Relaci´
on de Contacto y los ´
Angulos de Aproximaci´
on y Receso.
Jos´
e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´
anica.
Divisi´
on de Ingenier´ıas, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.5 + 1.8
Salamanca, Gto., M´
exico
Tel. +52-464-647-9940, Ext. 2390.
E-mail:
[email protected]
Estas notas tienen como objetivo analizar la relaci´on de contacto entre un par de dientes de engrane desde tres puntos de vista diferentes, uno de esos puntos de vista, el menos conocido, involucra el c´alculo de los ´angulos de aproximaci´on y receso del contacto entre el par de dientes. Un tema interesante que no es adecuadamente tratado en los libros de texto tradicionales.
1
La acci´
on entre un par de dientes de engrane.
Considere la figura 1, que muestra un par de engranes en contacto, el engrane 1 es el motriz y el engrane 2 es el conducido, la l´ınea tangente a ambos c´ırculos base es lal´ınea de acci´on. Puesto que el perfil de ambos dientes es de una curva involuta, y la normal en cualquier punto de una curva involuta es tangente al c´ırculo base, entonces la normal com´un a ambos perfiles es tangente a ambos c´ırculos base y el contacto entre los dientes siempre ocurre en la l´ınea de acci´on.
Figure 10.7.1:
C C’
D D’
d d’
c c’
El contacto entre la pareja de dientes inicia cuando la l´ınea de acci´on intersecta el radio de adendo del engrane conducido, 2, Ro2, (ra2),
1
, punto E1, (B1), y finaliza cuando la l´ınea de acci´on intersecta
el radio de adendo del engrane conductor, 1,Ro1, (ra1), punto E2, (B2). La figura 1 muestra el par de
dientes en contacto en el inicio y en la finalizaci´on del contacto as´ı como en una posici´on intermedia. Es importante identificar los siguientes puntos:
• Los puntosC y c son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conductor, al
inicio del contacto entre el par de dientes, con el radio de pasoRp1, (r1), y el radio baseRb1, (rb1),
del engrane conductor.
• Los puntosD ydson las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conducido, al
inicio del contacto entre el par de dientes, con el radio de pasoRp2, (r2), y el radio baseRb2, (rb2),
del engrane conducido.
• Los puntos C′ y c′ son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conductor,
al finalizar el contacto entre el par de dientes, con el radio de pasoRp1, (r1), y el radio baseRb1,
(rb1), del engrane conductor.
• Los puntos D′ yd′ son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conducido,
al finalizar el contacto entre el par de dientes, con el radio de pasoRp2, (r2), y el radio baseRb2,
(rb2), del engrane conducido.
Adem´as, se tiene queCC¯′ es el arco de acci´on del engrane conductor, yDD¯′ es el arco de acci´on del engrane conducido.2
Puesto que los c´ırculos de paso de los engranes se comportan como si rodar´an sin deslizamiento, entonces
¯
CC′ =DD¯′.
Estos arcos de acci´on, que tienen la misma longitud, representan el per´ımetro asociado a los ´angulos de los engranes conductor,γ1, y conducido, γ2, estos si diferentes, durante los cuales una pareja de dientes
de engrane est´an en contacto. Estos ´angulos se descomponen de la siguiente manera:
• El ´anguloα1=6 CO1I es el ´angulo de aproximaci´on del engrane 1.
• El ´anguloβ1=6 IO1C′ es el ´angulo de receso del engrane 1.
• El ´anguloα2=6 DO2I es el ´angulo de aproximaci´on del engrane 2.
• El ´anguloβ2=6 IO2D′ es el ´angulo de receso del engrane 2.
De manera que
γ1=α1+β1 γ2=α2+β2.
Por otro lado, el ´angulo de los engranes conductor y conducido subtendido por un diente del engrane y el hueco correspondiente est´an dados por
ν1= 360◦ N1 =2π N1 ν2= 360◦ N2 = 2π N2
donde la primera de las expresiones en cada ecuaci´on est´a dada en grados mientras que la segunda expresi´on est´a dada en radianes.
1.1
Primera manera de calcular la relaci´
on de contacto.
Entonces, relacionando estos ´angulos, es posible determinar larelaci´on de contacto,mp, entre la pareja de dientes de un engranage como
mp1= γ1 ν1 =α1+β1 ν1 =mp=α2+β2 ν2 = γ2 ν2 =mp2. 1
Este apunte, indica la notaci´on empleada en clase y en par´entesis la notaci´on de la figura. 2
El s´ımboloÙ, se emplea en lugar de un arco curvado, para indicar que la longitudCC˜′0¯DD′se miden a lo largo de los c´ırculos de paso.
La relaci´on de contacto representa el promedio, sobre la base de tiempo —suponiendo velocidad angular constante—, del n´umero de pares de dientes en contacto durante la operaci´on del engranaje. Si mp = 1.6 este resultado significa que durante la operaci´on del engranaje existen, por momentos, 2 pares de dientes en contacto y, en otros momentos, existe un ´unico par de dientes en contacto. Si la relaci´on de contacto es elevada, cercana a 2, pueden existir por momentos 3 pares de dientes en contacto. Desde un punto de vista te´orico, el m´ınimo valor de la relaci´on de contacto esmp = 1 sin embargo este valor requerir´ıa engranes perfectamentamente manufacturados, pues si por alg´un error, la relaci´on de contacto fuera menor que 1 habr´ıa instantes durante los cuales no existir´ıa contacto entre ninguna pareja de dientes. En la pr´actica, el valor m´ınimo de la relaci´on de contacto esmp= 1.2, sin embargo, este valor requiere una alta calidad de los engranes.
1.2
Segunda manera de calcular la relaci´
on de contacto.
El primer c´alculo de la relaci´on de contacto se realiz´o mediante una relaci´on de ´angulos, en un segundo c´alculo, la relaci´on de contacto se determinar´a relacionando los arcos de acci´on con la longitud, medida sobre los radios de paso, asociada a un diente de engrane y su hueco correspondiente. Estas longitudes est´an dadas por lospasos circulares, del engrane conductor,pc1 y del engrane conducido, pc2, y para
engranes est´andar deben ser iguales; es decir
pc1=ν1Rp1= 2π Rp1 N1 =pc =2π Rp2 N2 =ν2Rp2=pc2
Por lo tanto, una segunda manera, equivalente a la anterior, de calcular la relaci´on de contacto entre una pareja de engranes est´a dada por
mp1= ¯ CC′ pc1 =mp=DD¯ ′ pc1 =mp2.
1.3
Tercera manera de calcular la relaci´
on de contacto.
Finalmente, una tercera manera de determinar la relaci´on de contacto consiste en relacionar las longitudes asociadas a los arcos de acci´on y la longitudes asociadas a un diente de engrane y su hueco correspondiente; pero en este caso estas longitudes est´an medidas no en el c´ırculo de paso, sino en el c´ırculo de paso.
Primeramente, el equivalente al paso circular pero medido en el c´ırculo base, se denominapaso base
y est´a dado por
pb1=ν1Rb1= 2π Rb1 N1 =pb =2π Rb2 N2 =ν2Rb2=pb2,
y, para engranes est´andar, debe ser igual para ambos engranes. Adem´as, se tiene que
pb= 2π Rb
N =
2π RpCos φ
N =pcCosφ.
dondeφ(α) es el ´angulo de presi´on del engranage y al mismo tiempo el ´angulo de presi´on de la involuta en el radio de paso de ambos engranes.
Por otro lado, la longitud entre el punto de inicio B1, determinado por la interseci´on del radio de
adendo del engrane 2 y la normal com´un, y el punto de finalizaci´onB2, determinado por la interseci´on del
radio de adendo del engrane 1 y la normal com´un, del contacto entre dientes, conocida comolongitud de acci´ony denotada porZ, puede calcularse como
Z = KB2+LB1−KL
= KB1+B1B2+LB2+B2B1−(KB1+B1B2+B2L) =B1B2
por lo tanto, la longitud de acci´on puede calcularse como
Z = »R2 o1−R 2 b1+ » R2 o2−R 2 b2−(Rp1+Rp2)Sinφ = »R2 o1−R 2 b1+ » R2 o2−R 2 b2−C Sinφ
dondeCse define como la distancia entre centrosy est´a dada por
Por otro lado, la distanciaB1B2 puede interpretarse como distancias medidas sobre el radio base de
ambos engranes. Si se observa la figura 1 se observa que el puntoB1 corresponde al enrollarse sobre el
radio base del engrane 1 al punto c, similarmente, el punto B1 corresponde al enrollarse sobre el radio
base del engrane 2 al puntod. De manera semejante, el puntoB2corresponde al enrollarse sobre el radio
base del engrane 2 al puntoc′, similarmente, el puntoB
2corresponde al enrollarse sobre el radio base del
engrane 2 al puntod′. Adem´as, el ´angulo subtendido por el arcoccı′ es igual al ´angulo subtendido por el arco de acci´onCC¯′ pues
6 CO1c=6 C′O1c′.
Similarmente, el ´angulo subtendido por el arcoddˆ′ es igual al ´angulo subtendido por el arco de acci´on
¯ DD′ pues
6 DO2d=6 D′O2d′.
Por lo tanto, una nueva manera de calcular la relaci´on de contacto es
mp1= ı cc′ pb1 = B1B2 pb1 = Z pb1 =mp= Z pb2 =B1B2 pb2 = ddˆ′ pb2 =mp2
1.4
Determinaci´
on de la longitud de acci´
on entre un engrane y una
cre-mallera.
En esta secci´on se calcular´a la longitud de acci´on entre un engrane y una cremallera. Para realizar esta determinaci´on considere la figura 2.
Figure 2: Longitud de acci´on entre un engrane y una cremallera.
La longitud determinada por los puntos de inicio B1, determinado por la interseci´on de la l´ınea de
adendo de la cremallera y la normal com´un, y finalizaci´onB2, determinado por la interseci´on del radio de
adendo del engrane y la normal com´un, del contacto entre dientes, se conoce como longitud de acci´on
y se denota porZ. En este caso particular, la longitud de acci´on puede calcularse como
Z = B1B2=B1P+P B2=B1P+ E1B2−E1P
por lo tanto, la longitud de acci´on puede calcularse como
Z = a Sinφ+ » R2 o1−R 2 b1− » R2 p1−R 2 b1
2
Angulos de aproximaci´
´
on y receso.
La primera manera de determinar la relaci´on de contacto requiere el c´alculo de los ´angulos de aproximaci´on y receso. En esta secci´on mostraremos como determinar estos ´angulos. Para tal f´ın considere los siguientes ´
• Angulo de presi´´ on de la involuta en el radio de adendo del engrane 2,
φo2=6 B1O2L, (αa2).
• Involuta del ´angulo de presi´on de la involuta en el radio de adendo del engrane 2,
inv φo2=6 dO2B1.
• Angulo de presi´´ on de la involuta en el radio de adendo del engrane 1,
φo1=6 KO1B2, (αa1).
• Involuta del ´angulo de presi´on de la involuta en el radio de adendo del engrane 1,
inv φo1=6 B2O1c′.
• Involuta del ´angulo de presi´on del engranage, — o involuta del ´angulo de presi´on de la involuta en
el radio de paso de cualquiera de los dos engranes—.
inv φ=6 dO2D=6 d′O2D′=6 CO1c=6 C′O1c′.
• Angulo de presi´´ on del engranage o ´angulo de presi´on de la involuta en el radio de paso de cualquiera
de los dos engranes.
φ=6 KO1I=6 IO2L.
Considere ahora
[(φo2+inv φo2)−φ]−inv φ = [(6 B1O2L+6 dO2B1)−6 IO2L]−6 dO2D
= [6 dO2L−6 IO2L]−6 dO2D
= 6 dO2I−6 dO2D=6 DO2I=α2.
Por lo tanto
α2=φo2+inv φo2−φ−inv φ=φo2+ (tan φo2−φo2)−φ−(tan φ−φ) =tan φo2−tan φ.
Finalmente puesto que los radios de paso de los engranes ruedan sin deslizamiento, se tiene que
α1Rp1=α2Rp2 o α1=α2 Rp2 Rp1 .
De manera semejante considere
[(φo1+inv φo1)−φ]−inv φ = [(6 KO1B2+6 B2O1c′)−6 KO1I]−6 CO1c′
= [6 KO1c′−6 KO1I]−6 C′O1c′ = 6 IO1c′−6 C′O1c′=6 IO1C′=β1.
Por lo tanto
β1=φo1+inv φo1−φ−inv φ=φo1+ (tan φo1−φo1)−φ−(tan φ−φ) =tan φo1−tan φ.
Finalmente puesto que los radios de paso de los engranes ruedan sin deslizamiento, se tiene que
β1Rp1=β2Rp2 o β2=β1 Rp1 Rp2 .
Es importante se˜nalar que el c´alculo de los ´angulos de aproximaci´on de aproximaci´on y receso es tambi´en importante pues se sabe que la operaci´on de los engranes es m´as silenciosa durante la fase de receso. Esta observaci´on condujo al dise˜no de engranes no est´andar donde el apareamiento de los engranes ocurre exclusivamente durante la fase de receso.
3
Ejemplos.
En esta secci´on se presentan algunos problemas t´ıpicos asociados a la relaci´on de contacto, a los ´angulos de aproximaci´on y receso y a los espesores de los dientes en diferentes radios.
3.1
Ejemplo 1.
Un pi˜n´on de 18 dientes se gener´o con un cortador tipo “hob” de paso diametral 8 y ´angulo de presi´on de 25◦ y mueve a un engrane de 45 dientes. Calcule los radios de paso, los radios base, el adendo, los radios de adendo, el espesor del diente en los radios de paso, el espesor del diente en el radio de adendo del pi˜n´on, la relaci´on de contacto y los ´angulos de aproximaci´on y receso para ambos engranes.3
Soluci´on. Se sabe que los n´umeros de dientes de los engranes son
N1= 18 N2= 45
De la definici´on del paso diametral, se tiene que
Pd= N Dp = N 2Rp de aqu´ı que Rp= N 2P d Por lo tanto Rp1= N1 2Pd = 18 2 (8) = 1.125” Rp2= N2 2Pd = 45 2 (8) = 2.8125” La distancia entre los centros de los engranes est´a dada por
C=Rp1+Rp2= 1.125” + 2.8125” = 3.9375”
Puesto que el ´angulo de presi´on del “hob”, φ = 25◦, este se convierte en el ´angulo de presi´on de la involuta en el radio de paso —se supone que se corta de manera est´andar; es decir, que la linea de paso del “hob” sea tangente a los radios de paso de los engranes— por lo tanto los radios base de los engranes est´an dados por
Rb1=Rp1cos φ= 1.125”cos25◦= 1.019596” Rb2=Rp2cos φ= 2.8125”cos25◦= 2.548990”
Con respecto al adendo, los autores del libro no indican cual es el est´andar aplicable, sin embargo, debe notarse que excepto para los dientes “stub”—chaparros—, en todos los dem´as casos, el adendo est´a dado por a= 1 Pd = 1 8 = 0.125” Por lo tanto Ro1=Rp1+a= 1.125” + 0.125” = 1.25” Ro2=Rp2+a= 2.8125” + 0.125” = 2.9375”
Ahora se emplear´a la relaci´on entre el paso circular,pc, y el paso diametral Pd, dada por
pc= 2π Rp N = π2Rp N = π Dp N = π N Dp = π Pd = 0.39269908” 3.1.1 Determinaci´on del espesor de un diente en el radio de adendo.
Empleando esta relaci´on, los espesores del diente en los radios de paso de ambos engranes est´an dados, puesto que se cortaron de manera est´andar, por
tRp1 =tRp2 = pc 2 = π Pd 2 = π 2Pd = π 2 (8) = 0.196349” 3
Este es una adaptaci´on del problema 4.13 del libro Mabie, H. H. and Reinholtz, C. F.Mechanisms and Dynamics of Machinery, Fourth Edition, New Tork, Wiley, 1987.
Ahora, se calcular´a el espesor del diente en el radio de adendo del pi˜n´on, primero se requiere el ´angulo de presi´on de la involuta en el radio de adendo del pi˜n´on.
Rp1cos φ=Ro1cos φo1 φo1=cos− 1 ïRp 1cos φ Ro1 ò =cos−1 ï1.125”cos25◦ 1.25” ò = 35.345642◦ Una vez determinado este ´angulo, se tiene que
to1 = 2Ro1 ï tR
p1 2Rp1
+inv φ−inv φo1 ò
= 2Ro1 ï tR
p1 2Rp1
+tan φ−φ−(tan φo1−φo1) ò = 2 (1.25”) ï0.196349” 2 (1.125”)+tan25 ◦ −25 ◦π 180◦ − Å tan35.345642◦−35.345642 ◦π 180◦ ãò = 0.0622582”
3.1.2 Determinaci´on de la relaci´on de contacto.
Para el c´alculo de la relaci´on de contacto, se necesita conocer el paso base
pb=pccos φ= 0.3926990”cos25◦= 0.355906” La longitud de acci´on entre una pareja de dientes de engrane, est´a dada por
Z = »R2 o1−R 2 b1+ » R2 o2−R 2 b2−C sen φ = p1.25”2 −1.019596”2+ p 2.9375”2 −2.548990”2−3.9375”sen25◦= 0.519060”
por lo tanto, la relaci´on de contacto est´a dada por
mp= Z
pb =
0.519060”
0.355906” = 1.458418
3.1.3 Verificaci´on de la relaci´on de contacto empleando los ´angulos de aproximaci´on y receso
Finalmente, se calcular´an los ´angulos de aproximaci´on y receso y se usar´an estos valores para verificar la relaci´on de contacto. para este f´ın, es necesario calcular el ´angulo de presi´on de la involuta para el radio de adendo del engrane 2.
Rp2cos φ=Ro2cosφo2 φo2=cos− 1 ï Rp2cos φ Ro2 ò =cos−1 ï2 .8125”cos25◦ 2.9375” ò = 29.802761◦ Debe notarse que ya se conoce el ´angulo de presi´on de la involuta para el radio de adendo del engrane 1.
• Angulo de aproximaci´on para el engrane 2.´
α2=tan φo2−tan φ=tan29.802761◦−tan25◦= 0.10646171rad= 6.0998060◦
• Angulo de aproximaci´on para el engrane 1. Puesto que los arcos de acci´on ocurren en los radios de´
paso y estos se comportan como si estuvieran rotando, se tiene que
α1=α2 Rp2 Rp1 = 6.0998060 ◦(2.8125”) 1.125” = 15.249517 ◦
• Angulo de receso del engrane 1.´
β1=tan φo1−tan φ=tan35.345642◦−tan25◦= 0.24292844rad= 13.918774◦
• Angulo de receso para el engrane 2. Puesto que los arcos de acci´on ocurren en los radios de paso y´
estos se comportan como si estuvieran rotando, se tiene que
β2=β1 Rp1 Rp2 = 13.918774 ◦(1.125”) 2.8125” = 5.567509 ◦
Estos resultados permiten verificar la relaci´on de contacto, pues est´a dada por la relaci´on entre el ´
angulo de acci´on; es decir la suma de los ´angulos de aproximaci´on y receso de cualquiera de los dos engranes, dividido entre el ´angulo que ocupa un diente y su hueco del engrane correspondiente. De esa manera mp=α1360+◦β1 N1 = N1(α1+β1) 360◦ = 29.168291◦ 20◦ = 1.458414 y mp= α2360+◦β2 N2 = N2(α2+β2) 360◦ = 11.6673159◦ 8◦ = 1.458414 Con este resultado finaliza el problema.
3.2
Problema 2
Dos engranes rectos iguales de 48 dientes se aparean con un radio de paso de 4.000 pulgadas y adendos de 0.1670 pulgadas. Si el ´angulo de presi´on es de 14.5◦, calcule la longitud de acci´onZ y la relaci´on de contactomp.4
Soluci´on.
1. Datos iniciales.
Por el enunciado se sabe que el n´umero de dientes de ambos engranes son:
N1= 48 N2= 48
El ´angulo de presi´on al que fueron cortados los engranes es:
φ= 14.5◦= 0.2530727416rad
De nuevo, por el enunciado se conocen los radios de paso de ambos engranes
Rp1= 4.0pulg. Rp2= 4.0pulg.
De manera que su paso circular est´a dado por:
pc =2π(Rp1)
N1
= 0.5235987758pulg.
La distancia entre centros de un engranaje es la suma de los radios de paso de los engranes apareados. Es decir
C=Rp1+Rp2= 8.0pulg
2. Radios de adendo, radios base y paso base
Para este ejemplo, el adendo es un dato y es para ambos engranes
a= 0.167pulg.
Con este dato, es muy sencillo calcular los radios de adendo, pues s´olo se debe sumar el adendo a los radios de paso que ya se conocen del punto anterior.
Ro1=Rp1+a= 4.167pulg. Ro2=Rp2+a= 4.167pulg.
Adem´as se calculan los radios base que ser´an necesarios m´as adelante para el c´alculo de la longitud de acci´on.
Rb1=Rp1cos φ= 3.872590562pulg. Rb2=Rp2cos φ= 3.872590562pulg.
El paso base de los engranes est´a dado por
pb=pccos φ= 0.5069209193pulg.
4
Este es el problema 4.8 del libro Mabie, H. H. and Reinholtz, C. F.Mechanisms and Dynamics of Machinery, Fourth Edition, New Tork, Wiley, 1987.
3. Longitud de acci´on y relaci´on de contacto
Ahora que se tienen todos los datos necesarios para calcular longitud de acci´on Z y la relaci´on de contactomp, se emplear´an las siguientes dos ecuaciones.
Z =»Ro1 2 +Rb1 2 +»Ro2 2 +Rb2 2 −C sin φ= 1.073926877pulg. y mp= Z pb = 2.118529412
3.2.1 Verificaci´on de la relaci´on de contacto, mediante el uso de los ´angulos de aproxi-maci´on y receso
A modo de verificar el resultado de la relaci´on de contacto se calcular´an los ´angulos aproximaci´on y de receso de ambos engranes.
1. Angulos de aproximaci´´ on y receso
Se inician los c´alculos de los ´angulos de presi´on de la involuta en los radios de adendo y se har´a para ambos engranes.5
φ1= arccos Å Rb1 Ro1 ã = 0.3781550427rad φ2= arccos Å Rb2 Ro2 ã = 0.3781550427rad
A continuaci´on se calcula el ´angulo de receso, para ambos engranes
β1= tanφ1−tanφ= 0.1386574256rad β2=β1 Rp1 Rp2
= 0.1386574256rad
y los ´angulos de aproximaci´on vienen dados por
α2= tanφ2− tanφ= 0.1386574256rad α1=α2 Rp2 Rp1
= 0.1386574256rad
2. Relaci´on de contacto
Finalmente se verificar´a que el resultado de la relaci´on de contacto obtenido anteriormente efecti-vamente es el mismo obtenido por medio de los ´angulos de receso y aproximaci´on.
θ1= 2π N1 = 0.1308996939rad θ2= 2π N2 = 0.1308996939rad mp1= α1+β1 θ1 = 2.118529409 mp2= α2+β2 θ2 = 2.118529409
3.3
Problema 3
Determine la relaci´on de contacto de una pareja de engranes de paso diametral Pd = 120, ´angulo de presi´onφ= 20◦, dondeN
1= 24 dientes yN2= 90 dientes. Soluci´on.
1. Datos iniciales. Lo primero ser´a calcular las medidas de los engranes que se ocupar´an para la determinaci´on de la relaci´on de contacto del engranaje. Se tiene como datos iniciales el n´umero de dientes, paso diametral y ´angulo de presi´on de ambos engranes.
N1= 24 N2= 90
φ= 20◦= 0.3490658504rad 5Como ambos engranes son iguales, en realidad los c´alculos se duplican.
y Pd = 120 Por lo tanto, Rp1= N1 2Pd = 0.1pulg Rp2= N2 2Pd = 0.375pulg
Su paso circular est´a dado por:
pc= 2π Rp1
N1
= 0.02617993878pulg.
Su distancia entre centros, en este caso est´andar, es entonces la suma de los radios de paso de los engranes.
C=Rp1+Rp2= 0.475pulg.
2. Radios de adendo, radios base y paso base
De la tabla de est´andares se observam que el adendo est´a dado, para engranes de paso fino, por
a= 1
Pd =
1 120
Bastar´a con sumar el adendo a los radios de paso para obtener los radios de adendo de ambos engranes.
Ro1=Rp1+a= 0.1083333333pulg Ro2=Rp2+a= 0.3833333333pulg.
Se calculan los radios base de los engranes a partir de sus radios de paso y el ´angulo de presi´on al que fueron cortados.
Rb1=Rp1cos φ= 0.09396926208pulg. Rb2=Rp2cos φ= 0.3523847328pulg.
El paso base est´a dado por
pb=pccos φ= 0.02460109529pulg.
3. Longitud de acci´on y relaci´on de contacto
Para la longitud de acci´on se tiene que
Z=»R2 o1+R 2 b1+ » R2 o2+R 2 b2−C sin φ= 0.0423422047pulg y mp= Z pb = 1.721151201
3.3.1 Verificaci´on de la relaci´on de contacto, mediante el uso de ´angulos de aproximaci´on y receso
A modo de verificar el resultado de la relaci´on de contacto se calcular’an los ´angulos aproximaci´on y de receso de ambos engranes.
1. Angulos de aproximaci´´ on y receso
Los ´angulos de presi´on de la involuta en los radios de adendo est´an dados por
φ1= arccos Å Rb1 Ro1 ã = 0.5208257743rad φ2= arccos Å Rb2 Ro2 ã = 0.4045883416rad
Se calcula ahora el ´angulo de receso para ambos engranes.
β1= tanφ1− tanφ= 0.2096886003rad β2=β1 Rp1 Rp2
= 0.05591696008rad
Los ´angulos de aproximaci´on vienen dados por
α2= tanφ2− tanφ= 0.0642420615rad α1=α2 Rp2 Rp1
2. Relaci´on de contacto
Finalmente se verificar´a que los resultados de la relaci´on de contacto, el primero obtenido por la longitud de acci´on y los segundos obtenidos mediante los ´angulos de receso y aproximaci´on, concuerden θ1= 2π N1 = 0.2617993878rad θ2= 2π N2 = 0.06981317008rad
Finalmente se tiene que
mp1= α1+β1 θ1 = 1.721151202 mp2= α2+β2 θ2 = 1.721151202
P1: FHA/JTH
CB672-10 CB672/Litvin CB672/Litvin-v2.cls February 27, 2004 0:19
288 Spur Involute Gears
Figure 10.7.1: Meshing of involute gears.
Gear Centrodes
Circles of radii O1I andO2I are the gearcentrodes. Generally, the gear centrodes do not coincide with the gear pitchcircles(see below).
Pressure Angle
The pressure angle αis formed by the line of action KL and the tangent to the gear centrodes. Generally, the pressure angleαdiffers from the rack-cutter profile angleαc. The equalityα=αccan be observed in a particular case only (see below).
Change of Center Distance
The change of center distance does not affect the gear ratiom12, but it is accompanied with a change of the pressure angle and the radii of gear centrodes. The proof of this statement is based on the following considerations:
(a) Considering that gear tooth profilesβ–β andγ–γ are given, we have to consider that the corresponding base circles are also given (Fig. 10.7.1). Recall thatβ–βand
γ–γ have been obtained by the development of base circles of radiirb1 andrb2, respectively.
(b) Figure 10.7.2 shows that the gears with thesamebase circles have been assembled: initially with the center distanceE[Fig. 10.7.2(a)], and then with the center distance
E=E+E[Fig. 10.7.2(b)]. The common normal in the first case is KLand in the second case is KL. The point of intersection of the common normal with the center distance (I andI, respectively) does not change its location in the process
C C '
D D '
d d '