Resolución de triángulos de cualquier tipo

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Resolución de triángulos de cualquier tipo

Ejercicio nº 1.-

Halla los lados y los ángulos de este triángulo:

Ejercicio nº 2.-

Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

Ejercicio nº 3.-

Halla los lados y los ángulos del triángulo:

Ejercicio nº4.-

Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:

Ejercicio nº 5.-

Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos:

Ejercicio nº 6.-

En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 80 . ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?

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Ejercicio nº 7.-

Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140 . ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo?

Ejercicio nº 8.-

Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70 .

Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos?

Ejercicio nº 9.-

Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110 . Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?

Ejercicio nº 10.-

Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50 , y el ángulo en A es de 75 . ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ?

Soluciones

Resolución de triángulos de cualquier tipo

Ejercicio nº 1.-

Halla los lados y los ángulos de este triángulo:

Solución: única. solución existe , 180 135 35 100 ˆ ˆ Como A C : ángulo el Hallamos 45 135 180 180

Con el teorema de los senos hallamos los lados a y c:

m 57 5 45 100 4 45 4 100 sen , sen a sen sen a sen b sen a

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45 35 45 sen sen sen sen sen Por tanto: 35 ˆ m; 24 , 3 45 ˆ m; 4 100 ˆ m; 57 , 5 C c B b A a Ejercicio nº 2.-

Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

Solución:

Hallamos el lado a con el teorema del coseno:

cos bc c b a2 2 2 2 110 8 5 2 8 52 2 2 cos a 36 27 64 25 2 , a 36 116 2 , a cm 79 10, a

Al conocer los tres lados, la solución es única.

: senos los de teorema el aplicando ángulo el Calculamos Bˆ, 79 10 110 5 5 110 79 10 , sen sen sen sen , sen b sen a 435 0, sen 25 48'49" Cˆ 180 44 11'11" Por tanto: " 11 ' 11 44 ˆ cm; 8 " 49 ' 48 25 ˆ cm; 5 110 ˆ cm; 79 , 10 C c B b A a

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Ejercicio nº 3.-

Halla los lados y los ángulos del triángulo:

Solución:

Hallamos el lado b con el teorema del coseno:

89 294 144 225 35 12 15 2 12 15 B 2 2 2 2 2 2 2 2 , b cos b ˆ cos ac c a b cm 61 8 11 74 2 , b , b

Como conocemos los tres lados, la solución es única. : ángulo el Hallamos 61 8 35 12 35 61 8 12 , sen sen sen , sen sen b sen c " 26 ' 4 53 799 0, sen : ángulo el hallamos último, Por " 34 ' 55 91 180 Por tanto: " 26 ' 4 53 ˆ cm; 12 35 ˆ cm; 61 , 8 " 34 ' 55 91 ˆ cm; 15 C c B b A a Ejercicio nº4.-

Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:

Solución: : senos los de teorema el con ángulo el Hallamos

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sen sen sen b sen a 6 105 10 " 9 ' 25 35 58 0 10 105 6 , sen sen solución). una hay solo agudos; ser de han y obtuso, es (Como : de ángulo el Hallamos " 51 ' 34 39 180 Calculamos el lado c: m 6 6 105 10 " 51 ' 34 39 sen c , sen c sen a sen c Por tanto: " 51 ' 34 39 ˆ m; 6 , 6 " 9 ' 25 35 ˆ m; 6 105 ˆ m; 10 C c B b A a Ejercicio nº 5.-

Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos:

Solución:

Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de los otros dos , existe solución única. : coseno del teorema el con y ángulos los Hallamos cos cos bc c b a 42 49 9 81 2 2 2 2 23 42 81 49 9 42 cos cos " 14 ' 12 123 548 0, cos cos cos ac c a b2 2 2 2 9 81 49 126 121 126 9 49 81 126cosBˆ cosBˆ " 42 ' 11 16 960 0, cos

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" 4 ' 36 40 180 Por tanto: " 4 ' 36 40 ˆ m; 7 " 42 ' 11 16 ˆ m; 3 " 14 ' 12 123 ˆ m; 9 C c B b A a Ejercicio nº 6.-

En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 80 . ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?

Solución : ángulo el Hallamos 35 180

Hallamos los valores de a y c aplicando el teorema de los senos: km 79 35 65 50 35 50 65 sen sen a sen sen a km 85 85 35 80 50 35 50 80 sen , sen c sen sen c

Por tanto, el barco está a 79 km de la estación C y a 85,85 km de la estación A.

Ejercicio nº 7.-

Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140 . ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo?

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: será ángulo El 15 140 25 180

Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y: m 35 248 15 140 100 15 100 140 sen , sen x sen sen x m 29 163 15 25 100 15 100 25 sen , sen y sen sen y Por tanto:

Sara está a 248,35 m del castillo y Manolo, a 163,29 m. Ejercicio nº 8.-

Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70 .

Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos? Solución:

Hallamos el lado c aplicando el teorema del coseno:

cos ab b a c2 2 2 2 70 600 225 400 15 20 2 15 20 2 2 2 2 cos c cos c m 49 20 79 419 21 205 225 400 2 2 , c , c , c

Los metros de valla necesarios serían: m 49 , 55 49 , 20 15 20 c b a

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Ejercicio nº 9.-

Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110 . Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?

Solución:

Hallamos la distancia, x, aplicando el teorema del coseno:

38 209 1 704 2 156 1 110 52 34 2 52 34 2 2 2 2 , x cos x km 20 71 38 5069 2 , x , x

Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 71,20 km. Ejercicio nº 10.-

Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50 , y el ángulo en A es de 75 . ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ?

Solución: : ángulo el Hallamos 55 180

Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos: m 92 117 55 75 100 55 100 75 sen , sen a sen sen a m 52 93 55 50 100 55 100 50 sen , sen b sen sen b

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Referencias

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