Seguimiento de Trayectorias de un Robot M´ovil
Omnidireccional Basado en el Modelo Din´amico
J. A. V´azquez, M. Velasco-Villa
CINVESTAV-IPN, Departamento de Ingenier´
ı
a El´ectrica,
Secci´on de Mecatr´onica, A.P. 14-740, 07000,
M´exico D.F., M´exico.
{
javazquez,velasco
}
@cinvestav.mx
Resumen— En este trabajo se presenta el problema deseguimiento de trayectorias de un robot m´ovil omnidireccional. A diferencia del enfoque cl´asico de control basado en el modelo cinem´atico se propone el an´alisis y control del problema planteado mediante la consideraci´on del modelo din´amico y la utilizaci´on del esquema de control del tipo par calculado desarrollado originalmente en la literatura de robots manipuladores. El esquema propuesto es evaluado mediante su aplicaci´on a un veh´ıculo m´ovil del tipo (3,0) para el cual se muestra anal´ıticamente la convergencia de los errores de seguimiento y la estabilidad en lazo cerrado. La evaluaci´on final del esquema propuesto se realiza mediante simulaci´on, mostrando un adecuado desempe ˜no. Derecho reservado c UNAM-AMCA.
Palabras Clave: Robot Mobil, Modelo Din´amico, Seguimiento.
I. INTRODUCCION´
El problema de control de robot m´oviles ha recibido una gran atenci´on en los ´ultimos a˜nos, en particular se han considerado fundamentalmente los problemas de regulaci´on y seguimiento de trayectorias para diferentes tipos de robots m´oviles propulsados por ruedas de los tipos (2,0) y (3,0) (B´etourn´e and Campion, 1996), (Kalm´ar-nagy et al., 2004). Desde el punto de vista cinem´atico, el problema de control de un robot m´ovil omnidireccional ha sido tratado desde diferentes perspectivas, en este sentido en (Canudas et al., 1996), (Campion et al., 1996) se presentan el desar-rollo de modelos cinem´aticos para diferentes tipos de robots m´oviles. Por otra parte, en (Liu et al., 2003) se presenta el dise˜no de un controlador no lineal usando la t´ecnica de control por linealizaci ´on de trayectoria.Recientemente en (Velasco-Villa, Alvarez-Aguirre and Rivera-Zago, 2007) se presenta el problema de control a distancia de esta clase de sistemas por medio de un enfoque basado en un modelo discreto exacto con retardos de tiempo del sistema para el cual es posible sintetizar una retroalimentaci´on causal que resuelve el problema de seguimiento de trayec-torias. En (Velasco-Villa, del Muro-Cuellar and Alvarez-Aguirre, 2007) se trata el mismo problema por medio de la consideraci´on de un esquema de estimaci´on de valores futuros basado en el modelo no lineal del sistema en tiempo continuo.
Por otro lado se han desarrollado tambi´en diferentes
trabajos basados en el control de un robot m´ovil omnidi-reccional considerando su modelo din´amico. Por ejemplo en (Carter et al., 2001) se describe el dise˜no mec´anico y se obtiene el modelo din´amico del robot m´ovil (3,0) proponiendo un control PID para cada una de las ruedas del robot independientemente del modelo no lineal del sistema. En (B´etourn´e and Campion, 1996) se aborda el modelado y control de esta clase de veh´ıculos obteni´endose su modelo din´amico mediante la formulaci´on de Euler-Lagrange y se plantea una ley de control por retroalimentaci´on de salida para resolver el problema de seguimiento de trayectorias. A su vez, en (Williams et al., 2002) se deduce un modelo din´amico considerando los efectos de deslizamiento entre las ruedas del veh´ıculo y la superficie de trabajo, por otra parte, en (J. H. Chung et al., 2003) se obtiene la din´amica de un robot m´ovil omnidireccional considerando ruedas de tipo castor. En (Kalm´ar-nagy et al., 2004) se lleva a cabo el control de un robot m´ovil omnidireccional proponiendo la optimizaci´on del seguimiento de las trayectorias deseadas considerando las caracter´ısticas estructurales del veh´ıculo y por medio de la consideraci´on de entradas de control admisibles, la s´ıntesis de la ley de control se realiza con base en los modelos din´amico y cinem´atico del robot.
En la literatura de control de sistemas Euler-Lagrange existen diferentes estrategias sumamente utilizadas las cuales han probado su efectividad fundamentalmente en el ´area de robots manipuladores, por ejemplo, las t´ecnicas de control basadas en pasividad como el controlador PD+ (Paden and Panja, 1998), o como el controlador adaptable desarrollado en (Slotine and Li, 1988) con el cual se aborda el problema de seguimiento de trayectorias para robots r´ıgidos. En (Loria, 1996) se propone un controlador basado en par calculado m´as un PD no lineal para resolver el problema de seguimiento con retroalimentaci´on de la salida en un sistema de un grado de libertad.
En este trabajo se considera una estrategia de control (Loria and Ortega, 1995) desarrollada originalmente para el caso de robots manipuladores y adaptada al caso espec´ıfico del robot (3,0), la cual resuelve el problema de seguimiento de trayectorias de manera semiglobal en el caso original de robot manipuladores.
conti-nuaci´on: En la Secci´on 2 se presentan los modelos cinem´atico y din´amico del veh´ıculo considerando la for-mulaci´on Euler-Lagrange haciendo ´enfasis en algunas propiedades estructurales del modelo obtenido. Posterior-mente en la Secci´on 3, se presenta la estrategia de control a utilizar para la soluci´on del problema de seguimiento de trayectorias, mostrando formalmente la estabilidad en lazo cerrado del esquema propuesto. En la Secci´on 4 se muestra mediante experimentos en simulaci´on la efectividad de la estrategia de control y finalmente en la Secci´on 5 se presentan las conclusiones del trabajo.
II. ROBOT MOVIL OMNIDIRECCIONAL´
Considerando la clase de robots m´oviles propulsados por ruedas, una clasificaci´on ampliamente difundida es la basada en los grados de movilidad δm y direccionabilidad
δs (Canudas et al., 1996). El robot m´ovil considerado en
este trabajo es del tipo (δm, δs) = (3,0), es decir, cuenta
con tres grados de movilidad y cero de direccionabilidad, lo que permite que se pueda desplazar en cualquier direcci´on de manera instant´anea. Esta es la caracter´ıstica principal de este tipo de robots, lo cual representa una ventaja con respecto a los otros tipos.
Una vista superior de la configuraci´on del robot m´ovil omnidireccional se muestra en la Figura 1, donde puede identificarse el marco de referencia m´ovil Xm−Ymsituado
en el centro del veh´ıculo, en el cual el ejeXmse encuentra alineado con el eje perpendicular de la rueda 3, mientras que las ruedas 1 y 2 est´an dispuestas sim´etricamente con un ´angulo δ = 30◦ con respecto al eje Ym. De la misma
forma, en la Figura 1, se muestra el eje de referenciafijo
X−Y el cual proveer´a la localizaci´on absoluta del veh´ıculo.
N
rS%1 rS%2 rS%3 d L L L x y X Y Xm Ym u1 u2 u3 G Xmv YmvFigura 1. Robot m´ovil omnidireccional
El modelo cinem´atico del robot m´ovil omnidireccional puede ser obtenido f´acilmente al considerar las relaciones de velocidad a partir de las coordenadasfijas mostradas en la Figura 1, produciendo la cinem´atica inversa dada por,
⎡ ⎣ θθ˙˙12 ˙ θ3 ⎤ ⎦= 1 r ⎡
⎣ −−sin(sin(δδ−+φφ)) −cos(cos(δδ+−φφ)) LL
cos(φ) sin(φ) L ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ xy˙˙ ˙ φ ⎤ ⎦ (1) dondeθ1,θ2,θ3representan los desplazamientos angulares
de las ruedas 1, 2 y 3 respectivamente;(x, y)representa la posici´on del centro del robot con respecto al eje X −Y
y φ el desplazamiento angular del robot. Mp e Ip son la
masa total y el momento de inercia del robot, y se considera adem´as Iri como el momento de inercia de la ruedai; r
es el radio de las rueda yL es la distancia del origen del
marco de referencia m´ovil a cada rueda.
A. Modelo din ´amico
El modelo din´amico del robot m´ovil puede obtenerse a partir del formalismo de Euler-Lagrange (Balakrishna and Ghosal, 1995). Para tal efecto, considere que el centro de masa G se encuentra en el origen de los ejes de
referen-cia m´ovil. Considerando adem´as que la energ´ıa cin´etica provocada por los rodillos de cada rueda es despreciable, se definen las energ´ıas cin´etica K y potencial P; con lo
cual el Lagrangiano del sistema esta dado por:
L=K−P
L=12[Mp(VGx2 +VGy2 ) +Ipφ˙2] +12
3
i=1Iriθ˙1
2 (2)
dondeVGx, VGy representan las velocidades a lo largo de los ejesXm,Ym respectivamente.
La aplicaci´on de las ecuaciones de Euler-Lagrange,
d dt∂∂Lq˙j −
∂L ∂qj =Fj
j= 1, ...,6 (3)
producen el sistema dado por, ⎡ ⎣M0p M0p 00 0 0 Ip ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ xy¨¨mm ¨ φm ⎤ ⎦ + ˙φ ⎡ ⎣ M0p −M0 p 00 0 0 0 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ xy˙˙mm ˙ φm ⎤ ⎦=r[R]T ⎡ ⎣ FFtt12 Ft3 ⎤ ⎦ (4) ⎡ ⎣ I0r1 I0r2 00 0 0 Ir3 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ θ訨12 ¨ θ3 ⎤ ⎦+r ⎡ ⎣ FFtt12 Ft3 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ ττ12 τ3 ⎤ ⎦ (5) donde, R= 1 r ⎡
⎣ −−sin(sin(δδ)) −cos(cos(δ)δ) LL
1 0 L
⎤
⎦,
Fti es la fuerza de fricci´on de la rueda i con respecto al
Despreciando los efectos de fricci´on y deslizamiento entre las ruedas y la superficie, as´ıcomo considerando que las inercias de cada rueda son iguales, las expresiones (4) y (5) se transforman en, ⎡ ⎣ 3Ir 2r2 +Mp 0 0 0 3Ir 2r2 +Mp 0 0 0 Ip+3L 2Ir r2 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ xy¨¨mm ¨ φm ⎤ ⎦ + ˙φ ⎡ ⎣ M0p −M0 p 00 0 0 0 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ xy˙˙mm ˙ φm ⎤ ⎦= = 1r ⎡
⎣ −cos(sin(δδ)) −−cos(sin(δδ)) 10
L L L ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ ττ12 τ3 ⎤ ⎦ (6) Es decir: Dq¨m+C( ˙qm) ˙qm=Bτ (7)
DondeD es la matriz de inercia del sistema;C( ˙qm) es
la matriz de Coriolis y fuerzas centr´ıpetas yB representa la
relaci´on entre las entradas de control con el sistema f´ısico. Sin embargo, el modelo (6) est´a expresado en coordenadas de referencia m´ovil, por lo que para trasformarlo a la referencia inercial considere la transformaci´on
˙
qm=Tq˙
donde,
T =T(φ) = ⎡
⎣−cos(sin(φφ)) cos(sin(φφ)) 00
0 0 1
⎤
⎦. (8)
A partir del sistema (7) se obtiene,
DTq¨+ [DT˙+C( ˙q)T] ˙q=Bτ. (9)
Es f´acil verificar que en este ´ultimo caso, la matriz de inercias obtenidaDT no es sim´etrica definida positiva. Con
el fin de simplificar la representaci´on anterior considere ahora la premultiplicaci´on de la ecuaci´on (9) por la inversa de la transformaci´on (8), produci´endose,
T−1DTq¨+ [T−1DT˙ +T−1C( ˙q)T] ˙q=T−1Bτ
As´ı, por simplicidad, este modelo se expresa en la forma:
Dq¨+C( ˙q) ˙q=Bτ (10) con: D= ⎡ ⎣ Mp+ 3Ir 2r2 0 0 0 Mp+23Irr2 0 0 0 Ip+3IrL 2 r2 ⎤ ⎦ C( ˙q) = 3Ir 2r2 ⎡ ⎣ 0φ˙ −0φ˙ 00 0 0 0 ⎤ ⎦ B=1 r ⎡
⎣ −cos (sin (δδ++φφ)) −−cos (sin (δδ−−φφ)) cossinφφ
L L L
⎤
⎦.
B. Propiedades estructurales
Antes de presentar la estrategia de control se pun-tualizaran algunas observaciones y se detallaran algunas propiedades estructurales del modelo din´amico del robot m´ovil dado por la ecuaci´on (10) las cuales ser´an de gran utilidad en el establecimiento de un control basado en par calculado equivalente al utilizado en el caso de robots manipuladores.
Observaci´on 1: Dado que la matriz D del modelo (10) es diagonal con entradas positivas, entoncesDes sim´etrica definida positiva.
Observaci´on 2: Como la matriz D es constante, la propiedad de antisimetria cl´asica en robots manipuladores
N(q,q˙) = ˙D −2C( ˙q) se satisface trivialmente.
Propiedad 3: N´otese que C( ˙q) ˙q no tiene una
repre-sentaci´on ´unica, en particular, C( ˙q) ˙q= 3Ir 2r2 ⎡ ⎣ 0φ˙ −0φ˙ 00 0 0 0 ⎤ ⎦q˙ = 3Ir 2r2 ⎡ ⎣ −0φ˙ φ0˙ −y˙x˙ −y˙ x˙ 0 ⎤ ⎦q˙ =Ca( ˙q) ˙q
con lo cual, en este caso se obtiene una matriz Ca( ˙q) de
nueva cuenta antisim´etrica.
Propiedad 4: Considerando las matricesC( ˙q), Ca( ˙q) es
posible establecer que para cualquier vectorz∈Rn,
Ca( ˙q)z = 32Irr2 ⎡ ⎣ −0φ˙ φ0˙ −y˙x˙ −y˙ x˙ 0 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ zz12 z3 ⎤ ⎦ = 3Ir 2r2 ⎡ ⎣ −φz˙φz˙21+−zz33y˙x˙ z2x˙−z1y˙ ⎤ ⎦ = 3Ir 2r2 ⎡ ⎣ −0z3 z03 −zz21 −z2 z1 0 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ xy˙˙ ˙ φ ⎤ ⎦ + ⎡ ⎣ 00 00 00 2z2 −2z1 0 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ xy˙˙ ˙ φ ⎤ ⎦ (11) esto es, Ca( ˙q)z=Ca(z) ˙q+Cr(z) ˙q. (12)
Propiedad 5: A partir de la nueva estructura de la matriz Ca( ˙q) y de la representaci´on obtenida para Cr( ˙q) es f´acil
determinar cotas superiores de la forma,
||Ca( ˙q)|| ≤kc||q˙||, ||Cr( ˙q)|| ≤kr||q˙|| (13)
donde es posible elegir
kc= 3Ir
III. PROBLEMA DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS
En este trabajo se considerar´a el problema cl´asico de control del seguimiento de una trayectoria predeterminada
qd(t). Se requiere dise˜nar una retroalimentaci´on de la forma,
τ(t) =α(q(i)(t), qd(i)(t))
tal que en lazo cerrado con el robot m´ovil dado en ( 10) se garantice la convergencia del error de seguimientoq˜=
q−qd a cero, esto es,
lim
t→∞[q(t)−qd(t)] = 0.
Con el f´ın de considerar el problema de control descrito anteriormente, considere el controlador:
Bτ=Dq¨d+C( ˙qd) ˙qd−Kpq−Kdq˙˜+Cr( ˙qd) ˙q (14)
donde como se mencion´o anteriormente qd corresponde a
la trayectoria deseada y el error de seguimiento esta dado por q˜ = q −qd. Kp y Kd son matrices de ganancias
proporcionales y derivativa respectivamente las cuales son diagonales definidas positivas, mientras que Cr( ˙qd) est´a
definido en (11).
Considere ahora el sistema (10) en lazo cerrado con la retroalimentaci´on (14), bajo estas condiciones se obtiene el sistema,
Dq¨˜+C( ˙q) ˙q− C( ˙qd) ˙qd+Kpq˜+Kdq˙˜− Cr( ˙qd) ˙q= 0 (15)
Con elfin de obtener una expresi´on en t´erminos del error de seguimiento, n´otese que,
C( ˙q) ˙q− C( ˙qd) ˙qd =C( ˙q) ˙q− C( ˙qd) ˙qd± C( ˙q) ˙qd
=C( ˙q) ˙˜q− C( ˙qd) ˙qd+C( ˙qd) ˙q+Cr( ˙qd) ˙q
[C( ˙q) +C( ˙qd)] ˙˜q+Cr( ˙qd) ˙q
donde se ha considerado la propiedad dada en ( 12). De lo anterior, la ecuaci´on (15) puede ahora reescribirse en t´erminos del error de seguimiento en la forma,
Dq¨˜+ [C( ˙q) +C( ˙qd)] ˙˜q+Kdq˙˜+Kpq˜= 0. (16)
Con elfin de simplificar los desarrollos posteriores, en lo que resta del trabajo se considerar´a la notaci´on C=C( ˙q), Cd=C( ˙qd)y C˜=C( ˙˜q).
A. Estabilidad en lazo cerrado
La din´amica del robot m´ovil omnidireccional ( 10) en lazo cerrado con la retroalimentaci´on (14) puede analizarse a partir de la ecuaci´on del error dada en (16). N´otese en principio que ( ˙˜q,q˜) = (0.0) es un punto de equilibrio del sistema en el error (16), por lo tanto la estabilidad del sistema puede analizarse a partir de la funci´on candidata de Lyapunov de la forma, V(˜q,q˙˜) =1 2q˙˜ TDq˙˜+1 2q˜ TK pq˜+q˜TDq˙˜+1 2q˜ TK dq˜ (17)
dondeD esta definida en (10) y las matrices Kp, Kd se definen en (14). Es f´acil verificar que la funci´on V(˜q,q˙˜) dada en (17) es una funci´on definida positiva para todo
>0 suficientemente peque˜no.
Considerando ahora la derivada de V con respecto al
tiempo, se tiene que: ˙ V = ˙˜qTDq¨˜+ ˜qTKpq˙˜+q˜TDq¨˜+q˙˜TDq˙˜+q˜TKdq˙˜ esto es, ˙ V =−q˙˜T[C+Cd+Kd−D] ˙˜q−q˜TKpq˜−q˜T(C+Cd) ˙˜q. (18) Dado que las matricesC,Cd son antisim´etricas se tienen
entonces que la ecuaci´on (18) se reescribe en la forma, ˙
V =−q˙˜T[Kd−D] ˙˜q−q˜TKpq˜−q˜T(C+Cd) ˙˜q.
Con el fin acotar adecuadamente la ecuaci´on anterior n´otese que:
C( ˙q) +C( ˙qd) = C( ˙˜q+ ˙qd+ ˙qd)
= C( ˙˜q) +C(2 ˙qd)
= C˜+2Cd
(19) Por lo que (18) se expresa como,
˙
V =−q˙˜TKdq˙˜+q˙˜TDq˙˜−q˜TKpq˜−q˜TC( ˙˜q) ˙˜q−2q˜TC( ˙qd) ˙˜q
En virtud de las propiedades mencionadas previamente, es posible acotar la expresi´on anterior en la forma,
˙
V ≤ −λ(Kd)||q˙˜||2+λ¯(D)||q˙˜||2−λ(Kp)||q˜||2
+kc||q˜||||q˙˜||2+ 2kc||q˙d||||q˜||||q˙˜||
dondeλ(A)y ¯λ(A)representan respectivamente el m´ınimo
y el m´aximo valor propio de una matriz dada A y la
constantekcesta dada en (13). La expresi´on anterior puede
ser reescrita en la forma, ˙ V ≤ − ||q˜|| ||q˙˜|| P ||||q˜˙˜|| q|| (20) donde P = −λ(Kp) −kc||q˙d|| kc||q˙d|| λ(Kd)−λ¯(D)−kc||q˜|| .
A partir de los desarrollos anteriores, el sistema (16) ser´a estable si la matrizP es definida positiva. Esta ´ultima condici´on se satisface a partir de las siguientes condiciones:
i) λ(Kp)>0
ii) det{P}>0
La condici´on i) se satisface trivialmente dado que la matriz Kp es sim´etrica definida positiva. La condici´onii)
es equivalente a, λ(Kp) λ(Kd)−λ¯(D)−kc||q˜|| −2k2c||q˙d||2>0 lo cual es equivalente a: λ(Kp)λ(Kd) k2c||q˙||2+λ(Kp)[¯λ(D) +kc||q˜||] > .
Dado que esta condici´on siempre puede ser satisfecha parasuficientemente peque˜no, se concluye por lo tanto la
IV. RESULTADOS EN SIMULACION´
El esquema de control propuesto anteriormente es eva-luado en esta secci´on mediante experimentos de simulaci´on considerando el seguimiento de un c´ırculo como trayec-toria deseada. Los experimentos se realizan mediante una plataforma Matlab-Simulink.
La evoluci´on de la trayectoria circular deseada se obtiene por medio de las ecuaciones,
xd(t) = rsin(tp(t))
yd(t) = −rcos(tp(t))
(21) donderes el radio del circulo propuesto y el argumentotp esta dado por la relaci´on parametrizada en el tiempo de la forma, tp(t) = 20dm( t tf) 3−30d m(t tf) 4+ 12d m(t tf) 5 (22)
dondetfel tiempo total de ejecuci´on ydmes el valor medio de la trayectoria. Adem´as (22) satisface las condiciones inicialestp(0) = 0, dtp
dt(0) = 0y tp(tf) = 2dm,
dtp
dt(tf) =
0. Adicionalmente, el ´angulo deseado de orientaci´onφddel
robot m´ovil se obtiene mediante una evoluci´on senoidal independiente de la trayectoria descrita en el plano ( 21), en la forma,
φd(t) =φmaxsin(f t). (23)
dondeφmaxes el ´angulo de orientaci´on m´aximo deseado y
f es la frecuencia deseada en la orientaci´on.
El esquema de control considerado en este trabajo se muestra en la Figura 2 en la cual se describen los elementos principales de la estructura propuesta.
REFERENCIA PAR CALCULADOCONTROLADOR ROBOT MOVIL ERROR DE SEGUIMIENTO POSICION Y VELOCIDAD PARAMETRIZACION EN EL TIEMPO
Figura 2. Esquema de simulaci´on utilizado
Para la realizaci´on de los experimentos se consideraron los par´ametros del robot m´ovil (10) como,
M p= 9.58Kg, Ir= 0.52Kgm2,Ip= 0.17Kgm2
L= 0.205m, r= 0.03965m
Los par´ametros considerados en la retroalimentaci´on ( 14) resultaron ser,
Kp1= 600,Kp2= 450,Kp3= 100
Kd1= 700,Kd2= 650,Kd3= 200
La trayectoria deseada es de radior= 0.5m. con condi-ciones iniciales (x, y, φ,x,˙ y,˙ φ˙) = (0.1,−0.4,0,0,0,0) y un tiempo total detf = 40seg. En la Figura 3 se muestran
los pares aplicados a cada una de las ruedas del robot m´ovil, mientras que en la Figura 4 se muestran los errores de seguimiento ex = x−xd, ey = y−yd y eφ = φ−φd
los cuales presentan una adecuada convergencia. A su vez,
en lafigura 5 se muestra la convergencia de los errores en velocidad. Finalmente en lafigura 6 se muestra la evoluci´on de la trayectoria en el planoX−Y. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Tiempo (s) Pares de control (Nm) τ1 τ2 τ3
Figura 3. Pares aplicados a las ruedas del robot
0 5 10 15 20 25 30 35 40 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Tiempo (s)
Errores de seguimiento (m , rad)
ex ey eφ
Figura 4. Errores de seguimiento de la trayectoria
V. CONCLUSIONES
En este trabajo se presenta una extensi´on de las t´ecnicas de control utilizadas en rob´otica de manipuladores al ´area de robots m´oviles. Con tal fin se propone una reescri-tura del modelo din´amico com´unmente encontrado en la literatura de robot m´oviles a el caso de un sistema con matriz de inercias constante sim´etrica definida positiva. En particular se considera la utilizaci´on de la estrategia de control denominada par calculado al caso espec´ıfico de un robot m´ovil omnidireccional. De esta forma se presenta una manera alternativa de resolver el problema de seguimiento de trayectorias basado en el modelo din´amico del robot. La consideraci´on de este modelo permite el tratamiento
0 5 10 15 20 25 30 35 40 −0.06 −0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 Tiempo (s)
Errores en velocidad (m/s, rad/s)
e’x e’y e’φ
Figura 5. Errores en velocidad de la trayectoria
−0.5 0 0.5 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 X (m) Y (m) Trayectoria deseada Trayectoria real
Figura 6. Trayectoria resultante
de din´amicas no contempladas por el modelo cinem´atico utilizado com´unmente en la literatura de control de robots m´oviles. Aunque en el presente trabajo se desprecian los efectos deficci´on y deslizamiento entre las ruedas y el piso, los resultados obtenidos muestran un desempe˜no aceptable. La estabilidad en lazo cerrado del sistema es analizada y mostrada formalmente.
VI. AGRADECIMIENTOS
Apoyado por CONACyT, M´exico. Proyecto 61713. REFERENCIAS
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