30 m/s h0 = 0 m h = 45 m g v0 = 0 hf = 0 m h0 = 45 m vf
11. Movimiento circular uniforme
Un movimiento es circular cuando la trayectoria que recorre el móvil es una circunferencia. En este movimiento siempre hay aceleración normal, que modifica en cada instante la dirección del vector velocidad.
Un movimiento circular es uniformesi el módulo del vector velocidad es constante. Por tanto, la aceleración tangencial es igual a cero y el módulo de la aceleración normal es constante.
En este movimiento el móvil repite cada cierto tiempo las mismas posicio-nes, hecho que se describe mediante las magnitudes: período y frecuencia.
Las dos magnitudes se relacionan mediante la ecuación: T= 1
f
En el Sistema Internacional, la frecuencia se mide en hercios (Hz). Un her-cio es igual a un ciclo cada segundo (c.p.s). En la práctica se expresa en revoluciones (vueltas) cada minuto (r.p.m.).
Para medir las magnitudes angulares en el movimiento circular se emplea como unidad el radián (rad), en vez de los grados sexagesimales.
Unas y otras unidades están ligadas por la relación: 2 · πrad = 360º 11.1. Velocidad angular
Una forma de describir la posición de un móvil en una trayectoria circular es indicando el radio de la circunferencia y el ángulo recorrido a partir de un radio elegido como origen. Las magnitudes: radio (R), ángulo (ϕ) expre-sado en radianes y la longitud del arco (e), están ligadas por la ecuación:
e= ϕ· R
En este sistema de referencia la variación de la posición del móvil en la tra-yectoria se expresa mediante la magnitud velocidad angular media.
ω= ∆ ∆ ϕ t = ϕ t – – ϕ t0 0
Su unidad de medida en el SI es el rad/s, que también se puede expresar como s–1.
v→
v→
v→ v→
a En el movimiento circular se modifica
conti-nuamente la dirección del vector velocidad.
a Las sillas del carrusel describen trayectorias
circulares. ϕ = 1 rad e1 = R1 R1 R2 e2 = R2 a Un radián. R ϕ e Origen
a Sistema de referencia basado en el ángulo
descrito.
Período (T)es el tiempo que tarda el móvil en recorrer una vuelta com-pleta de la trayectoria.
d
Frecuencia (f)es el número de vueltas o ciclos que recorre el móvil en la unidad de tiempo.
d
Un radián (rad), se define como la medida del ángulo comprendido por un arco de circunferencia de longitud igual al radio con el que se ha trazado.
d
Velocidad angular media(ω) se define como la relación entre el ángu-lo descrito y el tiempo empleado en recorrerángu-lo.
Y
11.2. Ecuaciones del movimiento
Cuando el móvil recorre una vuelta completa, el ángulo descrito es igual a 2πrad y el tiempo transcurrido es igual al período (T), por lo que:
ω= 2
T ·π
= 2 · π· f
Si se describe el movimiento mediante la distancia recorrida se tiene la ecuación que liga la velocidad lineal (v) con la velocidad angular (ω).
v= ∆ ∆ e t = ∆ϕ ∆t ·R = ω· R
Aplicando la definición de velocidad angular y considerando que el ins-tante inicial de observación es t0= 0, se tiene:
ω= ∆ ∆ ϕ t = ϕ– t ϕ0 ⇒ ϕ– ϕ0= ω· t
Despejando se deduce la ecuación del movimiento circular uniforme:
ϕ = ϕ0 + ω· t
Ecuación que relaciona el ángulo descrito (ϕ), con el ángulo inicial (ϕ0), la velocidad angular (ω) y el tiempo transcurrido (t). Esta ecuación es seme-jante a la de la posición de un móvil en el movimiento rectilíneo uniforme.
d
c
a Todos los puntos de la rueda tienen el
mismo período, frecuencia y velocidad angular. 1 2 3 4 5 v1 → v2 → v3 →v4 → v5 → ω
a La velocidad lineal de los puntos de un
radio de una rueda es mayor cuanto más alejado esté del centro.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Un tiovivo que gira con una frecuencia de 12 r.p.m. tiene los caballitos situados a 2,5 m del eje de giro. Calcula:
a) La frecuencia, expresada en hercios, el período, la velocidad angular y la velocidad con que se trasladan los caballitos.
b) El ángulo descrito y la distancia recorrida por ellos, si cada viaje dura 4 min. c) La aceleración a la que está sometida una persona sentada en uno de ellos. a) La frecuencia, el período y la velocidad angular de un punto no depende de la
dis-tancia al eje de giro, es la misma para todos los puntos del tiovivo. f= 12 r.p.m. = 12 vu m e i l n tas = 12 vu m e i l n tas 6 m 0 in s = 0,2 vue s ltas = 0,2 Hz T= 1 f= 0, 1 2 v v u u e e l l t t a a/s = 5 s ω= 2 · π· f = 2 · π vu ra e d lta · 0,2 vue s lta = 0,4 · πra s d La velocidad lineal depende de la distancia al eje: v= ω·R= 0,4 ·πra
s d
· 2,5 m = πm s b) El ángulo que describe cualquier punto del tiovivo es:
ϕ= ω· t= 0,4 · πrad/s · 4 min · 60 s/min = 96 · πrad que corresponden a 48 vueltas.
La distancia recorrida por un punto depende de la distancia al eje:
∆e= v· t= πm/s · 240 s = 240 · πm
c) En el movimiento circular cada punto del tiovivo está sometido a una aceleración normal que modifica continuamente a la dirección del vector velocidad. Mientras que el movimiento sea uniforme, la aceleración tangencial es igual a cero.
an= ω 2 R ·R2 = ω2· R= (0,4 · πrad/s)2· 2,5 m = 3,9 m/s2 an= v R 2 v= ω· RPARA
SABER MÁS
Tierra
Luna
a Aristóteles sitúa a la Tierra en el centro
del Universo. Los astros se mueven a su alrededor siguiendo trayectorias circulares.
El movimiento y la ciencia moderna
Desde antiguo, las personas han anotado y estudiado el movimiento de los astros. Los sacerdotes babilonios recogieron, durante muchas generaciones, la posición del Sol, la Luna y de los planetas. Encontraron regularidades en sus movimientos, describieron las trayectorias que recorrían y, con ellas, predijeron eclipses. Estas observaciones las recogieron los pensadores griegos. La regularidad del movimiento de los objetos celestes y la irregularidad de los movimientos terres-tres les llevó a considerar a la trayectoria circular como símbolo de perfección. Así, Aristóteles(384-322 a.C.) distingue entre las trayectorias circulares y perfec-tas del movimiento de los planeperfec-tas y las trayectorias caóticas del mundo de la superficie terrestre, que él llamó mundo sublunar.
Los movimientos del mundo sublunar los clasifica en naturalesy violentos.
El movimiento naturales propio de la naturaleza de los objetos. Cada objeto tiene un lugar en el espacio y si no lo ocupa, tiende a alcanzarlo moviéndose. La caída de los objetos es un movimiento natural, cayendo antes los pesados que los ligeros. Para justificarlo recurre a que la materia está constituida por cuatro elementos básicos: tierra, aire, fuego y agua. Estos elementos sufren la acción de dos fuer-zas: la gravedad o tendencia de la tierra y del agua a hundirse, y la ligereza o ten-dencia del aire y fuego a ascender. Una piedra, formada por tierra, tiende a ocupar su estado natural, que es el suelo, más rápidamente que una pluma de un ave formada, en parte, por aire.
El movimiento violentoes consecuencia de la actuación de alguna fuerza. Un carro se mueve por que tira de él una caballería, y un barco, porque el viento empuja las velas.
Para Aristóteles no hay movimiento sin el concurso de una fuerza, siendo el estado natural de los objetos el reposo, con la excepción de los objetos celestes que describen una trayectoria circular sin principio ni fin. Según Aristóteles, en el movimiento de los planetas no se precisaba del concurso de ninguna fuerza. Estas ideas perduraron hasta el nacimiento de la ciencia moderna, cuando Gali-leo Galilei(1564-1642) se dio cuenta de que Aristóteles no había considerado la existencia del vacío.
Comprendió que el movimiento siempre ocurre en un medio resistente como el aire o el agua y por tanto, siempre hay algo que se opone al mismo. Esta es la razón por la que hay que aplicar continuamente una fuerza sobre un objeto para mantenerlo en movimiento.
Después de considerar la posibilidad del movimiento en ausencia de aire, experi-mentó con planos inclinados con el fin de amortiguar la aceleración de caída. Cuanto más inclinado está el plano más rápidamente cae el objeto, y el caso límite es la caída vertical.
a Galileo lanzando objetos desde lo alto
Y
Halló que las distancias recorridas durante intervalos de tiempo iguales estaban en la proporción 1:3:5:7. Si el plano estaba más inclinado, las distancias eran mayores pero las proporciones eran siempre las mismas. Concluyendo que la misma ley debía regir en el caso límite, la vertical.
Galileo concluyó que todos los objetos, en las proximidades de la Tierra y en ausencia de aire, caen con la misma aceleración independientemente de su masa, forma o tamaño.
a El caso límite de un plano inclinado es la
vertical.
ACTIVIDADES RESUELTAS
La figura del margen representa una secuencia de fotografías, obtenidas cada 0,2 s, de una pelota que se deja caer desde una ventana situada a una altura de 5 m sobre el suelo. Comprueba que las posiciones de la pelota están de acuerdo con la ley encontrada por Galileo. ¿Qué relación hay entre las suce-sivas posiciones de la pelota y el tiempo transcurrido?
Se elige como origen del sistema de referencia el punto desde el que se deja caer la pelota. De la secuencia fotográfica se obtiene la siguiente tabla de valores.
Los intervalos de tiempo son iguales. Si se elige como unidad de longitud la recorrida por la pelota en el primer intervalo de tiempo, la distancia total recorrida en los suce-sivos intervalos es:
Primer intervalo: 0,2 m – 0 m = 0,2 m = 1 unidad Segundo intervalo: 0,8 m – 0,2 m = 0,6 m = 3 unidades Tercer intervalo: 1,8 m – 0, 8 m = 1,0 m = 5 unidades Cuarto intervalo: 3,2 m – 1,8 m = 1,4 m = 7 unidades Quinto intervalo: 5,0 m – 3,2 m = 1,8 m = 9 unidades
De acuerdo con la ley encontrada por Galileo para la caída libre.
b) Para calcular la relación entre las posiciones de la pelota y el tiempo transcurrido se representa la posición frente al cuadrado del tiempo.
La representación gráfica es una línea recta cuya pendiente es igual a 5 m/s2. Como la pelota se deja caer desde el reposo se tiene que: ∆h=
2 1
· g· t2 De donde se obtiene el valor aproximado de la aceleración de la gravedad: pendiente = 5 m/s2=
2 1
· g⇒g= 10 m/s2
Durante la caída de un objeto la distancia total recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido.
d t(s) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 h(m) 0 0,2 0,8 1,8 3,2 5,0 t2(s2) 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1,0 e(m) 0 0,2 0,8 1,8 3,2 5,0 0 0,2 0,4 0,6 0,9 1 1 2 3 4 5 t2 (s2) h (m) Pendiente = ∆h ∆(t2)= 5 = 5 m 1 s2 = m s2
a Gráfica posición frente a t2.
h (m) 3 4 5 2 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 t (s)
a Gráfica posición frente a tiempo.
1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 0 m 0,2 m 0,8 m 1,8 m 5 m 3,2 m 0 a Sucesivas posiciones
1.Expresa la velocidad de 20 m/s en km/h y la de 120 km/h en m/s.
2.Para medir la distancia de la Tierra a la Luna se usa un rayo láser que, lanzado desde la Tierra a la Luna, tarda en volver 2,56 s. ¿Cuál es la distancia Tierra-Luna? 3.La posición de un móvil, que describe una trayectoria en línea recta respecto a un sistema de referencia queda determinada por la ecuación: x= 5 + 2 · t, en la que todas las magnitudes se expresan en unidades del SI. Calcula la posición y veloci-dad iniciales. Determina su posición y la distancia recorrida al cabo de un minuto. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 200 m?
4.La gráfica adjunta representa la posición de un móvil respecto a un sistema de refe-rencia y a lo largo del tiempo. Calcula la velocidad del móvil en cada tramo de la grá-fica y represéntala grágrá-ficamente. Calcula la distancia total recorrida por el vehículo y, si la trayectoria fuera una línea recta, determina el módulo del desplazamiento. 5.La posición de un móvil, respecto a un sistema de referencia, está representada en
la figura adjunta. Determina la posición inicial y la velocidad del vehículo. Si conti-núa con esa misma velocidad, ¿a qué hora estará en la posición 400 km? ¿Dónde se encontrará cuando hayan transcurrido 5 h y 15 min?
6. Un ciclista pasa por la pancarta que indica que faltan 10 km para llegar a la meta, con una velocidad de 36 km/h. A un kilómetro de distancia se acerca otro con una velocidad de 40 km/h. ¿Quién gana la etapa? En el caso de que la etapa la gane el segundo ciclista, ¿a qué distancia de la meta alcanza al primero?
7.Dos móviles salen desde posiciones separadas por una distancia de 1 km, el uno en persecución del otro, con velocidades de 10 km/h y 12 km/h. Calcula cuánto tardan en encontrarse y la distancia recorrida por cada uno de ellos. Construye las correspondientes gráficas de la posición frente al tiempo para los dos móviles. 8.Un pasajero que desea realizar un largo viaje llega a la estación con una hora de
retraso. En la parada de taxi toma uno y decide perseguir al tren por una carretera paralela a la vía. Si el tren se mueve con velocidad constante de 60 km/h y el taxi a 90 km/h, calcula el tiempo que tarda en alcanzar al tren y dónde se encuentran. Construye la gráfica de la posición frente al tiempo para los dos móviles. 9.Dos vehículos salen al encuentro, uno del otro, desde puntos separados entre sí
300 km, con velocidades de 60 km/h y 30 km/h. Si el que va más despacio arranca 2 h más tarde de la hora prevista, determina: cuándo se encuentran y a qué dis-tancia del punto de partida del móvil que va más deprisa. Construye las corres-pondientes gráficas de la posición frente al tiempo.
10.La gráfica adjunta representa la velocidad de un móvil en el transcurso del tiempo. Describe el movimiento del objeto, determina su aceleración en cada tramo y representa sus valores en una gráfica.
11.Un automóvil transita con una velocidad de 54 km/h y acelera hasta los 72 km/h en un tiempo de 10 s. Determina la aceleración del vehículo y la distancia recorrida. 12.Un objeto que lleva una velocidad de 30 m/s, frena y se detiene después de
reco-rrer 200 m. Determina la aceleración y el tiempo que tarda en pararse.
13.¿Cuál es la aceleración de un móvil que toma una curva de 40 m de radio a 72 km/h? 210 180 150 120 90 60 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Posición (km) Tiempo (h) a Actividad 4. 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Velocidad (m/s) Tiempo (s) a Actividad 10. e (km) t (h) 250 200 150 100 50 0 1 2 3 4 a Actividad 5.
ACTIVIDADES
FINALES
Y
14.Un automóvil va a 108 km/h y se detiene al cabo de 20 s. Determina la aceleración y la distancia recorrida hasta que se detiene. ¿Cómo se modifica el tiempo y la dis-tancia recorrida, si el coche hubiera llevado una velocidad de 54 km/h?
15.Un motorista está parado en un semáforo que da acceso a una calle. En el instante en el que el semáforo cambia a luz verde le sobrepasa un automóvil que va con una velocidad constante de 36 km/h. El motorista se entretiene 1 s en arrancar y lo hace con una aceleración constante de 4,8 m/s2. ¿Cuánto tarda la motocicleta en alcanzar al coche? ¿Qué distancia han recorrido? Construye los diagramas de la velocidad y de la posición frente al tiempo para los dos vehículos.
16.Una noche de niebla transita un camión por una carretera recta y estrecha con una velocidad constante de 54 km/h y detrás del camión va un automóvil con una velo-cidad de 90 km/h. El conductor del coche no descubre al camión hasta que se encuentra a 20 m de él. Si en ese instante pisa el freno imprimiendo una acelera-ción negativa de 4 m/s2, determina si habrá colisión.
17.Deduce que, para un objeto que se deja caer desde una altura h, la velocidad en una posición cualquiera se puede determinar mediante la ecuación: v= 2 · g·h. 18.Desde el pretil de un puente se deja caer, partiendo del reposo, una piedra que
tiene una masa de 30 g. Si tarda 1,4 s en golpear contra la superficie del agua, determina la altura del puente y la velocidad con que golpea al agua.
19.Desde la terraza de un edificio se deja caer, partiendo del reposo, una pelota de tenis que tiene una masa de 55 g. Si la pelota llega al suelo con una velocidad de 12 m/s, determina el tiempo que tarda en caer y la distancia desde la que se soltó. 20.Desde el suelo se lanza verticalmente un objeto con una velocidad inicial de
15 m/s. Determina la altura que alcanza y el tiempo que tarda en alcanzarla. Calcu-la el tiempo que tarda en regresar al suelo y Calcu-la velocidad en ese instante.
21.Se lanza un objeto verticalmente y hacia arriba y tarda 6 segundos en volver a la mano. ¿Hasta qué altura subió?
22.Se lanza verticalmente y hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 20 m/s. En el mismo instante se deja caer otra desde una altura de 40 m. Deter-mina el punto de encuentro y calcula la velocidad de las pelotas en ese instante. Utiliza como valor de g 10 m/s2.
23.La Luna tarda 27,3 días en recorrer su órbita de 380 000 km de radio. Determina la velocidad lineal y angular de la Luna.
24.Un ciclista transita con una velocidad de 18 km/h sobre una bicicleta cuyas ruedas tienen un radio de 42 cm. Calcula la frecuencia expresada en r.p.m., el período y la velocidad angular de las ruedas. ¿Qué ángulo describen los radios de las ruedas en un minuto? ¿Cuántas vueltas gira la rueda en ese tiempo?
25.Las ruedas grandes de un tractor tienen un radio de 1 m y las pequeñas de 50 cm. Si las ruedas grandes giran con una velocidad angular de 6 rad/s, determina: la velocidad del tractor, la velocidad angular de las ruedas pequeñas y el período y frecuencia de los dos tipos de ruedas.
26.Los radios de una rueda de bicicleta miden 45 cm y recorren un ángulo de 270° en 0,25 s. Determina su velocidad angular, el período, la frecuencia y la velocidad del ciclista.
a El paracaidista no acelera
indefinida-mente. Debido a la fricción con el aire se alcanza una velocidad constante, llamada velocidad límite, de 20 km/h. Si no se abre el paracaídas la velocidad límite es de más de 200 km/h.
a Los puntos del exterior de las ruedas