SOLUCIONES rectas. Solución = = 2. Demostrar que los puntos A( 1, 8, 7), B(4, 1, 5) y C( 7, 6, 5) no están alineados.

Texto completo

(1)

SOLUCIONES rectas

1. Sea A

(

−1, 8, 7

)

, B

(

4, 5, 8

)

y C

(

4, 6, 7

)

. Determinar los vectores de dirección de las rectas AB , BC y CA . Hallar las ecuaciones paramétricas de dichas rectas.

Solución

(

) (

) (

)

(

(

)

)

     λ + = λ − = λ + − =    − = − = ≡ − = − − = 7 z 3 8 y 5 1 x : 1 , 3 , 5 AB 7 , 8 , 1 A r : 1 , 3 , 5 7 , 8 , 1 8 , 5 , 4 AB AB

(

) (

) (

)

(

(

)

)

          λ − = λ + = = − = = ≡ − = − = 8 z 5 y 4 x : 1 , 1 , 0 BC 8 , 5 , 4 B r : 1 , 1 , 0 8 , 5 , 4 7 , 6 , 4 BC BC

(

) (

) (

)

(

(

)

)

          = λ + = λ − = − = = ≡ − = − − = 7 z 2 6 y 5 4 x : 0 , 2 , 5 CA 7 , 6 , 4 C r : 0 , 2 , 5 7 , 6 , 4 7 , 8 , 1 CA BC

2. Demostrar que los puntos A

(

−1, 8, 7

)

, B

(

4, 1, 5

)

y C

(

−7, 6, 5

)

no están alineados.

Solución

Una forma distinta de comprobar la linealidad de tres puntos es calcular la ecuación de la recta que pasa por dos de esos puntos, y comprobar si el otro punto la cumple. Si la cumple los puntos están alineados en caso contrario no lo están.

(

) (

)

(

)

          λ − = λ − = λ + − = − = − − = − − − − = = 2 7 z 7 8 y 5 1 x : 7 , 8 , 1 A 2 , 7 , 5 7 5 , 8 1 ), 1 ( 4 AB d : r r AB r

despejando el parámetro en cada ecuación e igualando se obtiene la ecuación continua de la recta AB 2 7 z 7 8 y 5 1 x − − = − − = +

se sustituye el punto C en la ecuación continua de la recta AB

1 7 2 5 6 : 2 7 5 7 8 6 5 1 7 ≠ ≠ − − − = − − = + − Los puntos no están alineados.

3. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta r cuya determinación lineal es

(

A,

vr

)

, siendo: a) A(−5,4,0) y

vr

= (2,−5,6). b) A(−5,4,0) y

vr

=(2,−5,6) c) A(0,0,0) y

vr

= (−1,4,0) d) A(0,0,1) y

vr

= (0,1,0) e) A(−1,2,3) y

vr

= (0,1,0) Solución a) A(−5,4,0) y

vr

= (2,−5,6):      λ = λ − = λ + − = ≡ 6 z 5 4 y 2 5 x r

(2)

b) A(0,0,0) y

vr

= (−1,4,0):      = λ = λ − = ≡ 0 z 4 y x r c) A(0,0,1) y

vr

= (0,1,0):      = λ = = ≡ 1 z y 0 x r d) A(−1,2,3) y

vr

= (0,1,0):      = λ + = − = ≡ 3 z 2 y 1 x r

4. Sean las rectas r ≡



+ = + = + − = 1 t 7 z t 4 y 8 t 3 x ; r’ ≡     = + = − − = 6 z 9 t 4 y t 9 7 x ; r’’ ≡     − = = − − = 1 z 2 y 2 t 8 x

Determinar las ecuaciones continuas respecto de cada una de ellas.

Solución

Se despeja el parámetro en cada una de la ecuaciones y se iguala

7 1 z 4 y 3 8 x 7 1 z t : 1 t 7 z 4 y t : t 4 y 3 8 x t : 8 t 3 x r = − = − − − ⇒ − = + = − = + = − − = + − =        ≡ 0 6 z ; 4 9 y 9 7 x 6 z 4 9 y t : 9 t 4 y 9 7 x t : t 9 7 x '' r = − − = − + ⇒ = − = + = − + = − − =         ≡ 0 1 z ; 0 2 y '' ' r 1 z 2 y 2 t 8 x = + = − ⇒     = − = = − − =

5. Sean las rectas

3 z 2 2 y 3 1 x r = + = − − ≡ ; z 5 1 2 y 3 3 1 x 2 ' r = + − − = + ≡ ; :y 1 0 5 2 z 4 2 x '' r + = − + = − ≡ Determinar las ecuaciones paramétricas respecto de cada una de ellas.

Solución

Cada término de la ecuación se iguala al parámetro y se despeja la variable

     λ = λ + − = λ − = ≡         λ = λ = + λ = − − ⇒ = + = − − ≡ 3 z 2 2 y 3 1 x r 3 z 2 2 y 3 1 x 3 z 2 2 y 3 1 x r

(3)

        λ + − = λ − = λ + − = ≡         λ = + λ = − − λ = + ⇒ + = − − = + ≡ 5 z 3 3 2 y 2 3 2 1 x ' r 5 z 1 2 y 3 3 1 x 2 5 z 1 2 y 3 3 1 x 2 ' r

6. Calcular la ecuación continua y una determinación lineal de cada una de las siguientes rectas r ≡    + − = + = 2 y 6 z 8 y 3 x , r’ ≡    + − = + = 5 x 6 z 2 x 3 y , r’’ ≡    = + = 7 y 1 z 6 x , r’’’≡    = − = + 4 z x 2 z x Solución

r, de cada ecuación se despeja la variable común “y”, igualando las ecuaciones resultantes

6 2 z 1 0 y 3 8 x : 6 2 z y 3 8 x : 6 2 z y 3 8 x y : 2 y 6 z 8 y 3 x − − = − = − − − = = −      − − = − =    + − = + = determinación lineal de r:

(

(

)

)

   − = = 6 , 1 , 3 d 2 , 0 , 8 P r r r’ ≡ 6 5 z 3 2 y 1 0 x : 6 5 z 3 2 y x : 6 5 z x 3 2 y x : 5 x 6 z 2 x 3 y − − = − = − − − = − =      − − = − =    + − = + = determinación lineal de r’:

(

(

)

)

   − = = 6 , 3 , 1 d 5 , 2 , 0 ' P ' r r r’’ ≡    = + = 7 y 1 z 6 x

, dela primera ecuación se despeja z 0 7 y ; 1 0 z 6 1 x : 0 7 y 1 0 z 6 1 x : 0 7 y 6 1 x z − = =     = − − = −     = − − = determinación lineal de r’:

(

(

)

)

   = = 1 , 0 , 6 d 0 , 7 , 1 '' P '' r r r’’’≡    = − = + 4 z x 2 z x , se resuelve el sistema:    = + = − − = = 0 1 z ; 0 3 x : 1 z 3 x determinación lineal de r’’’:

(

(

)

)

   = − = 0 , 1 , 0 d 1 , 0 , 3 '' ' P ''' r r

(4)

7. Sea A

(

4, −1, 3

)

, B

(

2, 5, 8

)

y C

(

5, −1, 6

)

. Hallar las ecuaciones de las rectas medianas del triángulo ABC.

Solución

Mediana, recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. Punto medio de un segmento, semisuma de los extremos del segmento.

M: Punto medio de AC: 

     − =       + − + − + 2 9 , 1 , 2 9 2 6 3 , 2 ) 1 ( 1 , 2 5 4 N: Punto medio de BC:       =       + + − + 7 , 2 , 2 7 2 6 8 , 2 ) 1 ( 5 , 2 5 2

P: Punto medio de AB: 

     =       + − + + 2 11 , 2 , 3 2 8 3 , 2 5 1 , 2 2 4 Mediana de A:

(

)

    − =      − =       = − ≡ 1,6,8 2 1 4 , 3 , 2 1 3 7 ), 1 ( 2 , 4 2 7 AN : Vector ) 3 , 1 , 4 ( A : Punto rAN 8 3 z 6 1 y 1 4 x rAN = + = − − − ≡ Mediana de B:

(

)

    − − =       =       = ≡ 6, 12, 7 2 1 2 7 , 6 , 2 5 8 2 9 , 5 1 , 2 2 9 BM : Vector ) 8 , 5 , 2 ( B : Punto rBM 7 8 z 12 5 y 6 2 x rBM − − = − − = − ≡ Mediana de C:

(

)

    − − =       =       = − ≡ 4,6, 1 2 1 2 1 , 3 , 2 6 2 11 ), 1 ( 2 , 5 3 CP : Vector ) 6 , 1 , 5 ( C : Punto rCP 1 6 z 6 1 y 4 5 x rCP − − = + = − − ≡

(5)

8. Ecuación de la recta que pasa por

(

1,−1,0

)

y es paralela a la recta: 2 1 x− = 1 y − =3 z. Solución

Se pide calcular la ecuación de una recta s conocida una paralela r y un punto de s. La determinación lineal de s vendrá dada por

(

)

(

)

   − = = − = 3 , 1 , 2 d d 0 , 1 , 1 A : s r s r r 3 z 1 1 y 2 1 x s = − + = − ≡

9. Ecuación de la recta que pasa por

(

3, 0, 2

)

y

(

−4, 1, 3

)

.

Solución Determinación lineal:

(

) (

)

(

)

    = − = − − − − = − = 2 , 0 , 3 A 1 , 1 , 7 2 3 , 0 1 , 3 4 a b AB r r 1 2 z 1 0 y 7 3 x rAB = − = − − − ≡

10. Ecuación de la recta que pasa por

(

1, 0, −2

)

y es paralela al vector vr =3 ur1+ ur2−2 ur3.

Solución Determinación lineal:

(

)

(

)

    − = − = = 2 , 0 , 1 A 2 , 1 , 3 v d r r

( )

2 2 z 1 0 y 3 1 x : r − − − = − = − 2 2 z y 3 1 x : r − + = = −

11. Ecuaciones de las rectas que son paralelas a los ejes y pasan por

(

2, 3, −4

)

.

Solución • Paralela a OX: Determinación lineal:

(

)

(

)

    − = = = 4 , 3 , 2 A 0 , 0 , 1 i dr r Paramétricas:      − = = λ + = 4 z 3 y 2 x Ecuaciones reducidas:    − = = 4 z 3 y • Paralela a OY: Determinación lineal:

(

)

(

)

    − = = = 4 , 3 , 2 A 0 , 1 , 0 j dr r Paramétricas:      − = λ + = = 4 z 3 y 2 x Ecuaciones reducidas:    − = = 4 z 2 x

(6)

• Paralela a OZ: Determinación lineal:

(

)

(

)

    − = = = 4 , 3 , 2 A 1 , 0 , 0 k dr r Paramétricas:      λ + − = = = 4 z 3 y 2 x Ecuaciones reducidas:    = = 3 y 2 x

12. Dados A

(

2, 6, −3

)

, B

(

3 , 3, −2

)

, hallar los puntos de la recta AB que tengan al menos una coordenada nula.

Solución

Se calcula la recta AB y se buscan los punto de intersección con los planos coordenados.

Recta AB. Determinación lineal:

(

( )

) (

)

(

)

    − = − = − − − − − = − = 3 , 6 , 2 A 1 , 3 , 1 3 2 , 6 3 , 2 3 a b AB r r 1 3 z 3 6 y 1 2 x rAB = + − − = − ≡ 1ª componente nula

(

x = 0

)

.

(

0 ,12 , 5

)

P 5 z : 1 3 z 2 12 y : 3 6 y 2 : 1 3 z 3 6 y 1 2 0 : 0 x 1 3 z 3 6 y 1 2 x 1= − ⇒      − = + = − = − − = − + = − − = −     = + = − − = − 2ª componente nula

(

y = 0

)

.

(

4 ,0 , 1

)

P 1 z : 1 3 z 2 4 x : 2 1 2 x : 1 3 z 3 6 0 1 2 x : 0 y 1 3 z 3 6 y 1 2 x 2 = − ⇒      − = + = = = − + = − − = −     = + = − − = − 3ª componente nula

(

z = 0

)

.

(

5 , 3 ,0

)

P 3 y : 3 3 6 y 5 x : 3 1 2 x : 1 3 0 3 6 y 1 2 x : 0 z 1 3 z 3 6 y 1 2 x 3 = − ⇒      − = = − − = = − + = − − = −     = + = − − = −

13. Ecuación de la radicación de rectas de vértice Q

(

−1, 3, 1

)

. Recta de dicha radicación paralela a r≡x−3 = 1 2 y − − = 3 3 z+ . Solución Radicación de vértice Q:

( )

R , , 1 z 3 y 1 x ∈ γ β α ∀ γ − = β − = α − −

La recta de esta radicación paralela a r tendrá igual vector de dirección 3 1 z 1 3 y 1 1 x − = − − = +

(7)

14. Ecuación de la radicación de rectas de vértice V

(

−7, 3, −4

)

. Recta de esa radicación perpendicular al plano 3x − 8y + z = 0. Solución Radicación de vértice V:

( )

( )

R , , 4 z 3 y 7 x ∈ γ β α ∀ γ − − = β − = α − −

La recta de dicha radicación perpendicular al plano π, tendrá como vector de dirección un vector paralelo al vector característico de π nr=

(

3 ,−8 ,1

)

1 4 z 8 3 y 3 7 x = + − − = +

15. Ecuación de la recta perpendicular a las recta r ≡ 8 5 x− = 2 3 y− = 4 2 z− y s ≡ 7 2 x− = 3 1 y+ = 5 z y que pasa por

(

1, 2, 0

)

.

Solución

El vector de dirección de la recta buscada

(

t

)

se obtiene como producto vectorial de los vectores de dirección de las dos rectas.

(

) (

)

(

2 , 12 ,10

)

2

(

1 , 6 ,5

)

3 7 2 8 , 5 7 4 8 , 5 3 4 2 5 , 3 , 7 4 , 2 , 8 d d dt r s = − − = ⋅− −       − = × = × =r r r

(

)

(

)

   = − − − = − − ≡ − − = = 5 0 z 6 2 y 1 1 x t : 5 , 6 , 1 d 0 , 2 , 1 A : t t r

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