Matriz Espectral y Matriz Modal

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(1)

 Matriz espectral y matriz modal   Matriz espectral y matriz modal 

La matriz espectral es aquella cuya diagonal tiene los valores característicos de la matriz La matriz espectral es aquella cuya diagonal tiene los valores característicos de la matriz original. Esta puede utilizarse como la diagonal en una descomposición.

original. Esta puede utilizarse como la diagonal en una descomposición. A=LDU

A=LDU

La matriz

La matriz modal es aquella modal es aquella cuyas columnas son los cuyas columnas son los vectores cvectores característicos.aracterísticos. Sacaremos los valores y

Sacaremos los valores y vectores característicos del siguiente sistema vectores característicos del siguiente sistema de ecuaciones:de ecuaciones: 6x-3y+7z=4 6x-3y+7z=4 2x+4y-2z=-1 2x+4y-2z=-1 x-y-z=-5 x-y-z=-5                                                    Det= Det=                          Det= Det= 66 ))                           Det= Det= 66 ))                 Det= Det=                  Det= Det=           Det= Det=          Igualamos a 0 y r

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación de 3esolvemos la ecuación de 3er er gradogrado

             

Sus raíces son los valores característicos Sus raíces son los valores característicos

(2)

Ahora los vectores característicos de la forma Ahora los vectores característicos de la forma

 

       

Para e

Para el vl vector ector característico característico 11==

               

  

  

     

Se resuelve el sistema de ecuaciones de 3x3 Se resuelve el sistema de ecuaciones de 3x3

                                                   

Primer vector característico Primer vector característico

 

(3)

Para e

Para el vl vector ector característico característico 22==    

                                                                                                                              

Segundo vector característico Segundo vector característico

 

                    

Para e

Para el vl vector ector característico característico 22==    

              

(4)

                                                                                             

Segundo vector característico Segundo vector característico

                        Matriz espectral Matriz espectral                       Matriz modal Matriz modal                     Obtenemos que Obtenemos que M M-1-1AM=SAM=S MM MM-1-1AM=MSAM=MS AM=MS AM=MS

(5)

Entonces comprobamos Entonces comprobamos

Multiplicando la matriz original por la matriz modal Multiplicando la matriz original por la matriz modal

                  

                                                  

Multiplicando la matriz modal por la espectral Multiplicando la matriz modal por la espectral

                

                                              Si las matrices resultantes son iguales, los eigenvectores y eigenvalores son

Si las matrices resultantes son iguales, los eigenvectores y eigenvalores son correctoscorrectos

Ahora 2 ejercicios sacados de la pag 423 del libro Algebra Lineal cuyo autor es Grossman: Ahora 2 ejercicios sacados de la pag 423 del libro Algebra Lineal cuyo autor es Grossman:

                                                    Det= Det=                            Det= Det= 44 ))                         

(6)

Det= Det= 44 ))                Det= Det=                  Det= Det=           Det= Det=                                  Para e

Para el vl vector ector característico característico 11==

                                                       

Primer vector característico Primer vector característico

 

(7)

Para e

Para el vl vector ector característico característico 11==

  

   

   

            

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Segundo vector característico Segundo vector característico

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