Pamer Geometria Sm Completo

geometría

tema 1

tarea

Soii1g1T

ejercitación

1. En un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto "D" exterior al triángulo y relativo a AC; si la mBADC es obtuso, AD = 8u y CD = 15u. Calcular el menor perímetro entero del triángulo ABC.

A) 24u B) 49u C) 50u D) 52u E) 54u

2. En un triángulo ABC: mBBCA > mBBAC. Calcule el máximo valor entero de AC, siendo AB = 5u. A) 6u B) 7u C) 8u D) 9u E) 10u 3. Calcule "x". 18° x q b b q A) 9º B) 18º C) 27º D) 28º E) 15º

4. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura BH, en la cual se ubica el punto P. Calcular el máximo valor entero que puede adquirir AP si AB + AC = 10m. A) 4m B) 5m C) 6m D) 3m E) 2m

5. Según la figura, Calcule "a+b+f+m+n+q’’

m n b a q f A) 180º B) 300º C) 360º D) 600º E) 720º 6. Si: AB = AC ; AD = BD y m + n = 200º. Calcular: "x". x m A D C B n A) 5° B) 7° C) 10° D) 12° E) 15°

7. En el gráfico, BC = CD = AD; calcule x

x 60° A B C D A) 20° B) 30° C) 45° D) 36° E) 15°

triángulos y líneas notables 8. En el gráfico, calcule x. q q a a b_b n n x 70° A) 70° B) 85° C) 95° D) 100° E) 110°

profundización

9. En un triángulo ABC acutángulo los puntos "I" y "E" son incentro y excentro relativo al lado BC respectivamente.

Si: 12(AC) = 5(IE) y la mBABC = 30º, entonces la mBBCA es:

A) 18º B) 36º C) 72º D) 76º E) 80º

10. En la siguiente figura calcule el valor de “x”. 63° 54° 76°52° x A B C D A) 86º B) 101º C) 121º D) 114º E) 117º

11. En un DABC se ubica el punto interior ‘’P’’ tal que los DAPB y DBPC son obtusángulos (obtuso en P), si: AP = 16 ; BP = 12 y PC = 9. Halle el menor perímetro del DABC sabiendo que es un valor entero.

A) 42 B) 44 C) 43 D) 45 E) 41

12. Calcule el valor entero de "x", si: AB = AC = CD. 134° x A B C D E A) 60º B) 75º C) 53º D) 45º E) 37º

13. En la figura mostrada calcule el valor de "x".

aa q q w w 60° 80° nn x A) 20º B) 25º C) 30º D) 35º E) 40º

14. En un triángulo ABC se traza las cevianas interiores AM y CN; desde un punto P exterior relativo a AC se trazan PQ ⊥ NC y PR ⊥ AM. Calcule m∠RPQ, si m∠ABC = 60º y AN = NM = MC.

A) 50° B) 100° C) 40° D) 80° E) 60°

15. En la región interior de un triángulo rectángulo ABC recto en B se ubica el punto P; calcular BC si AB = AP = 3; PC = 4 y AC es entero.

A) 4 3 B) 5 C) 3 3 D) 3 E) 4

trIángulos y líneas notables

16. Del gráfico mostrado, calcular x si: a + b = 260º b g q q a g x A) 160º B) 140º C) 150º D) 155º E) 145º 17. En la figura a + b + q + g = 440º calcular x m m n x n a b _q g A) 75º B) 45º C) 60º D) 40º E) 50º 18. Si AB // CD calcular x. C m _D m A n _n x 140° 2q 2a q a B A) 100º B) 140º C) 120º D) 90º E) 135º 19. Si: AD = BC, calcule "x". 30° 40° 60° x A C B A) 20º B) 10º C) 15º D) 25º E) 30º

20. En la figura, calcule "x", si: BC = CD

A B C 38° 22° 30° x D A) 15° B) 20° C) 30° D) 37° E) 45°

21. Dado un triángulo ABC; en AB y BC se ubican los puntos M y N respecti-vamente, en las prolongaciones de AC y de CA se ubican los puntos Q y P respectivamente; calcule la medida del ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos BNQ y BMP. Si: AP = AM; CQ = CN y m∠ABC = 40°.

A) 110º B) 105º C) 85º D) 100º E) 95º

22. Del gráfico mostrado calcular x si AC = 2(AB)

A C B x 3a q q b b a

triángulos y líneas notables

A) 45º B) 50º C) 60º D) 20º E) 30º

23. Hallar "x", si: mBBDA – mBCDA = 18°. A B D C x F A) 18° B) 12° C) 6° D) 24° E) 9° 24. Calcule "x", si: a + 0 = 155°; AB = BC y PQ = QR P B R A _Q C a q x A) 60° B) 45° C) 35° D) 48° E) 55°

25. En un triángulo ABC isósceles, por un punto P de la base AC se levanta una perpendi-cular a dicha base intersecando a AB en M y a la prolongación de CB en N. Calcula NB si AM = 14 y NC = 36. A) 11 B) 12 c) 13 D) 10 E) 9

respuesta

1. D 2. D 3. B 4. A 5. E 6. C 7. B 8. E 9. D 10. B 11. C 12. D 13. A 14. E 15. C 16. D 17. D 18. C 19. A 20. C 21. B 22. E 23. E 24. E 25. A

GEOMETRÍA

TEMA 2

TAREA

SOII1G2T

EJERCITACIÓN

1. Del gráfico calcular "AB":

A) 14 A B E C 16 2a a B) 15 C) 16 D) 20 E) 22

2. Del gráfico calcular el valor de "BN": A) 10 B) 12 A _M N C B 20 C) 13 D) 14 E) 16

3. Del gráfico calcular "x": A) 4 B) 2 A B 8 C x C) 8 D) 7 E) 6

4. Calcular el máximo valor entero de "BM": A) 7 A B C M 8 12 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 5. Calcular "AE": A 5 2 C B E a a A) 8 B) 7 C) 6 D) 9 E) 11 6. Calcular "BH": B A _F C 6 5 H E q q A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. Calcular "a": A) 8 B) 10 C) 12 A B 6 E C a D) 14 E) 11 8. Si BH es altura y BM es mediana: A B x H M C q a

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS A) x = a – q₂ B) x = a + q₂ C) x = a + 2q D) x = a – q E) x = a + q₃

PROFUNDIZACIÓN

9. Si: AB = BC, calcular "HM": A) 4 14 A B M C H B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 10. Calcular "AC": A C B 120° a A) a 3 B) a C) a 2 D) a 5 E) a 6 11. Calcular x”, si AC = BD y BC = CD A) 45 B C D A x B) 22,5 C) 60 D) 37 E) 53

12. Calcular “a”, si : 2AB = DC

A B D C 2a a A) 20 B) 15 C) 22,5 D) 18 E) 17,5

13. Un triángulo ABC recto en B; I es el incen-tro “O” es el circuncenincen-tro; m]AIO = 90º. Calcular m]BAC.

A) 37 B) 60 C) 30 D) 45 E) 53

14. En un triángulo rectángulo la distancia del circuncentro a los catetos miden 3 y 4. Calcula la longitud de la hipotenusa. A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 10 15. En la figura, calcular “q”, si CE = 2HC. A) 10 B) 12 A E B H D 2q C q 3q C) 15 D) 8 E) 18

16. En un triángulo ABC recto en “B” la bisec-triz exterior del ]A y la prolongación de la altura BH se intersecan en “F” tal que: AB + AH = 4; HF = 3.

Calcular BH.

A) 2 B) 2,5 C) 1,5 D) 0,5 E) 1

17. Interiormente a un triángulo equilátero ABC se ubica el punto P tal que m]APC = 90, luego se trazan exteriormente al triángulo APC los triángulos equiláteros APQ y PCE. Calcular la m]QBE.

A) 120 B) 100 C) 140 D) 150 E) 90

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

18. En la figura CD = 3BH, calcular el valor de “a”. A) 15 B 22,5 A B H C D a a C) 26,5 D) 37 E) 30

19. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, en BC se ubica el punto T y en AC el punto medio M. Si TC=2(AB) + BT. Calcula m]MTC.

A) 30 B) 53/2 C) 60 D) 53 E) 15

20. En la figura: AB = BC y AC = AD, calcular q A) 15 A B C D 2q q B) 22,5 C) 30 D) 45 E) 18,5

SISTEMATIZACIÓN

21. De la figura, calcular DC, si BE = EC; AB = 6; AC = 8 A) 2 A B H E D C a a B) 3 C) 4 D) 1/2 E) 1

22. Del gráfico, calcular el valor de “x”, si AB = QC; y 5AH = 4PQ. A B Q C P x H A) 120 B) 137 C) 127 D) 135 E) 150 23. En la figura, calcular “x”. A B x 10 _C A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 24. En la figura: AB = 4 y AH =1, calcular ED A) 2 B) 2,5 A _H D E C B aa C ) 3 D) 3,5 E) 4 25. En la figura, calcular “x”. A) 3 6 2 x q q B) 3,5 C) 4 D) 4,5 E) 5 1. C 2. A 3. C 4. C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. D 10. A 11. C 12. C 13. D 14. E 15. C 16. A 17. D 18. C 19. B 20. C 21. E 22. C 23. E 24. C 25. C

RESPUESTA

geometría

tema 3

tarea

Soii1G3T

ejercitación

1. Cada lado de un polígono regular mide 6 cm y el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales, en centíme-tros. Hallar la medida de un ángulo central. a) 8º b) 12º C) 18º d) 24º e) 30º

2. determine el número de ángulos rectos a que equivale la suma de los ángulos internos de un polígono cuyo número de diagonales es igual al número de sus ángulos internos. a) 8 b) 9 C) 5 d) 6 e) 7

3. Interiormente a un pentágono regular abC-de, se construye un triángulo equilátero aMb. Hallar: m<dMe.

a) 86º b) 84º C) 66º d) 56º e) 108º

4. Se tiene un trapecio isósceles abCd donde bC y ad son las bases. Si aC es el doble de la mediana, hallar el menor ángulo formado por aC y bd.

a) 15° b) 30° C) 37° d) 45° e) 60°

5. en el trapecio abCd la bisectriz interior de “C” corta a ad en “F” tal que abCF es un paralelogramo. Si: bC = 7u y Cd = 11u, hallar “ad”.

a) 9 u b) 15,5 u C) 12,5 u d) 18 u e) 16 u

6. dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

* en el romboide las diagonales son congruentes.

* en el rectángulo las diagonales son perpendiculares.

* en el rombo las diagonales son per-pendiculares y congruentes. a) VFF b) FFV C) VFV d) FVF e) FFF

7. ¿Qué afirmación es incorrecta?

a) Todo cuadrilátero tiene dos diagonales. b) el paralelogramo tiene sus lados

opuestos paralelos congruentes. C) en el rombo sus ángulos internos

miden 90º.

d) en el trapecio las diagonales se bisecan. e) dos alternativas son incorrectas. 8. en el romboide abCd: ab = 4 u y bC = 10 u;

luego se trazan las bisectrices interiores de “b” y “C” que cortan a ad en “e” y “F” respectivamente. Hallar el segmento que une los puntos medios de be y CF. a) 5 u b) 6 u C) 7 u d) 8 u e) 4 u

profundización

9. en un romboide abCd, las bisectrices inte-riores de “b” y “C” se cortan en un punto

CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS

de ad . Calcular el perímetro de abCd, si: bC = K.

a) 4K b) 2K C) 5K d) 3K e) 2,5K

10. Se tiene un rombo abCd y se construye exteriormente el cuadrado beFC, tal que: meCd = 89º. Calcular maeC. a) 68º b) 56º C) 72º d) 58º e) 62º

11. en un triángulo escaleno abC (abbC), se traza la altura bH, sean “M”, “N” y “Q” los puntos medios de ab; bC y aC, respecti-vamente. entonces MNQH es un: a) Trapecio isósceles

b) Cuadrado C) Trapecio escaleno d) Romboide

e) Trapecio rectángulo

12. Graficar un triángulo escaleno ABC y su altura bH (abbC ). Si “M”, “N” y “P” son puntos medios de ab,bC y aC, entonces el cuadrilátero MNPH es un: a) Romboide b) Rombo C) Trapecio rectángulo d) Trapecio isósceles e) Rectángulo

13. exteriormente al triángulo isósceles abC (obtuso en “b”); se construye el rombo abde; maed = 128º y mbaC = 14º. Hallar mbdC.

a) 40º b) 60º C) 55º d) 50º e) 65º

14. Si: ab = 6 u, hallar la longitud del segmen-to que une los punsegmen-tos medios de ab y Cd.

a b C d 45° 37° a) 9 u b) 8 u C) 10 u d) 12 u e) 16 u

15. en un romboide abCd, la mediatriz de bC interseca a ad en “Q”, tal que: mbCQ = 54° y ab = aQ. Calcular: mQCd.

a) 28° b) 18° C) 20° d) 24° e) 26°

16. Si abCd es un romboide, tal que: ab = 18 u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de ae y bd.

a b e C d q q a) 10 u b) 12 u C) 13 u d) 9 u e) 8 u

17. De la figura adjunta: BC //PQ//AD. Cal-cular bC. a d b C Q b P a 3a 14 16 3b a) 6 b) 8 C) 12 d) 7 e) 10

18. Las diagonales de un trapecio miden 8 y 10. el valor máximo entero de la mediana es: a) 8 b) 9 C) 5 d) 7 e) 6

cuaDrIlÁteros Y Polígonos

19. Del gráfico adjunto calcular “x”, ABCD: Romboide. b a d M C P x a) 37/2 b) 53/2 C) 15 d) 45 e) 30

20. en un rombo abCd, las diagonales aC y bd miden 16 y 12 respectivamente. Calcular la altura bH relativa a Cd.

a) 6,2 b) 8,3 C) 9,6 d) 6,9 e) 3 3

sistematización

21. abCd: Cuadrado, FM = Md. Calcular q.

a b C d M F q a) 20 b) 35 C) 22,5 d) 30 e) 36

22. en un trapezoide abCd, bd biseca en “Q”

a aC, las mediatrices de las diagonales se intersecan en un punto “P” que pertenece a ad. Calcular la mbPC, si mPQd = 40. a) 80 b) 40 C) 50 d) 60 e) 45

23. en un rectángulo abCd se ubican los pun-tos medios P y Q de bC y Rd respectiva-mente (R es punto medio de PC). Calcular la mQPR, si mRab = 48.

a) 36 b) 42 C) 48 d) 32 e) 45

24. En un trapecio ABCD (AB // CD); AB es la base menor tal que: ad ≅ bd; bC=6. Calcular dM, siendo “M” punto medio de aC.

a) 4 b) 2 C) 3 d) 4,5 e) 1,5

25. Si abCd y GFed son cuadrados y aG = 10, calcular la distancia entre los puntos me-dios de ae y CG. b C e d a _G F a) 5 b) 5 2 C) 4 2 d) 10 3/2 e) 10 2/3 1. d 2. d 3. b 4. e 5. d 6. e 7. e 8. b 9. d 10. a 11. a 12. d 13. d 14. C 15. b 16. d 17. b 18. a 19. b 20. C 21. d 22. a 23. b 24. C 25. b

respuesta

geometría

tema 4

tarea

Soii1g4T

ejercitación

1. AB + DE = 14, BD + AE = 26, CF = ? A) 12 A F E B C D B) 15 C) 6 D) 7,5 E) 8 2. A) 15° A D a O₁ O C B a x B) 16° C) 18° D) 12° E) 10° 3. AM = BN, AQ = 3, BC = 5 A) 0,5 x N C Q M A B B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5

4. El inradio de un triángulo rectángulo mide 2 y su circunradio mide 5, la diferencia de los catetos es igual al inradio. Calcular el cateto mayor. A) 6 B) 5 C) 12 D) 10 E) 8 5. A) 18 A D 2a E B a a C 4 3 DE = ?? B) 16 C) 10 D) 14 E) 12 6. Si mAB = 100°, mBC = 140°, calcula x. x P Q N B A _C O M A) 120° B) 110° C) 130° D) 150° E) 135° 7. Calcula x. 2 3 x A) 1 B) 1,5 C) 5 D) 10 E) 6

circunferencia i 8. Si OA = OB, mO = 60°, calcula x. B O x 6 A A) 2 B) 3 C) 1,5 D) 0,5 E) 1

profundización

9. Calcula x. x 4 6 F A C B

F: incentro del ∆ABC. A) 8 B) 12 C) 14 D) 9 E) 10

10. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) por un punto D del lado BC se traza DE perpendicular al lado AB de modo que m BAD = 45° y el inradio de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo BED mide 3.

Calcular CD.

A) 4 B) 5 C) 8 D) 6 E) 9

11. El perímetro de un triángulo rectángulo es 18. Hallar la longitud del exradio relativo a la hipotenusa.

A) 3 B) 4,5 C) 6 D) 9 E) 12

12. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, las bisectrices de los ángulos ABH y HBC cortan a AC en P y Q. Hallar el inradio del triángulo ABC, si PQ = 6. A) 18 B) 3 C) 12 D) 9 E) 14 13. Calcula x. A D C B E 5 2 x A) 3 B) 1,5 C) 6 D) 7 E) 9

14. Calcular r, si O es centro de la circunferen-cia mayor, además AB = BC, AO = 12.

B O r A D C A) 3 B) 6 2 C) 3 2 D) 6 E) 4

cIrcunferencIa I 15. Calcula x, si CD = 4. D C x B A A) 2 B) 4 C) 8 D) 1 E) 3

16. En el cuadrado ABCD el punto o es centro de la circunferencia. Hallar el valor de x. A) 30° x O A D B C B) 45° C) 53° D) 37° E) 60° 17. Calcula x. x A C B A) 10° B) 12° C) 15° D) 8° E) 18° 18. Calcula x. A) 15°30' A D B C x B) 15° C) 22°30' D) 30° E) 18° 19. Calcula x. A) 30° A D x B a a C B) 37° C) 45° D) 53° E) 60° 20. Calcular BE, si AB = CD, AE = BC, BD = a. A) 2a A E D C r B B) 3a C) a+r D) a–r E) a–2r

sistematización

21. En un triángulo ABC se toman los puntos medios M de AB, N de BC el cuadrilátero AMNC es circunscrito a una circunferencia de centro O, la recta que pasa por O y que es paralela al lado AC al cortarse con los otros lados determina un segmento que mide 4. Calcular AM + NC. A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 18 22. Calcula x. CD: diámetro BC + AD = 9, AB = ED = 4 A) 1 C B E A D x B) 2 C) 3 D) 1,5 E) 1,25

circunferencia i 23. Calcula x si: r = 0,5; r₁ = 1; r₂ = 2,5. x r₁ r₂ r

r, r₁, r₂ son radios de las circunferencias máximas. A) 3 B) 4 C) 1,5 D) 2 E) 3,5 24. Calcula x. x D A _F G C E B BE = 4, BD = FG A) 3 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 1

25. El perímetro de un triángulo rectángulo ABC recto B es 2p, la circunferencia inscrita de radio r es tangente a los lados AB y AC en los puntos M y N, por un punto del arco MN se traza una tangente a la circunferen-cia que corta a AB en D y a AC en E de modo que AN = 2NC. Hallar el perímetro del triángulo ADE.

A) 4/2(p + r) B) 4/3 (p – r) C) 5/3(p + 2r) D) 4/5 (p – r) E) 2/3 (2p + r)

respuesta

1. C 2. B 3. B 4. E 5. D 6. A 7. C 8. A 9. A 10. D 11. D 12. B 13. D 14. D 15. B 16. B 17. C 18. C 19. C 20. E 21. B 22. A 23. A 24. C 25. B

geometría

tema 5

tarea

Soii1g5T

ejercitación

1. En la figura, O es centro de la circunferen-cia, MN = OQ, NP//QT y mQMP = 15°. Halle "x". a) 40° b) 37°30' c) 36° Q P N M S T x O d) 36°30' e) 37°

2. En la figura P, B, Q y R son puntos de tangencia. Si mPAR = 20°, halle mQT.

a P b c 130° Q R T a) 82° b) 80° c) 86° d) 88° e) 96° 3. _{En la figura, DC = ce y mLDM = mMDE.} Halle mBEM. a) 120° b) 140° c) 100° d _c e M T 40° L a b d) 110° e) 115° 4. En la figura, mBN = 50° y AM = MC. Halle "x". a) 36° b) 33°30 c) 32°30' a b c N M x d) 34° e) 27°30'

5. En la figura, m PA = mAQ. Halle "x". a) 25° b) 15° c) 35° x P b Q a c 155° d) 20° e) 30°

6. En la figura, A, B y C son puntos de tan-gencia, si m ebL = 130° y m abc = 240°. Halle mMN. a) 15° b) 18° c) 20° L b e a c M N P d) 12° e) 10° 7. En la figura, halle "x". a b F c d e x x a) 37° b) 60° c) 53° d) 5° e) 50°

circunferencia ii

8. En la figura, O es centro de la circunferencia, mdcb = 115° y mbe = 120°. Halle "x". a e b c d O x a) 84° b) 89° c) 75° d) 80° e) 85°

profundización

9. En la figura, ab es diámetro y C punto de tangencia. Halle madc.

72° a d c b P a) 110° b) 129° c) 115° d) 99° e) 120°

10. En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia C, 3(mbcd) = 2(mbcd). Calcule la mbad.

a) 45° b) 53° c) 37° d) 30° e) 60°

11. Del gráfico, calcule "x". 100° 120°

x

a) 25° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°

12. Del gráfico, calcule "x". 3x

5x x

a) 28° b) 30° c) 32° d) 34° e) 36°

13. En la figura L1//L2, B es punto de tan-gencia y m PAD = 238; halle "x". a) 31° b) 32° a P d x b L₁ L2 c) 30,5° d) 28° e) 4,5°

14. En la figura, "T" es punto de tangencia y AB es diámetro. Si maed = 40° y mTCA = 50°, calcular x. a _{b c} T e d x a) 20° b) 23° c) 25° d) 18° e) 22°

15. En la figura, A y T son puntos de tangencia. Si mcd = 80°, halle "x". b a d c T x a) 30° b) 38° c) 40° d) 39° e) 42°

cIrcunferencIa II

16. En la figura, P y T son puntos de tangencia si ab//PQ y 2m BP = mBT, halle mAPC.

a b T Q P c 100° a) 21° b) 20° c) 24° d) 22° e) 23°

17. En la figura P, Q, R, S y T son puntos de tangencia. Halle x + y. a _{S R} c P Q y x T 80° b a) 160° b) 150° c) 125° d) 140° e) 130° 18. En la figura, halle "x". q q x 42° a) 48° b) 42° c) 36° d) 54° e) 50°

19. En la figura, 3DE = 5EF y ab es diámetro. Halle "x". a c d F b x x e a) 71°30' b) 60° c) 67°30' d) 45° e) 50° 20. En la figura, O es centro, ab = OB y m(ab) = 3m(MB). Halle "x". x O a M b a) 11°30' b) 14° c) 10° d) 11° e) 15°

sistematización

21. En la figura, O es centro y B punto de tangencia. Halle "x". b O 40° a x a) 50° b) 60° c) 45° d) 80° e) 70°

22. En la figura, O es centro de la circunferen-cia y T es punto de tangencircunferen-cia. Halle "x".

24° T x O a) 33° b) 57° c) 66° d) 37° e) 53°

circunferencia ii

23. Del gráfico, la mab = 48 y bc = cG. Calcule la m∠bGc. 2a a L a b c G d a) 24° b) 26° c) 28° d) 30° e) 32°

24. Del gráfico, la mbaS = 48; calcule la m∠Lcb. a _H c S b L a) 46° b) 48° c) 50° d) 52° e) 56°

25. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BL, tal que AB = LC, la mabL = 2(mLbS) y bL = AL. Calcula la mLbc. a) 32° b) 30° c) 28° d) 26° e) 25°

respuesta

1. b 2. b 3. b 4. c 5. a 6. e 7. b 8. e 9. d 10. a 11. c 12. b 13. c 14. a 15. c 16. b 17. d 18. a 19. a 20. c 21. a 22. b 23. a 24. b 25. b

geometría

tema 6

tarea

Soii1g6T

ejercitación

1. De la figura hallar m/n, si L₁//L₂//L₃. n m 3 9 L1 L₂ L3











a) 1/3 b) 3/2 c) 4/1 d) 1/4 e) 3/4 2. Hallar AC, si AB = 15, BC = 20 y AD = 6. a b d a a c a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 6

3. En un triángulo ABC, los ángulos B y C miden 45° y 60°. ¿Qué longitud tiene la altura bajada de A sobre el lado "a", si el lado "b" mide 10 3? a) 5 2 b) 8 3 c) 18 d) 15 e) 12 4. En la figura mostrada be = a y bc = b. Hallar "AE". a b e 30–3a 10+2a c a) 2a+b b) a+b c) a+2b d) 0 e) N.a.

5. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura bH y la mediana cM. Calcular el ∠MCA si BH = MC. a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) N.a. 6. Hallar EF, si BF = 3; AB = 9; AC = 6. c F a a a e b a) 2 b) 6 c) 4 d) 3 e) 5 7. Hallar BC, si AN = 3NB = 9. a b c N a a

proporcionalidad y semejanza de triángulos

a) 9 b) 6 c) 5 d) 4 e) 7

8. En un triángulo ABC, AB = 27, por el baricentro G, se traza EF paralelo a ac (e sobre ab y F en bc). Hallar BE.

a) 9 b) 18 c) 25 d) 24 e) 15

profundización

9. Hallar PQ, si PQ // ac. c 12 Q 3 5 a P b a) 7,5 b) 6,5 c) 7 d) 6 e) N.a. 10. Calcular "x" si AB = 12 y CD = 6. b a c d O x a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 11. Si MN // ac, ac = 10; MN = 4; BC = 12, hallar BN. c N a M b a) 3,8 b) 3,5 c) 4 d) 4,8 e) 4,5

12. Los lados del rectángulo miden 20 y 30 m, respectivamente. ¿Cuáles son las dimen-siones del rectángulo de 360m de períme-tro semejante al dado?

a) 72 y 108 m b) 80 y 100 m c) 75 y 150 m d) 68 y 102 m e) 96 y 144 m 13. Hallar "x" si AB = BC y BE = BD. a b d 20° x c e a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) N.a. 14. Si AB =2 y CB = 3, calcula MN – 2. a b c d M N a) 2 2 b) 5 c) 10 d) 2 5 e) 2 3

15. En un triángulo equilátero ABC de 8 cm de lado, por el punto medio D del lado ab

proporcIonalIdad y semejanza de trIángulos

se traza de perpendicular a bc. Hallar la distancia de E al lado ac.

a) 2 3cm b) 3 3cm c) 4 3cm d) 3cm e) 4 cm

16. ¿Cuántos puntos del plano de un triángulo equidistan de sus lados?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ningún punto

17. Determinar el valor de "x" en la siguiente figura: a c b d 12 ₆ x 4 3 a) 3 3 b) 4 3 c) 4 2 d) 6 3 e) 8 3

18. Los lados de un triángulo miden 8m, 10m y 9m. Hallar la longitud del segmento que une el incentro con el baricentro. a) 3 b) 1/3 c) 0,25 d) 0,5 e) 1

19. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior ad, por D se traza una paralela a ac que corta a ab en E. Hallar AB, si DE = 3 y BE = AB/3.

a) 5 b) 4,5 c) 4 d) 3 e) 6

20. En un iABC se prolonga ab y cb hasta P y Q respectivamente, tal que QP//ac. Además BQ, BC y BP toman valores con-secutivos. Calcula el valor entero de AB, si es menor que 7.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

sistematización

21. En la figura mostrada ABCD es un parale-logramo a'a = 4; c'c = 2. Hallar bb'.

a b c c' b' a' d a) 4 b) 2 c) 6 d) 8 e) 10

22. En un iABC donde AB = 8, se prolonga CB hasta L tal que m∠LBA = m∠cbK (K ∈ ac), BK = 4. Calcula el mayor valor entero de ac.

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

23. En un iABC, AB = 9, BC = 8 y AC = 3. Sobre ab y bc se toman los puntos E y F respectivamente, de modo que EF sea tangente a la circunferencia inscrita en el iABC y además EF//ac. Calcula EF. a) 1 b) 2 c) 2,5 d) 2,1 e) 2,8

24. La base de un triángulo mide 4m, calcular la paralela a la base que divide al triángulo en dos partes equivalentes.

proporcionalidad y semejanza de triángulos a) 3( 3–1) b) 5 –2 c) 2 2 d) 4( 3–1) e) N.a. 25. Del gráfico AS = 3(5B) y AL = LC. Calcula SK_kT. a b c K T a a L S a) 1/2 b) 3 c) 3/4 d) 2/3 e) 3/5

respuesta

1. c 2. d 3. d 4. b 5. c 6. a 7. b 8. b 9. a 10. c 11. d 12. a 13. a 14. a 15. b 16. a 17. b 18. b 19. b 20. e 21. c 22. c 23. d 24. c 25. d

geometría

tema 7

tarea

Soii1g7T

ejercitación

1. Hallar: x + y + z x _y z 36 64 a) 188 b) 160 c) 187 d) 189 e) 150 2. Hallar: x + y + z 60 11 x ₃ 7 y _{4 3} 1 z a) 61 b) 4 c) 71 d) 72 e) 73

3. Si: “O” y “O₁” son centros, hallar: “aQ” PQ = 8, QS = 18 a O O₁ S b Q P a) 14 b) 13 c) 10 d) 15 e) 12 4. Hallar: “x” 2 4 x q q a) 2 b) 2 3 c) 2 2 d) 3 2 e) 5

5. Hallar: “aN”; “O” es punto medio de ac; ab = 2 O N c a b a) 1 b) 2 c) 2 2 d) 3 e) 4 6. Hallar: “cM”; MH = 5 Y bN = NH M H N c a b a) 10 b) 15 c) 5 d) 6 e) 8

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA 7. Hallar: “MH”; ab = 5; aH = 2; Hd = 8 a) 1 b) 2 c) 3 a _H d M b c d) 4 e) 5

8. Hallar: “r”; “O” es centro.

r O 4 4 5 a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 3

profundización

9. Hallar “aP”; bH = 4; aF = 6 abcd es un cuadrado a d c P b H F a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 10. Hallar: “ab”; r = 16, bc = 24 a b c r a) 2 b) 10 c) 4 d) 6 e) 8

11. Hallar la menor altura del triángulo isósce-les de lados 7, 7 y 8.

a) 22 b) 33 c) 44 d) 11 e) 55

12. en una circunferencia se tiene una cuerda de longitud 20 y su flecha correspondiente mide 2. calcule el radio de dicha circunferencia. a) 25 b) 26 c) 13 d) 14 e) 15 13. Hallar: cd; ab = 2, Pc = 3, Pa = 4 T P a _b c d a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 14. Hallar: “cL”; aO = Ob = bc = R a L c b O a) R 5 b) 2R 3 c) 5R 3 d) 14,5 2 e) 3R 5₅ 15. Hallar: “x” 1 1 x 53°

relacIones mÉtrIcas en el trIÁngulo rectÁngulo Y la cIrcunFerencIa a) 12/5 b) 11/5 c) 10 d) 13/3 e) 6/5 16. Hallar a/b. 7k _5k a b a) 49/25 b) 7/5 c) 7₅ d) 2 e) 3

17. Sea abcd: cuadrado, 1 (be)2+

1 (bF)2=

1 81, calcule el perímetro del cuadrado.

a b c e F d a) 28 b) 36 c) 18 d) 16 e) 40

18. Sea abcd: Rectángulo, P, Q, T, M son puntos de tangencia, R=3. calcule PM.

a b c T d R M Q P a) 12 b) 2 6 c) 6 d) 3 6 e) 8

19. Sea abcd: Romboide, aP = 4, Qd = 6, cO = cb. P, Q, H: puntos de tangencia. Halle ce. a b _c d P Q e O H a) 8,5 b) 6,6 c) 7,5 d) 9,5 e) 5

20. Según la figura AM=2; Mc=8. Halle OM

a M c b R O a) 2 2 b) 2 c) 5 d) 2 6 e) 6

sistematización

21. Del gráfico AB=bc=20, MN=NP; O: cen-tro. calcule OM a _{O M} b N P c a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12 22. Se sabe bP = 3, PM = 2 y bM = Mc. calcule Pc. a P c M b a) 8 b) 6 c) 4 d) 9 e) 5

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA

23. abcd: Rectángulo, bc=25; aP=5. calcule R. Si P: punto de tangencia. a) 17 b) 13 c) 10 b c d a P R d) 15 e) 12

24. en el gráfico, abcd es un cuadrado Mb=36. calcule bN. M b N c P d a a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 25. En el gráfico, LB=bN. Si MQ=9 y QN=7, calcule aM. a M Q N b L a) 4 b) 5 c) 6 d) 6,4 e) 5,4

respuesta

1. a 2. d 3. e 4. b 5. a 6. b 7. a 8. c 9. c 10. e 11. b 12. b 13. d 14. e 15. e 16. a 17. b 18. a 19. c 20. e 21. c 22. e 23. b 24. d 25. d

geomeTrÍa

Tema 8

Tarea

Soii1G8T

ejercitación

1. En un triángulo acutángulo ABC, la dis-tancia del ortocentro al baricentro mide J K L 109 3 N O

P y la distancia del circuncentro al lado AC es 3,5. Si la distancia del ortocen-tro al lado AC mide 5, entonces la longitud de la mediana relativa al lado AC es: A) 13 B) 12 C) 12,5 d) 11,5 E) 11

2. En un trapecio ABCd (AB // Cd), se traza la base media MN (M∈AB). Si (AC)2 _{+ (Bd)}2 – 2(MN)2 _{= 392, entonces la longitud del} segmento que une los puntos medios de las bases del trapecio es:

A) 11 B) 12 C) 13 d) 14 E) 16

3. En un trapecio ABCd (BC // Ad), se cumple AB = 5, BC = 4, Cd = 3 y Ad = 9, entonces la longitud de AC es:

A) ₅41 B) 2 41₅ C) 3 41₅ d) 4 41₅ E) 5 41₅

4. En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita al triángulo es tangente al lado AC en el punto M. Si AB = 5, BC = 7 y AC = 6, entonces la longitud de BM es: A) 3 B) 4 C) 5 d) 5,5 E) 6

5. En la figura mostrada se cumple: AB = 3, BC = 4 y EF = FC = 2, entonces (BF)2 _{– (BE)}2 _es: E F C A B A) 3/5 B) 4/5 C) 3/4 d) 1/4 E) 2/5

6. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), considerando como diámetro el lado BC se dibuja una semicircunferencia que intercepta a la altura AH del triángulo en el punto M. Si AC = l, entonces la longitud de MC es: A) l/2 B) l/3 C) l/ 2

d) l/ 3 E) 2l/3

7. En un triángulo ABC, se trazan la ceviana BQ y la bisectriz interior CM las cuales se interceptan perpendicularmente en el punto H. Si AB = 15, BC = 13 y AC = 14, entonces la longitud de AH es:

A) 137₇ B) 137₅ C) 61 d) 157

7 E)

135 7

8. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BQ y CR que se interceptan en el punto M.

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS Si BM = QM, BR = 24, MR = 3 y CM = 7, entonces: K = 2(AC)2 _{+ 5(BC)}2 _es: A) 6780 B) 8780 C) 10 780 d) 12 780 E) 14 780

profundización

9. En una circunferencia de diámetro AB y centro O, se traza la cuerda BC (AC < BC). Considerando como diámetro la flecha o sagita de la cuerda BC se dibuja una circunferencia cuyo radio mide "b". Si el radio OA mide "a", entonces el radio de la circunferencia tangente de la cuerda BC, al arco BC y la circunferencia es: A) ab B) a(a+b) b C) b(a+b) a d) b(a–b)b E) a(a–b) b

10. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AF y CQ. Si AB = 5, BC = 7 y AC = 6, entonces la longitud de FQ es:

A) 144/35 B) 114/35 C) 117/35 d) 3 E) 4,5

11. En un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto P, interior al triángulo. Si AP = 5, PB = 7 y PC = 8, entonces el perímetro del triángulo es:

A) 3 129 B) 3 139 C) 3 119 d) 3 125 E) 3 112

12. En un rombo ABCd, M es punto medio del lado Ad. Si MB = 13 y MC = 9, entonces el perímetro del rombo es:

A) 40 B) 44 C) 56 d) 60 E) 72

13. En un triángulo ABC las medianas miden AM = 12 y BN = 9 y CP = 15, entonces la longitud de AB es:

A) 8 B) 9 C) 10 d) 11 E) 12

14. En un paralelogramo ABCd sus lados miden AB = a y BC = b (a < b). El ángulo agudo que forman las diagonales AC y Bd mide 45°. Entonces la distancia entre los lados paralelos BC y Ad es: A) b2–a2 2a B) b 2_+a2 2b C) b2–a2 2b d) b 2_–a2 b 2 E) b2–a2 a 2

15. En la figura mostrada, AOB es un cuadrante cuyo radio mide R. Hallar x.

A O R R B xx A) R/2 B) R/3 C) 2R/3 d) R/4 E) 2R/5

16. En un trapecio isósceles, una diagonal mide 24 y el producto de las longitudes de las bases es 351. Entonces, la longitud de uno de los lados no paralelos es:

A) 15 B) 16 C) 18 d) 12 E) 145

relacIones mÉTrIcas en TrIÁngulos oBlIcuÁngulos Y cuaDrIlÁTeros

AC = b, BC = a y AB = c, siendo p el semiperímetro del triángulo. Entonces la longitud de la bisectriz interior CF es: A) _babp2_+c2

B) _a+b2 abp(p–c) C) _a+c1 bcp(p–a) d) _a+c1 ab(p–a) E) _ab+bc+acabc

18. En un triángulo ABC se verifica que: mABC = 2mBCA, AB = C y AC = b. Entonces, la longitud de BC es:

A) b2–c2 c B) b 2_+c2 bc C) bc d) b+c 2 E) b2–c2 2c

19. En un triángulo ABC recto en B, se traza la bisectriz interior Bd. Por el punto d se traza una recta perpendicular al lado AC, dicha perpendicular intercepta al cateto BC en el punto E. Si AB = a y BE = b, entonces la longitud de Bd es: A) (a+b) 3 B) (a+b) 2 C) JK L a+b 2 N O P 2 d) J K L a+b 2 N O P 3 E) JK L a+b 2 N O P 5

20. dado el triángulo ABC escaleno se dibu-jan los triángulos equiláteros ABE y BCN exteriormente al triángulo ABC. Además AN ∩ CE = {M}. Si AM = 2a, MC = 3a y MN = 7a, entonces la longitud de BM es:

A) a/2 B) a C) 2a d) 3a E) 4a

sistematización

21. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia, en el arco AB se ubica el punto M. Si MA = a y MB = b, entonces la longitud del lado del triángulo equilátero es: A) a2_+b2 B) ab C) a b(a+b) d) a2_+ab E) a2_+b2_+ab

22. En la figura mostrada se verifica: AB = BC y mABE = 90°. Si BM = 1 y ME = 3, entonces la longitud de AC es:

A M E B C A) 4 5 B) 85 C) 95 d) 12 5 E) 5 3

23. En la circunferencia circunscrita a un trián-gulo equilátero ABC, se ubica un punto P cualquiera. Si (PA)2 _{+ (PB)}2 _{+ (PC)}2 _{= 50,} calcular AB.

A) 4 B) 6 C) 2 5 d) 5 E) 5 2

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

24. En un cuadrante AOB de centro "O" (OA = OB = 2) se traza una circunferencia de centro O₁ y radio igual a 1, la cual es tangente a OA y OB e intercepta al arco AB en N. Luego se traza O₁M perpendicular a ON, entonces la longitud de MN es: A) 2/3 B) 3/4 C) 4/5 d) 4/7 E) 3/5

25. Sea el triángulo ABC, Q es un punto exte-rior y relativo a BC. La altura BH intercepta a AQ en P (H en AC). Si mAQC = 90°; AB = 6; BC = 8; AP = 3 y PQ = 2, entonces la longitud de AC es: A) 57 B) 58 C) 64 d) 67 E) 71

respuesta

1. A 2. d 3. C 4. C 5. B 6. C 7. C 8. C 9. d 10. B 11. A 12. A 13. C 14. C 15. d 16. A 17. B 18. B 19. C 20. E 21. E 22. B 23. d 24. B 25. B

GEomETrÍa

TEma 9

TarEa

SOii1G9T

EjErcitación

1. En un triángulo sus lados miden 13u, 14u y 15 u. Calcular su área.

A) 76 B) 84 C) 100 D) 42 E) 38

2. La base de un triángulo isósceles mide 10 m y la altura relativa uno a sus lados iguales mide 8 m. Hallar su área. A) 40 B) 80 C) 100/3 D) 40/3 E) 24

3. Una circunferencia de 2 cm de radio está inscrita en un triángulo rectángulo de 10 cm de hipotenusa. El área de dicho triángulo es:

A) 48 B) 24 C) 12 D) 20 E) Faltan datos

4. En la siguiente figura hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de área S. C D A B A) L2_{/2 B) L}2_{/ 2 C) L}2 D) L2 2 4 E) L 2 ₂ 2

5. Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada, siendo CDEF un rectángulo y (AB) (CD) = 18 u2_. B F E C A α D α A) 18 B) 9 C) 5 D) 36 E) 12

6. En un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 15°, se inscribe un cuadrado de área "A" que descansa sobre la hipotenusa. Hallar el área del triángulo rectángulo. A) A/2 B) A/3 C) 5A D) 16A E) 25A

8

7. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si el área de la región trian-gular LBP es 30 u2_{. L y N son puntos de}

tangencia. A C P B N 37° L

Áreas de las regiones triangulares y sus relaciones

A) 110 B) 80 C) 60 D) 120 E) 90

8. Hallar el área de la región ABC, si OM = 4 u.

M C A B 3 O A) 48 B) 24 C) 12 D) 60 E) 72

Profundización

9. Hallar el área de la región sombreada, si (AC)(CD) = 4 3 cm2 _{y mAPB = 140°. “C”} es punto de tangencial. C A 10° B D P A) 3 B) 9 C) 3 D) 6 E) 8

10. Si en un triángulo ABC, las alturas miden 12 cm, 15 cm y 20 cm, entonces su área en cm2 _es:

A) 150 B) 120 C) 130 D) 140 E) 125

11. En un triángulo ABC las medianas AN y BM se intersecan en "P". Si S_(ABC)= 120. Calcular S_(MPN).

A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) N.A.

12. Según el gráfico, calcular la razón de áreas de las regiones MBN y ABC, si: AB = BC, AM = BN₃ = MN_{4 .} C A N M B A) 7/15 B) 5/12 C) 8/13 D) 9/17 E) N.A.

13. Según el gráfico, calcule el área de la región triangular BNC, sabiendo que: AB = 13 u, BC = 15 u y AC = 14 u. (N, L y P son puntos de tangencia). A) 12 u2 B) 16 u2 C) 24 u2 A L C N O P B D) 36 u2 E) N.A.

14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM y luego MF perpendicular a BC (F en BC). Si “A” dista 8 cm de BM.

MF = 5 3 cm y el ángulo MBC mide 30°, hallar el área del triángulo ABC.

A) 20 cm2 _{B) 30 cm}2 _{C) 60 cm}2

D) 80 cm2 _{E) N.A.}

15. Se tiene un triángulo ABC en el cual se traza la mediana AT . En AC se ubica un punto "D" tal que AD = DC_{2 . AT interseca} a BD en el punto "P". Calcular S_(APD) si S_(ABC)=120.

ÁrEas dE Las rEGionEs TrianGULarEs y sUs rELacionEs

A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 24

16. Por el baricentro G de un triángulo ABC se trazan GE//AB y GF//BC (E y F en sobre AC). Hallar la relación entre las áreas de los triángulos EGF y ABC.

A) 1 : 2 B) 1 : 3 C) 2 : 3 D 1 : 9 E) 2 : 9 17. En la figura AM es mediana, BC = 20 y AM = 22. m∠BMA=2m∠BAM. Calcular S_(ABC). C M B A 2α α A) 176 B) 112 C) 96 D) 84 E) N.A.

18. En un ∆AEF, B∈AE, C∈EF y D∈AF; BC//AD y CD//AB. Calcular el área AEF, si área BEC = 25 u2 _{y área CDF = 9 u}2_.

A) 68 u2 _{B) 64 u}2 _{C) 81 u}2

D) 72 u2 _{E) 80 u}2

19. Por un punto interno al triángulo mostrado se han trazado paralelas a los lados del triángulo ABC, cuya área se desea cono-cer. Se sabe que A = 1 cm2_{, B = 4 cm}2 _y

C = 9 cm2. C A A B C B A) 48 cm2 _{B) 36 cm}2 _{C) 24 cm}2 D) 16 cm2 _{E) N.A.}

20. En un triángulo ABC se traza la mediana AM y la ceviana CN (N∈AB) las cuales se intersecan en G. Por M se traza una recta paralela a AB que interseca a la ceviana en Q. Si BN_NA = 3₂ y el área del triángulo ABC es 140 u2_{. Hallar el área del triángulo}

QMG.

A) 9 u2 _{B) 7 u}2 _{C) 11 u}2

D) 10 u2 _{E) 14 u}2

SiStEmatización

21. Dado un triángulo rectángulo isósceles ABC (recto en C). Sea P en BC y M es el punto medio de AB y sea L y N puntos del segmento AP tal que CN es perpendicular a AP y AL=CN. Si el área ABC es 4 veces el área LMN Calcula m∠CAP.

A) 15 B) 30 C) 45 D) 22,5 E) 18

22. En el triángulo ABC se trazan las medianas AM y las cevianas BD y CE concurrentes en P, si los inradios de los triángulos BEP y CDP son iguales. Calcule AB/AC. A) 1 B) 0,5 C) 2 D) 21/2 _{E) 3}1/2

23. El triángulo ABC tiene m∠ACB= 120º y el lado AC mayor que el lado BC. Sabiendo que el área del triangulo equilátero de lado AB es 31 y el área del triangulo equilátero de lado AC – BC es 19. Halla el área del triángulo ABC.

A) 3 B) 4 C) 6 D) 6(31/2_{) E) 4(3}1/2₎

Áreas de las regiones triangulares y sus relaciones

24. En el triángulo ABC, se traza la ceviana interior AD, se ubican M y N en las pro-longaciones de CA y BA tal que MB//AD// NC. Si el área de la región triangular ABC es A. Calcula el área de la región MDN. A) A B) 2A C) 3A D) 3/2A E) 4A

25. Se tiene un pentágono ABCDE convexo, tal que AB=BC, CD=DE, m∠ABC = 120º y m∠CDE=60º. Si BD= 2u. Calcula el área de la región pentagonal ABCDE.

A) 4 3 B) 6 3 C) 4 D) 2 3 E) 3

rESPuESta

1. B 2. C 3. B 4. D 5. B 6. E 7. A 8. B 9. C 10. A 11. C 12. B 13. D 14. E 15. E 16. D 17. A 18. B 19. E 20. A 21. A 22. A 23. B 24. B 25. E

GEomETrÍa

TEma 10

TarEa

SOii1G10T

EjErcitación

1. El perímetro de un rectángulo es 46 cm y su diagonal mide 17 cm. Hallar el área de su región

A) 100 cm2 _{B) 105 cm}2 C) 60 cm2 _{D) 140 cm}2 E) 120 cm2

2. Se tiene un rectángulo de 60 cm2 _{de área.} Si los lados son números enteros (en cm), el perímetro mínimo posible en cm es: A) 38 cm B) 30 cm C) 34 cm D) 32 cm E) 36 cm

3. Calcular la altura de un trapecio de bases 4 m y 12 m si es equivalente a un cuadrado de lado 6 m.

A) 9 m B) 6 m C) 5 m D) 4 m E) 4,5 m

4. Un cuadrado tiene todos sus vértices en una circunferencia de radio R. Calcular el área de dicho cuadrado.

A) 2R2 _{B) 4R}2 _{C) R}2 D) 3

2R2 E) 3 5 R2

5. Una circunferencia de radio R es tangente interiormente a todos los lados de un cuadrado. Calcula el área del cuadrado. A) 8R2 _{B) 6R}2 _{C) 4R}2 D) 2R2 _{E) 0}

6. En la figura calcular el área de la región sombreada. Si: AM = 2m (A y C puntos de tangencia). A M N B C O 60° A) 4 3 m2 _{B) 8 3 m}2 _{C) 4 2 m}2 D) 2 2 m2 _{E) 10 3 m}2

7. En la figura: A=6 cm2_{. Calcule B.}

A

B

A) 4 cm2 _{B) 5 cm}2 _{C) 6 cm}2 D) 8 cm2 _{E) 10 cm}2

8. Según el gráfico calcular el área de la región sombreada, siendo: AI+IC=12u

A θ θ bb C 60° B I A) 22 6 u2 _{B) 36 3 u}2 C) 18 2 u2 _{D) 24u}2 E) 72u2

ÁreaS de regioneS cuadrangulareS y SuS relacioneS

Profundización

9. Si "O" es el centro del cuadrante, OB=10 y T es punto de tangencia, calcular el área de la región sombreada. A O B T A) 24 B) 40 C) 50 D) 72 E) 36

10. Calcular el área de la región paralelográ-mica sombreada si OB = 10u.

A O D C B A) 60 u2 _{B) 80 u}2 C) 50 u2 _{D) 100 u}2 E) 40 u2

11. Si O es el centro del arco AB, T, P y Q son puntos de tangencia, calcular el área de la región sombreada (AO = 6u).

A T B P O Q A) 12 u2 _{B) 15 u}2 _{C) 3 6 u}2 D) 6 3 u2 _{E) 18 u}2

12. Si el triángulo ABC es equilátero, DB=8 y BC=6 3 ; calcular el área de la región sombreada. A) 8 B C A D B) 6 C) 5 3 D) 12 E) 3 90

13. Calcular el área de la región sombreada si: BC=2(EC)=4; AD=7u. A) 33 2 3 u2 D E B C A B) 16 3 u2 C) 18 3 u2 D) 19 3 u2 E) 20 3 u2

14. Calcular el área de la región sombreada si: PC=2(AB) y QC=6u. B C Q A P A) 6 u2 _{B) 9 u}2 _{C) 8 u}2 D) 10 u2 _{E) 12 u}2

15. Si: AB=3, BC=4 y G es baricentro del triángulo ABC; calcular el área de la región paralelográmica AGPC. A B P C G A) 6 B) 5 C) 2 D) 4 E) 3

ÁrEas dE rEGionEs cUadranGULarEs y sUs rELacionEs

16. Según el gráfico, AO=3 y OC=2. Calcule el área de la región cuadrangular ABCD.

B C D A O 37° 21° A) 9 B) 46 3 C) 8 D 48₅ E) 24₅

17. Del gráfico mostrado P; M y N son puntos de tangencia, calcular el área de la región cuadrangular O₁CDO₂ en función de R

M C _D P A N R R O₂ O₁ A) R2 _{B) 2R}2 C) 32R2 D) 2₃R2 _{E) R}2 2

18. Calcule el área de la región sombreada, si ABCDEF es un hexágeno regular y AB=2u

B A C D E F A) 4 B) 3 3 C) 2 3 D) 6 E) 4 3

19. Calcular el área de un región trapecial inscrita en una circunferencia de radio 5 m sabiendo que las bases del trapecio miden 6 m y 8 m. Además el centro de la circunferencia es interior a trapecio. A) 48 m2 _{B) 52 m}2 _{C) 16 m}2

D) 49 m2 _{E) 36 m}2

20. En un cuadrado ABCD se ubica los puntos medios "M" y "N" de AB y AD respectiva-mente tal que (R=MD ∩ CN) y por R se trazan las perpendiculares RE y RF a los lados AB y BC respectivamente. Calcular el área de la región rectangular EBFR si el lado del cuadrado es 10 m.

A) 54 m2 _{B) 42 m}2 _{C) 72 m}2

D) 48 m2 _{E) 64 m}2

SiStEmatización

21. En un paralelogramo ABCD cuya región tiene un área de 200 u2_{. Se ubican M y N}

puntos medios de AD y BC. Los segmentos BM y DN intersectan a AC en T y S. Halle el área de la región TBNS.

A) 60 B) 52 C) 55 D) 50 E) 62

22. Dado el gráfico hallar S_x, si: AP=3 y AQ=4 T es punto de tangencia. C T Q D B A Sx P A) 16 B) 12 C) 10 D) 21 E) 18

ÁreaS de regioneS cuadrangulareS y SuS relacioneS

23. En el gráfico; OT//AB y r=3 calcule área de la región sombreada (T y C son puntos de tangencia) T r C _O A A) 6 2 B) 18 2 C) 10 2 D) 12 2 E) 14 2

24. En la figura mostrada ATPB es un romboide y AT=4 m. Calcule el área de la región cuadrada MNPQ (N: punto de tangencia)

T N _P Q M B A A) 64 m2 _{B) 32 m}2 _{C) 15 m}2 D) 16 m2 _{E) 8 m}2

25. Calcular el área de la región sombreada, si: NH=2(AN); AB=r y AT= 5

A) 5 A T B H N O _r B) 10 C) 9/2 D) 3 5 E) 8

rESPuESta

1. E 2. D 3. E 4. A 5. C 6. B 7. C 8. B 9. E 10. C 11. D 12. C 13. A 14. B 15. D 16. D 17. C 18. B 19. D 20. D 21. D 22. D 23. B 24. B 25. D

GEomETrÍa

TEma 11

TarEa

Soii1G11T

EjErcitación

1. Hallar la relación de radios, de cuarto de círculo al círculo, para que las áreas de las regiones no sombreada y sombreada sean entre sí como 4 a 5.

A) 2/3 B) 4/3 C) 3/4 D) 3/8 E) 4/9

2. Hallar el área de la región sombreada si el sector circular AOB tiene radio 4 cm y OF = 2π cm. B F O 45° _E A A) 3π 2cm 2 _{B) πcm}2 C) 2π 3cm 2 _D) 3π 4cm 2 E) 5π 4cm 2

3. Hallar el área de la región sombreada si ABCD es un trapecio rectángulo; AB = 24 cm y DC = 8 cm. A B C D 37° A) 6(4 – π)cm2 _{B) 8(4 – π)cm}2 C) 9(4 – π)cm2 _{D) 12(4 – π)cm}2 E) 12(π – 2)cm2

4. En la figura: ∆ABC, equilátero; AM = MB; C, centro del EM; B, centro del MF ; área iABC = 3 3 cm2_{. Hallar el área de la}

región sombreada. M B F E A C A) 3/2π cm2 _{B) 5/4π cm}2 C) 4/5π cm2 _{D) 2π cm}2 E) N.A.

5. ABCD, cuadrado; área del sector BAP = 12 cm2_.

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y SUS RELACIONES B A C E D T P F A) 12 cm2 _{B) 16 cm}2 C) 15 cm2 _{D) 9 cm}2 E) 18 cm2

6. En la figura, C es centro de BD y AD diá-metro. Área iABC = 4 3 cm2_{. Hallar el}

área de la región sombreada.

A D B C 30° A) 7π cm2 _{B) 7π} 2cm 2 C) 7π 4cm 2 _{D) 10π} 3 cm 2 E) πcm2

7. En la figura: iABC equilátero; M, N, P, puntos medios de AC, AB y BC; CP y CM son tangentes al arco MP. Hallar el área de la región sombreada en cm2_. B N M P A C 12 cm A) 8π + 12 3 B) 6π + 18 3 C) 12π + 3 3 D) 6π + 5 3 E) N.A.

8. Calcular el área de un dodecágono regular inscrito en un círculo de 1 m de radio. A) 3 2 m2 _{B) 2 2 m}2

C) 3 m2 _{D) 2 3 m}2

E) 2 m2

Profundización

9. El área en m2 _{del círculo inscrito en un}

triángulo equilátero de área 1 m2_{, es:}

A) 3 6 B) 3 π 9 C) 2π 3 D) 3π 4 E) 3 π 2

10. Un círculo está inscrito en un sector circular de 60°. Hallar la relación de áreas entre el círculo y el sector.

A) 1/3 B) 2/3 C) 1/2 D) 3/5 E) 2/5

11. En la figura ABCD es un paralelogramo; AB = 4 m, BC = 6 m; m < A = 45°. Haciendo centro A y C se han trazado los arcos BE y FD. Hallar el área de la región sombreada. F E A C B D A) 4(3 2 – π)m2 _{B) 2(3 3 – π)m}2 C) 5(3 3 – π)m2 _{D) (8 – π)m}2 E) 3(3 2 – π)m2

ÁrEa DE rEGionEs circULarEs Y sUs rELacionEs

12. Calcular el área de la región sombreada si el arco BC tiene su centro en A, vértice del triángulo equilátero ABC.

B A C 3 A) 9 2(π – 3 ) B) 9 2(2π – 3 3 ) C) 9 4(2π – 3 3 ) D) 9 4(3π – 2 3 ) E) N.A.

13. En la figura se tiene un cuadrado de lado 2 m. Calcular el área de la región sombreada.

A) 4 2 – 2 – π B) 2 2 – π + 1 C) 3 2 – π D) 4 2 – π – 1 E) 4 2 – π

14. En una circunferencia de radio igual a 8 m, se tiene una cuerda CD de 8 m, paralela a un diámetro AB. Hallar el área del círculo tangente a AB y CD. M B 8 O 4 A D C A) 36π m2 _{B) 30π m}2 C) 48π m2 _{D) 12π m}2 E) 24π m2

15. En el gráfico: A, B y C son puntos de tan-gencia, m∠CFB = 53°, calcule la relación entre el área del círculo y la región trian-gular BEF L1 // L2 . C B E A D F L₁ L₂ A) π/2 B) π/3 C) π/4 D) π/5 E) π/6

16. Se da un círculo de centro O y 10 m de ra-dio. Se trazan 2 diámetros perpendiculares AC y BD. Haciendo centro en C y con radio CB, se traza un arco de circunferencia que pasa por D y que corta a OA en M. Hallar el área de la figura BADMB.

A) 50π m2 _{B) 100π m}2

C) 50 m2 _{D) 100 m}2

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y SUS RELACIONES

17. En un cuadrado ABCD se traza la circun-ferencia de radio r, tangente a AB y AD en P y Q. Por D se traza la tangente DT, tal que m∠TDA=37°, calcule la razón de áreas de las regiones ABCD y el círculo de radio r.

A) 9/π B) 12/π C) 15/π D) 16/π E) 10/π

18. En un cuadrado ABCD se traza una circun-ferencia tangente a CD en D y secante a BA en M (AM=MB), luego se traza la tangente BT a dicha circunferencia.

Si BT = 4 3 calcule el área del círculo. A) 16 π B) 9 π

C) 12 π D) 25 π E) 8 π

19. Calcule la razón de áreas del circulo inscrito y circunscrito en un triangulo equilátero.

A) 1 B) 4

C) 8 D) 3

E) 12

20. Se inscribe un trapecio ABCD en una circunferencia, tal que el arco CD mide 90° y CD=2 2 . calcule el área del menor segmento circular determinado por AB. A) 4π – 4 B) π – 2 C) π + 4 D) 4π – 2 E) 2π + 4

SiStEmatización

21. En el gráfico el arco AB mide 90° y BH =1. Calcule el área de la región sombreada.

37°/2 A B H A) 10 π B) 9 π C) 8 π D) 3 π E) 12 π

22. En el gráfico la suma de perímetros de las regiones sombreadas es 4(π + 1). Calcule el área del círculo.

A) π B) 2π

C) 3π D) 16π E) 4π

23. En el gráfico OP = 2 y PQ = 6. Calcule el área de la región sombreada.

P Q O A) 8π B) 9π C) 12π D) 15π E) 16π

ÁrEa DE rEGionEs circULarEs Y sUs rELacionEs

24. En el gráfico N es punto de tangencia y ON=NB=4. Calcule el área de la región sombreada. N O B A) 20π B) 10π C) 9π D) 25π E) 12π

25. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado (AB = a, M y N son puntos medios de AB y CD). M B C N D A A) a2 2(2+ 2 ) B) a 2 2(1+ 2 ) C) a2 2(2– 2 ) D) a 2 2( 2 ) E) a2 2(3–2 2 )

rESPuESta

1. B 2. A 3. C 4. B 5. A 6. D 7. E 8. C 9. B 10. B 11. A 12. E 13. A 14. D 15. A 16. D 17. D 18. D 19. B 20. B 21. A 22. E 23. E 24. C 25. E

GEomETrÍa

TEma 12

TarEa

Soiii1G12T

EjErcitación

1. Indicar verdadero o falso.

I. Una recta y un punto que no pertenece a ella determina un plano.

II. Dos rectas secantes no forman un plano.

III. Dos rectas paralelas determinan un plano.

a) VFV b) VVV c) FVF D) FFF e) VFF

2. Indica verdadero o falso.

I. Tres puntos cualesquiera determinan un plano.

II. Una recta y un punto determinan una plano.

III. Dos puntos no colineales forman un plano.

a) VVV b) VFF c) FFF D) FVV e) VFV

3. Indicar verdadero o falso.

I. La intersección de un plano y una esfera nos da un círculo siempre. II. Una recta está contenida en un plano

cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano.

III. Todo plano tienen porciones limitadas a) VFV b) FFV c) FVF D) VVV e) VVF

4. calcular el máximo número de planos que determinan 5 puntos no colineales en el espacio.

a) 4 b) 6 c) 8 D) 10 e) 15

5. ¿cuántos planos como mínimo forman 6 rectas paralelas?

a) 1 b) 10 c) 15 D) 20 e) 25

6. Se tiene un plano Q, un segmento de recta ab de 8m situado en el plano y un punto “P” que dista 12m del plano. Hallar la distancia de ab al pie de la distancia mencionada, si aP = bP = 13m.

a) 2 b) 3 c) 4 D) 5 e) 5,2

7. La recta L de intersección de 2 planos X e Y perpendiculares entre si es paralelo a una recta R del plano X y a una recta S del plano Y la distancia entre R y L es 8m y entre L y S es 15m. calcular la distancia entre R y S.

a) 10m b) 12m c) 15m D) 17m e) 19m

8. Se tiene un cuadrado abcD de lado 7m, se levanta por c la perpendicular ce. Si eb mide 25m. calcular: ce + eD.

a) 24 b) 25 c) 49 D) 50 e) 59

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Profundización

9. Se tiene dos cuadrados abcD y abeF ubicados en planos perpendiculares y cuyos centros son P y Q respectivamente. calcular la distancia PQ; si: ab = 6. a) 5 b) 3 2 c) 3 3 D) 5 2 e) 6 2

10. Se tiene un rectángulo abcD donde aD = 5, cD = 4, si del punto D se levanta una perpendicular De. calcular ec sabiendo que ae = 13.

a) 10 b) 2 10 c) 3 10 D) 4 10 e) 5 10

11. Se tienen los segmentos ab y cD alabeados y perpendiculares tal que ab=12 y cD=16. calcular la medida del segmento que une los puntos medios de ac y bD

a) 5 5 b) 12 c) 15 D) 10 e) 13

12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo bVc, mide bc = 13. Por “V” se traza Va, perpendicular al plano bVc, de modo que ab=9 y ac=10. Si “M” es punto medio de ac , calcular m∠VMb.

a) 30º b) 45º c) 60º D) 75º e) 53º

13. De las siguientes afirmaciones cuántas son incorrectas:

( ) Dos rectas en el espacio determinan un plano siempre.

( ) Dos planos al intersecarse pueden determinar un solo punto.

( ) La intersección de tres planos es ne-cesariamente una recta.

( ) La proyección de un triángulo sobre un plano es siempre un triángulo. ( ) Las rectas alabeadas pertenecen a un

mismo plano.

a) 2 b) 3 c) 4 D) 5 e) 1

14. en un triángulo abc, bc=6 y ac2_+ab2_=68. Por “a” pasa un plano tal que la perpen-dicular trazada del punto medio de bc al plano mide 3. calcular la distancia del vértice “a” al pie de la perpendicular. a) 3 b) 4 c) 5 D) 6 e) 3 3

15. Por el vértice a de un triángulo abc, se levanta la perpendicular aM al plano del triángulo. Se trazan aP ⊥ Mb y aQ ⊥ Mc. Si MQ = 5; Pb = 6; MP = 4 y m<bMc=30º, calcular SbMc.

a) 15 b) 20 c) 30 D) 40 e) 18

16. Se tiene un triángulo abc. Desde un punto interior P se levanta una perpendicular PT al plano del triángulo. Si Ta = Tb = Tc, ¿qué punto notable es P?

a) Incentro b) baricentro c) circuncentro D) Ortocentro e) cevacentro

17. Por el centro “O” de un cuadrado abcD se levanta la perpendicular OS a su plano. calcular la distancia desde “a” al plano ScD; OS = 4 y ab = 6.

rEcTas Y PLanos En EL EsPacio

a) 17

5 b) 342 c) 4,8 D) 2,4 e) 3

18. el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero abc mide 3 . Por b se levanta be perpendicular al plano del triángulo. Si be = 1, calcular el área de la región triangular aec.

a) 31

4 b) 312 c) 3₄ 31 D) 4

3 31 e) 4 31

19. Se tiene dos rectas alabeadas ab y cD, MN es la mínima distancia entre ambas (“M” en ab y “N” en cD). Sobre ab se toma un punto “P” y sobre cD un punto “Q”. ¿Qué ángulo forman las dos rectas si m∠MPN = 45º, y además m∠NPQ=45 y m∠MPQ=60º? a) 30º b) 37º c) 45º D) 60º e) 90º

SiStEmatización

20. Por el extremo “a” del diámetro ab de una circunferencia se levanta una perpendi-cular al plano del círculo, sobre esta per-pendicular se toma un punto “M” y se une “b” con un punto “c” de la circunferencia. calcular Mc, si Mb = 26 y bc = 14.

a) 2 30 b) 2 15 c) 5 6 D) 3 15 e) 4 30

21. Los puntos a y b se encuentran a 8 y 4 cm encima de un plano horizontal, además la proyección de ab sobre el plano mide 9 cm. calcular la longitud del menor camino de “a” a “b” pasando por un punto del plano. a) 15 cm b) 9 cm

c) 30 cm D) 25 cm e) Faltan datos

22. Dado un triángulo abc, equilátero, se traza ae, perpendicular al plano del triángulo. Si ae = bc, calcular la medida del ángulo con que se cruzan eb y ac a) 30 b) 45 c) arccos J_K L

–

1 2 2 N O P D) 90 e) arccos JK L– 1 2 N O P

23. Se tiene un plano P y un punto exterior “S”, desde el cual se trazan las oblicuas Sb, Sa y Sc que forman con “P” ángulos que miden 30º; 45º y 53º respectivamente. Si a, b y c se encuentran en el plano, y Sb=8, calcular Sa+Sc. a) 9 b) 5 2 + 4 c) 8 D) 4 2 + 5 e) 3 2 + 4

24. Dado un cuadrado abcD, por “M” punto medio de ab se levanta MP perpendicular al plano del cuadrado tal que ab=PM=3. Se une “P” con “D” de modo que PD

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

interseca en “e” al plano que pasa por ac y es perpendicular al plano del cuadrado. calcular el área de la región triangular ceD a) 3 6 b) 5 2

c) 2 2 D) 3 e) 3 2

25. En el gráfico ABCD y la semicircunferencia de diámetro ab se encuentran en planos perpendiculares.

Si bL = Lc = 5 y maS = m Sb , calcule el área de la región triangular SLD.

L D c S b a a) 5 14₂ b) 3 14₂ c) 14₂ D) 14 e) 5

rESPuESta

1. a 2. c 3. c 4. a 5. a 6. b 7. D 8. c 9. b 10. D 11. D 12. c 13. D 14. b 15. b 16. c 17. c 18. c 19. e 20. e 21. a 22. c 23. D 24. e 25. a

GEomETrÍa

TEma 13

TarEa

Soii1G13T

EjErcitación

1. La suma de los ángulos internos de todas las caras de un poliedro convexo de "V" vértices; "C" caras y "A" aristas es igual a: A) 360° (A – C) B) 360° (V – C) C) 360° (A – V) D) 360° (A – 2) E) 360° (C – A)

2. El área, de la sección diagonal, de un cubo es igual a 16 2 u2_{. Calcular la diagonal}

del cubo.

A) 8 B) 4 2

C) 6 D) 4 3

E) 3 6

3. En todo poliedro convexo, el número de aristas es igual a:

A) Número de caras + número de vértices + 2. B) Número de caras + número de vértices – 2. C) Número de caras – número de vértices – 2. D) Número de vértices – número de caras + 2. E) Número de vértices + número de caras – 2. 4. Si partiendo de un cierto vértice de un

cubo se trazan las diagonales de dos caras vecinas, ¿cuánto medirá el ángulo que así se forma?

A) 90° B) 60° C) 120° D) 80° E) 75°

5. ¿Cuántos poliedros cuyas caras son trián-gulos equiláteros existen?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

6. En todo poliedro convexo el número de caras es igual a:

A) Número de aristas – número de vértices – 2 B) Número de aristas + número de vértices + 2 C) Número de aristas – número de vértices + 2 D) Número de vértices – número de aristas + 2 E) Número de vértices + número de aristas – 2 7. Si la arista de un icosaedro regular mide

3 4

, calcular el área de su superficie. A) 15 m2 _{B) 9 m}2 C) 13 m2 _{D) 6 m}2 E) 6 3 m2

8. Sobre la arista EF del hexaedro regular ABCD – EFGH, se ubica el punto medio M, de tal manera que la distancia entre las rectas alabeadas EG y CM es igual a 2 unidades. Calcular el volumen de dicho hexaedro.

A) 180 u3 _{B) 216 u}3 C) 196 u3 _{D) 204 u}3 E) 224 u3

Profundización

9. "P" es el baricentro de la región triangular CED, ubicada en el octaedro regular E– ABCD–F. Calcular la medida del ángulo determinado por las rectas CD y AP.

POLIEDROS REGULARES

A) 30° B) 45° C) 53° D) 60° E) 90°

10. La diagonal de un octaedro regular mide 6 unidades. Calcular el volumen de dicho octaedro.

A) 6 u3 _{B) 6 u}3 _{C) 6 2 u}3 D) 9 u3 _{E) 3 3 u}3

11. Se ubican los puntos medios L, M y N de las aristas EF, BF y FG de un hexaedro regular ABCD – EFGH, respectivamente. Calcular la distancia entre las rectas LM y BN. Si BH = 36.

A) 6 B) 2 3 C) 4 D) 3 2 E) 3

12. Se tiene un octaedro regular E–ABCD–F cuya arista mide 6 unidades. Calcular la mínima distancia entre las rectas BC y EM, siendo M punto medio de la arista AD. A) 2 6 B) 6 C) 3 3 D) 3 E) 2 3

13. El área total de un tetraedro regular es igual a 8 3 u2_{. Calcular la mínima distancia}

en-tre dos aristas opuestas de dicho tetraedro. A) 3 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3

2

14. El volumen de un octaedro regular es igual a 6 u3_{. Calcular la distancia del centro del}

octaedro a una de sus caras.

A) 2 B) 3 3 C) 1 D) 2 2 E) 6 6

15. La distancia del centro de un tetraedro regular a una de sus caras es igual a 2 uni-dades. Calcular el volumen del tetraedro. A) 36 6 u3 _{B) 48 3 u}3 C) 72 2 u3 _{D) 64 3 u}3 E) 80 2 u3

16. El volumen de un tetraedro regular es igual a 9

4 2 . Calcular la longitud de la altura de dicho tetraedro.

A) 3 2 B) 3 C) 2 3 D) 6 E) 2

17. Un poliedro convexo está limitado por 4 regiones triangulares, 2 regiones cua-drangulares y "x" regiones pentagonales. Calcular "x", si la suma del número de aristas con el número de diagonales de dicho poliedro es igual a 44.

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

18. Un tetraedro regular de 400 m2 _{de superficie}

total, se secciona mediante un plano paralelo a una cara, de modo que se obtiene un te-traedro cuyas aristas son la mitad de los del tetraedro original y un tronco de pirámide de cuya superficie total será:

A) 200 B) 300 C) 350 D) 325 E) 250

19. Hallar en qué relación se encuentran las áreas de un hexaedro y un icosaedro re-gulares, sabiendo que la arista del primero es la triple de la del segundo.

A) 9 B) 18 C) 3 D) 9 3 E) 9

PoLiEDros rEGULarEs

20. Las aristas de un cubo miden 15 cm cada una. Si una mosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y parte de uno de los vértices, el máximo recorrido que puede hacer para volver a su punto de partida, sin pasar dos veces por la misma arista es: A) 1,80 m B) 0,60 m C) 0,75 m D) 0,90 m E) 1,20 m

SiStEmatización

21. Calcular el área total de un hexaedro re-gular, sabiendo que la distancia de uno de los vértices al centro de una cara opuesta es de 2 m.

A) 40 m2 _{B) 45 m}2 _{C) 25 m}2 D) 16 m2 _{E) 20 m}2

22. Se tiene un tetraedro regular de arista "a". Hallar el volumen del tetraedro regular que se forma al unir los baricentros de las caras. A) a3 2 27 B) a3 ₂ 81 C) a3 ₂ 162 D) a3 2 216 E) a3 ₂ 324

23. En un triedro trirectángulo O – ABC se sabe que: OA = 1 cm; OB = 2 cm y OC = 3 cm. Hallar la distancia de "O" a la sección plana ABC.

A) 5/7 B) 6/7 C) 1 D) 4/7 E) 5/8

24. Se tiene un cubo de arista "a", hallar el área del triángulo PQR, si P es centro, Q y R son puntos medios.

R Q P A) a2 3 4 B) a2 ₃ 8 C) a2 3 2 D) a2 ₃ 6 E) a2 3 3

25. En un tetraedro regular ABCD, M y N son puntos medios de AD y BC, respectiva-mente. Si la distancia entre MN y AC es 3 2 u, calcular el área de la superficie del poliedro conjugado del tetraedro inscrito en él. A) 4 3 u2 _{B) 2 3 u}2 C) 16 3 u2 _{D) 6 3 u}2 E) 5 3 u2

rESPuESta

1. A 2. D 3. B 4. B 5. B 6. C 7. A 8. B 9. D 10. B 11. D 12. A 13. D 14. D 15. D 16. D 17. E 18. C 19. D 20. E 21. D 22. E 23. B 24. B 25. C