El postulado de las paralelas
Durante mucho tiempo se creyó que la geometría de Euclides reflejaba fielmente la geometría del espacio y que era la única geometría posible. Se trato de mostrar que el 5o postulado (sobre la existencia de paralelas únicas) debía ser una consecuencia lógica de los otros postulados: por un lado se estudio la geometría sin asumir el postulado de las paralelas (la geometría absoluta) y por otro lado asumió que el postulado de las paralelas era falso para tratar de llegar a una contradicción Estas dos estrategias tuvieron resultados sorprendentes, que iban en contra del sentido común pero no se acercaban al resultado deseado.
Geometría absoluta
La geometría euclidiana tiene algunos huecos que hay que subsanar si se quiere pensar rigurosamente. Dos ideas que se usan en geometría euclidiana sin estar justificadas por los axiomas son:
● La existencia de “movimientos rígidos”, que se usa, por ejemplo, para obtener el criterio LAL de congruencia de triángulos. (puede demostrarse sin mucha dificultad que la valides del criterio LAL equivale a la existencia de movimientos rígidos).
● El que cada linea separa en dos partes al plano, que se usa por ejemplo para saber que las lineas cruzan a los triángulos en dos puntos (En la geometría elíptica -la geometría del plano proyectivo- esto no es cierto). Todas las aximatizaciones modernas de la geometría euclidiana incluyen estos dos axiomas de una manera u otra.
Si al conjunto de axiomas de la geometria euclidiana (incluyendo los anteriores) le quitamos el axioma de las paralelas, obtenemos la geometria absoluta.
●
En la geometría absoluta, por cada punto fuera de una linea L pasa una única perpendicular a L.
Dem: Ejercicio
●
En la geometría absoluta, por cada punto fuera de una linea L pasa al menos una paralela a L.
Dem. Sea p un punto fuera de una linea L, sea M cualquier linea por p que cruce a L. Por p pasa una linea L' tal que M forma ángulos alternos iguales con L y L'. Si L' no fuera paralela a L, entonces L' intersectaria a L en un punto r que queda de un lado de M. Por LAL la linea L' debe intersectar a L en un punto r' del otro lado de M. Como M separa al plano r≠r', así que por los puntos r y r' pasarían dos lineas distintas.
M
L
p r r'L'
q●
Teorema de Saccheri-Legendre: En la geometría absoluta, los ángulos internos de cada triángulo
suman a lo mas 180
○.
Dem. Supongamos que hay una triángulo ABC cuyos tres ángulos internos suman mas de 180○q. Digamos que el ángulo
mas pequeño es el ángulo α en A.
Sea D el punto medio de BC y sea E un punto en la linea AD con AD+DE. Por LAL, ADC es congruente con EDB.
Entonces los triángulos ABC y ABE tienen la misma suma de ángulos: β+λ+δ+ε . Como δ+ε=α entonces δ ≤ α/2 o ε ≤ α/2. Así construimos un triángulo con la misma suma de ángulos, pero cuyo ángulo menor se reduce a la mitad. Repitiendo este argumento podemos construir triángulos con la misma suma de ángulos, donde el ángulo menor es arbitrariamente
pequeño. Esto diría que la suma de los otros dos ángulos es mas de 180○, contradiciendo al resultado anterior.
●
Si por algún punto fuera de una linea pasan 2 paralelas a la linea, entonces existe un triángulo
cuyos ángulos suman menos de 180
○Dem. Sea P un punto por donde pasan dos paralelas L' y L'' a la linea L. Podemos suponer que L' forma un ángulo de 90○ con la perpendicular PQ a L. Si podemos encontrar un punto R en L tal que el ángulo β es menor que el ángulo α que forman L' y L'' habremos terminado, ya que el triángulo PQR tendrá ángulos que suman 90+δ+β<90+δ+α<90+90.
α β δ Q R P
L
L'
L''
β' β δ Q R PL
L''
R'Para ver que podemos hacer que el ángulo β sea arbitrariamente pequeño, podemos observar que como la linea L es infinita, existe un punto R' tal que PR=RR'. Como el triángulo PRR' es isósceles, tiene dos ángulos iguales y como la suma de los 3 es a lo mas 180 entonces 180-β +2β'<180 así que β'≤β/2.
E A B C D E β λ ε λ δ μ μ ε 180-μ λ A B C D α
El deficit angular de un triángulo T es 180
○- suma de sus ángulos internos de T, y el deficit de un
cuadrilátero es 360
○- suma de los ángulos internos.
●
El deficit angular es aditivo: si se parte un triángulo o un cuadrilátero en 2 triángulos o
cuadriláteros entonces el deficit del total es la suma de los deificas de los pedazos.
Esto implica que los cuadriláteros y los triángulos que están contenidos en un cuadrilátero o un triángulo con deficit angular 0 tienen deficit angular 0.
●
Si existe un triángulo cuyos ángulos internos suman 180
○, entonces existe un rectángulo y
los ángulos internos de todos los triángulos suman 180
○.
Dem. Supongamos que hay un triángulo cuyo deficit angular es 0. Si partimos al triángulo en dos triángulos rectos, entonces por el resultado anterior estos triángulos rectángulos tienen deficit angular es 0.
Uniendo dos copias de un triángulo rectángulo con ángulos suman 180 obtenemos un rectángulo (un cuadrilátero cuyos ángulos son todos 90). Uniendo copias de un rectángulo obtenemos rectángulos de cualquier tamaño.
Entonces cada triángulo en el plano esta contenido en un rectángulo, así que por el resultado anterior todos los triángulos tienen deficit angular 0.
α
β α
Geometría hiperbólica
Los dos resultados anteriores implican que en la geometría absoluta solo hay dos alternativas:
●Por cada punto fuera de una linea pasa exactamente una paralela a la linea, y los ángulos
internos de cada triángulo suman 180
○.
Por cada punto fuera de una linea pasan al menos 2 paralelas, y los ángulos internos de cada triángulo
suman menos de 180
○.
La primera alternativa es la geometría euclidiana, la segunda es la geometría hiperbólica
●
(AAA) En la geometría hiperbólica, dos triángulos con ángulos iguales son congruentes.
Dem. Si los ángulos en b y b' son iguales y los ángulos en c y c' son iguales entonces las dos configuraciones siguientes son imposibles:
en la primera la suma de los ángulos internos del cuadrilátero bcc'b' sumarían 360○ y en la segunda los ángulos internos del
triángulos bob' y del triángulo coc' sumarían mas de 180○.
Cuadrilleros de Saccheri
Un cuadrilátero ABCD tal que ∠A=∠B=90 y AD=BC es un cuadrilátero de Saccheri. AB es la base del
cuadrilátero, CD es la cima, y AD y BC son los lados. El segmento que une los puntos medios de la
base y la cima es la altura.
b b' a c' c a b b' c c' o
No es difícil mostrar que en un cuadrilátero de Saccheri:
● Los dos ángulos en la cima son iguales. ● La cima es mayor que la base.
● La altura es menor que los lados.
A B
C D
● Dos cuadriláteros de Saccheri con cimas iguales y ángulos iguales son congruentes, ya que de otro modo habría un rectángulo:
Areas y ángulos
Aun no hemos definido “área” en geometría hiperbólica (la definición en el caso euclidiano se basa en
los rectángulos, que en este caso no existen). Pero cualquier definición razonable de área debería
tener las siguientes propiedades:
●
Para cada polígono P, A(P) > 0.
●
Si un polígono P puede cortarse en polígonos P
1, P
2, ...., P
kentonces A(P)=A(P
1)+ A(P
2)+...+A(P
k).
Recordar que el deficit angular de un polígono P de n lados es D(P)=(n-2)180 - suma de los ángulos
internos de P, y que ademas::
●
Para cada polígono hiperbólico P, D(P) > 0.
●
Si un polígono P puede cortarse en polígonos P
1, P
2, ...., P
k, entonces D(P)=D(P
1)+ D(P
2)+...
+D(P
k).
Esta similitud sugiere que puede haber una relación entre áreas y defectos.
●
Teorema de Bolyai: Dos triángulos tienen áreas iguales si y solo si tienen deficits angulares iguales.
La demostración tiene dos partes:
PASO 1. Si dos triángulos tienen bases iguales y defectos iguales, entonces uno puede recortarse y reensamblarse para obtener el otro.
A B C A C B P P' P''
Dem. Si cortamos el triángulo ABC con una paralela a AB que pase por los puntos medios de AB y AC, y por la perpendicular a esa linea por C, podemos armar un cuadrilátero de Saccheri con cima AB. Los ángulos en la cima son iguales a (1/2A+B+C).
Cualquier otro triángulo con la misma base y los mismos ángulos produce otro
cuadrilátero de Saccheri con la misma cima y los mismos ángulos, así que debe ser igual al primer cuadrilátero
PASO 2. Si dos triángulos tienen defectos angulares iguales, entonces uno puede recortarse y reensamblarse para convertirlo en un triángulo con la misma base que el otro.
●
Corolario: Las áreas de los polígonos hiperbólicos son proporcionales a sus defectos angulares
Hay que ver que existe una constante c tal que A(P)/D(P)=c para todos los polígonos hiperbólicos
Si T es un triángulo con área A y deficit D, podemos partir a T en n triángulos con áreas iguales, entonces por el teorema sus deficits son todos iguales. Si unimos m de esos triángulos entonces (como el área y el deficit son aditivos) obtenemos un polígono de área m/nA y deficit m/nD, Por el teorema cualquier polígono P de área m/nA debe tener deficit m/nD, así que A(P) / D(P)= A/D siempre que el área de P sea un múltiplo racional del área de T. El caso general (cuando el área de P es un múltiplo real del área de T) se obtiene tomando los supremos.
●
Corolario: Las áreas de los triángulos hiperbólicos están acotadas.
Dem. Los deficits están acotados por 180, así que las áreas están acotadas por 180c.
A' B'
C'
A B
C
Supongamos que AC<A'C'. Sean P y Q los puntos medios de AC y BC, y sea P' un punto sobre PQ tal que AP'=AC/2.
Considerar el triángulo ABC'' tal que P'' es el punto medio de AC''. A B C C'' P P' Q Q' A B C C'' P P' Q Q'
Así que ABC y ABC'' pueden recortarse para obtener el mismo
cuadrilátero de Saccheri, por lo que sus defectos son iguales, y por
construcción AC''=A'C', lo que nos lleva al caso 1. La linea PQ contiene la cima del cuadrilátero
de Saccheri correspondiente a ABC y por lo tanto es perpendicular a la mediatriz de AB. Como la cima del cuadrilátero de Saccheri correspondiente a ABC'' es la perpendicular a la mediatriz de AB que pasa por el punto medio de AC'', que es P', entonces la linea PQ también contiene a esta cima.
