Sistemas de ecuaciones lineales de tres variables
Sistemas de ecuaciones lineales de tres variables
La
La forma generalforma general de unade una ecuación lineal con tres variablesecuación lineal con tres variables es una ecuaciónes una ecuación que puede escribirse así:
que puede escribirse así:
++ ++ ++ = = 0 0 ,,
,, ≠ ≠ 00
Una ecuación lineal con tres variables, lo mismo que
Una ecuación lineal con tres variables, lo mismo que una de dos variables,una de dos variables, tiene un número infinito de soluciones. Todos aquellos valores, para
tiene un número infinito de soluciones. Todos aquellos valores, para x, y x, y y
y zz que hacen que se cumpla la igualdad. Esta vez cada solución es unaque hacen que se cumpla la igualdad. Esta vez cada solución es una terna ordenada: (
terna ordenada: (x, y, zx, y, z). Su gráfica se traza en un sistema coordenado de). Su gráfica se traza en un sistema coordenado de tres ejes y es un plano.
tres ejes y es un plano.
Por ejemplo, algunas de las ternas ordenadas que
Por ejemplo, algunas de las ternas ordenadas que son solución a la son solución a la ecua- ecua-ción
ción
−−44 −
−44 +
+ +
+7 = 0
7 = 0
son (1, 2, 5), (1, 0, son (1, 2, 5), (1, 0,−
−
3), (2, 1, 5) y (3, 0, 3), (2, 1, 5) y (3, 0, 5),5), en tanto que elen tanto que el plano de arriba es su plano de arriba es su representación gráfica.representación gráfica.
Tres ecuaciones de primer grado con tres variables o incógnitas Tres ecuaciones de primer grado con tres variables o incógnitas conside-radas conjuntamente forman un
radas conjuntamente forman un sistema de ecuaciones lineales con tressistema de ecuaciones lineales con tres variables.
variables. Suele escribirse de la forma:Suele escribirse de la forma:
+ +
+
+
=
=
+ +
+
+
=
=
+ +
+
+
=
=
El objetivo en un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas El objetivo en un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas ge-neralmente es conocer el valor que tomará cada
neralmente es conocer el valor que tomará cada una de las tres incógnitasuna de las tres incógnitas para que las tres ecuaciones se cumplan; así,
para que las tres ecuaciones se cumplan; así, la terna ordenadala terna ordenada
(,,)
(,,)
que que satisface las tres ecuaciones será la solución delsatisface las tres ecuaciones será la solución del sistema de ecuacionessistema de ecuaciones.. La gráfica de cada ecuación por sí m
La gráfica de cada ecuación por sí misma es un plano, de isma es un plano, de modo que la ternamodo que la terna ordenada solución al sistema será el punto de intersección de los tres ordenada solución al sistema será el punto de intersección de los tres planos.
Solución de los sistemas de tres ecuaciones con tres variables
En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas cada una de las ecuaciones representa un plano. De acuerdo con las posibles relaciones que se den entre los tres planos, se determina el tipo de solución que tiene el sistema:
I. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas que no tienen solución:
a. Tres planos paralelos.
b. Dos planos paralelos y otro los corta.
c. Plano paralelo a la línea de corte de los otros dos, corres-ponden las caras de un prisma triangular.
d. Dos planos superpuestos y el otro paralelo.
II. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas que tienen infi-nitas soluciones
a. Tres planos superpuestos.
b. Haz de planos; los tres planos se cortan en una misma recta. c. Dos planos superpuestos y otro que los corta.
III. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas que tienen solu-ción única
a. Tres planos que se cortan en un punto.
Dependiendo del tipo de solución, es posible resumir los tipos de solu-ciones en cuatro casos:
1. No hay ninguna solución cuando se presenta algún tipo de inconsis-tencia, es decir, cuando no hay puntos comunes a los tres planos y, por lo tanto, no hay valores posibles para las tres variables que hagan que las tres ecuaciones sean ciertas (casos I.a., I.b., I.c. y I.d.).
2. La solución es un plano cuando las tres ecuaciones son dependientes entre sí, es decir, cuando la gráfica de las tres ecuaciones es un
3. La solución es una línea recta cuando dos de las ecuaciones que constituyen el sistema tienen algún tipo de dependencia, pero no hay inconsistencia (casos II.c. y II.b.). Las ternas ordenadas que están sobre esa línea recta serán las soluciones al sistema de coordenadas; por lo tanto, también tiene un número infinito de soluciones.
4. La solución es una terna ordenada cuando los tres planos se inter-ceptan (caso III.a.). En tal caso, el sistema es consistente e inde- pendiente.
Métodos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables
Para resolver un sistema de este tipo, se pueden utilizar los mismos métodos empleados para resolver los sistemas de dos variables (sustitución, reducción, igualación, Cramer, etc.).
Dada la complejidad que implica el manejo algebraico de tres incógnitas, reduciremos la exposición de los métodos de solución a dos casos: por reducción o suma y resta, y por determinantes, que son los más sencillos y los más útiles para tratar sistemas de ecuaciones con más incógnitas. Método de reducción
El principio será el mismo que en el caso de dos variables, sólo que ahora nuestra primera intención es reducir un sistema de tres incógnitas a un sistema de dos incógnitas para, posteriormente, resolver este último sis-tema.
Se procede de la misma forma que en los sistemas de ecuaciones con dos variables, es decir, se toman dos de las tres ecuaciones y se elimina una de las variables. Posteriormente, se toma cualquiera de las ecuaciones que se eligieron y en la que no se utilizó se elimina la misma variable, de tal manera que se obtienen dos ecuaciones con dos variables; al hallar la solución del sistema se determina el valor de las dos variables, después se sustituyen en cualquiera de las tres ecuaciones originales, para obtener la tercera variable.
Ejemplos:
1. Resuelva el sistema de ecuaciones:
En primera instancia se procederá a eliminar x de (1) y (2) y de (2) y (3). Sumamos
(1) +(−2)⋅(2)
para obtener(4)
y restamos(2)−(3)
:A continuación, se elimina z de las ecuaciones (4) y (5). Sumamos
5⋅
(4)+2⋅ (5)
Luego se despeja y en (6) y se obtiene
= −2.
Sustituyendo en (4) o (5), se despeja.
Sustituyendo en (1), (2) o (3), se despeja x .
La solución del sistema de ecuaciones es (3, -2, 2).
Se comprueba la respuesta sustituyendo la terna (3,- 2,2) en las ecua-ciones (1), (2) y (3).
Así, el valor (3, -2, 2) se verifica en cada una de las tres ecuaciones originales por lo que es la solución al problema.
ecua-dos incógnitas con ecua-dos ecuaciones y así sucesivamente hasta despejar fá-cilmente una de las incógnitas.
No está por de más recordar que si en el proceso no es posible despejar las incógnitas, el sistema no tendrá solución o tendrá un número infinito de soluciones, dependiendo del tipo de indefinición a la que se llegue, de la misma forma que ocurre con un sistema de dos incógnitas con dos ecua-ciones. Si resulta una igualdad obvia, el sistema tendrá alguna modalidad de dependencia y un número infinito de soluciones; si no hay un valor de la variable que haga que la ecuación resultante sea cierta, el sistema tendrá algún tipo de inconsistencia y ninguna solución.
Método de determinantes o de Cramer
Un determinante de tres por tres es un arreglo rectangular de números de la siguiente forma:
Regla de Sarrus
Para hallar el determinante de un arreglo rectangular de números de di-mensión
3×3
, se repiten las 2 primeras filas (o si se prefiere columnas) y su solución está dada por:Menores y cofactores
Entonces el menor
es el determinante de la matriz obtenido al elimi-nar el primer rengón y la segunda columna de A. Así,Nótese que el cofactor de
es simplemente el menor de
multiplicado ya sea por 1 o por 1, dependiendo de si +
es par o impar. Así, en una matriz de3×3
obtenemos el cofactor de cualquier elemento al poner como prefijo en su menor el signo obtenido de la siguiente forma de tablero de ajedrez.Ahora, estamos listos para definir el determinante de cualquier matriz cuadrada:
En nuestra definición del determinante utilizamos únicamente los cofacto-res de elementos del primer renglón. Esto se llama expandir el determinante por el primer renglón. De hecho, podemos expandir el determinante por cualquier renglón o columna en la misma forma y obtener el mismo resultado en cada caso (aun cuando no demostraremos esto).
La solución general a un sistema de ecuaciones de tres por tres por el método de determinantes se resume de la siguiente forma:
Sistema de ecuaciones:
{
+
+
+
+
=
=
+
+
=
Determinante
Del sistema De la variable x De la variable y De la variable z
|| =
|
| =
|
| =
|
| =
Solución = |
|
||
= |
||
|
= |
||
|
Con|| ≠ 0
Claramente se observa que para que haya una solución de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas se debe cumplir que
|| ≠ 0
. En caso contra-rio, el sistema de ecuaciones tendría muchas soluciones o ninguna y deberá analizarse por otro método.La Regla de Cramer se puede extender para aplicar a cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas en las que el determinante de la matriz de coeficientes no es cero.
Por analogía con nuestra derivación de la Regla de Cramer en el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas, hacemos que
sea la matriz coefi-cientes de este sistema, y que|
|
sea la matriz obtenida al sustituir la i-ésima columna de
por los números
,
,…,
que son los términos inde-pendientes que aparecen a la derecha del signo igual. La solución del sistema está dada entonces por la siguiente regla.Regla de Cramer
Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas
,
,…,
tal que|| ≠
0
tendrá las siguientes soluciones:
=
||
=
||
⋯
=
||
Ejercicios propuestos
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
2. Resuelve los siguientes problemas:
a. Agricultura. Un agricultor tiene 1200 acres de tierras en las que produce maíz, trigo y frijol de soya. Cuesta $45 por acre producir maíz, $60 producir trigo y $50 producir frijol de soya. Debido a la demanda del mercado, el agricultor producirá el doble de acres de trigo que de maíz. Ha asignado $63,750 para el costo de producir sus cosechas. ¿Cuántos acres de cada cul-tivo debe plantar?
b. Gasolinera. Una gasolinera vende tres tipos de gasolina: regu-lar en $3.00 el galón, Performance Plus en $3.20 el galón y Premium en $3.30 el galón. En un día particular se vendieron 6500 galones de gasolina para un total de $20,050. Se vendieron tres veces más galones de gasolina Regular que de Premium. ¿Cuántos galones de cada tipo de gasolina se vendieron ese día?
c. Teoría de números. Un número está formado por 3 dígitos, el dígito de las centenas es la suma de los otros dos, la suma de las decenas y centenas es igual a 7 veces las unidades. Deter-mina el número, de tal manera que si se invierten los dígitos, la diferencia sea 594.
d. Electricidad. Mediante el uso de las Leyes de Kirchhoff, se puede demostrar que las corrientes
,
e
que pasan por las tres ramas del circuito de la fi gura satisfacen el sistema lineal dado. Resuelva el sistema para hallar
,
e
.e. Manufactura de aparatos electrodomésticos. Kitchen Korner pro-duce refrigeradores, lavadoras de loza y estufas en tres fábri-cas diferentes. La tabla siguiente da el número de cada producto producido en cada fábrica por día. Kitchen Korner recibe un pedido por 110 refrigeradores, 150 lavadoras de loza y 114 estufas. ¿Cuántos días debe programarse cada una de las plantas para satisfacer este pedido?
f. Portafolio de acciones. Un inversionista posee tres acciones: A, B y C. Los precios de las acciones al cierre de tres días sucesivos de operaciones de compraventa se dan en la tabla siguiente.
A pesar de la volatilidad en los precios de acciones, el valor total de las acciones del inversionista permaneció sin cambio en $74,000 al final de cada uno de estos tres días. ¿Cuántas porciones de cada acción posee ahora el inversionista?