Problemas Resueltos de Elasticidad
Problemas Resueltos de Elasticidad
Problema Nº1
Problema Nº1
Cuál debe ser el diámetro máximo de un cable de acero que se quiere Cuál debe ser el diámetro máximo de un cable de acero que se quiere emplear en una grúa diseñada para levantar un peso máximo de100 N. El emplear en una grúa diseñada para levantar un peso máximo de100 N. El esfuerzo de ruptura por tensión del acero es de 30
esfuerzo de ruptura por tensión del acero es de 30 quiere un coeficiente de seguridad de 0.6.
quiere un coeficiente de seguridad de 0.6. Solución Solución:: Datos: F Datos: Fmáxmáx = 100N ; = 100N ;
á
á
= 3= 3⋅⋅
101088Pa Pa ; ; A A ==
⋅⋅
DD22mm22 ; ; C.S. C.S. = = 0.60.6 Procedimiento: Procedimiento: C.S. C.S. ==
á
á
→→
= (C.S.)(= (C.S.)(
á
á
) = (0.6)(3) = (0.6)(3⋅⋅
101088 Pa) Pa)
= 1.8= 1.8⋅⋅
101088 Pa Pa
==
==
á
á
á
á
= =
á
á
44
⋅⋅
DD
á
á
22
==
⋅⋅
á
á
á
á
→→
á
á
==
√ √
44
⋅⋅
á
á
= =
44
⋅⋅
(100 )
(100 )
(1.8⋅10
(1.8⋅10
88
))
→→
á
á
= 8.410= 8.410 m.m. Problema Nº2 Problema Nº2Un cable de acero de 3 m de largo tiene una sección transversal de 0.4 Un cable de acero de 3 m de largo tiene una sección transversal de 0.4 cm
cm22. Se cuelga un torno de 55 N del cable. Determínese el esfuerzo, la. Se cuelga un torno de 55 N del cable. Determínese el esfuerzo, la
deformación y el alargamiento del cable. Supóngase que el cable se deformación y el alargamiento del cable. Supóngase que el cable se comporta como una varilla con la misma área transversal. El módulo de comporta como una varilla con la misma área transversal. El módulo de Young del acero es 2
Young del acero es 20000 Solución
Solución::
Datos:
Datos: F F = = 55N 55N ; ; LL00 = 3 = 3 m. m. ; ; A A = = 44
⋅⋅
1010-5-5mm22 ; ; YYaceroacero = 2 = 2⋅⋅
10101111 Pa PaProcedimiento: Procedimiento:
==
==
⋅
⋅
→→
= 1.375= 1.375()(
()(
))
()(∆)
()(∆)
→→
∆∆
()(
()(
()()
()()
))
101077 Pa. Igual pero si se Pa. Igual pero si se
10 10-4-4 10 1099 Pa. Pa. 10 1066 Pa Pa
∆
=( )( )
(⋅
)(⋅
)
→
∆
= 4.125
=∆
=.⋅
.
→
= 1.375
Problema Nº3Una varilla metálica de 4 m de largo y sección 0.5 cm2 se estira 0.20 cm al
someterse a una tensión de 5000 N. ¿Qué módulo de Young tiene el metal? Solución: Datos: F = 5
⋅
103N ; L 0 = 4 m. ; A = 5⋅
10-5m2 ;∆
= 2⋅
10-3 m. Procedimiento: Ymetal =
=()(
)
()(∆)
=(⋅
)( )
(⋅
)(⋅
)
→
Y
metal= 2
Problema Nº4Una cuerda de Nylon se alarga 1.2 m sometida al peso de 800 N de un alpinista. Si la cuerda tiene 60 m de largo y 8 mm de diámetro, ¿qué módulo de Young tiene el Nylon?.
Solución: Datos: F = 800N ; L0 = 60 m. ; D = 8
⋅
10-3m ;∆
= 1.2 m. Procedimiento: Y
Nylon =
=()(
)
()(∆)
=( )( )
(
⋅(⋅
)
)(. )
→
Y
= 7.958
10-5 m.10
-510
11Pa
10
8Pa
Problema Nº5
Para construir un móvil, un artista cuelga una esfera de aluminio de 8N de un alambre vertical (1) de acero de 0.4 m de largo y sección 3
la parte inferior de la esfera sujeta un alambre similar (2) del cual cuelga un cubo de latón de 10 kg. Para cada alambre calcular la deformación por tensión y el alargamiento. Solución: Datos: F1 = 106.1N ; F2 = 98.1N; L0 = 0.4 m; A = 3
⋅
10-7 m2;∆
= 1.2 m. Procedimiento: Para el alambre (1): Yacero =(
)(
)
()(∆
)
→
∆
1
=(
)(
)
()(
)
∆
=(. )(. )
(⋅
)(⋅
)
→
∆
= 7.073
=∆
=.⋅
.
.
→
= 1.768
-3 Para el alambre (2): Yacero =(
)(
)
()(∆
)
→
∆
2
=(
)(
)
()(
)
∆
=(. )(. )
(⋅
)(⋅
)
→
∆
= 6.54 10-3 cm2. En 10-4 m.10
10-4 m.
=∆
=.⋅
.
.
→
= 1.635
-3Problema Nº6
Una prensa hidráulica contiene 0.35 m3 de aceite. Calcúlese la
disminución de volumen del aceite cuando se le somete a un aumento de presión de 1.6
y su compresibilidad es 1/B. Solución:
Datos: V0 = 0.35 m3; Baceite = 5
⋅
109Pa ;∆
= 1.6⋅
107 Pa.Procedimiento: Baceite =
∆(
∆0
)
→∆
=
0
∆
=
(0.35
3
)(1.6⋅10
7
)
(5⋅10
9
)
∆= .⋅
−
Problema Nº7Se somete a una muestra de cobre de forma cúbica con 12 cm de arista a una compresión uniforme, aplicando una tensión equivalente a una tonelada perpendicularmente a cada una de sus caras. La variación relativa de volumen que se observa es de 7.25
módulo de compresibilidad del Cu en el sistema internacional, sabiendo que el módulo de Young del cobre es 120
módulo de Poisson. Solución: Datos: A = 1.44
⋅
10-2 m2; Y cobre = 1.2⋅
1010Pa; ΔV/V0 = - 7.25⋅
10-6; F = 9810 N Procedimiento: ∆
=
=( )
(.⋅
)
= 6.812⋅
105 Pa Bcobre=
∆(
∆0
)
=
(6.812⋅10
5
)
(7.25⋅10
6
)
→
K =
= 1.064
)
10
107 Pa. El módulo de volumen del aceite es B = 5.0 109 Pa
10-6(ΔV/Vo). Determinar el
109 Pa. Obtener además el
=
⋅(1
(.⋅
)
(.⋅
)
)
→
= 0.436
Problema Nº8
¿Cuánto se estira un alambre de acero de longitud l0 = 0.8 m y 4 mm de
diámetro cuando se le aplica una tensión de 500 N? El módulo de Young del acero es 200
Solución:
Datos: F = 500N ; L0 =0.8 m. ; D = 4
⋅
10-3m ; Yacero = 2⋅
1011 PaProcedimiento: Yacero =
()(
)
()(∆)
→
∆
=()(
)
()()
∆
=( )(. )
(
⋅(⋅
)
)(⋅
)
→
∆
= 1.591 Problema Nº 9.Demostrar que la magnitud l = σc /
g (σc = esfuerzo de ruptura portracción) es igual a la longitud máxima de material que puede mantenerse unida bajo su propio peso. Supóngase una columna de material colgada de un soporte fijo. Solución: Procedimiento: σc =
=⋅
⋅
=⋅⋅
=⋅⋅
=
→
109 Pa 10-4 m.
=
Problema Nº10.Una mujer distribuye su peso de 500 N igualmente sobre los tacones altos de sus zapatos. Cada tacón tiene 1.20 cm2 de área. ¿Qué presión ejerce
cada tacón sobre el suelo? Con la misma presión, ¿cuánto peso podrían soportar 2 sandalias planas cada una con un área de 200 cm2?.
Solución:
Datos: F = 500N ; Atacón = 2.4
⋅
10-4 m2; Asandalia = 0.04 m2.Procedimiento:
P =
=
ó
=( )
(.⋅
)
→
P = 2.083
P =
→
F = (P)(Asandalia) = (2.083⋅
106 Pa)( 0.04 m2)F = 8.332 N
Problema Nº11.
Se tiene una lámina de cobre de dimensiones 120
su deformación lateral cuando se somete a una tracción uniforme de 9.8
lateral cuando sobre la lámina descansa un peso de 10 toneladas uniformemente distribuido sobre ella? Dar en este caso la variación relativa de la superficie mayor y la del volumen. El módulo de Young para el cobre es 120x109 Pa y el módulo de Poisson es 0.352.
Solución:
a) Datos: F = 9800N ; L0 =1.2 m ; Ycobre = 12
⋅
1010 PaProcedimiento: Ycobre =
()(
)
()(∆)
→
∆
=()(
)
()(
)
∆
=( )(. )
((⋅
)(. ))(⋅
)
→
∆
= 8.167b) Datos: F = 98100N ;
= 0.352 ; L0 = 2⋅
10-3m ;Ycobre = 12⋅
1010 PaProcedimiento:
()(
)
→
∆
()(
)
10
6Pa
60 0.2 cm. ¿Cuál será 103 N en la dirección de la arista mayor? ¿Cuál será su deformación
∆
=( )(⋅
)
((. )(. ))(⋅
)
→
∆
= 2.271 ∆R
=
∆
0
=(0.352)
(2.271⋅10
9
)
(2⋅10
3
)
→
∆
=
.⋅
∆V
=
(1 - 2
)
=( )
(⋅
)((. )(. ))
(1 - 2
(0.352)
)
→
∆
=
.⋅
Problema Nº12Se somete a una cuerpo de cobre de forma cúbica y de 1 dm de arista a una fuerza de 100 N, aplicada tangencialmente a la superficie de una de sus caras. Determinar el ángulo de deslizamiento. El módulo de deslizamiento del Cu es de 1.6 Solución: Datos: FT = 100N ; A = 10-2 m2;
= 1.569⋅
1010 Pa Procedimiento:
=⋅→
=
=( )
(
)(.⋅
)
= 6.373
Problema Nº13.Una varilla de 95m de largo y peso despreciable está sostenida en sus extremos por alambres A y B de igual longitud. El área transversal de A es de 1.5 mm2 y la de B 5 mm2. El módulo de Young de A es 2.4
B 1.2 debe colgarse un peso p a fin de
producir a) esfuerzos iguales en A y B? y b) ¿deformaciones iguales en A y B?. Solución: Datos: A A = 1.5
⋅
10-6 m2; AB = 5⋅
10-6 m2; Y A= 2.4⋅
1011 Pa;⋅
10-9 m. 103 kp/mm2.10
-7 1011Pa y deProcedimiento: a) Por dato: σ A = σB
→
=
→
=
=(.⋅
)
(⋅
)
=0.3
En la gráfica, tomamos momentos respecto a O.
(F A)(x) = (FB)(95 - x)
→
95
=
= 0.3→
x = 73.077 m b) Por dato:
A =
B→
(
)(
)
=
(
)(
)
→
=(
)(
)
(
)(
)
=(.⋅
)(.⋅
)
(⋅
)(.⋅
)
=0.6
En la gráfica, tomamos momentos respecto a O.
(F A)(x) = (FB)(95 - x)
→
95
=
= 0.6→
x = 59.375 m Problema Nº14 .Calcular la anchura que habría que dar a una correa sin fin de espesor 1.5 cm y límite de ruptura 103 N/cm2 si se acopla a un motor que funciona a la
potencia de 50 cv y le comunica una velocidad de 3 m/s y si se requiere un coeficiente de seguridad de 0.17. Solución: Datos: espesor = 0.015 m; C.S. = 0.17; P = 36.775
⋅
103 W; v = 3 m/s;
á
= 107Pa Procedimiento: C.S. =
á
→
= (C.S.)(
á
) = (0.17)(107 Pa)
= 1.7⋅
106Pa P = F
⋅
v→
F =
=(.⋅
)
( /)
= 12.258⋅
103 N
=
→
A =
=(.⋅
)
(.⋅
)
=7.216 m2. A = (ancho)(espesor)→
(ancho) =
()
=(.
)
(. )
= 481.067 m Problema Nº15.Sobre un tubo vertical de acero de 18 m de largo y 15 cm de diámetro exterior y 1 cm de espesor se pone un bloque de granito de 14 Tn. Si el módulo de young del acero es 2.05x1011 N/m2, determinar el acortamiento experimentado por el tubo.
Solución: Datos: Yacero= 2.05
⋅
1011 Pa; F = 1.37⋅
105N ; L0 = 18 m Procedimiento: A =
( (
15
2
)
2
(
13
2
)
2
)⋅10
4
2
A = 4.398⋅
10-3m2 Yacero =()(
)
()(∆)
→
∆
=()(
)
()(
)
∆
=(.⋅
)( )
(.⋅
)(.⋅
)
→
∆
= 2.735 Problema Nº16.Un bloque de gelatina tiene 70 x 70 x 30 mm cuando no está sometido a esfuerzo alguno. Se aplica una fuerza de 0.245 N tangencialmente a la superficie superior, provocándole un desplazamiento de 5 mm relativo a la superficie inferior. Encontrar el
esfuerzo cortante, la deformación cortante y el módulo de esfuerzocortante.
Datos: FT = 0.245N;