TEMA 5. Reflexión y refracción de ondas
Propagación de la luz. rincipios de Huygens y Fermat
Reflexión y refracción de ondas planas
Aplicaciones:
reflexión total
guías de luz
dispersión de la luz en prisma
Ecuación de una onda sinusoidal que se propaga en una dirección arbitraria del espacio
=
o
sen(
k
·
r
-t
)
k
es el vector de ondas, indica la dirección de propagación.
r
es el vector posición
del punto del espacio que es alcanzado por la perturbación.
Esta función de ondas es solución de la ecuación de ondas en tres dimensiones:
En le caso de una onda em, las magnitudes físicas cuya perturbación se propaga son los campos
eléctrico y magnético respectivamente.
E
=
E
o
sen(
k
·
r
-t
)
B
=
B
o
sen(
k
·
r
-wt
)
]
z
t)
z,
y,
ξ(x,
y
t)
z,
y,
ξ(x,
x
t)
z,
y,
ξ(x,
[
v
t
t
z,
y,
x,
ξ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
K
r
Principio de Huygens
Un frente de ondas es una superficie formada por todos los puntos del espacio que se
ven alcanzados por el movimiento ondulatorio simultáneamente y se encuentran en el mismo
estado de perturbación. Todos los puntos del frente de ondas tienen la misma fase.
=
o
sen(
k
·
r
-t
)
los frentes de onda cumplen que
K
●
r-
t
=cte
En el caso de ondas planas se trata de planos perpendiculares a
k.
Para una onda esférica se trata de esferas centradas en la fuente.
Huygens: cuando el frente de ondas alcanza una superficie, todos los puntos
se convierten en centros (secundarios) emisores de ondas.
Principio de Fermat. La trayectoria seguida por la luz para pasar de un
punto a otro (camino óptico) es la que corresponde al menor tiempo.
Los tiempos de propagación entre puntos correspondientes de un frente
de ondas son iguales.
La distancia entre puntos correspondientes depende de la velocidad
de propagación de la onda en esa dirección.
En un medio isótropo y homogéneo, la trayectoria (rayos) de las ondas
sigue líneas rectas
.
Los rayos son siempre perpendiculares a los frentes de
ondas. La relación de ortogonalidad entre rayos y
frentes de onda se conserva en todo el camino de
propagación:
Th. De Malus
Reflexión y refracción de ondas planas
La reflexión y la refracción se producen cuando una onda alcanza una
superficie de discontinuidad que separa dos medios de distinta naturaleza
distinta velocidad de propagación. Al alcanzar la superficie de discontinuidad se
produce una onda reflejada y otra transmitida (refracción).
u
i
u
r
u
t
i
r
t
Los ángulos
i,
r y
t
son los ángulos de incidencia,
reflexión y refracción.
El plano formado por u
i
y la normal a la superficie
de discontinuidad, n, es el
plano de incidencia
.
u
i
,
u
r
y
u
t
están en el plano de incidencia.
Los ángulos de incidencia y reflexión son iguales
Ley de la reflexión
Los ángulos de incidencia y refracción están
relacionados por la siguiente expresión
sen
i
/sen
t
=v
1
/v
2
Ley de la refracción (ley de Snell)
Estas leyes se pueden demostrar haciendo uso del teorema de Malus y del principio de Fermat
t
t
i
i
r
r
A
B
A’
B’
A’’
AB frente de onda de la onda incidente
A’’B’ frente de ondas de la onda reflejada
A’B’ frente de ondas de la onda refractada
BB’=v
1
t
AA’=v
2
t
AA’’=v
1
t
AB'
t
v
AB'
AA'
θ
sen
AB'
t
v
AB'
'
AA'
θ
sen
AB'
t
v
AB'
BB'
θ
sen
2 t 1 r 1 i
sen
i
=sen
r
Ley de la reflexión
v
v
θ
sen
θ
sen
2
1
t
i
Tambien podemos hacer uso del Principio de Fermat
La trayectoria seguida por la luz para pasar de un punto a otro (camino óptico) es la que corresponde al menor tiempo
( el camino óptico es el más económico).
La condición de mínimo para el tiempo (Fermat)
Ley de Snell
La propiedad que define la trayectoria es el índice de refracción: c/v
Cuando el rayo cruza dos medios diferentes, se produce el fenómeno de la refracción.
Reflexión especular
Estudio analítico de la reflexión y refracción
k
r
k
i
k
t
O
r
i
=
io
sen(
k
i
·
r
-
i
t
)
r
=
ro
sen(
k
r
·
r
-
r
t
)
t
=
to
sen(
k
t
·
r
-
t
t
)
En la superficie de discontinuidad la amplitud debe ser igual a los dos lados, continuidad
del campo eléctrico :
i
+
r
=
t
io
sen(
k
i
·
r
-
i
t
)+
ro
sen(
k
r
·
r
-
r
t
)=
to
sen(
k
t
·
r
-
t
t
)
Las fases tienen que ser iguales:
k
i
·
r
-
i
t
= k
r
·
r
-
r
t
=k
t
·
r
-
t
t
i
=
r
=
t
(
k
i
-
k
r
)
·
r=0
ley de la reflexión
(
k
i
-
k
r
)
·
r=0
(
k
i
-
k
t
)
·
r=0
(
k
i
-
k
r
)
=0
(
k
i
-
k
r
)
r
(
k
i
-
k
t
)
=0
(
k
i
-
k
t
)
r
(
k
i
-
k
r
)
•
r=0
(
k
i
-
k
t
)
•
r=0
(
k
i
-
k
r
) y
(k
i
-k
t
)
son vectores normales a la
superficie de discontinuidad
Representamos los vectores
k
en esta base
k
i
=k
in
n
+k
it
t
k
r
=k
rn
n
+k
rt
t+
k
rc
(
n
x
t
)
k
t
=k
tn
n
+k
tt
t+
k
tc
(
n
x
t
)
r
= r
t
t
+r
c
(
n
x
t
)
n
t
n
x
t
Ley de la reflexión
( k
i
- k
r
).r= (
k
it
-
k
rt
)r
t
-
k
rc
r
c
=0
Ley de la refracción
( k
i
- k
t
).r= (
k
it
-
k
tt
)r
t
-
k
tc
r
c
=0
Expresiones válidas para cualquier
r,
tambien para
r
sin componente tangencial
k
rc
=0
k
tc
=0
k
i
=k
in
n
+k
it
t
k
r
=k
rn
n
+k
rt
t
k
t
=k
tn
n
+k
tt
t
Además:
k
it
-
k
rt
=0
k
it
-
k
tt
=0
k
it
=
k
rt
= k
tt
las tres componentes tangenciales
son iguales
k
i
=k
in
n
+k
it
t
k
r
=k
rn
n
+k
rt
t
k
t
=k
tn
n
+k
tt
t
k
i
2
=k
in
2
+k
it
2
k
r
2
=k
rn
2
+k
rt
2
k
t
2
=k
tn
2
+k
tt
2
Además,
i
=
r
=
t
=
v
1
=
/k
1
, v
2
=
/k
2
k
r
=k
i
k
rn
2
= k
r
2
- k
rt
2
= k
i
2
- k
rt
2
= k
i
2
- k
it
2
=k
in
2
k
rn
=+k
in
k
rt
=k
it
Al ser una onda reflejada tomamos la solución negativa
i
r
k
rn
= -k
1
cos
i
=k
1
cos
r
Onda transmitida
k
tt
=k
2
sen
t
=k
it
=k
1
sen
i
sen
sen
θ
θ
k
k
v
v
n
n
1
2
2
1
1
2
t
i
n
2
>n
1
v
1
>v
2
sen
i
>sen
t;
i
>
t;
n
2
<n
1
v
1
<v
2
sen
i
<sen
t;
i
<
t;
sen
t
<1; cuando sen
i
=n
2
/n
1
sen
t
=1,
t
=90
o
La reflexión interna total juega un papel fundamental en los dispositivos
Que generan luz, como los diodos emisores de luz (LEDs)
Un prisma óptico es un dispositivo formado por dos superficies planas que forman entre sí un
ángulo
y que separan dos medios con diferente índice de refracción.
Angulo que se desvía un rayo de luz monocromática (de una sola longitud de onda) que incide
formando un ángulo
isobre la cara de un prisma óptico cuyo índice de refracción es n y cuyo
ángulo es A si el prisma está en el aire (n aire = 1)
1ª superficie
sen
i
= n.sen
t
2ª superficie
n sen ’
t
= sen ’
i
=/2-
t
’
t
t
+’
t
=
= (
i
+’
i
) -
.
es el ángulo de desviación
Se puede demostrar teórica y experimentalmente que el ángulo de desviación mínima se produce
cuando los ángulos de incidencia y emergentes son iguales, es decir, cuando dentro del prisma la
trayectoria del rayo luminoso es paralela a la base del prisma.
t
+ ’
t
-
= 0
i
-
t
+ ’
i
–
’
t
-
=0
i
t
’
t
Prisma. Descomposición de la luz. Espectro
Con un segundo prisma invertido
se recompone la luz blanca
Guías de luz
La luz se puede guiar mediante estructuras cuyo índice de refracción es mayor que el de su
entorno. Mediante la reflexión total la luz no puede escapar del medio de mayor índice,
y por consiguiente se puede guiar
Schematic illustration of the the structure of a double heterojunction stripe
contact laser diode
Oxide insulator
Stripe electrode
Substrate
Electrode
Active region where
J
>
J
t h.
(Emission region)
p
-GaAs (Contacting layer)
n
-GaAs (Substrate)
p
-GaAs (Active layer)
Current
paths
L
W
Cleaved reflecting surface
Elliptical
laser
beam
p
-Al
xGa
1-xAs (Confining layer)
n
-Al
xGa
1-xAs (Confining layer)
2
1
3
Cleaved reflecting surface
Substrate
Amplitudes
En la superficie de discontinuidad se tiene que cumplir que
En x=0: E
iosen(-
t)+E
rosen(-
t)= E
tosen(-
t)
E
io+E
ro=E
toFalta una ecuación:
La obtenemos del campo magnético y la relación
con el campo eléctrico.
Para incidencia normal (
i=0) y con E perpendicular al plano de
incidencia
E
iE
iE
i//k
i
) 2 ( 1 ) 2 ( 1 2 / 1 ) 2 ( 1 2 1Z
Z
E
Z
E
E
i r t 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1(
)
2
2
2
r
i
t
i
E
Z
Z
n
n
n n
n n
Z Z
n
n
E
E
Z
n
n
n n
Z Z
n
n
E
T
R
E
E
E
E
io to io roCoeficientes de
reflexión (reflectividad)
y
transmisión (transmitancia)
2=
1medios no magnéticos
T
siempre es positivo, la onda incidente y la refractada (transmitida) siempre están en fase,
R
puede ser positivo ó negativo, según que n
1sea mayor ó menor que n
2. Pueden
estar en fase ó en oposición de fase.
La intensidad de la onda es
I=ve, e=1/2 v
o
2 =
1/2 (1/
)
1/2
E
o
2
= 1/2 (
)
1/2
E
o
2
2 2 2 2 2 1 ro 1 1 2 2 2 2 io 2 1 2 1 1/2 2 2 2 2 to 1 2 1 2 1/2 2 2 2 2 1 1 io 2 1 2 12
4
4
1
v v
v
v v v
E
E
v v
v v
/
E
v
v
v v
v
/
E
v v
v v
R
T
R
T
Polarización
La luz es una onda transversal. Esto quiere decir que la magnitud física asociada a la propagación (campo eléctrico o magnético, en este caso) oscila en una dirección perpendicular a la de propagación.
Para las ondas transversales, por tanto, la dirección de oscilación no es única y puede ser cualquiera de las infinitas direcciones perpendiculares a la de propagación.
La luz natural, normalmente se compone de una mezcla de ondas cuyos planos de oscilación (también su fase) difieren de unas a otras. Ese tipo de luz se denomina no coherente y se dice que está
despolarizada.
En otras fuentes de luz, como los láseres, las fases de todas las ondas que los componen son iguales (coherencia) y, normalmente, los campos eléctricos o magnéticos oscilan en una dirección definida (polarización).
Según como sea la polarización, las ondas se pueden clasificar en:
Linealmente polarizadas: La dirección de polarización es única y no cambia con el tiempo.
Circularmente polarizadas. La dirección de polarización rota de forma que evoluciona según una hélice circular.
Elípticamente polarizadas. El extremo del vector campo va dibujando una elipse a medida que avanza. Se puede entender esta polarización como una situación intermedia entre una polarización lineal y una circular.
Polarización
E
1E
2E
E
xE
y1
1
2
2
cos(
)
cos(
)
x
y
x
y
kz
t
E
E
kz
t
E
E
E
E
E
Eliminamos kz-t, los valores que toman E
xy E
ydependen de E
1y E
2, y de
1-
22 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
x ycos(
)
y
(
)
x
E
E
E
E
sen
E
E
E
E
Ecuación de una elipse
E
1
E
2E
E
xE
y
1
-
2
=0
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22
x ycos(
)
y
(
)
x
E
E
E
E
sen
E
E
E
E
1
2
y
x
E
E
E
E
E
1E
2E
Polarización lineal
E
1E
2E
1
-
2
=
1
2
y
x
E
E
E
E
Polarización lineal
1
-
2
=
/2
E
1E
2E
E
xE
y 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 cos( ) ( ) 1 2 x x y xE
E
E
E
sen
E
E
E
E
2 21
1
2
y
x
E
E
E
E
E
1=E
2 2 2 2 2 2 11;
1
1
x yy
x
E
E
E
E
E
E
E
E
1E
1E
E
xE
yPolarización elíptica
Polarización circular
Mecanismos de Polarización:
Partiendo de luz no polarizada, existen distintos fenómenos que dan lugar a la emergencia de luz polarizada: •Polarización por absorción
•Polarización por reflexión •Polarización por dispersión
•Polarización por birrefringencia (también llamada doble reflexión)
Polarización por absorción:
Algunas medios sólo permiten el paso de luz polarizada en una determinada dirección denominada «eje de transmisión». Estos medios, denominados
polarizadores, tienen esta propiedad porque sus moléculas se encuentran organizadas espacialmente de la forma adecuada, como ocurre en algunos cristales ó en materiales tipo «cristal líquido».
Cuando a uno de estos materiales llega una luz despolarizada, la componente perpendicular a esa dirección preferente es absorbida permitiendo sólo el paso de la componente en la dirección paralela. Típicamente, en una luz completamente despolarizada a la entrada, obtenemos luz polarizada lineal a la salida. En el proceso, la intensidad de la luz se reduce a la mitad.
:
La luz no polarizada se propaga a lo largo del eje z e incide sobre una lámina polarizadora con eje de transmisión en x.
A su salida tendremos una luz polarizada en la dirección x y con un campo eléctrico cuya amplitud será E.
Al incidir sobre una segunda lámina cuyo eje de transmisión está girado un ángulo respecto de la 1ª, su dirección de polarización cambiará a la nueva dirección, pero con la consiguiente pérdida de intensidad.
Antes de incidir sobre esa lámina la amplitud se puede descomponer según el eje de la 2ª lámina en componente paralela y perpendicular:
En la primera lámina, la luz incidente será una mezcla homógenea de todas las posibles direcciones de oscilación, por lo que el ángulo promedio es 45º por lo que a su salida tendremos:
Polarización por reflexión:
Cuando la luz no polarizada incide en la superficie de separación de dos medios (no metálicos), la luz reflejada está parcialmente polarizada.
La luz transmitida sólo está débilmente polarizada independientemente del ángulo de incidencia.
El grado de polarización depende del ángulo de incidencia y de los índices de los medios. Existe un ángulo de incidencia, el ángulo de polarización o ángulo de Brewster, para el que la luz reflejada está completamente polarizada.
En este caso la dirección de polarización es perpendicular al plano de incidencia.
En incidencia de polarización el rayo reflejado y el refractado son perpendiculares entre sí. La relación entre este ángulo y los índices del medio será:
Las gafas polarizadas evitan deslumbramientos aprovechando el efecto de polarización principalmente horizontal de la luz reflejada en, por ejemplo, el suelo, la nieve y el agua, no así en superficies metálicas.
Polarización por dispersión:
La dispersión de la luz se produce cuando esta incide sobre un obstáculo que la absorbe y que posteriormente se convierte en fuente de ondas re-emitiendo ondas con la misma frecuencia que las absorbidas. Típicamente, la dispersión genera ondas que se propagan en todas las direcciones. La luz dispersada en las direcciones perpendiculares a la del haz incidente son emitidas con polarización lineal. El estudio analítico del fenómeno excede el nivel previsto.
Polarización por birrefringencia:
La birrefringencia o doble refracción es un fenómeno complejo y poco frecuente cuyo origen está en la anisotropía de los pocos materiales que la presentan. La anisotropía
implica que la velocidad de propagación de la luz en estos materiales depende de su estado de polarización y de la propia dirección de propagación.
Cuando un rayo incide en estos materiales, se puede dividir en dos rayos – ordinario y extraordinario. Estos rayos están polarizados en direcciones mutuamente perpendiculares.
Solo hay una dirección de propagación en el interior del material en el que no aparece este fenómeno. Esta dirección define el eje óptico del material. Cualquier otra dirección de propagación que forme un ángulo dado con el eje óptico presentará el fenómeno.
Por el contrario, si se incide perpendicularmente simultáneamente a la cara del cristal y al eje óptico los dos rayos se propagan en la misma dirección, y a distinta velocidad. Las ondas emergen de ese sistema con un desfase y polarizaciones perpendiculares entre si.
Basandose en ese fenómeno, las láminas birrefringentes son un extraordinario método de obtener luz polarizada circular. Si la anchura de la lámina es tal que el desfase a la salida es exactamente de un cuarto de onda, lámina cuarto de onda. La incidencia de una luz polarizada formando 45º con el eje óptico genera luz polarizada circular a la salida.
Si el espesor es justo el necesario para generar un desfase de 180º, lámina de media onda, en las mismas condiciones de incidencia que antes, lo que tenemos a la salida es luz polarizada lineal pero con su eje girado 90º
