Antologia Calculo Diferencial

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Índice

Presentación 3

Introducción Unidad I 8 Introducción Unidad II 26 Introducción Unidad III 39

Introducción Unidad IV 65

Introducción Unidad V 78

Formulario 87

Comentarios 91

Bibliografía 92

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Presentación.

Todo fenómeno natural, desde las vibraciones cuánticas de las partículas subatómicas hasta el propio universo, es una manifestación del cambio. Los organismos en desarrollo cambian conforme crecen. Las poblaciones de criaturas vivas, desde los virus hasta las ballenas, sufren modificaciones día con día o de un año a otro. La historia, la política, la economía y el clima están sujetos a cambios constantes y con frecuencia desconcertantes. Algunos cambios son simples: el ciclo de las estaciones, el flujo y reflujo de las marcas. Otros parecen más complicados: las recesiones económicas, los brotes de enfermedades, las condiciones meteorológicas. Cambios de toda índole influyen en nuestras vidas.

Es de la mayor importancia la necesidad de entender y controlar el mundo cambiante en que vivimos. Para hacer esto de manera eficaz debemos ser sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento de patrones ocultos en los eventos que primera vista parezcan no tenerlos. Para ello es necesario:

 Representar los cambios en una forma comprensible.

 Entender los tipos fundamentales de cambio

 Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran.

 Aplicar estas técnicas al mundo exterior y

 Controlar un universo cambiante para nuestro mayor provecho.

El medio más eficaz para llevar a cabo estas tareas son las matemáticas. Con las matemáticas construimos universos modelo y los descomponemos para investigar la forma en que operan, resaltamos sus rasgos estructurales importantes y percibimos y desarrollamos principios generales. Las matemáticas son el summum en la “transferencia de tecnología”: los patrones percibidos en un ejemplo individual pueden aplicarse en el espectro entero de las ciencias y del mundo de los negocios.

LAS MATEMÁTICAS DEL CAMBIO

El enfoque tradicional de las matemáticas del cambio se puede resumir en un solo término cálculo diferencial e integral. El cálculo, el sistema cambiante se representa por una ecuación particular (técnicamente, una ecuación diferencial) que describe la relación entre las razones de cambio de las diferentes variables. Se introduce una maquinaria pesada (tanto teórica como numérica) como sea necesaria para intentar resolver la ecuación. Preparar a los estudiantes para el estudio del cálculo ha sido la meta central de las matemáticas escolares; plantear y resolver las ecuaciones del cálculo es el fluido vital de las matemáticas tradicionales enfocadas a la ingeniería.

El cálculo es un componente esencial de las matemáticas del cambio. Métodos más recientes, como las matemáticas discretas y la computación electrónica, antes lo fortalecen que lo sustituyen. Pero las matemáticas en si mismas están sujetas al cambio. Nuevos problemas y nuevos descubrimientos requieren de un ámbito mucho más variado del aparato mental. Cabe mencionar dos tendencias importantes: el uso de métodos

Página 4 de 88 aproximados con una complejidad creciente y la explotación de la geometría y las gráficas por computadora. la primera la ha hecho posible la enorme ampliación de la capacidad de las computadoras. Debido a que la computación se basa en la manipulación digital, requiere la comprensión tanto de lo discreto como de lo continuo y sobre todo de la relación entre ambos ámbitos.

La segunda tendencia es un triunfo notable de la imaginación matemática: el uso de la imaginería visual para condensar una gran cantidad de información en una sola imagen comprensible. Las gráficas de computadora han llevado al descubrimiento de que muchos aspectos del cambio son manifestaciones de un número relativamente reducido de formas geométricas básicas. Los matemáticos apenas empiezan a entender estos bloques elementales del cambio y a analizar la manera en que se combinan. La metodología empleada posee un espíritu muy diferente al de la construcción tradicional de modelos por medio de ecuaciones diferenciales se asemeja más a la química que al cálculo diferencial e integral, requiriendo un cuidadoso contrapunto entre el análisis y la síntesis.

La representación gráfica de diferentes conceptos matemáticos que surgen del estudio del cambio ha llevado al descubrimiento de diversas formas intrincadas, cada una de las cuales aparece en muchas situaciones dinámicas diferentes y es, por consiguiente, un objeto “universal” en las matemáticas del cambio.i

En la figura 1 se muestran varias de estas formas ilustran de manera adecuada las enormes diferencias entre los métodos visuales actuales y las formas estudiadas en la geometría tradicional, tales como triángulos y paralelogramos.ii Hoy la geometría es orgánica y visual antes que limitada y formal.

En consecuencia, hoy en día existen muy pocas ramas de las matemáticas que no guarden alguna relación con el cambio. Esto se debe en parte a que las matemáticas son una estructura altamente integrada e interconectada. Además, el cambio es un fenómeno a tal punto complejo y varado que para abordarlo requerimos de todas las ideas que podamos reunir. Para estudiar el cambio el científico del futuro necesitará combinar, en una sola visión integrada del mundo, aspectos de las matemáticas tradicionales, de las matemáticas modernas, de la experimentación y de la computación. Necesitaremos científicos que igual tomen un lápiz que una terminal de computadora, que igual puedan hacer bosquejos toscos pero informativos que gráficas de computadora, que igual piensen en términos de imágenes que en función de números o fórmulas. El punto de vista, el aparato de las herramientas mentales, en su conjunto del científico activo será muy diferente de lo que fue incluso hace una década.

Los patrones del cambio en la naturaleza y en las matemáticas no se constriñen a las categorías ordinarias del pensamiento. Para hacer progresos debemos responder con imaginación y sensibilidad a los nuevos tipos de patrones. Nuestros propios patrones de pensamiento deben cambiar.

Conforme el siglo XX llega a su fin, sumerge un nuevo estilo de matemáticas, un estilo cuyo rasgo distintivo es la variedad. Las matemáticas se desarrollan de nueva cuenta en estrecha conjunción con sus aplicaciones en las ciencias, físicas, biológicas, conductuales y sociales. Gran parte de las matemáticas son inspiradas por experimentos de computadora y de laboratorio o por las formas de los fenómenos naturales. Recíprocamente, las ideas

Página 5 de 88 matemáticas desarrolladas per se, o en un área de aplicación diferente, se están transfiriendo a otras tareas donde encuentran aplicaciones prácticas.iii Esta variedad constituye la fortaleza del nuevo estilo de las matemáticas, y deberá estimularse en todos los niveles. Además, las computadoras (en particular las gráficas de computadora) permiten que personas no especializadas, desde niños de escuela hasta gerentes, desde profesores de la escuela elemental hasta científicos, sean testigos de la belleza y la complejidad de las matemáticas y las apliquen en la práctica.3.17

El surgimiento de este nuevo estilo de las matemáticas no significa que sea posible abandonar el énfasis tradicional en la formulación precisa de los conceptos y la demostración lógica rigurosa. Por el contrario, siguen siendo un componente esencial del que hacer matemático. El rigor y la precisión son tan esenciales a las matemáticas como la experimentación lo es para el resto de las ciencias, y en gran medida por la misma razón proporcionan razones firmes para creer en la solidez de las ideas y los métodos. Forman parte de los mecanismos internos de verificación y rectificación del tema, un salvaguarda constante en contra del error. En la formación de matemáticos profesionales continuará requiriéndose necesariamente el pensamiento lógico preciso y la comprensión precisa del significado de “demostración”. El uso de computadoras como “herramientas experimentales” en estos experimentos por sí solo no puede llevar a la comprensión de por qué ocurren los fenómenos observados. Su papel es ofrecer un grado de confianza de que ciertos fenómenos en realidad ocurren.

De hecho, una tendencia importante se ha vuelto bastante notable a medida que se ha adquirido la experiencia en el uso de las computadoras. Se trata de la desaparición de la actitud fácil: “Mételo en la computadora y ella te responderá todas las preguntas”. Cuando la respuesta de un problema es, digamos, un solo número, tal como la carga máxima de una estructura de ingeniería, todos los problemas desaparecen en realidad una vez que se conoce dicho número. Pero en la actualidad una investigación típica basada en computadora puede producir varios cientos de diagramas que representan el comportamiento del sistema bajo diferentes condiciones. Por ejemplo, piénsese en el flujo del aire que incide en un transbordador espacial para diferentes velocidades, ángulos de ataque y densidades atmosféricas. Esta lista, a pesar de su tamaño aparentemente grande, probablemente resultará inadecuada para determinar el comportamiento bajo todas las condiciones posibles. Si el sistema incluye tres parámetros regulables, como el que acaba de mencionarse y cada uno puede asumir diez valores, entonces son posibles un total de mil combinaciones. Con cuatro variables como éstas hay diez mil, con seis hay un millón. En la práctica, seis es un número reducido de parámetros en los problemas más sencillos de la ingeniería química por lo general se manejan varias docenas de parámetros pero pueden incluir cientos. No tiene sentido producir un catálogo computarizado de un millón de diagramas, por no mencionar listas del orden de los miles de millones o los billones. La cuestión fundamental “¿Qué está pasando realmente aquí”, vuelve de la ciencia de las computadoras al reino de las matemáticas. Tales cuestiones requieren una participación sensiblemente mayor del cerebro humano que de las computadoras.

Página 6 de 88 Sin embargo, no debe subestimarse el papel de la computadora. Se está convirtiendo en un auxiliar del pensamiento con una presencia cada vez más generalizada. las computadoras no sólo pueden generar “resultados”, sino que también pueden usarse para experimentar en etapas intermedias de la comprensión, para poner a prueba hipótesis y mecanismos posibles. Tomando las precauciones necesarias, los cálculos por computadora en realidad pueden producir demostraciones rigurosas de resultados matemáticos. El establecimiento de tales demostraciones auxiliadas por computadora requiere una construcción muy cuidadosa y una participación humana considerable: se encuentran lejos de ser rutinarias y, por lo general, requieren software construido especialmente y un prolongado tiempo de la máquina. Ante todo, constituyen una difícil área de especialización de las matemáticas. El “mételo a la computadora” no es ninguna panacea.

Por Ian Stewart

La siguiente antología está diseñada para que el alumno que cursa la asignatura de CÁLCULO DIFERENCIAL, aprenda los contenidos temáticos que abordaremos durante el semestre.

Cada actividad aborda una competencia que será una herramienta para cursos posteriores, por lo que es de vital importancia que el estudiante las realice construyendo su propio conocimiento.

Una parte fundamental del presente trabajo se refiere a la resolución de problemas como un aprendizaje significativo realizado por descubrimiento, exige la transformación y reintegración del conocimiento existente para adaptarse a las demandas de una meta específica, es decir, el solucionador relaciona intencionalmente una proposición potencialmente significativa del planteamiento de un problema a su estructura cognoscitiva, con el propósito de obtener una solución potencialmente significativa.

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Introducción Unidad I Números Reales

El sistema de los números reales puede ser descrito completamente por un conjunto de axiomas. Con estos axiomas podemos derivar las propiedades de los números reales, de las cuales resultan las conocidas operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación y división, también los conceptos algebraicos de solución de ecuaciones, factorización, etc.

Cualquier número real puede ser clasificado como racional o irracional.

Un número racional es cualquier que se puede expresar como razón de dos enteros.

Enteros (positivos, negativos y cero) Las fracciones positivas y negativas.

Los decimales positivos y negativos con un número finito de dígitos.

Los decimales periódicos positivos y negativos con un número no finito de dígitos, Un número irracional tiene decimales no periódicos con un número no finito de dígitos. El conjunto de todos los números reales se denota por .

Página 9 de 88 1.1 La recta numérica.

Una manera de representar geométricamente los números reales, consiste en tomar una recta generalmente en forma horizontal, y fijar dos puntos distintos en ella, denotando con 0

(cero) al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha.

Se considera que cada punto de la recta corresponde a un número real y viceversa, a cada número real le corresponde uno y solo un punto de dicha recta. Se establece de esta forma, una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto "es" un número real. A la recta sobre la cual se hace representaciones de los números reales, se seguirá llamando: RECTA REAL, ó, también, RECTA NUMÉRICA.

En conclusión una escala numérica es una representación gráfica de los números reales por medio de los puntos de una recta. A cada número le corresponde un solo punto de la recta y recíprocamente.

Recurriendo a la idea de distancia y tomando como unidad de longitud el segmento de recta entre 0 y 1, que en adelante se llamará segmento unitario; como punto de partida el 0, que en adelante se llamará origen; como números positivos los puntos que se dan a la derecha del origen y negativos, los que se dan a su izquierda, se puede entonces localizar algunos números reales. Así, para localizar los números enteros, se lleva sucesivamente, y a ambos lados de 0 y 1, el segmento unitario como aparecen en la siguiente figura.

Los números (puntos) N y –N están a ambos lados de 0 y a N unidades de él.

N - N N

0 1

-1

Página 10 de 88 Para ciertos números irracionales, su localización en la recta numérica se logra de una manera sencilla empleando el teorema de Pitágoras

Otros números irracionales como p 3.1415927... y e 2.7182818... serán localizados en su forma decimal aproximada.

Entonces, los números reales se representan en la recta real (los racionales y los irracionales) y llenan todos los puntos que esta recta tiene.

Evidencia 1.1 (3%)

Representar en la recta numérica los siguientes números reales:

Página 11 de 88 1.2 Los números reales.

Selecciona dos números naturales ¿Qué sucede si…?

¿Qué sucede si…?

Selecciona dos números enteros ¿Qué sucede si…?

¿Qué sucede si…?

pero pero

entonces

pero _pero

Números Racionales Q

Razón de dos enteros Denominador distinto de cero

Patrones repetitivos o terminan

¿Qué sucede si…?

Números Irracionales I

No pueden expresarse como razón de dos enteros

Sin patrón Continúan indefinidamente Además

Números

Reales

I Q R  I M A G I N A R NÚMEROS COMPLEJOS Surgen

Página 12 de 88

Evidencia 1.2 (3%)

1. Menciona las características que tiene el conjunto de números Racionales y ejemplifica

2. Menciona las características que tiene el conjunto de números Irracionales y ejemplifica

3. Señala con una cruz los números racionales y encierra en un círculo los números irracionales.

1

ln

121

15

15

.

1

3

6

6

.

1

3

5

49

17

.

0

5

3

3

e

















Página 13 de 88 1.3 Propiedades de los números reales.

1.3.1 Tricotomía. 1.3.2 Transitividad. 1.3.3 Densidad.

1.3.4 Axioma del supremo.

Leyes formales constituyen una definición indirecta de los números reales y de las operaciones fundamentales. Éstas leyes no requieren demostración, pues son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas.

Igualdad:

I. Axioma de identidad: aa

II. Axioma de reciprocidad: si a b entonces ba

III. Axioma de transitividad: si a b y bc, tenemos que ac

Suma o adición:

I. Axioma de uniformidad: Si se suman entre sí dos números reales el resultado que se obtiene es un real único

II. Axioma de conmutatividad:abba

III. Axioma de asociatividad:



ab



ca



bc



IV. Axioma de identidad o módulo de la suma: Hay un número y sólo un número, el cero, de modo que a00aa, para cualquier valor de a. Entonces el cero recibe el nombre de elemento idéntico o módulo de la suma.

Multiplicación:

I. Axioma de uniformidad: Si se multiplican entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único.

II. Axioma de conmutatividad:abba III. Axioma de asociatividad:

 

abca

 

bc

IV. Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos que a



bc



abac V. Axioma de identidad o módulo del producto: Hay un número y sólo un número, el

uno, de modo que a*11*aa, para cualquier valor de a.

VI. Axioma de existencia del inverso: para todo número real a0corresponde un número real, y solo uno, x, de modo que ax 1. Este número x se llama inverso o recíproco de a y se representa por

a x 1

Axiomas de orden: el sistema de los números reales es un campo ordenado.

I. Tricotomía: Si tenemos dos números reales a y b sólo puede haber una relación, y solo una entre ambos, ab ó ab ó ab

II. Monotonía de la suma: si ab tenemos que acbc

Página 14 de 88

Evidencia 1.3 (3%)

1. Investiga, explica y ejemplifica el axioma de densidad 2. Investiga, explica y ejemplifica el axioma del supremo

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Intervalo:

a) Intervalo Abierto: ( ) es el conjunto de todos los números x situados entre a y b ( ) |

b) Intervalo Cerrado: [ ]es el conjunto de todos los números x situados entre a y b pero que también incluye a éstos.

[ ] | c) Intervalos semicerrados o semiabiertos:

( ] | [ ) |

1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita.

Desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.

Signos: ,,,

Miembros: se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad.

Términos de una desigualdad son las cantidades que están separadas de otras por el signo + ó – o la cantidad que está sola en un miembro.

Propiedades de las desigualdades:

1. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o se resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.

Consecuencia: un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo.

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.

Página 15 de 88 Consecuencia: se pueden suprimir denominadores sin que varíe el signo de la desigualdad.

3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia.

Consecuencia: si se cambia el signo de todos los términos de una desigualdad, el signo de desigualdad varía.

4. Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo.

b

a entonces ba

5. Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo

b a se tiene que b a 1 1_

6. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia

3

5 si elevamos al cuadrado 2 2

2

5  o sea 254

7. Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia

5 3

 si elevamos al cubo3353 o sea 27125

8. Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia

5 3

 si elevamos al cuadrado3252 o sea 925

9. Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar cambia

5

3 si elevamos al cuadrado3252 o sea 925 Cambia

2

8 si elevamos al cuadrado8222 o sea 644 No Cambia

10. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia

b

a y n es positivo tendremos n _a n _b

11. Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.

b

a y cd tendremos que acbd y acbd

12. Si dos o más desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no necesariamente es una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad

8

10 y 52 restando miembro a miembro 10582 ya que 56 8

10 y 54Si dividimos miembro a miembro

4 8 5 10

Página 16 de 88 Inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Para resolverlas se han de aplicar las propiedades de la ordenación de los números reales y se han de seguir los siguientes pasos:

 Se quitan denominadores si los hubiera. 

2. Se aísla la incógnita en el miembro en quede positiva con el sistema de lo que está sumando pasa al otro miembro restando y lo que está restando pasa al otro lado sumando.

 Lo que está multiplicando (que será positivo) pasara al otro miembro dividiendo y lo que está dividiendo (que será positivo) pasa multiplicando.

 La solución, si existe, se dará en forma de operación de intervalos. Ejemplo: Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad:

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

Evidencia 1.4 (7%)

Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad:











2



2



3



(2 1)( 4) 3 2 7 1 2 2 5 4 4 3 10 3 3 5 2 2 7 14 3 8 21 6 6 2 5 2 2                           x x x x x x x x x x x x x x x x x x x>1 x>4 x>3 x>-3 x>7 x<8 x>5 x>1 x>3 x>-3 x>7 x<8 x>5 x>1

Página 17 de 88

1

1

1

1

1

3

2

1

9

20

1

3

5

3

2

4

3

3

2

3

5

2

1

3

1

2

2 2 2 2







































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x 7/6 x>2 x<3 x>2

Página 18 de 88 Doble desigualdad de primer grado con una incógnita.

: 3 2 1 5 3 6 13 2 5 7 3 5 2 3 1 2 13 7 2 5                   x x x x x x x x x x

Evidencia 1.5 Resuelva las desigualdades siguientes y expresa las soluciones en forma de intervalo, si es posible. (7%) 11 6 1 3 7 5 1 3 1 3 2 1 4 3 1 4              x x x x x x x [-5,-1] (1,4) x =4

Página 19 de 88 [-3,-1) (2,6) [3,6] (-1,4] (9/2 , 5] [-10/3 , - 13/6] (15/2 , 21/2] [-3,-1) (2,6) [3,6] (-1,4] (9/2 , 5] [-10/3 , - 13/6] (15/2 , 21/2]

Página 20 de 88 Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.

El método para resolverlas es la siguiente:

 Se quitan denominadores si los hubiera. 

 Se ordena en un miembro de la igualdad. 

 Sustituimos el signo de desigualdad por el de igualdad, y se resuelve la ecuación de segundo grado. 

 Los valores obtenidos se representan en la recta. 

5. Probamos en cada intervalo con un número si verifica o no la desigualdad. Si el punto verifica la desigualdad, todo el intervalo es solución.

Evidencia 1.6 Resuelve las siguientes inecuaciones y expresa las soluciones en forma de intervalo, si es posible.( 7%)

















x x x x x x x x x x x x x 6 13 4 3 2 14 9 0 12 7 0 3 5 2 0 5 2 2 2 2 2                 0 6 7 2 _{  } x x 0 3 2    x x 0 35 12 2 _{  } x x 0 3 2    x x 0 4 5 2 _{  } x x (2,5) (-∞,-3] U [5/2 , ∞) [3,4] (2,7) (-∞,-1] U [3 , ∞) (-∞,-2] U [2 , ∞) *** (-∞,1) U (6 , ∞) *** (5,7) *** (-∞,1) U (4 , ∞)

Página 21 de 88 1.6 Valor absoluto y sus propiedades.

Si x es un número real, entonces el valor absoluto de x, denotado por x , se define por

| | | | | | | |

Propiedades del valor absoluto

Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.

Propiedad 1

El valor absoluto de un número siempre es un número real no negativo, es decir: 0  x Propiedad 2 Si Propiedad 3 Si Propiedad 4 Propiedad 5 Si entonces Propiedad 6

Página 22 de 88 1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

Resuelva la desigualdad y exprese la solución en forma de intervalo, si es posible.

| | ( )

Evidencia1. 7 Resuelva las desigualdades y exprese la solución en forma de intervalos, si

es posible (7%) 5 5 3 7 0 6 13 3 2 1 4 3 3 6 2 3 5 2 4 7 3               x x x x x x | | | | | | ⋃[ ) [ ] ( ]⋃[ ) (-11/3, -1) [3/2, 9/2] (5/8, 7/8) *** *** ***

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Estudio de Casos:

Caso: Un fabricante de tornillos especiales puede vender todos los birlo que produce a . Gasta $40 en mano prima y mano de obra al producir cada birlo y tiene costos adicionales (fijos) de $ 3 000 a la semana en la operación de la planta.

Encuentre el número de unidades que debe producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1 000 a la semana.

Evidencia 1.8 (3%)

Caso: Motorola puede vender las unidades más económicas que produce en $300 cada una. Tiene costos fijos de $120 000, y además cada celular le cuesta producirlo $220

¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes Motorola para obtener utilidades?

Caso: Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es de p dólares están dadas por . El costo de producir unidades del mismo artículo es = (650 + ) dólares.¿ Cuantas unidades de este articulo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2500 dólares?

( )( ) ( )

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Introducción Unidad II Funciones.

El concepto de función es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para expresar el cambio que se produce en las cosas al pasar el tiempo.

Una función puede expresarse de diferentes modos: mediante una fórmula, gráficamente, y con palabras.

En otras palabras, una función es una regla que permite asignar a cada uno de los elementos de “x” de un conjunto A un elemento “y” de otro conjunto B.

A diario tenemos ejemplos de estas asignaciones: el médico dosifica un antibiótico en función del peso del bebe, nos cobran el pasaje de un transporte en función de la distancia recorrida, la distancia recorrida es función de la velocidad alcanzada, etc.

Página 26 de 88 2.1 Concepto de variable, función, dominio, codominio y recorrido de una función. La noción de correspondencia aparece frecuentemente en la vida diaria. Por ejemplo: A cada libro de una biblioteca corresponde un número de páginas

A cada ser humano le corresponde una fecha de nacimiento

Si se registra la temperatura del aire a lo largo del día, entonces a cada instante de tiempo corresponde una temperatura.

Estos ejemplos de correspondencia involucran dos conjuntos, dominio y recorrido.

Al conjunto de números que tienen imagen mediante una función le llamamos dominio de definición de una función. El recorrido de una función es el conjunto de todas las imagines de la función. Entonces, una función consiste en dos conjuntos, dominio y recorrido (rango o imagen). A cada miembro del recorrido debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio.

Si la relación entre dos variables x y y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x.

Definición gráfica de una función: Si f es una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos ( ) del plano para los cuales ( ) es un par ordenado de f.

En una función existe un solo valor de la variable dependiente para cada valor de la variable independiente del dominio de la función, en términos geométricos estos significa que una recta vertical intersecta la grafica de una función a lo más en un punto.

Página 27 de 88 Se desea construir un tanque horizontal de acero para almacenar gas combustible, que tenga forma horizontal circular de 3m de largo con una semiesfera en cada extremo. El radio r no está aún determinado. Expresar el volumen V del tanque como una función de r.

Normas para modelar con funciones:

Exprese el modelo en palabras. Identifica la cantidad que quieres modelar y

exprésala en palabras como una función de otras cantidades en el problema

Elija la variable. Asigna un símbolo, como x, a una variable y expresa las otras

variables en términos de este símbolo.

Establezca el modelo. Expresa la función en lenguaje algebraico.

Use el modelo. Emplea la función para contestar las preguntas planteadas en el

problema.

Evidencia 2.1 (5%)

1. Dos barcos zarpan al mismo tiempo del hermoso puerto de Coatzacoalcos. Uno viaja hacia el oeste a 17 mi/h y el otro hacia el sur a 12 mi/h. Sea t el tiempo en horas después de la salida. Expresar la distancia d entre las embarcaciones como una función de t.

2. Una compañía productora de cereal fabrica cajas para empacar su producto. Por razones estéticas, la caja debe de tener las siguientes proporciones: su amplitud es tres veces su profundidad y su altura es cinco veces su profundidad.

a) Halla una función que modele el volumen de la caja en términos de su profundidad- b) Encuentra el volumen de la caja si su profundidad es de 1.5 pulgadas

c) ¿Para qué profundidad el volumen es 90 pulg³?

d) ¿Para qué profundidad el volumen es mayor que 60 pulg³? 2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Las funciones se pueden clasificar como inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Debemos recordar las definiciones de domino, imagen, codominio, variable dependiente y variable independiente, lo haremos con el siguiente ejemplo:

Sea el conjunto A ={1, 2, 3}

Le aplicamos la función: ( ) Se obtienen los primeros tres elementos del conjunto B = {2, 3, 4, 5} Es decir: A f(x) = x +1 B 1 2 2 3 3 4 5

Al conjunto A se llama dominio de la función. Al conjunto B se llama codominio de la función.

Página 28 de 88 A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) A se les llama imagen o rango (en este ejemplo el codominio y la imagen NO tienen los mismos elementos).

y = f (x): variable dependiente. x: variable independiente.

NOTA: La función del ejemplo anterior también lo podemos indicar en definiendo los conjuntos A y B; y posteriormente definir la función; es decir:

A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4, 5}

f = {(1,2), (2,3), (3,4)}

Se dice que una función es inyectiva cuando cada elemento del rango se asocia con uno y solo uno del dominio, en este caso no hay dos parejas ordenadas que tengan la misma segunda componente.

Ejemplo: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A B: f={(1,2), (2,1), (3,3)}

Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea entonces es INYECTIVA.

Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A_B: f={(1,2), (2,1), (3,2)} (solo se cambio el número indicado en rojo)

Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto NO ES INYECTIVA.

Para la siguiente función: ( )

A cada elemento del domino se le relaciona en la función con UN elemento de la imagen, por lo tanto ES INYECTIVA.

NOTA: El domino y la imagen son todos los reales: D = ℝ

Página 29 de 88 I = ℝ

Página 30 de 88 Cuando el rango y el codominio son iguales la función es SUPRAYECTIVA.

Ejemplo: Sean los conjuntos:

A = {1,2,3} y B = {2,4} y la función f = {(1,2), (2,2), (3,4)}

Al conjunto B = {2,4} se le llama codominio. El rango de la función también es I = {2,4}

Como el codominio y el rango son iguales la función es SUPRAYECTIVA. Sean los mismos conjuntos anteriores PERO con la función:

f = {(1,2), (2,2), (3,2)} Gráficamente queda de la siguiente forma:

El codominio B = {2, 4} El rango o imagen es: I = {2}

Como el codominio y el rango NO son iguales la función es NO ES SUPRAYECTIVA En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la imagen deben ser todos los reales.

Para que una función sea BIYECTIVA se requiere que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo: La función ( ) es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es BIYECTIVA.

Página 31 de 88

Funciones Inyectiva No inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva

Evidencia 2.2 (5%) Indicar con una X si la función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva,

FUNCIÓN INYECTIVA SUPRAYECTIVA BIYECTIVA

√ http://books.google.com.mx/books?id=vCMIOfrbYrAC&pg=PA83&dq=Funciones+inyectivas,+suprayectivas+y+biyectivas&ei =AiCHSvDONqbKyQTEhO2fDg#v=onepage&q=Funciones%20inyectivas%2C%20suprayectivas%20y%20biyectivas&f=fals e

Página 32 de 88 2.3 Función real de variable real y su representación gráfica.

Se llama función real de una variable real a cualquier aplicación f : D R, D R, que hace corresponder a cada x D uno y sólo un valor f(x) R. La función se suele representar por ( )

Donde x se llama variable independiente e y se llama variable dependiente.

Si f(x0) = y0, se suele decir que y0 es la imagen de x0 por la función f, o que x0 es un origen

de y0. La representación en el plano cartesiano de todos estos pares ordenados (x0; y0) se

llama gráfica de la función f.

Graficar y establecer el dominio de las siguientes funciones a) b) √ c) √ ( )

d)

( )

e)

Evidencia 2.3 (5%) Nota: Todas las gráficas se harán en Winplot u otro graficador.

1) Trazar la gráfica de la función f dada por ( ) √ ¿Cuáles son el dominio de f?

2) Trazar la gráfica de la función f dada por

( )

¿Cuáles son

el dominio de f?

3) Trazar la gráfica de la función y hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones a) ( ) √

b)

( )

√ c)

( )

d) ( ) √ √

Traza la gráfica de la función f definida parte por parte

x ( )

Página 33 de 88 Traza la gráfica de la función f definida parte por parte

x ( )

2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.

FUNCIÓN POLINOMIAL: Son funciones polinómicas aquellas cuya expresión analítica es un polinomio:

( ) ( )

Función constante: f(x) = b. ; Función identidad: f(x) = x. Función lineal: f(x) = mx + b

Función cuadrática: f(x) =ax2 + bx + c Función cúbica: : , etc.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_d e_funciones_tipos_operaciones/rectas.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_d e_funciones_tipos_operaciones/parabolas.htm

FUNCIÓN RACIONAL: Están definidas por el cociente de dos polinomios. ( ) _{( )} ( ) ( )

FUNCIÓN IRRACIONAL (función raíz):

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical: ( ) √ ( )

Donde g(x) es una función polinómica o una función racional. Si n es par, el radical está definido para ( )

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_de_funciones_ tipos_operaciones/raices.htm

2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones

Página 34 de 88 FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA: Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.

Una razón trigonométrica en función del ángulo. ( ) ( )

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_de_funciones_ tipos_operaciones/trigonometricas.htm

FUNCIÓN EXPONENCIAL: Son las que la variable independiente está en el exponente. ( )

Página 35 de 88 2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. función valor

absoluto.

Evidencia 2.4 (5%)

Visitar la siguiente página y realizar la actividad señaladas con los incisos a y b. Reportar resultados en hoja de evidencia

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones%20elementale s_2/valorabs.htm

2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.

Dadas dos funciones y = f(x) e y = g(x), se definen las siguientes operaciones algebraicas: 1. Suma o diferencia: (f ± g) (x) = f(x) ± g(x), con dominio D(f ±g) = D(f) ∩ D(g).

2. Producto por un número real: Si , (α f) (x) = α f(x), con dominio D(α f) = D(f). 3. Producto: (f g) (x) = f(x)g(x), con dominio D(f g) = D(f) ∩ D(g).

4. Cociente: (f /g) (x) = f(x) /g(x), con dominio D(f /g) = D(f) ∩ D(g) ( ) }

Si f(x) = x2 -x+ 1 y g(x) = x + 2, encuentra las expresiones algebraicas de f + g, f g y f/g, especificando el dominio de cada una de ellas.

Evidencia 2.5 equipos de 3 integrantes (20%)

Visitar la siguiente página, realizar la actividad según instrucciones, reportando resultados y conclusiones obtenidas:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_de_funciones_ tipos_operaciones/sumaresta.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_de_funciones_ tipos_operaciones/productodiv.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_de_funciones_ tipos_operaciones/composicion.htm

2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas. FUNCIÓN INVERSA: La función inversa “deshace” o invierte lo que ha hecho la función La función inversa de f es

Si ( ) _{( )}

FUNCIÓN LOGARÍTMICA: Son las inversas de las funciones exponenciales.

Página 36 de 88 ( ) ( )

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:

Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente:

La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x. La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x. La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.

2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.

Denominaremos sucesiones infinitas a aquellas que posean un conjunto infinito de elementos distintos.

2.10 Función implícita.

La función estará expresada de esta manera porque no hay forma posible de despejar la y.

Página 38 de 88

Introducción Unidad III Límites y Continuidad.

Imagínate que sufres una pesadilla (por tanto estudiar matemática) en la que te encuentras cerca de una puerta. Decides abrirla, así que te acercas. Te das cuenta que estas cada vez más cerca, pero no alcanzas a tocar el picaporte. Corres tratando de llegar, mas, siempre hay espacio entre tu mano y ese picaporte, no importa cuánto lo intentes. Esa "pesadilla" tiene nombre matemático "límite".

El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.

Desde el punto de vista del conjunto de los números reales, que es denso (infinito e infinitésimo), podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números: tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 4 que está entre 4 y 5, ahora un número que este entre 4 y 4 , por ejemplo 4.1, nuevamente busquemos un número entre 4 y 4.1, tal vez 4.01, y así sucesivamente ppodemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número "4" todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente "4" es el límite que no podemos tocar.

Página 39 de 88 3.1 Límite de una sucesión.

3.2 Límite de una función de variable real. Definición de límite

Si

A

n es el área de un polígono regular inscrito con n lados, entonces se puede observar que cuando n aumenta

A

n, se aproxima cada vez más al área del círculo. Se dice que área

A del círculo es el límite de las áreas A_n y se escribe:

n n

A

Área

_lím

 



Definición del límite de una función:

Se escribe:

_lím

f

 

x L

a x





,se lee “el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L”

Si es posible hacer que los valores de ( ) se aproximen de manera arbitraria a L (tan cerca de L como se quiera) al tomar suficientemente próxima a , pero no igual a .

Página 40 de 88 3.3 Cálculo de límites.

3.4 Propiedades de los límites.

Se usan las siguientes propiedades de límites, llamadas leyes de límites, para calcular los límites:

Suponga que es una constante y que los siguientes límites existen: ( ) y ( ) , entonces:

El límite de una suma es la suma de los límites

[ ( ) ( )] ( ) ( )

El límite de una diferencia es la diferencia de los límites

[ ( ) ( )] ( ) ( )

El límite de una constante por una función es la constante multiplicada por el límite de la función.

( ) ( )

El límite de un producto es el producto de los límites

[ ( ) ( )] ( ) ( )

El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del denominador no sea 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] √ ( ) √ ( )

Página 41 de 88 3.5 Límites laterales. 1 1 2 1    x x

lím

x f

 

x f

 

x 0.9 1.1 0.99 1.01 0.999 1.001 0.9999 1.0001

En base a los valores encontrados en la tabla, se dice que:









1

1

2 1

x

x

lím

x        x y f(x) = (x-1)/(x^2-1)

Página 42 de 88

Evidencia3.1 (10%) Estima el valor del límite y grafica:

1)     4 2 4 x x

lím

x 2)      6 2 2 2 x x x

lím

x 3)    x ex x

lím

1 0

4)

5)

II. Determinación algebraica de límites

Formas indeterminadas: 















1

0

*

0

0

0

_{0 0}

División por cero excluida

0

0

0

a

I. Límite por sustitución directa:

2 5 4 2 1     x x x

lím

x =

II. Límites por medio de álgebra y leyes de límites

     2 32 5 2 x x

lím

x





4 3 2 2 3 4



5 5 n mn n m n m m n m n m            1 1 2 3 1 x x

lím

x

Página 43 de 88













2 2



3 3 2 2 3 3 b ab a b a b a b ab a b a b a           √     1 1 1 x x

lím

x       2 9 4 16 8 3 2 2 4 x x x x

lím

x         4 13 4 3 3 2 5 2 2 3 2 3 3 x x x x x x

lím

x Evidencia3.2 (10%)



2 3 10 8



3    x x

lím

x =







  3 1 x

lím

x      2 4 2 2 x x

lím

x     3 27 3 3 x x

lím

x ( )

Página 44 de 88     7 343 3 7 x x

lím

x    x x x

lím

x 3 0

12

4

2 4









x

x

x

lím

x

9

27

2 3 3







x

x

lím

x



h

x

h

x

lím

h 2 2 0

)







5

3

4

2 2 2









_x

x

lím

x





2

4

2





x

x

x

lím





1

4

3

2

2 3











x

x

x

x

lím

3 2 1

(

1

)

)

1

3

(







x

x

lím

x x x x x x

lím

_  





3

3

3

3

0

1

1

2 2







x

x

lím

x

6

5

4

2 2 2









x

x

x

lím

x

3

4

2

3

2 2 1









 

x

x

x

x

lím

x

4

2

2 2







x

x

lím

x

Página 45 de 88

4

2

2 2







_x

x

lím

x

4

2

2 2







x

x

lím

x

h

x

h

x

lím

h 3 3 0

)

(







2

3

1

2 1









_x

x

lím

x

Página 46 de 88 3.6 Límites infinitos y límites al infinito.

Evidencia3.3 Equipos de 3 integrantes (5%)

Investiga y reporta por medio de un cuadro sinóptico, mapa mental o conceptual: Limite infinito

Limite al infinito

Y cual es la diferencia entre estos.

1. Límites de polinomios

El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞, dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del polinomio:

Pues en el primer caso el coeficiente de es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de es negativo.

2. Indeterminación

Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeterminación de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla:

Si tenemos: 𝑥 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) ± 𝑠𝑖 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) 𝑠𝑖 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) 𝑎 𝑏 𝑠𝑖 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥)

Donde el signo depende de los coeficientes

Siendo a y b los coeficientes de los términos de mayor grado de cada polinomio

Página 47 de 88

Evidencia3.4 (10%)

Hallar los límites por inspección de exponentes o, dividiendo el numerador y denominador

por la potencia mayor de x en la fracción, teniendo en cuenta que

x

lím

x

1

  = 0 3. Indeterminación

Cuando aparece esta indeterminación, si tenemos una resta de fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente de polinomios que ya sabemos resolver

Página 48 de 88

√ [( ) √ ]

7

9

2

3





 

x

x

lím

x

4

3

6

1

2

6

2 2









 

x

x

x

x

lím

x

1

4

2

3 2







 

x

x

x

lím

x

1

2

2 3



 

x

x

lím

x 3.7 Asíntotas.

Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Hay tres tipos de asíntotas:

Verticales, Horizontales y Oblicuas

Una asíntota vertical (paralelas al eje OY)de una función ( ) es una recta vertical tal que se cumple;

Página 49 de 88 O bien,

( ) ±

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Calcular la asíntota vertical de la siguiente función:

( ) la posible asíntota estará en el punto

( )

Calcula

( )

√ la posible asíntota estará en el punto

√

Calcula

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 _√𝑥 𝑥 _√𝑥

Página 50 de 88 Una función tiene asíntota horizontal (paralelas al eje OX) en tal cuando para alguno de los dos límites;

( )

O bien,

( )

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Calcular la asíntota horizontal de la siguiente función:

( )

=

la asíntota horizontal está en

Una función tiene asíntota oblicua (inclinada) si existen los límites; ( ) [ ( ) ]

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Calcular las asíntotas oblicuas de la siguiente función: ( )

( ) Sustituyendo en ( ) ( )

Página 51 de 88 Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

Página 52 de 88 3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.

Tipos de discontinuidades.

La idea intuitiva de función continua en un punto es bien sencilla.

Una función continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Para determinar que una función sea continua no necesitamos analizar cada punto que la compone, nos basta con encontrar "aquellos" que "interrumpen" la gráfica. Para hallar "esos" puntos debemos tener en cuenta tres condiciones que deben cumplir las funciones analizadas:

a) Para el valor de "x" (elemento del conjunto de partida) elegido siempre debe existir una imagen.Debe cumplirse que: si x = a  f(a) = b (b R)

b) Analizando los límites laterales, ambos deben tener el mismo resultado (mismo límite)

c) El valor del límite debe ser la imagen de la función en ese punto. Resumiendo, para que una función sea continua en un punto debe cumplir:

( ) ( ) ( ) ( )

¿Cuáles son los posibles puntos de discontinuidad de una función?

Aquellos en los que no está definida la función (anulan el denominador, etc.) y aquellos en los que cambia la definición de la función.

En todos los demás puntos las funciones son siempre continuas y no hace falta analizarlos. Tipos de discontinuidad:

Página 53 de 88

Página 54 de 88 Discutir la continuidad de si ( ) √

La función no está definida cuando el denominador ¿Para qué valor de sucede esto?

O cuando el radicando es negativo?

Evidencia 3.5 (15%)

Demuestra que la función es continua en el número dado y grafica:

1. ( ) √ ; 2.

( )

√ ;               x y Conclusión:

Página 55 de 88 Demuestra que es continua en el intervalo indicado y grafica:

( ) ; ( )

( ) ; ( )

Discutir la continuidad de si:

( ) √ √

Discutir la continuidad de si:

( ) √ √

Página 57 de 88

Introducción Unidad IV Derivadas.

Todo fenómeno natural, desde las vibraciones cuánticas de las partículas subatómicas hasta el propio universo, es una manifestación del cambio. Los organismos en desarrollo cambian conforme crecen. Las poblaciones de criaturas vivas, desde los virus hasta las ballenas, sufren modificaciones día con día o de un año a otro. La historia, la política, la economía y el clima están sujetos a cambios constantes y con frecuencia desconcertantes.

Algunos cambios son simples: el ciclo de las estaciones, el flujo y reflujo de las marcas. Otros parecen más complicados: las recesiones económicas, los brotes de enfermedades, las condiciones metereológicas. Cambios de toda índole influyen en nuestras vidas.

Es de la mayor importancia la necesidad de entender y controlar el mundo cambiante en que vivimos. Para hacer esto de manera eficaz debemos ser sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento de patrones ocultos en los eventos que primera vista parezcan no tenerlos. Para ello es necesario:

 Representar los cambios en una forma comprensible.

 Entender los tipos fundamentales de cambio

 Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran.

 Aplicar estas técnicas al mundo exterior y

 Controlar un universo cambiante para nuestro mayor provecho.

El medio más eficaz para llevar a cabo estas tareas son las matemáticas. Con las matemáticas construimos universos modelo y los descomponemos para investigar la forma en que operan, resaltamos sus rasgos estructurales importantes y percibimos y desarrollamos principios generales. Las matemáticas son el summum en la “transferencia de tecnología”: los patrones percibidos en un ejemplo individual pueden aplicarse en el espectro entero de las ciencias y del mundo de los negocios.

Página 58 de 88 4.1.Definición de derivada

Sea una variable con un primer valor y un segundo valor . Entonces el cambio en de valor de , es , se denomina incremento de y se denota por .

Se utiliza la letra griega (delta) para denotar el cambio o incremento de cualquier variable.

Sea ( ) una variable que depende de . Cuando tiene el valor de , tiene el valor ( ). De manera similar, cuando , tiene el valor ( ).Así el incremento de es:

( ) ( )

Resolviendo la ecuación , tenemos que . Usando este valor de

en la definición de , obtenemos:

( ) ( )

Dado que puede ser cualquier valor de , podemos suprimir el subíndice y escribir: ( ) ( ) ( ) 0

La tasa de cambio promedio de una función sobre un intervalo de a se define por la razón:

( ) ( )

Página 59 de 88

La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero.

( ) ( )

4.2 Interpretación física o geométrica de la derivada.

( ) 0 M N

Supongamos una secante que pase por P y un punto próximo Q de la curva. Hagamos que el punto Q se mueva sobre la curva aproximándose indefinidamente a P. La secante girará alrededor de P, y su posición límite es por definición, la tangente a la curva en P. Entonces dada: ( )

Escogemos un punto ( ) de la curva y un segundo punto ( ) también de la curva y cercano a Primer paso ( ) Segundo paso ( ) ( ) ( ) ( ) Tercer paso ( ) ( )

Página 60 de 88

Luego , Suponiendo que es una función continua, tenemos:

( )

Teorema:

4.3 Derivada de la función constante, derivada del producto de una constante, derivada de la función xn cuando n es entero positivo y cuando n es un número real, derivada de la suma de funciones, derivada de un producto de funciones, y derivada de un cociente de funciones

Evidencia 4.1

Comprobar cada una de las siguientes derivadas ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

Página 61 de 88 √ √ √ √ _{√ √ √} √ √ _√ √ √ √ _√ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( )⁄ _√ ( ) ⁄ ( ) ( )⁄ _{( )} ( ) ⁄ ( ) ( ) ( ) ( ) √ _√ √ _{√ ( ) ( )} √ _{√ √ ( ) ⁄} √ _√ √ ( )√