Departamento de Matemática
Laboratorio de Computación para las Aplicaciones de la Matemática en Ingeniería
Laboratorio Mat 270 - Análisis Numérico
TERCERA SESIÓN
Métodos directos o de factorización para sistemas lineales
Semana del Lunes 9 al 13 de Abril de 2018
Coordinador Académico del Laboratorio : Profesor Jaime Figueroa Nieto ([email protected]) Ayudante Coordinador y de Software : Hernán Caviedes ([email protected]), Gustavo
Ruiz ([email protected]) Sitio web : http://lab.mat.utfsm.cl
Atención Alumnos : Vía e-mail a los ayudantes de sala y ayudante coordinador.
Índice
1. Lo básico sobre matrices. 3
1.1. Construcción de Matrices. . . 3
1.2. Sacando parte de matrices. . . 3
1.3. Rediniendo la matriz cambiando las o columnas. . . 4
1.4. Operaciones con matrices. . . 4 2. Comando para la descomposición LU por pivote parcial. 5 3. Comando para la descomposición Cholesky de una matriz simétrica. 5 4. Una forma del control sobre interpolación, segundo semestre 2017. 7
1. Lo básico sobre matrices.
1.1. Construcción de Matrices.
MATLAB maneja todos los números como matrices. Por ejemplo, al hacera= 1, se está deniendo una matriz de 1x1 cuyo único elemento es el número 1:
clear a=1
Otra matriz
A=[0.1 4.3 6.8; 1.9 5.4 0.8]
Matriz a partir de otras matrices:
j=1:3; B(1,:)=sin(1+0.1*j); B(2,:)=sin(2+0.1*j); B Matriz Nula: zeros(4,8)
Matriz de números generados aleatoriamente:
rand(4,3)
Matriz Diagonal:
diag([1 2 3 4])
Matriz Triangular Inferior
T=zeros(8,8); for i=1:8 for j=1:8 if i<=j, T(i,j)=i+j-1; end end end T
1.2. Sacando parte de matrices.
Sea
clear format A=rand(6,7) A(4,:)
Saquemos el elemento en la la 5, columna 6
A(5,6)
Saquemos la submatriz entre las las 2 y 5, columnas 1 y 4:
A(2:5,1:4)
1.3. Rediniendo la matriz cambiando las o columnas.
Sea la matriz A:
clear all A=rand(6,7)
Queremos sustituir en la la 4 los elementos por los primeros números naturales. Formemos un vector con los primeros 7 números naturales:
siete=1:7
Ahora redenimos la la 4 por el vector
A(4,:)=siete; A
Hagamos lo mismo pero con la columna 5 que tiene 6 elementos. Formemos un vector con los primeros 6 números naturales
seis = [1:6]'
Note la comilla simple, esto traspone el vector. Ahora redenimos la columna 5 por el vector
A(:,5) = seis
Observe que el el elemento en la posición (4,7) cambió.
1.4. Operaciones con matrices.
Suma y producto: clear all A=rand(3,4) B=rand(4,5) 2*A A+3*A A*B
Transpuesta de una matriz:
A=[1 2 3 4;5 6 7 8] A'
Inversa de una matriz:
for i=1:5, for j=1:5, A(i,j)=1/(i+j-1); end end A inv(A)
Determinante de una matriz:
2.
Comando para la descomposición LU por pivote parcial.
El comando de lu() Matlab es, de hecho, el pivote parcial. Formemos una matriz aleatoria:
clear format long matriz=rand(3)
Apliquemos el comando lu:
[L U P]=lu(matriz)
Pes una matriz tal que:P·A=L·U. Por lo tanto, para obtener nuevamente la matriz original, aplicamos:
inv(P)*L*U matriz
3. Comando para la descomposición Cholesky de una matriz
simé-trica.
Teorema:
Una matriz cuadrada A es denida positiva y simétrica sí y solo sí existe una matriz invertible triangular inferior L de modo que :
A=L·LT ( factorización Cholesky ) (3.0.1)
Denición.
Una matriz A de orden n se dice denida positiva si su forma cuadrática asociada es positiva, esto es,xT·A·X >
0 , cualquiera seaX∈N vector columna no nulo.
Observaciones.
1. La propiedad denida positiva está asociada a varios operadores de la física matemática ( operadores autoadjuntos) a través de su discretización por diferencias nitas y por elementos nitos.
2. Aplicando el teorema de Taylor de varias variables se comprueba que f(X) ,X ∈ <n una función 2
veces continuamente diferenciable tiene un mínimo enX =X0 sí y solo sí la matriz Hessiana en ese
punto es denida positiva.
En MATLAB la descomposición de Cholesky se puede obtener directamente con el comando chol(A), donde A es una matriz cuadrada simétrica, denida positiva.
Generemos una matriz simétrica denida positiva a la cual aplicarle el comando anterior:
clear all mat=rand(5,5);
A=mat+mat'+diag([5 5 5 5 5])
OBSERVACIÓN: La matriz que se generó es la matriz simetrica A+AT a la cual se le suma una
diagonal positiva lo sucientemente grande como para hacerla diagonal dominante. Esa es necesariamente denida positiva. Al ser simétrica admite la descomposición Cholesky.
La respuesta es la matriz triangular superior. La transpuesta es la triangular inferior. Al multiplicar la inferior por la superior debe dar la matriz original:
prod=resp'*resp
Se obtiene la misma matriz de partida. Ejercicio.
Utilizando la factorización Cholesky obtenida calcule la solución del sistema: A·X = b , donde b = [4,2,0,0,4]T . Compare con la solución directa.
Ejercicio (Opcional).
4. Una forma del control sobre interpolación, segundo semestre
2017.
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Departamento de Matemática
Laboratorio de Computación para las Aplicaciones de la Matemática en Ingeniería LABORATORIO DE ANALISIS NUMERICO - MAT270 2 2017
SESION 3 y CONTROL 1 Tema: Aritmética Flotante y Ecuaciones. Tiempo: 80 minutos.
Puntaje: Señalado en cada pregunta. Objetivo: Aplicar deniciones y métodos Problema 1. (25 puntos)
Considere la elipsex2/4 +y2= 1y la familia de parábolay =cx2 en el primer cuadrante,c >0,0 < x <2.
Todas cortan la elipse. Parac= 0,5calcule el punto de intersección. Responda por la ordenada de ese punto de corte.
Problema 2. (25 puntos)
Plantear la ecuación que determina la abcisa x para cualquier c >0. Designarla f1=0. Plantear la ecuación: la longitud por la parábola desde el origen hasta el punto de intersección es igual a 1.5 . Designarla por f2 = 0. Calcule el residual de ( f1 , f2 ) para c =0.5 , x = 1.3, esto es, el valor de ( f1 , f2 ) para esos valores. Responda por la suma de esos valores.
Sugerencia:
Se recuerda que la longitud de la parábola está dada por: Longitud=Integral ( Raiz(1 + 4c2t2), ( t , 0 , x ) )
Problema 3 (25 puntos)
Calcule el jacobiano de ( f1 , f2 ) en el punto c =0.5 , x = 1.3 Responda por el valor del determinante. Problema 4. (25 puntos)
Calcule la primera iteración Newton aplicado al sistema f1=0 , f2= 0 para determinar ( x , c ) tomando como punto de partida c = 0.5 , x = 1.3 Responda por el valor de c.
Valparaiso, JFN Octubre 2017 Respuestas
