Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

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DISEÑO AVANZADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN

PRÁCTICA 2

CURSO 2009-2010

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Práctica 2. Análisis no lineal mecánico

El análisis no lineal de la viga se realizará empleando un procedimiento iterativo de curvatura constante. Para ello, la viga se debe descomponer en un número de barras suficiente. Este procedimiento ha sido implementado en una hoja de cálculo con apoyo de programación en Visual Basic (véase anexo), de tal forma que puede definirse a discreción el número de barras de la viga. De hecho, en algunos casos se observa una mejora apreciable de resultados con el incremento del número de barras; por ejemplo, en el caso de la viga biempotrada con redistribución del 30%, el porcentaje máximo de carga pasa del 140% al 100% al incrementar el número de barras de 20 a 60.

Para la definición de los diagramas momento-curvatura se utiliza un método similar al de la práctica 1.

La viga objeto de análisis está sometida a una sobrecarga uniforme de ݍௌ஼ = 24 ݇ܰ/݉; su peso propio es de ݍ௉௉= 3.1 ݇ܰ/݉. La carga uniforme mayorada por unidad de longitud será pues:

ݍௗ = ߛீݍ௣௣+ ߛொݍ௦௖= 1,35 · 3,1 + 1,50 · 24 = 40,185 ݇ܰ/݉

La carga uniformemente distribuida sobre la viga se va a equiparar a un conjunto de cargas puntuales aplicadas sobre los nodos de enlace de las barras. Empleando la expresión del momento que genera una carga puntual aplicada en un punto cualquiera de una viga biapoyada (extraída de un prontuario), puede obtenerse, por superposición, el efecto del conjunto de cargas puntuales y, consecuentemente, el efecto de la carga distribuida.

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1. Viga biempotrada con redistribución del 30% 1.1. Dimensionamiento

1.1.1. Dimensionamiento en apoyos

El momento elástico en apoyos de una viga biempotrada con carga ݍௗ uniformemente repartida en toda su longitud es de la forma:

ܯ௘௟_௔௣௢௬௢=ݍௗ݈_{12 =}ଶ 40.19 · 5₁₂ ଶ= 83.72 ܭܰ · ݉

Dado que se considera una redistribución plástica del 30% en los apoyos, el momento de diseño será:

ܯௗ_௔௣௢௬௢ = 0.7 · 83.72 = 58.80 ܭܰ · ݉

Supondremos simplificadamente que la cabeza de hormigón está uniformemente comprimida en una longitud 0.8ݔ_௙, siendo la tensión de compresión igual a 0.85݂_௖ௗ. Por tanto, en la hipótesis de que la zona comprimida se localice exclusivamente en el alma de la sección en T, las ecuaciones de equilibrio en la sección de apoyos resultan:

෍ ܰ = 0 ⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ଴− ݂௬ௗܣ௦_௦= 0

෍ ܯ = ܯௗ_௔௣௢௬௢ ⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ଴൫ℎ − ݀ᇱ_{− 0.4ݔ௙൯ = ܯௗ_௔௣௢௬௢}

⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · ݔ௙· 0.20 · ൫0.30 − 0.05 − 0.4ݔ௙൯ = 58.80 ⟹ ݔ௙ = 0.079 ݉ Dado que ݔ௙= 0.079 ݉ < ℎ − ℎ଴= 0.22 ݉, la hipótesis planteada es cierta. Sustituyendo ݔ௙ en la ecuación del axil, se despeja el valor de la armadura superior de acero:

0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ − ݂௬ௗܣ௦_೔= 0 ⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · 0.079 · 0.2 − 500000 · ܣ௦_௦ = 58.80 ⟹ ܣ௦_௦ = 0.000537 ݉ଶ_{= 537 ݉݉}ଶ

1.1.2. Dimensionamiento en centro de vano

Teniendo en cuenta que la siguiente relación ha de cumplirse siempre en cualquier viga:

ܯௗ_௜௦௢௦௧á௧௜௖௢ =ܯௗ_௔௣௢௬௢_௜௭௤௨௜௘௥ௗ௢₂+ ܯௗ_௔௣௢௬௢_ௗ௘௥௘௖௛௢+ ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢

Y dado que:

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Se tiene:

ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢= ܯௗ_௜௦௢௦௧á௧௜௖௢− ܯௗ_௔௣௢௬௢ =ݍௗ_{8 − ܯ}݈ଶ ௗ_௔௣௢௬௢=40.19 · 5 ଶ

8 − 58.80 = 66.98 ݇ܰ/݉

Supondremos ahora que la cabeza comprimida de hormigón se localiza en las alas de la sección. La ecuaciones de equilibrio en la sección de apoyos quedan:

෍ ܰ = 0 ⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ − ݂௬ௗܣ௦_௜= 0

෍ ܯ = ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ൫ℎ − ݀ᇱ− 0.4ݔ௙൯ = ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢ ⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · ݔ௙· 1.00 · ൫0.30 − 0.05 − 0.4ݔ௙൯ = 66.98 ⟹ ݔ௙ = 0.016 ݉ Dado que ݔ_௙ = 0.016 ݉ < ℎ଴= 0.080 ݉, la hipótesis planteada es cierta. Determinamos finalmente la armadura inferior:

0.85 · 25000 · 0.80 · 0.016 · 1.00 − 500000 · ܣ௦_௜= 0 ⟹ ܣ௦_௜= 0.000550 ݉ଶ= 550 ݉݉ଶ

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Puntos característicos del diagrama:

FISURACIÓN Momento (ܭܰ · ݉) Curvatura (1/݉)

Momento positivo 13.62 0.0004

Momento negativo -26.69 -0.00067

PLASTIFICACIÓN Momento (ܭܰ · ݉) Curvatura (1/݉)

AGOTAMIENTO Momento (ܭܰ · ݉) Curvatura (1/݉)

1.3. Análisis no lineal

Apoyo Centro de vano

Porcentaje

de carga Análisis lineal

Análisis no

lineal Análisis lineal

Análisis no lineal 0 0,000 0,000 0,000 0,000 5 -4,184 -4,286 2,095 1,967 10 -8,369 -8,572 4,189 3,934 15 -12,553 -12,857 6,284 5,901 20 -16,737 -17,143 8,379 7,868 25 -20,921 -21,549 10,473 9,835 30 -25,105 -25,857 12,568 11,816 35 -29,290 -28,316 14,663 13,620 40 -33,474 -34,518 16,757 15,687

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45 -37,658 -38,265 18,852 18,261 50 -41,842 -42,430 20,947 20,323 55 -46,027 -45,899 23,041 23,190 60 -50,211 -50,032 25,136 25,269 65 -54,395 -53,457 27,231 28,179 70 -58,579 -57,243 29,325 30,660 75 -62,764 -58,800 31,420 33,031 80 -66,948 -59,022 33,515 35,998 85 -71,132 -59,754 35,609 40,426 90 -75,317 -59,572 37,704 43,514 95 -79,501 -60,521 39,798 49,595 100 -83,685 -60,888 41,893 54,174 105 -87,869 Rotura 43,988 Coeficiente de seguridad: ܥ. ܵ. =100 · 40.185_{100 · 27.1 = 1.48}

2. Ley de viga biapoyada 2.1. Dimensionamiento

2.1.1. Dimensionamiento en apoyos

El momento elástico en centro de vano de una viga biapoyada con carga ݍௗ uniformemente repartida en toda su longitud es de la forma:

ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢=ݍௗ݈_{8 =}ଶ 40.19 · 5₈ ଶ= 125.58 ܭܰ · ݉

Dado que en apoyos se considera un 25% de ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢, se tiene: ܯௗ_௔௣௢௬௢= 0.25 · 125.58 = 31.40 ܭܰ · ݉

Supondremos que la zona comprimida se localiza exclusivamente en el alma de la sección en T; las ecuaciones de equilibrio en la sección de apoyos resultan:

෍ ܰ = 0 ⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ଴− ݂௬ௗܣ௦_௦= 0

෍ ܯ = ܯௗ_௔௣௢௬௢ ⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ଴൫ℎ − ݀ᇱ_{− 0.4ݔ௙൯ = ܯௗ_௔௣௢௬௢}

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Dado que ݔ௙ = 0.039 ݉ < ℎ − ℎ଴= 0.22 ݉, la hipótesis planteada es cierta. La armadura inferior será por tanto:

0.85 · 25000 · 0.80 · 0.039 · 0.2 − 500000 · ܣ௦_௦ = 0 ⟹ ܣ௦_௦ = 0.000268 ݉ଶ_{= 268 ݉݉}ଶ

2.1.2. Dimensionamiento en centro de vano Como ya se determinó en el apartado precedente:

ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢=ݍௗ_{8 =}݈ଶ 40.19 · 5₈ ଶ= 125.58 ܭܰ · ݉

Supondremos que la cabeza comprimida de hormigón se localiza en las alas de la sección. Las ecuaciones de equilibrio en la sección de centro de vano resultan:

෍ ܰ = 0 ⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ − ݂௬ௗܣ௦_௦ = 0

෍ ܯ = ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ൫ℎ − ݀ᇱ− 0.4ݔ௙൯ = ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢ ⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · ݔ௙· 1.00 · ൫0.30 − 0.05 − 0.4ݔ௙൯ = 125.58 ⟹ ݔ௙ = 0.0311 ݉ Dado que ݔ௙ = 0.0311 ݉ < ℎ଴= 0.080 ݉, la hipótesis planteada es cierta. Determinamos finalmente la armadura inferior:

0.85 · 25000 · 0.80 · 0.0311 · 1.00 − 500000 · ܣ௦_௜ = 0 ⟹ ܣ௦_௜= 0.0010572 ݉ଶ = 1057 ݉݉ଶ

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Momento negativo -26.48 0.0007

2.3. Análisis no lineal

Apoyo Centro de vano

Porcentaje

Análisis no

Análisis no lineal 0 0,000 0,000 0,000 0,000 5 -4,185 -4,106 2,094 2,171 10 -8,370 -8,211 4,188 4,343 15 -12,554 -12,317 6,282 6,514 20 -16,739 -16,422 8,377 8,686 25 -20,924 -20,529 10,471 10,857 30 -25,109 -24,670 12,565 13,065 35 -29,293 -26,485 14,659 16,505 40 -33,478 -30,488 16,753 19,095 45 -37,663 -30,935 18,847 23,234 50 -41,848 -31,040 20,941 28,010

(9)

55 -46,033 -31,141 23,035 32,733 60 -50,217 -31,238 25,130 37,557 65 -54,402 -31,280 27,224 42,459 70 -58,587 -31,419 29,318 48,150 75 -62,772 -31,476 31,412 53,099 80 -66,956 -31,594 33,506 58,721 85 -71,141 -31,681 35,600 64,319 90 -75,326 -31,505 37,694 66,004 95 -79,511 -31,797 39,788 74,455 100 -83,695 -31,937 41,883 80,265 105 -87,880 -32,021 43,977 85,618 110 -92,065 -32,104 46,071 91,225 115 -96,250 -31,848 48,165 91,848 120 -100,435 -32,272 50,259 101,043 125 -104,619 -32,343 52,353 105,903 130 -108,804 -32,219 54,447 108,092 135 -112,989 -32,314 56,542 113,251 140 -117,174 -32,343 58,636 117,499 145 -121,358 -32,395 60,730 122,180 150 -125,543 -32,383 62,824 123,051 155 -129,728 -32,398 64,918 123,163 160 -133,913 -32,491 67,012 123,354 165 -138,098 Rotura 69,106 Coeficiente de seguridad: ܥ. ܵ. =160 · 40.185_{100 · 27.1 = 2.37} 3. Ley de ménsula 3.1. Dimensionamiento 3.1.1. Dimensionamiento en apoyos

En apoyos se considera el momento de la viga en ménsula (con la mitas de la luz): ܯௗ_௔௣௢௬௢ =ݍௗ(݈/2)₂ ଶ=40.19 · 2.5₂ ଶ = 125.58 ܭܰ · ݉

Supondremos en este caso que la zona comprimida ocupa todo el alma y alcanza hasta las alas de la sección en T. Así pues, las ecuaciones de equilibrio de la sección en apoyos resultan:

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෍ ܰ = 0 ⟹ 0,85 ݂௖ௗ0.80ܾ଴(ℎ − ℎ଴) + 0,85 ݂௖ௗቀ0,80ݔ௙− (ℎ − ℎ଴)ቁ ܾ = ݂௬ௗܣ௦_௦= 0 ෍ ܯ = ܯௗೌ೛೚೤೚⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ܾ଴(ℎ − ℎ଴) ൬ℎ − ݀´ − ℎ − ℎ଴ 2 ൰ +0.85݂௖ௗቀ0,80ݔ௙− (ℎ − ℎ଴)ቁ ܾ ቆℎ − ݀´ − (ℎ − ℎ଴) −0.80ݔ௙− (ℎ − ℎ₂ ଴)ቇ = ܯௗ_௔௣௢௬௢ ⟹ 0,85 · 25000 · 0.2 · (0.3 − 0.08) ൬0.3 − 0.05 −0.3 − 0.08₂ ൰ +0.85 · 25000 · ቀ0.80ݔ௙− (0.3 − 0.08)ቁ 1.00 ቆ0.3 − 0.05 − (0.3 − 0.08) −0.80ݔ௙− (0.3 − 0.08)₂ ቇ = 125,58 ⇒ ݔ௙= 0,2657 ݉

Dado que ݔ௙= 0.2657 ݉ > ℎ − ℎ଴= 0.22 ݉, la hipótesis planteada es cierta. La armadura inferior será por tanto:

0,85 · 25000 · 0.80 · 0.2 · (0.3 − 0.08)

+0,85 · 25000 · ൫0,80 · 0.2657 − (0.3 − 0.08)൯1.00 + 500000ܣݏ_݅=− 500000ܣݏ_ݏ== 0 ⟹ ܣ௦_௦ = 0.00118 ݉ଶ_{= 1180 ݉݉}ଶ

3.1.2. Dimensionamiento en centro de vano

Dado que en centro de vano se considera un 25% de ܯௗ_௔௣௢௬௢, se tiene: ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢= 0.25 · 125.58 = 31.40 ܭܰ · ݉

Supondremos que la cabeza comprimida de hormigón se localiza en las alas de la sección. Las ecuaciones de equilibrio en la sección de centro de vano resultan:

෍ ܰ = 0 ⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ − ݂௬ௗܣ௦_௦ = 0

෍ ܯ = ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢⟹ 0.85݂௖ௗ0.80ݔ௙ܾ൫ℎ − ݀ᇱ− 0.4ݔ௙൯ = ܯௗ_௖௘௡௧௥௢_௩௔௡௢ ⟹ 0.85 · 25000 · 0.80 · ݔ௙· 1.00 · ൫0.30 − 0.05 − 0.4ݔ௙൯ = 31.40 ⟹ ݔ௙ = 0.00748 ݉ Dado que ݔ_௙ = 0.00748݉ < ℎ଴= 0.080 ݉, la hipótesis planteada es cierta. Determinamos finalmente la armadura inferior:

0.85 · 25000 · 0.80 · 0.00748 · 1.00 − 500000 · ܣ௦_೔ = 0 ⟹ ܣ௦_௜= 0.000254 ݉ଶ_{= 254 ݉݉}ଶ

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3.2. Diagrama momento-curvatura

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Apoyo Centro de vano Porcentaje

Análisis no

Análisis no lineal 0 0,000 0,000 0,000 0,000 5 -4,186 -4,403 2,093 1,871 10 -8,371 -8,807 4,187 3,742 15 -12,557 -13,210 6,280 5,613 20 -16,742 -17,613 8,374 7,484 25 -20,928 -22,057 10,467 9,355 30 -25,113 -27,210 12,560 11,263 35 -29,299 -31,459 14,654 12,006 40 -33,484 -37,569 16,747 12,006 45 -37,670 -43,015 18,840 13,425 50 -41,855 -48,118 20,934 14,570 55 -46,041 -53,174 23,027 15,841 60 -50,226 -58,112 25,121 17,190 65 -54,412 -63,007 27,214 18,572 70 -58,597 -67,856 29,307 19,969 75 -62,783 -72,645 31,401 21,431 80 -66,968 -77,449 33,494 22,959 85 -71,154 -82,236 35,588 24,269 90 -75,339 -86,995 37,681 25,976 95 -79,525 -91,748 39,774 27,179 100 -83,710 -96,864 41,868 27,864 105 -87,896 -102,354 43,961 28,518 110 -92,081 -107,700 46,055 29,035 115 -96,267 -113,502 48,148 29,875 120 -100,452 -118,901 50,241 30,485 125 -104,638 -117,024 52,335 30,730 130 -108,823 Rotura 54,428 Coeficiente de seguridad: ܥ. ܵ. =125 · 40.185_{100 · 27.1 = 1.85}

4. Interpretación de los resultados

4.1. Viga biempotrada con redistribución del 30%

La evolución del momento no lineal es muy similar a la del momento lineal (tanto a positivos como a negativos) hasta un elevado nivel de carga (70%), para el cual se produce la plastificación de la sección en apoyos, correspondiente a un porcentaje de carga del 70%. A partir de este punto, el momento no lineal a negativos apenas crece, por lo que se produce una redistribución creciente hacia el centro del vano. La rotura tiene lugar por agotamiento de la sección en apoyos.

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Este comportamiento está relacionado con la similitud de las leyes constitutivas a momento negativo y positivo hasta el punto de plastificación. El momento de plastificación es de parecida magnitud en ambos casos (algo inferior a negativos); hasta ese punto, el diagrama momento-curvatura evoluciona linealmente sin variaciones de pendiente significativas.

4.2. Ley de viga biapoyada

La cantidad de armadura en apoyos correspondiente a la ley de viga biapoyada es la menor de los tres casos. Este hecho se traduce en la considerable ductilidad de la sección a negativos, que alcanza una curvatura muy próxima a la de momento positivo (con un valor de momento último muy inferior). A diferencia del caso previo, el desequilibrio entre los valores de momento último para ambos signos es muy acusado; en aquel caso resultaba destacable la similitud de las dos ramas del diagrama hasta el punto de plastificación.

El diagrama momento-carga tiene una interpretación parecida a la que ofrecimos para la viga biempotrada. El momento no lineal concuerda con el lineal hasta alcanzar la plastificación de la sección en apoyos; dado que la capacidad de dicha sección se mantiene cuasi constante a partir de su plastificación, el momento no lineal se transfiere a la sección central, que evoluciona por encima del lineal. La diferencia radica en que la plastificación del apoyo ocurre para un nivel de carga muy inferior, correspondiente al 35% por ciento de la carga (la mitad que para viga biempotrada). Ello es debido a que la armadura de la sección en los apoyos es inferior al caso previo (la mitad).

4.3. Ley de ménsula

En el caso de la ley de ménsula, la pronta fisuración de la sección central provoca su pérdida de rigidez y el aumento consecuente del momento en apoyos. Por ello, el momento no lineal a positivos es mayor que el momento elástico lineal correspondiente, mientras que en el apoyo sucede lo contrario.

Llama la atención la evolución cuasi lineal del momento no lineal a negativos. La ley constitutiva de la sección a momento negativo presenta muy escasa ductilidad debido a la gran cantidad de armadura que posee y a que la zona comprimida de la sección es el alma, de manera que el diagrama momento-curvatura es prácticamente lineal. De ahí que, como apuntábamos, la evolución del momento en función del porcentaje de carga sea prácticamente lineal.