Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre

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habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierte en habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierte en la Figura 1, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectado a un la Figura 1, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectado a un dispositivo

dispositivo amortiguadoramortiguador..

Figura 1. Movimiento Libre

Figura 1. Movimiento Libre AmortiguadoAmortiguado

Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre

Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre

En mecánica, se

En mecánica, se considera que las fuerzas de considera que las fuerzas de amortiguamienamortiguamiento que to que actúan sobre un cuerpoactúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de

constante de









. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la

segunda ley de Newton: segunda ley de Newton:





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Donde

Donde



 es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta a la del movimiento. del hecho de que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta a la del movimiento.

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UNIVERSIDAD

UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL JORGE JORGE BASADRE BASADRE GROHMANNGROHMANN FACULTAD DE INGIENERIA CIVIL, ARQUITECTURA Y

FACULTAD DE INGIENERIA CIVIL, ARQUITECTURA Y GEOTECNIAGEOTECNIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGIENERIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGIENERIA GEOLOGICA - GEOTECNIAGEOLOGICA - GEOTECNIA

 Al

 Al dividir dividir la la ecuación ecuación (1.1) (1.1) entre entre la la masamasa

 

 

, la ecuación diferencial del movimiento libre, la ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado es: amortiguado es:



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

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   (1.3)(1.3) El símbolo 2λ

El símbolo 2λ solo se usa solo se usa por comodidad algebraica, porque así por comodidad algebraica, porque así la ecuación auxiliar quedala ecuación auxiliar queda



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   (1.4)(1.4)  Ahora podemo

 Ahora podemos distinguir tres cs distinguir tres casos posibles asos posibles que dependen dque dependen del signo alel signo algebraico degebraico de



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Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento

Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento







,, λ > 0, losλ > 0, los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.

desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.

CASO I

CASO I

:

:



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 

 Aquí-,

 Aquí-, se se dice dice que que el el sistema sistema está está sobre sobre amortiguado amortiguado porque porque el el coeficiente coeficiente dede amortiguamiento,

amortiguamiento,



, es grande comparado con la constante de resorte,, es grande comparado con la constante de resorte,

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. La solución. La solución correspondien

correspondiente de te de (1.2) es(1.2) es

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

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



   (1.5)(1.5)

Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura 2 muestra dos Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura 2 muestra dos gráficas posibles de x (t).

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Figura 2. Figura 2.

CASO II:

CASO II:





 

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 

Se dice que el sistema está críticamente amortiguado puesto que cualquier pequeña Se dice que el sistema está críticamente amortiguado puesto que cualquier pequeña disminución de la fuerza de amortiguamiento originará un movimiento oscilatorio. La disminución de la fuerza de amortiguamiento originará un movimiento oscilatorio. La solución general de la ecuación (1.2) es:

solución general de la ecuación (1.2) es:

  



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  

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

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

   (1.6)(1.6)

En la figura 3 vemos dos típicos gráficos de este movimiento. Obsérvese que se parecen En la figura 3 vemos dos típicos gráficos de este movimiento. Obsérvese que se parecen mucho a los de un sistema sobre amortiguado. También se aprecia, según la ecuación mucho a los de un sistema sobre amortiguado. También se aprecia, según la ecuación (1.6), que la masa puede pasar por la posición de equilibrio, a lo más una vez.

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UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL JORGE JORGE BASADRE BASADRE GROHMANNGROHMANN FACULTAD DE INGIENERIA CIVIL, ARQUITECTURA Y

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CASO III:

CASO III:



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 

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 

Se dice que el sistema está subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es Se dice que el sistema está subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces m

pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces m11 y y mm22  son  son

complejas: complejas:





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

Entonces, la solución general de la ecuación (1.2) es: Entonces, la solución general de la ecuación (1.2) es:

  

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

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   (1.7)(1.7)

Como se aprecia en la figura 4, el movimiento que describe (1.7) es oscilatorio pero, a Como se aprecia en la figura 4, el movimiento que describe (1.7) es oscilatorio pero, a causa del coeficiente

causa del coeficiente







, las amplitudes de vibración tienden a cero cuando, las amplitudes de vibración tienden a cero cuando

  

Figura 4 Figura 4

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PROBLEMAS:

PROBLEMAS:

EJEMPLO 1: EJEMPLO 1:

Un contrapeso de 4 lb se une a un resorte cuya constante es de 2 lb/pie. El medio presenta Un contrapeso de 4 lb se une a un resorte cuya constante es de 2 lb/pie. El medio presenta una resistencia el movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el una resistencia el movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el contrapeso se suelta de un punto a 1 pie de arriba de la posición de equilibrio con una contrapeso se suelta de un punto a 1 pie de arriba de la posición de equilibrio con una velocidad de 8 pie/s hacia abajo, calcule el tiempo en que pasa

velocidad de 8 pie/s hacia abajo, calcule el tiempo en que pasa por la posición de equilibrio.por la posición de equilibrio. Encuentre el momen

Encuentre el momento en que el contrapeso llega a su desplto en que el contrapeso llega a su desplazamiento extremo azamiento extremo respecto arespecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante?

la posición de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante? Solución:

Solución: Tenemos que

Tenemos que





. Entonces:. Entonces:

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Por lo tanto la ecuación diferencial del movimiento es: Por lo tanto la ecuación diferencial del movimiento es:

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Las condiciones iniciales son: Las condiciones iniciales son:

 

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La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial: La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial:

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Seria:

Seria:

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

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Por lo tanto sus raíces son

Por lo tanto sus raíces son

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. Por lo tanto el sistema es críticamente. Por lo tanto el sistema es críticamente amortiguado y

amortiguado y

  

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

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   (1.8)(1.8)  Al aplicar las co

 Al aplicar las condicionendiciones iniciales:s iniciales:

 

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UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL JORGE JORGE BASADRE BASADRE GROHMANNGROHMANN FACULTAD DE INGIENERIA CIVIL, ARQUITECTURA Y

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ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGIENERIA GEOLOGICA - GEOTECNIAGEOLOGICA - GEOTECNIA

   

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  

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   (1.9)(1.9) Para graficar

Para graficar



, se calcula el valor de t donde la función tiene un extremo esto es, el valor, se calcula el valor de t donde la función tiene un extremo esto es, el valor del tiempo para que la

del tiempo para que la primera derivada (velocidadprimera derivada (velocidad) es ) es cero. Al diferenciar la ecuación cero. Al diferenciar la ecuación (1.9)(1.9) tenemos: tenemos:





 

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





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 

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



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



 Así que:  Así que:

  



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

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

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

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

  

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



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

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







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



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

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

 



Por lo tanto el momento en que el contrapeso llega a su desplazamiento extremo, respecto Por lo tanto el momento en que el contrapeso llega a su desplazamiento extremo, respecto a la posición de equilibrio. a la posición de equilibrio. Sera: Sera:



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

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

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