141998755 Fluidos Mecanica de Fluidos COMSOL PDF

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ISBN 978-84-61 1-73 18-1 D. Legal: B. 50824-2007

Introduccion a la

Mecanica de Fluidos y

Transferencia de Calor

con

COMSOL Multiphysics

R.

Torres

y

J.

Grau

@

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m r d h

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Convenciones tipogrificas

Para mas informacion sobre el software COMSOL MultiphysicdM consulte la pagina web http://www.multifisica.es.

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El entorno COMSOL utiliza exclusivamente el punto como separador decimal. Para no mezclar la utilization del punto y de la coma como separadores decimales se ha optado por especificar en todo el documento la separation decimal mediante

un punto.

En negrita se han realzado las palabras que aparecen escritas de la misma f o m a en el entorno de trabajo de COMSOL.

Se han especificado en cursiva 10s valores que el usuario debe introducir o seleccionar en 10s cuadros de dialogo del entorno de trabajo.

Las diferentes opciones de menu que el usuario debe seguir para llegar a una opcion determinada se han enlazado rnediante el simbolo >. Por ejemplo, Physics > Subdomain Settings

...

nos indica acceder a1 menu Physics y seleccionar la opci6n Subdomain Settings.

..

(5)

vii

-.

Prefacio

La importancia que en la actualidad tienen 10s mCtodos computacionales de

simulaci6n esta fuera de toda duda. En el Ambit0 especifico de la ingenieiia,

la simulacibn numCrica de fen6rnenos de interCs practico tiene tal influencia

en el desarrollo de nuevos productos o tecnologias que no se plantean

nuevos

disefios

o

prototipos

sin

antes

haberlos

contrastado

computacionalmente.

Hasta hace relativamente poco tiempo, el modelado y simulacion fisicos

pasaban por el desarrollo de rutinas especificas destinadas a la solucion de

problemas particulares y, por tanto, muy poco escalables. En general, estos

desarrollos se fundamentaban en arquitecturas de programacion que eran

practicamente imposibles de integrar, y obligaba a contar con la

colaboracibn de una gran variedad de personal altamente cualificado tanto

en la fisica que se deseaba modelar como en las ttcnicas

y herramientas

computacionales relacionadas. En la actualidad, el nivel de sofisticacion

alcanzado por 10s entornos disponibles (corno es el caso de COMSOL) ha

permitido solventar todos estos problemas.

Con estas premisas, 10s autores han planeado con la edicion de este texto

poner a disposici6n de aquellas personas, estudiantes o no, con inquietudes

alrededor de la simulacion num~rica

y conocimientos basicos de mecanica

de fluidos y de transferencia de calor, de un mCtodo simple a travCs del cual

conQcer y diseiiar correctamente las etapas inherentes en todo proceso de

simulacion. Algunas

evidentes

y

razonables, otras,

unicamente

identificables una vez se esta enfientado a1 problema: la calidad de la malla

(grid) con la que se dicretiza el dominio de trabajo, el establecimiento

correct0 de las condiciones de contorno ylo iniciales, el modelado adecuado

del fenorneno bajo estudio, asi como la interpretation correcta de 10s

resultados obtenidos y su alcance son algunas de las caracteristicas que

deben ser valoradas de forma rigurosa.

Con este texto, 10s autores desean introducir mediante problemas

fundamentales de la mechica de fluidos y de la transferencia de calor y con

la ayuda de

un

entorno como el que ofiece COMSOL, de criterios que

(6)

... Vlll

resultados obtenidos mediante simulaci6n. Es por ello que se ha optado por

incorporar algunos ejercicios con soluciones analiticas que no deben ser

entendidos como meras simplificaciones, sino como la forma id6nea de, en

primer lugar, poder contrastar 10s resultados obtenidos, en segundo lugar,

valorar explicitamente la influencia de distintas estrategias de simulacion y,

en tercer lugar, explorar las posibilidades que ofiece el entorno de

COMSOL para el planteamiento de problemas, sus capacidades de soluci6n

y

su potencial para el an6lisis de 10s resultados obtenidos.

Las razones que han conducido a la elecci6n de COMSOL como

herramienta de simulacidn son variadas y complementarias. Ofiece un

entorno modern0 e intuitivo, es modular en su concepci6n, ofrece la

posibilidad de estudiar 10s efectos de solicitaciones de distinta naturaleza

(multifisica) de una forma muy sencilla

y esta bien documentado. Sin

embargo existen algunos modulos que creemos todavia en desarrollo y

debieran ser complementados, particularmente aquellos relacionados con la

dinamica de fluidos computacional. Incluso esta aparente limitaci6n debiera

ser interpretada positivamente pensando en el gran recomdo que ofrece un

entorno de simulacion de estas caracteristicas.

R. Torres Camara

J.

Grau Barcel6

Dpto de Mechnica de fluidos

Universidad PolitCcnica

de Cataluiia (UPC)

Contenido

1 IntroduccMn a 10s mktodos numbricos 1.1 Consideraciones iniciales

1.2 Dinhmica de fluidos computacional 1.3

Discretization

y tipos de malla 1.4 Propiedades de 10s metodos nurntricos 1.5 Mttodos de discretizacion

1.5.1 Diferencias finitas 1.5.2 Vollimenes finitos 1.5.3 Elementos finitos

1.6 COMSOL: un entorno multifisico de sirnulacion

2

Transmisi6n estacionaria de calor

2.1 Consideraciones iniciales

2.2 Transmision a travts de un cerramiento plano 2.2.1 Planteamiento del problema y solucion analitica 2.2.2 Modelado mediante el GUI de COMSOL 2.2.3 Posprocesado y visualizacion

2.3 Transmision radial a travts de un elemento cilindrico 2.3.1 Planteamiento del problema y solucion analitica 2.3.2 Modelado mediante el GUI de COMSOL 2.3.3 Posprocesado y visualizacion

2.4 Ejercicios propuestos

3

Flujo newtoniano confinado

3.1 Consideraciones iniciales

3.2 Flujo laminar en desarrollo en una tuberia 3.2.1 modelado medante el GUI de COMSOL 3.2.2 Posprocesado y analisis de resultados 3.3 Flujo laminar confinado con transferencia de calor

3.3.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 3.3.2 Posprocesado y visualicion de resultados 3.4 Ejercicios propuestos

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4

Flujo no newtoniano confinado

4.1 Consideraciones iniciales

4.2 Flujo en tuberias de un fluido Ostwald-de Waele 4.2.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 4.2.2 Posprocesado y analisis de resultados 4.2.3 Generacion de informes

4.3 Ejercicios propuestos

5 Flujo no isotermo

5.1 Consideraciones iniciales 5.2 Estudio de un calentador de aire

5.2.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 5.2.2 Posprocesado y analisis de resultados 5.3 Ejercicios propuestos

6

Transmisibn transitoria de calor

6.1. Consideraciones iniciales 105

6.2 Estudio del transitorio termico de la union de dos metales a diferentes temperaturas

6.2.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 6.2.2. Posprocesado y visualization

6.3. Ejercicios propuestos

7 Flujo turbulento

7.1 Consideraciones iniciales 7.1.1 Cierre k-E

7.1.2 Condiciones iniciales y ley de la pared 7.2 Flujo turbulento en un escal6n

7.2.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 7.2.2 Posprocesado y analisis de resultados 7.3 Ejercicios propuestos

8

Capa limite en una placa plana

8.1 Consideraciones iniciales

8.2 Capa lirnite fluidodirtamica en m a placa plana 8.3 Capa limite l&ar

8.3.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 8.3.2 Posprocesado y analisis de resultados

8.4 Capa limite turbulenta con transferencia de calor 8.4.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 8.4.2 Posprocesado y analisis de resultados 8.5 Ejercicios propuestos

9

Flujo externo alrededor de cilindros

9.1 Consideraciones iniciales

9.2 Analisis fluidodinamico del flujo alrededor de cilindros 9.2.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL

9.2.2 Posprocesado y analisis de resultados

9.3 Flujo alrededor de cilindros con transferencia de calor 9.3.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 9.3.2 Posprocesado y analisis de resultados 9.4 Resistencia, sustentacion y vibracion inducida

9.4.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 9.4.2 Posprocesado y visualizacidn

9.4.3 Sirnulacion dependiente del tiempo 9.5 Ejercicios propuestos

(8)

Introduccion a 10s metodos numericos 1

1.

Introduccion a 10s m6todos numhricos

1.1. Consideraciones iniciales

El objetivo que persiguen las disciplinas cientificas es la obtencion de leyes generales que pennitan explicar, y asi entender, 10s fenomenos naturales. La description de dichos fenomenos se plasma en ecuaciones matematicas cuya resoluci6n, c o n p e n t e con ciertas condiciones de contomo e iniciales, pennite estudiar casos particulares e incorporar dicho conocirniento a nivel tecnologico. Sin embargo, muchas de esas ecuaciones no admiten soluciones analiticas. Las ecuaciones de la mechica de fluidos son ejemplo de algunas de ellas. Su estudio se ha abordado desde diferentes frentes: mediante simplificaciones que permiten la obtencion de soluciones analiticas, mediante anilisis dimensional que permite la identificacion de las variables de influencia (y la combinacion entre ellas) y mediante la experimentacion.

Las simplificaciones, sin dejar de ser importantes, no permiten la obtencion de soluciones para muchas situaciones de inter& en ingenieria. El estudio de flujos complejos, debidos a la turbulencia por ejemplo, asi como dominios de solucion y geometrias complejas exigen niveles de detalle que obligan a dejar de lado las simplificaciones

El analisis dimensional es una extraordinaria herramienta de anhlisis de la fisica en general, y de la meczinica de fluidos en particular. La identificacion de las variables de influencia, su agrupacion en grupos adimensionales, la metodologia idonea para optimizar 10s recursos experimentales asi como compactar 10s resultados de 10s ensayos, son algunas de sus caracteristicas mas remarcables. Del analisis dimensional se establecen las relaciones de semejanza (geometrica, cinematica y d i n d i c a ) que penniten la extrapolation de 10s resultados obtenidos sobre modelos a escala, a prototipos a escala real aun cuando es imposible, en la practica, asegurar las condiciones de semejanza total.

La tercera opcidn es la de estudiar 10s flujos a partir de experimentos. Claro esta que la validez de 10s resultados (siendo estos un conjunto limitado de observaciones) esta limitado por la resolucion y exactitud de 10s medios instrumentales disponibles y, naturalmente, de la disponibilidad de estos ultimos. En cualquier caso, la programacion, el disef3o y la ejecucion de 10s ensayos exigen grandes recursos de tiempo y dinero.

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2 Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS htroduccion a 10s metodos nunericqs 3 Complementariamente, la evolucion de 10s ordenadores ha permitido desde hace ya

tiempo poner a disposicion de la comunidad interesada de una nueva tCcnica de analisis: el estudio computacional de 10s flujos o lo que en la actualidad se conoce como dintimica de fluidos computacional (DFC). Este planteamiento tiene por objetivo la resoluci6n de las ecuaciones del flujo haciendo uso de herramientas numericas discretizando el dominio de solucion espacial y temporalmente.

1.2.

Dinamica de fluidos computacional

Las ecuaciones que describen 10s fenomenos en 10s que estamos interesados (fluidos y transferencia de calor) son ecuaciones en derivadas parciales en su version diferencial, o ecuaciones integro-diferenciales en su version integral. La solucion de estas ecuaciones mediante metodos numericos necesita realizar dos discretizaciones, una espacial y otra temporal, y la calidad de la solucidn depende de la calidad de dicha discretizacion. Dichas discretizaciones aproximan las ecuaciones mediante diferentes tipos de formulaciones matematicas que incorporan 10s valores de las propiedades de interts en 10s diferentes nodos de la malla de calculo. De esta manera, las ecuaciones se transforman en sistemas de ecuaciones algebraicas que son las que a la postre deben resolverse y que se caracterizan por tener una dimension muy elevada. Cada nodo de la discretizacion incorpora una o mas incognitas a1 sistema.

La DFC se utiliza desde el estudio basico de la mecanica de fluidos hasta el estudio de realizaciones tecnoldgicas como herramienta de diseiio. En el ambito basico nos permite buscar una descripcion de 10s procesos fundamentales, por ejemplo, mediante herramientas de resolucion directa de las ecuaciones (DNS). Eso si, con un coste computacional muy elevado per0 con resultados de gran inter& en investigacion bisica. Este campo esth limitado por la potencia de calculo disponible en la actualidad que permite solamente la resolucion de casos rnuy simples. La utilizacion de herramientas de simulacion y diseiio orientadas a entornos ingenieriles utiliza modelos que simplifican el calculo a costa de perder precision y generalidad en 10s resultados. Aun asi, estAn convirtitndose en herramientas de gran valor considerAndoselas imprescindibles a la hora de afrontar nuevos diseiios. El campo de estudio se puede considerar hoy en dia tan amplio como la propia mechnica de fluidos.

Es importante tener presente que la solucion obtenida por un metodo numkrico es una aproximaci6n de mayor o menor calidad del proceso real y existen diferentes etapas en el proceso de res'olucion que pueden dar lugar a diferencias entre el resultado final y las obsemaciones expenmentales.

En la primera etapa del proceso se plantea la descripci6n fisico-matedtica del problema a resolver y se establece un modelo m6s o menos realistic0 del fenomeno real bajo estudio. A mod0 de ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes son' las ecuaciones establecidas para describir el flujo de fluidos.

La segunda etapa consiste en realizar la discretizacion espacial y temporal del dominio de soluci6n lo cual afiade nuevas aproximaciones a1 proceso de resolucion numtrica. Nuestros comentarios girarh alrededor de tres grandes aproximaciones usadas en la discretizacion de las ecuaciones: el mttodo de las diferencias finitas (DF), el metodo de 10s volhnenes finitos (VF) y el metodo de 10s elementos finitos (EF). Hay tambiin otros metodos destinados a problemas mas especificos como pueden ser 10s esquemas espectrales, 10s metodos de elementos de contornos o 10s automatas celulares, entre otros.

La tercera etapa consiste en la resolucion de 10s sistemas de ecuaciones algebraicas resultantes de las discretizaciones. Este proceso depende del tipo de ecuaciones que en la mayoda de 10s casos son no lineales lo cual obliga a la utilizacion de nuevas aproximaciones que permitan su linealizacion junto con metodos iterativos de solucibn.

En el momento de interpretar y verificar 10s datos obtenidos es de suma importancia la representacion grafica de 10s resultados. La cantidad de

information

obtenida en un proceso de simulaci6n puede ser enorme y se necesitan herramientas de posprocesado potentes para poder analizar y manipular agilmente 10s resultados y llegar a sacar conclusiones del estudio. En la fase de posprocesado la experiencia del usuario es de suma importancia a la hora de detectar problemas y errores en la solucibn.

1.3. Discretizaci6n y tipos de malla

Es importante describir con un poco mas de detalle las consecuencias de la discretizacion pues sus caracteristicas determinan la metodologia de resolucion de las ecuaciones discretizadas. Existe una relacion entre la discretizacion y la complejidad del sistema resultante que debe resolverse. Cuando la discretizacion es regular, 10s sistemas son casi diagonales; si la geometria es compleja y la discretizacion es irregular 10s sistemas obligan a un coste computacional mayor. Se disponen de varias maneras de construir la malla de discretizacion:

Malla (mesh) estructurada. Consiste en una disposicion regular de la

malla. Puede entenderse como una deformacion de una malla rectangular para adaptarla a la geometria a estudiar y en la que cada celda viene identificada por dos coordenadas (ij) en 2D o por tres (ij,k) en 3D. Las

(10)

4 Mec&nica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS Introduccibn a 10s metodos num6ricos

-

5

ventajas de este tip0 de malla es que se obtienen ecuaciones discretizadas mas simples y fziciles de resolver. Por contra, son poco apropiadas para geometrias complejas dado que no se dispone de un buen control sobre el tamafio de 10s elementos en todo el dominio de trabajo.

Malla estructurada por bloques. Esta metodologia presenta diferentes niveles de subdivision del dominio. Una primera division en bloques pennite obtener un conjunto de subdominios cada uno de 10s cuales se discretizara utilizando una malla estructurada regular. Se deben tratar con cuidado las zonas de contact0 entre diferentes subdominios.

1.4.

Propiedades de 10s mdtodos numdricos

Los metodos numericos necesitan cumplir ciertas propiedades que aseguren la bondad de sus resultados. En muchos casos, la complejidad de 10s problemas impide el analisis del metodo completo y se recurre entonces a analizar cada uno de sus componentes. Si alguno de Cstos no cumple alguna de las propiedades requeridas, el mktodo completo tampoco las cumplira. Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto.

Consistencia

El proceso de discretizacion deberia reproducir el valor exacto a medida que se mejora el refinado de la malla. La diferencia entre la ecuacion discretizada y la solucion exacta se denomina error de ti-uncamiento. Para asegurar entonces la consistencia del metodo, el error de truncarniento debe tender a cero a medida que 10s parametros de la malla (At y/o Ax) se hacen arbitrariamente pequefios.

Idealmente todos 10s terminos deberian discretizarse con aproximaciones del mismo orden de exactitud, sin embargo, existen situaciones particulares como terminos convectivos en flujos a altos numeros de Reynolds o terminos difusivos a bajos n b e r o s de Reynolds que pueden ser dominantes y que, por tanto, deban recibir tratamientos especificos.

Aun cuando la solution sea consistente, no puede asegurarse que la solucion del sistema discreto reproduzca la soluci6n exacta. Para que esto sea asi el metodo debe ser estable.

Estabilidad

Decimos que un metodo nurnkrico es estable si no magnifica 10s errores que aparecen en el transcurso del proceso de resolution. Por ejemplo, en el caso de problemas dependientes del tiempo, la estabilidad asegura que el metodo genera

soluciones acotadas mientras la solucion de la ecuacion exacta lo sea o, en el

case

de metodos iterativos, la estabilidad garantiza que el mktodo no diverge.

Sin embargo, la estabilidad puede ser especialmente dificil de estudiar en ~roblemas no lineales. Esta es la razon por la que se recurre en muchas ocasiones al estudio de la estabilidad de problemas lineales para 10s que la expenencia demuestra que 10s resultados asi obtenidos pueden ser, except0 notables excepciones, aplicados a problemas mis complejos.

Convergencia

Un metodo numkrico es convergente si la solution del problema discretizado tiende a la solution exacta de la ecuacion diferencial original a medida que el paso de malla se reduce. Solo para algunas situaciones particulares se disponen de condiciones necesarias y suficientes como las que valida el teorema de equivalencia de Lax: dado un problema de valor inicial lineal bien planteado y

una aproximacidn de diferencias finitas a kl que satisfaga la condicidn de consistencia, la condicidn necesaria y suficiente para asegurar su convergencia es que sea estable.

En el caso de problemas no lineales la estabilidad y la convergencia son dificiles de demostrar. En estos casos, se recurre a experimentos numericos consistentes en repetir 10s czilculos sobre sucesivas mallas cada vez mas refmadas. Si el metodo es estable y si todas las aproximaciones usadas en el proceso de discretizacion son consistentes, se encuentra usualmente que la solucion converge hacia una que es independiente de la malla.

Dado que las ecuaciones a resolver son leyes de conservacion el esquema numerico tambien tiene que serlo respecto de esas mismas leyes. Esto significa que, por ejemplo, en un estado estacionario y en ausencia de fuentes, la cantidad de magnitud abandonando un volumen cerrado es igual a la cantidad entrante de la misma magnitud en ese mismo volumen. El tratamiento de fuentes y sumideros deberia ser consistente de forma que la fuente (o sumidero) en el dominio sea igual a1 flujo net0 de la magnitud a traves de la frontera.

Esta es una propiedad importante por cuanto impone restricciones sobre el error admisible en la solucion. Los errores debidos a la no conservacion son en muchas ocasiones solo apreciables sobre mallas poco refmadas y el problema es que es

dificil determinar a priori c d l es la malla sobre la que estos errores son

I

i suficientemente pequefios.

(11)

6 Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

Valor acotado

Las soluciones numCricas deben estar acotadas. Fisicamente hablando las magnitudes no negativas (densidad, energia cinetica turbulenta) deben ser siempre positivas, otras magnitudes como la concentracidn deben permanecer entre el 0 % y el 100 % por poner a l g k ejemplo. En ausencia de fuentes, algunas ecuaciones (por ejemplo la ecuacion del calor cuando no hay f%entes/sumideros presentes) requieren que 10s valores maximales ocurran en la frontera del dominio y, por tanto, estas propiedades deben ser heredadas por el mktodo de discretizacion. El caracter acotado de las soluciones es dificil de garantizar. Solo algunos esquemas de primer orden pueden asegurar esta propiedad mientras que todos 10s esquemas de orden superior pueden producir soluciones no acotadas. Afoxtunadamente, esto suele ocurrir cuando la malla no es lo suficientemente refmada.

Realizabilidad

La propuesta de modelos de fenomenos complejos para ser tratados directamente (turbulencia, combustion o flujos multifasicos) debe estar orientada a la obtencion de soluciones fisicamente aceptables. Esto no es una caracteristica numkrica per se, sino que 10s modelos que no son realizables pueden dar lugar a soluciones sin sentido fisico o a soluciones divergentes.

Exactitud

Las soluciones num6ricas a problemas de flujo o de transferencia de calor son solo soluciones aproximadas. Ademas de 10s errores inherentes a1 desarrollo del algoritmo de solucion, a la programacion o a1 establecimiento de las condiciones de contorno correctas, las soluciones numericas siempre introducen tres tipos de errores sistematicos:

Errores de modelado. Definidos como la diferencia entre la solucion real y

la solucion obtenida a partir del modelo matematico.

Errores de discretizacidn. Definidos como la diferencia entre la solucion

exacta de las ecuaciones de conservacion y la solucion exacta del sistema algebraic0 de ecuaciones resultante de la discretizacidn de aqutllas.

Errores de iteracidn. Definidos como la diferencia entre la soluci6n

iterativa y la exacta del sistema de ecuaciones algebraicas relacionado. Los errores iterativos son a menudo denominados errores de convergencia. Sin embargo, el tCrmino convergencia no solo se usa en conjuncion con la reduction

del error en 10s mttodos iterativos, sino tambien con la convergencia de las soluciones numericas hacia una soluci6n independiente de la malla.

Es importante, si es posible, distinguir unos de otros. Unas veces pueden cancelarse y otras veces resultar que soluciones obtenidas sobre mallas poco refmadas dan, sorprendentemente, mejores resultados que las obtenidas sobre otras mas fmas 10 cual es, por defmicibn, contradictorio.

Los errores relacionados con el modelo dependen de las hipotesis asumidas a la hora de establecer las ecuaciones de transporte. ~ s t o s pueden ser despreciables para flujos laminares pues las ecuaciones de Navier-Stokes describen con suficiente exactitud este tipo de flujo. En el caso de flujos turbulentos, flujos bifasicos 0

fenomenos de combustion, 10s errores inherentes a1 modelo pueden ser muy grades. Los errores de modelado tambien aparecen debido a simplificaciones de la geometria o de las condiciones de contorno. Estos errores no son conocidos a priori y pueden ser solo evaluados comparando soluciones en las que 10s errores de discretizacion y convergencia son despreciables, con datos experimentales o con datos obtenidos a partir de modelos mas exactos (por ejemplo, datos obtenidos mediante simulacion directs).

Se ha comentado anterionnente que 10s errores introducidos disminuyen a medida que se refma la malla. Sin embargo, sobre una misma malla, metodos del mismo orden pueden producir errores que pueden diferir en hasta un orden de magnitud. Esto es debido a que el orden solo informa de la velocidad a la cual 10s errores decrecen a medida que la malla se refina. No surninistra informacion sobre el error debido a una malla particular.

1.5. MCtodos de discretizacion

Es el mas antiguo y tambikn el mas sencillo de usar cuando las geometrias son sencillas. El punto de partida es la ecuaci6n de conservacion en forma diferencial. El dominio de la solucion es cubierto por una malla y en cada punto de la malla, la ecuacion diferencial es aproximada a partir de 10s valores nodales de las h c i o n e s . El resultado es una ecuacion algebraica por nodo de malla en el cual el valor de la variable en ese nodo y un cierto niunero de nodos vecinos aparecen como incognitas. En principio es posible aplicar DF a cualquier tip0 de malla per0 es usual utilizarlo con mallas estructuradas con las que este mCtodo es particularmente simple y efectivo y permite obtener esquemas de orden superior muy facilmente.

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8 Mecanica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS Introduction a 10s metodos numericos 9

El mttodo de VF utiliza la forma integral de las ecuaciones de conservaci6n como punto de partida. El dominio es dividido en un cierto nhmero de volumenes de control contiguos sobre 10s que se aplican las ecuaciones de conservaci6n. En el centroide de cada volumen se establece un nodo sobre el que se valoran las variables de interts. La determinacibn de las variables en las superficies de control se lleva a cab0 mediante interpolacion mientras que las integrales de volumen y de superficie son aproximadas mediante formulas de cuadratura. El resultado final es una ecuaci6n algebraica por cada volumen de control que incluye valores de 10s nodos vecinos.

El metodo de VF es adecuado para cualquier tipo de gridy, por tanto, util para geometn'as complejas. La malla define solamente las fronteras de 10s volumenes de control y no necesita estar relacionado con un sistema coordenado particular. El mitodo es conservativo por construcci6n siempre que las integrales de superficie (representativas de 10s flujos convectivos y difusivos) sean las mismas para volhenes de control que compartan una misma fiontera.

La desventaja de 10s VF respecto de las DF es que 10s metodos de orden superior a1 segundo son mas dificiles de desarrollar en 3D. Esto es debido a que el metodo de 10s VF requiere tres niveles de aproximaci6n: interpolacion, diferenciacion e integracion.

1.5.3. Elementos Jinitos

El metodo de 10s EF es similar en muchos aspectos a1 de VF. El dominio se subdivide en un conjunto de elementos discretos generalmente no estructurados; en 2D se utilizan elementos tip0 tribgulo o cuadrilatero, mientras que en 3D se utilizan tetraedros y hexaedros. La caracteristica distintiva es que las ecuaciones en el metodo de EF estAn multiplicadas por funciones de peso antes de ser integradas sobre el dominio. En su metodo mas simple, la solucibn es aproximada por una h c i o n de forma lineal en cada elemento de forma que se garantice la continuidad de la soluci6n a travts de las fronteras de 10s elementos. Tales funciones pueden ser construidas a partir de sus valores en 10s extremos de 10s elementos. Las ecuaciones que deben ser resueltas se obtienen imponiendo la seleccion de una soluci6n optima de entre un conjunto de funciones permitidas (la que presente residual minimo).

Una gran ventaja de 10s EF es la facilidad con la que trata geometrias complejas pues las mallas son muy faciles de refmar. Por otra parte, el mttodo es relativamente facil de analizar matematicamente y presenta algunas propiedades

bptimas para cierto tipo de ecuaciones. Su principal desventaja, la cual es compartida por todos 10s metodos que utilizan mallas no estructuradas, es que es mas dificil encontrar metodos eficaces para la manipulacion de las matrices resultantes.

1.6. COMSOL: sirnulacion multifisica mediante elementos

finitos

Mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (PDE) podemos describir una gran variedad de sistemas fisicos. Estas ecuaciones describen las variaciones de las propiedades en el espacio y a lo largo del tiempo y necesitan de ciertas condiciones (iniciales y de contorno) para su resolucion. Las soluciones analiticas solo son posibles en casos muy determinados per0 no a nivel general. Es en este punto en el que la resolucion numerica se constituye en una herramienta de gran ayuda.

La herramienta COMSOL Multiphysics estA destinada a la resolucion de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (PDE) utilizando el metodo de 10s elementos finitos. En el entomo de trabajo de COMSOL el usuario dispone de las herramientas necesarias para la introducci6n de las ecuaciones que describen su modelo. Sin embargo, COMSOL incorpora un importante nhmero de sistemas fisicos predefinidos con sus ecuaciones (modelos) agrupados en heas tematicas (modulos) junto con librerias de materiales con un buen numero de propiedades fisicas relevantes. Otro aspect0 de gran importancia es la posibilidad que nos brinda de valorar el acoplamiento de diferentes fisicas en un mismo problema de una forma muy sencilla. Esto es, valorar la accion simulthnea de solicitaciones de distinta naturaleza sobre el mismo sistema. Podemos describir entonces a COMSOL Multiphysics como una herrarnienta de resolucion de ecuaciones en derivadas parciales basada en el mttodo de 10s elementos finitos, que incorpora predefinidos una gran cantidad de modelos y que permite la utilizacion simulthnea de diferentes modelos dando lugar a una resolucion multifisica de un mismo problema.

El entorno de trabajo del COMSOL incorpora las fases fundamentales: definicibn del problema, resolucion del mismo y posprocesado. La definition del problema se inicia seleccionando 10s modelos fisicos a utilizar e introduciendo la geometria. El segundo paso consiste en especificar las propiedades fisicas y las condiciones iniciales y de contomo en 10s diferentes subdominios de estudio. La etapa de resolucion pasa por defmir una malla de calculo y especificar 10s parametros del metodo de calculo a utilizar. En este punto ya se puede ejecutar el motor de calculo para la resoluci6n del problema. La tercera etapa consiste en el posprocesado de

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10 Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTPHYSICS resultados, se utilizan herramientas que nos penniten una gran versatilidad en la representacion grafica de 10s resultados obtenidos asi como de herrarnientas de calculo matematico que nos penniten, entre otras cosas, integrar propiedades en subdominios y contornos.

Para ampliar aun mas su potencialidad y versatilidad nos permite exportar a formato Matlab(*.m) el modelo creado. Este modelo se puede ejecutar tanto en MATLAB como en COMSOL Script (el lenguaje de secuencia de comandos de COMSOL), teniendo acceso a toda la potencialidad de COMSOL implementada en forma de librerias. En muchos casos 10s beneficios que se obtienen son un mayor control del proceso de resolution, ampliando en gran medida la posibilidad de realizar estudios parametricos, tanto en la gesti6n de multiples parhetros como en el almacenamiento y posprocesado de 10s resultados obtenidos.

Transmisi6n estacionaria de calor 1 1

2. Transmisibn estacionaria de calor

2.1. Consideraciones iniciales

En este primer ejemplo se estudia la transmision de calor a travCs de varias capas de diferentes materiales. Si bien es cierto que se presentan dos mecanismos combinados de transferencia de calor, convection y conduccion, se hace especial enfasis en la transferencia conductiva para asi poder disponer de solucion analitica con la que poder contrastar 10s resultados obtenidos mediante COMSOL. En un primer caso se estudiara el acoplarniento de capas planas y en un segundo caso se estudiarh capas cilindricas

El punto de patida es la ley de Fourier para la conduccion de calor que nos permite expresar el flujo de calor, q , en f h c i b n de la conductividad termica, k, y del gradiente de temperaturas, dT/&

2.2.

Transmision a travCs de un cerramiento plano

En el caso de una pared plana de espesor L con un flujo de calor constante, el flujo de calor se expresa en tCnninos de la potencia calorifica transrnitida, Q y la superficie de la pared, A, como

lo cual permite escribir

Integrando la expresion anterior se obtiene

Q

L = k A ( T , - T,) L2.41

De manera que disponemos de expresiones para la potencia calorifica transmitida y para el flujo de calor dadas, respectivamente, por

(14)

12 Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS P

Podemos hablar, por tanto, de coeficiente global de conduction de todo el s

cerramiento cuando nos referimos a la expresi6n de la potencia calorifica, o de coeficiente global de conduccion por unidad de superficie. A partir de aqui trabajaremos con el coeficiente global de conduccion por unidad de superficie definido como

y con su resistencia tirmica asociada que es

Con las definiciones anteriores se obtienen las siguientes expresiones para la potencia calorifica transmitida y para el flujo de calor respectivamente

$ = ~ , A ( T , - T , ) , q = U T ( T , - T 2 ) P.81

Por otra parte, la transmision de calor entre el cerramiento y el aire circundante se modela con un coeficiente de conveccion, h, o con su resistencia termica

relacionada, I/h.

La resistencia ttrmica total de un cerramiento formado por distintas capas planas superpuestas (de espesores ei) se puede estudiar a partir de la analogia de resistencias en sene

2.2.1.

Planteamiento delproblema y solucidn analitica

El ejercicio que se propone consiste en el estudio de la transmision de calor a travts de un cerramiento constituido por una pared formada por dos capas superpuestas de espesores el = e2 = 10 cm. Se estudia una superficie de I m2

.

El

primer material tiene una conductividad termica kl de 5 W/(m K) y el segundo otra diferente de valor k2 = 0.4 W/(m K). El coeficiente de conveccion con el entorno es

de I0 W/(m2 K) La temperatura de la zona I (izquierda de la figura 1) es de 20 "C y

la de la zona 2 (derecha de la figura 1) de 0 "C.

La figura 1 siguiente muestra el problema simplificado a 2D.

Transmisi6n estacionaria de calor 13

I i

Figura I .Esquema de la seccidn transversal del cerramiento, se representa cualitativamente e l p e ~ l de temperatura.

Calculamos primer0 la resistencia termica para una configuracion de capas planas paralelas

Con esta resistencia termica obtenemos la conductividad global

La cual nos pennite obtener el flujo de calor a travts de la pared utilizando la segunda formula de la ecuacibn [2.8]

A partir del flujo de calor podemos obtener la temperatura en cualquier punto del interior de la pared y, en particular, en el punto de union de las dos capas. Volvemos a calcular la resistencia ttrmica comprendida ahora entre la zona I y el punto intermedio

De manera que la conductividad de la zona I es Ul= 1/0.12 = 8.333 Wm-lK-'

(15)

14 Mechca de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

Siguiendo el mismo procedimiento, obtenemos 10s valores de las temperaturas ~ u p e r ~ c i a l e s de la paredes interior y exterior que resultan ser

Tpi = 15.74 "C = 288.89 K y T,, = 4.26 "C = 277.41 K

1.2.2. Modelado mediante el GUI de COMSOL

Iniciamos el entorno de trabajo ejecutando COMSOL. Seleccionamos New en la ventana Model Navigator de COMSOL y especificamos las caractensticas iniciales del proyecto (Figura 2),

Figura 2 : Model Navigator de COMSOL

1. Especificamos 2 0 en la lista Space dimension.

2. En la carpeta Aplication modes seleccionamos Heat Transfer Module > General Heat Transfer > Steady-state analysis

? Transmision estacionaria de calor 15

En estos momentos nos encontramos en el entomo de trabajo. Los pasos siguientes nos permitirin definir completamente el problema, resolverlo y entrar en la etapa de posprocesado para extraer 10s resultados que nos interesen.

A.

Geometria del problema

En este primer caso construimos la geometria a partir de reckingulos que representarin una seccion transversal bidimensional de la pared. En nuestro caso, ,

el dominio estA formado por dos rectringulos, uno para cada una de las dos zonas. 1. Seguimos la secuencia Draw > Specify Objects > Rectangle.

2. Las dimensiones del rectringulo son de I0 cm de ancho y I m de alto. Rellenamos el campo Width con 0.1 y el campo Height con I (figura 3, izquierda)

3. Generamos la figura con el boton OK.

4. Para el segundo rectingulo debemos indicar que se encuentra desplazado 10 c m respecto del origen (figura 3, derecha). Introducimos 10s mismos valores para 10s campos Width y Height y a continuation especificamos el desplazamiento de 0.1 m en el eje x. Pulsamos OK para finalizar.

Podemos comprobar que cada rectingulo recibe un nombre de forma automAtica, R1 y

R2,

en nuestro caso. Este nombre puede ser modificado por el usuario en el momento de crear la entidad o posteriormente, editando 10s parhetros de la entidad con so10 activarla haciendo doble clic sobre ella.

Figura 3:Especzj?caciones de 10s rectangulos RI (izquierda) y RZ (derecha).

(16)

16 Mecanica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS d

:

%

e

B.

Espec$caciones en 10s subdominios

Una vez generada la geometria pasamos a especificar las propiedades de 10s materiales (tabla 1) junto con las condiciones iniciales y de fiontera (tabla 2).

3 7 & a a j i i - @ ~ s

1. Cambiamos a1 mod0 subdominio

- - -

- - .

2. Seleccionamos Physics > Subdomain Settings

...

del men^ principal. 3. Seleccionamos el recthgulo R1 y, en la pestafia Conduction,

especificamos una conductividad tkmica de 5 W/(mK).

4. Procedemos de la misma forma con el recthgulo R 2 asignindole una conductividad de 0.4 W/(m K)

5. Verificamos que la pestafia Convection tenga desactivada la conveccion para 10s dos dominios.

Subdominio k (Wlm

f l

Tabla 1. Especificaciones de 10s subdominios

C. Condiciones de contorno

El siguiente paso consiste en la especificacion de las condiciones de contomo. Hay 6 segmentos que forman el contomo exterior del dominio y un segmento que se encuentra en la zona de contact0 de 10s dos reckingulos (figura 1). Los segmentos son numerados automaticamente por el progranxa en el momento de la generacion de las entidades geometricas. En la tabla 2 se indican las condiciones de contomo.

1. Cambiamos de mod0 de trabajo Physics > Boundary settings (F7 o 82) 2. El segmento I se corresponde a la pared vertical izquierda. Fijaremos para

el un flujo de calor con un coeficiente de conveccion h de 10 W/(m2K)

(Boundary condition > Heat flux). Para esta zona especificaremos una temperatura de 20 "C (Tinf = 273.15+20 K).

3. Seleccionaremos la opcion de aislamiento termico (Thermal insulation) para 10s contomos 2, 3, 5 y 6. Podemos seleccionar diferentes segmentos a la vez con la ayuda de la tecla Ctrl.

4. La pared vertical derecha se corresponde con el segmento 7.

Especificaremos ,un coeficiente de conveccion de 10 W/(m2K) y una temperatura exterior Tinf = 273.15 K.

Transmisi6n estacionaria de calor 17

Contomo Condicion de contorno h (W/d IQ Tinf (IQ

1 Heat flu 10 273.15+20

2,3.5 v 6 Thermal insulation

7 Heat flux 10 273.15

Tabla 2. Condiciones de contorno delproblema

D. Mallado y solucibn

En esta primem aplicacion generaremos la malla de cilculo de la forma mis simple, de forma automatics sin especificar n i n g h p a r h e t r o adicional.

1. Creamos la malla pulsando el b o t h de genemcion de malla

A

2. Y realizamos dos refmamientos adicionales pulsando dos veces el boton de refmamiento de malla

A .

De esta forma habremos obtenido una discretizacidn del dominio con mis de 2000 elementos.

3. Mediante Solve > Solve problem iniciamos el motor de calculo para resolver el problema. Apareceri una ventana que nos informara del progreso de la simulacion y de la convergencia de 10s resultados (fig. 4).

D'Y"ph"" . . Progress Convergence Parameter Value

-

--

k dose automatically Cancd

1

Figura 4. Ventana infonnativa sobre elprogreso de la simulacion.

2.2.3. Posprocesado

y

visualizacio'n

En este ejemplo vamos a realizar un posprocesado simple destinado, basicamente, a obtener la distribution de temperaturas a traves de la pared. Obtendremos tambien el flujo de calor que atraviesa el cerramiento y, fmalrnente, las

(17)

18 Meciuica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS temperaturas superficiales exteriores de las paredes asi como la temperatura de la zona de contacto de 10s dos materiales que conforman el cerramiento. Son estos 10s resultados que deberemos comparar con las soluciones analiticas ya obtenidas. A1 fmalizar la simulacidn de COMSOL se visualizan por defect0 la distribucidn de temperaturas en el cerramiento (figura 5). TambiCn podemos forzarla a travts de

Postprocessing > Plot parameters y seleccionando en la pestaiia Surface la temperatura, como la magnitud a representar, de la lista Predefined quantities.

Surface: Ternpel a b r e [C] Max: :83.895

I I n

Mln: 277.405

Figura 5: Distribucidn de temperaturas en el cerrarniento

Podemos observar que el material de la izquierda presenta una distribucidn de temperatura mas uniforme debido a que su conductividad es mas elevada. El material de la derecha presenta una conductividad mas baja y la distribucidn de temperaturas presenta una variacidn mas acentuada. A partir de un corte transversal de la pared se podrAn observar mejor estas evoluciones de temperatura, 10s parimetros a especificar se presentan a continuacidn (figura 6).

1. Seleccionamos Postprocessing > Cross-Section Plot Parameters

2. Seleccionamos la representacidn de la temperatura en la pestaiia

Line/Extrusion.

P $

9

Transrnision estacionaria de calor 19 ,

3. Especificamos la linea que define la seccidn recta en la que visualizaremos la temperatura mediante las coordenadas xO=O, y0=0.5, xI=0.2, yl=0.5.

4. Pulsarnos el botdn OK.

El resultado se presenta en la figura 7. Se observan 10s comportamientos lineales de la evolucidn de la temperatura en el seno de 10s dos materiales. Con la ayuda de las herramientas de zoom

a'P

@

*:

podernos consultar con mas detalle 10s valores de las temperaturas sobre la grifica. El punto de contacto entre 10s materiales se halla a 288 K, la temperatura de la pared izquierda es de 288.29 K y la temperatura de la pared derecha es de 277.40 K. Los resultados analiticos concuerdan claramente con estos valores.

Figura 6. Especificaciones del corte transversal para visualizar las evoluciones de temperatura a lo

(18)

20 Mechnica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MILTIPHYSICS Otra forma de consultar valores con m L precision consiste en obtener las propiedades sobre 10s puntos que defmen la geometrfa. En este ejemplo nos es util dado que la transmision de calor es horizontal, solo depende de x. Podemos usar

cualquier punto de una misma vertical para consultar 10s valores.

i

I

- 7 .

_, D I

0 001 0.04 0.06 U U S 0.1 0.12 0.14 016 0.18 0.2

Llc-kwh

Figura 7. Distribucibn de ternperaturas a lo largo de 10s dos rnateriales que conforman el cerrarniento.

1. Seleccionamos Postprocessing > Point Evaluation

...

2. Seleccionamos el punto I y especificamos Temperature en la lista desplegable Predefined quantities.

3. Pulsamos el boton Apply. En la ventana inferior nos aparece un texto con la informacion de la temperatura.

4. Repetimos el mismo proceso para 10s puntos 3 y 5 .

5 . Pulsamos el boton OK para finalizar. Los valores obtenidos son:

Value: 288.894681 [K], Expression: T, Point: 1

Value: 288.043617 [K], Expression: T, Point: 3

Value: 277.405319 [K], Expression: T, Point: 5

La potencia calorifica que atraviesa la pared la obtenemos a partir de la integracion del flujo de calor sobre un contorno.

Transmisi6n estacionaria de calor 21

1. Seleccionamos Postprocessing > Boundary integration

...

2. Seleccionamos el contorno 7 y especificamos Normal total heat flux en la lista desplegable Predefined quantities (figura 9).

3. Pulsamos el b o t h OK.

Figura 8. Especificaciones para la determinacidn de la potencia calorifica por integracion deljlujo de calor.

Obtenemos el resultado, 42.553191 /W/rn], en la ventana de dialog0 inferior. Conviene seiialar que el hecho de trabajar con una sirnplificacion 2D del problema implica que en el resultado se nos indique que la potencia calorifica que atraviesa la pared lo es por unidad de longitud (altura en este caso). El flujo de calor lo obtenemos dividiendo por la profundidad ( I rn) y obtenemos 42.553191 W/rn2.

2.3. Transmisidn radial a travCs de un elemento cilindrico

En este ejemplo estudiaremos la transmision de calor en un conduct0 cilindrico formado por dos capas de material de distintas conductividades. Los resultados obtenidos 10s contrastarernos con la solucion exacta conocida. Nos interesa encontrar la distribution radial de la temperatura y el flujo de calor. Las magnitudes que consideraremos interesantes para contraste con 10s valores analiticos son, la temperatura en la zona de contact0 de 10s dos materiales, y las temperaturas superficiales interior y exterior.

(19)

22 Mecbica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS Transrnision estacionaria de calor 23

Dada la geometria y simetria del ejercicio, la h i c a componente de inter& de la ley de Fourier en coordenadas cilindricas sera la componente radial

conveccion interior es de 5000 W/(m2K) mientras que el coeficiente de conveccidn exterior es de 20 W/(m2K). Un valor interesante de contraste con la solution analitica sera la temperatura en la zona de contact0 de 10s dos rnateriales.

El uso de la ecuacion [2.2] y de la formula de la superficie lateral de un cilindro de longitud L y radio r permite obtener

La integration entre rl y r2 para una diferencia de temperatura TI - T2, esto es

da como resultado

Figura 9. Esquema de la seccidn recta del conducto bajo estudio

Detenninamos la resistencia total del sistema sabiendo que debe incorporar m a conveccion interior, dos capas materiales con conduccion y m a conveccion exterior. Esto es

de forma que la expresion para la potencia calorifica disipada sera

Expresion a partir de la cual obtenemos la resistencia tCnnica por unidad de longitud asociada a la conduccion

A1 substituir valores obtenemos para la resistencia total RL = 0.05534 m H W y para

la conductividad global UL=1/RL=18.07 W/(mK). Ya podemos ahora determinar el flujo radial de calor por unidad de longitud del conducto. ~ s t e es

La potencia calorifica transmitida por conveccion sigue la expresion

~ = 2 r r r L h ( T , - T ? ) [2.2 11

Para calcular la temperatura en la superficie entre ambos materiales utilizaremos las correspondientes resistencias tknnicas junto con el flujo de calor.

Y la resistencia termica por unidad de longitud asociada a dicha conveccion

Y substituyendo valores resulta RL = 0.003545 rn K / Wpara la resistencia y UL = l/RL

= 282.087 W/(me) para el coeficiente de transmision de calor. Haciendo uso de la

expresibn del flujo de calor obtenemos la temperatura deseada 2.3.

I .

Planteamiento del problema

y

solucidn analitica

En este ejemplo vamos a estudiar la distribution radial de temperatura y el flujo de calor en un tramo de 2 m de un conducto de 20 cm de diimetro interior formado por dos capas de material de distinta conductividad (figura 9). La capa interior, de

5 cm de espesor, tiene m a conductividad igual a 20 W/(m K). La exterior, de

(20)

24 Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHySICS

2.3.2.

Modelado mediante el GUI de COMSOL

4

6

Sepiremos el rnismo proceso de resolution que en el ejemplo anterior. Si

1

iniciamos COMSOL nos aparecera la ventana de creacidn de proyectos (figura 10). 5 Si ya estarnos dentro, y queremos crear un nuevo proyecto seleccionaremos F i e > 5

I

New.

i 1. Escogemos Axial symmehy (20) de la lista desplegable Space dimension

P

para describir de una forma simple la geometria cilindrica que queremos estudiar.

2. Seleccionamos en Aplication modes el rnodo Heat Transfer Module > General Heat Transfer > Steady-state analysis.

3. Finalizarnos esta primera seleccion pulsando el boton OK.

rrmslmt analyns + 0 Goheac Equatlon :< 0 l%lon-lratharmal Flow f 0 k-c Turbulence Model I A Eledro Thermal Interactlon .+ A Flud-Thermal Interaction .+I A MEMS Module :+I 3 Structural Mcchmer Module

Figura 10. Seleccibn inicial en la ventana Model Navigator

A. Geometria del problema

Introduciremos la geometria utilizando las herramientas de dibujo que nos facilita COMSOL. Las dimensiones que tenemos para el problema nos vienen expresadas en cm. Para poder introducir la geometria comodamente primer0 definiremos las caracteristicas del area de trabajo.

Transmision estacionaria de calor 25

1. Seleccionamos Options>AxeslGrid Settings. En la ventana que aparece podemos definir las dimensiones en metros del area de dibujo. En la pestafia Axis especificaremos 10s valores mkximos y minimos para las coordenada r y z tal y como se indica en la figura 11.

2. Especificaremos a continuation 10s valores para la rejilla a la que ajustaremos 10s puntos que dibujaremos. Seleccionamos la pestaila Grid y desactivamos la opcibn de ajuste automatico Auto.

3. Introduciremos el valor Ie-2 para las coordenada r (r spacing) y z (z spacing) para generar un grid de alta densidad y pulsaremos OK. Para facilitarnos las cosas nos ayudaremos de la visualization de las coordenadas que aparece en la parte inferior izquierda de la pantalla. 4. Con la herramienta de dibujo de rectangulos definimos la capa interior

marcando 10s vkrtices (0.10,l) y (0.15,O).

5. Volvemos a utilizar la herramienta de generacion de recthgulos y especificamos las coordenadas (0.15,l) y (0.17,O).

Figura 11. Especificaciones para las dimensiones del area de dibujo

B.

EspeciJicaciones en 10s subdominios

Seguiremos la secuencia Physics > Subdomain settings

...

para especificar las propiedades de 10s dos materiales que forman el sistema Estableceremos las propiedades mostradas en la tabla siguiente (tabla 3).

Material k (Wlm K ) p (kglm) Cp (kJlkg K )

1 20 2000 2400

2 4 2300 890

(21)

26 Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

&

C. Condiciones de contorno il

5

Especificaremos un flujo de calor convectivo para la superficie interior del material 1 y la exterior del material 2. Las caras superiores de 10s dos materiales y las inferiores las especificaremos como aisladas ttrmicamente tal y como se muestra

en la tabla 4.

;

E

Contorno CondicGn de contorno h (W/d K ) Tinf (K)

1 Heat flux 5000 273 15+80

7 Heat flux 20 273.15

2, 3,5 y 6 Thermal insulation

Tabla 4. Condiciones de contorno delproblema (General Heat Transfer).

D.

Mallado y resolucidn

Para la generacion de esta segunda malla no utilizaremos el mallado automitico. Definiremos un tamaiio m h i m o de elemento y generaremos la malla de forma automatics con esta restriction.

1. Seleccionaremos Mesh > Free Mesh Parameters.

2. Seleccionamos la pestafia Subdomain y especificamos un tarnaiio m h i m o de elemento de 2e-2 para el dorninio 1 y de le-2 para el dominio 2.

3. Pulsando el boton Remesh se construye una rnalla de unos 1800 elementos.

4. Mediante Solve > Solve problem iniciamos el motor de calculo para que se resuelva el problema. La ventana de dialog0 que nos aparece nos informa sobre el estado de progreso del calculo asi como de la convergencia de 10s resultados.

2.3.3.

Posprocesado

y

visualizacio'n

En esta fase de posprocesado estudiaremos la distribucion de temperaturas y del flujo de calor. Primero obtendremos el perfil de temperaturas en h c i 6 n del radio y, a partir de la grafica obtenida, detenninaremos las temperaturas superficiales interior y exterior junto con la temperatura de la zona de contact0 de 10s dos materiales. La representacion de un perfil con el flujo de calor nos permitira observar que tste no es constante (figura 12), mientras que la potencia calorifica disipada por unidad de longitud se mantiene constante.

Transmisi6n estacionaria de calor 27

1. Seleccionaremos Postprocessing > Cross-Section Plot Parameters

...

2. Seleccionamos la pestaiia Line/Extrussion.

1. Especificamos la temperatura como magnitud a visualizar en la lists Predefined quantities.

2. Indicamos el origen y final de la linea que determinara la seccibn recta de la que se obtendrin las temperaturas. En el recuadro Cross-section Line data introducimos rO=O.IO, z0=0.5, rl=0.17, z1=0.5.

3. Estimamos las temperaturas de la pared interior y exterior directamente de la grhfica obtenida para 10s que nos podemos ayudar de las herramientas de zoom

p p p &

Figura 12. Distribucidn de temperaturas a lo largo de la seccidn recta rO=O.10, z0=0.5, rl=0.17, zl=0.5. 354 350

-

3 4 8 . b L 3.16 Y44 342

Si compararnos esta grafica con la obtenida en el ejemplo anterior de placas planas vemos ciertas similitudes. Observamos que una mayor conductividad implica una variacion mas gradual de la temperatura. Sin embargo, tarnbitn se aprecian diferencias. El perfil de temperaturas ya no esta fonnado por dos lineas rectas, ahora aparece una cierta curvatura motivada por la evolucion logaritmica de la resistencia ttrmica. T e m p a a t u a [K] - \ :. . . . . .

1

,

' . . '

:

'---.

..

. . . : 2.<_ . . . --._ 1. 1- . . . : --'->,

/\

4. . . . . - - . . . '\ -5 . 'i\ . . . . \ - ?, 1 1 \,

'~

- . .

(22)

28 Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS Para la temperatura superficial interior se estima un valor de 352.69 K, para la temperatura entre capas obtenemos 348.02 K y para la temperatura superficial exterior 340.83 K. Podemos obtener estas estirnaciones mediante la herramienta Postprocessing > Point Evaluation

...,

consultando 10s valores en 10s puntos 1, 3 y 5. Si 10s comparamos con 10s resultados obtenidos en el estudio analitico del problema vemos que la concordancia es muy elevada.

Procederemos de manera semejante para obtener el flujo de calor (figura 13): 1. Seleccionamos Postprocessing > Cross-Section Plot Parameters

...

2. Seleccionamos la pestaiia Line/Extrussion.

3. Especificamos Conductive heat flux, r component en la lista Predefined quantities.

4. Indicamos el origen y final de la linea que determinara la seccion recta y de la que se obtendra el flujo de calor. En el recuadro Cross-section line data introducimos rO=O. 10, z0=0.5, r l =0. 17, z1 =0.5.

cafllurtrvs h e r Rur co!npmnt [ ~ l d ] 1300

\

I

u 35 G c,6 007 one o ' ~ 9 D I 0 11 Al(.letlgth

Figura 13. Evolucidn deljujo de calor a lo largo de la seccidn recta determinada por la coordenadas rO=O. 10, z0=0.5, rl=0.17, zl=0.5.

Transmisi6n estacionaria de calor 29

t

-t

2.4.

Ejercicios propuestos

1. En relacion con el problema del cerramiento plano, realizar de nuevo el

t estudio cambiando el valor de la conductividad k2 por la de un material de

i conductividad 0.08 W/(m K). ~Cuales son las nuevas temperaturas? ~ Q u e

potencia calorifica se esti transmitiendo en estas nuevas condiciones?

B

2. En relacion con el problema de la seccion 1.3 con simetria cilindrica. ,

Modificar el ejercicio para, con 10s mismos materiales, incrementar 10s radios. Comparar 10s resultados con 10s resultados analiticos con paredes planas y 10s mismos materiales.

3. En relacion con el problema de la secci6n 1.3, aiiadir un nuevo material de 2 cm de espesor y conductividad termica de 0.040 W/(m K). Obtener las nuevas temperaturas superficiales. Representar la nueva potencia calorifica que atraviesa el sistema.

Si recordamos 10s resultados obtenidos en el ejemplo de la pared plana se obtuvo un flujo de calor constante mientras que para la geometria cilindrica el flujo de calor decrece con el radio. La explicacion es sencilla, si nos fijamos en la geometria cilindrica apreciamos que el Area aumenta con el radio y la misma potencia calorifica atraviesa cada vez una superficie mayor, dando lugar a un flujo de calor decreciente en hncibn del radio.

(23)

30 Meclnica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULT~HYSICS Flujo newtoniano confinado 3 1

3.

Flujo newtoniano confinado

3.1.

Consideraciones iniciales

En este ejercicio se persiguen tres objetivos. En primer lugar, valorar la longitud de entrada (L,) que debe recorrer el flujo en la tuberia para llegar a establecerse un flujo completamente desa~~ollado y laminar. En segundo lugar, contrastar la simulacion numerics con la soluci6n analitica conocida para un flujo estacionario y laminar en una tuberia y, en tercer lugar, comprobar como COMSOL acopla el problema fluidodinamico con un fenomeno termico cuando una seccion de la conducci6n se encuentra a temperatura diferente de la del fluido circulante. En relacion con la figura 1, consideraremos la velocidad de entrada uniforme y computaremos el efecto memoria que el flujo tiene de su condicion de entrada. La difusion de cantidad de movimiento desde las paredes debido a la viscosidad del fluido hace crecer la capa limite hasta alcanzar el centro de la conduction momento, a partir del cual, consideraremos que las condiciones de flujo son unidireccionales. Esto es, el fluido se mueve solo en una direccion, el contorno que confma el flujo es de longitud infmita y su forma no varia en la direccion del movimiento.

Longitud de entrada (Le)

I-

-

Fluja mmpletamenle desanollado

Figura I : Flujo en desarrollo en una tuberia y detalle de la simeiria axialpara iransformar elproblema 3 0 en oiro en 2 0 .

(24)

32 Mecimica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS Flujo newtoniano confmado 33 ~ s t o ultimo unido a1 caracter incompresible del flujo hace que 10s terminos

convectivos no lineales desaparezcan y puedan obtenerse soluciones analiticas de las ecuaciones del movimiento (en tirminos, en este caso, de perfiles parabolicos de velocidades) con las que contrastaremos las simulaciones numericas. Una vez el flujo queda confmado por la tuberia, se fi-ena en las paredes y se acelera en el centro. En realidad, la aceleracion del nucleo no viscoso va acompafiada de una caida de presion que tiende a acelerar el flujo en la capa limite reduciendo su velocidad de crecimiento.

Debe tenerse en cuenta que mientras la distancia reconida sea menor que la longitud de entrada (o sea, z < L,) la ecuacion de continuidad para un flujo estacionario, unidireccional e incompresible, au1a.x = 0 , no se cumple y deben aparecer en esta region, por tanto, componentes transversales de la velocidad que aseguren la ecuacion de continuidad de masa.

Las ecuaciones que COMSOL incorpora para la resolucion del problema fluidodinamico inicialmente planteado aqui se encuentran en el mod0 de aplicacion

Incompressible Navier-Stokes del m6dulo Chemical Engineering. Estas ecuaciones son

Dii p - = V . [ -

D t P +

r l ( V ;

+ ( V t ) ' ) ] + p f m

v . i i = o

Donde p es la densidad, u es el vector velocidad, p es la presion, 7 es la viscosidad dinhnica,

f,

son las fuerzas masicas (o de volurnen) y

D

S l D

t es la derivada sustancial o material definida por

A la hora de describir el flujo laminar en una tuberia de un fluido incompresible, newtoniano en el que las fuerzas masicas son el resultado de la accion del campo gravitatorio, la primera ecuacibn de [3.1] puede escribirse como

Ecuacion en la que ya puede vislumbrarse la dificultad adicional a la hora de obtener soluciones numericas de flujo de fluidos pues incluso en regimen estacionario el tkrmino de aceleracion convectiva es no nulo. Sin embargo, para el caso que nos ocupa, las simplificaciones que impondremos sobre la ecuacibn [3.3] son de tal calibre que podremos obtener soluciones analiticas. Son estas soluciones con las que a la postre vamos a validar nuestra simulaci6n con COMSOL.

Las hipotesis de trabajo que vamos a aplicar a la ecuacion [3.3], una vez el flujo estt completamente desarrollado, son:

1. Flujo estacionario. De manera que el termino de aceleracion local es nulo.

2. Flujo unidireccional. Esto es, el movimiento tiene lugar en una sola direccibn y el contorno que confma el flujo no modifica su geometria. De esta forma sera nulo el ttrmino de aceleracion convectiva.

3. La tuberia no necesariamente tiene que ser horizontal de manera que

,

trabajaremos con presiones motrices (o reducidas) combinando asi 10s efectos de la presion y de la accion gravitatoria. Se define la presion motriz como p,=p+pgh.

Ayudhndonos ahora de la simetria cilindrica del dorninio de trabajo, solo tiene interes la componente z de la ecuacion [3.3] que, por tanto, toma la forma

Ecuacion que, integrada dos veces, con las condiciones de contorno

u , ( r = R ) = 0 (no deslizamiento en la pared) y

(2)

r= o = 0 (para asegurar el

valor finito de la velocidad en el centro de la tuberia, esto es, en r = 0) pennite obtener el clasico perfil de velocidades parabolic0 correspondiente a un flujo laminar en una tuberia

El signo menos del gradiente de presiones (rnotrices) da cuenta de la disminucion de la presion motriz a medida que el flujo avanza por la tuberia (flujo de Poiseuille).

En este punto el problema fluidodinamico esth resuelto. El caudal volumetrico circulante es el flujo del campo de velocidades a traves de una seccion recta de la tubena, esto es

Dado que la presion motriz vana linealmente con la distancia reconida (esto es, el tennino d pmld z es constante) y que las perdidas de carga a lo largo de cierto tramo de conduccion de longitud L vienen dadas por las diferencias de presiones

Figure

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