Elaborado por: Marina Salamé Página 1 de 53
SERIES DE FOURIER
Elaborado por: Marina Salamé Página 2 de 53
1.SERIES DE FOURIER
1.1 Introducción
Al ingeniero moderno le resulta útil la idea de describir ondas como una serie de funciones senoidales. Diariamente se está en contacto con sintetizadores de voz o de música que producen sonidos vocales o musicales como resultado de la generación de una serie adecuada de señales senoidales que activan una bocina estéreo. La precisión es el requisito básico en la transmisión de señales.
Las señales en su forma original se transmitían a través de un canal. Por ejemplo, la transmisión del código Morse de puntos y rayas a través del cable Atlántico original se distorsionaba por la naturaleza RC del cable y su material aislante. Así, la velocidad de transmisión estaba limitada y la señal se distorsionaba a medida que viajaba a través del cable.
El cable submarino transmite información lentamente, pero sólo utiliza un estrecho canal de frecuencias. El teléfono transmite la información a una velocidad intermedia con requisitos de ancho de banda moderados. La televisión transmite información a una velocidad alta y necesita una banda muy ancha de frecuencias. A lo largo de las líneas telefónicas largas, se distribuyen amplificadores repetidores que regeneran la señal en los puntos donde se debilita. Esto permite extender bastante la distancia de la transmisión.
Algunos matemáticos del siglo dieciocho, incluyendo a Euler y Bernoulli, estaban al tanto de que una onda f(t) podría representarse aproximadamente con una serie finita ponderada de senoides armónicamente relacionadas. El barón Jean – Baptiste- Joseph Fourier propuso en 1807 que una onda periódica podría descomponerse en una serie infinitas de senoides simples que, al sumarlas, construirían la forma exacta de la onda original.
Elaborado por: Marina Salamé Página 3 de 53
1.2 Funciones periódicas.
Definición 1 (Funciones periódicas)
Una función f(t) tiene un periodo T o es periódica con periodo T si para todo t, f(t +T) = f(t), donde T es una constante positiva. El valor más pequeño de T>0 se llama el periodo principal o periodo fundamental o simplemente el periodo de f(t).
Mediante repetición, se obtiene:
f (t) f ( t= + nT ), n= ±0, 1, ± LL2,
En general, el mínimo periodo ocurrirá cuando:
periodo natural de la funcion T
n =
Ejemplo 1: Obtener el menor periodo de f(t) = cos 2t.
Como el periodo de la función coseno es 2π, entonces:
2 T 2 π = = π El periodo de f(t) = cos 2t es T = π. 1.3 Serie de Fourier
Definición 1: Sea la función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonométrica:
(
)
0 n 0 n 0 n 1 1 f(t) a a cos n t b sen n t 2 ∞ = = +∑
ω + ωSe llama serie trigonométrica de Fourier o
(
)
0 n 0 n n 1 f(t) C C cos n t ∞ = = +∑
ω − θSe llama la forma fase-ángulo de la serie de Fourier
Elaborado por: Marina Salamé Página 4 de 53
donde: 0 2
T π
ω = , y a0, an y bn ( todos reales ) se llaman coeficientes
trigonométricos de Fourier.
Usando la forma alterna de f(t) dada en la segunda ecuación, se tiene:
2 2 n n C = a + bn n n n n 2 2 2 2 n n n n a b cos , s en , a b a b θ = θ = + + n n n b tan , a θ = ó 1 n n n a tan , b − ⎛ ⎞ θ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 1 C a 2 =
La representación en series de Fourier de una función periódica, representa la función periódica como la suma de componentes sinusoidales que tienen diferentes frecuencias. La componente sinusoidal de frecuencia se
denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo periodo de la
función y n n ω = ω0 0 0 2 2 f T π
ω = π = se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y θn se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase,
respectivamente.
Una serie de Fourier es una representación exacta de una señal periódica que consiste en la suma de senoides en las frecuencias fundamental y de las armónicas.
El periodo de la onda f(t) y el periodo de la fundamental son los mismos. La naturaleza de la onda f(t) depende de la amplitud y la fase de todo posible componente armónico, y resultará posible generar ondas que tienen características extremadamente no senoidales con una combinación apropiada de funciones senoidales.
Elaborado por: Marina Salamé Página 5 de 53
1.4 Propiedades de las funciones seno y coseno. Funciones ortogonales.
Un conjunto de funciones es ortogonal en un intervalo a < t < b si para dos funciones cualesquiera y
k(t) φ m(t)
φ φn(t) pertenecientes al conjunto φk(t), cumple:
( ) ( )
b m n a n 0 para m m t t dt r para m m ≠ ⎧ ⎪ φ φ = ⎨ ⎪ = ⎩∫
Consideremos el conjunto de funciones sinusoidales :
(
)
(
)
T 2 0 0 T 2 0, m n cos m t cos n t dt T , m n 0, 2 − ≠ ⎧ ⎪ ω ω = ⎨ = ≠ ⎪⎩∫
(
)
(
)
T 2 0 0 T 2 0, m n sen m t sen n t dt T , m n 0, 2 − ≠ ⎧ ⎪ ω ω = ⎨ = ≠ ⎪⎩∫
(
)
(
)
T 2 0 0 T 2sen m t cos n t dt 0 para todo valor de m y n
−
ω ω =
∫
Elaborado por: Marina Salamé Página 6 de 53
1.5 Evaluación de los coeficientes de Fourier:
Utilizando las relaciones de ortogonalidad se pueden evaluar los coeficientes de Fourier
(
)
0 n 0 n 0 n 1 1 f(t) a a cos n t b sen n t 2 ∞ = = +∑
ω + ω Cálculo de a0 Integrando entre T T, 2 2 ⎡− ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
T T T 2 2 2 0 n 0 n 0 n 1 T T T 2 2 2 T T T 2 2 2 0 n 0 n 0 n 1 n 1 T T T 2 2 2 1 f(t) dt a dt a cos n t b sen n t dt 2 1 a dt a cos n t dt b sen n t dt 2 ∞ = − − − ∞ ∞ = = − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + ω + ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = + ω + ω∑
∫
∫
∫
∑
∑
∫
∫
∫
Mediante el cálculo elemental se puede demostrar que:
(
)
T 2 0 T 2 cos n t dt 0, para n 0 − ω = ≠∫
y(
)
T 2 0 T 2sen n t dt 0, para todo valor de n
− ω =
∫
donde, T 2 0 T 2 1 f(t) dt a T 2 − =∫
T 2 0 T 2 1 1 a f(t 2 T − =∫
) dt observemos que a02 es el valor promedio de f(t) durante un
Elaborado por: Marina Salamé Página 7 de 53 Despejando a0, obtenemos: T 2 0 T 2 2 a f(t T − =
∫
) dt Cálculo de an(
)
0 n 0 n 0 n 1 1 f(t) a a cos n t b sen n t 2 ∞ = = +∑
ω + ωMultiplicando ambos lados por cos n
(
ω0t)
e integrando entre T T, 2 2 ⎡− ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦, se obtiene(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
T T T 2 2 2 0 0 0 n 0 0 n 1 T T T 2 2 2 T 2 n 0 0 n 1 T 2 1f(t)cos n t dt a cos n t dt a cos n t cos n t dt
2 b sen n t cos n t dt ∞ = − − − ∞ = − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ω = ω + ω ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ω ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
∑
∫
∫
∫
∑
∫
Intercambiando el orden de los signos de integración y sumatoria se obtiene:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
T T T 2 2 2 0 0 0 n 0 0 n 1 T T T 2 2 2 T 2 n 0 0 n 1 T 2 1f(t)cos n t dt a cos n t dt a cos n t cos n t dt
2 b sen n t cos n t dt ∞ = − − − ∞ = − ω = ω + ω ω + ω ω
∑
∫
∫
∫
∑ ∫
Aplicando las relaciones de ortogonalidad, se tiene
(
)
T 2 0 T 2 cos n t dt 0, para n 0 − ω = ≠∫
Elaborado por: Marina Salamé Página 8 de 53
(
)
(
)
T 2 0 0 T 2 Tcos n t cos n t dt , para n 0
2 − ω ω =
∫
≠(
)
(
)
T 2 0 0 T 2sen n t cos n t dt 0, para todo valor de n
− ω ω =
∫
Reemplazando,(
)
T 2 0 n T 2 T f(t)cos n t dt a 2 − ω =∫
despejando an(
)
T 2 n 0 T 2 2 a f(t) cos n t dt, n 0,1, 2, 3,... T − =∫
ω = Cálculo de bn(
)
0 n 0 n 0 n 1 1 f(t) a a cos n t b sen n t 2 ∞ = = +∑
ω + ωAnálogamente, multiplicando ambos lados por sen n
(
ω0t)
e integrando entreT T , 2 2 ⎡− ⎢⎣ ⎦ ⎤ ⎥, se obtiene
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
T T T 2 2 2 0 0 0 n 0 0 n 1 T T T 2 2 2 T 2 n 0 0 n 1 T 2 1f(t) sen n t dt a sen n t dt a cos n t sen n t dt
2 b sen n t sen n t dt ∞ = − − − ∞ = − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ω = ω + ω ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ω ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
∑
∫
∫
∫
∑
∫
Elaborado por: Marina Salamé Página 9 de 53
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
T T T 2 2 2 0 0 0 n 0 0 n 1 T T T 2 2 2 T 2 n 0 0 n 1 T 2 1f(t) sen n t dt a sen n t dt a cos n t sen n t dt
2 b sen n t sen n t dt ∞ = − − − ∞ = − ω = ω + ω ω + ω ω
∑
∫
∫
∫
∑ ∫
Aplicando las relaciones de ortogonalidad, se tiene
(
)
T 2 0 T 2sen n t dt 0, para todo valor de n
− ω =
∫
(
)
(
)
T 2 0 0 T 2cos n t s en n t dt 0, para todo valor de n
− ω ω =
∫
(
)
(
)
T 2 0 0 T 2 Tsen n t sen n t dt , para n 0
2 − ω ω =
∫
≠ Reemplazando,(
)
T 2 0 n T 2 T f(t) sen n t dt b 2 − ω =∫
despejando bn(
)
T 2 n 0 T 2 2 b f(t) sen n t dt, n 1, 2, 3,... T − =∫
ω =Elaborado por: Marina Salamé Página 10 de 53
Resumiendo,
Los coeficientes de la serie de Fourier
T 2 0 T 2 2 a f(t T − =
∫
) dt(
)
T 2 n 0 T 2 2 a f(t) cos n t dt T − =∫
ω(
)
T 2 n 0 T 2 2 b f(t) s en n t dt T − =∫
ω 0 a 2 es el valor promedio de f(t) durante un periodo. n 0,1,2,3, 4,= L, n 1,2,3, 4,= L,En general, no es necesario que el intervalo de integración sea simétrico alrededor del origen. El único requisito es que la integral se tome sobre un periodo completo.
1.6 Condiciones de Dirichlet
Es importante establecer criterios simples para determinar cuando una serie de Fourier converge. En esta sección desarrollaremos las condiciones que debe cumplir f(t) para que se pueda encontrar la suma de la serie de Fourier. Un método bastante útil para analizar las propiedades de convergencia es expresar las sumas parciales de Fourier como integrales.
Una función dada f(t) es posible representarla mediante una serie de Fourier si se satisfacen las siguientes propiedades matemáticas, conocidas como condiciones de Dirichlet :
1) f(t) es una función univaluada, excepto posiblemente en un número finito de puntos.
2) f(t) tiene un número finito de discontinuidades en el periodo T. 3) f(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en el periodo T. 4) La integral del valor absoluto de f(t) en un periodo es finita; es decir
T 2 T 2 f(t) dt finita < − = ∞
∫
Elaborado por: Marina Salamé Página 11 de 53
Se dice que una función f(t) es continua por tramos en el intervalo finito T T, 2 2 ⎡− ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦, si
satisface las condiciones (1) y (2).
Definición 1: (Función continua a trozos)
Una función f es continua a trozos dentro de un intervalo si ambas f y f' son continuas a trozos en dicho intervalo.
Teorema 1: Supongamos que f es continua a trozos y periódica entonces la serie de Fourier converge a:
1. f(t) si t es un punto de continuidad.
2. 1 f t
( ) ( )
f t2⎡⎣ − + + ⎤⎦ si t es un punto de discontinuidad
Esto significa que, en cualquier t dentro del intervalo -T y T, la serie de Fourier converge al promedio entre el límite izquierdo y el derecho de f(t) en t. Si f es continua en t, entonces los límites izquierdo y derecho son iguales a f(t), y la serie de Fourier converge a la misma f(t). Si f tiene una discontinuidad en t entonces la serie de Fourier converge al punto medio en la discontinuidad.
Observación 1:
Sea f una función continua a trozos. Se dice que f está estandarizada si los valores en los t i de discontinuidad están dados por
( ) ( )
i i i 1 f(t ) f t f t 2⎡ ⎤ = ⎣ − + + ⎦ Observación 2:Las condiciones impuestas a f(t) son suficientes mas no necesarias, si las condiciones se satisfacen la convergencia esta garantizada. Sin embargo si no se satisfacen la serie puede o no converger.
Elaborado por: Marina Salamé Página 12 de 53
Teorema 2: ( Desigualdad de Bessel)
Sea f una función integrable en el intervalo [0,T]. Sean an, bn, cn los
coeficientes de Fourier de f. Entonces
(
)
2 T 2 2 2 2 0 n n k n 1 k 0 a 2 a b 2 c f (t) 2 T ∞ ∞ = = −∞ +∑
+ =∑
≤∫
dtTeorema 3: (Lema de Riemann)
Sea f integrable y an y bn los coeficientes de Fourier de f.
Entonces:
n n
nlim a→∞ =nlim b→∞ = 0
lo que implica
nlim f(t)cos nt dt nlim f(t) sennt dt 0
π π
→∞ →∞
−π −π
= =
∫
∫
Teorema 4: (Identidad de Parseval)
(
)
T 2 2 0 2 2 n n n 1 0 a 2 f (t) dt a b T 2 ∞ = = +∑
+∫
Si an y bn son coeficientes de Fourier correspondientes a f(t) y si
Elaborado por: Marina Salamé Página 13 de 53
Ejemplo1: Determinar la serie de Fourier para la función f(t) periódica con periodo 2π y trazar la grafica de las tres primeras sumas parciales.
-π π 1 t f(t) 2 π − 2 π 1 2 Solución:
Paso 1. Encontramos los coeficientes de Fourier
Cálculo de a0 T 2 0 T 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 0 2 2
Re emplazando T 2 en a f(t) dt , e int egrando obtenemos : T 2 1 1 a dt 0 dt 1 dt dt 2 2 2 1 t t t 2 2 1 − π π − π π π − π − π π − − π π − π = π = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + + + π ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ + + ⎥ π ⎢⎣ ⎥⎦ =
∫
∫
∫
∫
∫
Elaborado por: Marina Salamé Página 14 de 53 Entonces : T 2 0 T 2 1 2 a f(t) dt 2 T − =
∫
= 1 2 Cálculo de an(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
T 2 n 0 T 2 0 0 n 0 2 2 n 0 2 2 2 2 0 2 a f(t) cos n t dt T 2 2 Como T 2 y entonces 1 T 2 reemplazando obtenemos: 2 a f(t) cos n t dt 2 2 1 1a cos n t dt 0 cos n t dt 1 cos n t dt cos n t dt
2 2 2 1 1 1 sen nt sen nt 2n n − π − π π π − π π π − π − π π − − π = ω π π = π ω = ω = = π = π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + + + π ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = + π
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
2 1 sen nt 2n n n n 1 1 1 1sen sen sen
2n 2 n 2 2n 2 0 π π ⎡ ⎤ ⎢ + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ π π π ⎡ ⎤ = ⎢− + − ⎥ π ⎣ ⎦ = entonces: n a = 0
Elaborado por: Marina Salamé Página 15 de 53 Cálculo de bn
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
T 2 n 0 T 2 0 0 n 0 2 2 n 0 2 2 2 0 2 b f(t) s en n t dt T 2 2 Como T 2 y entonces 1 T 2 reemplazando obtenemos: 2 b f(t) s en n t dt 2 2 1 1b sen n t dt 0 sen n t dt 1 sen n t dt sen n t dt
2 2 2 1 1 1 sen nt cos nt 2n n − π − π π π − π π π − π − π π − − π = ω π π = π ω = ω = = π = π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + + + π ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − − π
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
2 2 1 cos nt 2n n n 1 1 1 1 1 1 1cos cos n cos cos n cos
2n 2 2n n 2 n 2n 2n 2 n 1 1 1 cos n 2 n n 1 1 cos n 2 π π ⎡ ⎤ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ π π ⎤ = ⎢− + π − + − π + ⎥ π ⎣ ⎦ ⎡ π ⎤ = ⎢− + ⎥ π ⎣ ⎦ π ⎡ ⎤ = ⎢ − ⎥ π ⎣ ⎦ nπ entonces: n n 1 b 1 cos n 2 π ⎡ ⎤ = ⎢ − ⎥ π ⎣ ⎦ como cos n
( ) ( )
π = −1nElaborado por: Marina Salamé Página 16 de 53 n 1 , si n es impar n 1,3,5,7,9,11,... n n 1 2 b 1 cos , si n 2,6,10,... n 2 n 0, si n 4,8,12... ⎧ = ⎪ π ⎪ ⎪ ⎪ π ⎡ ⎤ ⎪ = ⎢ − ⎥ = ⎨ = π ⎣ ⎦ ⎪ π ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎩
Paso 2. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie:
(
)
0 n 0 n 0 n 1 0 n n 1 1 f(t) a a cos n t b sen n t 2 1 a b sen n t 2 ∞ = ∞ = = + ω + ω +∑
∑
De donde 1 1 2 1 1f (t) sen t sen 2 t sen 3t 0 sen 5t
2 2 3 5
1 1 1 1
sen t sen 2 t sen 3t sen 5t
2 3 5 = + + + + + + π π π π ⎛ ⎞ = + ⎜ + + + + ⎟ π ⎝ ⎠ LLL LLL Paso 3. Graficamos S1, S2 y S3 1 2 3 1 S 2 1 1 S sen t 2 1 1 2 S sen t sen 2 t 2 2 = = + π = + + π π
Elaborado por: Marina Salamé Página 17 de 53
S1
S2
S3
f(t)
Observemos que cada suma parcial se aproxima más a la función original y en el infinito coincide exactamente. Por ello la serie converge a f(t).
Elaborado por: Marina Salamé Página 18 de 53 0
Ejemplo2: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por:
1 t f(t) 1 0 t − − π < < ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ≤ < π ⎩ Solución:
Paso 1. Graficamos la función dada:
-π π
-1
1
t
f(t)
Paso 2. Encontramos los coeficientes de Fourier
Reemplazando T= π2 en T 2 0 T 2 2 a f(t) dt, e integrando: T − =
∫
Cálculo de a0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 a f(t) dt 1 dt 1 dt 1 dt 1 dt 2 1 1 1 d( t) 1 dt 1 d(t) 1 dt 0 π π −π π − π −π π π π π ⎡ ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ = = − + = − − + π π ⎢⎣ ⎥⎦ π ⎢⎣ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − − − + = − + = π ⎢⎣ ⎥⎦ π ⎢⎣ ⎥⎦∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
⎤ ⎥ ⎥⎦Elaborado por: Marina Salamé Página 19 de 53 Entonces : T 2 0 T 2 1 2 a f(t) dt 2 T −
=
∫
=0 puesto que el valor promedio de la función f(t) durante un periodo es cero Cálculo de an(
)
T 2 n 0 T 2 2 a f(t) cos n t dt T − =∫
ω(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 a f(t) cos n t dt 2 1 1cos n t dt 1 cos n t dt 1 1cos n t dt 1 cos n t dt 1 1 cos n t d( t) 1cos n t dt 1 1 cos n t d(t) 1cos n t dt 0 π − π π −π −π π π π π π = ω π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ω + ω π ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − − ω + ω π ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − − ω ⋅ − − + ω π ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ω + ω π ⎢⎣ ⎥⎦ =∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
entonces: n a = 0 Calculo de bn(
)
T 2 n 0 T 2 2 b f(t) s en n t T − =∫
ω dtElaborado por: Marina Salamé Página 20 de 53
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 b f(t) s en n t dt 2 1 1s en n t dt 1 s en n t dt 1 1s en n t dt 1 s en n t dt 1 1 s en n t d( t) 1sen n t dt 1 1 sen n t d(t) 1sen n t dt 1 2 1 sen n π − π π −π −π π π π π π = ω π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ω + ω π ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − − ω + ω π ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − − ω ⋅ − − + ω π ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ω + ω π ⎢⎣ ⎥⎦ = ω π∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
)
(
)
0 0 0 0 t d(t) 2 1 cos n t n π π ⎡ ⎤ = ⎢− ω ⎥ π ⎣ ω ⎦∫
como T 2= π y 2 T π ω= entonces 2 1 2 π ω= = πreemplazando y evaluando obtenemos:
( )
( )
( )
( )
n 0 2 1 b cos nt n 2 cos n cos 0 n 2 1 cos n n π ⎡ ⎤ = ⋅ ⎣− ⎦ π ⎡ ⎤ = ⎣− π + ⎦ ⋅ π ⎡ ⎤ = ⎣ − π ⎦ ⋅ π( )
n 2 b 1 cos n n ⎡ ⎤ = ⎣ − π ⎦ ⋅ π como cos n( ) ( )
π = −1n n 0, n par b 4 , n impar n ⎧ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ π ⎩Elaborado por: Marina Salamé Página 21 de 53
Paso 3. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie:
(
)
0 n 0 n 0 n 1 1 f(t) a a cos n t b sen n t 2 ∞ = = +∑
ω + ω De donde(
)
∞ = = − π − ⎛ ⎞ = ⋅⎜ + + + + + ⎟ π ⎝ ⎠∑
LLL n 1 4 1 f (t) sen (2n 1)t 2n 1 4 1 1 1 1sen t sen 3t sen 5t sen 7t sen 9t
3 5 7 9
Sucesión de sumas parciales : Es interesante ver cómo la sucesión de sumas parciales de una serie de Fourier se aproxima a una función. En la figura se compara la gráfica de la función f con las tres primeras sumas parciales de la serie obtenida
Elaborado por: Marina Salamé Página 22 de 53 1 4 S = sen π t S1 2 4 1 S sen t sen 3 ⎛ ⎞ = ⋅⎜ + ⎟ π ⎝ 3t ⎠ S2 3 4 1 1
S sen t sen 3t sen 5t
3 5
⎛ ⎞
= ⋅⎜ + + ⎟
π ⎝ ⎠
Elaborado por: Marina Salamé Página 23 de 53
La figura siguiente muestra la gráfica de la suma parcial S13, que tiene picos
notables cerca de las discontinuidades en x = 0, x = π, x = - π,...etc. Este ”exceso” de las sumas parciales Sn, respecto a los valores de la función cerca de
un punto de discontinuidad no se empareja, sino que permanece bastante constante, aunque el valor de n sea muy grande. A este comportamiento de una serie de Fourier cerca de un punto en el que f es discontinua se le llama fenómeno de Gibbs.
S13
Fenómeno de Gibbs
Elaborado por: Marina Salamé Página 24 de 53
Ejemplo2: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por:f(t)= − π < < πt t y graficar las tres primeras sumas parciales Solución:
Paso 1. Graficamos la función dada:
Paso 2. Encontramos los coeficientes de Fourier, mediante las fórmulas de Euler.
como T 2= π y 2 T π ω= entonces 2 1 2 π ω= = π Reemplazando T= π2 en T 2 0 T 2 2 a f(t T − =
∫
) dt, e integrando: Cálculo de a0( )
(
)
2 2 2 0 2 1 1 t 1 a f(t) dt t dt 2 2 4 π π π − π −π −π = = = ⋅ = π − −π π∫
π∫
π π =0Elaborado por: Marina Salamé Página 25 de 53 Entonces : T 2 0 T 2 1 2 a f(t) dt 2 T −
=
∫
=0 puesto que el valor promedio de la función f(t) durante un periodo es cero Cálculo de an(
)
T 2 n 0 T 2 2 a f(t) cos n t dt T − =∫
ω(
)
(
)
n 0 0 2 2 2 2 a f(t) cos n t dt 2 1 t cos n t dt 1 1 t cosnt sennt n n 1 1 1cos n cos n senn senn 0
n n n n π − π π − π π −π = ω π = ω π ⎡ ⎤ = ⎢ + ⎥ π ⎣ ⎦ π π ⎡ ⎤ = ⎢ π − π + π − π⎥ π ⎣ ⎦
∫
∫
= entonces: n a = 0 Calculo de bn(
)
T 2 n 0 T 2 2 b f(t) s en n t T − =∫
ω dtElaborado por: Marina Salamé Página 26 de 53
(
)
( )
n 0 2 2 b f(t) s en n t dt 2 1 t s en nt dt 1 1 t sennt cos nt n n 1 cos n cos n n n 2 , n 1,3,5... n 2 cos n n 2 , n 2, 4,6... n π − π π − π π −π = ω π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = π ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ − ⎥ π ⎣ ⎦ π π ⎡ ⎤ = ⎢− π − π⎥ π ⎣ ⎦ ⎧ = ⎪ ⎪⎪ = − π = ⎨ ⎪ ⎪− = ⎪⎩∫
∫
Paso 3. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie:
(
)
0 n 0 n 0 n 1 1 f(t) a a cos n t b sen n t 2 ∞ = = +∑
ω + ω De donde( )
n 1( )
n 1 1 f (t) 2 sen nt n 1 1 12 sen t sen 2t sen 3t sen 4t
2 3 4 + ∞ = − = ⎛ ⎞ = ⋅⎜ − + − + ⎟ ⎝ ⎠
∑
LLLElaborado por: Marina Salamé Página 27 de 53 Paso 4. Graficamos S1,S2 y S3 1 S =2 sen t 2 S =2 sen t sen 2t−
Elaborado por: Marina Salamé Página 28 de 53
2
2 S 2 sen t sen 2t sen 3t
3
= − +
Elaborado por: Marina Salamé Página 29 de 53
2. ANÁLISIS DE FORMAS DE ONDAS PERIÓDICAS
2. 1Simetrías de la forma de onda 2.1.a Funciones pares e impares
Definición 1: Se dice que una función f(t) es par si satisface la condición de que: f(-t)= f(t) y se dice que es impar si f(-t)= -f(t)
Ejemplo 1: Funciones pares e impares
a) f(t)= t2 es par por que f(-t)= (-t)2 = t2 = f(t)
y = t2 f ( t ) f ( -t ) t - t
La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.
b) f(t)= t3 es impar por que f(-t)= (-t)3 = -t3 = -f(t)
f ( t ) f ( -t )
-t
t
Elaborado por: Marina Salamé Página 30 de 53
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.
Ejemplo 2: Funciones pares e impares
a) f(t)= cos(- t) es par por que f(-t)= cos (t)
Elaborado por: Marina Salamé Página 31 de 53
Propiedades de las funciones pares e impares a) El producto de dos funciones pares es par. b) El producto de dos funciones impares es par.
c) El producto de una función par y una función impar es impar. d) La suma o diferencia de dos funciones pares es par.
e) La suma o diferencia de dos funciones impares es impar.
f) Si f es par, a a a 0 f(t) dt 2 f(t) dt − =
∫
∫
g) Si f es impar, a a f(t) dt 0 − =∫
Elaborado por: Marina Salamé Página 32 de 53
Series de senos y cosenos.
Si f es una función par en T T, 2 2 ⎡− ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦, entonces, en vista de las propiedades
anteriores, los coeficientes de Fourier se transforman en:
T T T 2 2 2 0 T 0 0 2 2 2 4 a f(t) dt 2 f(t) dt f(t) dt T T T − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
T T T 2 2 2 n 0 0 T par 0 0 2 2 2 4a f(t) cos n t dt 2 f(t) cos n t dt f(t) cos n t dt
T T T − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ω = ω = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
∫
1442443∫
∫
ω0(
)
T 2 n 0 T impar 2 2 b f(t) s en n t dt 0 T − =∫
ω 1442443 =Si f es una función impar en T T, 2 2 ⎡− ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦, entonces, en vista de las propiedades
anteriores, los coeficientes de Fourier se transforman en:
T 2 0 T 2 2 a f(t) dt T − =
∫
=0(
)
T 2 n 0 T impar 2 2 a f(t) cos n t dt 0 T − =∫
ω = 1442443(
)
(
)
(
)
T T T 2 2 2 n 0 0 T par 0 0 2 2 2 4 b f(t) s en n t dt 2 f(t) s en n t dt f(t) s en n t dt T T T − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ω = ω = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦∫
1442443∫
∫
ω0 2.1.b Simetrías de media.Definición 1: Simetría de media onda
Si una función f(t) es periódica con periodo T, entonces se dice que la función periódica f(t) tiene simetría de media onda si satisface la condición:
Elaborado por: Marina Salamé Página 33 de 53 1 f(t) f t T 2 ⎛ ⎞ = − ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠
En la figura1 se muestra una forma de onda con simetría de media onda. Observe que la porción negativa de la onda es el reflejo de la porción positiva, desplazada horizontalmente medio periodo. f(t)
t T 2 T 2 − T −T Figura 1
2.1.b Simetrías de cuarto de onda
Definición 1: Simetría de cuarto de onda
Si una función periódica f(t) tiene simetría de media onda y además es una función par o impar, entonces se dice que f(t) tiene una simetría de cuarto de onda par o impar.
La figura 2 ilustra las formas de ondas con simetría de cuarto de onda.
f (t)
t
Elaborado por: Marina Salamé Página 34 de 53
f (t)
t
Figura 2: (b) simetría de cuarto de onda impar
2.2 Coeficientes de Fourier de ondas simétricas.
Tipo de
simetría Condiciones Formas de las series de Fourier Fórmulas de los coeficientes de Fourier
Par f(t) = f(-t) 0 n n 1 1 f(t) a a cos n t 2 ∞ = = +
∑
ω0(
)
T 2 n 0 0 4 a f(t) cos n T =∫
ω t dt Impar f(t) = - f(-t) n 0 n 1 f(t) b sen n t ∞ = =∑
ω(
)
T 2 n 0 0 4 b f(t) sen n t dt T =∫
ω Media onda 1 f(t) f t T 2 ⎛ ⎞ = − ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) 2n 1 0 n 1 2n 1 0 f(t) a cos 2n 1 t b sen 2n 1 t ∞ − = − = − + −∑
ω ω(
)
T 2n 1 2 0 0 2n 1 cos a 4 f(t) 2n 1 t dt T b sen − − ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = ⎡ − ω ⎤ ⎬ ⎨ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎭∫
⎩ Cuarto de onda par f(t) = f(-t) y 1 f(t) f t T 2 ⎛ ⎞ = − ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 2n 1 0 n 1 f(t) a cos 2n 1 t ∞ − = =∑
− ω(
)
T 4 2n 1 0 0 8 a f(t) cos 2n 1 t dt T − =∫
⎡⎣ − ω ⎤⎦ Cuarto de onda par f(t) = -f(-t) y 1 f(t) f t T 2 ⎛ ⎞ = − ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 2n 1 0 n 1 f(t) b cos 2n 1 t ∞ − = =∑
− ω(
)
T 4 2n 1 0 0 8 b f(t)sen 2n 1 t dt T − =∫
⎡⎣ − ω ⎤⎦Elaborado por: Marina Salamé Página 35 de 53 2 2
f(t) t , t
Ejemplo1: Determinar la serie de Fourier para la función = π − − π < < π periódica con periodo 2π
Solución:
Paso 1. Analizamos si la función es par, impar o ninguna de las dos.
( )
2 2f( t)− = π − −t =f (t), − π < < π ∴t es par.
Paso 2. Debemos calcular a0 y an , bn = 0 por ser una función par
Cálculo de a0
(
)
T 2 n 0 2 2 0 0 3 2 0 0 3 3 0 2 0 4 a f(t) dt T 2 a t 2 t a t 3 2 a 3 4 a 3 π π = = π − π ⎡ ⎤ = ⎢π − ⎥ π ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ π ⎤ = ⎢π − ⎥ π ⎢⎣ ⎥⎦ = π∫
∫
dtElaborado por: Marina Salamé Página 36 de 53 Cálculo de an
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
T 2 n 0 0 2 2 n 0 2 2 n 0 0 2 n 0 4 a f(t) cos n t dt T 4 a t cos n t dt 2 2 a cos n t dt t cos n t dt 2 a sen n t n π π π π = ω = π − π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = π − π ⎢⎣ ⎥⎦ π = π∫
∫
∫
∫
( )
( )
0 2 2 3 0 0 2 t 2 t 2 cos nt sen nt n n n π π ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − + ⎜ − ⎟ ⎢ ⎥ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦( )
( )
0 2 n 2 2 2 4 , si n es im par n 2 2 4 a cos n cos n n n 4 , si n es par n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎧ ⎪ ⎪ π ⎡ ⎤ ⎪ = − ⋅ ⎣ π ⎦ = − π = ⎨ π ⎪ ⎪ − ⎪⎩Paso 3. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie y obtenemos:
( )
n 1( )
2 2 n 1 1 2 f(t) 4 cos n t 3 n + ∞ = − = π +∑
Elaborado por: Marina Salamé Página 37 de 53 π
Ejemplo2: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por:f(t)= t , − π < <t con periodo 2π
Solución:
Paso 1. Analizamos si la función es par, impar o ninguna de las dos.
f( t)− = − = −t f (t), − π < < π ∴t es impar.
Paso 2. Debemos calcular los coeficientes de Fourier, pero como sabemos que es una función impar sólo calcularemos bn , a0 = 0 y an = 0.
Cálculo de bn
(
)
( )
T 2 n 0 0 n 0 2 4 b f(t) sen n t dt T 4 b t s en nt dt 2 2 1 sennt n π = ω = π = π∫
∫
0 0 n t cos nt n 2 cos n n 2 , n impar n 1,3,5... n 2 b cos n n 2 , n par n 2, 4,6... n π ⎡ ⎤ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ π ⎡ ⎤ = ⎢− π⎥ π ⎣ ⎦ ⎧ = ⎪ ⎪⎪ = − π = ⎨ ⎪ ⎪− = ⎪⎩Elaborado por: Marina Salamé Página 38 de 53
Paso 3. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie:
De donde
( )
n 1( )
n 1 1 f (t) 2 sen nt n 1 1 12 sen t sen 2t sen 3t sen 4t
2 3 4 + ∞ = − = ⎛ ⎞ = ⋅⎜ − + − + ⎟ ⎝ ⎠
∑
LLLObservación: Es el mismo ejemplo 2 de la sección anterior, llegamos al mismo resultado de una forma más rápida.
Ejemplo 3: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por:
T 2 − T 4 T 4 − T 2 t f(t) Solución:
Paso 1. Analizamos la función
1
f( t) f (t) y f t T f (t) 2
⎛ ⎞
− = ⎜ + ⎟ = −
Elaborado por: Marina Salamé Página 39 de 53 Paso 2.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2n 1 0 0 n 1 T 4 2n 1 0 0 T 4 0 0 T 4 0 0 0 2 f(t) a cos 2n 1 t , T 8 a f(t) cos 2n 1 t dt T 8 cos 2n 1 t dt T 8 sen 2n 1 t 2n 1 T 4 sen 2n 1 2n 1 2 4 para 2n 1 1,5,... 2n 1 4 para 2n 1 3,7,... 2n 1 ∞ − = − π ⎡ ⎤ = ⎣ − ω ⎦ ω ⎡ ⎤ = ⎣ − ω ⎦ ⎡ ⎤ = ⎣ − ω ⎦ ⎡ ⎤ = ⎣ − ω ⎦ − ω π ⎡ ⎤ = ⎢ − ⎥ − π ⎣ ⎦ ⎧ − = − π = − − = − π∑
∫
∫
⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ = Paso 3. De donde 0 0 0 4 1 1f (t) cos t cos 3 t cos 5 t
3 5
⎛ ⎞
= ⋅⎜ ω − ω + ω − ⎟
Elaborado por: Marina Salamé Página 40 de 53
Ejemplo 4: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por:
T 2 − T 4 T 4 − T 2 t f(t) Solución:
Paso 1. Analizamos la función
1
f( t) f (t) y f t T f (t) 2
⎛ ⎞
− = − ⎜ + ⎟ = −
⎝ ⎠ ,la función tiene simetría de cuarto de onda
impar. Paso 2.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2n 1 0 0 n 1 T 4 2n 1 0 0 T 4 0 0 T 4 0 0 0 2 f(t) b sen 2n 1 t , T 8 b f(t) sen 2n 1 t dt T 8 sen 2n 1 t dt T 8 cos 2n 1 t 2n 1 T ∞ − = − π ⎡ ⎤ = ⎣ − ω ⎦ ⎡ ⎤ = ⎣ − ω ⎦ ⎡ ⎤ = ⎣ − ω ⎦ − ⎡ ⎤ = ⎣ − ω ⎦ − ω∑
∫
∫
ω =Elaborado por: Marina Salamé Página 41 de 53
(
)
(
)
(
)
4 1 cos 2n 1 2n 1 2 4 2n 1 ⎧ ⎡ π ⎤ ⎫ = − π ⎨ − ⎢ − ⎥ ⎬ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ = − π Paso 3. De donde 0 0 0 4 1 1f (t) sen t sen 3 t sen 5 t
3 5
⎛ ⎞
= ⋅⎜ ω + ω + ω + ⎟
Elaborado por: Marina Salamé Página 42 de 53
)
)
2.3 Expansión en serie de Fourier de una función en un intervalo finito.
Una función f(t) no periódica, definida en cierto intervalo finito
(
, se puede desarrollar en una serie de Fourier, la cual está definida solamente en el intervalo . Es posible desarrollar f(t) en una serie de Fourier con cualquier frecuenciafundamental deseada; además f(t) se puede representar por una serie del seno o coseno solamente, lo cual se puede hacer construyendo una función periódica adecuada que sea idéntica a f(t) en el intervalo
0,τ
(
0,τ( )
0,τ , y que satisfaga las condiciones de simetría que conduzcan a la forma deseada de las series de Fourier.Figura (a) Función (t) dada
Figura (b)
Simetría par: términos del coseno ,ω =0 π τ
Figura (c) Simetría impar: términos del seno , 0
π ω =
τ
Figura (d)
Términos del seno y coseno , 0
2π ω =
Elaborado por: Marina Salamé Página 43 de 53
Figura (e)
Simetría de media onda: términos del seno y coseno , y armónicos impares, ω =0 π
τ
Figura (f)
Simetría de cuarto de onda par: términos del coseno y armónicos impares, , 0
2 π ω =
τ
Figura (g)
Simetría de cuarto de onda impar: términos del
seno y armónicos impares, 0
2 π ω =
Elaborado por: Marina Salamé Página 44 de 53
Ejemplo1: Desarrollar la función f(t)= t , en el intervalo 0 < < πt en una serie de cosenos
Solución: Expandiendo esta función de forma par, y considerando el periodo 2π
π 2π -2π
(
)
0 0 2 n 2 0 n f (t) t , t 4 a t dt 2 4 , n impar n 1,3,5... n 2 2 a t cos nt dt ) cosn 1 n 0, n par n 2, 4,6... b 0 π π = − π < < π = = π π ⎧ − = ⎪ π ⎪⎪ = = π − = ⎨ π π ⎪ = ⎪ ⎪⎩ =∫
∫
De donde(
)
(
)
2 n 0 cos 2n 1 t 2 4 f (t) 2n 1 ∞ = + = − π π∑
+Elaborado por: Marina Salamé Página 45 de 53
Ejemplo 2: Desarrollar la función f(t)= t , en el intervalo 0 < < πt en una serie de senos
Solución: Expandiendo esta función de forma impar, y considerando el periodo
2π -2π π 2π f(t) t -π 0 n n 0 f (t) t, t a 0 a 0 2 , n impar n 1,3,5... n 2 2 b t sen nt dt cos n 2 , n par n 2, 4,6... n π = − π < < π = = ⎧ = ⎪ ⎪⎪ = = − π = ⎨ π π ⎪ ⎪− = ⎪⎩
∫
De donde:( )
n 1 n 1 1 f (t) 2 sen n t n + ∞ = − =∑
Elaborado por: Marina Salamé Página 46 de 53
3. ESPECTROS DE FRECUENCIA DISCRETA
3.1 Forma compleja de las series de Fourier.
En muchas aplicaciones de las series de Fourier , es conveniente expresar estas
series en términos de los exponenciales complejos e±j nω0t
Si consideramos la serie de Fourier de una función periódica f(t)
0
(
n 0 n 0)
n 1 1 f(t) a a cos n t b sen n t 2 ∞ = = +∑
ω + ω , donde 0 2 T πω = , el seno y el coseno se pueden expresar en términos de los exponenciales como
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 jn t jn t 0 jn t jn t 0 1 cos n t e e 2 1 s en n t e e 2j ω − ω ω − ω ω = + ω = − Sustituyendo se obtiene(
jn 0t jn 0t)
(
jn 0t jn 0t)
0 n n n 1 1 1 1 f(t) a a e e b e e 2 2 2j ∞ ω − ω ω − ω = ⎡ ⎤ = + ⎢ + + − ⎥ ⎣ ⎦∑
Elaborado por: Marina Salamé Página 47 de 53
4. INTEGRAL DE FOURIER
4.1 De la serie de Fourier a la integral de Fourier
Una serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una función dentro de un intervalo. Si una función esta definida sobre toda la recta real, puede ser representada con una serie de Fourier si es periódica. Sino es periódica, entonces no puede representarse con una serie de Fourier para todo valor de t. Aun en este caso es posible representar la función en términos de senos y cosenos, pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier.
Sea f(t) una función periódica con periodo T; cuanto T se aproxima al infinito, f(t) se convierte en una función no periódica; queremos encontrar la representación de Fourier de esta función no periódica.
Tomemos la forma exponencial de la serie de Fourier:
0 jn t n n f(t) c e ∞ ω =− ∞ =
∑
(1) 0 T 2 jn t n T 2 1 c f(t) e T − ω − =∫
dt (2) 0 2 T π ω = Sustituyendo (2) en (1) obtenemos: 0 0 T 2 jn x jn t n T 2 1 f(t) f(x) e dx e T ∞ − ω ω =−∞ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦∑
∫
(3) Como 1 0 T 2 ω = π reemplazando obtenemos: 0 0 T 2 jn x jn t 0 n T 2 1 f(t) f(x) e dx e 2 ∞ − ω ω =− ∞ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ω π ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦∑
∫
(4)Elaborado por: Marina Salamé Página 48 de 53
Hacemos T→ ∞ entonces nω → ω0 la función no periódica f(t) se convierte en:
j x j t 1 f(t) f(x) e dx e d 2 ∞ ∞ − ω ω −∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ω π
∫ ∫
⎢⎣ ⎥⎦ (5) llamemos( )
j t 1 F( ) f t e dt 2 ∞ − ω −∞ ω = π∫
(6) Reemplazando (6) en (5) obtenemos:( )
j t 1 f(t) F e d 2 ∞ ω −∞ = ω π∫
ω (7)Las expresiones (6) y (7) son la representación de Fourier de la función no periódica.
El teorema de la integral de Fourier afirma que si f(t) es real, entonces:
(
)
0 1 f(t) f(x)cos t x dx d ∞ ∞ −∞ = ω − π∫ ∫
ω Transformada de FourierLa función F( definida por (6) se conoce como la integral de Fourier o transformada de Fourier de f(t), y la operación de integración se simboliza por ,
esto es, ) ω F( )
{ }
f(t) 1 f t e( )
j tdt 2 ∞ − ω −∞ ω = = π∫
F (8)Análogamente -1es el símbolo que se utiliza para indicar la operación inversa o
sea, obtener f(t) cuando F(ω) está dado, esto es,
f(t) 1
{
F( )}
1 F( )
ej d 2 ∞ − ω −∞ = ω = ω π∫
F t ω (9)Elaborado por: Marina Salamé Página 49 de 53
Las ecuaciones (8) y (9) se denominan par de transformadas de Fourier. La condición para que exista F( )ω generalmente está dada por:
f(t) dt ∞
−∞
< ∞
∫
Esto significa que la integral del valor absoluto de f(t) debe ser finita.
4.3 Transformadas seno y coseno de Fourier
c
F ( )ω se denomina transformada coseno de Fourier de f(t), la cual se denotará por:
{ }
( )
c 0 F ( ) f(t) f t cos t dt ∞ ω = Fc =∫
ω{
}
1 c c 0 2 f(t) F ( ) F ( ) cos t d ∞ − = ω = ω ω π∫
c F ω sF ( )ω se denomina transformada seno de Fourier de f(t), la cual se denotará por:
{ }
( )
s 0 F ( ) f(t) f t sen t dt ∞ ω = Fs =∫
ω{
}
1 s s 0 2 f(t) F ( ) F ( ) s en t d ∞ − = ω = ω ω π∫
s F ω4.4 Interpretación de las transformadas de Fourier El par de transformadas de Fourier:
{ }
1( )
j t F( ) f(t) f t e dt 2 ∞ − ω −∞ ω = = π∫
F{
}
( )
1 1 j f(t) F( ) F e d 2 ∞ − ω −∞ = ω = ω π∫
F t ωEsto significa que cualquier función dada tiene dos modos equivalentes de representación: uno en el dominio del tiempo, f(t), y el otro en el dominio de la frecuencia . La ecuación (6) transforma la función f(t), en el dominio del tiempo, a su función equivalente F(
F( )ω
)
Elaborado por: Marina Salamé Página 50 de 53 ω
ecuación (7) invierte el proceso. La ecuación (6) analiza la función del tiempo en un espectro de frecuencias y la ecuación (7) sintetiza el espectro de frecuencias para obtener nuevamente la función en términos del tiempo.
4.5 Propiedades de las transformadas de Fourier
1. Propiedad de linealidad de la transformada de Fourier. F
{
a f (t)1 1 + a f (t)2 2}
=a F ( )1 1 ω + a F ( )2 22. Propiedad de escalonamiento de la transformada de Fourier.
{
f (a t)}
1 F a a ω ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ F3. Propiedad de simetría de la transformada de Fourier. Si F( )ω = F
{ }
f(t) entonces F{
F(t)}
= 2 f(π −ω)Elaborado por: Marina Salamé Página 51 de 53
Tabla de las propiedades generales de la transformada de Fourier
f ( t) F (−ω) 1 a f (t)1 1 + a f (t)2 2 a F ( )1 1 ω + a F ( )2 2 ω 2 f (a t) 1 F a a ω ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 f ( t)− F (−ω) 4 f ( t−t )0 F( ) eω − ωj t0 5 f (t) ejω0t F (ω − ω0) 6 f (t) cosω0t 0 0 1 1 F ( ) F ( ) 2 ω − ω + 2 ω + ω 7 f (t) senω0t 0 0 1 1 F ( ) F ( ) 2 j ω − ω − 2 j ω + ω 8 e
[
]
1 f (t) f (t) f ( t) 2 = + − R ( )ω 9 0[
]
1 f (t) f (t) f ( t) 2 = − − j X ( )ω 10 f(t) = f (t)e + f (t)0 F ( )ω = R ( )ω +j X ( )ω 11 F(t) 2 f(π −ω) 12 f (t)′ jω ωF( ) 13 f( )n(t)( )
jω n F( )ω 14 t f (x) dx − ∞∫
( )
1 F ( ) F (0) jω ω + π δ ω 15 − ωj f(t) F ( )′ ω 16(
− ωj)
n f(t) F( )n ( )ω 17 f (t)1 f (t)2 f (x) f ( t1 2 x) dx ∞ −∞ ∗ =∫
− F ( ) F ( )1 ω 2 ω 18 f (t) f (t)1 2 1 2 1 2 1 1 F ( ) F ( ) F (y) F ( y) dy 2 2 ∞ − ∞ ω ∗ ω = ω− π π∫
Elaborado por: Marina Salamé Página 52 de 53
EJERCICIOS PROPUESTOS
Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) periódica definida por:
1) f(t)= π + t Respuesta:
( )
n 1 n 1 sen n t f (t) 2 1 n ∞ − = = π +∑
− 2) Respuesta: 0 t f(t) 3 0 t − π < < ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ < < π ⎩ 0(
)
(
)
n 1 sen 2n 1 t 12 f (t) 2n 1 ∞ = − = π∑
− 3) Respuesta: 1 t f(t) 0 0 t − π < < ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ < < π ⎩ 0(
)
(
)
n 1 sen 2n 1 t 1 2 f (t) 2 2n ∞ = − = − π∑
−1 0 4) Respuesta: t t f(t) t 0 t − − π < < ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ < < π ⎩(
)
(
)
2 n 1 cos 2n 1 t 2 4 f (t) 2n 1 ∞ = − = − π π∑
− 5) Respuesta: 0 t f(t) 4 t 0 t − π < ≤ ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ≤ < π ⎩ 0(
)
(
)
( )
2 n 1 n 1 n 1 cos 2n 1 t 8 f (t) 2n 1 sen n t 4 1 n ∞ = ∞ − = − = π − π − + −∑
∑
6) Respuesta: 0 t f(t) t 0 t − π < < ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ π− < < π ⎩ 0(
)
(
)
2 n 1 n 1 cos 2n 1 t 2 f (t) 4 2n 1 sen n t n ∞ = ∞ = − π = + π − +∑
∑
Elaborado por: Marina Salamé Página 53 de 53
7) f(t) =sen t2 Respuesta: f (t) 1 1 cos 2t
2 2 = − 8) 0 t 2 y 2 f ( t ) c o s t t 2 2 π π ⎧ − π < < − < < π ⎪ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ π π ⎪ − < < ⎪⎩ t 9) Respuesta: 2t t 0 f(t) 3 t 0 t − − π < ≤ ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ≤ < π ⎩ ( ) ( ) ( ) 2 n 1 n 1 n 1 c o s 2n 1 t 5 1 0 f ( t ) 4 2n 1 s e n n t 1 n ∞ = ∞ − = − = π − π − + −
∑
∑
Desarrollar las siguientes funciónes en una serie de Fourier senidal y cosenoidal, según se indique.
10) f(t) =t2 para 0< < πt en una serie senoidal
Respuesta:
( )
(
( )
)
2 n 1 n 3 n 1 2 2 f (t) 1 1 1 sen n t n n ∞ + = ⎡π ⎤ = − ⎢ + − − ⎥ π∑
⎢⎣ ⎥⎦11) f(t) =t2 para 0< < πt en una serie cosenoidal
Respuesta:
( )
n 2 2 n 1 1 f (t) 4 cos n t 3 n ∞ = − π = +∑
12) Determinar la serie compleja de Fourier para la función en el intervalo para 0 t y 4 f(t)=sen t < < π f( t+ π =) f (t). Respuesta: f (t) 1
(
e4 j t e2 j t 6 4 e 2 j t e 4 j t)
16 − − = − + − +13) Si F( )ω = F
{ }
f(t) , hallar la transformada de Fourier para la función0
f (t) sen ω t
Respuesta: 1 F ( 0) 1 F ( 0) 2 j ω − ω − 2 j ω + ω
14) Hallar la transformada de Fourier para la función f (t)= e−a t Respuesta: 22 a 2