Sec 12.5, Longitud de Arco y Curvatura

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(1)

12.5 12.5 Longitud Longitud de de arco arco y y curvaturacurvatura

 Calcular la longitud de arco de Calcular la longitud de arco de una curva en el espacio.una curva en el espacio.

 Utilizar el parámetro de longitud de arco para describir una curva plana o curva en elUtilizar el parámetro de longitud de arco para describir una curva plana o curva en el espacio.

espacio.

 Calcular la curvatura de una curva en un punto en Calcular la curvatura de una curva en un punto en la curva.la curva.  Utilizar una función vectorial para calcular la fuerza de Utilizar una función vectorial para calcular la fuerza de rozamiento.rozamiento. Longitud de arco

Longitud de arco

En la sección 10.3 se vio que la longitud de arco de una curva plana suave C dada por las ecuaciones paramétricas

=   = ,≤≤,

es

=∫  ′

+′

.

En forma vectorial, donde

está dada por

=+,

se puede expresar esta ecuación de la longitud de arco como

=∫ ‖′‖



La fórmula para la longitud de arco de una curva plana tiene una extensión natural a una curva suave en elespacio, como se establece en el teorema siguiente.

TEOREMA 12.6 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN

TEOREMA 12.6 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIOEL ESPACIO Si

es una curva suave dada por

=++

en un intervalo

,,

entonces la longitud de arco de en el intervalo es

=∫  ′

+′

+′

=∫ ‖′‖

.

E X P L O R

E X P L O R A C I Ó NA C I Ó N Fórmula para la long itud de arc o

La fórmula para la longitud de arco de una curva en el espacio está dada en términos de las ecuaciones paramétricas que se usan para representar la curva. ¿Significa esto que la longitud de arco de la curva depende del parámetro que se use? ¿Sería deseable que fuera así? Explicar el razonamiento.

Ésta es una representación paramétrica diferente de la curva del ejemplo 1.

=

+43

+12

Hallar la longitud de arco desde

=0

hasta

=√ 2

y comparar el resultado con el encontrado en el ejemplo 1.

EJ EMPLO 1 Hallar la longitud de arco de Hallar la longitud de arco de una curva en el espaciouna curva en el espacio

Hallar la longitud de arco de la curva dada por

= + 43

/

+12

Desde

=0

hasta

=2,

como se muestra en la figura 12.28.

(2)

A medida quetcrece de 0 a 2, el vector



traza una curva Figura 12.28

Figura 12.28 Solución

Solución Utilizando

=, =



/

y

=



se obtiene

=1,

=2

/

y

=.

Por tanto, la longitud de arco desde

=0

hasta

=2

está dada por

=∫  ′

+′

+′



Fórmula para longitud de arco.

=∫  1+4+



=∫  +2

−3



Tablas de integración apéndice B,fórmula 26.

=[+22 +2

−3−32ln+2+ +2

−3] 20

=2√ 13−32ln(4+ √ 13)−1+ 32ln3≈4.816

EJ EMPLO 2 Hallar la longitud de arco de Hallar la longitud de arco de una héliceuna hélice

Hallar la longitud de un giro de la hélice dada por

=  +   +  1−

 

como se muestra en la figura 12.29.

(3)

Un giro de la hélice Figura 12.29 Figura 12.29 Solución

SoluciónSe comienza hallando la derivada.

=−  +   +  1−

Derivada.

Ahora, usando la fórmula para la longitud de arco, se puede encontrar la longitud de un giro de la hélice integrando

‖′‖

desde

0

hasta

2.

=∫ ‖′‖





Fórmula para la longitud de arco.

=∫  





+

+1−



=∫ 



=20=2.

Por tanto, la longitud es

2

unidades. Parámetro longitud de arco Parámetro longitud de arco

Se ha visto que las curvas pueden representarse por medio de funciones vectoriales de maneras diferentes, dependiendo del parámetro que se elija. Para elmovimientoa lo largo de una curva, el

(4)

parámetro adecuado es el tiempo

. Sin embargo, cuando se desean estudiar las propiedades geométricasde una curva, el parámetro adecuado es a menudo la longitud de arco

.

DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LONGITUD DE DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LONGITUD DE ARCOARCO

Sea

una curva suave dada por



definida en el intervalo cerrado

,.

Para

≤≤,

la función longitud de arco

función longitud de arco está dada por

=∫ ‖

‖

=∫  ′

+′

+′

.

A la longitud de arco

se le llama parámetro longitud de arcoparámetro longitud de arco. (Ver la figura 12.30.)

Figura 12.30 Figura 12.30

NOTA

NOTA La función de longitud de arcosesno negativa. Mide la distancia sobre

desde el punto inicial

,,

hasta el punto

,,

.

Usando la definición de la función longitud de arco y el segundo teorema fundamental de cálculo, se concluye que

=‖

‖.

Derivada de la función longitud de arco.

En la forma diferencial, se escribe

=‖

‖.

EJ EMPLO 3 Hallar la función longitud de arco para una Hallar la función longitud de arco para una rectarecta

Hallar la función longitud de arco



para el segmento de recta dado por

=3−3 +4 , 0≤t≤1

(5)

El segmento de recta desde

3,0

hasta

0,4

puede parametrizarse usando el parámetro longitud de arco

Figura 12.31 Figura 12.31 Solución

SoluciónComo

=−3+4 

y

‖

‖= −3

+4

=5

se tiene

=∫ ‖

‖



=∫ 5



=5.

Usando

=5

(o

=/5

), se puede reescribir rr utilizando el parámetro longitud de arco como sigue.

=3− 35+ 45 , 0≤s≤5.

Una de las ventajas de escribir una función vectorial en términos del parámetro longitud de arco es que

‖′‖=1.

De este modo, en el ejemplo 3, se tiene

‖′‖= −35

+45

=1.

Así, dada una curva suave

representada por

,

donde

es el parámetro longitud de arco, la longitud de arco entre a y b es

  =∫ ‖

‖



=∫

=−

(6)

Además, si

es cualquier parámetro tal que

‖

‖=1,

entonces

debe ser el parámetro longitud de arco. Estos resultados se resumen en el teorema siguiente que se presenta sin demostración.

TEOREMA 12.7 PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO TEOREMA 12.7 PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO Si

es una curva suave dada por

=+

o

=++

donde

es el parámetro longitud de arco, entonces

‖

‖=1

Sitescualquierparámetro para la función vectorialrr tal que

‖

‖=1,

entoncestdebe ser el parámetro longitud de arco.

Curvatura Curvatura

Un uso importante del parámetro longitud de arco es hallar la curvaturacurvatura, la medida de cuán agudamente se dobla una curva. Por ejemplo, en la figura 12.32 la curva se dobla más agudamente enPque enQ, y se dice que la curvatura es mayor enPque enQ. Se puede hallar

la curvatura calculando la magnitud de la tasa o ritmo de cambio del vector unitario tangente TT con respecto a la longitud de arco

,

como se muestra en la figura 12.33.

La curvatura en es mayor que en Figura 12.32

Figura 12.32

La magnitud de la tasa o del ritmo de cambio de TT respecto a la longitud de arco es la curvatura de una curva

Figura 12.33 Figura 12.33

DEFINICIÓN DE CURVATURA DEFINICIÓN DE CURVATURA

Sea

una curva suave (en el plano o en el espacio) dada por



donde

es el parámetro

(7)

==‖′‖

Un círculo tiene la misma curvatura en todos sus puntos. La curvatura y el radio del círculo están relacionados inversamente. Es decir, un círculo con un radio grande tiene una curvatura pequeña, y un círculo con un radio pequeño tiene una curvatura grande. Esta relación inversa se explica en el ejemplo siguiente.

EJ EMPLO 4 Hallar la curvatura de un círculoHallar la curvatura de un círculo

Mostrar que la curvatura de un círculo de radio

es

=1/.

La curvatura de un círculo es constante Figura 12.34

Figura 12.34 Solución

Solución Sin pérdida de generalidad, se puede considerar que el círculo está centrado en el srcen. Sea

,

cualquier punto en el círculo y sea

la longitud de arco desde

,0

hasta

,,

como se muestra en la figura 12.34. Denotando por

el ángulo central del círculo, puede representarse el círculo por

= + .

 es el parámetro.

Usando la fórmula para la longitud de un arco circular

=,

se puede reescribir



en términos del parámetro longitud de arco como sigue.

= + 

La longitud de arco s es el parámetro.

Así,

=−



+



de donde se sigue que

‖

‖=1

lo que implica que el vector unitario tangente es

‖‖=



‖′‖==−

+



y la curvatura está dada por

=‖′‖=−1 −1 =1

en todo punto del círculo.

NOTA

NOTA Puesto que una recta no se curva, se esperaría que su curvatura fuera 0. Tratar de comprobar esto hallando la curvatura de la recta dada por

(8)

=3− 35+ 45  .

En el ejemplo 4, la curvatura se encontró aplicando directamente la definición. Esto requiere que la curva se exprese en términos del parámetro longitud de arco

.

El teorema siguiente da otras dos fórmulas para encontrar la curvatura de una curva expresada en términos de un parámetro arbitrario

.

La demostración de este teorema se deja como ejercicio [ver ejercicio 100, incisosa) y b)].

TEOREMA 12.8 FÓRMULAS PARA LA CURVATURA TEOREMA 12.8 FÓRMULAS PARA LA CURVATURA

Si

es una curva suave dada por



entonces la curvatura

de

en

está dada por

=‖′‖

‖′‖ =‖′×′′ ‖

‖′‖

Como

‖′‖=/,

la primera fórmula implica que la curvatura es el cociente de la tasa o ritmo de cambio del vector tangente

entre la tasa o ritmo de cambio de la longitud de arco. Para ver que esto es razonable, sea

∆

un número “pequeño”. Entonces,

′

/=+∆ −′/∆

+∆ −/∆ =+∆ −′

+∆ − =∆∆

En otras palabras, para un

∆

dado, cuanto mayor sea la longitud de

∆,

la curva se dobla más en

,

como se muestra en la figura 12.35.

Figura 12.35 Figura 12.35 EJ EMPLO 5 Hallar la curvatura de una curva en el espacioHallar la curvatura de una curva en el espacio

Hallar la curvatura de la curva definida por

=2 +

−13

.

Solución

SoluciónNo se sabe a simple vista si este parámetro representa la longitud de arco, así es que hay que usar la fórmula

=‖′‖/‖′‖.

=2 +2−

(9)

= 

‖



‖=2 +2−

+2

′=

+22 −2 −22 +2−



+2



=−4 +4−2



+2

 −4

‖′‖=√ 16

+16−16

+4

+16



+2

=2



+2

+2

= 2

+2

Longitud de 

t

Por tanto,

=‖′‖

‖′‖ = 2



+2

Curvatura.

El teorema siguiente presenta una fórmula para calcular la curvatura de una curva plana dada por

=.

TEOREMA 12.9 CURVATURA EN COORDENADAS RECTANGULARES TEOREMA 12.9 CURVATURA EN COORDENADAS RECTANGULARES

Si

es la gráfica de una función dos veces derivable

=

entonces la curvatura

en el punto

,

está dada por

= |′′|

1+

/

.

DEMOSTRACIÓN

DEMOSTRACIÓN Si se representa la curva

por

= +   +0

(donde

es el parámetro), se obtiene

′= + ′ ,

‖′‖= 1+ ′

Y

′′= ′′ ,

Como

×



=



 

se sigue que la curvatura es

=‖′×′′ ‖

‖′‖

= | ′′|

{1+ ′

}

/

= |′′|

1+

/

Sea

una curva con curvatura en el punto

. El círculo que pasa por el punto de radio

=1/

se denomina el círculo de curvaturacírculo de curvatura si su centro se encuentra en el lado cóncavo de la curva y

(10)

tiene en común con la curva una recta tangente en el punto P. Al radio se le llama el radio deradio de curvatura

curvatura en y al centro se le llama el centro de curvaturacentro de curvatura.

El círculo de curvatura permite estimar gráficamente la curvatura Ken un puntoPde una curva. Usando un compás, se puede trazar un círculo contra el lado cóncavo de la curva en el punto P , como se muestra en la figura 12.36. Si el círculo tiene radio r , se puede estimar que la curvatura es

=1/.

El círculo de curvatura Figura 12.36 Figura 12.36

EJ EMPLO 6 Hallar la curvatura en coordenadas rectangularesHallar la curvatura en coordenadas rectangulares

Hallar la curvatura de la parábola dada por

=−



en

=2.

Dibujar el círculo de curvatura en

2,1.

El círculo de curvatura Figura 12.37 Figura 12.37 Solución

SoluciónLa curvatura en

=2

se calcula como sigue:

(11)



=−12



=−12

= |′′|

1+′

/

=12

Como la curvatura en

2,1

es



,

el radio del círculo de curvatura en ese punto es 2. Por tanto, el centro de curvatura es

2,−1,

como se muestra en la figura 12.37. [En la figura, obsérvese que la curva tiene la mayor curvatura en P. Trate de mostrar que la curvatura en

4,0

es

1/2



≈0.177.

La longitud de arco y la curvatura están estrechamente relacionadas con las componentes tangencial y normal de la aceleración. La componente tangencial de la aceleración es la tasa o ritmo de cambio de la rapidez, que a su vez es la tasa o ritmo de cambio de la longitud de arco. Esta componente es negativa cuando un objeto en movimiento reduce su velocidad y positiva cuando la aumenta, independientemente de si el objeto gira o viaja en una recta. En consecuencia, la componente tangencial es solamente función de la longitud de arco y es independiente de la curvatura.

Por otro lado, la componente normal de la aceleración es función tanto de la rapidez como de la curvatura. Esta componente mide la aceleración que actúa perpendicular a la dirección del movimiento. Para ver por qué afectan la rapidez y la curvatura a la componente normal, imaginarse conduciendo un automóvil por una curva, como se muestra en la figura 12.38. Si la velocidad es alta y la curva muy cerrada, se sentirá empujado contra la puerta del automóvil. Al bajar la velocidadotomar una curva más suave, se disminuye este efecto de empuje lateral.

La fuerza del empuje lateral que perciben los pasajeros en un automóvil que toma una curva depende de dos factores: la rapidez del automóvil y lo brusco de la curva

Figura 12.38 Figura 12.38

El teorema siguiente establece explícitamente la relación entre rapidez, curvatura y componentes de la aceleración.

TEOREMA 12.

TEOREMA 12.10 ACELERACIÓN, RAPIDEZ Y 10 ACELERACIÓN, RAPIDEZ Y CURVATURACURVATURA

Si



es el vector posición de una curva suave

, entonces el vector aceleración está dado por

=



+ 

donde

es la curvatura de

y

/

es la rapidez.

DEMOSTRACIÓN

DEMOSTRACIÓNPara el vector posición

,

se tiene

(12)

=

‖‖+‖‖‖′‖

=



+‖‖

=



+ 

EJ EMPLO 7 Componentes tangencial y normal de la aceleraciónComponentes tangencial y normal de la aceleración

Hallar

y

de la curva dada por

=2 +

−13

.

Solución

SoluciónPor el ejemplo 5, se sabe que

=‖′‖=

+2  = 2



+2

.

Por tanto,

=



=2

Componente tangencial.

Y

=

= 2



+2



+2

=2

Componente normal

Aplicación Aplicación

Hay muchas aplicaciones prácticas en física e ingeniería dinámica en las que se emplean las relaciones entre rapidez, longitud de arco, curvatura y aceleración. Una de estas aplicaciones se refiere a la fuerza de fricción o de rozamiento.

Un objeto de masa m en movimiento está en contacto con un objeto estacionario. La fuerza

requerida para producir una aceleración

a lo largo de una trayectoria dada es

== 



+ 

=

+

.

La porción de esta fuerza que es proporcionada por el objeto estacionario se llama fuerza defuerza de fricción

fricción o de rozamientode rozamiento. Por ejemplo, si un automóvil se mueve con rapidez constante tomando una curva, la carretera ejerce una fuerza de fricción o rozamiento que impide que el automóvil salga de la carretera. Si el automóvil no se desliza, la fuerza de fricción es perpendicular a la dirección del movimiento y su magnitud es igual a la componente normal de la aceleración, como se muestra en la figura 12.39. La fuerza de rozamiento (o de fricción) potencial de una carretera en una curva puede incrementarse peraltando la carretera.

(13)

La fuerza de fricción es perpendicular a la dirección del movimiento Figura 12.39

Figura 12.39 EJ EMPLO 8 Fuerza de fricciónFuerza de fricción

Un coche de carreras (kart) de 360 kilogramos viaja a una velocidad de 60 kilómetros por hora por una pista circular de 12 metros de radio, como se muestra en la figura 12.40. ¿Qué fuerza de fricción (o rozamiento) debe ejercer la superficie en los neumáticos para impedir que el coche salga de su curso?

Figura 12.40 Figura 12.40 Solución

SoluciónLa fuerza de fricción o rozamiento debe ser igual a la masa por la componente normal de aceleración. En el caso de esta pista circular, se sabe que la curvatura es

= 112

Curvatura de la pista circular

Por consiguiente, la fuerza de fricción es



= 

=360  112 60 000 

3 600  

≈8,333 /

(14)

12.5 Ejercicios 12.5 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 6, dibujar la curva plana y hallar su longitud en el i

En los ejercicios 1 a 6, dibujar la curva plana y hallar su longitud en el intervalo dado.ntervalo dado.

1. = +3 , 0,4

Solución:

2. = + 

, 0,4

Solución:

(15)

3. =

+

, 0,2

Solución:

4. =+1 +

, 0,6

Solución:

5. =

 + 

 , 0,2

Solución:

(16)

6. =cos +  , 0,2

Solución:

7.

7. Movimiento de un proyectil Una pelota de béisbol es golpeada desde 3 pies sobre el nivel del suelo a 100 pies por segundo y con un ángulo de 45° con respecto al nivel del suelo.

a) Hallar la función vectorial de la trayectoria de la pelota de béisbol. b) Hallar la altura máxima.

c ) Hallar el alcance.

d ) Hallar la longitud de arco de la trayectoria. Solución:

8.

8. Movimiento de un proyectil Un objeto se lanza desde el nivel del suelo. Determinar el ángulo del lanzamiento para obtenera) la altura máxima,b) el alcance máximo yc ) la longitud máxima de la trayectoria. En el incisoc ), tomar

=96

pies por segundo.

(17)

En los ejercicios 9 a 14,

En los ejercicios 9 a 14, dibujar la curva en el espacio y hallar su dibujar la curva en el espacio y hallar su longitud sobre el intervalolongitud sobre el intervalo dado. dado. Función Intervalo

9. =− +4 +3 ,

0,1

Solución:

10. = +

+

,

0,2

Solución:

(18)

11. =〈4,− cos, 〉,

[0,32]

Solución:

12. =〈2 ,5,2cos 〉,

0,

Solución:

13. =cos +   + ,

0,2

Solución:

(19)

14. =〈cos+  , − ,

〉,

0,2

Solución:

En los ejercicios 15 y 16, usar las funciones de integración de una herramienta de En los ejercicios 15 y 16, usar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar la longitud de la

graficación para aproximar la longitud de la curva en el espacio sobre el intervalo dado.curva en el espacio sobre el intervalo dado.

Función Intervalo

15. =

+ + ln 

1≤≤3

Solución:

16. =  +cos +

 0≤ ≤2

Solución: 17.

17. Investigación Considerar la gráfica de la función vectorial

= + 4− 

 +

en el intervalo

0,2.

a) Aproximar la longitud de la curva hallando la longitud del segmento de recta que une sus extremos.

b) Aproximar la longitud de la curva sumando las longitudes de los segmentos de recta que unen los extremos de los vectores

0,0.5,1,1.5

y

2.

(20)

c ) Describir cómo obtener una estimación más exacta mediante los procesos de los incisos a) y

b).

d ) Usar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar la longitud de la curva. Comparar este resultado con las respuestas de los incisosa) yb).

Solución:

18.

18. Investigación Repetir el ejercicio 17 con la función vectorial

=6cos /4 +

2/4  + .

Solución:

19.

19. Investigación Considerar la hélice representada por la función vectorial

=

〈2cos,2 ,〉.

a) Expresar la longitud de arcosde la hélice como función detevaluando la integral

=∫  ′

+′

+′



b) Despejarten la relación deducida en el inciso a), y sustituir el resultado en el conjunto de ecuaciones paramétricas srcinal. Esto da una parametrización de la curva en términos del parámetro longitud de arco

c ) Hallar las coordenadas del punto en la hélice con longitud de arco

=√ 5

y

=4.

d ) Verificar que

‖′‖=1.

(21)

Solución:

20.

20. Investigación Repetir el ejercicio 19 con la curva representada por la función vectorial

=〈4 − ,4cos − ,32

〉.

Solución:

(22)

En los ejercicios 21 a 24, hallar la curvatura

En los ejercicios 21 a 24, hallar la curvatura

de la curva dondede la curva donde

es el parámetro longitudes el parámetro longitud de arco. de arco.

21. =1+ √ 22 +1−√ 22 

Solución:

22. =3+ + 

Solución: 23.

23. La hélice del ejercicio 19:

=〈2cos,2 ,〉.

(23)

24.

24. La curva del ejercicio 20:

=〈4 − ,4cos − ,32

〉.

Solución:

En los ejercicios 25 a 30, hallar la curvatura

En los ejercicios 25 a 30, hallar la curvatura K de la curva plana en el valor dado delde la curva plana en el valor dado del parámetro. parámetro.

25. =4 − , =1

Solución:

26. =

+ , =2

Solución:

27. = + 1 , =1

Solución:

(24)

28. = + 19

, =2

Solución:

29. =〈, 〉, =2

(25)

30. =〈5cos,4  〉, =3

Solución:

En los ejercicios 31 a

En los ejercicios 31 a 40, hallar la curvatura40, hallar la curvatura K de la curva.de la curva.

31. =4cos2 +4 2 

Solución:

32. =2cos +  

Solución:

(26)

33. =cos +   

Solución:

34. =cos +   

Solución:

35. =〈−sen ,1−   〉

Solución:

(27)

36. =〈cos+ , − 〉

Solución:

37. = + 

+

2 

Solución:

38. =2

+  + 

2 

Solución:

(28)

39. =4 +3cos +3sen t 

Solución:

40. =



+



cos +



  

Solución: En los ejercicios 41 a 44,

En los ejercicios 41 a 44, encontrar la curvaturaencontrar la curvaturaKde la curva en el puntode la curva en el puntoP..

41. =3 +2

, −3,2

Solución:

42. =

+4 , 1,0

Solución:

43. = + 

+

4 , 2,4,2

Solución:

(29)

44. =

cos +

  +

, 1,0,1

Solución:

En los ejercicios 45 a 54, hallar la curvatura y el radio de curvatura de la curva plana en el En los ejercicios 45 a 54, hallar la curvatura y el radio de curvatura de la curva plana en el valor dado de valor dado de

.

45. =3 − 2, =

Solución:

46. = + , =

Solución:

47. =2

+3, =−1

Solución:

48. =2+ 4, =1

Solución:

49. =c os2, =2

(30)

Solución:

50. =



, =0

Solución:

51. =  

−

, =0

Solución:

52. = 34 16−

, =0

Solución:

53. =

, =2

Solución:

54. =

, =1,  ≥2

Solución:

Redacción En los ejercicios 55 y 56, se dan dos círculos de curvatura de la gráfica de laEn los ejercicios 55 y 56, se dan dos círculos de curvatura de la gráfica de la función.

función. a) Hallar la ecuación del círculo menor, y) Hallar la ecuación del círculo menor, y b) escribir un párrafo corto que explique) escribir un párrafo corto que explique por qué los círculos tienen radios diferentes.

por qué los círculos tienen radios diferentes.

(31)

Solución:

56. =4

/

+3

(32)

En los ejercicios 57 a 60, usar una herramienta de graficación para representar la función. En los ejercicios 57 a 60, usar una herramienta de graficación para representar la función. En la misma pantalla,

En la misma pantalla, representar el círculo de curvatura de la gráfica en el representar el círculo de curvatura de la gráfica en el valor dado devalor dado de

.

57. =+

1

, =1

Solución:

58. = ln, =1

Solución:

(33)

59. =

, =0

Solución:

(34)

60. = 13

, =1

Solución:

Evoluta Un evoluta es la curva formada por el conjunto de centros de curvatura de unaUn evoluta es la curva formada por el conjunto de centros de curvatura de una curva. En los ejercicios 61 y 62 se dan una curva y su evoluta. Usar un compás para trazar curva. En los ejercicios 61 y 62 se dan una curva y su evoluta. Usar un compás para trazar los círculos de curvatura con centros en los

los círculos de curvatura con centros en los puntospuntos

61. : =− , =1−cos

: = +, =cos−1

(35)

62. : =3cos, =2 

: = 53

, = 52

Solución:

En los ejercicios 63 a 70

En los ejercicios 63 a 70 a) hallar el punto de la curva en el que la curvatura) hallar el punto de la curva en el que la curvatura

es máxima y es máxima y b) hallar el límite de cuando) hallar el límite de cuando

→∞.

63. = −1

+3

Solución:

64. =

Solución:

(36)

65. =

/

Solución:

66. = 1

Solución:

67. =ln

Solución:

(37)

68. =

Solución:

69. =ℎ 

Solución:

70. =cosh

Solución:

En los ejercicios 71 a 74, hallar todos los puntos de la gráfica de una función en los que la En los ejercicios 71 a 74, hallar todos los puntos de la gráfica de una función en los que la curvatura es cero. curvatura es cero.

71. =1−

Solución:

72. = −1

+3

Solución:

(38)

73. =cos

Solución:

74.  = 

Solución: Desarrollo de conceptos Desarrollo de conceptos 75.

75.a) Dada la fórmula para la longitud de arco de una curva suave en el espacio. b) Dada las fórmulas para la curvatura en el plano y en el espacio.

Solución: 76.

76. Describir la gráfica de una función vectorial para la que la curvatura sea 0 en todos los valores

tde su dominio. Solución:

Desarrollo de conceptos (continuación) Desarrollo de conceptos (continuación)

(( 77.

77. Dada una función dos veces derivable

=

, determinar su curvatura en un extremo relativo. ¿Puede la curvatura tener valores mayores que los que alcanza en un extremo relativo? ¿Por qué sí o por qué no?

Solución:

Para discusión Para discusión

78.

(39)

a) Encontrar la longitud de

en el intervalo

0≤≤2

b) Encontrar la curvatura

de la curva plana en

=0,=1

, y

=2.

c ) Describir la curvatura de

cuando

varía desde

=0

hasta

=2.

Solución:

79.

79. En la elipse dada por

+4

=4,

mostrar que la curvatura es mayor en los puntos terminales del eje mayor, y es menor en los puntos terminales del eje menor.

Solución:

80.

80. Investigación Hallar todos los

y

tales que las dos curvas dadas por

=−  

= +2

se corten en un solo punto y tengan una recta tangente común y curvatura igual en ese punto. Trazar una gráfica para cada conjunto de valores deayb.

(40)

81.

81. Investigación Considerar la función

=

−

.

a) Usar un sistema computacional para álgebra y encontrar la curvatura

de la curva como

función de

.

b) Usar el resultado del incisoa) para hallar los círculos de curvatura de la gráfica de

en

=0

y

=1.

Usar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la función y los dos círculos de curvatura.

c ) Representar gráficamente la función



y compararla con la gráfica de

.

Por ejemplo, ¿se presentan los extremos de

y

en los mismos números críticos? Explicar el razonamiento. Solución:

82.

82. Investigación La superficie de una copa se forma por revolución de la gráfica de la función

=14

/

, 0≤≤5

en torno al ejey . Las medidas se dan en centímetros.

a) Usar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la superficie.

b) Hallar el volumen de la copa.

c ) Hallar la curvatura

de la curva generatriz como función de

.

Usar una herramienta de graficación para representar

.

d ) Si un objeto esférico se deja caer en la copa, ¿es posible que toque el fondo? Explicar la respuesta.

(41)

83.

83. Una esfera de radio 4 se deja caer en el paraboloide dado por

=

+

a) ¿Qué tanto se acercará la esfera al vértice del paraboloide?

b) ¿Cuál es el radio de la esfera mayor que toca el vértice?

Solución:

84.

84. Rapidez Cuanto menor es la curvatura en una curva de una carretera, mayor es la velocidad a la que pueden ir los automóviles. Suponer que la velocidad máxima en una curva es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la curvatura. Un automóvil que recorre la trayectoria

=



(

y

medidos en millas) puede ir con seguridad a 30 millas por hora en

(42)

Solución:

85.

85. Sea

una curva dada por

=.

Sea

la curvatura

≠0

en el punto



,

y sea

=1+′

′′

Mostrar que las coordenadas

,

del centro de curvatura en

son

,=

−



,

+



(43)

86.

86. Usar el resultado del ejercicio 85 para hallar el centro de curvatura de la curva en el punto dado.

 =

, 0,1  = 

2, 1,12  =

, 0,0

Solución:

87.

87. Se da una curva

por medio de la ecuación polar

=.

Mostrar que la curvatura

en el punto es

,

es

=2′

′

−

+



+

/

Sugerencia:Representar la curva por

r=  +  .

] Solución:

88.

88. Usar el resultado del ejercicio 87 para hallar la curvatura de cada una de las curvas polares.

 =1+   =  =   =

Solución:

(44)

89.

89. Dada la curva polar

=



,>0,

hallar la curvatura

y determinar el límite de

cuandoa)

→∞

yb)

→∞.

Solución:

90.

90. Mostrar que la fórmula para la curvatura de una curva polar

=

dada en el ejercicio 87 se reduce a

=2/ |′|

para la curvaturaen el polo.

Solución:

En los ejercicios 91 y 92, usar el resultado del ejercicio 90 para hallar la curvatura de la En los ejercicios 91 y 92, usar el resultado del ejercicio 90 para hallar la curvatura de la curva rosa en el polo.

curva rosa en el polo.

91.  =4 2

(45)

92.  =6 3

Solución:

93.

93. Para la curva suave dada por las ecuaciones paramétricas

=

y

=,

demostrar que la curvatura está dada por

= 

{ ′





−

+′

 ′′

}

/

.

Solución:

94.

94. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura

de la curva representada por ecuaciones paramétricas

=

y

=



.

Usar una herramienta de graficación para representar

y determinar toda asíntota horizontal. Interpretar las asíntotas en el contexto del problema.

(46)

95.

95. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura

de la cicloide representada por las ecuaciones paramétricas

=−   =1−

¿Cuáles son los valores mínimo y máximo de

? Solución:

96.

96. Usar el teorema 12.10 para encontrar

y

de cada una de las curvas dadas por las funciones vectoriales.

(47)

Solución:

97.

97. Fuerza de rozamiento o de fricción Un vehículo de 5 500 libras va a una velocidad de 30 millas por hora por una glorieta de 100 pies de radio. ¿Cuál es la fuerza de fricción o de rozamiento que debe ejercer la superficie de la carretera en los neumáticos para impedir que el vehículo salga de curso?

Solución:

98.

98. Fuerza de rozamiento o de fric ci ón Un vehículo de 6 400 libras viaja a 35 millas por hora en una glorieta de 250 pies de radio. ¿Cuál es la fuerza de fricción o de rozamiento que debe ejercer la superficie de la carretera en los neumáticos para impedir que el vehículo salga de curso? Solución:

99.

99. Verificar que la curvatura en cualquier punto

,

de la gráfica de

=cosh

es

1/

. Solución:

100.

100. Usar la definición de curvatura en el espacio

=‖′‖=‖′′‖,

para verificar cada una de las fórmulas siguientes.

 = ‖′‖

‖′‖

 = ‖′×′′ ‖

‖′‖

 = 

‖‖

.

Solución:

(48)

¿ Verdadero o falso? En los ejercicios 101 a 104, determinar si la declaración es verdaderaEn los ejercicios 101 a 104, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa.

o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 101.

101. La longitud de arco de una curva en el espacio depende de la parametrización. Solución:

102.

102. La curvatura de un círculo es igual a su radio. Solución:

103.

103. La curvatura de una recta es 0. Solución:

104.

104. La componente normal de la aceleración es función tanto de la velocidad como de la curvatura.

(49)

Leyes de Kepler En los ejercicios 105 a 112, se pide verificar las leyes de Kepler delEn los ejercicios 105 a 112, se pide verificar las leyes de Kepler del movimiento planetario. En estos ejercicios, suponer que todo planeta se mueve en una movimiento planetario. En estos ejercicios, suponer que todo planeta se mueve en una órbita dada por la función vectorial r. Sean

órbita dada por la función vectorial r. Sean

=‖‖,

G la constante gravitatoria universal,la constante gravitatoria universal, M la masa del Sol y

la masa del Sol y m la masa del planeta.la masa del planeta. 105.

105. Demostrar que

.

=

Solución:

106.

106. Usando la segunda ley del movimiento de Newton,

=,

y la segunda ley de la gravitación de Newton,

=−/

,

mostrar queaa y r r son paralelos, y que

×

=

es un vector constante. Por tanto,



se mueve en un plano fijo, ortogonal a

Solución: 107. 107. Demostrar que

= 1

{×′ ×}

Solución: 108.

108. Mostrar que



×−



=

es un vector constante. Solución:

(50)

109.

109. Demostrar la primera ley de Kepler: todo planeta describe una órbita elíptica con el Sol como uno de sus focos.

Solución:

110.

110. Suponer que la órbita elíptica

=/1+cos

está en el plano

,

con

a lo largo del eje

. Demostrar que

‖‖=

/.

Solución:

111.

111. Demostrar la segunda ley de Kepler: todo rayo del Sol a un planeta barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.

(51)

Solución:

112.

112. Demostrar la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo de la órbita de un planeta es proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta y el Sol.

Figure

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Referencias