1 - 2 Medidas de Tendencia Central

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Probabilidad y estadística

José Luis Poveda Macías

Ingeniero Físico Maestro en Educación

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Medidas de tendencia central

• Media aritmética

• Mediana

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• Las medidas de posición son las que ayudan a ubicar los datos principales en una

distribución estadística.

• Las más importantes son las que se localizan en el centro, ya que éstas definen

características útiles.

• La forma de calcularlas depende de las tablas utilizadas.

Medidas de posición

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Media aritmética

• La media aritmética es el centro geométrico de los datos. Para datos aislados:

∑

• Es posible simplificarlo haciendo:

• Sustituyendo en la primera fórmula

∑ ∑ ∑

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Media aritmética

Finalmente, se obtiene:

• Para datos ordenados: ∑

• Para datos agrupados: ∑

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Media aritmética

• La media aritmética se ve influenciada,

particularmente, por valores distantes a ella.

• Por lo tanto, su valor es más representativo

cuando los datos permanecen cercanos entre sí.

• Es importante considerar lo siguiente:

es la media muestral (n muestras)

es la media poblacional (población de N)

• Se puede probar que

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Mediana

• La mediana es el valor localizado a la mitad

de n datos, ordenados de forma creciente.

• Si n es impar, la mediana es el dato en la

posición .

• Si n es par, la mediana es el promedio de los

datos en las posiciones y .

• Esto funciona tanto para datos aislados como

ordenados.

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Mediana

• En datos agrupados se requiere usar una fórmula más complicada basada en la interpolación lineal:

!

• Donde:

– = Límite real inferior de la clase mediana

– n = Total de casos.

– = Frecuencia acumulada de las clases anteriores de la mediana

– = Frecuencia de la clase mediana

– c = Tamaño del intervalo de la clase mediana.

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Mediana

• La mediana es más representativa cuando existen valores atípicos ya que no se ve afectado por ellos.

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Moda

• La moda es el valor o valores que se presenta con mayor frecuencia.

• Puede no existir, ser unimodal, o multimodal.

• En datos aislados, simplemente hay que encontrar los valores que se repiten más.

• En datos ordenados, se ubican los datos con una frecuencia mayor.

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Moda

• Para datos agrupados:

# ∆

∆ ∆ %

• Donde

– = Límite real inferior de la clase modal.

– ∆ = Diferencia de la frecuencia modal y la frecuencia

de la clase anterior.

– ∆ = Diferencia de la frecuencia modal y la frecuencia

de la clase posterior.

– c = Tamaño del intervalo de la clase modal.

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Ejemplo 2

• La siguiente tabla de frecuencias presenta los resultados obtenidos al tirar un dado 40

veces. Encuentra los valores de:

• la media • la mediana • la moda A. Ejemplo Valor Frecuencia 1 9 2 8 3 5 4 5 5 6 6 7

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Ejemplo 2

• Es importante verificar la clase de datos que se utiliza. En este caso, son datos ordenados. Por lo tanto, la fórmula necesaria para la media es:

∑

• En muchos casos, resulta útil agregar columnas donde se calculen los valores que resultan de los pasos.

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Ejemplo 2

• En la tabla agregamos la multiplicación y las sumatorias: A. Ejemplo Valor (x_i) Frecuencia (f_i) 1 9 9 2 8 16 3 5 15 4 5 20 5 6 30 6 7 42 Sumatorias 40 132

Al dividir los resultados de ambas sumatorias, obtenemos el valor de la media:

̅ 132

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Ejemplo 2

• La mediana se halla ubicando el número de dato indicado. Como son 40 (número par), se toman los datos 20 y 21, y se promedian. Para ello resulta útil la frecuencia acumulada. A. Ejemplo Valor (x_i) Frecuencia (f_i) Frecuencia acumulada (f_a) 1 9 9 9 2 8 16 17 3 5 15 22 4 5 20 27 5 6 30 33 6 7 42 40 Sumatorias 40 132 Los datos 20 y 21 están en esta clase. Por lo tanto, la mediana es 3.

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Ejemplo 2

La moda es, simplemente, el valor con la frecuencia mayor. Si observamos la tabla, el valor más repetido es 1. Por lo tanto, la moda es 1.

A. Ejemplo Valor (x_i) Frecuencia (f_i) Frecuencia acumulada (f_a) 1 9 9 9 2 8 16 17 3 5 15 22 4 5 20 27 5 6 30 33 6 7 42 40 Sumatorias 40 132

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• La tabla muestra una distribución de frecuencia de los salarios semanales de 65 empleados de la empresa P&R.

• Calcula la media aritmética, la mediana y la moda para esta distribución.

Ejemplo 3

B. Ejemplo

Salarios Número de empleados

$ 250.00 – 259.99 8 260.00 – 269.99 10 270.00 – 279.99 16 280.00 – 289.99 14 290.00 – 299.99 10 300.00 – 309.99 5 310.00 – 319.99 2

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• Para hallar la media, empezamos por agregar las columnas de marca de clase y su respectiva multiplicación, dado que la

tabla está agrupada.

Ejemplo 3

B. Ejemplo

Salarios Marca de clase (M_k) Número de empleados (f) ∗ $ 250.00 – 259.99 254.995 8 _2039.96 260.00 – 269.99 264.995 10 _2649.95 270.00 – 279.99 274.995 16 _4399.92 280.00 – 289.99 284.995 14 _3989.93 290.00 – 299.99 294.995 10 _2949.95 300.00 – 309.99 304.995 5 _1524.975 310.00 – 319.99 314.995 2 _629.99 Sumatoria 65 _18184.675

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• Una vez hallado esto, se divide, tal como indica la fórmula:

∑ _18164.675

65 34. 35

• La mediana requiere utilizar la interpolación. Por lo tanto, es necesario agregar algunas columnas suplementarias.

Ejemplo 3

B. Ejemplo

Salarios Límites reales Marca de clase (M_k) Empleados (f) ∗ Frecuencia acumulada (f_a) $ 250.00 – 259.99 249.995 – 259.995 254.995 8 _2039.96 ₈ 260.00 – 269.99 259.995 – 269.995 264.995 10 _2649.95 ₁₈ 270.00 – 279.99 269.995 – 279.995 274.995 16 _4399.92 ₃₄ 280.00 – 289.99 279.995 – 289.995 284.995 14 _3989.93 ₄₈ 290.00 – 299.99 289.995 – 299.995 294.995 10 _2949.95 ₅₈ 300.00 – 309.99 299.995 – 309.995 304.995 5 _1524.975 ₆₃ 310.00 – 319.99 309.995 – 319.995 314.995 2 _629.99 ₆₅ Sumatoria 65 _18184.675

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Ejemplo 3

• La fórmula requerida:

!

• Es importante verificar cuál es la clase mediana. Para ello,

notamos que es un número impar de elementos, por lo tanto, se debe utilizar la fórmula 6 , entonces 77

8 33.

B. Ejemplo

Salarios Límites reales Marca de

clase (M_k) Empleados (f) ∗ Frecuencia acumulada (f_a) $ 250.00 – 259.99 249.995 – 259.995 254.995 8 _2039.96 ₈ 260.00 – 269.99 259.995 – 269.995 264.995 10 _2649.95 ₁₈ 270.00 – 279.99 269.995 – 279.995 274.995 16 _4399.92 ₃₄ 280.00 – 289.99 279.995 – 289.995 284.995 14 _3989.93 ₄₈ 290.00 – 299.99 289.995 – 299.995 294.995 10 _2949.95 ₅₈ 300.00 – 309.99 299.995 – 309.995 304.995 5 _1524.975 ₆₃ 310.00 – 319.99 309.995 – 319.995 314.995 2 _629.99 ₆₅ Sumatoria 65 _18184.675 Clase mediana Frecuencia acumulada anterior Mayor – menor = c

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Ejemplo 3

• Aplicando la fórmula:

9:;< 269.995 32.5 18

16 10 34. >?

• Hacemos lo mismo para el caso de la moda:

B. Ejemplo

Salarios Límites reales Marca de clase (M_k) Empleados (f) ∗ Frecuencia acumulada (f_a) $ 250.00 – 259.99 249.995 – 259.995 254.995 8 _2039.96 ₈ 260.00 – 269.99 259.995 – 269.995 264.995 10 _2649.95 ₁₈ 270.00 – 279.99 269.995 – 279.995 274.995 16 _4399.92 ₃₄ 280.00 – 289.99 279.995 – 289.995 284.995 14 _3989.93 ₄₈ 290.00 – 299.99 289.995 – 299.995 294.995 10 _2949.95 ₅₈ 300.00 – 309.99 299.995 – 309.995 304.995 5 _1524.975 ₆₃ 310.00 – 319.99 309.995 – 319.995 314.995 2 _629.99 ₆₅ Sumatoria 65 _18184.675 Frecuencia modal Frecuencia anterior Frecuencia posterior

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• Aplicando la fórmula:

# ∆

∆ ∆ !

• Recordemos que las Δ implican diferencias con respecto a la frecuencia modal:

∆ @A:%B: %< CD; E @A:%B: %< F:A<DA 16 10 6. ∆₈ @A:%B: %< CD; E @A:%B: %< GDHF:A<DA 16 14 2. Para el límite inferior se toma el límite real inferior de la frecuencia modal, en este caso: 269.995.

9D; 269.995 6

6 2 10 33. I4?

Ejemplo 3

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Actividad 3

C. Actividades

• En una mediana empresa del estado de Tlaxcala se analizaron los salarios (en miles de pesos) de 35 trabajadores, los cuales se presentan en la siguiente tabla:

• ¿Cuál es la moda, la media y la mediana?

Salario mensual Frecuencia

1.7 12

2.2 7

2.6 9

3.0 5

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• Según el diario Reforma, el salario inicial promedio para recién graduados de la

licenciatura en Contaduría, durante 1996 y 1997, fue de $ 30,393. A continuación vemos una

muestra de salarios iniciales en miles de dólares:

• Agrupa los datos.

• Halla la media, la moda y la mediana

Actividad 3

C. Actividades

30.7 28.8 29.1 31.1 30.1 32.2 28.9 30.1 30.4 30.9 32.2 31.2 32.1 30.2 30.3 32.9 32.3 29.3 30.3 30.6 31.2 32.7 29.7 30.3 30.6 31.8 32.9 32.7 29.3 30.3 30.9 30.3 31.5