02 Sistemas Electricos de Potencia

TECNICO EN PROTECCIONES

ELECTRICAS

2. SISTEMAS ELECTRICOS DE

POTENCIA

Celaya, Gto. Febrero 2005

CONTENIDO

1.0 INTRODUCCION A LOS SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

1.1 Definiciones 1

1.2 Fasores 3

1.2.1 Representación fasorial 3

1.2.2 Diagramas fasoriales para cantidades senoidales 5

1.2.3 Combinación de fasores 5

1.2.4 Los diagramas fasoriales requieren un diagrama del circuito 6

1.2.5 Nomenclatura para la corriente y el voltaje 6

1.2.6 El diagrama fasorial 8

1.3 Circuito y diagramas fasoriales para un sistema de potencia trifásico balanceado 8

1.4 El fasor y la rotación de fase 10

2.0 LAS UNIDADES FUNDAMENTALES: POR UNIDAD Y POR CIENTO

2.1 Introducción 10

2.2 Definiciones de por unidad y por ciento 11

2.3 Ventajas de por unidad y por ciento 11

2.4 Relaciones generales entre cantidades del circuito 12

2.5 Cantidades base 13

2.6 Relaciones de impedancia por unidad y por ciento 14

2.7 Por unidad y por ciento de impedancias en unidades del transformador 16

Ejemplo 1 de un banco de transformadores 17

2.8 Cambio de cantidades en por unidad (por ciento) a bases diferentes 18

Ejemplo 2, conversión de base 19

Ejemplo 3, conversión de base 19

3.0 COMPONENTES SIMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES

3.1 Introducción 20

3.2 Síntesis de fasores asimétricos desde sus componentes simétricas 21 3.2.1 Los vectores originales expresados en función de sus componentes 23

3.3 Operadores 23

3.4 Las componentes simétricas de los fasores asimétricos 25 3.5 Potencia en sistemas trifásicos desbalanceados en términos de componentes

simétricas

27

Ejemplo 4, de potencia en sistemas trifásicos 28

4.0 IMPEDANCIA Y REDES DE SECUENCIA

4.1 Análisis de circuitos mediante componentes simétricas 30

4.2 Sistemas simétricos con f.e.m. desbalanceadas 30

4.2.1 Fuente balanceada de secuencia positiva 31

4.2.2 Fuente balanceada de secuencia negativa 32

4.2.3 Fuente balanceada de secuencia cero 32

4.3 Impedancias simétricas de secuencia 33

4.3.1 Impedancia positiva y negativa en elementos simétricos estáticos 34

4.4 Redes de secuencia 35

4.4.1 Red de secuencia positiva 36

4.4.2 Red de secuencia negativa 36

4.4.3 Red de secuencia cero 37

4.5 Redes de secuencia para transformadores trifásicos delta – estrella 38

Ejemplo 5, redes de secuencia 38

4.5.1 Transformador Y – Y ambos neutro aterrizados 39

4.5.2 Transformador Y – Y con un neutro aterrizado 39

4.5.3 Transformador Δ – Δ 40

4.5.4 Transformador Y – Δ estrella aterrizada 41

4.5.5 Transformador Y – Δ estrella no aterrizada 41

4.6 Conversión de circuitos Y – Δ y Δ - Y 43

Ejemplo 6, conversión de circuitos 43

5.0 CÁLCULO DE CORTOCIRCUITO 44

5.1 Reducción de redes 45

5.2 Cálculo de cortocircuito trifásico 47

Ejemplo 7, cálculo de corto circuito trifásico 48

5.3 Cálculo de cortocircuito monofásico 51

Ejemplo 8, cálculo de cortocircuito monofásico 52

6.0 ANÁLISIS DE OSCILOGRAMAS 56

6.1 Antecedentes de los registradores de disturbios 56

6.2 Norma de CFE para Registradores Digitales de Disturbio para sistemas eléctricos

57 6.3 Ejemplo de interpretación de un oscilograma de falla 62 6.4 Aplicación de los registros de falla para la evaluación de esquemas de protección 63

7.0 INTRODUCCIÓN A LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

72

7.1 Conceptos básicos y definiciones 72

7.2 Clasificación de estabilidad 74

7.3 Relación entre ángulo y potencia 78

7.4 Estabilidad bajo el criterio de áreas iguales 81

7.5 El fenómeno de estabilidad 96

CAPITULO

2

SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

1.0 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 1.1 Definiciones

El nombre "Sistemas de Energía Eléctrica" (SEE), es también ampliamente conocido como "Sistemas Eléctricos de Potencia" (SEP).

Quizá la razón de usar indistintamente SEE o SEP se deba a que los términos energía y potencia son también usados indistintamente en la jerga de la ingeniería eléctrica avocada al estudio de estos sistemas, aunque estrictamente hablando se sabe que la relación de un término a otro está dada precisamente en la definición de potencia, que es: "energía por unidad de tiempo".

Se puede establecer de manera sencilla que "un SEE o SEP es un sistema que consta de dispositivos que generan, transmiten, distribuyen y consumen potencia eléctrica".

Cuando se habla de dispositivos que "Generan" se está hablando del proceso de obtención de potencia eléctrica a través de algún medio de conversión de otra forma de potencia.

Asimismo hablar de "Consumo" se refiere al proceso de convertir potencia eléctrica en alguna otra forma de potencia para su utilización.

Es claro que la potencia eléctrica no es la única forma que existe de potencia, y de hecho las formas más comunes de ella en los centros de consumo no son del tipo eléctrico. Por ejemplo, en los procesos industriales la potencia utilizada es del tipo mecánico y químico principalmente, el uso doméstico de la potencia es en forma de luz y mecánica, los medios de transporte utilizan principalmente potencia calorífica, etcétera.

Sin embargo, todas estas formas de potencia utilizadas son en su mayoría obtenidas de un proceso de conversión de potencia eléctrica. Esto hace que la potencia eléctrica sea la más importante en nuestra sociedad.

La importancia de la potencia eléctrica se debe a que en la actualidad es la única forma conocida de generar, transmitir a grandes distancias y distribuir a cualquier parte que se desee, las grandes cantidades de potencia requeridas en los centros de consumo industriales, de transportación, domésticos, etc.

Aunque existen gran variedad de dispositivos capaces de generar potencia eléctrica, el único capaz de hacerlo en las cantidades requeridas por lo centros de consumo es el generador síncrono, un dispositivo de gran importancia en el estudio, planeación y operación de los SEE, de tal forma que al referirse a centros de generación inmediatamente se piensa en los generadores síncronos. Dadas las características de los SEE modernos, los medios de transporte de la potencia eléctrica, son las "Líneas de Transmisión", que operan a niveles de voltaje en el orden de los cientos de kilovolts.

Existen desde luego medios para lograr los niveles de voltaje requeridos para transportar convenientemente la potencia eléctrica a grandes distancias. Estos medios utilizan los dispositivos denominados "Transformadores", los cuales forman parte del sistema de transporte de la potencia eléctrica.

Por último, todos aquellos dispositivos consumidores de la potencia eléctrica (motores, alumbrado, etc.) se conocen en la jerga de los SEE como "Cargas".

En forma resumida se puede establecer que los principales componentes de un SEE son: a) Generador Síncrono

b) Transformadores c) Líneas de Transmisión d) Cargas

Esquemáticamente la relación entre estos componentes de un SEE se puede representar como lo muestra la Figura 2.1.

Existen desde luego una gran cantidad de dispositivos complementarios que hacen posible que los SEE operen en condiciones satisfactorias, como son por ejemplo, compensadores, interruptores, protecciones, etc.

Sin embargo, todos ellos son dispositivos que se agregan a los componentes principales para mejorar su funcionamiento en lo individual y el del SEE en lo general.

Un aspecto importante que debe quedar claro, es que el sistema que se está describiendo y para el cual se desean establecer definiciones fundamentales, es un "Sistema Eléctrico".

Enfoque de circuitos de un SEE

Desde el punto de vista eléctrico, el principio de operación de un SEE se puede establecer en

Carga

Líneas de Transmisión

y Transformadores

Generador

términos de la teoría de circuitos eléctricos, donde cada componente fundamental de un SEE se puede representar como un elemento de un circuito eléctrico.

El análisis del comportamiento eléctrico de un SEE se basa en la teoría de circuitos en donde los componentes se clasifican en elementos pasivos y elementos activos.

Los elementos pasivos son aquellos que consumen energía eléctrica (líneas de transmisión, transformadores, cargas) y los elementos activos aquellos que proporcionan energía eléctrica (generador síncrono ).

El proceso de obtención de elementos de circuitos a partir de elementos reales, dependen del tipo de estudio que se desee realizar del sistema real. Cualquier tipo de estudio de los que hasta ahora se conocen y realizan de los SEE, se basa en la teoría de circuitos que tiene sus fundamentos en las tres Leyes fundamentales de la electricidad que son: Ley de Ohm, Ley de Corrientes de Kirchhoff y Ley de Voltajes de Kirchhoff.

Sin pretender demostrar esta aseveración se dirá que la teoría de circuitos es una simplificación de la teoría de campos que tiene sus fundamentos en las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, para la gran mayoría de los problemas eléctricos que un Ingeniero Electricista debe afrontar y resolver, es suficiente la aplicación de la teoría de circuitos.

1.2 Fasores

Los fasores son una herramienta importante y útil en la protección del sistema de potencia. Ellos ayudan en la comprensión y análisis de las conexiones, funcionamiento, prueba de relevadores, etc. También, este concepto es esencial en la comprención del desempeño de un sistema de potencia durante su funcionamiento normal y anormal. Así un legitimo conocimiento teórico y práctico de los fasores es un recurso fundamental y valioso.

El Diccionario de la IEEE (IEEE 100-1984) define un fasor como "un número complejo. A menos que otra cosa sea especificada, sólo se usa dentro del contexto de estado estable de los sistemas alternos lineales". Continúa: "el valor absoluto (el módulo) del número complejo corresponde a la amplitud pico o raíz cuadratica media (r.m.s.) del valor de la magnitud, y la fase (el argumento) a el ángulo de fase en el tiempo cero. Por extensión, el término ´´fasor´´ también puede aplicarse a la impedancia, y cantidades complejas relacionadas que no son dependientes del tiempo".

En este documento, se usarán los fasores para registrar a diferentes voltajes, corrientes, flujos, impedancias y potencia de a.c. Por muchos años los fasores eran llamados "vectores", pero este uso se descarta para evitar la confusión con los vectores espaciales. Sin embargo, el uso anterior inadvertidamente pudiera continuar, así ocasionalmente un error a "vectores" puede ocurrir.

1.2.1 Representación fasorial

La forma gráfica común de representar las cantidades fasoriales eléctricas y magnéticas es usando las coordenadas cartesianas con x (la abscisa) como el eje de cantidades reales y y (la ordenada) como el eje de cantidades imaginarias. Esto se ilustra en Figura 2.2. Así un punto c sobre el plano complejo x-y puede representarse como el mostrado en ésta Figura, y matemáticamente definido por las diferentes expresiones alternativas dadas en las Ecuaciones (2.1).

Ecuaciones 2.1 Ecuaciones 2.2 Ecuación 2.4 Ecuación 2.3 Ecuación 2.5 Forma

fasorial Forma Rectangular Forma compleja Forma exponencial Forma polar

c = x + jy = | c | (cos φ + j sen φ) = | c |ejφ = | c |∠+φ

A veces es útil la forma conjugada:

c* = x – jy = | c | (cos φ - j sen φ) = | c |e-jφ = | c |∠-φ

Donde

c = El fasor c * = su conjugado

x = valor real (alternativamente: Re) y = valor imaginario (alternativamente: Im)

| c | = módulo (magnitud o valor absoluto)

φ = ángulo de fase (argumento o amplitud) (alternativamente: arg c) El módulo (magnitud o valor absoluto) del fasor es

2 2 y x c = + De las Ecuaciones (2.1) y (2.3), x = ½ ( c + c *) y = ½j ( c - c *)

Figura 2.2 Ejes de referencia para cantidades fasoriales: a) coordenadas cartesianas x-y, b) Ejes fasor de impedancia y c) Ejes fasor de potencia

c) b) a) + Q - P - Q 0 + P 0 - X + R - R + X y (ordenada) 0 x (abscisa) φ x y c c

1.2.2 Diagramas fasoriales para cantidades senoidales

Aplicando la notación anterior a voltajes, corrientes y flujos senoidales (a.c.), los ejes son supuestos fijos, con cantidades fasoriales girando a la velocidad angular constante. La norma internacional establece que los fasores siempre giran en la dirección contraria a las manecillas

del reloj. Sin embargo, por conveniencia, en los diagramas el fasor se muestra siempre "fijo" para

una condición dada. La magnitud del fasor (c) puede ser el valor pico máximo o el valor r.m.s. de la cantidad senoidal correspondiente. En la práctica normal representa el valor r.m.s. del medio ciclo positivo de la senoide a menos que otra cosa específicamente se declare.

Así un diagrama fasorial muestra los respectivos voltajes, corrientes, flujos, y así sucesivamente, que existen en un circuito eléctrico. Debe mostrar sólo la magnitud y ángulo de fase relativo entre estas cantidades. Así todos los diagramas fasoriales requieren una escala o las indicaciones completas de las magnitudes físicas de las cantidades mostradas. La referencia del ángulo de fase normalmente está entre las cantidades mostradas, para que el cero (o ángulo de referencia) pueda variar a conveniencia. Como ejemplo, en cálculos de falla que usan la reactancia (X) solamente, es conveniente usar el voltaje (V) de referencia en +90°. Entonces I = jV/jX y los valores de j se cancelan, asi la corriente de falla no involucra el factor j. Por otro lado, en los cálculos de carga es preferible usar el voltaje (V) en 0° o a lo largo del eje de x para que el ángulo de la corriente (I) represente su valor actual de retraso o adelanto.

Otros ejes de referencia ques son comunmente usados son mostrados en las Figuras 2.2b y c. Para trazar impedancia, resistencia, y reactancia, el eje R-X de la Figura 2.2b se usa. La reactancia inductiva es +X y la reactancia capacitiva es -X.

Para trazar fasores de potencia, Figura 2.2c se usa P es la potencia real (W, kW, MW) y Q es la potencia reactiva (var, kvar, Mvar). Aun cuando se representan como fasores, los "fasores" de impedancia y potencia no giran a la frecuencia del sistema.

1.2.3 Combinación de fasores

Las diferentes leyes para combinar los fasores se presentán para referencia general: La multiplicación

Las magnitudes se multiplican y los ángulos se suman:

I V I V VI = ∠φ +φ I V I V VI* = ∠φ −φ 2 * I II = La división

I V I V I V _{φ φ} − ∠ = Las potencias

( )

1.2.4 Los diagramas fasoriales requieren un diagrama del circuito

El diagrama fasorial definido anteriormente tiene un significado indeterminado o vago a menos que se acompañe por un diagrama del circuito. El diagrama del circuito identifica el circuito específico involucrado con la localización, la dirección supuesta para las corrientes, la localización y polaridad supuesta para los voltajes a ser registrados en el diagrama fasorial. Las direcciones supuestas y polaridades no son críticas, porque el diagrama fasorial confirmará si las suposiciones son correctas, y proporcionará las magnitudes y relaciones de fase correctas. Estos dos diagramas complementarios (el del circuito y el fasorial) son preferentemente mantenidos separados para evitar confusión y errores en la interpretación. Esto se discute más adelante en la Sección 1.3.

1.2.5 Nomenclatura para la corriente y el voltaje

Desafortunadamente, no hay ninguna nomenclatura estándar para la corriente y el voltaje, de modo que una confusión puede existir entre los diferentes autores y publicaciones. La nomenclatura usada a lo largo de este documento ha demostrado ser flexible y práctica de uso y es compatible con las polaridades del equipo en el sistema de potencia.

Corriente y Flujo

En los diagramas del circuito, la corriente o el flujo es representado por 1) La designación de una letra, como I o θ, con un indicador de flecha para la dirección supuesta del flujo; ó 2) La designación de una letra con los subíndices dobles, el orden de los subíndices indicando la dirección supuesta. La dirección que se asume corresponde al flujo durante el medio ciclo positivo de la onda seno. Esta convención se ilustra en la Figura 2.3a. Así se asume que la corriente en el medio ciclo positivo del circuito está fluyendo de izquierda a derecha, como es indicado por la dirección de la flecha usada con IS, o denotado por los subíndices, como con Iab, Ibc, e Icd. El subíndice sencillo como IS, es una conveniencia para designar las corrientes en varias partes de un circuito y no tiene ninguna indicación direccional, así que una flecha para la dirección debe asociarse con éstos. No se requieren las flechas con Iab, Ibc o Icd pero se usan a menudo para agregar claridad y conveniencia.

Es muy importante apreciar que en esas designaciones del circuito, las flechas no indican fasores. Ellos sólo son supuestos indicadores direccionales y de localización.

Voltaje

Los voltajes pueden ser caídas o elevaciones. Mucha confusión puede resultar por no indicar claramente cual es intensional o mezcla de las dos prácticas en los diagramas de circuito. Esto puede evitarse estandarizando sobre una, y sólo una práctica. Como las caídas de voltaje son más comunes a lo largo del sistema de potencia, todos los voltajes mostrados siempre seran considerados caídas desde un voltaje más alto a un voltaje más bajo. Esta convención es independiente de si la letra V o E se usa para el voltaje.

La consistente adopción de sólo caídas en todo no debe causar ninguna dificultad. Un generador o fuente de voltaje se vuelve una menor caída cuando la corriente fluye desde un voltaje más bajo a un voltaje más alto. Esta práctica no choca con la polaridad del equipo, tal como los transformadores, y esto es consistente con los cálculos de falla que usan componentes simétricas. Los voltajes (siempre caídas) se indican por 1) Una designación de letra con los subíndices dobles, ó 2) Un pequeño signo indicador (+) mostrado en el punto asumió para estar a un potencial relativamente alto. Así durante el medio ciclo positivo de la onda seno, la caída de voltaje se indica por el orden de los dos subíndices cuando son usados, o del indicador "+" en la terminal opuesta de la diferencia potencial. Esto se ilustra en Figura 2.3a, donde ambos métodos se muestran. Es preferible mostrar las flechas en ambas terminales de las designaciones de la caída de voltaje, para evitar posible confusión. Nuevamente, es muy importante reconocer que

Figura 2.3 Diagrama fasorial para los elementos básicos de un circuito:

a) Diagrama de un circuito que muestra la localizacion y direcciones supuestas de corriente y caidas de voltaje;

estas dos designaciones, sobre todo donde se usan las flechas, en los diagramas de circuito sólo son indicadores de localización y dirección, no fasores.

Puede ser útil considerar la corriente como una cantidad "a través de" y el voltaje como una cantidad "a". En este sentido, en la Figura representativa 2.3a, la misma corriente fluye a través

de todos los elementos en la serie, para que Iab = Ibc = Icd = IS. Por el contrario, el voltaje Vab aplicado sólo a los nodos a y b, el voltaje Vbc a los nodos b y c, y Vcd a los nodos c y d.

1.2.6 El diagrama fasorial

Con la apropiada identificación y establecidas las direcciones supuestas en el diagrama del circuito, el diagrama fasorial correspondiente puede dibujarse desde lo calculado o por los datos de prueba. Para el diagrama del circuito de la Figura 2.3a, dos tipos de diagramas fasoriales se muestran en la Figura 2.3b. El diagrama superior es llamado un diagrama "tipo-abierto", donde todos los fasores se producen desde un origen común. El diagrama inferior es llamado un diagrama "tipo-cerrado", donde los fasores de voltaje se suman a la vez de izquierda a derecha para el mismo circuito serie. Ambos tipos son útiles, pero el tipo abierto se prefiere para evitar la confusión que puede ocurrir con el tipo cerrado. Esto se comentará en la Sección 1.3.

1.3 Circuito y diagramas fasoriales para un sistema de potencia trifásico balanceado

Una sección típica de un sistema de potencia trifásico se muestra en la Figura 2.4a. Opcionales impedancias conectandas a tierra (ZGn) y (ZHn) son omitidas con el sólido aterrizamiento. (Rsg) y (Rssg) representan la resistencia a tierra-física en la subestación. Tierra, g o G representa el potencial de la verdadera tierra, el plano de tierra remoto, y así sucesivamente. El sistema de neutros n', n o N, y n" no son necesariamente lo mismo a menos que un cuarto cable sea usado, como en un sistema de tres-fases cuatro hilos. Mayúsculas o minúsculas N y n se usan intercambiablemente como convenga para la designación del neutro.

Se asume que las diferentes corrientes de línea fluyen a través de esta sección serie como se muestra, y los voltajes se indican para un punto específico en la sección de la línea. Éstos siguen la nomenclatura discutida previamente. Para simplificar la discusión a estas alturas, un funcionamiento balanceado del sistema trifásico de potencia es asumido. Por consiguiente, ninguna corriente puede fluir en los neutros de los dos bancos de transformadores, para que con esta simplificación no haya ninguna diferencia de voltaje entre n', n ó N, n" y el plano de tierra g ó G. Como un resultado, Van = Vag, Vbn = Vbg y Vcn = Vcg. Nuevamente, esto sólo es verdad para un sistema equilibrado o simétrico. Con este las corrientes respectivas y voltajes son iguales en magnitud y 120° entre fase, como se muestra en el diagrama del fasorial (Figura 2.4b), en ambos tipos los abiertos y los cerrados.

El diagrama fasorial del tipo-abierto permite la fácil documentación de todas las posibles corrientes y voltajes, algunos de los cuales no son convenientes en el diagrama fasorial de tipo-cerrado. El voltaje delta Vab, representando el voltaje (la caída) de la fase a a la fase b, es el mismo que Van-Vbn. Similarmente, Vbc = Vbn-Vcn y Vca = Vcn-Van.

Como fué indicado, el diagrama fasorial del tipo-cerrado puede llevar a dificultades. Como fué visto en la Figura 2.4b, su forma se presta mentalmente a una suposición de que los tres vértices del triángulo representan las fases a, b, y c del sistema de potencia, y que el origen 0 representa n = g. Las preguntas surgen con este diagrama fasorial del tipo-cerrado ¿por qué Van = Vag tiene su fasor como se muestra? puesto que la caída de voltaje es de fase a neutro; semejantemente para las otras dos fases. También ¿por qué Vab, Vbc y Vca están apuntando como se muestran?, ya que ellos son caídas de fase a a fase b, de fase b a fase c, y fase c a a, respectivamente, parecería que ellos deben estar apuntando en la dirección opuesta.

Los fasores mostrados en este diagrama fasorial cerrado (Figura 2.4b) son completamente correctos y no deben cambiarse. La dificultad está en la combinación de un diagrama del circuito

Figura 2.4 Diagrama fasorial para los elementos básicos de un circuito:

a) Diagrama de un circuito que muestra la localizacion y direcciones supuestas de corriente y caídas de voltaje;

abierto evita esta dificultad. Esto también dá énfasis a la conveniencia de tener dos diagramas separados, un diagrama del circuito y un diagrama fasorial. Cada uno sirve en particular pero las funciones son bastante diferentes.

1.4 El fasor y la rotación de fase

"Fasor" y "Rotación de fase" son dos términos completamente diferentes, aunque ellos casi parecen iguales. Los fasores de a.c. siempre están girando en sentido contrario a las manecillas del reloj a la frecuencia del sistema. Los diagramas fijos, graficados como en la Figura 2.4b. representan lo que se vería si una luz estroboscópica de la frecuencia del sistema fuera impuesta en los fasores del sistema. Los fasores parecerían fijos en el espacio como los graficados.

En contraste, la rotación de fase o la secuencia de fase se refiere al orden en que los fasores ocurren cuando ellos giran en sentido contrario a las manecillas del reloj. La secuencia normal hoy es: a, b, c; A, B, C; 1, 2, 3; o en algunas áreas r, s, t. En la Figura 2.4b la secuencia es a, b, c. El Diccionario de la IEEE (IEEE 100-1984) sólo define la secuencia de fase, de modo que esto se prefiere. Sin embargo, la rotación de fase se ha usado durante muchos años y todavía es usada en la práctica.

No todos los sistemas de potencia operan con la secuencia de fase a, b, c o su equivalente. Hay varias utilidades eléctricas grandes en los Estados Unidos que operan con secuencia de fases a, c,

b. En algunos casos esta secuencia se usa a lo largo del sistema; en otros, un nivel de voltaje

puede ser a, b, c, y otro nivel de voltaje a, c, b. La secuencia de fase específica es sólo una designación del nombre que se estableció arbitrariamente recientemente en la historia de una compañía, y es difícil de cambiar después de muchos años de funcionamiento.

Es muy importante conocer la secuencia de fase existente en conexiones trifásicas de relevadores y otros equipos, deberá indicarse claramente en los dibujos y documentos de información. Esto es especialmente verdad si esta no es a, b, c. Las conexiones de a, b, c a a, c, b, o viceversa, generalmente puede hacerse intercambiando las fases completamente b y c para ambos el equipo y las conexiones.

2.0 LAS UNIDADES FUNDAMENTALES: POR UNIDAD Y POR CIENTO 2.1 Introducción

Los sistemas de potencia operan a voltajes donde el kilovolt (el kV) es la unidad más conveniente por expresar el voltaje. También, estos sistemas transmiten cantidades grandes de potencia, de modo que el kilovolt-amper (el kVA) y megavolt-amper (MVA) se usan para expresar el total (general o aparente) de potencia trifásica. Estas cantidades, junto con los kilowatts, el kilovars, amperes, los ohms, el flujo, y así sucesivamente, normalmente se expresan como en por unidad o

por ciento de una referencia o valor base. Las nomenclaturas por unidad y por ciento se usan

ampliamente porque ellas simplifican especificación y cálculos, sobre todo donde los diferentes niveles de voltaje y tamaños de equipo están envueltos.

Ecuación 2.6

Ecuación 2.7

Esta discusión es para sistemas eléctricos trifásicos los cuales se asume que son equilibrados o simétricos hasta cierto punto o área de desequilibrio. Esto significa que los voltajes de la fuente son iguales en la magnitud y son 120° desplazados en relación de fase, y que las impedancias de los circuitos trifásicos son de magnitud igual y ángulo de fase. De esto como un inicio, pueden analizarse diferentes desbalances serie o paralelo, principalmente por el método de componentes simétricas.

2.2 Definiciones de por unidad y por ciento

El por ciento es 100 veces el por unidad. Los dos se usan como un asunto de conveniencia o de opción personal y es importante designar cualquiera por ciento (%) o por unidad (pu).

El valor por unidad de cualquier cantidad es la relación de esa cantidad a su valor base, la relación expresada como un número decimal no dimensional. Así las cantidades reales, como el voltaje (V), corriente (I), potencia (P), potencia reactiva (Q), voltio-amperes (VA), resistencia (R), reactancia (X), e impedancia (Z), puede expresarse en por unidad o por ciento como sigue:

Cantidad la de base valor real Cantidad unidad por en Cantidad = 100 ) ( ⋅

= Cantidad en porunidad porciento

en Cantidad

donde la "cantidad real" es el escalar o valor del complejo de una cantidad expresada en sus propias unidades, como los volts, amperes, ohms, o watts. "El valor base de la cantidad" se refiere a una referencia arbitraria o conveniente de la misma cantidad escogida y designada como la base. Así por unidad y por ciento son relaciones dimensiónales que pueden ser números escalares o complejos.

Como un ejemplo para la selección de una base de 115 kV, voltajes de 92, 115, y 161 kV serían convertidos a 0.80, 1.00, y 1.40 pu ó 80%, 100%, y 140% respectivamente.

2.3 Ventajas de por unidad y por ciento

Algunas de las ventajas de usar por unidad (o por ciento) son:

0l. Su representación produce datos más significativos, donde las magnitudes relativas de todas las cantidades del circuito similares pueden compararse directamente.

02. La impedancia equivalente por unidad de cualquier transformador es la misma cuando se refirió al lado primario o secundario.

03. La impedancia por unidad de un transformador en un sistema trifásico es la misma sin tener en cuenta el tipo de conexiones de los devanados (delta, delta-estrella, estrella-estrella, o delta-delta).

04. El método por unidad es independiente de cambios de voltaje y corrimientos de fase a través de los transformadores donde los voltajes base en los devanados son proporcionales a el número de vueltas en los devanados.

Ecuación 2.8 Ecuación 2.9 Ecuación 2.10

Ecuación 2.11

05. Los fabricantes normalmente especifican la impedancia del equipo en por unidad o por ciento sobre la base de su rango de potencia (normalmente el kVA) en sus datos de placa y voltaje (V o kV). Así el rango de impedancia puede usarse directamente si las bases escogidas son las mismas que el rango de los datos de placa.

06. Los valores de impedancia por unidad de varios rangos de equipo quedan en un estrecho rango, mientras que los valores ohmicos reales pueden variar ampliamente. Por consiguiente, donde los valores reales no son conocidos, un valor aproximado bueno puede usarse. Los valores típicos para los varios tipos de equipo están disponibles de muchas fuentes y libros de la referencia. También, la exactitud de una unidad específica puede verificarse conociendo los valores típicos.

07. Hay menos oportunidad de confusión entre la potencia monofásica y potencia trifásica, o entre voltaje de línea a línea y voltaje de línea a neutro.

08. El método por unidad es muy útil para simular el estado estable o transitorio de sistemas de potencia en computadoras.

09. La fuente de voltaje normalmente puede asumirse como 1.0 pu para falla y cálculos de voltaje.

10. Con por unidad el producto de dos cantidades expresadas en por unidad se expresa en por unidad igualmente. Sin embargo, el producto de dos cantidades expresadas en por ciento debe ser dividido por 100 para obtener el resultado en por ciento. Por esta razón, es aún más desea-ble usar por unidad en lugar de por ciento en los cómputos.

2.4 Relaciones generales entre cantidades del circuito

Antes de continuar la discusión del método por unidad, haremos primero una revisión de algunas relaciones generales entre las cantidades del circuito aplicables a todos los sistemas de potencia trifásicos. Esto enfocado en los dos tipos básicos de conexiones, estrella y delta, como es mostra-do en Figura 2.5. Para cualquiera de estos las ecuaciones básicas siguientes aplican *:

L LLI V S_3φ = 3 o 30 3 ∠+ = LN LL V V LL L V S I 3 3φ =

De estas tres ecuaciones el valor de las impedancias y la corriente del delta pueden ser determi-nadas.

1. Impedancias conectadas en estrella (Figura 2.5a)

φ φ 3 2 3 30 3 3 30 S V S V V I V Z LL LL LL L LN Y o o _∠− = ⋅ − ∠ = =

Ecuación 2.12 Ecuación 2.13 Ecuación 2.14 3 30o + ∠ = L D I I φ φ 3 2 3 30 3 3 30 3 30 3 S V S V V I V I V Z LL LL LL L LL D LL D o o o _∠− = ⋅ − ∠ = − ∠ = = LL D LL D V S Z V I 3 30 3 ∠+ o = = φ

* S es la potencia aparente o compleja en volta-amperes (VA, kVA, MVA), P es la potencia activa en watts (W, kW, MW), y Q es la potencia reactiva en vars (var, kvar, Mvar). Así S = P + jQ.

Estas ecuaciones muestran que las cantidades del circuito S, V, I y Z están relacionadas tal que la selección de dos de ellas cualesquiera determinan los valores de las dos cantidades restantes. Normalmente, la conexión estrella es supuesta, así de la Ecuación (2.8) a la (2.11) la mayoría de las veces son usadas para los cálculos de sistema de potencia. Mucha confusión puede ser evitada recordando claramente que las conexiones estrella son supuestas y no las conexiones delta, o vi-ceversa. Si una conexión delta es dada, esta puede convertirse en una conexión estrella equivalen-te para propósitos del cálculo. Alequivalen-ternativamenequivalen-te, las Ecuaciones (2.13) y (2.14) pueden usarse directamente, si surge la necesidad, para expresar la impedancia y corriente en términos de las cantidades del circuito delta.

2.5 Cantidades base

En los capítulos siguientes es más conveniente usar el kVA o MVA en lugar de S, y kV en lugar de V. Las cantidades base son las cantidades escalares, tal que la notación fasorial no se requiere para las ecuaciones base. Así los valores base pueden ser expresados por las Ecuaciones (2.15), (2.16), y (2.17) con el subíndice B para indicar una cantidad base como sigue:

Ecuación 2.15 Ecuación 2.16 Ecuación 2.17 Ecuación 2.19 Ecuación 2.20 Ecuación 2.21 Ecuación 2.18

Para base de potencia:

B B

B kV I

kVA = 3

Para base de corriente:

B B B kV kVA I 3 = Para base de impedancia:

B B B kVA kV Z 1000 2 _⋅ = Y desde 1000 x el valor de MVA = kVA

La impedancia base también puede expresarse como

B B B MVA kV Z 2 =

En los sistemas eléctricos de potencia trifásicos la práctica común es usar el voltaje del sistema normal o nominal como la base del voltaje, y una cantidad conveniente de MVA o kVA como base de la potencia. 100 MVA es una base de potencia ampliamente usada. El voltaje del sistema normalmente especificado es el voltaje entre las tres fases (es decir, el voltaje de línea-a-línea). Éste es el voltaje usado como base en las Ecuaciones (2.15) a la (2.17). Como un atajo y por con-veniencia, la designación de subíndice de línea-a-línea (LL) se omite. Con esta práctica se en-tiende siempre que el voltaje es el valor de línea-a-línea a menos que se indique otra cosa. La mayor excepción está en el método de componentes simétricas, donde el voltaje de fase o línea-a-neutro es usado. Esto siempre debe especificarse cuidadosamente, pero hay a veces una tendencia a pasar por alto este paso. Semejantemente, la corriente siempre es de fase o de línea-a-neutro a menos que se indique otra cosa.

Por potencia siempre se entiende la potencia trifásica a menos que otra cosa se indique. Potencia general, también conocida como compleja o potencia aparente, es designada por MVA o kVA, como fue indicado anteriormente. Potencia trifásica real es designada por MW o kW. Potencia trifásica reactiva es designada por MVAR o kVAR.

2.6 Relaciones de impedancia por unidad y por ciento

La impedancia por unidad resulta de la relación de los ohms (ZΩ) de la Ecuación (2.6) y la ZB de la Ecuación (2.19) B B B B B pu kV Z kVA ó kV Z MVA Z Z Z _{2 2} 1000 Ω Ω Ω ₌ =

o, en la notación por ciento,

B B B B kV Z kVA ó kV Z MVA Z _{2 2} 10 100 % ₌ Ω Ω

Ecuación 2.22

Ecuación 2.23

Cuando los valores en ohms se desean desde valores en por unidad o valores en por ciento, las ecuaciones son B pu B B pu B kVA Z kV ó MVA Z kV Z 2 2 ₁₀₀₀ = Ω

o, en la notación por ciento,

B B B B kVA Z kV ó MVA Z kV Z 10 % 100 % 2 2 = Ω

Los valores de impedancia pueden ser escalares o fasoriales. Las ecuaciones también son aplica-bles para cálculos de la resistencia y reactancia.

Se recomienda por unidad para cálculos que involucran la división, de esta forma es menos pro-bable producir un error en el punto decimal. Sin embargo, la opción de por unidad o por ciento es personal. Es a menudo conveniente usar ambos, pero debe tenerse cuidado.

Esmerada y redundante etiquetación de todas las respuestas es recomendado. Ésta etiquetación es valiosa, particularmente después, cuando usted u otros se refieren al trabajo desarrollado. Muy a menudo, se indican respuestas como 106.8, por ejemplo, sin ninguna etiqueta. Otro caso, cuando la memoria no está fresca, las preguntas pueden surgir, como: "¿Qué es esto? ¿los amperes? ¿los voltios? ¿por unidad, o qué?" Inicialmente, las unidades apropiadas eran obvias, pero para otros y en determinada situación parecieran no ser. Un poco de esfuerzo extra y el desarrollo del buen hábito de etiquetar todo, en lo futuro, no permite ninguna pregunta frustrante, dudas, o el redes-cubrimiento tedioso.

Corrientes en amperes e impedancias en ohms deberán ser referidos a una base de voltaje especí-fica o a el primario o secundario de los devanados de los transformadores. Los voltajes en voltios deben estar claros acerca de si ellos son cantidades primarias, secundarias, de alta, de baja, y así sucesivamente.

Cuando se especifica por unidad o valores en por ciento para las impedancias, resistencia, o reac-tancia, deben indicarse dos bases. Éstas son los MVA (o kVA) y los kV base usados en las Ecua-ciones (2.19) a la (2.23). Sin las dos bases los valores en por unidad o por ciento no tienen senti-do. Para el equipo eléctrico estas dos bases son los rangos de valores citados en la placa de datos del equipo o en los diagramas del fabricante u otros datos proporcionados. Donde se especifican varios rangos, generalmente es correcto asumir que el rango nominal de valores fue usado para determinar el por unidad o valores por ciento especificados. El fabricante debe indicar específi-camente las bases donde existen varios rangos.

Los diagramas del sistema deben indicar claramente los MVA (o kVA) base con los voltajes base indicados para los varios niveles de voltaje mostrados, donde todos los componentes de impedan-cia se han reducido a un valor base común. Por otra parte, las impedanimpedan-cias por unidad o por cien-to con sus dos bases deben indicarse para cada parte del equipo o circuicien-to en el diagrama.

donde kVx es la base en el lado x Ecuación 2.26

donde kVy es la base en el lado y Ecuación 2.27 Ecuación 2.24

Ecuación 2.25

Ecuación 2.28

Para voltajes por unidad o por ciento, sólo la base de voltaje se requiere. Así un 90% de voltaje en un sistema de 138 kV sería 124.2 kV. Para corrientes por unidad o por ciento, se requieren una o dos bases. Si la base de corriente se especifica, es suficiente. Un 0.90 pu de corriente con 1000-A base especifica que la corriente es 900 1000-A. Dónde las más comunes MV1000-A (o kV1000-A) y kV bases se dan, la Ecuación (2.16), con la Ecuación (2.18), proporcionan la corriente base requerida. Así con 100 MVA y 138 kV base, la corriente base es

kV en A I_B 418.37 138 138 3 100 1000 ₌ ⋅ ⋅ =

Así 418.37 A es 1 pu o 100% actual en el sistema de 138 kV.

2.7 Por unidad y por ciento de impedancias en unidades del transformador

Como fue indicado en la Sección 2.3, una gran ventaja del sistema por unidad (por ciento) es su independencia de voltaje y del defasamiento a través de bancos de transformadores donde las bases de voltaje en las diferentes terminales del transformador son proporcionales a las vueltas en los devanados correspondientes.

Esto puede demostrarse por el análisis siguiente. De los principios básicos, la impedancia en un lado de un transformador se refleja a través del transformador por el cuadrado de la relación de vueltas, o donde los voltajes son proporcionales a las vueltas por el cuadrado de la relación de voltaje. Así para una fase de un transformador como el mostrado en Figura 2.6, la impedancia Zy en el devanado de Ny vueltas aparece como Zx en el lado del devanado de Nx vueltas, como

Y Y X Y Y X X Z V V Z N N Z 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

Las bases de impedancia en los dos lados del transformador son, de la Ecuación (2.19),

B x xB MVA kV Z 2 = B y yB MVA kV Z 2 =

Tomando la relación de ZxB y ZyB producimos

2 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = y x y x yB xB N N kV kV Z Z

donde las vueltas son proporcionales a los voltajes.

Ecuación 2.30 en 34.5 kV Ecuación 2.32 Ecuación 2.29 pu Z Z ohms Z Z ohms Z N N N N Z ohms Z pu Z y yB y yB y x y y x xB x X ⎟⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = 2 2

Así la impedancia por unidad es la misma en cualquier lado del banco.

Ejemplo 1. Considere un banco de transformadores de rango de 50 MVA con 34.5 kV y 161 kV

conectando sus devanados a 34.5 y 161 kV del sistema de potencia. La reactancia del banco es 10%. Ahora cuando miramos el banco desde 34.5 kV del sistema, su reactancia es

10% sobre 50-MVA y 34.5 kV base

y cuando miramos el banco desde 161 kV del sistema su reactancia es 10% sobre 50-MVA 161 kV base

Esta impedancia es igual en por ciento o por unidad en cualquier lado del banco es independiente de las conexiones del banco: estrella-delta, delta-estrella, estrella-estrella o delta-delta.

Esto significa que los valores de impedancia por unidad (por ciento) a lo largo de una red pueden combinarse independientemente de los niveles de voltaje con tal de que todas las impedancias estén en una base común de MVA (kVA) y los rangos de los devanados de transformador sean compatibles con los voltajes del sistema. Ésta es una gran conveniencia.

Las actuales impedancias del transformador en ohms son bastante diferentes en los dos lados de un transformador con niveles de voltaje diferentes. Esto puede ilustrarse para el ejemplo. Apli-cando la Ecuación (2.23), nosotros tenemos

Ω = ⋅ ⋅ = 2.38 50 100 10 5 . 34 2 jx

Figura 2.6 Impedancias a través de una fase de un transformador trifásico

en 161 kV Ecuación 2.33 Ecuación 2.34 Ecuación 2.35 Ecuación 2.36 Ecuación 2.37 Ecuación 2.38 Ecuación 2.39 Ω = ⋅ ⋅ = 51.84 50 100 10 1612

Esto puede verificarse con la Ecuación (2.25), donde para el ejemplo x es el lado del devanado de 34.5 kV, y y es el lado del devanado de 161 kV, Entonces,

38 . 2 84 . 51 161 5 . 34 38 . 2 = ₂2 ⋅ =

2.8 Cambio de cantidades en por unidad (por ciento) a bases diferentes

Normalmente, las impedancias por unidad o por ciento del equipo se especifica sobre la base de equipo, que generalmente será diferente de la base de sistema de potencia. Ya que todas las im-pedancias en el sistema debe expresarse en la misma base para cálculos en por unidad o por cien-to, es necesario convertir todos los valores a la base común seleccionada. Ésta conversión puede derivarse expresando la misma impedancia en ohms en dos diferentes bases por unidad. De la Ecuación (2.35) para unos MVAl, kV1 base y unos MVA2, kV2 base,

1 2 1 1 kV Z MVA Z _pu = Ω 2 2 2 2 kV Z MVA Z _pu = Ω

Relacionando estas dos ecuaciones y resolviendo para un valor por unidad, la ecuación general para cambio de bases cambiantes es:

1 1 2 2 22 1 2 MVA kV kV MVA Z Z pu pu _{= ⋅} 2 2 1 2 1 2 1 2 kV kV MVA MVA Z Z pu = pu ⋅

La Ecuación (2.38) es la ecuación general para cambiar de una base a otra base. En la mayoría de los casos la relación de vueltas del transformador es equivalente a la diferencia de voltajes del sistema, y el rango de voltajes del equipo son iguales que los voltajes del sistema, de modo que el cuadrado de la relación voltaje es la unidad. Entonces la Ecuación (2.38) reduce a

1 2 1 2 MVA MVA Z Z _pu = _pu

Es muy importante dar énfasis a que el factor de voltaje al cuadrado de la Ecuación (2.38) sólo se usa en el mismo nivel de voltaje y donde existen ligeramente diferencias en las bases de voltaje. Nunca se usa donde las bases de voltaje son proporcionales a las vueltas del banco de transfor-mador, tal como ir del lado de alta al de baja por un banco. En otros términos, la Ecuación (2.38)

Ecuación 2.40

Ecuación 2.41

Ecuación 2.42

Ecuación 2.43

no tiene nada que hacer con transferir el valor de impedancia ohmica de un lado de un transfor-mador al otro lado.

Varios ejemplos ilustrarán las aplicaciones de Ecuación (2.38) y (2.39) cambiando la impedancia por unidad y por ciento de una base a otra.

Ejemplo2. El transformador de 50-MVA, 34.5:161 kV con 10% de reactancia se conecta a un

sistema de potencia donde todos los otros valores de impedancia están sobre 100 MVA 34.5 kV o 161 kV base. Para cambiar la base del transformador, se usa la Ecuación (2.39) puesto que el voltaje del transformador y el sistema son los mismos. Esto es porque la Ecuación fundamental, (2.38) se usó, 2 2 2 2 161 161 5 . 34 5 . 34 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ó kV kV

así la Ecuación (2.39) resulta, y la reactancia del transformador se vuelve

pu ó jx 20% 0.20 50 100 % 10 ⋅ = =

sobre 100 MVA 34.5 kV base del lado de 34.5 kV o sobre 100 MVA 161 kV base del lado de 161 kV.

Ejemplo 3. Conversión de base que requiere la Ecuación (2.38).

Un generador y transformador, mostrados en Figura 2.7, serán combinados en un sola reactancia equivalente sobre 100 MVA 110 kV base. Con el banco del transformador que opera en su tap 3.9 kV, el voltaje base de lado baja correspondiendo a el lado alta 110 kV base es:

kV kV ó kV LV LV _3.73 115 9 . 3 110 = =

Ya que este 3.73 kV base es diferente del de la base especificada de reactancia subtransitoria de generador, la Ecuación (2.38) debe usarse:

base kV MVA en ó base kV MVA en pu ó jx d 110 100 73 . 3 100 15 . 1 % 115 73 . 3 25 4 100 % 25 " ₂ 2 = ⋅ ⋅ ⋅ =

Ecuación 2.44 Ecuación 2.45 base kV MVA en ó base kV MVA en pu ó jx T 110 100 73 . 3 100 346 . 0 % 43 . 36 110 30 115 100 % 10 73 . 3 30 9 . 3 100 % 10 " ₂ 2 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Ahora las reactancias del generador y del transformador pueden combinarse en un valor de fuente equivalente agregando:

115% + 36.43% = 151. 43% o

1.15 pu + 0.3643 pu = 1.514 pu, ambos en 100 MVA 110 kV base

Las advertencias anteriores repiten y enfatizan que, nunca, Nunca, NUNCA use la Ecuación (2.38) con los voltajes sobre los lados opuestos de transformadores. Así los factores (115/3.9)2 _y (110/3.73)2 en la Ecuación (2.38) son incorrectos.

3.0 COMPONENTES SIMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES 3.1 Introducción

Las componentes simétricas constituyen un procedimiento analítico de gran valor para determinar el rendimiento de ciertos tipos de circuitos trifásicos (o polifásicos en general) desbalanceados que contienen máquinas eléctricas rotativas. Aunque también se pueden utilizar para resolver redes estáticas desbalanceadas, esta aplicación sería, en general, más molesta y laboriosa que los métodos estándar que los analizan. En cambio, para circuitos desbalanceados que contienen máquinas eléctricas rotativas, el método de las componentes simétricas suministra el único procedimiento práctico para determinar los efectos de desbalances en estas máquinas y por ello es ampliamente utilizado. También resulta imprescindible su aplicación en el estudio de fallas en la red: cortocircuitos asimétricos, desconexión de alguna fase, etc.

El procedimiento se basa en la propiedad de las magnitudes senoidales de que m vectores cualesquiera pueden considerarse como la suma de m sistemas simétricos de m vectores.

Existen infinidad de medios para descomponer un sistema de n vectores en n sistemas simétricos, por ejemplo, para un sistema trifásico tenemos el método de Edith-Clarke de componente α, β, o el método de Kimbark de componentes S, D, z, etc. No obstante, el método más empleado y conocido es el de las componentes simétricas, conocido también por método de Fortescue, que lo propuso en 1918 y fue estudiado simultáneamente por Fortescue y Stokvis.

El método, como vamos a ver, consiste básicamente en descomponer un sistema polifásico asimétrico en varios simétricos, que podemos estudiar fácilmente mediante su circuito monofásico equivalente. Posteriormente aplicaremos el Principio de Superposición para obtener la respuesta del circuito original, quedando así simplificado notablemente el trabajo de solución del circuito original.

Es preciso observar que la descomposición de los voltajes y corrientes reales de un circuito en sus componentes simétricas es un procedimiento de trabajo para calcular su valor en sistemas desbalanceados. No obstante, estos valores simétricos no son solamente un artificio de cálculo, sino que, en cierto modo, tienen una realidad física que permiten su medida. Ciertamente, las componentes simétricas no aparecen aisladamente en un circuito y podemos comprobar que su presencia produce una serie de fenómenos físicos observables que serán diferentes según la componente considerada. Por ejemplo, en un circuito trifásico desbalanceado con conductor neutro, la corriente de neutro es tres veces la componente de secuencia cero de las corrientes reales de fase. En un motor trifásico alimentado por un sistema de voltajes desbalanceados, la componente positiva genera un campo giratorio en el sentido de giro del rotor, produciendo un par útil; la componente negativa produce un campo en sentido inverso, creando un par de frenado, y la componente de secuencia cero no produce ningún efecto.

Muchos sistemas desbalanceados, que anteriormente se resolvían con gran dificultad, ahora son fácilmente analizados haciendo uso de componentes simétricas. Uno de los problemas más importantes resueltos mediante este método, es el de la determinación de voltajes y corrientes de frecuencia fundamental durante fallas asimétricas en sistemas trifásicos.

La teoría fundamental de las componentes simétricas fue presentada en 1918 por el Dr. C.L. Fortescue en un Congreso de la AIEE. Básicamente demostró que un sistema de n vectores o

fasores pueden descomponerse en n grupos diferentes simétricos, uno de los cuales consiste en

n fasores iguales y los n-1 grupos restantes consisten de n fasores espaciados en ángulos

iguales haciendo un total de n sistemas simétricos de n fases cada uno.

Según el teorema de Fortescue, tres de los vectores desequilibrados de un sistema trifásico pueden descomponerse en tres sistemas equilibrados de vectores que son:

Componentes de Secuencia Positiva, formados por tres vectores de igual magnitud con una diferencia entre fases de 120º, con la misma secuencia de fases que los vectores originales.

Componentes de Secuencia Negativa, formados por tres vectores de igual magnitud con una diferencia entre fases de 120º, y con la secuencia de fases opuesta a la de los vectores originales.

Componentes de Secuencia Cero, formados por tres vectores de igual magnitud y con una diferencia entre fases de 0º (cero grados).

Al resolver un problema por componentes simétricas, se acostumbra designar las tres fases de un sistema por las letras a, b y c, de tal forma que la secuencia de las fases sea a b c para secuencia positiva, mientras que para la secuencia negativa será a c b con las componentes particulares de cada una de ellas.

Sí los vectores originales son voltajes que se pueden designar por Va, Vb, y Vc:

Las componentes de secuencia positiva, se designan con el subíndice 1; Va1, Vb1, y Vc1. Las componentes de secuencia negativa, se designan con el subíndice 2; Va2, Vb2, y Vc2. Y, las componentes de secuencia cero, se designan con el subíndice 0; Va0, Vb0, y Vc0. Así, la representación vectorial de las Componentes Simétricas se muestra en la Figura 2.9.

Como cada uno de los vectores desequilibrados originales es igual a la suma de sus componentes, la suma de estos tres sistemas balanceados nos dará un sistema desbalanceado.

Figura 2.8 Secuencias positiva y negativa

acb

cba

bac

abc

bca

cab

Ecuación 2.46 Ecuación 2.47 Ecuación 2.48 3.2.1 Los vectores originales expresados en función de sus componentes

El análisis de los sistemas de potencia por el método de componentes simétricas de los voltajes y de las corrientes en un sistema trifásico permite predecir con gran exactitud el comportamiento del sistema en el instante de una falla eléctrica y de esta manera, por medio de este estudio se pueden ajustar las protecciones eléctricas.

La suma gráfica de los vectores Va, Vb, y Vc para obtener un sistema de vectores desequilibrados, se muestra en la Figura 2.10.

3.3 Operadores

Es conveniente, por los desplazamientos de fase de las componentes simétricas de los voltajes y las corrientes en un sistema trifásico, disponer de un método taquigráfico para indicar la rotación de un vector de 120º.

El resultado de la multiplicación de dos números complejos, es igual al producto de sus módulos y a la suma de sus ángulos. Si el número complejo, que representa un fasor, se multiplica por un número complejo de módulo unidad y ángulo “θ”, el número complejo resultante representa un fasor igual al original pero desplazado un ángulo “θ”, ejemplo:

(1∠90º) (10∠90º) = 10∠180º

Va = Va1 + Va2 + Va0 Vb = Vb1 + Vb2 + Vb0 Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0

Figura 2.10 La suma gráfica de los vectores Va, Vb, y Vc

Va

Vc

Vb

Vc0

Va0

Vb2

Vc2

Va2

Vc1

Vb1

Va1

Vb0

Ecuación 2.49

El número complejo de módulo de unidad y argumento “θ” es un operador que gira al fasor original al que se aplica, un ángulo “θ” grados.

Para conseguir un giro de 120° (2π/3), que es necesario en el estudio de las componentes simétricas, es frecuente utilizar el operador a, que se define así:

866 . 0 5 . 0 2 3 2 1 120 3 2 j j e e a= j = o =− + ≈− + π

multiplicando a por sí mismo se obtiene a2, que expresa una rotación antihoraria de 240°, y así sucesivamente (obviamente a3 _{= 1).}

En la siguiente Figura 2.11 se muestra un juego de composiciones vectoriales que utilizan el operador o factor vectorial trifásico a. El uso de este operador simplifica enormemente el cálculo de sistemas trifásicos simétricos.

Las siguientes identidades son de gran importancia en el estudio de las componentes simétricas:

a = 1∠120º = -0.5 + j 0.866 a2 _{= 1∠240º = -0.5 - j 0.866} a3 _{= 1∠360º = 1 + j0} a4 _{= 1∠120º = -0.5 + j 0.866} 1 + a = 1 + (-0.5 + j 0.866 ) = 0.5 + j 0.866 1 – a = 1 - (-0.5 + j 0.866 ) = 1.5 - j 0.866 1 + a2 _{= 1 + (-0.5 - j 0.866 ) = 0.5 - j 0.866} 1 – a2 _{= 1 - (-0.5 - j 0.866 ) = 1.5 + j 0.866} a + a2 = (-0.5 + j 0.866 ) + ( -0.5 - j 0.866 ) = -1 a – a2 = (-0.5 + j 0.866 ) - ( -0.5 - j 0.866 ) = 0+ j 1.732 1 + a + a2 _{= 1 + (-0.5 + j 0.866 ) + (-0.5 - j 0.866 ) = 0} a3 + a2 = 1 + ( -0.5 - j 0.866 ) = 0.5 - j 0.866

Figura 2.11 Diagrama de potencias del operador a

2 2 2 2 2 2 3 3

-a

_1-a

1,a

1-a

-a

a - a

a

a -1

-1,-a

a-1

a

a-a

Ecuaciones 2.50 3.4 Las componentes simétricas de los fasores asimétricos

Hemos visto en la Figura 2.10, la síntesis de tres vectores asimétricos a partir de tres conjuntos de vectores simétricos, que se realizó de acuerdo con las Ecuaciones 2.46, 2.47 y 2.48. Continuando trabajando las mismas ecuaciones para ver la forma en que se pueden descomponer en sus componentes simétricas, estas se representan en el sistema de la Figura 2.12.

En primer lugar, observemos que el volumen de magnitudes desconocidas puede reducirse, expresando cada componente Vb y Vc, como el producto de una función del operador “a” y una componente de Va, con referencia a la Figura 2.9.

Se verifican las relaciones siguientes:

Vb1 = a2 Va1 Vc1 = a Va1 Vb2 = a Va2 Vc2 = a2 Va2 Vb0 = Va0 Vc0 = Va0

Sustituyendo los valores de las Ecuaciones 2.50 en la Ecuaciones 2.46, 2.47 y 2.48, obtenemos: Va = Va0 + Va1 + Va2

Vb = Va0 + a2 Va1 + aVa2 Vc = Va0 + aVa1 + a2 Va2

O bien en forma matricial:

Ecuaciones 2.51 Figura 2.12 Componentes simétricos de fasores asimétricos

Vb1 Vc1 Va1 NEUTRO Vb0 Vb2 Vc0 Vc2 Va0 Va2 CARGA TRIFASICA TERMINALES DEL GENERADOR

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 0 2 2 Va Va Va a a 1 a a 1 1 1 1 Vc Vb Va

Por conveniencia llámese A a la matriz de transformación del sistema matricial anterior, Ecuación 2.52. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 2 a a 1 a a 1 1 1 1 A La matriz inversa de A existe y es:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a a 1 a a 1 1 1 1 3 1 A 2 2 1

-Premultiplicando ambos lados de la Ecuación 2.52 por A-1 obtenemos:

Va Va Va Va Va Va A A Vc Vb Va A 2 1 0 2 1 0 1 -1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

Sustituyendo los valores A-1 _{en la Ecuación 2.55 y resolviendo obtenemos:}

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Vc Vb Va a a 1 a a 1 1 1 1 3 1 Va Va Va 2 2 2 1 0 De donde: Va0 = ₃1( Va + Vb + Vc ) Va1 = ₃1( Va + a Vb + a2Vc ) Va2 = ₃1( Va + a2 Vb + a Vc )

Una vez conocidos los valores de Va0, Va1 y Va2; los componentes correspondientes a las fases B y C se determinan con las Ecuaciones 2.50.

Va0 = 1₃( Va + Vb + Vc )

La ecuación anterior demuestra que no hay componentes de secuencia cero si la suma de los vectores desequilibrados es cero. Como la suma de los vectores de tensión entre líneas en un sistema trifásico es siempre cero, las componentes de secuencia cero no existen nunca en los

Ecuaciones 2.52 Ecuación 2.55 Ecuación 2.54 Ecuación 2.53 Ecuaciones 2.56 Ecuaciones 2.57 Ecuación 2.58

Ecuaciones 2.59

voltajes de línea, cualquiera que sea el desequilibrio. La suma de los vectores de los tres voltajes entre línea y neutro no necesariamente es cero y por tanto los voltajes respecto al neutro, pueden tener componentes de secuencia cero.

El análisis anterior es igualmente válido para corrientes de sistemas trifásicos, estableciéndose las ecuaciones como siguen:

Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2 Ib = Ia0 + a2Ia1 + aIa2 Ic = Ia0 + aIa1 + a2Ia2 Ia0 = ₃1( Ia + Ib + Ic ) Ia1 = ₃1( Ia + a Ib + a2Ic ) Ia2 = ₃1( Ia + a2 Ib + aIc )

En un sistema trifásico la suma de las corrientes de línea es igual a la corriente In en el retorno a través del neutro. Por lo tanto:

Ia + Ib + Ic = In

Sustituyendo las Ecuaciones 2.59 en la Ecuación 2.61 se obtiene: In = 3Ia0 Ia0 = ₃1( In )

Si no hay retorno por el neutro de un sistema trifásico, In es cero y las corrientes en las líneas no contienen componentes de secuencia cero. Una carga conectada en delta no tiene retorno por el neutro y por lo tanto las corrientes que van a una carga conectada en delta no tienen componentes de secuencia cero.

3.5 Potencia en sistemas trifásicos desbalanceados en términos de componentes simétricas

Recordemos que la potencia aparente compleja de un sistema trifásico genérico viene dada por la expresión: * * * c I c V b I b V a I a V jQ P S = + = ⋅ + ⋅ + ⋅

siendo V el voltaje de fase correspondiente e I la corriente de línea (es la corriente de fase de la

carga equivalente en estrella).

Poniendo estos valores en función de sus respectivas componentes simétricas, y recordando las propiedades del operador trifásico a, podemos llegar fácilmente a la siguiente expresión para la potencia aparente total:

Ecuaciones 2.60

Ecuación 2.61

Ecuaciones 2.62

2 2 1 1 0 0 3 3 3 Va I a Va I a Va I a S = ⋅ ⋅ * + ⋅ ⋅ * + ⋅ ⋅ * Poniendo: 0 0 0 0 0 3 Va I a P jQ

S = ⋅ ⋅ * = + (Potencia aparente de secuencia cero)

1 1 1 1

1 3 Va I a P jQ

S = ⋅ ⋅ * = + (Potencia aparente positiva)

2 2

2 2

2 3 Va I a P jQ

S = ⋅ ⋅ * = + (Potencia aparente negativa)

Sustituyéndolo en la anterior ecuación:

2 1 0 2 * 2 1 * 1 0 * 0 2 1 0 S S 3 V I 3 VI 3 V I S S S S S = + + = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ≠ + + 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 1

0 P P 3 V I cosϕ 3 VI cosϕ 3 V I cosϕ

P P= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 1

0 Q Q 3 V I senϕ 3 VI senϕ 3 V I senϕ

Q

Q= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

y podremos indicar las siguientes conclusiones:

a) La potencia aparente compleja total es la suma de las potencias aparentes complejas de los sistemas de secuencia cero, positiva y negativa.

b) La potencia activa total es la suma de las potencias activas (cero, positiva y negativa). c) La potencia reactiva total es la suma de las potencias reactivas (cero, positiva y negativa). d) Las potencias activas, reactivas y aparentes de cada uno de los tres sistemas (cero, positivo y

negativo) se conservan independientemente en toda la red, no existiendo términos de potencia en que aparezcan voltajes de un sistema y corrientes de otro.

e) La independencia de los tres sistemas de componentes simétricas en una red simétrica se cumple para potencias, voltajes, corrientes o f.e.m. Si la red es asimétrica, la independencia subsiste para las potencias.

f) La potencia que actúa total, activa, reactiva o aparente, es la suma de las potencias que proporciona cada uno de los sistemas separadamente.

Finalmente, podemos indicar que para el factor de potencia, se tendrá:

(

) (

)

Ejemplo 4. Un conductor de una línea trifásica está abierto, la corriente que circula hacia la carga

conectada en estrella, por las líneas es de 10 amp, con la corriente en A como referencia y suponiendo que C está abierto, determinar las componentes simétricas de las corrientes de las líneas.

Ecuación 2.67 Ecuación 2.64

Ecuación 2.66 Ecuación 2.65

Solución: Como Ia es referencia: Ia = 10∠0° amp Ib = 10∠180° amp Ic = 0.0∠0° amp Ia0 = 1/3 ( Ia + Ib + Ic ) Ia0 = 1/3 [10∠0°+( 10∠180° )+( 0 )] Ia0 = 0 amp Ib1 = a2Ia1 = ( 1∠240° ) ( 5.773∠ 30− ° )amp Ib2 = a Ia2 = ( 1∠120° ) ( 5.773∠30° ) amp Ib0 = Ia0 = 0 amp Ib1 = 5.773∠210° amp Ib2 = 5.773∠150° amp Ib0 = 0 amp Ia1 = 1/3 ( Ia + aIb + a2Ic ) Ia1 = 1/3 [ 10∠0° + ( 1∠120° ) ( 10∠180° ) + ( 1∠240°) ( 0 ) ] Ia1 = 5.773∠ 30− ° amp Ia2 = 1/3 ( Ia + a2Ib + aIc ) Ia2 = 1/3 [ 10∠0° + ( 1∠240° ) (10∠180° ) + ( 1∠120° ) ( 0 ) ] Ia2 = 5.773∠30° amp Ic = 0 A Ib = 10 180 A Ia = 10 0 A

Ic1 = a Ia1 = ( 1∠120° ) ( 5.773∠ 30− ° ) amp Ic2 = a2Ia2 = ( 1∠240° ) ( 5.773∠30° ) amp Ic0 = Ia0 = 0 amp Ic1 = ( 5.773∠90° ) amp Ic2 = ( 5.773∠270° ) amp Ic0 = 0 amp

4.0 IMPEDANCIAS Y REDES DE SECUENCIA

4.1 Análisis de circuitos mediante componentes simétricas

En general, cualquier sistema trifásico desbalanceado se estudiará empleando la teoría de componentes simétricas. Si el circuito o red a estudiar es estático, podría estudiarse igualmente (habitual por su mayor simplicidad) por los sistemas clásicos de análisis de redes, pero si la red tiene máquinas rotativas, el sistema práctico para estudiar los efectos desbalanceados de estas máquinas es la teoría de componentes simétricas.

En este apartado, veremos la forma general de aplicación de las componentes simétricas a la solución de circuitos simétricos. En el punto siguiente, aplicaremos esto al caso concreto de fallas en redes.

4.2 Sistemas simétricos con f.e.m. desbalanceadas

Veamos primeramente el caso de una red trifásica simétrica, constituida por impedancias constantes. En este caso, podemos definir las impedancias y admitancias cíclicas (sistema empleado por el que se pueden sustituir las impedancias de cada línea por una única impedancia que incluye los efectos de todos los posibles acoplamientos magnéticos que el resto de líneas pueden tener sobre ésta, no vamos a entrar en los detalles de su obtención) y obtener un circuito trifásico equivalente, balanceado en cargas, como el de la Figura 2.14 siguiente.

Este circuito es el equivalente a la red inicial, donde Zf es la impedancia cíclica de cada fase, que tendrá el mismo valor para las tres, al estar el circuito balanceado en sus cargas.

Zf Ic Ec IN Zf Zf Ia Ea Ib Eb + + + ZN

Si al circuito simétrico le aplicamos una fuente balanceada, la respuesta del circuito (voltajes y corrientes) en todas sus partes, conductores, devanados de máquinas, etc., serán sistemas igualmente balanceados (recuérdese que estamos en el caso de cargas lineales simétricas).

La solución de este circuito, al ser balanceado, se hará por el procedimiento más sencillo que conocemos, que es el empleo del circuito monofásico equivalente:

siendo, obviamente, f a Z E Ia=

Veamos ahora que respuesta obtendríamos del circuito si le aplicamos otros tres tipos de fuentes balanceadas.

4.2.1 Fuente balanceada de secuencia positiva

Si la fuente que ponemos en el circuito es balanceada y de secuencia positiva(Ea₁,Eb₁,Ec₁), obtendremos una respuesta balanceada y de secuencia positiva

Ahora tendremos (para el circuito monofásico equivalente):

f a a Z E I ₁= 1

Figura 2.15 Circuito monofásico equivalente Ea Ec Eb Ea Ia Zf Ic Ib Ia + Figura 2.16 Ec1 Eb1 Ea1 Ec1 Eb1 Ea1 Ic1 Zf Zf Zf Ea1 Zf Ia1 Ia1 Ib1 + + + + ZN

La impedancia que por fase presenta el circuito de secuencia positiva es: f f a a a Z Z Z I E Z = = ₁ = 1 1 1 ;

4.2.2 Fuente balanceada de secuencia negativa

Si la fuente que ponemos en el circuito es balanceada y de secuencia negativa (E_a2,E_c2,E_b2), obtendremos una respuesta balanceada y de secuencia negativa

Ahora tendremos f a a Z E I ₂ = 2

La impedancia que por fase presenta el circuito a la secuencia negativa es:

f f a a a Z Z Z I E Z = = ₂ = 2 2 2 ;

4.2.3 Fuente balanceada de secuencia cero

Si la fuente que ponemos en el circuito es balanceada y de secuencia cero (Ea₀,Eb₀,Ec₀), obtendremos una respuesta balanceada en que las tres fases activan a un tiempo.

Figura 2.17 Ec2 Eb2 Ea2 Ec2 Eb2 Ea2 Ic2 Zf Zf Zf Ea2 Zf Ia2 Ia2 Ib2 + + + + ZN Ia0 Zf Zf Zf Zf Ea0 Eb0 Ec0 + + + ZN Ea0 + 3ZN Ec0 Eb0 Ea0 Ia0 Ib0 Ic0