Geometría Nivel San Marcos - Teoría (1).pdf

SNII2G0

GEOMETRÍA

TEMA 0

SEGMENTOS, ÁNGULOS

Y TRIÁNGULOS NOTABLES

DESARROLLO DEL TEMA

A B P Bisectriz O q_q P _Q R B A a b a O x b x=90° a a q q q q a a m x n L₁ L₂ O _B A P Q R x=45° x a a b b • C_q: complemento de q • C_q = 90 − q • CC_q = q • CCC_q = 90 − q • CCCC_q = q • S_q: suplemento de q • S_q = 180 − q • SS_q = q • SSS_q = 180 − q • SSSS_q = q L₁//L₂ • a + q = 180° • x = m + n

ÁNGULOS

SEGMENTOS, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS NOTABLES

45° 45° a a a 2 53° 37° 4k 3k 5k 12m 5m 13m b a a b a a 60° 30° a 2a a 3 53/2 a 2a a 5 24a 7a 25a 15k 8u 17k 75° 15° h 4h 37/2 a 3a a 10 a a a 2a

TRIÁNGULOS NOTABLES

TRIÁNGULOS APROXIMADOS

TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS

PROPIEDADES DE LA MEDIANA

RELATIVA A LA HIPOTENUSA

PROPIEDAD BISECTRIZ

PROPIEDAD MEDIATRIZ

SEGMENTOS, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS NOTABLES

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Calcula x. C A B 45° 30° 10 A) x = 5 4 B) x = 5 2 C) x = 5 6 D) x = 5 9 E) x = 5 8 Resolución: C A B 45°60° 45° 30° 5 x 10 5 H • Se traza la altura BH • (BHC) → notable BH = 5 • (AHB) → notable x = 5 2 Respuesta: x = 5 2 Problema 2 C A Q B 10 4 P R x

Calcula x, si el i ABC es equilátero. A) x = 5 4 B) 11 = x C) 13 = x D) 12 = x E) x = 5 8 Resolución: C A Q B 60° 60° 60° 30° 30° 10 4 P 8 14 6 3 R x 14 • BQP y PRC son notables • 14 = x + 3 11 = x Respuesta: 11 = x Problema 3 Calcule x, si PQRS es un cuadrado. C A Q B 15° x P R 20 S x A) x = 4 B) x = 3 C) x = 8 D) x = 5 E) x = 6 Resolución: C A Q B 15° x P R 20 S H L 15° 75° 75° 4L 4L 4L L 15° 75°

En los QBR y ABC → son notables de (15° y 75°) Sabemos: 4K K 15° 75° Propiedad: BH = 4L + L ↓ 5 = 5L → L = 1 x = 4L → x = 4 Respuesta: x = 4

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E tal que “C” es un punto medio de AE, AC = BD y AD + BE = 15 u. Calcular AD.

A) 3 u B) 4 u C) 5 u D) 6 u E) 8 u

2. Sobre una línea recta ubican los puntos consecutivos A, B, C, D tal que AC = 20 u y BD = 16 u.

Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de AB y CD.

A) 16 u B) 15 u C) 17 u D) 10 u E) 18 u

3. Sobre una línea recta ubican los puntos consecutivos A, B y C. Sea “M” el punto medio de AB, “N” punto medio de BC y “p” punto medio de MN. Calcular BP sabiendo que BC − AB = 24 u.

A) 6 u B) 8 u C) 10 u D) 12 u E) 15 u

4. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D donde: AB × BD =AC × CD. Hallar el valor de: AB2 _{+ CD}2 AB × CD E = A) 2 B) 4 C) 1 D) 0 E) 1,5

SEGMENTOS, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS NOTABLES

5. Si un ángulo se le resta su complemento resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la medida del ángulo. A) 135° B) 70° C) 80° D) 60° E) 90°

6. Calcular el suplemento de la suma de dos ángulo, sabiendo que la suma entre el complemento de uno de ellos y el suplemento del otro es igual a 150°.

A) 60° B) 30° C) 90° D) 120° E) 150°

7. Si a la medida de uno de dos ángulos complementarios se le disminuye 18° para agregárselo a la medida del otro, la medida de este último ángulo resulta ser ocho veces lo que queda de la medida del primero. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos?

A) 88° B) 62° C) 72° D) 28° E) 75°

8. Alrededor de un punto “O“ se trazan los rayos coplanares: OA, OB, OC y OE determinándose 5 ángulos consecutivos; tal que el segundo ángulo es el doble del primero y la tercera parte del quinto, el tercero es 10° menos que la suma de los 2 primeros ángulos y el cuarto excede en 20° a la suma de los 3 primeros. Halle el mayor ángulo.

A) 130° B) 120° C) 50° D) 160° E) 40°

9. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan las bisectrices OP y OQ de los ángulos AOB y COD respectivamente. Si POQ mide 70° y BOD mide 120°. Hallar la medida del ángulo AOC. A) 60° B) 20° C) 40° D) 50° E) 30°

10. En la figura, calcular la suma de los valores de “y” cuando “x” toma su máximo y mínimo valor enteros.

2x–y y–x x+y A) 88° B) 96° C) 110° D) 135° E) 150° 11. Hallar “x”, si L₁//L₂. 2q 3q 115° x L₁ L2 A) 80° B) 60° C) 62° D) 79° E) 81° 12. Si L₁//L₂ y a° + b° = 250°, hallar “x”. q x L₁ L₂ L₃ a b q a a A) 45° B) 30° C) 55° D) 60° E) 53°

SNII2G1

GEOMETRÍA

TEMA 1

TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOTABLES

DESARROLLO DEL TEMA

TRIÁNGULO

A B C Elementos: • Vértices: A, B, C • Lados: AB, BC, AC Definición: Perímetro = 2p 2p = AB + BC + AC. Nótese: parte sombreada es la región interior

Observación:

(Región interior) ∪ (iABC) = Región triangular ABC

I. CLASIFICACIÓN

1. Por la medida de sus lados:

a ≠ b ≠ c c a b Escaleno b a a Isósceles a a a q q q q = 60° Equilátero

2. Por la medida de sus ángulos interiores

A) Oblicuángulos 0 < a, b, f < 90° a f b a, b, f: agudos Acutángulos 90° < q < 180° q q: obtuso Obtusángulos B) Rectángulos q = 90° f f: ángulo recto

TRIÁNGULO Y LÍNEAS NOTABLES

II. TEOREMAS BÁSICOS

* Existencia c a b b – a < c < b + a Observación: A B C T p < TA + TB + TC < 2p * Correspondencia b a a b Si a > b ⇒ a > b a q b q = a + b a b q a + b = q + 180° a + b = q + g g q a b f a + b = q + f a q b Observaciones: A 90–q C B 2q iABC: isósceles A a a B C AB = BC a b a b = 90°

TRIÁNGULO Y LÍNEAS NOTABLES

LÍNEAS NOTABLES

• Ceviana B A D C F BD: Ceviana interior BF: Ceviana exterior • Altura A B H C BH: Altura Observación: A B F H D C H: ortocentro m∠BCA = m∠AHD • Bisectriz B A F C J a a q _q

AF: Bisectriz interior BJ: Bisectriz exterior Observación: I: Incentro m∠AIC = 90 + B2 A B I C Observación: A B E C E: Ercentro m∠AEC = B2 A B C E E: Excentro m∠BEC = 90 – A2 • Mediatriz A B C M L AM = MC

L: Mediatriz respecto a el lado AC

Observación: A B C M O L₂ L₁ L1 y L2 mediatrices O: Circuncentro del iABC

TRIÁNGULO Y LÍNEAS NOTABLES

Problema 1

En el gráfico AB = BC = AC, calcula "x".

a a w M x B R Q N 40° 40° 80° 60° 80° C A P SAN MARCOS 1996 NIVEL DIFÍCIL Resolución:

• Del dato se observa que el iABC es equilátero. • m∠PQC = 40° • Sea m∠MNP = w ⇒ iRQN : a + w + 40° = 180° a + w = 140° • iMNP: x + w + a = 180 → x + 140° = 180° x = 40° Respuesta: 40° Problema 2

En la siguiente figura, calcula "x".

2q a 2a q A x B C P SAN MARCOS 1998 NIVEL FÁCIL Resolución:

• Del gráfico se observa: APC: 2q + 2a = 90° q + a = 45° • En la figura ABCP: a + x + q = 90° a + q + x = 90° 45° + x = 90° x = 45° Respuesta: 45° Problema 3 Calcular "BQ", si PH = 2u y BH = 7u. C Q P B H A a a A) 2 u B) 5 u C) 6 u D) 3 u E) 4 u Resolución: C Q P 2 5 x q q q B H A a a • Sea m∠APH = q = m∠BPQ ⇒ m∠BQA = q • El triángulo PBQ (isósceles) BP = BQ ∴ x = 5u Respuesta: 5u

PROBLEMAS RESUELTOS

• Mediana A B C M Si AM = MC ⇒ BM: mediana Observación: A B T N C M E G: Baricentro Se cumple: BG = 2GM AG = 2GN CG = 2GT Observación: 2m m A B I

I: Incentro del iABC A

B E

m

2m

C E: Excentro del iABC

m nnK x mK a x = a K

TRIÁNGULO Y LÍNEAS NOTABLES

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. En un triángulo ABC, sobre la prolongación del lado CB se ubica el punto Q, tal que la medida del suplemento del ángulo AQC es el doble de la medida del ∠ ACB. Calcular QB. Si: AQ = 9 y BC = 7

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

2. En el gráfico, calcular: x° + y° + z° q a a q 2q 2a z y x w w2w A) 180 B) 240 C) 360 D) 520 E) NA

3. En un triángulo ABC, el lado BC excede en 10 unidades al lado AB. Halle el menor valor entero de el lado AB, si AC = 15 y AC > AB A) 2 B) 4 C) 5 D) 3 E) 1 4. Hallar “x” I: Incentro A B C I 2x 3x A) 45 B) 50 C) 55 D) 15 E) N.A. 5. En la figura calcular “x” 60 x 2x A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) N.A.

PROFUNDIZACIÓN

6. En la figura mostrada, calcular: a + b + c + d + e + f + g b c d e f g a A) 720º B) 900º C) 540º D) 1800º E) 96º

7. Según el gráfico, calcule “x”

45° a a _q q x 50° A) 135º B) 95º C) 150º D) 100º E) 110º

8. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 y 13. Calcular su perímetro A) 23 B) 31 C) 26 y 31 D) 18 E) NA 9. En el gráfico: PA = 2 y BR – RC = 3. Calcule PQ C R 2q 3q B A _Q P q q A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) NA

SISTEMATIZACIÓN

10. En la figura, calcule: “x”. x x x x x A) 144º B) 150º C) 136º D) 160º E) 120º 11. En la figura hallar “x” 12q 4q 3q x A) 10 B) 20 C) 30 D) 50 E) N.A.

12. Calcule “x” sabiendo que es entero, AB = AE = CD x C B A E 4° D A) 82º B) 83° C) 84° D) 85° E) 86°

SNII2G2

GEOMETRÍA

TEMA 2

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DESARROLLO DEL TEMA

I. DEFINICIÓN

Son dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente de igual medida y, además, sus lados correspondientes de igual longitud (ángulos y lados homólogos).

A _b C B a c b a q A' _b C' B' a c b a q Entonces: m\ABC = m\A'B'C' BC = B'C'

m\BAC = m\B'A'C' y AB = A'B'

m\ACB = m\A'C'B' CA = C'A'

II. CASOS DE CONGRUENCIA

Para poder afirmar que dos triángulos son congruentes, es necesario que tres elementos en uno de ellos sean de igual medida que los tres elementos correspondientes en el otro triángulo, de los que, por lo menos uno, debe ser un lado.

Los casos más comunes son:

A. Lado-Ángulo-Lado (L. A. L.)

Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo interior de igual medida y, ademas, los lados que determinan a dichos ángulos son, respectivamente, de igual longitud.

Nota:

Para la congruencia de dos triángulos, existen siempre tres condiciones. De estas nunca debe faltar un par de lados correspondientes congruentes.

Solo cuando se demuestra que dos triángulos son congruentes, se puede afirmar que a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes y viceversa. C A c a B b q C' A' c a B' b q Si m\BAC = m\B'A'C' AB = A'B', AC = A'C' → i ABC ≅ iA'B'C'

B. Ángulo-lado-ángulo (A. L. A.)

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado de igual longitud y, además, los ángulos adyacentes a dichos lados son, respectivamente, de igual medida.

C A B b b q C' A' B' b b q Si AC = A'C' m\BAC = m\B'A'C' m\ACB = m\A'C'B' → i ABC ≅ iA'B'C'

C. Lado-lado-lado (L. L. L.)

Dos triángulos son congruentes si sus lados son, respectivamente, de igual longitud.

C A c a B b q C' A' c a B' b q Si AB = A'B' BC = B'C' _{→ i ABC ≅ iA'B'C'} AC = A'C'

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

III. APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA

A. Teorema de la bisectriz

Todo punto que pertence a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.

m

Q

B

d

P

R

d

bisectriz

A

H

m

O

q

q

Sea: OP Bisectriz del \AOB Si: RE OP, RH OA y RQ OB → RH = RQ

Además: OH = OQ

B. Teorema de la mediatriz

Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento.

m

m

d

d

P

L

B

A

Sea: L mediatriz del segmento AB. Si: PE L

→ PA = PB • Observación:

Los siguientes triángulos son isósceles.

q q q q m m m m • Consecuencia: m m b a n n f g a a q = b a = b g = f →

IV. BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO

Definición

Es el segmento que tiene por extremos, los puntos medios de dos lados de un triángulo, al tener lados se le denomina base.

1. Teorema de la base media

En todo triángulo, una base media es paralela a la base y su longitud es la mitad de la longitud de dicha base. b 2 M m n n b A N C B m En la figura si: AM = MB y BN = NC MN : base media Entonces: MN // AC y MN =AC₂

2. Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa

En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de dicha hipotenusa.

m m A B m M C En la figura

BM : mediana relativa a la hipotenusa a AC del ABC. Entonces: BM = AC₂

Observación:

Dos triángulos rectángulos serán congruentes, cuando tengan dos elementos básicos congruentes, estos dos elementos son suficientes ya que siempre existirá el ángulo recto.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados forman una progresión aritmética de razón 4 u. A) 30 u B) 25 u C) 32 u D) 20 u E) 41 u UNMSM 1998 NIVEL FÁCIL Resolución: a–4 a a+4 Planteamiento: Piden a + 4 Análisis de los datos: Del gráfico: (a–4)2_+a2_=(a+4)2 a2 _{= (a+4)}2_–(a–4)2 a2 _{= 4(a)(4)} a = 16 ∴ a + 4 = 16 + 4 = 20u Respuesta: 20 u Problema 2

El iABC es equilátero. Hallar RS si: AP = PC = 8 3m. A) 10 m B) 13 m C) 15 m D) 12 m E) 14 m UNMSM 2000 NIVEL DIFÍCIL Q C P S A R B Q Resolución: 60° B 30° Q C 60° 30° x S 60° A _P 30° R 12 3 16 3 4 3 8 3 8 3 6 3 10 3 16 3 Planteamiento: Piden RS = x Análisis de los datos:

AP = PC = 8 3 → AB = BC = AC = 16 3 En PQC (30° y 60°) → QC = 4 3 En RBQ (30° y 60°) → RB = 6 3 En ARS (30° y 60°) → AS = 5 3 ∴ x = 5 3 NOx = 15m P J K L 3 Respuesta: 15 m Problema 3 Si AB = BM y AM = MC. Hallar x. B 2a A _M x C a A) 20° B) 15° C) 25° D) 10° E) 30° UNMSM 2003 NIVEL INTERMEDIO Resolución: a M H A 2a 2a a a P C x B 2 a aaa Planteamiento: x Análisis de los datos: iABM (isósceles)

AH=HM=a → m∠ABH=m∠HBM=a Entonces: AM = MC = 2a

Trazamos: MP BC

Por el teorema de la bisectriz: MH = PM = a ∴ MPC(not 30° y 60°)

x = 30°

Respuesta: 30°

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. En la figura, calcule el valor de “x”. 6 5 5 7 2x a 7 a A) 3 B) 4 C) 6 D) 5 E) 7

2. En la figura, halle el valor de x.

a q 6–x 2+3x q a A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. En la figura, calcule a: 3a 36° A) 10° B) 14° C) 15° D) 12° E) 16°

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

4. Determine x, si AB=CD, AD=EC. B 70° x E 40° 40° A _D C A) 37° B) 30° C) 25° D) 42° E) 45°

5. Si: AB=CD y AC=BE, Calcule q.

50° D A _45°35° E C B q A) 12° B) 10° C) 15° D) 13° E) 18°

PROFUNDIZACIÓN

6. Calcule q, si AB = DE y AE = CD. 70° D E A 70° B C q A) 40° B) 25° C) 45° D) 35° E) 55°

7. Del gráfico mostrado, calcule q.

10° 10° 20° 20° q A) 72° B) 64° C) 60° D) 80° E) 70° 8. Si: AD = CD, calcule x. x A D C B 70° A) 74° B) 72° C) 70° D) 65° E) 80°

9. Los triángulos ABC y PQC son equiláteros, calcule x. x Q B P A _C 96° A) 30° B) 24° C) 36° D) 25° E) 18°

SISTEMATIZACIÓN

10. En un triángulo escaleno ABC, se traza la mediana CM; en el triángulo BMC se traza la mediana BN, de manera que BN = 18. Sobre AC se ubica un punto “P” de modo que MP//BN; calcule MP.

A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 6

11. En la figura BP = AC. Calcule x, si AM = MB y PN = NC. x A _H P x M B C N A) 60° B) 45° C) 53° D) 75° E) 67°30’

12. Los lados de un triángulo miden 13; 14 y 15 unidades, se trazan dos bisectrices exteriores de ángulos diferentes y desde el tercer vértice se trazan perpendiculares a estas bisectrices. Calcule la longitud del segmento que une los pies de las perpendiculares.

A) 15 B) 16 C) 18 D) 21 E) 24

SNII2G3

GEOMETRÍA

TEMA 3

CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS

DESARROLLO DEL TEMA

POLÍGONOS

a b c d e a a a a a L L L L L a a a a a Convexos No convexos Equiláteros Equiángulos Regulares ° ° ° ° ° n(n 3) #D ₂ s i 180 (n 2) 180 (n 2) i _n s e 360 360 e _n 360 c n n(n 1) #D ₂      – = = – – = = = = – =

CUADRILÁTEROS

I. DEFINICIÓN

Son aquellas figuras determinadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares, que se intersectan dos a dos. Los segmentos que se determinan son sus lados y los puntos de intersección son sus vértices.

A A° B C D B° C° D° Convexo A°+B°+C°+D° = 360°

x° = a°+b°+q° A B C D x° No convexo

II. CLASIFICACIÓN

A. Trapezoides

A D C B Trapezoide asimétrico

CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS

B A C D Trapezoide simétrico

B. Trapecios

B A C D Bases // BC_{}AD B A C D T. Escaleno B A C D a a B A C D T. Isósceles T. Rectángulo

C. Paralelogramos

B a° A C D b° b° a° AB // CD BC // AD B A C D a≠90° Romboide A D B C Rombo B A C D B A C D Rectángulo Cuadrado

III. PROPIEDADES BÁSICAS

A. En el Trapecio

M N a b MN = a+b₂ MN: Base media MN // Bases a b P Q PQ = a–b₂ PQ // Bases

B. En el Paralelogramo

B A C D O AO = OC BO = OD B A C D m n b a a+b = n+m

C. En todo Cuadrilátero

A B C D Q R S P → PQRS es un paralelogramo

CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

La relación entre las medidas del ángulo interior y exterior de un polígono regular es 3/2. Calcular su número de diagonales. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución: Dato: _i 3₂ e  = 180 ⇒ (n 2) 3 n 360 2 n – = n 2 3 _{n 5} 2 2 – = = = Piden: D₁=n(n 3)₂– =5(5 3)₂– DT = 5 Respuesta: DT = 5 Problema 2

En un polígono convexo, desde 3 vértices consecutivos se han trazado 8 diagonales. Calcular la suma de los ángulos internos de dicho polígono. A) 700° B) 710° C) 720° D) 730° E) 740° Resolución: 1.er _{vértice: n – 3} 2.do _{vértice: n – 3} 3.er _{vértice: n – 4} En total: 3n – 10 = 8 3n = 18 n = 6 Piden: Si = 180 (6 – 2) Si = 720° Respuesta: S_i = 720º Problema 3

En un trapezoide ABCD, se cumple: AB = BC = CD; calcula m∠ABC si m∠BCD = 60º y m∠BAD = 50º. UNMSM 1998 NIVEL FÁCIL A) x = 160° B) x = 140° C) x = 120° D) x = 100° E) x = 90° Resolución: A B x C D 50° 60° 80° 60° 50°60° Piden: m∠B = x

Unimos BD para que el DBCD sea equilátero, por lo que m∠CBD es 60º. El DABD es isósceles (AB = BD). Entonces m∠ABD es 80º m∠B = m∠ABD + m∠CBD x = 80º + 60º x = 140º Respuesta: x = 140º

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. En un polígono, el número de diagonales excede al número de lados en 42. Halle la suma de los ángulos interiores.

A) 1800º B) 1520º C) 1440º D) 1080º E) 900º

2. ABCDE es un polígono convexo. S i m ] A = m ] B = m ] C = 9 0 º ; entonces, la medida del ángulo que forman las bisectrices internas de los ángulos D y E será:

A) 45º B) 40º C) 30º D) 60º E) 75º

3. Calcule la medida del ángulo interior de un polígono regular de 170 diagonales.

A) 162º B) 158º C) 160º D) 144º E) 150º

4. En la figura la longitud de cada lado del polígono ABCDE es 1m. Si un punto situado, en el vértice A empieza a moverse a través de cada lado en el sentido de las agujas del reloj; entonces ¿en qué vértice se encontrará dicho punto cuando haya viajado una distancia de 717m? C A B E D I A) A B) B C) C D) D E) E

5. En un trapecio, la mediana mide 8u y el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 5u. Halle la longitud de la base menor. A) 5 u B) 2 u C) 3 u D) 4 u E) 6 u

PROFUNDIZACIÓN

6. Calcule la longitud del lado de un octógono regular inscrito en un cuadrado de a cm de lado. A) a 2₂ cm B) a 2 1

(

–

)

cm C) a/3 cm D) a 2 1

(

+

)

cm E) a/4 cm

CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS

7. Calcule la suma de las medidas de las diagonales relativas a un vértice en un hexágono regular cuyo lado mide 3.

A) 6(1+ 3) B) 6 3 C) 9 3 D) 12 E) 15

8. En la figura, calcule la mediana del trapecio BCEF, si ABCD es un trapecio, AB=7, BC=8, CD=11 y AD=20; además, BF y CE son bisectrices. B A C D E F A) 5 B) 6 C) 8 D) 4 E) 7

9. En la figura AB//CD, AB=5 y BC=12. Halle CD. B A C D 2q q A) 16 B) 17 C) 18 D) 12 E) 15

SISTEMATIZACIÓN

10. Las diagonales de un trapecio miden 9 y 13. Calcule el máximo valor entero que puede tener de su mediana.

A) 8 B) 10 C) 4 D) 12 E) 13

11. En la figura F, M y G son los puntos medios de los lados del triángulo ABC. FH=1 y CT=4. Halle MG. B A C H G F MT 37° A) 5 B) 8 C) 6 D) 7 E) 9

12. L es una recta exterior al triángulo ABC. La suma de las distancias de los vértices a L es 18. Calcule la distancia del baricentro del triángulo a L.

A) 5 B) 7 C) 6

SNII2G4

GEOMETRÍA

TEMA 4

CIRCUNFERENCIA I

DESARROLLO DEL TEMA

I. DEFINICIÓN

Es aquella figura geométrica formada por todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano llamado centro.

II. ELEMENTOS

O r Centro : O Radio : r Nota: Medida Angular: 360° Medida Longitudinal: 2pr

III. ELEMENTOS ASOCIADOS A LA

CIR-CUNFERENCIA

• Cuerda: AB_C S B Q P A N T L_T L_S M • Diámetro: PQ PQ = 2r • Arco AB • Punto de Tangencia: T • Recta Tangente: L_T • Recta Secante: L_S • Flecha: CS

IV. PROPIEDADES FUNDAMENTALES

1. Si:AB//CD se cumple: A B C D a b mAC = mBD a = b 2. A D C b a B Si: AB = CD se cumple: mAB = mCD a = b 3. Si: OP ⊥ AB se cumple: _A P B O M AM = MB mAP = mPB

4. Si: L recta tangente

L T

O a

se cumple:

5. Si: A, B son puntos de

A P tangencia, se cumple:

CIRCUNFERENCIA I

6. Si: AP y PB y son puntos

a q A O B P de tangencia Nota:

Si te piden el inradio de un triángulo rectángulo será necesario aplicar el teorema de Poncelet.

Si se tiene el gráfico.

q q A

O _B

y se tiene m]ABC es conveniente trazar

V. CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN UN

TRIÁNGULO

Es aquella circunferencia que es tangente a los lados de un triángulo.

Nota:

Todo triángulo tiene una circunferencia inscrita a su centro, se denomina incentro y se determina al intersectarse las bisectrices interiores, además el radio se denomina inradio.

DACUTÁNGULO DOBTUSÁNGULO DRECTÁNGULO

VI. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A

UN TRIÁNGULO

Es aquella circunferencia que contiene a los vértices de un triángulo.

Nota:

Todo triángulo tiene una circunferencia circunscrita cuyo centro se denomina circuncentro y se determina al intersectar las mediatrices trazadas a cada lado del triángulo y cuyo radio se llama circunradio.

D ACUTÁNGULO D RECTÁNGULO D OBTUSÁNGULO

Nota: Se tiene: T r A r B a a 2a Se traza

VII. TEOREMA DE PONCELET

En todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa más dos veces el inradio. A r B C AB + BC = AC + 2r * r inradio del ABC

VIII. TEOREMA DE PITOT

En todo cuadrilátero convexo circunscrito a una circunferencia la suma de los lados opuestos son iguales.

AB + CD = BC + AD

A

B C

D

Nota:

El teorema de Pitot se puede aplicar en cualquier polígono convexo cuyo número de lados sea par. Si dos cuerdas son congruentes, entonces la distancia del centro en dichas cuerdas son congruentes. Los únicos paralelogramos que se puedan inscribir en una circunferencia son el rectángulo y el cuadrado.

CIRCUNFERENCIA I

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

Calcula: "x". (T: punto de tangencia)

2x T x A) 18° B) 14° C) 16° D) 12° E) 13° Resolución: T 2x 2x r r O 4x x M V Piden: x DVOT (m] VTO = 2x) m]TOM = 4x OTM 4x + x = 90º 5x = 90º x = 18º Respuesta: 18° Problema 2 En el gráfico, si AB = 50, BC = 70 y AC = 60. Calcula AQ. (P, Q y T son puntos de tangencia) P B C T A Q A) 28 B) 20 C) 30 D) 22 E) 23 Resolución: Piden: AQ = x P B ₇₀ C 60 50 Q A T x Por propiedad: CQ = CP = pDABC = 50 + 60 + 70₂ CQ = CP = 90 ⇒ 60 + x = 90 x = 30 Respuesta: 30 Problema 3

Calcula el perímetro del triángulo BTC si el cuadrado ABCD tiene un lado cuya longitud es igual a 10. B C A D P T B C A _D 10 a q a P 5 O 5 T 10 A) 28 B) 20 C) 35 D) 30 E) 23 Resolución: Piden: 2pDBTC ODC (Not. 53° 2 ) a = 53° 2 ⇒ q = 37º TBC (Not. 37º y 53º) 2pDTBC = 30 Respuesta: 30

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. Calcule "x" si T; punto de tange ncia y AT = TB. T B O C A x A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 60° 2. En el gráfico calcula "x" si A es puntode tangencia. C x B P A 6 2 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

3. En la figura calcule "x". Si ABCF: romboide . A B x F C D E 100 A) 10° B) 30° C) 50° D) 70° E) 90°

CIRCUNFERENCIA I

4. Calcula "x". x A B C D E b b a 100° a a A) 44° B) 46° C) 48° D) 50° E) 52°

5. Del gráfico calcule "x". Si A y B son puntos de tangencia. A D B R 28 24 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

PROFUNDIZACIÓN

6. En la figura calcule x si "T" es punto de tangencia. B 100° P T O A x A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° 7. En el gráfico, calcule "x". Si a + b = 28. b a O 3 x A) 18 B) 19 C) 21 D) 22 E) 23

8. Del gráfico, calcule "x".

5 C 53° 6 O x 11 B A D A) 4 B) 3 C) 6 D) 2 E) 5 9. En la figura, O: es centro de la circunferencia. Si OC = r es el radio de la circunferencia y q = 3b. Calcule CD (ex - admisión 2014 - II)

q C _D

O b

A) r/3 B) r C) r/2 D) 2r E) 3r

SISTEMATIZACIÓN

10. En el gráfico, calcule "BC" si: AB = 10; AD = 8 y CD = 3 (J; H; G y F: puntos de tangencia). I _B A C H G E D F J A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 11. En el gráfico, calcule x. SI A; B; C y D son puntos de tangencia.

A D B P C x A) 30° B) 60° C) 90° D) 120° E) 150°

12. En el gráfico, calcule "BD" si: M, S, T y V son puntos de tangencia.

A B M Q C D 2 T S 7 V A) 7 B) 5 C) 10 D) 9 E) 11

SNII2G5

GEOMETRÍA

TEMA 5

CIRCUNFERENCIA II

DESARROLLO DEL TEMA

I. ÁNGULOS ASOCIADOS A LA

CIRCUN-FERENCIA

A. Ángulo Central

O a A

B Del gráfico se cumple:

mAB = a

B. Ángulo Inscrito

a A

B Del gráfico se cumple:

mAB = 2a

C. Ángulo Semi–inscrito

P B A a b Del gráfico se cumple:

mAB = 2a mAPB = 2b

D. Ángulo Ex–inscrito

x b

a

Del gráfico se cumple:

x = a + b 2

E. Ángulo Interior

q

a x

Del gráfico se cumple:

x = a + q₂

F. Ángulo Exterior

Caso 1 x P A B b a

Del gráfico A y B son puntos de tangencia x = b – a₂

CIRCUNFERENCIA II

Caso 2 x T a b

Del gráfico T es punto de tangencia x = b – a₂ Caso 3 x a b En el gráfico: x = b – a 2

II. CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA

CIRCUNFERENCIA

Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una misma circunferencia.

A

B C

D

ABCD: Cuadrilátero Inscrito ó Ciclico

III. PROPIEDADES

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

a b D A B C a + b = 180° Nota: a b a b

IV. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE

Es aquel cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia, por lo cual, deberá cumplir con las propiedades anteriores.

Un cuadrilátero va a ser inscriptible si se cumple:

1) 2) a a 3) 4) b b Nota:

La medida longitudinal y la medida angular de una circunferencia de radio "r" es 2pr y 360º respectivamente.

CIRCUNFERENCIA II

Problema 1

Si: mAB = mCD₄ , calcula mEF

A B b D E F P A) mEF = 20° B) mEF = 60° C) mEF = 80° D) mEF = 30° E) mEF = 10° UNMSM 1997 NIVEL FÁCIL Resolución:

De los datos y el gráfico: mAB = 20°; mCD = 80° En la circunferencia menor: m P = mCD – mAB

2 = 80° – 20°2 m P = 30°

En la circunferencia mayor, por ser ángulo inscrito: mEF 2 = m P ⇒ mEF = 60° Respuesta: mEF = 60° Problema 2 En el gráfico, calcula x. B P D C x E 30° A) 28º B) 30º C) 10º D) 22º E) 23º UNMSM 1993 NIVEL INTERMEDIO Resolución: B A a _a b b P D C x E 30° Del gráfico: 30º + a + b = 180º a + b = 150º En la circunferencia: mEA+ 2a + 2b = 360º mEA + 300º = 360º ⇒ mEA = 60º x = mEA 2

Por ángulo inscrito: x = 30°

Respuesta: 30º

Problema 3

En el gráfico, calcula: mBD – mCF, si: mAMD – mENF=15°

A M B E N F C P D UNMSM 1996 NIVEL DIFÍCIL A) 18º B) 30º C) 15º D) 12º E) 20º Resolución: P = m AMD – mBD 2 Del gráfico: P = mENF – mCF₂ Luego: mENF – mCF 2 = m AMD – mBD2 mBD – mCF – mAMD – mENF mBD – mCF = 15° Respuesta: 15º

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. En la figura, hallar "x". B A C x 100° _40° A) 20° B) 15° C) 5° D) 10° E) 60°

2. En la figura, hallar "x" si: m ABP = 220°. C A B x P A) 40° B) 60° C) 70° D) 30° E) 140°

3. Hallar "x" si A y B son puntos de tangencia. C A x B 60° 80° A) 70° B) 40° C) 10° D) 20° E) 100°

CIRCUNFERENCIA II

4. En la figura, hallar "x". x 80° A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° 5. Hallar "x". x A F B C D E 80° A) 50° B) 60° C) 65° D) 70° E) 100°

PROFUNDIZACIÓN

6. Hallar "x" si O: centro de la circunferencia. 130° O x A) 50° B) 70° C) 45° D) 65° E) 60°

7. Hallar "q" si "O" es centro y T punto de tangencia. T O q 4q A) 30° B) 40° C) 10° D) 60° E) 45° 8. Hallar "b", O: es centro de la circunferencia. E B C D A 35° O R b R A) 90° B) 60° C) 110° D) 140° E) 105°

9. En la figura, hallar x+y A N M B x y 100° 20° A) 90° B) 60° C) 110° D) 140° E) 130°

SISTEMATIZACIÓN

10. En la figura, hallar "x". x 80° A) 40° B) 50° C) 45°/2 D) 20° E) 100° 11. En la figura, hallar "q". 2q 2q O A) 30° B) 10° C) 60° D) 20° E) 70° 12. Hallar "x". 4x 5x A) 40° B) 50° C) 60° D) 20° E) 10°

SNII2G6

GEOMETRÍA

TEMA 6

PROPORCIONALIDAD

Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

DESARROLLO DEL TEMA

I. TEOREMA DE THALES

"Tres o más paralelas determinan sobre dos o más secantes segmentos proporcionales".

Las rectas L L1, 2yL3son paralelas y las rectas m y n son

secantes, luego se cumple: m n A B D E F C L₁ L₂ L₃ AB DE BC = EF

Corolario

"Toda paralela a un lado de un triángulo que interseca a los otros dos o a sus prolongaciones, determinan sobre ellas segmentos proporcionales".

De (a): BM BN MN // AC⇒ _MA = _NC ; De (b):PQ // AC PB QB BC BA ⇒ = a. b. A M B N C P Q B A C

"En todo triángulo se cumple que los lados que forman el vértice de donde parte la bisectriz interior (exterior) son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto".

En la figura a),BD es bisectriz interior, luego se cumple que: AB_AD = BC_DC

En la figura b), BE es bisectriz exterior, luego se cumple que: AB BC AE=CE a. A C a a B D b. a a A _C B

BE, es bisectriz exterior, luego se cumple que: BC AB AE =CE a. b. Observación:

• El Teorema de Thales es un teorema unívoco, eso quiere decir que tiene que haber rectas paralelas para que haya segmentos proporcionales y no lo contrario.

• Tener en claro la teoría de razón y proporción geométrica, ya que en este capítulo se utilizará esos conceptos con relación a lados, segmentos, etc.

• Establecer la diferencia entre triángulos congruentes y semejantes.

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Problema 1 En la figura, calcular "x", si

  

a // b // c. A B C x 9 D E F 4 x a b c UNMSM1990 NIVEL FÁCIL A) 18 B) 6 C) 10 D) 12 E) 13 Resolución:

Si a//b//c, por el teorema de Thales se cumple:

AB DE BC = EF Reemplazando los datos:

x x 9 = 4 x 6=

∴

Respuesta: 6 Problema 2

En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior BP(P en la prolongación de CA), en el triángulo PAB se traza la bisectriz interior PL, tal que la prolongación de CL interseca a PB en E. Calcular PE, si BL = 3, PC = 10 y BC = 8. UNMSM 1992 NIVEL INTERMEDIO A) 18 B) 6 C) 10 D) 12 E) 13 Resolución: 8 L B q q 3 E a a 3n 5n A C 10

En la figura nos piden PE = x, en DCBL, por teorema de la bisectriz exterior tenemos: CE 8n CE 8 EL 3 EL 3n = = → =

PROBLEMAS RESUELTOS

2 4 a 3 4 6 8

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

tienen es decir

La misma forma

Sus ángulos son

congruentes

Dos parejas de

igual ángulo de

igual medida

Dos pares de lados de

medi-das proporcionales y el ángulo

comprendido de igual medida.

Sus tres pares de

lados de medidas

proporcionales

Las medidas de sus lados

correspondientes son

proporcionales.

Diferente tamaño

los criterios de semejanza son:

II. DEFINICIÓN

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos congruentes, o, sus tres lados respectivamente proporcionales.

Según lo expuesto, si los triángulos ABC y MNP de la figura son semejantes, esto se denota así:

ABC MNP ∆ ∆

Se comprueba que sus ángulos son tales que: m A m M;m B m N;m C m P∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠

En dos triángulos semejantes se verifica que la razón de cualquier pareja de lados homólogos (se denominan lados

homólogos a aquellos que perteneciendo a dos triángulos semejantes se oponen a ángulos congruentes), es un número constante, llamado razón de semejanza.

AB BC _{AC k}

MN NP MP= = = , donde; k es la razón de semejanza.

A B C N M q P q b b a a

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. En la figura, DE es mediatriz de AB. Si AD = 3 y EC = 5, halle el perímetro del triángulo ABC.

A D B C E A) 28 B) 24 C) 21 D) 36 E) 32

2. En el gráfico se tiene que AB = BC, MN = 4, BN = 6, 3NC = 2NB y MN//AC. Halle el perímetro del triángulo ABC. C A M B N A) 70/3 B) 50/3 C) 200/3 D) 80/3 E) 40/3 3. En el gráfico AE = 3DC, BD = 9, EB = 8 y m]DCE=m]DAE. Halle AE.

A C D E B A) 17/5 B) 48/5 C) 17/15 D) 16/5 E) N.A. 4. Si AB//DE, BD = 80 y AE = 4CE, halle el valor de CD. A B C D E A) 60 B) 40 C) 20 D) 30 E) 16

5. En un triángulo ABC, se sabe que AB = 6, AC = 8 y m]BAC = 2m] BCA. Halle BC. A) 2 21 B) 2 17 C) 2 5 D) 6 5 E) 7 3

PROFUNDIZACIÓN

6. Si AB = a y BC = b, halle "x". B A C 60° 60° x P A) a + b B) a + b₂ C) 2a – b D) a + b ab E) ab a + b 7. Si PQ//BC, PR//AB; AC = CF = 2cm. Calcule FP. A B Q R P C F A) 2 B) 2 2 C) 4 2 D) 3 2 E) 5 2

Entonces CL = 5n, luego en el , por el teorema de la bisectriz interior tenemos: x 10 3n = 5n ∴ x = 6 Respuesta: 6 Problema 3

En un DABC(BC = BC), las alturas BH y AQ se intersectan en "O", tal que: OH = 1 y OB = 8. Calcular AC. UNMSM 2002 NIVEL DIFÍCIL A) 18 B) 6 C) 10 D) 12 E) 13 Resolución: a B Q C A O H b_{1 b} x x/2 x/2 a 8 O

En la figura nos pide: AC = x

Si el DABC es isósceles y BH es altura: x

AH HC 2

= =

Y como: m]OAH = m]OBQ = a Resulta que: BHC ∼ AHO x / 2 1 9 = x / 2 ∴ x = 6 Respuesta: 6

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

8. Se trazan "n" paralelas al lado BC, determinando segmentos iguales en AB. Si BC = a, halle la suma de las longitudes de todas las paralelas en el triángulo ABC. A) 2an B) an 2 C) a + n 2 D) n 2 _{+ a} E) a(n + 1) 2

9. Si: 5AD = 6EC y 2AD = 3DE, halle "x" A B C D E x x x A) 25° B) 24° C) 36° D) 30° E) 37°

SISTEMATIZACIÓN

10. Sobre el cateto AB de un triángulo ABC, recto en B, se toma el punto "O" y con radio OA se traza un circunferencia que corta a AC en N y a AB en M. Halle el radio de la circunferencia, sabiendo que: AN × AC = 12 y AB = 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. Tres circunferencias tangentes dos a dos están inscritas en un ángulo. Los radios de las exteriores son de 1 cm y 9 cm. Calcule el radio de la circunferencia intermedia.

A) 2 B) 4 C) 1

D) 3 E) 5

12. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia. Sobre el arco BC se toma un punto P, tal que las prolongaciones de BP y AC se cortan en Q. Calcule BC sabiendo que AB = BC, BP = 4 y PQ = 12. A) 6 B) 8 C) 10 D) 7 E) 9

SNII2G7

GEOMETRÍA

TEMA 7

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO

RECTÁNGULO Y EN LA CIRCUNFERENCIA

DESARROLLO DEL TEMA

PROPIEDADES

1. x R r x = 2 R.r 2. x m n x2 _{= m . n} Nota:

Conocer bien la definición de proyección ortogonal en especial de los catetos sobre la hipotenusa.

A

B

H C

Proyección de AB sobre AC es AH proyección de BC sobre AC es HC.

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1ra Relación a2 _{= c . m} b2 _{= c . n} 2da Relación h2 _{= m . n} 3ra relación a . b = c . h 4ta Relación a2 _{+ b}2 _{= c}2

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

I. TEOREMA DE LAS CUERDAS

m b a

n a . b = m . n

II. TEOREMA DE LA TANGENTE

a

b x

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Y EN LA CIRCUNFERENCIA

Problema 1 Calcula AB. Si BC = 10 y DC2 _{+ ED}2 _{+ AE}2 _{= 56} B C D E A SAN MARCOS 2002 NIVEL FÁCIL A) 3 20 B) 2 11 C) 2 10 D) 5 10 E) 2 20 Resolución:

Utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos:

BDC: BC2 _{= DC}2 _{+ BD}2 _{... (I)} BED: BD2 _{= ED}2 _{+ BE}2 _{... (II)} BAE: BE2 _{= AE}2 _{+ AB}2 _{... (III)} Sumando (I), (II) y (III)

obtenemos: BC2 _{= DC}2 _{+ ED}2 _{+ AE}2 _{+ AB}2 102 _{= 56 + AB}2 44 = AB2 AB = 2 11 Respuesta: B) 2 11 Problema 2

Los radios de dos circunferencias tangentes externas están en la relación de uno a tres. Las tangentes comunes exteriores miden 4 3 u y se cortan en E. Calcula la distancia entre el centro de la mayor y E. SAN MARCOS 2004 NIVEL INTERMEDIO A) 12 m B) 10 m C) 11 m D) 15 m E) 20 m Resolución: O H r r r 3r 2r 4 3m O₂ 30° A B E Se pide calcular OE AB = 2 3r.r ⇒ r = 2m. Unimos los centros con E.

Se observa que OO₂= 4r; OH = 2r ⇒ m∠OO₂H = 30 ⇒ m∠OEA = 30° y ya que r = 2 u; OA = 6 u En el OAE: OE = 12 m Respuesta: A) 12m Problema 3

En el trapecio mostrado calcula HD si AC = 6, AH = 4 y BC = 2 B A C H D SAN MARCOS 2001 NIVEL DIFÍCIL A) 12 B) 5 C) 3 D 15 E) 2 Resolución: B A H D C x 2 2 4 E A partir del vértice C se traza una paralela a BD.

• Donde DBCE es un paralelogramo • En el ACE A H E C 4 6 X+2 62 _{= 4(6 + x) ⇒ x = 3} Respuesta: C) 3

PROBLEMAS RESUELTOS

III. TEOREMAS DE LAS SECANTES

n b a m a . b = m . n Nota:

La proyección de la hipotenusa sobre un cateto es el mismo cateto.

Si los lados de un triángulo se encuentran en proyección aritmética entonces los ángulos miden 37° y 53°.

IV. TEOREMA DE PTOLOMEO:

ab + mn = xy A B C D a b m n x y Nota: Según el gráfico: A B P H O AP2 _{= (AB)(AH)}

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Y EN LA CIRCUNFERENCIA

PROBLEMAS DE CLASE

SIMPLES

1. Del gráfico, halle “x”.

x A 4 9 B C A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 2. Calcule el valor de “x”. A B C x 4 12 A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 7 3. Halle el valor “x”. C A B 10 x+4 x+4 120 13 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 4. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 25m y la suma de las longitudes de los catetos y la altura es 47m, Halle la medida de la altura.

A) 12 B) 14 C) 24 D) 22 E) 16

5. Del gráfico mostrado halle la hipotenusa: A B C n n+1 30 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

PROFUNDIZACIÓN

6. Las bases de un trapecio miden 8m y 14 m y los lados no paralelos A) 5 3 B) 3 5 C) 3 D) 5 E) N.A.

7. Las bases de un trapecio miden 8m y 14m y los lados no paralelos 7m y 9 m. Calcule el segmento que une a los puntos medios de las bases. A) 14 B) 2 C) 4 4 D) 2 14 E) 4 12

8. El diámetro de una circunferencia mide 13 y divide en partes iguales a una cuerda de 5 m de longitud. ¿Cuánto mide la parte menor del diámetro?

A) 0,5 B) 2,5 C) 2 D) 1 E) 1,5

9. En la figura ABCD es un cuadrado. Si: 1 BM2 _{+ BN}12 _{= 25}1 calcule AB. A B C D M N A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

SISTEMATIZACIÓN

10. En la figura, si a2 _{+ b}2 _{= 36. Halle} x. a x b A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. En la figura, halle x. 8m 2m x A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 5m

12. Los lados de un triángulo miden 6; 5 y 7 m. Calcule la longitud de la proyección del lado que mide 6m sobre el lado que mide 7m. A) 3m B) 4,5m C) 5m D) 30

SNII2G8

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

DESARROLLO DEL TEMA

GEOMETRÍA

TEMA 8

I. TEOREMA DE EUCLIDES

A. Teorema 1

En todo triángulo se cumple que la medida del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, menos el doble producto entre las medidas de uno de estos lados y la proyección del otro sobre él.

B a C A c m H a b

De acuerdo a la figura siendo a < 90 y "m" la longitud de la proyección se cumple. a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2bm ... (1)}

Observación

En el AHB: m = cCosa En (1): a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2bcCosa Teorema de} Cosenos.

B. Teorema 2

En todo triángulo obtusángulo se cumple que el cuadrado de la medida del lado, opuesto al ángulo obtuso es iguala a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados más el doble producto entre las medidas de uno de estos lados y la proyección del otro sobre él.

B H A b C a c m

En la figura: a > 90 y AH es la proyección de AB sobre AC (AH = m), luego:

a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{+ 2bm ...(2)}

Observación

En el AHB: m = cCosa.

En (2) a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2bcCosa "Teorema de cosenos"}

II. RECONOCIMIENTO DE LA

NATURA-LEZA DE UN TRIÁNGULO

Dado el triángulo ABC, donde AB = c, BC = a y AC = b, siendo a > b > c, entonces se verifica que:

a2 _{< b}2 _{+ c}2 _{⇒ el iABC es acutángulo} a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{⇒ el iABC es rectángulo} a2 _{> b}2 _{+ c}2 _{⇒ el iABC es obtusángulo}

A. TEOREMA DE STEWART

A c m n x a B F C b

Si BF es una ceviana entonces se verifica la siguiente relación:

c2_{n + a}2_{m = x}2_{b + bmn (3)}

Observación

Si el triángulo es isósceles con a = c la expresión (3) se reduce a:

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y

CUADRILÁTEROS

B. Teorema de la mediana

A c m_b a B M C b

Si BM es mediana (BM = m_b) se cumple lo siguiente: c2 _{+ a}2 _{= 2(m}

b)2+ b2

2

Observación

Siendo las medidas de las otras medianas m_a y m_c se cumple que: (ma)2 + (mb)2 + (mc)2 + = 3₄ (a2 + b2 + c2)

C. Teorema de herón

A C B c a H h_b b BH es altura (BH = h_b): p = a + b + c₂ p(p – a)(p – b)(p – c) 2 b h_b =

D. TEOREMA DE PTOLOMEO

En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, el producto de las longitudes de sus diagonales es igual a la suma de los productos de las longitudes de sus lados opuestos. D A B C c n m a b d C

l ABCD: inscrito en la circunferencia C. AB = a; BC = b, CD = c, AD = d AC = m y BD = n

Se cumple: m . n = a . c + b . d

III. RELACIONES MÉTRICAS EN EL

CUA-DRILÁTERO

A. Teorema de Euler

En todo cuadrilátero convexo o no convexo se verifica a la siguiente relación. B A D N M C

(AB)2 _{+ (BC)}2 _{+ (CD)}2 _{+ (AD)}2 _{= (AC)}2 _{+ (BD)}2 _{+ 4(MN)}2

B. Teorema de Viette

(Segundo Teorema de Ptolomeo)

En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible en una circunferencia, la razón de las longitudes diagonales es igual a la razón de la suma de los productos de las longitudes de los lados que ocurren a los extremos de cada diagonal respectivamente.

D A B C c n m a b d Se cumple: m_n= ad + bc_{ab + cd}

C. Teorema de Arquímedes

Es un cuadrilátero de diagonales perpendiculares se verifica que: A B C D AB2 _{+ CD}2 _{= BC}2 _{+ AD}2

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y

CUADRILÁTEROS

D. Teorema de Chadú

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia o inscriptible, tal que tres vértices son los vértices de un triángulo equilátero, entonces la distancia del cuarto vértice más alejado es igual a la suma de las distancias de este a los otros dos vértices del triángulo equilátero. A C B P a c b l l l Se cumple: PA = PC + PB → C = a + b

E. Teorema de Marlen

Es un rectángulo, la suma de los cuadrados de las distancias de un punto cualquiera a sus vértices opuestos son iguales.

1. A D B b c d a P C

P: punto interior del rectángulo ABCD. Se cumple: a2 _{+ c}2 _{= b}2 _{+ d}2 2. A D B C P x n m y

P: es el punto exterior del rectángulo ABCD. Se cumple:

x2 _{+ y}2 _{= m}2 _{+ n}2

Observación:

El teorema de Marlen también se puede aplicar aun cuadrado.

El punto P puede ubicarse en cualquier parte del plano que contiene al rectángulo, incluso el teorema se sigue cumpliendo si P está en el espacio (fuera del plano que contiene al rectángulo).

Problema 1 ABCD es un rombo, BM = MC, AM = 9 y DM = 13. Calcula AB. A D C M B A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 Resolución: A x D C 13 x x T B x 9 M Calculo de la mediana: 132 _{+ 9}2 _{= 2x}2 _{+ x} 22 x = 10 Respuesta: C) 10 Problema 2 En un triángulo ABC, AB = C; BC = a y AC = b. Si a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– bc.}

Calcule la mediana de uno de los ángulos interiores. A) 45° B) 53° C) 37° D) 30° E) 60° Resolución: A B C c a b q

PROBLEMAS RESUELTOS

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y

CUADRILÁTEROS

Teorema de cosenos: a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2bcCosq} Dato: a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– bc} ⇒ 2bcCosq = bc ⇒ q = 60° ∴ Cosq = 12 Respuesta: E) 60° Problema 3

Es un cuadrado ABCD exterior y relativo a BC se ubica el punto P. Si m]BPC = 90° y PB + PC = 10 2 si O es centro del cuadrado, calcule: PO A) 6 B) 10 C) 14 D) 8 E) 12 Resolución: A B a b P x m m D C O m 2 mBPCO (Ptolomeo) xm 2 = ma + mb x 2 = 10 2 x = 10 Respuesta: B) 10

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. En la figura, calcular "x". 41 5 x 8 A) 0,5 B) 4 C) 1 D) 2 E) 3 2. En la figura, calcular "x". 3 7 x 5 A) 8,1 B) 1,5 C) 2,4 D) 3,2 E) 1,4 3. En la figura, calcular "x". 6 x 8 x x A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 5 4. En la figura, calcular "x". 5 _x 7 6 A) 2 6 B) 3 7 C) 2 5 D) 5 3 E) 6 2 5. Calcular "x". 5 x x + 2 B A 2 D 4 C A) 6 B) 8 C) 9 D) 5 E) 4

PROFUNDIZACIÓN

6. Calcular "x" 9 _x 18 21 a a A) 7 B) 6 C) 8 D) 9 E) 5 7. Calcular "x" 13 5 3 x A) 60 B) 75 C) 53 D) 90 E) 74 8. Calcular "x". 2 _x 4 2 a a 1 A) 6 B) 3 C) 2 D) 5 E) 2 9. Calcular "x". x _x 16 8 a a A) 8 B) 6 C) 4 D) 12 E) 5

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y

CUADRILÁTEROS

SISTEMATIZACIÓN

10. Calcular la m]C. Si ABC es un triángulo, m]B = 54° y a2 _{= c}2 _{+ bc.} A) 21 B) 42 C) 18 D) 30 E) 84 11. Calcule (BL)(LD), si (LC)(LA) = k y mPM = mMQ A D P B M C L Q A) K B) K/2 C) K/3 D) 2K E) 3K

12. Si ABCD es un cuadrado y 2(AS) = SN. Calcule ON B A C L r O S N D A) r₃ 2 B) r₅ 2 C) 3r₇2 D) r₂ 2 E) r₄ 2

SNII2G9

GEOMETRÍA

TEMA 9

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

DESARROLLO DEL TEMA

I. REGIONES POLIGONALES

Una región triangular es un conjunto de puntos, reunión de un triángulo y su interior.

Una región poligonal es la reunión de un número finito de regiones triangulares que se encuentran en un plano dado, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento

Las líneas punteadas en las figuras anteriores indican cómo se podría representar cada una de las dos regiones poligonales mediante tal reunión. Las regiones triangulares de cualquier descomposición así se llaman regiones triangulares componentes de la región poligonal.

A. POSTULADOS

1. Dada una unidad de área, a cada región le corresponde un número único, llamado área de la región.

2. El área de una región poligonal es la suma de las áreas de cualquier conjunto de regiones componentes en el cual puede dividirse.

3. Si dos polígonos son congruentes, entonces las regiones poligonales correspondientes tienen la misma área.

A continuación se presentan una serie de teoremas para calcular el área de diversas regiones triangulares. TEOREMA FUNDAMENTAL B h_b C A H b S = (1/2)h_b.b TEOREMA TRIGONOMÉTRICA a A C b c B TEOREMA DE ARQUÍMEDES A B C b a c A C B c a b Donde “p” es el semiperímetro. Observaciones:

a) Para todo triángulo obtusángulo

A b C

B h_b

b) Para un triángulo rectángulo.

S c

b

c) Para un triángulo equilátero

L L L A 60° 60° C B _L2 ₃ 4 S = bh_b 2 S = S = bc₂

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

Problema 1

Calcula el área de la región sombreada si AB = 6m, BC = 8m y AC = 10m. A B C A) R = 5 m2 B) R = 19 m2 C) R = 8 m2 D) R = 10 m2 E) R = 9 m2 SAN MARCOS 2000 NIVEL FÁCIL Resolución: A B C D 10m 6m 8m

Piden: el área de la región sombreada. Ya que D es el incentro del triángulo ABC, DE es el inradio.

Por el teorema de Poncelet: AB + BC = AC + 2(ED) 8u + 6u = 10u + 2(ED)

ED = 2u

Sea R la región triangular ABC. R = AB × ED₂

∴ R = 8u2

Respuesta: C) R = 8 u2

Problema 2

Calcula el área de la región sombreada si BF = 3 u y AC = 10 u. B A _E C F D

PROBLEMAS RESUELTOS

TEOREMAS ADICIONALES 1. En función del inradio

S = pr A B C r Donde “p” es el semiperímetro. 2. En función del circunradio

abc 4R S = A B C O R a c b 3. En función del ex-radio

A B C c r_c E_c S = c(p – c) Donde “p” es el semiperímetro.

4. En función del inradio y los ex-radios

Sea “r” la medida del inradio de un triángulo ABC y “ra”, “rb” y “rc” las medidas de sus tres exradios, entonces:

Observaciones:

1. Dos figuras son equivalentes si tienen forma distinta pero igual tamaño. La siguiente figura muestra un círculo y una región triangular de igual área, es decir son equivalentes.

S < > _S

2. Para todo triángulo rectángulo

A

m n

B

C S = mn

3. Para todo triángulo rectángulo

A B

C ra

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

A) 20 u2 _{B) 12 u}2 C) 18 u2 _{D) 15 u}2 E) 10 u2 SAN MARCOS 2001 NIVEL INTERMEDIO Resolución: B A _E C 10u F 3u D Piden: Se observa que:

• S_(ABD) = S_(ABC) – S_(ADC) ... (1) • FE = DH ... (2) Ahora:

S(ABC) = AC × BE₂ = 5 u(3 u + FE) S_(ADE) = AC × DH₂ = 5 u × DH

De comparar lo obtenido con (1): S(ABD) = 5u (3u + FE) = 5u(DH) S_(ABD) = 15u2 + 5uFE – 5u(DH) S(ABD) = 15u2 + 5u(FE – DH)

144424443 CERO De comparar con (2) ∴ S_(ABD) = 15 u2 Respuesta: D) 15 u2 Problema 3

En el gráfico, calcula el área de la región triangular ABS. B D A E S A) 3,2 B) 7,5 C) 6,5 D) 4,5 E) 10,2 SAN MARCOS 2004 NIVEL DIFÍCIL Resolución: B D A E S O H Nos piden: A(iSAB) = AS × AB₂ Desde O trazamos OH ⊥ AB AH = HB = 3 También: OB = 5; entonces: OH = 4 En el trapecio SABK: OH = AS × 5,5₂ → AS = 2,5 Reemplazando: A(iSAB) = 7,5 Respuesta: B) 7,5

EJERCITACIÓN

1 En un triángulo, dos de sus lados de 10 y 15 m respectivamente, forman un ángulo de 45°.

Hallar el área del triángulo. A) 78 2 m2

B) 75 2/2 m2 C) 73 2/2 m2 D) 80 2 m2 E) N.A.

2. Calcular el área de un triángulo sabiendo que el producto de sus lados es igual a 56 y el circunradio es igual a 2.

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

3. En un triángulo equilátero de 4 3m de lado se unen los puntos medios de sus lados, obteniéndose un triángulo cuya área es:

A) 3 m2 _{B) 2 3 m}2 C) 2 2 m2 _{D) 3 3 m}2 E) N.A.

4. Los lados de un triángulo miden 9, 11 y 12. Hallar su área.

A) 8 7 B) 8 35

C) 8 5 D) 35

E) N.A.

5. En un triángulo ABC el lado AC=2. ¿Cuánto mide la paralela a dicho lado, tal que determina dos regiones equivalentes?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 E) 5

PROFUNDIZACIÓN

6. La figura muestra un rectángulo, halla la relación entre el área sombreada y el área no sombreada.

10

3 4

A) 7/12 B) 7/13 C) 1/2 D) 7/15 E) 7/16

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

7. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, la bisectriz AF interseca a BH en P. Calcule el área de la región triangular BPF, si AP = 6 y PF = 4.

A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11

8. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” y de incentro “I” se sabe que: IA = 10, IC = 8 2. Hallar el área del triángulo AIC.

A) 20 B) 30 C) 40 D) 80 E) 60

9. En un triángulo ABC, en AC se toma un punto “D” tal que DC = AC₄ . Si S_(ABC) = 80. Calcular S_(DBC).

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

SISTEMATIZACIÓN

10. Se tiene un triángulo ABC, tomándose en AC el punto “D” tal que AD = 2(DC). En el triángulo BDC se traza la mediana CM. Calcular S(BMC) si S(ABC) = 60. A) 5 B) 10 C) 20 D) 25 E) 15

11. El área de un triángulo ABC es 72 m2_{, por el baricentro “G” se} trazan paralelas a AB y BC, que intersecan a AC en los puntos E y F respectivamente. Calcular el área de la región triangular EGF

A) 6 u2 _{B) 7 u}2 _{C) 8 u}2 D) 9 u2 _{E) 10 3 u}2

12. Si G es el baricentro del triángulo ABC recto en B, la distancia del baricentro de dicho triángulo a los puntos medios M y N de los lados BC y AC miden 5 u y 3 u respectivamente. Calcular el área de la región triangular AGN

A) 4 11 u2 B) 3 10 u2 C) 3 11 u2 D) 4 10 u2 E) 5 11 u2

SNII2G10

GEOMETRÍA

TEMA 10

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

DESARROLLO DEL TEMA

I. TEOREMAS

1.

ABCD (AC)(BD) A = ₂ Senθ Observación: ABCD (AC)(BD) A = ₂

2.

= A BD(AC) Senw 2 Observación: = A ABCD (BD)(AC) 2

3.

Sean A, B, C y D las áreas de las regiones triangulares. Se cumple: A.B C.D= Si :BM MC AN ND = =

4.

Si: AM = MB, BN = NC CP = PD y AQ = QD ⇒ f MNPQ: Paralelogramo Se cumple A MNPQ A ABCD 2 =  

ADEMÁS

A B C D+ = +

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

II. ÁREA DE REGIONES TRAPECIALES

1.

Si: BC // AD

2.

Si: BC // AD BM = MA y CN = ND

3.

Si: BC // AD Se cumple: A = B Además: A.B = C.D A = CD Luego: A_dABCD = A + B + C + D A_dABCD = 2 CD + C + D A_dABCD = ( C + D)2

4.

Si: BC // AD CM = MD ABCD BMA A A ₂ ⇒  = 

Teoremas

1.

(

a b c d

)

A ABCD = + + +₂ R

2.

Sea: p a b c d 2 + + + = ABCD A = (p a)(p b)(p c)(p d)− − − −

3. Cuadrilátero bicéntrico

A ABCD A = abcd

III. ÁREA DE REGIONES PARALELOGRÁMICAS

ABCD A : Paralelogramo ABCD A =(AD)(BH) ABCD A =(AB)(AD)Senθ

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

A. Área de la región rombal

ABCD (AC)(BD)

A = ₂

B. Área de la región rectangular

ABCD

A =(AB)(AD)

C. Área de la región cuadrada

ABCD 2 A =a ABCD 2 d A = ₂

D. Propiedades

En regiones paralelográmicas.

1.

ABCD A A B+ = ₂

ABCD A C D 2 + = 

2.

ABCD A A B+ = ₂ Problema 1

En un triángulo ABC, se trazan las cevianas interiores AM y BQ. (AM ∩ BQ) Calcule la razón de las áreas de las regiones ABP y PQCM. Si: BM 2 MC = 3 y AQQC = 32 NIVEL INTERMEDIO A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1 Resolución: Sea: A_∆APQ =A De los datos: Por razón de áreas

1 ABC S A ₃ A_∆+ = 5 ; ₂ ABC S A 3 A_∆ 5 + ₌ 1 2 S A S A ⇒ + = + 12 S 1 S ∴ = Respuesta: E) 1 Problema 2

Se tiene los triángulos equiláteros ABC y PBQ, donde P está en la región interior y Q en la región exterior y relativa a BC, si: (AP)(CQ) = k. Calcule el área de la región no convexa BACP.

NIVEL INTERMEDIO A) k 2 3 B) k 3₂ C) k 3₄ D) 2k 3 4 E) 2 3₄

PROBLEMAS RESUELTOS

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

Resolución:

Según el gráfico y por teorema general. Luego: ABP CBQ ∆ ≅ ∆ (L – A – L) m BAP w y m BCQ w ⇒ = =   w + 60° = q + w q = 60° Reemplazando: Respuesta: C) _{k 3} 4 /4 Problema 3

En la figura se muestra un triángulo rectángulo isósceles ABC. Calcular el área de la corona circular si CT 2 3= y M, N y T son puntos de tangencia.

NIVEL FÁCIL A) 3p B) 6p C) 5p D) 2p E) 4p A M N T C B Resolución: Se pide: 2 2 corona A = π(R −r )... (1) Del dato: Ab = BC m A m ACB =  =45° En el ∆OMA se deduce: OM = MA = r AO r 2= =ON En el ∆ONC se deduce: ON NC r 2= = OC = 2r OTC ∆ (Notable 30° - 60°) r = 2 → =R 2 2 En (1): A_corona= π((2 2)2−2 )2 corona A 4 ∴ = π Respuesta: E) 4 p

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. En la figura ABCD es un trapecio, AB = BC = 15 cm. Hallar el área del trapecio.

A D 37° 45° B C A) 225 cm2 _{B) 229,5 cm}2 C) 228,5 cm2 _{D) 220,5 cm}2 E) 221 cm2

2. La suma de las áreas de las regiones de dos cuadrados es igual a 325 m2_. Hallar la suma de sus perímetros si se sabe que el producto de las medidas de sus diagonales es igual a 300 m2

A) 100 m B) 200 m C) 150 m D) 50 m E) 120 m

3. Determine el área de la región encerrada por un rombo cuyo lado mide 5u y la suma de sus diagonales es 14u

A) 20u2 _{B) 24u}2 _{C) 30u}2 D) 32u2 _{E) 28u}2

4. El área de la región triangular BLC es 10, LC = 2OL. Calcular el área de la región paralelográmica ABCD

B C L O A D A) 45 B) 56 C) 75 D) 60 E) 120

5. En la figura el área del paralelogramo ABCD es 120, hallar el área del triángulo AFB si AM = MD B C F A M D A) 15 B) 30 C) 20 D) 25 E) 35

PROFUNDIZACIÓN

6. Se tiene un cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo de modo que uno de sus lados descansa sobre