Unidad 3. Vibraciones de Sistemas de Un Grado de Libertad Con Excitación Armónica.

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Ingeniería Mecánica.

Ingeniería Mecánica.

Margarita Torres Flores

Margarita Torres Flores

12CS0100

12CS0100

Investigación:

Investigación:

Unidad 3. Vibraciones de sistemas de un grado de libertad

Unidad 3. Vibraciones de sistemas de un grado de libertad

con excitación armónica.

con excitación armónica.

Docente !ng. "os# $ub#n %#re& 'on&(le&.

Docente !ng. "os# $ub#n %#re& 'on&(le&.

Ciudad Serd(n %uebla) mar&o de 201*.

Ciudad Serd(n %uebla) mar&o de 201*.

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ÍNDICE.

ÍNDICE.

Unidad 3. Vibraciones de sistemas de un

Unidad 3. Vibraciones de sistemas de un grado de libertad con grado de libertad con excitaciónexcitación

armónica.+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++  armónica.+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++  3.1 ,n(lisis de un sistema su-eto a uer&a armónica externa.+++++++++++++++  3.1 ,n(lisis de un sistema su-eto a uer&a armónica externa.+++++++++++++++  3.2 Desbalanceo rotatorio / cabeceo de ecas

3.2 Desbalanceo rotatorio / cabeceo de ecas rotatorias / elementosrotatorias / elementos rotatios.+++++++

rotatios.+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++  3.3 xcitación

3.3 xcitación armónica en armónica en la la base.++++++++base.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++  3. ,islamient

3. ,islamiento de o de la ibla ibración+++++++++++++++++ración+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++  3.*.4 !nstrumentos de medición de ibraciones.++++++++++++++++++++++++++  3.*.4 !nstrumentos de medición de ibraciones.++++++++++++++++++++++++++ 

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Unidad 3. Vibraciones de sistemas de un grado de ibertad con e!citación

armónica.

Un sistema or&ado es a5uel 5ue se encuentra su-eto a uer&as o excitaciones externas. stas excitaciones 6ueden ser 

1.4 ,rmónicas 2.4 %eriódicas 3.4 Constantes .4 ,leatorias *.4 Co5ues

7as uer&as armónicas son de las m(s comunes) / se re6resentan 6or 

 F (t ) = F 

o sen

ω

t .

7a uente m(s com8n de excitación armónica es el desbalance en las

m(5uinas rotatorias. 7a excitación armónica 6uede ocurrir en la orma de una uer&a o des6la&amiento de alg8n 6unto del sistema.

3." #náisis de un sistema su$eto a %uer&a armónica e!terna.

Se dice 5ue un sistema mec(nico o estructural ex6erimenta ibración or&ada siem6re 5ue se suministra energ9a externa al sistema durante la ibración. 7a energ9a externa se 6uede suministrar /a sea mediante una uer&a a6licada o 6or una excitación de des6la&amiento im6uesta. 7a uer&a a6licada o la excitación de des6la&amiento 6ueden ser armónica) no armónica 6ero 6eriódica) no 6eriódica) o aleatoria. 7a res6uesta de un sistema a una excitación armónica se llama res6uesta armónica. 7a excitación no 6eriódica 6uede ser de larga o de corta duración.

7a res6uesta de un sistema din(mico a excitaciones no 6eriódicas re6entinamente a6licadas se llama res6uesta transitoria.

cuación de moimiento.

Si una uer&a F:t; act8a en un sistema de resorte4masa iscosamente amortiguado) la ecuación de moimiento se 6uede obtener a6licando la segunda le/ de <e=ton

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Como esta ecuación no es omog#nea) la suma de la solución omog#nea x:t; / la solución 6articular) x6:t; 6ro6orciona la solución general. 7a solución omog#nea) la cu(l es la solución de la ecuación omog#nea.

$e6resenta la ibración libre del sistema. sta ibración libre s e reduce con el tiem6o en cada una de las tres 6osibles condiciones de amortiguamiento :subamortiguamiento) amortiguamiento cr9tico / sobreamortiguamiento; / en todas las 6osibles condiciones in9ciales. %or tanto) la solución general se reduce en 8ltimo t#rmino a la solución 6art9cula x6:t;) la cual re6resenta la ibración de estado estable. l moimiento de estado estable est( 6resente mientras la unción or&ada est( 6resente. 7a 6arte de moimiento 5ue se reduce a causa del amortiguamiento :la 6arte de ibración libre; se llama transitoria. l ritmo al cual el moimiento transitorio se reduce de6ende de los alores de los 6ar(metros del sistema >) c / m.

n general un sistema en ibración or&ada se re6resenta como sigue

$ecordando 5ue en el moimiento armónico la elocidad / la aceleración se encuentran adelantadas con res6ecto al des6la&amiento en ?0@ / 1A0@ res6ectiamente) los t#rminos de la ecuación dierencial se 6ueden re6resentar  gr(icamente 6or

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Del diagrama anterior encontramos 5ue

7as ex6resiones anteriores se 6ueden re6resentar en orma adimensional considerando 5ue

Sustitu/endo las ecuaciones anteriores se obtiene lo siguiente

$e6resentando gr(icamente como se indica a continuación

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7as curas anteriores nos muestran 5ue el actor de amortiguamiento ζ tiene gran inluencia sobre la am6litud / el (ngulo de ase) en la región de la recuencia 6róxima a la resonancia(ω /ωn = 1).

De acuerdo con lo anterior se tienen tres casos l9mite a).-

ω

/

ω

n << 1 , (

φ

=

0o)

n este caso las uer&as de inercia / amortiguamiento son 6e5ueBas) 6or lo 5ue se traduce en un 6e5ueBo (ngulo de ase

φ

) siendo la magnitud de la uer&a global casi igual a la uer&a del resorte) 6or lo 5ue  F ≅k .

b). - ω/ωn = 1, (φ=90 )

n este caso la uer&a de inercia 5ue aora es ma/or) es e5uilibrada 6or la uer&a de resorte mientras 5ue la uer&a a6licada su6era la uer&a de amortiguación. 7a am6litud de resonancia se determina 6or la ecuación 5uedando

c).- ω D ωn >> 1, (φ = 1A0 )

n este caso la inercia se encarga de e5uilibrar la uer&a) 6or lo 5ue F ≅ m

o

o

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n resumen la solución general de la ecuación dierencial es

3.' Desbaanceo rotatorio ( cabeceo de %ec)as rotatorias ( eementos

rotativos.

Desbaance

rotatorio.

l desbalance rotatorio es una de las causas m(s comunes de ibración en las m(5uinas) / se debe a 5ue el centro de graedad no coincide con el e-e de rotación. sto se 6uede obserar en la siguiente igura

Consideremos el siguiente sistema resorte4masa restringido a moerse en la dirección ertical / excitado 6or una masa rotatoria no balanceada tal / como se muestra en la siguiente igura

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De la igura tenemos 5ue m = masa que gira

Movimiento de m : x+ e senωt 

 M − m = masa que no gira

Movimiento de M − m : x

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Cabeceo de %ec)as rotatorias.

l cabeceo :whirling ; es la rotación del 6lano reali&ado 6or el e-e lexionado con res6ecto a la l9nea de centros de los co-inetes.

sto 6uede re6resentarse como sigue

 ,nali&ando el disco de masa m de la igura anterior tenemos

Posición de s : ( x s, y s)

Posición de G : ( x s + ecos

ω

t , y

 s + e sen

ω

t )

n el cabeceo sincroni&ado O ,  s y G se mantienen i-os entre s9 6ara

ω

constante.

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3.3 E!citación armónica en a base.

Frecuentemente se tienen e5ui6os o 6artes de e5ui6os 5ue son excitados armónicamente a tra#s de una base el(stica) la 5ue 6uede ser modelada 6or  resortes / amortiguadores. %or e-em6lo) la sus6ensión de un automóil 5ue es excitada armónicamente 6or la su6ercie del camino) la 5ue se 6uede modelar  6or un resorte lineal en 6aralelo a un amortiguador iscoso. Gtros e-em6los son las gomas de monta-e de motores 5ue se6aran el motor del automóil de su marco o el motor de un aión de sus alas. Tales sistemas se 6ueden modelar 

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considerando 5ue el sistema es excitado 6or el moimiento de la base. ste 6roblema de excitación 6or la base es ilustrado en la Figura 3.1.

7a ecuación de moimiento 6ara este sistema iene dada 6or

mx¨ + c(x˙ − y˙ )+ k(x y) = 0.

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3.* #isamiento de a vibración

l aislamiento de la ibración es un 6rocedimiento mediante el cual se reducen los eectos indeseables de ibración. H(sicamente) im6lica la inserción de un miembro el(stico :o aislador; entre la masa ibratoria :e5ui6o o carga 8til; / la I

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uente de ibración de modo 5ue se logre una reducción de la res6uesta din(mica del sistema sometido a condiciones es6ec9cas de excitación 6or  ibración. Se dice 5ue un sistema de aislamiento es actio o 6asio seg8n si se re5uiere o no 6otencia externa 6ara 5ue el aislador realice su unción.

Un aislador 6asio se com6one de un miembro el(stico :rigide&; / un disi6ador  de energ9a :amortiguamiento;. ,lgunos e-em6los de aisladores 6asios com6renden resortes met(licos) corcos) eltro) resortes neum(ticos / resortes elastom#ricos :cauco;. Un aislador actio se com6one de un seromecanismo con un sensor) un 6rocesador de seBales / un actuador. l aislamiento de ibración se 6uede utili&ar en dos ti6os de situaciones.

n el 6rimer ti6o) el cimiento o base de una m(5uina ibratoria se 6rotege contra grandes uer&as desbalanceadas. n el segundo ti6o) el sistema se 6rotege contra el moimiento de su cimiento o base. l 6rimer ti6o de aislamiento se utili&a cuando una masa :o m(5uina; se somete a una uer&a o excitación. %or e-em6lo) en 6rensas de or-a / estam6ado) grandes uer&as im6ulsoras act8an en el ob-eto 5ue se est( ormando o estam6ando.

stos im6actos se transmiten a la base o cimiento 6ero tambi#n a las estructuras o m(5uinas circundantes o cercanas. Tambi#n 6ueden 6roocar  incomodidad a los o6erarios de m(5uinas. ,simismo) en el caso de m(5uinas reci6rocantes / rotatorias) las uer&as desbalanceadas inerentes se transmiten a la base o cimiento de la m(5uina. n tales casos) la uer&a transmitida a la base) Ft:t; ar9a armónicamente) / los esuer&os resultantes en los 6ernos tambi#n ar9an armónicamente) lo 5ue 6odr9a 6roocar allas 6or (tiga.

l aislamiento de ibraciones 6uede tener 2 ob-etios alternatiosJ ,islar a la m(5uina de las ibraciones ambientalesJ $educir las ibraciones 5ue la misma m(5uina genera en su entorno. 7a ibración excesia 6uede 6roocar un allo 6rematuro de la ma5uinaria) atiga estructural de los so6ortes) / el aumento de ruido

7a inter6osición de aisladores a6ro6iados entre la estructura so6orte / el material garanti&a en general dos unciones4 Una unción est(tica signiicatia) 5ue 6ermite una me-or distribución de las cargas absorbiendo ciertas tolerancias de abricación) 6ermitiendo as9 reali&aciones m(s seguras / m(s A

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económicas.4 Una unción din(mica) reali&ando un aislamiento de ibraciones / co5ues 5ue me-ora sosteniblemente el conort ibratorio circundante / el tiem6o de ida de los e5ui6os.

#isamiento activo

%ara concretar el aislamiento actio se debe diseBar un controlador 5ue genere una seBal 5ue 6ermita al actuador eliminar o reducir al m(ximo las ibraciones) de esta manera) el sistema actio 6uede ser isto como un sistema 5ue continuamente est( recalculando su ca6acidad de disi6ación seg8n la 6erturbación 6redominante. l control actio inolucra es uso de una uente de energ9a externa) sensores) actuadores / alg8n ti6o de sistema de control electrónico con el ob-eto es6ec9ico de reducir o mantener los nieles de ibración dentro de los m(rgenes deinidos 6reiamente.

Un sistema de aislamiento actio de ibraciones 6uede considerarse como un sistema en el cual las uer&as disi6atias son recalculadas continuamente 6ara obtener las caracter9sticas de uncionamiento deseadas. 7as enta-as 6rinci6ales sonJ Suministran o disi6an energ9a cuando se re5uiere.J %ermiten atenuar ibraciones en un rango am6lio de recuencias.J Toleran dierentes ti6os de 6erturbaciones.

#isadores de amo)adia

st(n ecos de ca6as de materiales lexibles diseBados 6ara amortiguar los nieles de ibración en a6licaciones 5ue no son cr9ticas) tales como 'eneradores montados en su 6ro6ia caseta de exteriores) o donde se usan aisladores integrados en el generador. 7os aisladores de almoadilla ar9an en su eectiidad) 6ero son a6roximadamente I*Keicientes.

#isadores de resorte

ntre los aisladores de resorte tenemos • $esortes de metal

• $esortes elicoidales • $esortes de anillo • $esortes ti6o arandela

• $esortes de malla de alambre

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#isadores de aire

Un aislador de aire) :o resorte de aire; es una columna de gas coninada en un contenedor diseBado 6ara utili&ar la 6resión del gas como el medio de uer&a del resorte.

#isadores +ásticos

7os aisladores abricados de 6l(stico resistentes est(n dis6onibles / tienen caracter9sticas de rendimiento similares a los de goma / alg8n ti6o de aislador  de metal en la coniguración e5uialente. 7os m(s utili&ados son los materiales de 6olietileno 6ara los elementos estructurales / de est9renlo 6ara elastómeros resistentes.

#isadores eastómeros

Un elastómero es un 6ol9metro 5ue cuenta con la 6articularidad de ser mu/ el(stico 6udiendo incluso) recu6erar su orma luego de ser deormado. Debido a estas caracter9sticas) los elastómeros) son el material b(sico de abricación

3.,.- Instrumentos de medición de vibraciones.

7as mediciones 5ue se an a medir 6ueden clasiicarse como a;.4 %eriódicas

b;.4 De co5ue

De estos moimientos el 6eriódico es el m(s conocido) / los instrumentos utili&ados 6ara medir la recuencia) am6litud) elocidad) aceleración) o 6endiente de onda) est(n bien desarrollados.

n la medición de co5ues) solamente son de inter#s los alores 6ico. n el caso de los moimientos casuales) es deseable el es6ectro de recuencia del alor cuadr(tico medio) siendo los instrumentos utili&ados 6ara estas mediciones de gran com6le-idad / de reciente desarrollo.

7a medición de la Vibración tambi#n se 6uede denir como el estudio de las oscilaciones mec(nicas de un sistema din(mico. 7as mediciones de ibración deben ser ecas con la nalidad de 6roducir los datos necesarios) 6ara reali&ar signicatias conclusiones del sistema ba-o 6rueba.

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stos datos 6ueden ser usados 6ara minimi&ar o eliminar la ibración) / 6or  tanto eliminar el ruido resultante.

n algunas a6licaciones) el ruido no es el 6ar(metro a controlar) sino la calidad del 6roducto obtenido 6or el sistema. Un sistema de medición / 6rocesamiento de seBales de ibración 6or com6utadora t96ica) est( ormado 6or

7os transductores de ibraciones :,celerómetros) 7VDTs) Sondas de Corriente dd/; los cuales son los encargados de transormar las ibraciones en seBales el#ctricas.

Un sistema de acondicionamiento de seBal) el cual se encarga de recoger las dierentes seBales) am6licarlas / llearlas a los nieles de tensión ace6tados 6or el sistema de ad5uisición de datos.

7a tar-eta de ad5uisición de datos) la cual se encarga de digitali&ar la seBal) reali&ando 6ara ello) un muestreo discreto de la seBal analógica 6roeniente del acondicionamiento de seBal) / de introducirla al com6utador donde se reali&an dierentes ti6os de 6rocesamiento 6ara obtener toda la inormación 5ue se re5uiere 6ara el an(lisis / monitoreo de las ibraciones de las m(5uinas.

7os 6ar(metros caracter9sticos de las ibraciones son

 Des6la&amiento !ndica la cantidad de moimiento 5ue la masa ex6erimenta con res6ecto a su 6osición de re6oso.

 %eriodo s el tiem6o 5ue tarda masa en reali&ar un ciclo com6leto.

 Frecuencia s el n8mero de ciclos 5ue ocurren en una unidad de tiem6o.

 Velocidad Se reiere a la 6ro6orción del cambio de elocidad con res6ecto al tiem6o

  ,celeración %ro6orciona la medida del cambio de la elocidad res6ecto al tiem6o

7os e5ui6os 5ue se utili&an 6ara reali&ar medidas son similares a los 5ue se muestran a continuación

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• Un sonómetro es un instrumento 5ue res6onde ante un sonido de orma a6roximada a como lo ar9a el o9do umano) / se utili&a 6ara medir el niel de 6resión sonora.

• 7os acelerómetros se utili&an 6ara medir las ibraciones 6roducidas 6or  m(5uinas e instalaciones.

• l anali&ador de es6ectros 6ermite reali&ar el an(lisis de las seBales sonoras / de ibraciones.

• 7os calibradores se utili&an 6ara asegurar la iabilidad de los e5ui6os. l calibrador genera un tono estable de niel a una recuencia 6redeterminada / se a-usta a la lectura del e5ui6o aci#ndola coincidir  con el niel 6atrón generado 6or el calibrador.

%ara 5ue los e5ui6os sean (lidos 6ara reali&ar la medición deben 6asar unas eriicaciones / com6robaciones 5ue garanticen el buen estado de los e5ui6os

7os sonómetros / los calibradores tienen 5ue tener un certiicado de eriicación 6rimitia :acilitado 6or el abricante en el momento 5ue se ad5uiere el e5ui6o;.

 ,dem(s de orma anual deben 6asar una eriicación 6eriódica 6ara com6robar  5ue los e5ui6os siguen en 6erecto estado de uncionamiento.

l e5ui6o tiene 5ue tener una 6egatina donde se rele-e todas las eriicaciones del instrumento.

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Referencias