DESCUENTO DESCUENTO SIMPLE DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

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(1)

OBJETIVOS

Definir descuento y valor actual.

Distinguir las actualizaciones simples y compuestas.

Identificar los distintos tipos de descuentos.

Demostrar fórmulas principales y derivadas.

Resolver situaciones problemáticas.

CONTENIDOS:

Descuento. Valor actual. Valor Nominal.

Descuento simple. Descuento comercial simple. El valor actual en el descuento

comercial. El descuento comercial simple. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. El

descuento comercial simple. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. El descuento

racional simple. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. El monto en el descuento

racional simple. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Reversibilidad del descuento. El

límite del valor actual. Relación entre la tasa de descuento y la tasa de interés.

Descuento compuesto. El descuento comercial compuesto. Fórmula principal. Fórmulas

derivadas. Relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento. Descuento

comercial compuesto. El descuento comercial compuesto en base al monto. Fórmula

principal. Fórmulas derivadas. Descuento comercial compuesto en base al valor actual.

Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Descuento racional compuesto. El monto en el

descuento racional compuesto. Fórmula principal. Fórmulas derivadas. Descuento

racional compuesto. El descuento racional compuesto en base al valor actual. Fórmula

principal. Fórmulas derivadas. Descuento racional compuesto en base al monto.

Fórmula principal. Fórmulas derivadas.

(2)

DESCUENTO

DESCUENTO (Definición)

Se llama descuento al capital que se le resta a una deuda por haberla pagado antes de su vencimiento, debido a la aplicación de una cierta tasa de descuento.

VALOR ACTUAL

En una operación de descuento, el valor que se paga después de haberle practicado el descuento se denomina “valor actual” y se lo representa con la letra“V”.

VALOR NOMINAL

Cuando se descuenta documentos antes de su vencimiento, el valor futuro o monto se lo conoce con el nombre de valor nominal y se lo representa con “N”, o sea queCn=N

.-DESCUENTO SIMPLE

DESCUENTO SIMPLE (Definición)

Se llama descuento simple a la operación de descuento calculada con una ley simple.

DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

EL VALOR ACTUAL EN EL DESCUENTO COMERCIAL

En el descuento comercial, el valor actual se representa conVc y de acuerdo con los conceptos anteriores, el valor actual se calcula con:

Dc

Cn

Vc

FÓRMULA PRINCIPAL DEL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

Desde el punto de vista matemático, se llama descuento comercial simple (Dc) al interés simple calculado en base al valor futuro con una cierta tasa de descuento. De lo anterior, deducimos que el descuento comercial se calcula siempre en base al valor futuro o monto.

Esto significa que la fórmula del descuento comercial simple es:

d

n

Cn

Dc

Para el caso de los descuento de documentos, la fórmula de descuento comercial simple es:

d

n

N

Dc

Por ejemplo:

Una persona descuenta un documento de $4.100 que se vence dentro de 3 meses y se actualiza mensualmente con el 3% mensual. Se pide calcular el descuento comercial simple y el valor que se paga.

(3)

Datos

Actualización: simple y mensual (descuento comercial simple) Cn=$4.100 T=3 (meses)n=3 R=3% mensual d=0,03 Incógnitas Dc=? Vc=?

Para el descuento comercial hacemos:

369

$

3

03

,

0

100

.

4

$

Cn

d

n

Dc

Dc

Dc

Para el valor actual hacemos:

731

.

3

$

369

$

100

.

4

$

Cn

Dc

Vc

Vc

FÓRMULAS DERIVADAS DEL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

Para obtener las fórmulas derivadas, se debe partir de la fórmula principal, o sea:

d

n

Cn

Dc

EL MONTO EN EL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

Partiendo de la fórmula principal, despejamos el monto, o sea:

d

n

Dc

Cn

Por ejemplo:

Un documento que se vence en 5 meses se lo paga hoy y sufre un descuento comercial simple de $320. ¿Cuál será su valor nominal se la actualización es mensual y se le aplica el 8% bimestral de descuento? ¿Cuál es el valor que se paga realmente?

Datos

Actualización: mensual y simple T=5 mesesn=5 Dc=$320 R=8% bimestralR=8%:2R=4% mensuald=0,04 Incógnitas Cn=? Vc=?

Para calcular el valor nominal o futuro, hacemos:

600

.

1

$

04

,

0

5

320

$

Cn

Cn

d

n

Dc

Cn

(4)

Ahora, el valor actual o valor que se paga es:

280

.

1

$

320

$

600

.

1

$

Cn

Dc

Vc

Vc

Vc

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

De la fórmula principal despejamos el número de períodos y queda:

Dc

n

Cn d

Por ejemplo:

¿Cuál debe ser el tiempo que se debe adelantarse el pago de una deuda de $5.000 para que sufra un descuento comercial simple de $350, sabiendo que la actualización aplicada es semanal con el 7% mensual de descuento? ¿Cuál será el valor actual de la deuda?

Datos

Actualización semanal y simple Cn=$5.000 Dc=$350 R=7% mensualR=7%:4R=1,75% semanald=0,0175 Incógnitas n=? Vc=?

Para calcular el número de períodos hacemos:

semanas

n

n

d

Cn

Dc

n

4

0175

,

0

000

.

5

$

350

$

Ahora, para el caso del valor actual hacemos:

650

.

4

$

350

$

000

.

5

$

Cn

Dc

Vc

Vc

Vc

LA RAZÓN EL EN DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

Partiendo de la fórmula fundamental, despejamos la tasa para luego calcular la razón, o sea:

n

Cn

Dc

d

Pero sabemos que:

%

100

d

R

Por ejemplo:

Calcular el tanto por ciento que se le debe aplicar a una deuda de $800 para que sufra un descuento comercial simple de $100 si se sabe que se la paga 4 meses antes de su vencimiento y teniendo en cuenta que la actualización es mensual. Calcular también el valor real que se paga.

(5)

Datos Actualización: mensual Cn=$800 Dc=$100 T=4 mesesn=4 Incógnitas R=? Vc=?

Para calcular la razón, primero debemos calcular la tasa y luego multiplicarla por 100%, o sea:

03125

,

0

4

800

$

100

$

d

d

n

Cn

Dc

d

Ahora la razón es:

mensual

R

R

d

R

100

%

0

,

03125

100

%

3

,

125

%

Para el caso del valor actual se hace:

700

$

100

$

800

$

Cn

Dc

Vc

Vc

Vc

EL VALOR ACTUAL EN EL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

Como se sabe el valor actual es el valor que se paga de la deuda después de haberle practicado el descuento. Para el caso del descuento comercial simple se lo representa con“Vc”.

Para poder determinar la fórmula para su cálculo, se parte de lo siguiente:

Dc

Cn

Vc

Dc

Cn

n

d

Reemplazando la segunda fórmula en la primera, queda:

d

n

Cn

Cn

Vc

Sacando factor común el monto, se tiene:

n

d

Cn

Vc

.

1

Por ejemplo:

Se paga un documento 30 días antes de su vencimiento cuyo valor nominal es de $5.200 y por el adelanto al pago se realiza un descuento comercial simple del 10% mensual y capitalización diaria y año comercial. ¿Cuál es el valor que se paga? ¿Cuál es el descuento que se practica?

Datos

Actualización diaria T=30 díasn=30 Cn=$5.200

(6)

Incógnitas

Vc=? Dc=?

Para calcular el valor actual hacemos:

20

,

685

.

4

$

)

30

00333

,

0

1

.(

200

.

5

$

)

.

1

.(

Cn

d

n

Vc

Vc

Vc

Ahora teniendo en cuenta que:

80

,

514

$

20

,

685

.

4

$

200

.

5

$

Cn

Vc

Dc

Dc

Dc

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DEL VALOR ACTUAL EN EL DESCUENTO COMERCIAL

SIMPLE

Partiendo de la fórmula del valor actual, se pueden obtener las fórmulas derivadas.

EL MONTO EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

Partiendo de:

n

d

Cn

Vc

.

1

Despejamos el monto y queda:

1

Vc

Cn

n d

 

Por ejemplo:

Calcular el valor del documento si se paga $1.300 5 meses antes de su vencimiento, aplicándole un descuento comercial simple del 7% trimestral y la actualización es mensual. Calcular también el descuento practicado.

Datos

Actualización: simple y mensual Vc=$1.300 T=5 mesesn=5 R=7% trimestralR=7%:3=2,33% mensuald=0,0233 Incógnitas Cn=? Dc=?

Para calcular el valor del documento hacemos:

42

,

471

.

1

$

5

0233

,

0

1

300

.

1

$

1

Cn

Cn

n

d

Vc

Cn

Ahora, el descuento se calcula con:

42

,

171

$

300

.

1

$

42

,

471

.

1

$

Cn

Vc

Dc

Dc

Dc

(7)

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

Partiendo de la fórmula principal, o sea:

n

d

Cn

Vc

.

1

Pasamos al primer miembro el monto, queda:

d

n

Cn

Vc

1

Pasamos el 1 al primer miembro, sacamos común denominador y multiplicamos ambos miembros por -1, o sea:

(1)

d

n

Cn

Vc

Cn

Despejamos el número de períodos y se llega a la fórmula deseada:

Cn

d

Vc

Cn

n

Por ejemplo:

Calcular el tiempo antes de su vencimiento que se debe descontar un documento de $2.500 si se sabe que se le aplica un descuento comercial simple del 3% mensual, sabiendo que se pagará por dicho documento $1.800 si la actualización es mensual. Calcular también el descuento que se realizará.

Datos

Actualización: mensual y simple Cn=$2.500 R=3% mensuald=0,03 Vc=$1.800 Incógnitas n=? Dc=?

Para calcular el número de períodos, hacemos:

meses

n

n

Cn

d

Vc

Cn

n

9

,

33

500

.

2

$

03

,

0

800

.

1

$

500

.

2

$

Ahora, para calcular el descuento usamos el concepto inicial del mismo, o sea:

700

$

800

.

1

$

500

.

2

$

Cn

Vc

Dc

Dc

Dc

LA RAZÓN EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE

Para demostrar esta fórmula derivada partimos de la (1), o sea:

d

n

Cn

Vc

(8)

Despejamos la tasa para luego calcular la razón, queda:

Cn

n

Vc

Cn

d

Luego, la razón es:

%

100

d

R

Por ejemplo:

Se descuenta un documento de $7.200 4 meses antes de su vencimiento y se paga $6.500 ¿Cuál es el tanto por ciento que se le aplicó al descuento comercial si la actualización es mensual? ¿Cuál es el descuento realizado?

Datos

Actualización: mensual y simple Cn=$7.200 T=4 mesesn=4 Vc=$6.500 Incógnitas R=? Dc=?

Para calcular la razón, primero debemos calcular la tasa:

0243

,

0

200

.

7

$

4

500

.

6

$

200

.

7

$

d

d

Cn

n

Vc

Cn

d

Ahora, la razón se calcula con:

mensual

R

R

d

R

100

%

0

,

0243

100

%

2

,

43

%

EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

FÓRMULA PRINCIPAL DEL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

Desde el punto de vista matemático, se llama descuento racional simple al interés simple calculado en base al valor actual con una tasa de descuento “d

”.-El descuento racional es también llamado descuento matemático ya que se lo calcula sobre el valor real que se paga.

Teniendo en cuenta esta definición, tenemos la fórmula para calcular el descuento racional simple:

d

n

Vr

Dr

(9)

Por ejemplo:

Calcular el descuento racional simple que se le debe aplicar a una deuda que se paga por ella $3.254, 5 meses antes su vencimiento, sabiendo que se le aplica una tasa de descuento del 5% bimestral y actualización mensual. Calcular también el valor real de la deuda al vencimiento.

Datos

Actualización: mensual y simple Vr=$3.254 T=5 mesesn=5 R=5% bimestralR=5%:2 R=2,5% mensuald=0,025 Incógnitas Dr=? Cn=?

Calculamos primero el descuento racional, o sea:

75

,

406

$

025

,

0

5

254

.

3

$

Vr

n

d

Dr

Dr

Dr

Ahora, como se sabe el monto es:

75

,

660

.

3

$

65

,

406

$

254

.

3

$

Dr

Vr

Cn

Cn

Cn

FÓRMULAS DERIVADAS DEL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

Para obtener las fórmulas derivadas del descuento racional simple, se debe partir de la fórmula principal y despejarlas de ella.

EL VALOR ACTUAL EN EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

Partiendo de la fórmula principal del descuento racional simple, o sea:

d

n

Vr

Dr

Despejamos el valor actual y queda:

d

n

Dr

Vr

Por ejemplo:

Un documento que se vence en 5 meses se realiza un descuento racional simple de $245,21 aplicándole el 6% bimestral y la actualización mensual. ¿Cuál es el valor que se paga por dicho documento? ¿Cuál es su valor nominal?

Datos

Actualización: mensual y simple T=5 mesesn=5

Dr=$245,21

(10)

Incógnitas

Vr=? Cn=?

Para calcular el valor actual con descuento racional, hacemos:

73

,

634

.

1

$

03

,

0

5

21

,

245

$

Vr

Vr

d

n

Dr

Vr

Ahora, el valor nominal o valor futuro es:

94

,

875

.

1

$

21

,

241

$

73

,

634

.

1

$

Vr

Dr

Cn

Cn

Cn

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

Partiendo de la fórmula principal de descuento racional simple, o sea:

d

n

Vr

Dr

Despejamos el número de períodos y queda:

Vr

d

Dr

n

Por ejemplo:

Calcular el tiempo que se debe adelantar el pago de una deuda si se paga por ella $7.300 con un descuento racional de $1.358,89, sabiendo que se le aplicó el 7% trimestral, si la actualización es mensual. Calcular también el valor de la deuda al vencimiento.

Datos

Actualización: mensual y simple Vr=$7.300 Dr=$1.358,89 R=7% trimestralR=7%:3R=2,33% mensuald=0,0233 Incógnitas n=? Cn=?

Para calcular el número de períodos, hacemos:

meses

n

n

Vr

d

Dr

n

7

,

98

300

.

7

$

0233

,

0

89

,

358

.

1

$

Ahora el monto se calcula con:

89

,

658

.

8

$

89

,

358

.

1

$

300

.

7

$

Vr

Dr

Cn

Cn

Cn

(11)

LA RAZÓN EN EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

Como se sabe para calcular la razón, primero debemos calcular la tasa. Para ello partimos de la fórmula principal, o sea:

d

n

Vr

Dr

Despejamos la tasa y queda:

Vr

n

Dr

d

Y la razón es:

%

100

%

100

R

R

d

d

Por ejemplo:

Calcular el tanto por ciento que se le debe aplicar a una deuda si se la paga 3 bimestres antes de su vencimiento, abonando por ella $8.500, sabiendo que tuvo un descuento racional simple de $2.300 y la actualización es bimestral. Calcular también el monto de la deuda al vencimiento.

Datos

Actualización: mensual y simple T=3 bimestresn=3 Vr=$8.500 Dr=$2.300 Incógnitas R=? Cn=?

Para calcular la razón, primero calculamos la tasa, o sea:

0901

,

0

500

.

8

$

3

300

.

2

$

d

d

Vr

n

Dr

d

Ahora, la razón es:

bimestral

R

R

0

,

0901

100

%

9

,

01

%

EL MONTO EN EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

Partiendo de las fórmulas del descuento racional simple y del monto, o sea:

d

n

Vr

Dr

Cn

Vr

Dr

Reemplazando la primera fórmula en la segunda, se tiene:

d

n

Vr

Vr

(12)

Sacando factor común el valor actual, tenemos:

)

1

.(

n

d

Vr

Cn

Por ejemplo:

Una persona descuenta un documento 6 meses antes de su vencimiento y paga por el $2.550,32 sabiendo que se le aplicó un descuento racional simple con el 25% anual y actualización mensual. Calcular el valor nominal del documento y el descuento realizado.

Datos

Actualización: mensual y simple T=6 mesesn=6

Vr=$2.550,32

R=25% anualR=25%:12R=2,08% mensuali=0,0208

Incógnitas

Cn=? Dr=?

Para calcular el monto se hace:

60

,

868

.

2

$

)

0208

,

0

6

1

.(

32

,

550

.

2

$

)

1

.(

Vr

n

d

Cn

Cn

Cn

Para calcular el descuento hacemos:

28

,

318

$

32

,

550

.

2

$

60

,

868

.

2

$

Cn

Vr

Dr

Dr

Dr

LAS FÓRMULAS DERIVADAS DEL MONTO EN EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

Para obtener las fórmulas derivadas de la principal, la debemos despejarlas de ella.

EL VALOR ACTUAL EN EL MONTO CON DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

Partiendo de la fórmula principal, o sea:

)

1

.(

n

d

Vr

Cn

Pasamos el paréntesis al otro miembro, queda:

d

n

Cn

Vr

1

Por ejemplo:

Se descuenta un documento de $7.000 que se vence en 5 meses teniendo un descuento racional del 9% trimestral y actualización mensual y simple. ¿Cuánto se pagará por dicho documento a la fecha? ¿Cuál es el descuento que sufrió?

(13)

Datos

Actualización: simple y mensual Cn=$7.000 T=5 mesesn=5 R=9% trimestralR=9%:3R=3% mensuald=0,03 Incógnitas Vr=? Dr=?

Para calcular el valor actual hacemos:

95

,

086

.

6

$

03

,

0

5

1

000

.

7

$

1

Vr

Vr

d

n

Cn

Vr

Para calcular el descuento racional, se tiene:

05

,

913

$

95

,

086

.

6

$

000

.

7

$

Cn

Vr

Dr

Dr

Dr

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL MONTO CON DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

Partimos de la fórmula principal, o sea:

)

1

.(

n

d

Vr

Cn

Pasamos al primer miembro el valor actual, queda:

d

n

Vr

Cn

1

Pasamos el 1 al primer miembro y sacamos común denominador, se tiene:

(2)

d

n

Vr

Vr

Cn

Ahora, despejamos el número de períodos y se llega a la fórmula deseada:

Vr

d

Vr

Cn

n

Por ejemplo:

Una persona tiene una deuda de $7.200 y la cancela antes de su vencimiento sufriendo el 8% cuatrimestral de descuento racional simple y la actualización es mensual, pagando en este mismo instante $5.800. ¿Cuál es el tiempo que se adelantó el pago de la deuda? ¿Cuál es el descuento que sufrió la deuda?

Datos

Actualización: mensual y simple Cn=$7.200

(14)

Vr=$5.800

Incógnitas

n=? Dr=?

Para calcular el número de períodos, hacemos:

meses

n

n

Vr

d

Vr

Cn

n

12

,

06

800

.

5

$

02

,

0

800

.

5

$

200

.

7

$

Por supuesto, para calcular el descuento, se tiene:

400

.

1

$

800

.

5

$

200

.

7

$

Cn

Vr

Dr

Dr

Dr

LA RAZÓN EN EL VALOR NOMINAL CON DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

Para calcular la razón, primero debemos calcular la tasa y luego multiplicarla por cien para obtenerla. Para ello partimos de la fórmula (2), o sea:

d

n

Vr

Vr

Cn

Despejamos la tasa, se tiene:

Vr

n

Vr

Cn

d

Y como se sabe:

%

100

%

100

R

R

d

d

Por ejemplo:

Se descuenta un documento de $3.500 7 meses antes de su vencimiento, pagándose en este instante $2.800. Si se sabe que el descuento sufrido es el racional simple y la actualización es mensual ¿Cuál es el tanto por ciento aplicado? ¿Cuál es el descuento realizado?

Datos

Actualización: mensual y simple Cn=$3.500 T=7 mesesn=7 Vr=$2.800 Incógnitas R=? Dr=?

(15)

Para calcular la razón, primero debemos calcular la tasa, o sea:

0357

,

0

800

.

2

$

7

800

.

2

$

500

.

3

$

d

d

Vr

n

Vr

Cn

d

Ahora, la razón es:

mensual

R

R

d

R

100

%

0

,

0357

100

%

3

,

57

%

LA REVERSIBILIDAD DEL DESCUENTO

LA REVERSIBILIDAD (Concepto)

Se dice que una operación financiera es reversible, cuando el valor que se obtiene al efectuar una actualización se transforma en el mismo valor futuro al que se actualizó, comparándola con la misma tasa de interés durante el mismo tiempo que la operación original.

Por ejemplo:

Se descuenta un documento 5 meses antes de su vencimiento y cuyo valor nominal es de $5.000, con el 3% mensual y actualización mensual. Se pide calcular:

a) El valor actual aplicándole un descuento comercial b) El valor actual aplicándole un descuento racional

Datos Actualización mensual T=5 mesesn=5 Cn=$5.000 R=3% mensual Incógnitas a) Vc=? b) Vr=?

a) Calculamos el valor actual para el descuento comercial, o sea:

500

.

4

$

)

5

02

,

0

1

.(

000

.

5

$

)

.

1

.(

Cn

d

n

Vc

Vc

Vc

b) Calculamos el valor actual para el descuento racional, o sea:

4545

,

545

.

4

$

02

,

0

5

1

000

.

5

$

.

1

Vr

Vr

d

n

Cn

Vr

Ahora, calculemos el valor nominal con estos valores actuales y con capitalización simple, mensual y con la misma tasa, se tiene:

a) Cálculo del monto con el valor actual con descuento comercial:

950

.

4

$

)

5

02

,

0

1

.(

500

.

4

$

)

.

1

.(

Co

i

n

Cn

Cn

Cn

b) Cálculo del monto con el valor actual con descuento racional:

000

.

5

$

)

5

02

,

0

1

.(

4545

,

545

.

4

$

)

.

1

.(

Co

i

n

Cn

Cn

Cn

(16)

De acuerdo a lo anterior tenemos dos afirmaciones:

a) Para el caso del descuento comercial, diremos que no es reversible, ya que se colocó el valor actual al interés simple y por el mismo número de períodos y con la misma tasa y no se obtuvo el monto.

b) Para el caso del descuento racional, afirmamos que es reversible, ya que se colocó el valor actual que se obtuvo al interés simple y por el mismo número de períodos y con la misma tasa y se obtuvo el monto.

EL LÍMITE DEL VALOR ACTUAL

Partiendo de la fórmula de valor actual con descuento comercial, o sea:

)

.

1

.(

d

n

Cn

Vc

Y hacemos

d

n

1

, tenemos:

 

d

d

Cn

Vc

.

1

·

1

Simplificando la tasa, queda:

)

1

1

.(

Cn

Vc

0

.

Cn

Vc

0

Vc

Con esto concluimos que el valor actual se anula si el número de períodos es igual al inverso de la tasa aplicada. Por lo consiguiente, podemos decir que en el descuento comercial, el valor actual está definido para valores del tiempo entre “n” hasta d1

.-Si calculamosVcparaCn=1.000; R=20% por período yn=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; tendremos:

)

2

,

0

1

.(

000

.

1

$

)

.

1

.(

d

n

Vc

n

Cn

Vc

(17)

Ahora, construimos una tabla para la gráfica de la funciónVc

Observamos que para el período 6, el valor actual tiene un valor negativo (-200), por lo que se dice se produjo unabsurdo financiero.

RELACIÓN ENTRE LA TASA DE INTERÉS Y DE DESCUENTO

Tengamos en cuenta las fórmulas del capital inicial en el monto en el interés simple y el monto en valor actual con descuento comercial:

n

i

Cn

Co

.

1

Vc

Cn

.(

1

d

.

n

)

Como se sabe, el valor actual es el capital inicial, por lo tanto Co=Cn, entonces aplicando la propiedad transitiva de la igualdad, queda:

)

.

1

.(

.

1

i

n

Cn

d

n

Cn

Aplicando la propiedad cancelativa, se tiene:

(3)

1

.

1

.

1

1

d

n

n

i

n Vc 0 1.000 1 800 2 600 3 400 4 200 5 0 6 -200

(18)

Ahora, para laTASA DE INTERÉSy teniendo en cuenta que esta proporción 1+i.n es un extremo y sabiendo que un extremo es igual al producto de los medios dividido en el otro extremo (corolario del Teorema Fundamental de las Proporciones), queda:

n

d

n

i

.

1

1

.

1

Pasando el 1 al otro miembro, se tiene:

1

.

1

1

.

n

d

n

i

Y sacando común denominador, queda:

n

d

n

d

n

i

.

1

.

1

1

.

Cancelando el 1 y el -1, se tiene:

n

d

n

d

n

i

.

1

.

.

Simplificando “n” queda la fórmula deseada:

n

d

d

i

.

1

Por ejemplo:

Determinar la tasa de interés correspondiente al descuento del 2% mensual en 3 meses.

Datos

R=2% mensuald=0,02 mensual n=3 meses

Incógnita

i=?

Utilizando la fórmula demostrada anteriormente, tenemos:

mensual

i

i

n

d

d

i

0

,

021

3

02

,

0

1

02

,

0

.

1

Ahora, para laTASA DE DESCUENTO, partimos de la fórmula (3), o sea:

1

.

1

.

1

1

d

n

n

i

(19)

Que es lo mismo que:

n

i

n

d

.

1

1

.

1

Pasando 1 al otro miembro, queda:

1

.

1

1

.

n

i

n

d

Sacando común denominador, se tiene:

n

i

n

i

n

d

.

1

.

1

1

.

Cancelando, queda:

n

i

n

i

n

d

.

1

.

.

Cancelando y premultiplicando ambos miembros por -1, llegamos a la fórmula deseada:

n

i

i

d

.

1

Por ejemplo:

Determinar la tasa de descuento correspondiente al interés del 5% mensual a 5 meses.

Datos

R=5% mensuali=0,05 mensual n=5 meses

Incógnita

d=?

Calculamos la tasa de descuento con la fórmula demostrada últimamente, o sea:

mensual

d

d

n

i

d

0

,

04

5

05

,

0

1

05

,

0

.

1

1

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. ¿Cuál será el descuento comercial simple que tendría un documento cuyo valor nominal es de $7.200 y que se vence dentro de 5 meses y se lo paga hoy con el 9% bimestral y actualización mensual? ¿Cuánto pagaríamos por dicho documento?

(20)

2. Se descuenta un documento 60 días antes de su vencimiento pagándose actualmente $1.250 con el 5% mensual de descuento y actualización diaria (año comercial) ¿Cuál será el descuento racional simple? ¿Cuál será su valor nominal?

3. Un documento de $3.000 se vence dentro de 3 meses y se ha descontado al 3% mensual. Calcular su valor actual, sabiendo que el descuento es comercial y simple y que la actualización es mensual. 4. Resolver el problema anterior, pero con descuento racional.

5. Un documento de $5.200 se ha pagado 40 días antes de vencer con el 30% anual de descuento. Calcular el valor percibido luego de descontarlo, teniendo en cuenta que la actualización es diaria, año comercial y descuento racional simple.

6. Una deuda se documentó a 40 días con un documento firmado por $7.300. Calcular el valor recibido, sabiendo que se le aplicó un descuento racional simple del 30% anual y actualización diaria (año civil).

7. Calcular los meses antes de vencer que se pagó un documento de $2.500 si con el 25% anual, le permitió obtener un valor actual de $2.000 con un descuento racional simple.

8. Por pagar un documento con descuento 90 días antes de su vencimiento con el 30% anual de descuento racional simple, se ha percibido $3.620,44. ¿Cuál es el valor nominal del documento y cuál es el descuento racional simple practicado, sabiendo que la actualización es mensual?

9. Una persona tiene una deuda de $2.500 la que se documentó al 28% anual. Al descontarla pagó $2.200. Calcular el tiempo en meses que se adelantó el pago de dicha deuda sabiendo que la actualización es mensual. Calcular también el descuento racional simple realizado.

10. Una persona paga $1.200 por una deuda que vence dentro de 3 meses, sabiendo que se le aplica un descuento del 4% bimestral con actualización mensual. ¿Cuál es el descuento racional simple realizado? ¿Cuál es el valor nominal de la deuda?

11. Se paga un documento que se vence en 4 meses obteniendo un descuento racional simple de $890,45 con el 8% trimestral. Calcular el valor que se paga sabiendo que la actualización es mensual. Calcular también el valor de la deuda al vencimiento.

12. Se paga un documento con $725,30 menos pagándose un valor actual de $3.869,47 aplicándosele un descuento racional simple del 9% trimestral ¿cuántos meses antes de su vencimiento se descontó el documento? ¿Cuál es el valor nominal del mismo?

13. Calcular cuánto recibe una persona al pagar 3 meses antes de vencer un documento de $3.500 con un descuento comercial simple del 30%. Calcular también el descuento practicado.

14. Por haber pagado 40 días antes de vencer un documento de $2.300 se ha recibido un valor actual de $1.800. Calcular el tanto por ciento anual que se le aplicó al descuento comercial simple realizado.

15. ¿Cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $8.000 si se le aplicó el 30% anual y se paga $6.963,52 si la actualización es mensual y con descuento comercial simple?

16. Por descontar al 30% anual un documento de $2.310 se ha percibido de valor actual $1.830,47. Si la actualización es diaria y año civil y el descuento es comercial simple ¿Cuántos días antes de vencer se ha efectuado la operación?

17. Un documento de $5.200 se descontó 35 días antes de su vencimiento recibiendo un valor actual de $4.800. ¿Cuál es el tanto por ciento aplicado al descuento comercial simple si la actualización es diaria?

18. Una deuda de $8.900 se documenta a 15 días de plazo ¿Cuánto recibe hoy si el documento se descuento en forma comercial y simple con el 40% anual y actualización diaria y año civil?

19. Un documento de $3.750 se descontó con el 28% anual, percibiendo un valor de $3.520,12. Calcular cuántos días antes de vencer se ha efectuado la operación si la actualización es diaria y el descuento es comercial y simple.

(21)

EL DESCUENTO COMPUESTO

EL VALOR ACTUAL EN EL DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO

En el valor actual con descuento comercial compuesto debemos usar la siguiente nomenclatura:

Dc’: Descuento comercial compuesto.

Vc’: Valor actual con descuento comercial compuesto.

Cn’: Monto a interés compuesto.

Para determinar la fórmula de valor actual en el descuento comercial compuesto, partimos de:

'

'

'

Cn

Dc

Vc

Y teniendo en cuenta que para un período (n=1), el valor actual con descuento comercial simple es:

)

1

.(

)

1

.

1

.(

)

.

1

.(

d

n

Cn

d

Cn

d

Cn

Vc

Haciendo razonamientos y teniendo en cuenta que la ley compuesta involucra el monto del período anterior para calcular el del actual, se tiene:

Período Monto o valor futuro Valor actual

1

Cn

'

'

'.(

1

)

1

Cn

d

V

2

Cn

'.(

1

d

)

V

2'

Cn

'.(

1

d

).(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

)

2 3

Cn

'.(

1

d

)

2

V

3'

Cn

'.(

1

d

)

2

.(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

)

3 4

Cn

'.(

1

d

)

3

V

4'

Cn

'.(

1

d

)

3

.(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

)

4 5 ……… ……… 6 ……… ……… n-1

Cn

'.(

1

d

)

n2

V

n'1

Cn

'.(

1

d

)

n2

.(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

)

n1 n

Cn

'.(

1

d

)

n1

Vn

'

Cn

'.(

1

d

)

n1

.(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

)

n

Este cuadro se explica de la siguiente forma:

Período 1: En este período, el valor futuro es el monto Cn’, el valor actual con descuento comercial simple, teniendo en cuenta que n=1, es:

)

1

'.(

' 1

Cn

d

V

Período 2: En este período, el monto es el valor actual del período anterior, o sea:

)

1

'.(

' 1

Cn

d

V

(22)

Pero el valor actual para este período y con n=1 es: 2 ' 1 ' 2

V

.(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

).(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

)

V

Período 3: En este período, el monto es el valor actual del período anterior, o sea:

2 '

2

Cn

'.(

1

d

)

V

Pero el valor actual para este período y con n=1 es:

3 2 ' 2 ' 3

V

.(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

)

.(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

)

V

Período 4: En este período, el monto es el valor actual del período anterior, o sea:

3 '

3

Cn

'.(

1

d

)

V

Pero el valor actual para este período y con n=1 es:

4 3 ' 3 ' 4

V

.(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

)

.(

1

d

)

Cn

'.(

1

d

)

V

Y así seguimos hasta que llegamos al penúltimo período, o sea:

Período n-1: En este período, el monto es el valor actual del período anterior, o sea:

2 ' 2

'.(

1

)

 

n n

Cn

d

V

Pero el valor actual para este período y con n=1 es:

1 2 ' 2 ' 1 

.(

1

)

'.(

1

)

.(

1

)

'.(

1

)

 

n

n

n n

V

d

Cn

d

d

Cn

d

V

Hasta que llegamos al último período, o sea:

Período n: En este período, el monto es el valor actual del período anterior, o sea:

1 ' 1

'.(

1

)

 

n n

Cn

d

V

Pero el valor actual para este período y con n=1 es:

n n n

d

Cn

d

d

Cn

d

V

Vn

'

'

.(

1

)

'.(

1

)

1

.(

1

)

'.(

1

)

1

 

Que es el valor actual para “n” períodos, o sea queVc’=Vn’, entonces

n

d

Cn

(23)

Por ejemplo:

Calcular el valor que se pagará de una deuda de $8.500, que se la hace efectiva 4 meses antes de su vencimiento con el 4% bimestral de descuento comercial compuesto y actualización mensual. Calcular también el descuento realizado.

Datos

Actualización: mensual y compuesta Cn’=$8.500 T=4 mesesn=4 R=4% bimestralR=2% mensuald=0,02 Incógnitas Vc’=? Dc’=?

Para calcular el valor actual con descuento comercial compuesto, se hace:

13

,

840

.

7

$

'

)

02

,

0

1

.(

500

.

8

$

'

)

1

'.(

'

Cn

d

Vc

4

Vc

Vc

n

Ahora, como se sabe, el descuento es la diferencia entre el monto y el valor actual, o sea:

87

,

659

$

'

13

,

840

.

7

$

500

.

8

$

'

'

'

'

Cn

Vc

Dc

Dc

Dc

FÓRMULAS DERIVADAS DEL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL

COMPUESTO

Indudablemente que para obtener las fórmulas derivadas del valor actual con descuento comercial compuesto, se debe partir de la fórmula principal y desde allí despejar las deseadas.

EL MONTO EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO

Partiendo de la fórmula principal, o sea:

n

d

Cn

Vc

'

'.(

1

)

Pasamos la potencia del binomio al primer miembro y queda la fórmula deseada:

'

'

(1

)

n

Vc

Cn

d

Por ejemplo:

Una persona descuenta un documento 30 días antes de su vencimiento y paga por él $3.250,45 con un descuento del 30% anual con actualización diaria y compuesta. ¿Cuál es el valor nominal del documento? ¿Cuánto fue el descuento comercial practicado?

Datos

Actualización: diaria y compuesta T=30 díasn=30

Vc’=$3.250,45

(24)

Incógnitas

Cn’=? Dc’=?

Calculamos el valor nominal del documento que es el monto. Para ello hacemos:

44

,

329

.

3

$

'

)

0008

,

0

1

(

45

,

250

.

3

$

'

)

1

(

'

'

30

Cn

Cn

d

Vc

Cn

n

Ahora, como se sabe, el descuento es la diferencia entre el monto y el valor actual, o sea:

99

,

78

$

'

45

,

250

.

3

$

44

,

329

.

3

$

'

'

'

'

Cn

Vc

Dc

Dc

Dc

EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO

Partiendo de la fórmula principal, o sea:

n

d

Cn

Vc

'

'.(

1

)

Pasamos el monto al primer miembro, queda:

(1)

)

1

(

'

'

d

n

Cn

Vc

Ahora tomamos logaritmo en ambos miembros, o sea:

'

'

log

)

1

log(

Cn

Vc

d

n

Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

'

log

'

log

)

1

log(

d

Vc

Cn

n

Y despejando el número de períodos se llega a la fórmula deseada, o sea:

log ' log

'

log(1

)

Vc

Cn

n

d

Por ejemplo:

¿Qué tiempo se debe adelantar el pago de una deuda de $5.200, pagándose $4.820,44, sabiendo que se le aplicó el 7% trimestral de descuento comercial compuesto y con actualización mensual? ¿Cuánto es el descuento practicado?

Datos

Actualización: mensual y compuesta Cn’=$5.200

Vc’=$4.820,44

(25)

Incógnitas

n=? Dc’=?

Calculemos el número de períodos usando la fórmula demostrada precedentemente, o sea:

meses

n

n

d

Cn

Vc

n

3

,

21

)

0233

,

0

1

log(

200

.

5

$

log

44

,

820

.

4

$

log

)

1

log(

'

log

'

log

Ahora, como se sabe, el descuento es la diferencia entre el monto y el valor actual, o sea:

56

,

379

$

'

44

,

820

.

4

$

200

.

5

$

'

'

'

'

Cn

Vc

Dc

Dc

Dc

LA RAZÓN EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO

Partiendo de la fórmula (1), o sea:

n

d

Cn

Vc

(

1

)

'

'

Pasamos el exponente al primer miembro, queda:

d

Cn

Vc

n

1

'

'

Haciendo una transposición de términos, se tiene:

n

Cn

Vc

d

'

'

1

Llegamos a la fórmula que nos permite calcular la tasa de descuento. Para calcular la razón hacemos:

%

100

%

100

R

R

d

d

Por ejemplo:

Se paga una deuda de $3.500 con un descuento comercial compuesto, 3 meses antes de su vencimiento, lo que nos permite abonar $2.766,77. Si la actualización es mensual ¿Cuál será el tanto por ciento aplicada a la dicha deuda? ¿Cuál será el descuento practicado?

Datos

Actualización: mensual y compuesta Cn’=$3.500 T=3 mesesn=3 Vc’=$2.766,77 Incógnitas R=? Dc’=?

(26)

Para poder calcular la razón, primero debemos calcular la tasa, o sea:

07

,

0

500

.

3

$

77

,

766

.

2

$

1

'

'

1

3

d

d

Cn

Vc

d

n

Ahora calculamos la razón con:

mensual

R

R

d

R

100

%

0

,

07

100

%

7

%

Ahora, como se sabe, el descuento es la diferencia entre el monto y el valor actual, o sea:

23

,

733

$

'

77

,

766

.

2

$

500

.

3

$

'

'

'

'

Cn

Vc

Dc

Dc

Dc

RELACIÓN ENTRE LA TASA DE INTERÉS Y LA TASA DE

DESCUENTO

Teniendo en cuenta las fórmulas del monto compuesto y del monto en el valor actual con descuento comercial compuesto, podemos establecer una relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento, o sea: n

i

Co

Cn

'

.(

1

)

n

d

Vc

Cn

)

1

(

'

'

Pero teniendo en cuenta que el capital inicial es lo mismo que el valor actual, se puede hacer:

n n

d

Co

i

Co

)

1

(

)

1

.(

Y aplicando la propiedad cancelativa, tenemos:

(2)

)

1

(

1

1

)

1

(

n n

d

i

PARA LA TASA DE INTERÉS

Partiendo de la relación (2) pasamos el exponente como índice de la raíz al segundo miembro, o sea: n n

d

i

1

1

1

Y resolviendo la raíz, se llega a:

d

i

1

1

1

(27)

Despejando la tasa de interés y sacando común denominador, se tiene:

d

d

i

1

1

1

Resolviendo se llega a la fórmula deseada:

d

d

i

1

PARA LA TASA DE DESCUENTO

Partiendo de la fórmula (2), despejamos el medio

(

1

d

)

n, o sea:

n n

i

d

)

1

(

1

)

1

(

Pasando el exponente “n” como índice al otro miembro, queda:

n n

i

d

1

1

1

Resolviendo la raíz y pasando el 1 al otro miembro, queda:

1

1

1

i

d

Y multiplicando ambos miembros por -1 y sacando común denominador, queda:

i

i

d

1

1

1

Y resolviendo se llega a la fórmula deseada:

i

i

d

1

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una persona paga un documento de $5.000 5 meses antes de su vencimiento con una tasa de descuento comercial compuesto de 2% mensual y actualización mensual. ¿Cuál es el valor que abona? ¿Cuál es el descuento realizado?

2. Se descuenta un documento que vence en 6 meses pagándose $2.532,45, sabiendo que se le practicó un descuento comercial compuesto del 8% trimestral y actualización mensual. ¿Cuál es el valor nominal del documento? ¿Cuánto es el descuento que se realizó?

(28)

3. Una persona que paga una deuda 90 días antes su vencimiento cuyo valor nominal es de $2.800 abonando $2.530,78 con una actualización diaria y un descuento comercial compuesto. ¿Cuál es el tanto por ciento aplicado al descuento? ¿Cuál es el valor del descuento?

4. Se descuenta un documento de $930,45 pagándose $855,30 con un descuento del 30% anual y actualización mensual y descuento comercial compuesto. ¿Cuántos días antes de su vencimiento se pagó la deuda? ¿Cuál es el valor del descuento realizado?

5. ¿Cuánto se percibirá por un documento de $550 que se descuenta 45 días antes de su vencimiento al 95% de interés anual con actualización diaria y compuesta? ¿Cuál será el descuento comercial realizado?

6. ¿Cuál será el valor nominal de un documento que descontado 40 días antes de su vencimiento, al 26% anual y que arrojó un valor actual de $2.440,80 con actualización diaria y compuesta? ¿Cuál será el descuento comercial realizado?

7. ¿Cuánto tiempo antes de su vencimiento se descontó un pagaré de $1.200 al 45% anual, si se obtuvo la suma de $995,90 como valor actual con actualización mensual y compuesta? ¿Cuál es el descuento comercial realizado?

8. ¿Cuánto percibirá un comerciante por el descuento comercial compuesto de dos documentos de $4000 y $5000 respectivamente, que vencen, el primero el día 15 de mayo y el otro el día 15 de junio, si la operación se efectuó el 10 de marzo a la tasa del 25% anual?

9. ¿A qué tasa anual se descontó un pagaré cuyo valor nominal es de $1.100 si se cobró 85 días antes de su vencimiento un valor actual de $875,50 si la actualización es mensual y compuesta con descuento comercial?

DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO

Desde el punto de vista matemático, se llama descuento comercial compuesto a la diferencia entre el monto compuesto o valor futuro y el valor actual, o sea:

(1)

'

'

'

Cn

Vc

Dc

Donde:

Dc’es el descuento comercial compuesto

Vc’es el valor actual con descuento comercial compuesto

Cn’es el valor futuro o monto y para el caso de los documentos, es el valor nominal

FÓRMULA PRINCIPAL DEL DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO EN BASE AL

MONTO

Teniendo en cuenta la fórmula (1) y la del valor actual con descuento comercial compuesto, o sea:

n

d

Cn

Vc

'

'.(

1

)

Y reemplazando esta última en la (1), se tiene:

n

d

Cn

Cn

Figure

Actualización...

Referencias

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